Trigonometría_Fórmulas_básicas_Artículo_autor_Títulos_Náuticos

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I. - TRIGONOMETRÍA 
 
DETERMINACION DE UNA RAZON EN FUNCION 
DE OTRA 
 
En función del coseno del ángulo doble: 
FÓRMULAS BÁSICAS 
 
En función del seno: (Usadas para integrar) 
 
senα =
c
a
 cosec
sen
α
α
= =
1 a
c
 
 
 cosec
sen
α α=
1 cos senα α= −1 2 
 
sen
cos
α
α
=
−1
2
2 sen
cosα α
2
1
2
=
− 
 
cosα =
b
a
 sec
cos
α
α
= =
1 a
b
 
 
sec
sen
α
α
=
−
1
1 2
 tan
sen
sen
α
α
α
=
−1 2
 
 
cos
cos
α
α
=
+1
2
2 cos
cosα α
2
1
2
=
+ 
 
tan
sen
cos
α
α
α
= =
c
b
 cotan
tan
α
α
= =
1 b
c
 
 
ctg
sen
sen
α
α
α
=
−1 2
 
 
 tan
cos
cos
α
α
α
=
−
+
1
1
2
2
 tan
cos
cos
α α
α2
1
1
=
−
+
 
 
 sen cos2 2α α+ =1 tan cotanα α× =1 
 
 
En función del coseno: 
 
 
RAZONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA 
 
1 2
1
2
2+ = =tan
cos
secα
α
α 
 
a
b
c
α
 
 
 
 
sen cosα α= −1 2 
 
( )sen sen cos cos senα β α β α β± = ± 
 
( )cos cos cos sen senα β α β α β± = m 
 
 1
12
2
2+ = =cotan
sen
cosecα
α
α 
 
 sec
cos
α
α
=
1
 
 
cosec
cos
α
α
=
−
1
1 2
 
 
 ( )tan tan tan
tan tan
α β
α β
α β± =
±
1 m
 ( )
( )
sen sen
sen sen
tan
tan
α β
α β
α β
α β
+
−
=
+
−
1
2
1
2
 
 
LINEAS TRIGONOMÉTRICAS 
 
cotg cotg cotg cotg
cos cos
cos cos
ta
n
se
n
se
n
se
n
se
n
ta
n
ta
n
ta
n
Primer Cuadrante Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante 
 
tan
cos
cos
α
α
α
=
−1 2
 
 
 
En función de la 
tangente: 
 
 
ctg
cos
cos
α
α
α
=
−1 2
 
 
 
cos
tan
α
α
=
+
1
1 2
 
 
( )ctg ctg ctg
ctg ctg
α β
α β
α β± = ±
m 1 cos cos
cos cos
cotan
sα β
α β
α β α β+
−
= −
+ −
2 2
 
 
 
TRANSFORMACION DE SUMAS A PRODUCTOS Y VICEVERSA 
(Estas expresiones se utilizan en la resolución de triángulos con el empleo de logaritmos) 
 
SUMAS a PRODUCTOS 
 
 
 
 
Ángulos complementarios: 
Su suma vale π/2 radianes (90°) 
 
 ctg
tan
α α=
1
 
 
 sec tanα α= +1 2 
 
sen sen sen cosα β
α β α β
+ =
+ −
2
2 2
 sen sen cos senα β α β α β− = + −2
2 2
 
REDUCCION AL 1er 
CUADRANTE 
 
sen (π/2 − α) = cos α 
cos (π/2 − α) = sen α 
tan (π/2 − α) = ctg α 
 
cosec
tan
tan
α
α
α
=
+1 2
 
 
 
sen
tan
tan
α
α
α
=
+1 2
 
 
 
cos cos cos cosα β
α β α β
+ =
+ −
2
2 2
 cos cos sen senα β α β α β− = − + −2
2 2
 
 
Ángulos suplementarios: 
Su suma vale π radianes (180°) 
 
Ángulos que difieren 
en π/2 radianes: 
 
