Copia de 8,2 TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 2021-II - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

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2021-2
TRANSFORMACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
8,2
En este capítulo demostraremos y aplicaremos las identidades denominadas
de transformación para hacer simplificaciones que serán de gran utilidad en la
reducción de expresiones trigonométricas, en el estudio de las funciones
trigonométricas así como en la resolución de ecuaciones e inecuaciones
trigonométricas. A nivel universitario, se aplicará en límites y derivadas
trigonométricas como también en el cálculo integral. En las matemáticas
superiores, se aplicará en las transformadas de Fourier.
IDENTIDADES DE TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
Las identidades de transformaciones se clasifican en:
a) De suma y diferencia de senos o cosenos en producto.
b) De producto de senos y/o cosenos en suma o diferencia de senos o
cosenos.
නcos 5x cos 3x dx =
නcos 5x cos 3x dx =
1
2
න2cos 5x cos 3x dx =
1
2
න cos 8x + cos 2x dx
1
2
sen(8x)
8
+
sen(2x)
2
+ c , c ∈ ℝ
IDENTIDADES DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA O 
DIFERENCIA DE SENOS O COSENOS A PRODUCTO
sen α + sen β = 2sen
α + β
2
cos
α − β
2
sen α − sen β = 2cos
α + β
2
sen
α − β
2
sen x + y = sen x cos y + cos(x)sen y
sen x − y = sen x cos y − cos(x)sen y
Dado que 
sen x + y + sen x − y = 2sen x cos y
sen x + y − sen x − y = 2cos x sen y
Hacemos (1)+(2) y (1)−(2) respectivamente: 
… (1)
… (2)
sen α + sen β = 2sen
α + β
2
cos
α − β
2
Sea 
de donde: x =
α + β
2
y =
α − β
2,
sen α − sen β = 2cos
α + β
2
sen
α − β
2
En (3) y (4): 
… (3)
… (4)
x + y = α
x − y = β
Transformación de suma o diferencia de senos a producto
Demostración 
APLICACIÓN 01:
Simplifique:
sen 2x +
π
6 + cos
π
3
sen x +
π
6
A) 2senx B) senx
C) 2cosx D) cosx
E) cos2x
E =
sen 2x +
π
6 + cos
π
3
sen x +
π
6
Sea
E =
sen 2x +
π
6 + sen
π
6
sen x +
π
6
E =
2sen x +
π
6 cos(x)
sen x +
π
6
E = 2cos(x)
sen α + sen β = 2sen
α + β
2
cos
α − β
2
RESOLUCIÓN
CLAVE: C
APLICACIÓN 02:
SeaCalcule el valor de x ∈ 0°; 360°
que minimiza la expresión:
cos 60° − x − sen 40° − x
A) 85° B)95°
C) 175° D)185°
E)275°
E = cos 60° − x − sen 40° − x
E = sen 30° + x − sen 40° − x
E = 2 cos 35° sen(−5° + x)
mín mín = −1
⟹ sen −5° + x = −1
−5° + x = 270°
x = 275°
sen α − sen β = 2cos
α + β
2
sen
α − β
2
RESOLUCIÓN
CLAVE: E
APLICACIÓN 03:
Sea
Simplifique:
sen x − 120° + sen x + sen x + 120°
A) cos(2x)
B) sen(2x)
C) 1/2
D) 3/2
E) 0
E = sen x − 120° + sen x + sen x + 120°
E = sen x + 120° + sen x − 120° + sen x
2sen x cos(120°)
E = 2sen x −
1
2
+ sen x
E = 0 sen x − 120° + sen x + sen x + 120° = 0
Tener en cuenta
RESOLUCIÓN
CLAVE: E
APLICACIÓN 04:
Sea: E = 6 − 5 + 2 + 1
Exprese 6 − 5 + 2 + 1
como un producto de razones
trigonométricas.
