PRE-ANÁLISIS COMBINATORIO_ Aplicaciones

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ANÁLISIS 
COMBINATORIO
Principios Fundamentales
1. Principio de la Multiplicación
Si el evento A se realiza de p formas diferentes y para cada una de estas formas existe un segundo
evento B que se puede realizar de q formas diferentes, entonces la realización del evento A y B
esto es, ocurren simultáneamente o uno a continuación de otro, se podrá hacer de: p . q formas.
EJEMPLO 1:
Edwin tiene dos sacos diferentes
y tres corbatas diferentes. ¿De
cuántas maneras distintas se
puede vestir con estas prendas?
RESOLUCIÓN:
Edwin se puede vestir de 6 maneras distintas
1° FORMA: 
Por el diagrama
del árbol
2° FORMA: 
N° DE SACOS N° DE CORBATAS
𝟐 𝟑N° DE MANERAS = X = 𝟔
EJEMPLO 2:
¿Cuántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras
diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto)
RESOLUCIÓN: Letras Dígitos
x x x x = 𝟒𝟔𝟖 𝟎𝟎𝟎# PLACAS = 𝟖𝟗𝟏𝟎𝟐𝟓𝟐𝟔
Por el principio de la multiplicación:
Si un evento A se puede realizar de p formas diferentes y un segundo evento B se puede realizar
de q formas diferentes, además no es posible realizar los dos eventos a la vez (𝑨 ∩ 𝑩 = ∅),
entonces la realización del evento A o B (ocurre solo uno de los eventos) se podrá hacer de:
p + q formas.
2. Principio de la Adición
EJEMPLO 3:
Un parabrisas delantero de automóvil HONDA se vende en 9 tiendas de San Borja y en 7 tiendas
de Surco. ¿De cuántas maneras se puede adquirir dicho parabrisas?
RESOLUCIÓN:
Por el principio de la adición: San Borja o Surco
N° DE MANERAS = 𝟗 𝟕+ = 𝟏𝟔
Se puede adquirir de 𝟏𝟔 maneras 
APLICACIÓN 1
¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la ciudad A a la ciudad F sin
retroceder al mismo punto en ningún momento?
A) 25 B) 32 C) 28 D) 40 E) 36 
RESOLUCIÓN
Consideremos las rutas sin retroceder:
AF
ABCF
AEF
ACF
ADEF
AC : 2
AB : 3
CF : 3
AE : 3
AD : 1
ABF
DE : 2
AB : 3
EF : 2
CF : 3BC : 1
BF : 2
1
6
6
9
4
6
36# MANERAS DIFERENTES
CLAVE: EEF : 2
ACBF AC : 2 BF : 2CB : 1 4
APLICACIÓN 2
Cuatro personas no necesariamente amigas llegan a un centro comercial a realizar
compras. Si en el centro comercial hay 3 tiendas deportivas, ¿de cuántas maneras
podrán ingresar estas personas a dichas tiendas?
RESOLUCIÓN
Cada persona elige a que
tienda deportiva ingresar,
luego tenemos el esquema
de selección, las personas
escogen a las tiendas:
TIENDA 1 TIENDA 1 TIENDA 1 TIENDA 1
TIENDA 3
TIENDA 2TIENDA 2TIENDA 2TIENDA 2
TIENDA 3 TIENDA 3 TIENDA 3
N° de maneras: 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑x x x
Respuesta: 81
Factorial de un número
Sea n un número entero positivo, se define el factorial de n, como el producto de todos
los números enteros consecutivos desde 1 hasta n, este producto se denota por n!.
EJEMPLO 4:
𝒏! = 1 × 2 × 3 ×⋯× 𝒏 ,𝒏 ∈ ℤ+
Convencionalmente: 𝟎! = 𝟏
entonces: 𝒏! = (𝒏 − 𝟏)! × 𝒏
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
𝟒!
𝟓! = 𝟒! × 𝟓
Observación: 𝟏! = 𝟏Además: 𝟖! = 𝟕! × 𝟖
𝟖! = 𝟔! × 𝟕 × 𝟖
𝟖! = 𝟓! × 𝟔 × 𝟕 × 𝟖
MÉTODOS DE AGRUPACIÓN
PERMUTACIÓN
Forma grupos
ordenados, es
decir, interesa
el orden de los
elementos
COMBINACIÓN
Forma grupos
donde NO
interesa el
orden de los
elementos .