En función de la tangente del ángulo mitad 
(Usadas para integrar) 
 
tan tan
sen ( )
cos cos
α β
α β
α β+ =
+
 
 
 
PRODUCTOS a SUMAS 
 sen (π − α) = sen α 
 cos (π − α) = − cos α 
 tan (π − α) = − tan α 
 sen (π/2 + α) = cos α 
 cos (π/2 + α) = − sen α 
 tan (π/2 + α) = − ctg α 
 
( )
( )sen
tan /
tan /
α
α
α= +
2 2
1 22
 sen tan
tan
2
2
1 2
α
α
α
=
+
 
 
tan tan
sen ( )
cos cos
α β
α β
α β− =
+
 
 
( ) ( )[ ]sen sen cos cosα β α β α β= − − +12 
 
Ángulos que se diferencian 
π radianes: 
 
Ángulos opuestos: 
 
( )
( )cos
tan /
tan /
α
α
α=
−
+
1 2
1 2
2
2
 cos tan
tan
2α
α
α=
−
+
1
1
2
2
 
 
ctg ctg
sen ( )
sen sen
α β
α β
α β+ =
+
 
 
( ) ( )[ ]sen cos sen senα β α β α β= + + −12 
 sen (π + α) = − sen α 
 cos (π + α) = − cos α 
 tan (π + α) = tan α 
 sen (− α) = − sen(α) 
 cos (− α) = cos α 
 tan (− α) = − tan α 
 
( )
( )tan
tan /
tan /
α
α
α= −
2 2
1 22
 tan tan
tan
2
2
1
2
2α
α
α= −
 
 
ctg ctg
sen ( )
sen sen
α β
β α
α β− =
−
 
 
( ) ( )[ ]cos cos cos cosα β α β α β= + + −12 
 
 
FUNCIONES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN ÁNGULO 
 
 Ángulo doble Ángulo triple 
 
TEOREMAS IMPORTANTES: 
 Teorema de los senos: 
 
 
FUNCIONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA 
 
sen sen cos2 2α α α= sen sen sen3 3 4 3α α α= − 
 
cos cos sen2 2 2α α α= − cos cos cos3 4 33α α α= − 
 
tan
tan
tan
2
2
1 2
α
α
α
=
−
 tan tan
tan
3
3
1 3 2
α
α
α
=
−
 
 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
 
arc sen arccos arccosx x x= − = −1
2
2 π 
 
A
B
C
ac
b
R
 
 
cosB
a c b
ac
=
+ −2 2 2
2
 
 
a
A
b
B
c
C
R
sen sen sen
= = = 2 
 
Teorema de los cosenos: 
 
cos A
b c a
bc
=
+ −2 2 2
2
 
 
cosC
a b c
ab
=
+ −2 2 2
2
 
 
( )Sh Sh Ch Sh Chα β α β β α+ = + ( )Sh Sh Ch Sh Chα β α β β α− = − 
 
( )Ch Ch Ch Sh hα β α β β α+ = + S ( )Ch Ch Ch Sh Shα β α β α β− = − 
 
( )Th Th Th
Th Th
α β
α β
α β+ =
+
+1
 ( )Th Th Th
Th Th
α β
α β
α β− =
−
−1
 
 
FUNCIONES DEL ÁNGULO DOBLE/MITAD 
 
Sh Sh Ch2 2α α α= Ch Sh Ch2 2 2α α α= + Th Sh Ch
Sh Ch
2
2
2 2α
α α
α α= +
 
 
arccos arcsen arcsenx x x= − = −1
2
2 π 
 
 
Teorema de las tangentes 
 
 ( )Sh Chα α
2
1
2
1= − ( )Ch Chα α
2
1
2
1= + 
 
Th
Ch
Ch
α α
α2
1
1
=
−
+
 
 
arctan arcsen arctgx
x
x
x=
+
= −
1 22
π
 
 
( )arcsen arcsen arcsenx y x y y x+ = − + −1 12 2 
 
a b
a b
A B
A B
A B
A B
+
−
=
+
−
=
+
−
sen sen
sen sen
tan
tan
2
2
 
 
 