A) 8 sen 28°30′ cos(43°30′)
B) 8sen 28°30′ sen(43°30′)
C) 8sen 64°30′ sen(28°30′)
D) 8cos 64°30′ sen(61°30′)
E) 8sen 25°30′ sen(61°30′)
E = 6 + 2 − 5 − 1
E = 4sen(75°) − 4sen(18°)
E = 4 sen(75°) − sen(18°)
2 cos 46,5° sen(28,5°)
E = 8 cos 46°30′ sen(28°30′)
E = 8 sen 43°30′ sen(28°30′)
RESOLUCIÓN
CLAVE: B
cos α + cos β = 2cos
α + β
2
cos
α − β
2
cos α − cos β = −2sen
α + β
2
sen
α − β
2
cos x + y = cos x cos y − sen(x)sen y
cos x − y = cos x cos y + sen(x)sen y
Dado que 
cos x + y + cos x − y = 2cos x cos y
cos x + y − cos x − y = −2sen x sen y
Hacemos (1)+(2) y (1)−(2) respectivamente: 
… (1)
… (2)
cos α + cos β = 2cos
α + β
2
cos
α − β
2
Sea 
de donde: x =
α + β
2
y =
α − β
2,
cos α − cos β = −2sen
α + β
2
sen
α − β
2
En (3) y (4): 
… (3)
… (4)
x + y = α
x − y = β
Transformación de suma o diferencia de cosenos a producto
Demostración 
APLICACIÓN 05:
Sea E = cos x − 120° + cos x + cos x + 120°
E = cos x + 120° + cos x − 120° + cos x
2cos x cos(120°)
E = 2cos x −
1
2
+ cos x
E = 0
cos x − 120° + cos x + cos x + 120° = 0
Tener en cuenta
Simplifique la expresión:
cos x − 120° + cos x + cos x + 120°
cos α + cos β = 2cos
α + β
2
cos
α − β
2
A) sen(2x) B) cos(2x) C) 1/2
D) 3/2 E) 0
RESOLUCIÓN
CLAVE: E
APLICACIÓN 06:
Sea
Simplifique:
sen2 5x − sen2 3x + sen2(2x)
cos2 5x − sen2 3x + cos2(2x)
A) tan 2x tan(5x)
D) tan 2x cot(5x)
B) tan 2x tan(3x)
E) tan 5x cot(3x)
C) tan 3x tan(5x)
E =
sen2 5x − sen2 3x + sen2(2x)
cos2 5x − sen2 3x + cos2(2x)
E =
sen 8x sen(2x) + sen2(2x)
cos 8x cos(2x) + cos2(2x)
cos2 α − sen2 β = cos α + β cos α − β
sen2 α − sen2 β = sen α + β sen(α − β)
E =
sen 2x sen(8x) + sen (2x)
cos 2x cos 8x + cos(2x)
E =
sen 2x . 2sen 5x cos(3x)
cos 2x . 2cos 5x cos(3x)
E = tan 2x tan(5x)
RESOLUCIÓN
CLAVE: A
APLICACIÓN 07:
E = cos A − cos B + cos C + 1Sea
E = cos A − cos B + 1 + cos C
E = −2sen
A + B
2
sen
A − B
2
+ 2cos2
C
2
Dado que
A + B
2
+
C
2
= 90° ⟹ sen
A + B
2
= cos
C
2
E = −2cos
C
2
sen
A − B
2
+ 2cos2
C
2
E = −2cos
C
2
sen
A − B
2
− sen
A + B
2
2cos
A
2
sen
−B
2
E = 4cos
A
2
sen
B
2
cos
C
2
Transforme a producto la
expresión
cos A − cos B + cos C + 1
Si A + B + C = 180°
A) 4cos
A
2
sen
B
2
cos
C
2
B) 4cos
A
2
cos
B
2
sen
C
2
C) 4sen
A
2
cos
B
2
sen
C
2
D) 4sen
A
2
sen
B
2
cos
C
2
E) 4cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
RESOLUCIÓN
CLAVE: A
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
z + x
2
Sea 
cos x + cos y + cos z + cos x + y + z = 4cos
x + y
2
cos
y + z
2
cos
z + x
2
E = sen x + sen y + sen z − sen x + y + z
E = 2sen
x + y
2
cos
x − y
2
+ 2cos
x + y + 2z
2
sen
−x − y
2
E = 2sen
x + y
2
cos
x − y
2
− cos
x + y + 2z
2
Identidades auxiliares1.