PERMUTACIÓN 
CIRCULAR
(Los elementos 
son diferentes)
PERMUTACIÓN 
LINEAL CON 
ELEMENTOS 
REPETIDOS
COMBINACIÓN 
LINEAL CON 
ELEMENTOS 
DIFERENTES
COMBINACIÓN 
LINEAL CON 
REPETICIÓN 
DE 
ELEMENTOS
PERMUTACIÓN 
LINEAL CON 
ELEMENTOS 
DIFERENTES
1. Permutación lineal con elementos diferentes
Sea el conjunto: {a, b, c }Método 1: . Los arreglos pueden ser: ab, ba, ac, ca, bc, cb
Método 2: (principio de multiplicación)
# Arreglos = 3 x 2 = 6
Método 3: Por fórmula
Determine los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con
las letras: a, b y c , tomadas de dos en dos.
EJEMPLO 5:
RESOLUCIÓN:
También se le conoce como variación. El número de permutaciones de 𝒏 objetos
diferentes tomados en grupos de 𝒌 elementos, donde: 𝒌 ≤ 𝒏, está dado por:
𝑃
𝒏
𝒌
=
𝒏!
𝒏 − 𝒌 ! donde: 𝒏 ; 𝒌 ∈ ℕ
Número de arreglos = 6
𝑃𝟐 =
𝟑!
𝟑 − 𝟐 !
= 𝟔
𝟑
se lee: permutación de n elementos tomados de k en k
𝑃(𝒏, 𝒌)=
En una carrera de 400 metros participan 12 atletas. ¿De cuántas formas
distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares, con medalla de
oro, plata y bronce?.
Método 1: Empleando el principio de la multiplicación
Oro Plata Bronce
# Maneras = 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟎
Método 2: (usando la fórmula de permutación lineal)
x x = 𝟏𝟑𝟐𝟎
EJEMPLO 7:
RESOLUCIÓN:
𝑃𝟑 =
𝟏𝟐!
𝟏𝟐 − 𝟑 !
=
𝟏𝟐 𝟗! × 𝟏𝟎 × 𝟏𝟏 × 𝟏𝟐
𝟗!
= 𝟏𝟑𝟐𝟎
APLICACIÓN 3
Un estante tiene 10 casilleros, si en cada casillero se puede colocar un libro,
¿de cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 4 libros diferentes?
RESOLUCIÓN
Método 1: Empleando el principio de la multiplicación
# Maneras =
Método 2: (usando la fórmula de permutación lineal)
x x x
𝑃𝟒 =
𝟏𝟎!
𝟏𝟎 − 𝟒 !
=
𝟏𝟎 𝟔! × 𝟕 × 𝟖 × 𝟗 × 𝟏𝟎
𝟔!
= 𝟓𝟎𝟒𝟎
= 𝟓𝟎𝟒𝟎𝟏𝟎 𝟗 𝟖 𝟕
Respuesta: 5040
OBSERVACIÓN:
Si consideramos 𝒌 = 𝒏, es decir, la permutación de los 𝒏 elementos, (tomados todos a la
vez) es:
EJEMPLO 6:
𝑷(𝒏) = 𝒏!
Un padre tiene 3 hijos: Hugo, Luis y Saúl ¿De cuántas maneras distintas, temprano en
las mañanas puede llamar a sus hijos nombrándolos uno por uno para que se
despierten?
RESOLUCIÓN:
Las permutaciones son: HLS, HSL, LSH, LHS, SHL, SLH 6 maneras
También: 𝑷(𝟑) = 𝟑! = 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 = 𝟔
Estas agrupaciones se diferencian entre sí, sólo por el orden de sus elementos.
𝑃
𝒏
𝒏
=
APLICACIÓN 4
Siete señoritas se ubican en una fila, ¿de cuántas maneras pueden ubicarse, si
tres de ellas siempre quieren estar juntas?.
RESOLUCIÓN
Si tres amigas están juntas, tenemos 5 elementos en permutación lineal, además
𝟐𝟏 𝟑 𝟓𝟒
dentro del grupo de tres amigas juntas, tenemos 3 elementos en permutación lineal.
(permutación 
lineal de 5) 
(permutación 
lineal de 3) 
N°de maneras = 𝑷(𝟓) x 𝑷(𝟑) = 𝟓! x 𝟑! = 𝟏𝟐𝟎 x 𝟔
Respuesta: 720
y
Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de
una permutación con repetición:
2. Permutación lineal con elementos repetidos
El número de permutaciones distintas de n elementos (tomando todos) en donde
hay n1 objetos iguales entre si de un tipo; otros n2 objetos iguales entre si de un
segundo tipo y así sucesivamente; está dado por la siguiente relación:
𝑃𝑅
𝒏
𝒏𝟏, 𝒏𝟐, 𝒏𝟑, … , 𝒏𝒌
=
𝒏!