 
TRANSFORMACION DE PRODUCTOS A SUMAS 
 
( ) ( )[ ]Sh Sh Ch Chα β α β α β= + − −12 ( ) ( )[ ]Ch Ch Ch Chα β α β α β= + + −
1
2
 
 
( )arcsen arcsen arcsenx y x y y x− = − − −1 12 2 
 
( )( )[ ]arccos arccos arccosx y xy x y+ = − − −1 12 2 
 
AREA DEL TRIÁNGULO 
 
 S ab C cb A ac B= = =1
2
1
2
1
2
sen sen sen 
 ( ) ( )[ ]Sh Ch Sh Shα β α β α β= + + −12 ( )Ch Sh Ch Shα α α α± = ±
n
n n 
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS 
 ( )ArgSh lnx x x= + +2 1 ( )ArgCh lnx x x= + −2 1 
 
( )( )[ ]arccos arccos arccosx y xy x y− = + − −1 12 2 
 
arctan arctanx y
x y
xy
+ =
+
−1
 arctan arctanx y x y
xy
− =
−
+1
 
 
FÓRMULAS DE BRIGGS 
 
Para las tangentes de los ángulos mitad, se dividen las expresiones 
análogas miembro a miembro. Para el ángulo entero se utilizan las 
fórmulas que dan 
(Fórmula de Herón) 
 
( )( )( )S p p a p b p c= − − − 
 
S pr
abc
R
p
R
= = =
4 2
 
 
p
a b c
=
+ +
2
 
 
A
B
C
ac
b
Rr
 
 
 ArgTh lnx x
x
=
+
−
1
2
1
1
 ArgSh ArgCh ArgThx x x
x
= + =
+
2
2
1
1
 
 
 ArgCth lnx x
x
=
+
−
1
2
1
1
 ArgCh ArgSh ArgThx x
x
x
= − =
−2
2
1
1 
 
 ArgTh ArgSh ArgCh ArgCthx x
x
x
x x
=
−
=
−
=
1 1
1
2 2
 
las razones de un ángulo en función del coseno del ángulo doble. Estas 
fó
AREA DE UN CUADRILÁTERO 
mulas ya se han tratado anteriormente. 
 
 
( )( )
sen
A
2
=
− −p b p c
bc
 A
B
C
a
b
c
 
 
S
AC BD
=
2
senα 
B
A
D
C
α
 
 
RELACIONES ENTRE FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS 
 
 ( )sen x e ex x= − −1
2i
i i ( )cos x e ex x= + −1
2
i i 
( )( )
sen
B
2
=
− −p a p c
ac
 ( )cos B
2
=
−p p b
ac
 
 
II.- FUNCIONES HIPERBÓLICAS 
 
FÓRMULAS BÁSICAS 
 Sh seni ix x= sen Shi ix x= e x xxi i= +cos sen 
 
 Ch cosix x= cos Chix x= e x xx− = −i icos sen 
 
( )( )
sen
C
2
=
− −p b p a
ab
 ( )cos C
2
=
−p p c
ab
 
 
( )
cos
A
2
=
−p p c
bc
 p a b c= + +
2
 
 
 Shα
α α
=
− −e e
2
 
 
 Chα
α α
=
+ −e e
2
 
 
 Sh Chα α α+ = e 
 
 Th Sh
Ch
α
α
α
α α
α α= =
−
+
−
−
e e
e e
 
 
 
 Ch Shα α α− = −e 
 
 
 C Sh h2 2 1α α− = 
 
 Th tani ix x= tan Thi ix x= arcsen Arg Shi ix x= 
 
 ( )sen sen Ch cos Shx y x y x y+ = +i i arccos Arg Chi ix x= − 
 
 ( )cos cos Ch sen Shx y x y x y+ = −i i arctan ArgTh lni i ix x x
x
= =
+
−
1
2
1
1