Entretenimiento 07 G08

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ENTRETENIMIENTO 04 - 26/10/2022 
 
 
 
APLICACIONES 
 
 
1
( ) lim ( )
nb
i
a n
i
f x dx f x x
→
=
 
=  
 
 2° TFC ( ) ( ) ( ) ( )
b b
aa
f x dx F x F b F a= = − 
 
Ejemplito: Calcule 
3
3
0
(2 1)x dx− 
Solución: 
3
4 4
3
3
0
0
(2 1) 5 1 625 1 624
(2 1) 78
8 8 8 8 8 8
x
x dx
−
− = = − = − = = 
 
1 TFC: ( ) ( ) '( ) ( )
x
a
F x f t dt F x f x=  = 
 
Observación: 
 
*) 
( )
( ) ( ) '( ) ( ( )) '( )
g x
a
F x f t dt F x f g x g x=  = 
 
Ejemplito: Determine ' ( )F x si 
2
0
1
( )
(2 )
x t
F x dt
sen t
+
=  
Solución: 
2 21 1
( ) ( )
(2 ) (2 )
t x
f t f x
sen t sen x
+ +
=  = 
Por teorema: 
21
'( )
(2 )
x
F x
sen x
+
= 
 
 
Ejemplito: Determine ' ( )F x si 
2
20
( 2 )
( )
2 3
x x x t
F x dt
t
+
=
+
 
Solución: 2
20
( ) ( 2 )
2 3
x t
F x x x dt
t
= +
+
 
2
2 20 0
' ( ) (2 2) ( 2 )
2 3 2 3
x xt d t
F x x dt x x dt
dxt t
 
= + + +  
+ + 
  
2
2 20
' ( ) (2 2) ( 2 )
2 3 2 3
x t x
F x x dt x x
t x
= + + +
+ +
 
Por tanto: 
3 2
2 20
(2 2) 2
'( )
2 3 2 3
x x t x x
F x dt
t x
+ +
= +
+ +
 
 
 
Ejemplito: Determine ' ( )F x si 
2(2 3)
20
( )
2 3
sen x t
F x dt
t
+
=
+
 
Solución: 
( )
( ) ( ) '( ) ( ( )) '( )
g x
a
F x f t dt F x f g x g x=  = 
2( ) (2 3) '( ) 2 (4 6)g x sen x g x sen x= +  = + 
2
2 2 4
( ) (2 3)
( ) ( ( ))
2 3 2 3( ( )) 2 3 (2 3)
t g x sen x
f t f g x
t g x sen x
+
=  = =
+ + + +
 
Reemplazando por teorema: 
2
4
(2 3)
'( ) 2 (4 6)
2 3 (2 3)
sen x
F x sen x
sen x
+
= +
+ +
 
Por tanto: 
2
4
2 (4 6) (2 3)
'( )
2 3 (2 3)
sen x sen x
F x
sen x
+ +
=
+ +
 
 
Ejemplito: Determine ' ( )F x si 
2 4 3 2
30
(2 ) ln ( 1)
( )
2
x xe sen x t
F x dt
t
+ +
=
+
 
Solución: 
 
 
 
Ejemplo 05: Calcule la siguiente integral definida 
2
1
20
( 1)
( 1)
xx e dx
x
+
+
 
Solución: 
*) Calculando como integral indefinida: 
2
2
( 1)
( 1)
xx e dx
I
x
+
=
+
 Hacer: 
2
2
2
( 1)
( 1)
1
( 1)
1
x
x
dx
u x e dv
x
du x e v
x

= + = +

 = + = −
 +
 
2 2
2
( 1) ( 1)
( 1)
( 1) 1
x x
xx e dx x e x e dx
x x
+ +
= − + +
+ + 
 Hacer: 
( 1) x
x
u x dv e dx
du dx v e
 = + =

= =
 
2 2 2
2
( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
( 1) 1 1
x x x
x x x xx e dx x e x ex e e dx x e e
x x x
+ + +
= − + + − = − + + −
+ + + 
 
Por Teorema: 
( )
1
2 2
1
20
0
( 1) ( 1)
0 1 1
( 1) 1
x x
xx e dx x exe e e
x x
 + +
= − = − − − = 
+ + 
 
Por tanto: 
2
1
20
( 1)
1
( 1)
xx e dx
x
+
=
+
 
Ejemplo 06: Calcule la siguiente integral definida 
22
0
cos ( )xe x dx

 
Solución: 
*) Calculando como integral indefinida: 
2cos ( )xI e x dx=  Hacer: 
2cos ( )
(2 )
2 4
x
x
u e dv x dx
x sen x
du e dx v
 = =


= = +

 
1 2
(2 (2 ) (2 1 1
(2 )
2 4 2 4 2 4 2 4
x x
x x x x
I I
x sen x xe e sen x x sen x
I e dx e xe dx e sen x dx
    