𝒏𝟏! × 𝒏𝟐 ! × …× 𝒏𝒌!
donde:
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 + 𝒏𝟑 +⋯+ 𝒏𝒌 = 𝒏
EJEMPLO 7: ¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?
RESOLUCIÓN:
𝟑, 𝟐, 𝟏, 𝟏
𝑃𝑅 𝟕 =
𝟕!
𝟑! × 𝟐! × 𝟏! × 𝟏!
=
𝟑! × 𝟒 × 𝟓 × 𝟔 × 𝟕
𝟑! × 𝟐 × 𝟏 × 𝟏
= 𝟒𝟐𝟎
1° FORMA: 
2° FORMA: Veamos la deducción de la fórmula, considerando: 
𝟐𝟏 𝟐 𝟑𝟏
Con las marcas son figuras diferentes, se tiene una permutación lineal: 𝟕! = 𝟓𝟎𝟒𝟎
Veamos las doce permutaciones siguientes:
𝟐𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐𝟏 𝟑 𝟐 𝟏
𝟐𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐𝟐 𝟑 𝟏 𝟏
𝟐𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐𝟑 𝟐 𝟏 𝟏
𝟏𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟏 𝟑 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑 𝟏 𝟐
𝟏𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 𝟏 𝟐
Si retiramos
las marcas, se
tiene el mismo
ordenamiento.
𝟏𝟐 = 𝟑! × 𝟐!
#maneras
de ordenar
los círculos
#maneras de
ordenar los
cuadrados
Esto es cierto para cada una de las otras
posiciones posibles de dichas figuras
#maneras =
𝟕!
𝟑! × 𝟐!
=
𝟓𝟎𝟒𝟎
𝟏𝟐
= 𝟒𝟐𝟎
APLICACIÓN 5
Se tiene el número 655574564, si permutásemos sus cifras, ¿cuántos números
diferentes al inicial podremos conseguir, con tal que la cifra 7 se encuentre siempre en
el centro?
RESOLUCIÓN:
Si fijamos el dígito 7, la cantidad de números diferentes es la cantidad de permutaciones
con repetición de los otros dígitos.
𝟕𝟔 𝟓 𝟓 𝟓 𝟒 𝟓 𝟔 𝟒
FIJO
= = 𝟒𝟐𝟎
Cantidad de
números
diferentes
Son 8 dígitos, de los cuales hay 4 cincos, 2 cuatros y 2 seis𝟒, 𝟐, 𝟐
𝑃𝑅 𝟖 =
𝟖!
𝟒! × 𝟐! × 𝟐!
Cantidad de números
diferentes al inicial
= 𝟒𝟏𝟗
Como cada esfera que se extrae se repone, la misma esfera que se extrae puede ser
seleccionada una o más veces.
APLICACIÓN 6
En una urna, tenemos tres esferas etiquetadas con las letras: 𝒂; 𝒃 y 𝒄 ¿De cuántas maneras
distintas se puede extraer dos esferas, tomadas de una en una, con reposición?
RESOLUCIÓN:
Considerando las tres esferas, de dos en 
dos, se tienen 9 permutaciones.
𝒃𝒂
𝒄 𝒂𝒂𝒃𝒂𝒂
𝒃 𝒃 𝒄 𝒃
𝒂 𝒄 𝒃 𝒄 𝒄 𝒄
Por el principio de multiplicación:
= 𝟑𝟐 = 𝟗
𝒂 𝒃 𝒄
3 3 x 
3. Permutación circular
Son agrupaciones o arreglos formando una línea cerrada, donde no hay primer ni último 
elemento. Dos permutaciones circulares son diferentes entre sí cuando uno de ellos no 
resulta de una rotación del otro.
Estos elementos
se ordenarán
respecto al
elemento fijo.
¿De cuántas formas diferentes puede sentarse 5 personas alrededor de
una mesa circular?
Ordenar 4 elementos: 
𝑷𝑪𝒏El número de permutaciones circulares diferentes de n elementos es: = 𝒏 − 1 !
EJEMPLO 8:
RESOLUCIÓN:
Tomamos este
elemento como
referencial
(posición fija).