1.1
1.2
Demostración 1.1
E = 2sen
x + y
2
cos
x − y
2
− cos
x + y + 2z
2
E = 2sen
x + y
2
−2sen
x + z
2
sen
−y − z
2
E = 4sen
x + y
2
sen
x + z
2
sen
y + z
2
E = 4sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
z + x
2
Luego,
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
z + x
2
APLICACIÓN 08:
Sabiendo que A + B + C = 0, calcule m para que se cumpla
sen(A) + sen(B) + sen(C) = msen
A
2
sen
B
2
sen
C
2
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
z + x
2
sen A + sen B + sen C − sen A + B + C = 4sen
A + B
2
sen
B + C
2
sen
C + A
2
0
0
sen A + sen B + sen C = 4sen
−C
2
sen
−A
2
sen
−B
2
sen A + sen B + sen C = −4sen
A
2
sen
B
2
sen
C
2
m = −4
A) 4
B) 2
C) 1
D) − 2
E) − 4
CLAVE: E
RESOLUCIÓN
sen A + sen B + sen C = 4cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
Si: A + B + C = 180° , entonces
sen 3A + sen 3B + sen 3C = −4cos
3A
2
cos
3B
2
cos
3C
2
cos A + cos B + cos C − 1 = 4sen
A
2
sen
B
2
sen
C
2
cos 3A + cos 3B + cos 3C − 1 = −4sen
3A
2
sen
3B
2
sen
3C
2
Identidades condicionales2.
2.1
2.2
2.3
2.4
⟹ sen A + sen B + sen C = 4cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
Aplicamos
sen A + sen B + sen C − sen A + B + C = 4sen
A + B
2
sen
B + C
2
sen
C + A
2
Dado que
A + B
2
+
C
2
= 90° ⟹ sen
A + B
2
= cos
C
2
0
⟹ sen A + sen B + sen C = 4cos
C
2
cos
A
2
cos
B
2
Demostración 2.1
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
z + x
2
180°
Aplicamos
Dado que
A + B
2
+
C
2
= 90° ⟹ cos
A + B
2
= sen
C
2
cos A + cos B + cos C + cos A + B + C = 4cos
A + B
2
cos
B + C
2
cos
C + A
2
cos A + cos B + cos C − 1 = 4sen
C
2
sen
A
2
sen
B
2
cos A + cos B + cos C − 1 = 4sen
A
2
sen
B
2
sen
C
2
Demostración 2.3
cos x + cos y + cos z + cos x + y + z = 4cos
x + y
2
cos
y + z
2
cos
z + x
2
−1
180°
sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4sen A sen B sen C
Si A + B + C = 180° , entonces
cos 2A + cos 2B + cos 2C + 1 = −4cos A cos B cos C
sen 4A + sen 4B + sen 4C = −4sen 2A sen 2B sen 2C
cos 4A + cos 4B + cos 4C + 1 = 4cos 2A cos 2B cos 2C
Identidades condicionales3.
3.1
3.2
3.3
3.4
Aplicamos
sen 2A + sen 2B + sen 2C − sen 2A + 2B + 2C = 4sen A + B sen B + C sen C + A
Dado que (A + B) + (C) = 180° ⟹ sen A + B = sen C
0
⟹ sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4sen C sen A sen B
⟹ sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4sen A sen B sen C
Demostración 3.1
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
2
sen
y + z2
sen
z + x
2
360°
Aplicamos
1
cos 2A + cos 2B + cos 2C + cos 2A + 2B + 2C = 4cos A + B cos B + C cos C + A
