Problemas de calculo vectorial-89

Vista previa del material en texto

SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 4 265
581
∫ 2
−2
∫ 4
x2
∫ 4−z
0
dy dz dx =
256
15
.
582
∫ 1
0
∫ √x
x2
∫ 10−x2−y2
0
dz dy dx =
332
105
.
584
∫ 1
−1
∫ √1−x2
−
√
1−x2
∫ x2+y2
0
dz dy dx.
586
∫ 1
−1
∫ √1−x2
−
√
1−x2
∫ √x2+y2
x2+y2
dz dy dx.
588
∫ √3
−
√
3
∫ √4−x2
x2
3
∫ 4−x2−y2
0
dz dy dx =
101
√
3
105
+
8π
3
.
4 3 Cambios de variable
589
∫ 2π
0
α2
2
dθ = πα2.
590
∫ 2π
0
(1 + cos(2θ)2
2
dθ =
3π
2
.
592
∫ π
2
−π2
(2 + cos θ)2
2
dθ = 4 +
π
4
.
594
∫ π
4
0
∫ √2
0
r3 cos θ sen θ dr dθ =
1
4
.
596
∫ π
3
0
∫ 2
cos θ
0
sen θ dr dθ = 2 ln 2.
598 (a)
∫ 1
2
0
∫ √ 1
2 +y
2
√
3y
f(x, y) dx dy.
(b)
∫ √ 1
2
0
∫ x√
3
0
f(x, y) dy dx+
∫ √3
2
√
1
2
∫ x√
3
√
x2− 12
f(x, y) dy dx.
(c)
∫ π
6
0
∫ 1√
2 cos(2θ)
0
f(r cos θ, r sen θ)r dr dθ.
600
∫ π
2
−π2
∫ 2
0
rf(r cos θ, r sen θ) dr dθ.
266 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 4266 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 4266 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 4
601
∫ π
4
0
∫ 1
0
rf(r cos θ, r sen θ) dr dθ.
604 (Polares)
∫ 2π
0
∫ √6
0
(√
10− r2 − 2
)
r dr dθ =
20π
√
10
3
− 52π
3
.
606 (Polares)
∫ 2π
0
∫ 2
0
r4 dr dθ =
64π
5
.
607 (Polares)
∫ π
2
0
∫ √2
1
1
r
dr dθ =
π
4
log 2.
608 (Polares)
∫ π
2
π
3
∫ 1
sen θ
0
r2 sen θ dr dθ =
√
3
9
.
611 x = 35u+
1
5v, y =
2
5u− 15v;
∫ 2
1
∫ 5
2
1
5
dv du =
3
5
.
612 x =
√
u
v , y =
√
uv.
∫ 2
1
∫ 2
1
1
2v
du dv =
1
2
ln 2.
613 x =
√
u3
v , y =
√
v
u ;
∫ 6
3
∫ 4
2
1
2v
du dv = ln 2.
614 x = 13√
u2v
, y = 13√
uv2
;
∫ 2
1
∫ 4
1
1
3u2v2
dv du =
1
8
.
615 u =
2x
x2 + y2
, v =
2y
x2 + y2
, luego x =
2u
u2 + v2
, y =
2v
u2 + v2
;
∫ 3
1
∫ 4
1
1
4
dv du =
3
2
.
616 Hacemos el cambio u = x− y, v = x+ y, luego∫ 1
0
∫ v
−v
e
u
v
1
2
du dv =
1
4
(
e− 1
e
)
.
617 (Esféricas)∫ 2π
0
∫ π
0
∫ 1
0
ρ2 senφ√
1 + ρ2
dρ dφ dθ = 2π
(√
2− ln(1 +
√
2)
)
.
619
∫ 2π
0
∫ 3
0
∫ √25−r2
1+r
r dz dr dθ =
41π
3
.
SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 4 267
620
∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ √1+r2
√
2r
r dz dr dθ =
2π
3
(
√
2− 1).
623 Cardioide de revolución alrededor del eje Z,∫ 2π
0
∫ π
0
∫ 1+cosφ
0
ρ2 senφdρ dφ dθ =
8π
3
,
(véase la Figura 74c en la pág. 240).
624 (Polares)
∫ 2π
0
∫ 1
0
r sen(r2) dr dθ = π(1− cos(1)).
627 (Ciĺındricas)
∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 3
2
zer
2
r dz dr dθ =
5π
2
(e4 − 1).
629
∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 4−r2
0
r(zr cos θ + r sen θ) dz dr dθ = 0.
630 ∫ π
0
∫ 1
0
∫ π
0
ρ3(cos θ sen2 φ+ sen θ sen2 φ+ cosφ senφ) dφ dρ dθ =
π
4
.
633 (Ciĺındricas)
∫ π
2
0
∫ α
0
∫ α
√
α2−r2
r dz dr dθ =
π
12
α3.
635 (Ciĺındricas)
∫ 2π
0
∫ 1
3
0
∫ 1−2r
r
r dz dr dθ =
π
27
.
636 (Ciĺındricas cambiadas x = x, y = r sen θ, z = r cos θ)∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ √10−2r2
−
√
10−2r2
r dx dr dθ =
2π
3
(10
√
10− 16
√
2).
637 (Ciĺındricas)
∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ √4−r2
−
√
4−r2
r dz dr dθ = 2π
(
16
3
− 2
√
3
)
.
639 (Ciĺındricas cambiadas x = x, y = r sen θ, z = r cos θ)∫ 2π
0
∫ √ 2
3
0
∫ √1−r2
r√
2
r dx dr dθ =
2π
3
(
1− 1
3
√
3
)
.
641 (Esféricas)
∫ 2π
0
∫ π
4
0
∫ √2
0
cosφ sen3 φdρ dφ dθ =
√
2π
8
.
643 (Ciĺındricas dilatadas: x = 2r cos θ, y = 3r sen θ, z = z)
	Soluciones
	Soluciones del Capítulo 5