𝑷(𝟒) = 𝟒! = 𝟐𝟒
Método 2:Método 1:
Utilizando la fórmula:
= 𝟓 − 𝟏 ! = 𝟒! = 𝟐𝟒𝑷𝑪𝟓
APLICACIÓN 7
¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en la 
siguiente figura?
Ubicamos
un número
en el centro
Ubicamos
circularmente los
demás números
# Maneras = x 𝑷𝑪𝟔𝟕
RESOLUCIÓN:
= 𝟕 × 𝟔 − 𝟏 !
= 𝟕 × 𝟓! = 𝟖𝟒𝟎
COMBINACIÓN
Son los diferentes arreglos de k elementos que se pueden formar con los n elementos de
un conjunto determinado, se debe tener en cuenta que al formar los arreglos no interesa el
orden de ubicación de los elementos.
NOTACIÓN:
𝒏
𝒌
o 𝐶𝒌
𝒏
se lee: combinación de n elementos tomados de k en k
𝐶
𝒌
𝒏El número de combinaciones de 𝒏 objetos diferentes tomados
en grupos de 𝒌 elementos, donde: 𝒌 ≤ 𝒏, está dado por:
=
𝒏!
𝒌! × 𝒏 − 𝒌 !
Una señora tiene 3 frutas : fresa, piña y manzana. ¿Cuántos sabores diferentes
de jugo podrá preparar con estas frutas ?
Empleando combinaciones
pues no interesa el orden
de la elección de la fruta
# de jugos =
diferentes 
Jugo de 
una fruta
Jugo de 
dos frutas
Jugo de 
tres frutas
ó ó
EJEMPLO 9:
RESOLUCIÓN:
𝐶
𝟑
𝟏
𝐶
𝟑
𝟑
𝐶
𝟑
𝟐
= 𝟕++ =
𝟑!
𝟏!×𝟐!
+ 
𝟑!
𝟐!×𝟏!
+ 
𝟑!
𝟑!×𝟎!
𝐶(𝒏, 𝒌) =
APLICACIÓN 8
Se desea formar un comité de 7 profesionales, seleccionando 5 ingenieros y 2
arquitectos de un grupo de 8 ingenieros y 6 arquitectos. ¿De cuántas maneras
podrá seleccionarse?
RESOLUCIÓN:
De 8 ingenieros 
seleccionamos 5 
De 6 arquitectos 
seleccionamos 2 
x
y
𝟔
𝐶
𝟐
𝐶
𝟓
𝟖
𝟖!
𝟓! × 𝟑!
x
𝟔!
𝟐! × 𝟒!
# Maneras = 
=
𝟓!×𝟔×𝟕×𝟖
𝟓!×𝟔
x 
𝟒!×𝟓×𝟔
𝟐×𝟒!
= 𝟖𝟒𝟎
Combinación con repetición de elementos
. Se consideran “n” elementos diferentes.
. Se formará grupos de “k” elementos donde no interesa el orden de ellos.
. En el grupo se puede repetir un mismo elemento; es decir, en un determinado grupo,
un elemento puede aparecer varias veces.
En dichas condiciones, el número de 
combinaciones está dada por:
𝒏 + 𝒌 − 𝟏
𝐶
𝒌
𝒏
𝐶𝑅
𝒌
=
Entonces decimos que cada grupo es una combinación con repetición de estos 4
elementos formando grupos de 3.
(a,a,a); (a,a,b); (a,a,c); (a,a,d); (a,b,b); (a,b,c); (a,b,d); (a,c,c); (a,c,d); (a,d,d);
(b,b,b); (b,b,c); (b,b,d); (b,c,c); (b,c,d); (b,d,d); (c,c,c); (c,c,d); (c,d,d); (d,d,d)
Utilizando la fórmula:
EJEMPLO 10:
𝟒 + 𝟑 − 𝟏
𝐶
𝟑
𝟒
𝐶𝑅
𝟑
=
𝟔
𝐶𝟑= =
𝟔!
𝟑! × 𝟑!
= 𝟐𝟎
𝟐𝟎
combinaciones
donde: 𝒌 < 𝒏 ; 𝒌 = 𝒏
ó 𝒌 > 𝒏
Si tenemos 4 objetos {a, b, c, d}, podemos formar grupos de 3 de ellos, donde se pueden 
repetir los elementos de un mismo grupo, como por ejemplo: (a, a, b); (a, a, a); …
Una heladería prepara copas de helados con 3 bolas de helado elegidas de entre 8 sabores
diferentes. ¿Cuántas copas distintas pueden preparar si las 3 bolas pueden tener sabores
repetidos?