Dado que (A + B) + (C) = 180° ⟹ cos A + B = −cos C
cos 2A + cos 2B + cos 2C + 1 = 4 −cos C −cos A −cos B
cos 2A + cos 2B + cos 2C + 1 = −4cos A cos B cos C
Demostración 3.3
cos x + cos y + cos z + cos x + y + z = 4cos
x + y
2
cos
y + z
2
cos
z + x
2
360°
IDENTIDADES DE TRANSFORMACIÓN DE UN PRODUCTO DE 
SENOS Y/O COSENOS EN SUMA O DIFERENCIA
sen x cos y + cos x sen y = sen x + y
sen x cos y − cos x sen y = sen x − y
2sen x cos y = sen x + y + sen x − y
2cos x sen y = sen x + y − sen x − y
2cos x cos y = cos x + y + cos x − y
2sen x sen y = cos x − y − cos x + y
cos x cos y − sen x sen y = cos x + y
cos x cos y + sen x sen y = cos x − y
… (1)
… (2)
… (3)
… (4)
(1)+(2) y (1)−(2) respectivamente:
2sen x cos y = sen x + y + sen x − y
2cos x sen y = sen x + y − sen x − y
(3)+(4) y (4)−(3) respectivamente:
2cos x cos y = cos x + y + cos x − y
2sen x sen y = cos x − y − cos x + y
Se sabe que:
Transformación de un producto de senos y/o cosenos a suma o 
diferencia
APLICACIÓN 09:
RESOLUCIÓN 
A)4 B)6 C) 8 D)10 E)12
Calcule: 32sen(36°)sen(72°). sen(108°). sen(144°)
E = 32sen(36°)sen(72°). sen(72°). sen(36°)
E = 8 2sen 36° cos(18°) 2
E = 8 sen 54° + sen(18°) 2
E = 8
5 + 1
4
+
5 − 1
4
2
⟹ E = 8
5
2
2
⟹ E = 10
2sen x cos y = sen x + y + sen x − y
CLAVE: D
APLICACIÓN 10:
RESOLUCIÓN 
A) − 2 B) −
2
2
C)
2
2
D)
1
2
E)
3
2
Calcule: sen(85°) − sen(40°)sen(25°)sec(20°)
K = sen(85°) − 2sen 20° cos(20°)sen 25° sec(20°)
2sen x sen y = cos x − y − cos x + y
⟹ K =
2
2
K = sen(85°) − sen(40°)sen(25°)sec(20°)
K = sen(85°) − 2sen 25° sen 20°
1
K = sen(85°) − cos 5° − cos(45°)
CLAVE: C
Identidades auxiliares1.
sen(3x)
sen(x)
= 2cos 2x + 1
sen(5x)
sen(x)
= 2 cos 4x + 2 cos 2x + 1
sen(7x)
sen(x)
= 2 cos 6x + 2 cos 4x + 2 cos 2x + 1
sen(9x)
sen(x)
= 2cos 8x + 2 cos 6x + 2 cos 4x + 2 cos 2x + 1
Identidades auxiliares2.
cos(3x)
cos(x)
= 2 cos 2x − 1
cos(5x)
cos(x)
= 2 cos 4x − 2 cos 2x + 1
cos(7x)
cos(x)
= 2 cos 6x − 2 cos 4x + 2 cos 2x − 1
cos(9x)
cos(x)
= 2cos 8x − 2 cos 6x + 2 cos 4x − 2 cos 2x + 1
Identidades de transformación
2sen x cos y = sen x + y + sen x − y
2cos x sen y = sen x + y − sen x − y
sen α + sen β = 2sen
α + β
2
cos
α − β
2
sen α − sen β = 2cos
α + β
2
sen
α − β
2
cos α + cos β = 2cos
α + β
2
cos
α − β
2
cos α − cos β = −2sen
α + β
2
sen
α − β
2
2cos x cos y = cos x + y + cos x − y
2sen x sen y = cos x − y − cos x + y
Siempre voy 
a recordar
PROBLEMAS
PROBLEMA 01:
A) 30° B)60° C)120° D)135° E)150°
Si 0 < θ < 180° y sen(θ)sen(40°) = cos 40° − 2 cos 20° cos(θ),
calcule el valor de θ.