= + − + = + − +    
    
   
Calculamos 1 :I 
1
x x xI xe dx xe e= = − Hacer: 1
0
x
x
x
x e
e
e





 
Calculamos 
2 :I 
2
cos (2 ) 1
(2 ) cos (2 )
2 2
x
x xe xI e sen x dx e x dx= = − +  Hacer: 
(2 )
(cos (2 )) / 2
x
x
u e dv sen x dx
du e dx v x
 = =

= = −
 
2
2
cos (2 ) 1 (2 ) 1
(2 )
2 2 2 2
x x
x
I
e x e sen x
I e sen x dx
 
 
= − + −
 
  
 Hacer: 
cos (2 )
( (2 )) / 2
x
x
u e dv x dx
du e dx v sen x
 = =

= =
 
2 2
2
5cos (2 ) (2 ) 2 cos (2 ) (2 )
2 4 4 4 2(2) 4
x x x xI Ie x e sen x e x e sen x
I = − + −  = − + 
 Simplificando 
2
(2 ) 2 cos (2 )
5 5
x xe sen x e x
I = − 
(2 ) 3 (2 ) cos (2 ) 3 (2 ) cos (2 )
2 4 2 2 10 10 10 2 10
x x x x x x x x xxe e sen x xe e e sen x e x e sen x e e x
I = + − + + − = + − 
Ahora como integral definida: 
 
/2
2 2 2
22
0
0
3 (2 ) cos (2 ) 1 1 3 2
cos ( )
2 10 10 2 10 2 10 5 5
x x x
x e e sen x e x e e ee x dx
  
    
= + − = + − − = −  
  
 
 
Por tanto: 
2
22
0
3 2
cos ( )
5 5
x ee x dx


= − 
 
Ejemplo 07: Calcule la siguiente integral definida 
5
3
1
4x x dx
−
− 
Solución: 
3 3
3
3 3
4 ; 4 0
4
4 ; 4 0
x x x x
x x
x x x x
 − − 
− = 
− − 
 
   
( 2) ( 2) 0
2;0 2;
x x x
x
+ − 
 − +
 
 
   
 
3
3
3
4 ; 2;0 2;
4 1;5
4 ; ; 2 0;2
x x x
x x
x x x
 −  − +
− = −
−  − −
 
 
   3
3
3
4 ; 1;0 2;5
4
4 ; 0;2
x x x
x x
x x x
 −  −
− = 
− 
 
 
En la integral: 
 
5 0 2 5
3 3 3 3
1 1 0 2
4 ( 4 ) (4 ) ( 4 )x x dx x x dx x x x x dx
− −
− = − + − + −    
 
0 2 5
4 4 4
2 2 2
1 0 2
1 625
2 2 2 0 ( 2) 8 4 (0) 50 (4 8)
4 4 4 4 4
x x x
I x x x
−
         
= − + − + − = − − + − − + − − −         
        
 
7 625 632 464
4 46 42 116
4 4 4 4
I = + + − = − = = 
 
Por tanto: 
5
3
1
4 116x x dx
−
− = 
 
Ejemplo 08: Calcule la siguiente integral definida 
11/2
3
2 8x dx− 
Solución: 
*) Hacer un cambio de variable: 2 8 2u x du dx= −  = 
11/2 3
3 2
1
2 8
2
I x dx u du
−
= − =  
Ahora:  
 ; 0;3; 0
2;3
; 0 ; 2;0
u uu u
u u
u u u u
  
= −  = 
−  − −  
 
3 0 3
2 2 0
2I u du u du u du
− −
= = − +   Hacemos: z u dz du= −  = − 
 
0 3 2 3
2 0 0 0
2I z dz u du z dz u du= − + = +    
     
1 2 1 2 3 2 2 3
1 1 20 1 0 1 2
2 0 0 2 2 1 1 2 4 2I dz dz du du du z u u I= + + + + = + + = + + =  =     
Por tanto: 
11/2
3
2 8 2x dx− = 
 
MISCELÁNEA 
 
I) Determine ' ( )F x para: 
 
01) 
3
2
3 3 2 4( ) 1 ( )
x
x
x
F x y sen e dy= + 
 
02) 
2
2
tan ( )
1
( )
( )
x
x
sen t
F x dt
t+
=  
 
03) Calcule '
2
F
 
 
 
 si 
( )
( )
g x
x
t
F x x arcsen dt
x
 
=  
 
 y  0( ) ( ) cos( )
x
g x sen t t t dt= + 
 
04) Si " "f es continua y  
3
4
0
( ) 17
x
x f t dt x= + . Calcule (3)f 
 
05) Sea 
0 0
( ) ( )
x t
F x f w dw dt =
   
 donde f está definida por ( ) cos ( )wf w e w= Calcule 
 
2
2 0
( )
x
d
F x
dx =
 
 
II) Hallar las siguientes Integrales Definidas: 
 
01) 
38
0
(1 (4 )) cos(4 )sen x x dx

+ 02) 
1
4 3
1
(5 4 )x x dx
−
− 03) 
3 2
2
21
2 4
( 1)
x x x
dx
x
+ + +
+
 
 
04) 
1
3 2 30 ( 1)
x dx
x +
 05) 
0
3 2 5
3
2 (9 )x x dx
−
− 06) 
3
2
1
8
2
x
dx
x
+
+
 