APLICACIÓN 9
RESOLUCIÓN:
APLICACIÓN 10
RESOLUCIÓN:
APLICACIÓN 11
RESOLUCIÓN:
𝟖 + 𝟑 − 𝟏
𝐶
𝟑
𝟖
𝐶𝑅
𝟑
=
𝟏𝟎
𝐶 𝟑= =
𝟏𝟎!
𝟑! × 𝟕!
Entramos en una pastelería a comprar 5 pasteles y vemos que tienen pasteles de 4 tipos.
¿De cuántas formas diferentes se podría hacer la compra?
=
𝟕! × 𝟖 × 𝟗 × 𝟏𝟎
𝟔 × 𝟕!
= 𝟏𝟐𝟎
𝟒 + 𝟓 − 𝟏
𝐶
𝟓
𝟒
𝐶𝑅
𝟓
=
𝟖
𝐶 𝟓= =
𝟖!
𝟓! × 𝟑!
=
𝟓! × 𝟔 × 𝟕 × 𝟖
𝟓! × 𝟔
= 𝟓𝟔
Una urna contiene 7 esferas de diferentes colores. Extraemos 3 esferas con reemplazo. ¿Cuántos
resultados distintos podemos obtener no teniendo en cuenta el orden en que extraemos las
esferas? 𝟕 + 𝟑 − 𝟏
𝐶
𝟑
𝟕
𝐶𝑅
𝟑
=
𝟗
𝐶 𝟑= =
𝟗!
𝟑! × 𝟔!
=
𝟔! × 𝟕 × 𝟖 × 𝟗
𝟔 × 𝟔!
= 𝟖𝟒
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS
Sean: 𝒏 ∈ ℤ+, 𝒌 ∈ ℤ+ ∪ {𝟎}, 𝒏 ≥ 𝒌
1. Igualdad de números combinatorios
Si: =
𝒏
𝐶
𝒌
𝒎
𝐶 𝒓 𝑖 𝒎 = 𝒏 ∧ 𝒌 = 𝒓 𝑖𝑖 𝒎 = 𝒏 = 𝒌 + 𝒓ó
2. Combinatorios complementarios
Ejemplo:
Ejemplo:
=
𝒏
𝐶
𝒌
𝒏
𝐶𝒏 − 𝒌 =
12
𝐶5
12
𝐶12 − 5
12
𝐶 7=
3. Suma de combinatorios
𝒏
𝐶 𝒌
𝒏
𝐶𝒌 + 𝟏
𝒏 + 𝟏
𝐶 𝒌 + 𝟏
9
𝐶 2
9
𝐶
3
10
𝐶
3
=+ =+
OBSERVACIÓN:
𝒏
𝐶 𝒌
𝒏 − 𝟏
𝐶𝒌 − 𝟏
𝒏 − 𝟏
𝐶𝒌+=
9
𝐶 5
8
𝐶
4
8
𝐶
5
+=Ejemplo:
Disminución de ambos índices:
Ejemplo:
4. Disminución de índices
𝒏
𝐶𝒌
𝒏 − 𝟏
𝐶𝒌 − 𝟏=
𝒏
𝒌
8
𝐶5 =
8
5
7
𝐶4
Ejemplo:
Disminución de índice superior:
Disminución de índice inferior:
Ejemplo:
𝒏
𝐶𝒌
𝒏 − 𝟏
𝐶𝒌=
𝒏
𝒏 − 𝒌
17
𝐶6
17 − 1
𝐶6
16
𝐶6=
17
17 − 6
=
17
11
𝒏
𝐶𝒌
𝒏
𝐶𝒌 − 𝟏=
𝒏 − 𝒌 + 𝟏
𝒌
10
𝐶4
10
𝐶4 − 1
10
𝐶3=
10 − 4 + 1
4
=
7
4
Resultados Notables:
𝒏
𝐶𝟎
𝒏
𝐶𝒏= = 𝟏
𝒏
𝐶𝟏
𝒏
𝐶𝒏 − 𝟏= = 𝒏
𝒏
𝐶𝟐
𝒏
𝐶𝒏 − 𝟐= =
𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟐
5. Binomio de Newton
Ejemplo:
𝒂 + 𝒃 𝒏 = 
𝒌=𝟎
𝒏
𝒂𝒌𝒃𝒏−𝒌
𝒏
𝒌
𝒏 ∈ ℤ+, 𝒌 ∈ ℤ+ ∪ {𝟎}, 𝒏 ≥ 𝒌
𝒏
𝟎
𝒏
𝟏
𝒏
𝟐
𝒏
𝟑
𝒏
𝒏
𝒏
𝒌
𝒏
𝒌
+⋯+ 𝒏
+⋯+ (−𝟏)𝒏 = 𝟎