sen(θ)sen(40°) = cos 40° − 2 cos 20° cos(θ)
tan θ sen 40° = − 3sen 40° … (1)
⇒ tan θ = − 3
De la condición:
tan θ sen 40° = cos 40° − cos 20° − cos 20°
−2sen 30° sen 10°
tan θ sen 40° = − cos(80°) + cos 20°
tan θ sen 40° = −2cos(50°) cos 30°
⇒ θ = 120°
CLAVE: C
RESOLUCIÓN 
PROBLEMA 02:
cos3 30° − θ + sen3 60° − θ = kcos(nθ)
4cos3 30° − θ + 4sen3 60° − θ = 4kcos(nθ)
3cos 30° − θ + cos 90° − 3θ + 3sen 60° − θ − sen 180° − 3θ = 4kcos(nθ)
sen 3θ sen 3θ
3 sen 60° + θ + sen 60° − θ = 4kcos(nθ)
2sen 60° cos θ
3 3cos θ = 4kcos(nθ) ⟹ k =
3 3
4
,
k n
A)
3 3
4
B)
3
2
D)
4 3
3
E)
3
4
Calcule: , para que la siguiente igualdad sea una identidad
C)
3 3
2
cos3 30° − θ + sen3 60° − θ = kcos(nθ)
n = 1 ⟹ k n =
3 3
4
RESOLUCIÓN 
CLAVE: A
PROBLEMA 03:
A)
4
5
B)
3
5
C)
1
3
D)
1
2
E)
5
5
Si se cumple que sen(x) − sen(y) =
6
5
; cos(x) − cos(y) =
2
5
, calcule: cos x + y
De las condiciones:
Dividimos (2) ÷ 1 :
⇒
−2sen
x + y
2
sen
x − y
2
2cos
x + y
2 sen
x − y
2
=
2
5
6
5
cos x + y =
1 − tan2
x + y
2
1 + tan2
x + y
2
⟹ cos(x + y) =
1 − −
1
3
2
1 + −
1
3
2
⇒ tan
x + y
2
= −
1
3
⟹ cos(x + y) =
4
5
Luego,
⇒ 2cos
x + y
2
sen
x − y
2
=
6
5
… (1)
⇒ −2sen
x + y
2
sen
x − y
2
=
2
5
…(2)
RESOLUCIÓN 
CLAVE: A
PROBLEMA 04:
Dato: cos(3A) + cos(3B) = cos(3C) − 1
2 cos
3A + 3B
2
. cos
3A − 3B
2
= − 1 − cos 3C
2sen2
3C
2
cos2
3A + 3B
2
+ cos
3A + 3B
2
. cos
3A − 3B
2
= 0
cos
3A + 3B
2
cos
3A + 3B
2
+ cos
3A − 3B
2
= 0
−sen
3C
2
2cos
3A
2
. cos
3B
2
sen
3C
2
= −cos
3A + 3B
2
,cos(3A) + cos(3B) = cos(3C) − 1
A)110° B)112° C) 120° D)150° E)135°
En un triángulo obtusángulo se verifica que
Calcule la medida del mayor ángulo interno del triángulo.
Dado que
3A + 3B
2
+
3C
2
= 270°
Reemplazando se obtiene:
⟹ sen
3C
2
= 0 ⟹ C = 120°
RESOLUCIÓN 
CLAVE: C
PROBLEMA 05:
A)30° B)45° C) 60° D)90° E)120°
En un triángulo ABC, se
cumple
sen(A) + sen(B) + sen(C)
cos(A) + cos(B) + cos(C)
= 3.
sen(A) + sen(B) + sen(C) = 3 cos(A) + cos(B) + cos(C)
sen A − 3 cos A + sen B − 3 cos B + sen C − 3cos(C) = 0
2sen(A − 60°) 2sen(B − 60°) 2sen(C − 60°)
De la condición se obtiene:
sen A − 60° + sen B − 60° + sen C − 60° = 0
A − 60° + B − 60° + C − 60° = 0°Como:
−4sen
A − 60°
2
sen
B − 60°
2
sen
C − 60°
2
= 0 , ver aplicación (8)
A = 60°
Calcule la medida de uno de los ángulos del triángulo.
Luego, sen
A − 60°
2
= 0
RESOLUCIÓN 
CLAVE: C
PROBLEMA 06:
A) 3sen(A)sen(B)sen(C) B) 3cos(A)cos(B)cos(C)
D) 12sen A sen B sen(C) E) 12cos(A)cos(B)cos(C)
Si: A + B + C = 180°, halle el equivalente de
sen3(2A) + sen3(2B) + sen3(2C) + sen(3A)sen(3B)sen(3C)
C) 9sen(A)sen(B)sen(C)
(dado que A + B + C = 180°)
4E = 4sen3 2A + 4sen3 2B + 4sen3 2C + 4sen 3A sen 3B sen 3C
Aplicando: 4sen3 x = 3sen x − sen(3x)
4E = 3 sen 2A + sen 2B + sen 2C − sen 6A + sen 6B + sen 6C + 4sen 3A sen 3B sen 3C
4sen 3A sen 3B sen 3C4sen A sen B sen C
E = 3sen A sen B sen C
E = sen3(2A) + sen3(2B) + sen3(2C) + sen(3A)sen(3B)sen(3C)Sea
RESOLUCIÓN 
CLAVE: A
PROBLEMA 07:
A)a2 + b2 = 2abc B)a2 + c2 = 2abc
D)a2 + b2 + c2 = 2abc E)abc = a + b + c
A partir de las condiciones: sen x + sen y = a, cos(x) + cos(y) = b, sen x + y = c−1
C)c2 + c2 = 2abc
encuentre la relación entre a, b y c.