 
07) 
3
20 (1 )
xxe dx
x+
 08) 
5
2
2
3x x dx
−
− 09) 
4
2
4
4x x dx
−
− 
 
10) 
4
2
1
6
x
dx
x−
+
+
 11) 
5
3
1
4x x dx
−
− 12) 
6
3
1
16x x dx
−
− 
 
13) 
2
3
23
4
25
x
dx
x−
−
−
 14) 
1
3
0 2
x
sen dx
 
 
 
 15) 
/ 2
2
0
( cos )sen x x dx

−
 
16) 
/ 4
30 cos
x sen x
dx
x
  
 
 
 17) 
3
3
0
( )sig x x dx− 18) 
2
0
2 4x dx− 
 
19) 
2
0
4 2x dx− 20) 
2
6
4x dx
−
−
+ 21) 
3
1
3 6x dx− 
 
22) 
1
3
0 2
x
sen dx
 
 
 
 23) 
/ 2
3 3
0
cossen x xdx

 24) 
/2
2
0
( cos )sen x x dx

− 
 
25) 
5
9/2
2 10x dx− 26) 
11/2
3
2 8x dx− 27) ( )
4
2
2
6 6sig x dx
−
− −
 
 
28) 
/2
2
0
(2 )x cos x dx

 29) 
2
/4
20
sec ( ) tan ( )
2 sec ( )
x x
dx
x

+
 30) 
2
0
xe sen xdx

 
 
31) 
/ 2
20
cos
1
x
dx
sen x

+
 32) 
2/
21/
1 1
sen dx
x x

 33) 
/ 2
0
5 cos3sen x xdx


 
 
34) 
2
1
lnx xdx 35) 
/3
/ 4
( ) ln( ( ))ctg x sen x dx

 36) 
1/ 2
20
( )
1
xarcsen x
dx
x−
 
 
37) 
/6
0
(2 )cos(4 )sen x x dx

 38) 
1
4 2 3/2
0
(1 )x x dx− 39) 21 (1 ln ( ))
e dx
x x+
 
 
 
40) 
1
2 20 ( 1) ( 1)
x dx
x x+ +
 41) 
2
1
22 1
x
x
e dx
e
−
− −
 42) 
3/5
0
1
1
x
dx
x
+
−
 
 
43) 
1
1
1
3
x
dx
x−
−
+
 44) 
1
20
1
1
x
dx
x
+
+
 45) 
3
0
( )xarctg x dx 
 
 
46) 
/3
2
0
(3 )x sen x dx

 47) 
2
4
0
16 x
dx
x
−
 48) 
1
0 (1 )
arcsen x
dx
x x−
 
 
49) 
27
30
dx
x x−
 50) 
2
1
30
1 x
x
e
dx
e
−
−
+ 51) 
1
20
ln(1 )
1
x
dx
x
+
+
 
 
 
52) 
1
0
x
x x
e
dx
e e−+
 53) 
/ 4
3
0
4xe sen xdx

 54) 
/ 4
2
0
4xe sen xdx

−
 
 
55) 
/ 2
4/30
2
( )
sen x
dx
sen x

 56) 
2
7
1 2
x dx
x− +
 57) 
ln 5
0
1
3
x x
x
e e
dx
e
−
+
 
 
 
58) 
2
2
41
4 x
dx
x
−
 59) 
/3
2
0
3x sen xdx

 60) 
2
0
x sen xdx

 
 
61) 
30
0,02
20
0,02 xe dx− 62) 
/ 2
1/ 2
ln(2 )
e
x dx 63) 
1
20 1
xx e dx
x+
 
 
64) 
2
1
2 20
( 3)
( 2 3)
x dx
x x
−
− +
 65) 
2
2
20
( ) cos( )
25 15 ( )
sen x x dx
sen x

−
 66) 
5
1
2 30 (1 )
x dx
x+
 
 
67) 
2
2
30
2 2
1 ( )
( ( ) 2 ( ) 4)
sen x dx
sen x sen x

−
− +
 68) 
3
2 2
3 2 30 2
2 2
(4 5)
( 1)
( 2 2)
x dx x dx
x
x x
−
−
+
+
−
− +
  69) 
4
1
1 1
1 1
x
dx
x
− +
− −
 
 
70) 2
2 20 0
cos ( )
cos ( ) sec ( ) 2cos ( ) ( )
x dx x dx
x x x sen x

 
−
+ + 
 
 
71) 
( )
0
ln (1 tan ( ))
sec ( )
f x
d



+
 si 20
1 cos ( )
( )
1 ( )
x x dx
f x
sen x


=
+
 
 
72) Calcule la integral definida: 
3
2 2
3 2 30 2
2 2
(4 5)
( 1)
( 2 2)
x dx x dx
x
x x
−
−
+
+
−
− +
  
73) Calcule la integral definida 
ln (5)
2
1
3
x x
xb
e e
dx
e+
−
+
 si:
2
2
( )
20
lim
( )
sen x
t
x x
x
e dt
b
sen x
−
+
→
=
