Problemas de calculo vectorial-91

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SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 5 271
693 z = 6x+ 8y − 3.
695 Véase la Figura 88.
∫ 2π
0
∫ 1
0
√
5| cos θ| dr dθ = 4
√
5.
−1 −0.5 0
0.5 1−2
−1
0
1
2
0
5
Figura 88: Gráfica del Ejercicio 695
696
∫ 2π
0
∫ π
0
senφdφ dθ = 4π.
699 Φ(u, v) = (u, v,−
√
1 + u2 + v2), u ∈ [−1, 1], v ∈ [−3, 3] (véase la Figu-
ra 89).
700 Φ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, r cos θ + 3), r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π].
703 Φ(u, v) = (u, 4u+ v2, v), u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 1].
704 Φ(θ, φ) = ( 1√
3
cos θ senφ, 1√
2
sen θ senφ, cosφ), θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π2 ].
706 Φ(r, θ) = (4(1− r2), 2r sen θ,
√
2r cos θ), r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π].
709 Véase la Figura 90. Φ1(r, θ) = (r cos θ, r sen θ,
√
1− r2), θ ∈ [−π2 , π2 ],
r ∈ [0, cos θ];
Φ2(r, θ) = (r cos θ, r sen θ,−
√
1− r2), θ ∈ [−π2 , π2 ], r ∈ [0, cos θ];
Área = 2
∫ π
2
−π2
∫ cos θ
0
r√
1− r2
dr dθ = 2π.
711 Φ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, 4− r cos θ − 2r sen θ), θ ∈ [0, 2π], r ∈ [0, 2];
n(r, θ) = (r, 2r, r);∫ 2π
0
∫ 2
0
√
6r dr dθ = 4
√
6π.
712 Φ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ,−r2 cos(2θ)), r ∈ [1, 2], θ ∈ [0, 2π];
n(r, θ) = (2r2 cos θ,−2r2 sen θ, r);
272 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 5272 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 5272 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 5
−1 −0.5 0
0.5 1
−2
0
2
−3
−2
−1
Figura 89: Gráfica del Ejercicio 699
−1 −0.5 0
0.5 1−1
0
1
0
0.5
1
Figura 90: Gráfica del Ejercicio 709
∫ 2π
0
∫ 2
1
r
√
1 + 4r2 dr dθ =
π
6
(17
√
17− 5
√
5).
714 Φ(θ, z) = (cos θ, sen θ, z), θ ∈ [0, π], z ∈ [sen θ, 2 sen θ];
n(θ, z) = (cos θ, sen θ, 0);∫ π
0
∫ 2 sen θ
sen θ
dz dθ = 2.
715 Φ(θ, z) = (2 cos2 θ, 2 cos θ sen θ, z), θ ∈ [−π2 , π2 ], z ∈ [0, 2 cos θ];
n(θ, z) = (2 cos(2θ), 2 sen(2θ), 0);∫ π
2
−π2
∫ 2
0
2 dz dθ = 4π.
SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 5 273
717 Φ(θ, φ) = (
√
3 cos θ senφ,
√
3 sen θ senφ,
√
3
2 cosφ), θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π];
n(θ, φ) = (− 3√
2
cos θ sen2 φ,− 3√
2
sen θ sen2 φ,−3 senφ cosφ);∫ 2π
0
∫ π
0
3√
2
senφ
√
1 + cos2 φdφ dθ = 6π + 3
√
2π log(
√
2 + 1).
718 Φ(θ, z) = (
√
2z − z2 cos θ,
√
2z − z2 sen θ, z), θ ∈ [0, 2π], z ∈ [1, 2];
n(θ, z) = (
√
2z − z2 cos θ,
√
2z − z2 sen θ, z − 1);∫ 2π
0
∫ 2
1
dz dθ = 2π.
	Soluciones
	Soluciones del Capítulo 6