sen x + sen y = a…(I)
cos x + cos y = b… (II)
sen x + y =
1
c
…(III)
De I : 2sen
x + y
2
. cos
x − y
2
= a…(IV)
De II : 2cos
x + y
2
. cos
x − y
2
= b…(V)
tan
x + y
2
=
a
b
⟹
2
a
b
1 +
a2
b2
=
1
c
Datos: IV ÷ V :
2tan
x + y
2
1 + tan2
x + y
2
=
1
c
De III :
⟹ a2 +b2 = 2abc
RESOLUCIÓN 
CLAVE: A
PROBLEMA 08:
A)x z − x = y y + x B)x z + x = y y + x
D)y z − x = z y − x E)y x + y = z z + x
De las siguientes condiciones: sen 5θ = z, sen 3θ = y, sen(θ) = x
C)x z + x = y y − x
elimine la variable angular θ.
sen 5θ = z… (1)
sen 3θ = y…(2)
sen θ = x…(3)
sen 5θ + sen θ = x + z
2ycos 2θ = x + z
2sen 3θ . cos 2θ
Datos:
1 + (3):
2 ÷ (3): sen(3θ)
sen(θ)
=
y
x
… 4
2cos 2θ + 1 =
y
x
2cos 2θ =
y − x
x
… 5
5 en (4):
y
y − x
x
= x + z
y(y − x) = x(x + z)
RESOLUCIÓN 
CLAVE: C
PROBLEMA 09:
calcule:
A)
1
2
B) − 1 C)2 D)1 E) −
1
2
Sea: sen(3θ). cos(2θ) = sen(θ),
sen(8θ) + sen(2θ)
sen(4θ) − sen(2θ)
T =
sen(8θ) + sen(2θ)
sen(4θ) − sen(2θ)
T =
2sen 5θ cos(3θ)
2cos(3θ)sen θ sen 5θ + sen θ = 2 sen(θ)
En 1 :
Transformamos en productos:
⇒ T =
sen 5θ
sen θ
. . . (1)
sen(3θ). cos(2θ) = sen(θ)Del dato:
2sen(3θ). cos(2θ) = 2sen(θ)
Transformamos en suma:
⇒ sen 5θ = sen θ
T = 1
RESOLUCIÓN 
CLAVE: D
PROBLEMA 10:
A)0 B)1 C)2 D) − 1 E) − 2
Calcule: sec
14π
9
− 4cos
π
9
Sea D = sec
14π
9
− 4cos
π
9
D = sec
4π
9
1 − 2 2cos
4π
9
cos
π
9
D = sec
4π
9
− 4cos
π
9
D = sec
4π
9
1 − 2 cos
5π
9
+ cos
π
3 ⇒ D = 2
D = sec
4π
9
−2cos
5π
9
−cos
4π
9
D = 2sec
4π
9
cos
4π
9
RESOLUCIÓN 
CLAVE: C
PROBLEMA 11:
A) −
1
2
B) − 1 C)0 D)1 E)
1
2
Calcule: 3cot
π
9
− 4cos
π
9
E =
sen 80° + sen 40° − 2sen 40°
sen 20°
E = 3cot 20° − 4cos 20°
E =
3cos 20° − 4sen 20° cos(20°)
sen 20°
E =
2sen(60°)cos 20° − 2sen 40°
sen 20°
E =
sen 80° − sen 40°
sen 20°
E =
2 cos 60° sen(20°)
sen 20°
⟹ E = 1
RESOLUCIÓN 
CLAVE: D
PROBLEMA 12:
A)
θ
2
B) 45° −
θ
2
Un niño está frentea una estatua ubicada sobre un pedestal. El niño mira el extremo superior
tanto del pedestal como de la estatua con ángulos de elevación de medida θ y de medida
desconocida, respectivamente. Calcule la medida del ángulo formado por las visuales para que el
área de la región triangular generado por éstas y la estatua sea máxima. Se sabe, además, que la
longitud de la visual mayor es d.
C) 45° +
θ
2
E) 60° −
θ
2
D) 60° +
θ
2
d 
θ
x 
dcos(x + θ)
Sx =
1
2
d. dcos x + θ sec θ . sen(x)
Sx
Sx =
d2
4
sec θ . 2cos x + θ . sen(x)
Sx =
d2
4
sec θ . sen 2x + θ − sen(θ)
máx máx
⟹ sen 2x + θ = 1
= 𝟏
⟹ 2x + θ = 90° ⟹ x = 45° −
θ
2
RESOLUCIÓN 
CLAVE: B
PROBLEMA 13:
Sea E = sec x − 120° + sec x + sec(x + 120°)
E =
1
cos x − 120°
+
1
cos x
+
1
cos x + 120°
E =
2cos x + 120° cos x + 2cos x + 120° cos x − 120° + 2cos x cos x − 120°
2cos x − 120° cos x cos x + 120°
E =
cos 2x + 120° + cos 120° + cos 2x + cos 240° + cos 2x − 120° + cos 120°
2cos 120° − x cos x cos x + 120°
E =
cos 2x − 120° + cos 2x + cos 2x + 120° + 3cos 120°
2 −cos(60° + x) cos x −cos(60° − x)
Simplifique: sec x − 120° + sec x + sec x + 120°
A) sec(3x) B) 3sec(3x) C) − 3sec(3x) D) 4sec(3x) E) − 4sec(3x)
RESOLUCIÓN 
E =
cos 2x − 120° + cos 2x + cos 2x + 120° + 3cos 120°
2cos(60° + x) cos x cos(60° − x)
E =
−3
4cos(60° + x) cos x cos(60° − x)
0
E =
−3
cos 3x
⟹ E = −3sec(3x)
Nota:
sec x − 120° + sec x + sec x + 120° = −3sec(3x)
csc x − 120° + csc x + csc x + 120° = 3csc(3x)
tan x − 120° + tan x + tan x + 120° = 3tan(3x)
cot x − 120° + cot x + cot(x + 120°) = 3cot(3x)
CLAVE: C
PROBLEMA 14:
Sea P = tan
θ + α
2
tan
θ − α
2
⇒ P =
𝟐sen
θ + α
2 sen
θ − α
2
𝟐cos
θ + α
2 cos
θ − α
2
⇒ P =
cos α − cos θ
cos θ + cos α
⟹ P =
cos α − cos α cos β
cos α cos β + cos α
⇒ P =
cos α 1 − cos β
cos α 1 + cos β
⇒ P = tan2
β
2
Como cos(θ) = cos(α). cos(β)
⇒ P =
2sen2
β
2
2cos2
β
2
Sea
A) tan2(β) B) cot2(β) D) cot2
β
2
E) sec2(β)
cos(θ) = cos(α). cos(β) , obtenga el equivalente de tan
θ + α
2
tan
θ − α
2
C) tan2
β
2
RESOLUCIÓN 
CLAVE: C
PROBLEMA 15:
P = 4sen x cos 2x cos 5x csc 4x − 2cos(4x) + 1Sea:
2sen 2x cos(2x)
P =
cos 5x
cos x
− 2cos(4x) + 1
⇒ P = 2 − 2cos(2x)
⇒ P = 4sen2(x)
A) sen(2x) B) cos(2x) D) 2cos(2x)
Simplifique: 4sen x cos 2x cos 5x csc 4x − 2cos(4x) + 1
E) 4sen2(x)C) 4cos2(x)
P =
4sen x cos 2x cos 5x
sen 4x
− 2cos(4x) + 1
P =
2sen x cos 5x
2sen x cos(x)
− 2cos(4x) + 1
P = 2 cos 4x − 2 cos 2x + 1 − 2cos(4x) + 1
RESOLUCIÓN 
CLAVE: E
PROBLEMA 16:
4
sen(4θ)sen(6θ)
=
5
sen θ sen(3θ)
4 sen θ sen 3θ = 5 sen 4θ . 2sen 3θ cos(3θ) 2cos 6θ + 2cos 4θ + 2cos 2θ + 1 = −
1
5
Si se cumple 4csc(4θ)csc(6θ) = 5csc(θ)csc(3θ) , calcule: cos 2θ + cos 4θ + cos 6θ
A) −
3
10
B) −
6
5
C) −
8
5
D) −
3
5
E) −
12
5
Del dato se obtiene:
4 sen θ = 5 2 sen 4θ cos(3θ)
4 sen θ = 5 sen 7θ + sen(θ)
− sen θ = 5sen(7θ)
sen(7θ)
sen θ
= −
1
5
cos 6θ + cos 4θ + cos 2θ = −
3
5
RESOLUCIÓN 
CLAVE: D
PROBLEMA 17:
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Sea
tan (x)
tan (θ)
=
1 + cos2(x)
1 + sen2(x)
, calcule: sen 3x + θ csc x − θ .
tan x + tan(θ)
tan x − tan (θ)
=
3
cos2 x − sen2(x) −sen x − θ
sen (x + θ)
cos x cos(θ)
sen (x − θ)
cos x cos(θ)
=
3
cos(2x)
𝟐sen x + θ cos(2x) = 𝟐 3sen x − θ
sen 3x + θ + sen θ − x = 6sen x − θ
sen 3x + θ = 7 sen x − θ
En la condición, aplicamos propiedad
de proporciones:
sen x + θ cos 2x = 3sen (x − θ)
sen 3x + θ csc x − θ = 7
RESOLUCIÓN 
CLAVE: C
PROBLEMA 18:
A) − 1 B) 1 C)tan(z) D) cot(z) E)cos(y)
Sea: cos x − y =
cos x + y − z
cos(z)
, calcule:
cot(z) − cot(y)
cot(x) − cot(z)
Se pide: V =
cot(z) − cot(y)
cot(x) − cot(z)
⇒ V =
sen y − z
sen(z)sen(y)
sen(z − x)
sen(x) sen(z)
⟹ 2cos x − y cos z = 2cos(x + y − z)
⇒ cos x − y + z + cos x − y − z = 2cos x + y − z
⇒ cos x − y + z − cos x + y − z =
⇒ −2sen x sen −y + z = − 2sen x − z sen y⇒ V =
sen x sen(y − z)
sen(y)sen(z − x)
…(I)
cos x − y =
cos x + y − z
cos(z)
Como:
cos x + y − z − cos(x − y − z)
En I :
⇒ sen x sen y − z = sen z − x sen y
V = 1
RESOLUCIÓN 
CLAVE: B
PROBLEMA 19:
A)
1
2
B) −
1
2
C)1 D) − 1 E)0
Calcule: A+B a partir de la siguiente identidad sen(x)cos2(x) = Asen(x) + Bsen(3x)
2E = 2cos2 x sen x
sen 3x − sen(x)
1
4
sen x +
1
4
sen 3x = Asen x + Bsen 3x
⟹ A = B =
1
4
Sea E = sen x cos2 x
2E = 1 + cos(2x) sen x
4E = 2sen x + 2 cos 2x sen(x)
4E = sen x + sen(3x)
E =
1
4
sen x +
1
4
sen(3x)
Luego, 
⟹ A+ B =
1
2
RESOLUCIÓN 
CLAVE: A
PROBLEMA 20:
E = 2.8cos4 x . 2cos2 x
E = 2 3 + 4 cos 2x + cos 4x + 3cos 2x + 4cos2 2x + cos 4x cos(2x)
E = 2 3 + 7 cos 2x + cos(4x) + 2.2cos2 2x + cos 4x cos(2x)
1 + cos 4x
E = 10 + 14 cos 2x + 6cos 4x + 2 cos 4x cos(2x)
cos 6x + cos(2x)
E = 10 + 15 cos 2x + 6cos 4x + cos 6x
⟹ A = 10, B = 15, C = 6, D = 1
⟹ A + B − C − D = 18
A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21
Calcule los valores constantes A, B, C y D para que la igualdad
32cos6 x = A + Bcos 2x + Ccos 4x + Dcos(6x) sea una identidad. Luego, A + B − C − D
es igual a:
E = 2 3 + 4 cos 2x + cos(4x) 1 + cos 2x
Sea E = 32cos6 x = A + Bcos 2x + Ccos 4x + Dcos(6x)RESOLUCIÓN 
CLAVE: D