+
=
+ +⋯++ = 
𝑘=0
𝑛
1𝑘1𝑛−𝑘 == 
𝑘=0
𝑛
𝟏 + 𝟏 𝒏 = 𝟐𝒏
PROPIEDADES
 
𝒌=𝟎
𝒏
𝒏
𝟑
𝒏
𝒌
𝒏
𝟎
𝒏
𝟏
𝒏
𝟐
𝒏
𝟑
𝒏
𝒏
+ + +⋯++ = 𝟐𝒏
 
𝒌=𝟏
𝒏
𝒌
𝒏
𝒌
+ 𝟑+ 𝟐=
𝒏
𝟐
𝒏
𝒏
𝒏
𝟏 = 𝒏 . 𝟐
𝒏−𝟏
𝒏
𝒏
 
𝒌=𝟎
𝒏
(−𝟏)𝒌
𝒏
𝒌
𝒏
𝟑
−+−
𝒏
𝟐
𝒏
𝟏
=
𝒏
𝟎
𝒂 + 𝒃 𝟎 = 𝟏
𝒂 + 𝒃 𝟏 = 𝒂 + 𝒃
𝒂 + 𝒃 𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
𝒂 + 𝒃 𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
𝒂 + 𝒃 𝟒 = 𝒂𝟒 + 𝟒𝒂𝟑𝒃 + 𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟒𝒂𝒃𝟑 + 𝒃𝟒
𝒂 + 𝒃 𝟓 = 𝒂𝟓 + 𝟓𝒂𝟒𝒃 + 𝟏𝟎𝒂𝟑𝒃𝟐 + 𝟏𝟎𝒂𝟐𝒃𝟑 + 𝟓𝒂𝒃𝟒 + 𝒃𝟓
𝒂 + 𝒃 𝟔 = 𝒂𝟔 + 𝟔𝒂𝟓𝒃 + 𝟏𝟓𝒂𝟒𝒃𝟐 + 𝟐𝟎𝒂𝟑𝒃𝟑 + 𝟏𝟓𝒂𝟐𝒃𝟒 + 𝟔𝒂𝒃𝟓 + 𝒃𝟔
En el desarrollo de 𝒂 + 𝒃 𝒏 , notamos que los coeficientes de las potencias de 𝒂 + 𝒃,
pueden ser distribuidos en una formación triangular de números, llamada TRIÁNGULO DE
PASCAL, como sigue:
𝟏
𝟏 𝟏
𝟏 𝟏
𝟏 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟔 𝟏
𝟏
𝟐
𝟑 𝟑
𝟒 𝟒
𝟔
𝟓𝟓 𝟏𝟎𝟏𝟎
𝟏𝟓 𝟏𝟓𝟐𝟎
𝟔
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
𝟏 𝟏
𝟏 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟔 𝟏
𝟏
𝟐
𝟑 𝟑
𝟒 𝟒
𝟔
𝟓𝟓 𝟏𝟎𝟏𝟎
𝟏𝟓 𝟏𝟓𝟐𝟎
𝟔
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟏
𝟐
𝟎
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑
𝟒
𝟎
𝟒
𝟏
𝟒
𝟐
𝟒
𝟑
𝟒
𝟒
𝟓
𝟎
𝟓
𝟏
𝟓
𝟐
𝟓
𝟑
𝟓
𝟒
𝟓
𝟓
𝟔
𝟎
𝟔
𝟏
𝟔
𝟐
𝟔
𝟑
𝟔
𝟒
𝟔
𝟓
𝟔
𝟔
Se puede observar: 
. El primero y último número de cada fila es 1
. Cada uno de los otros números de la formación se obtienen sumando los dos números
que aparecen directamente encima de él.
Por ejemplo: 𝟏𝟎 = 𝟒 + 𝟔 , 𝟏𝟓 = 𝟏𝟎 + 𝟓, 𝟐𝟎 = 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎
Esto es equivalente a una propiedad anterior:
𝒏
𝐶 𝒌
𝒏
𝐶𝒌 + 𝟏
𝒏 + 𝟏
𝐶 𝒌 + 𝟏=+
4
1
4
𝐶2
5
𝐶2=+𝐶
APLICACIÓN 12
Si n es un entero impar mayor que 1, pruebe que se verifica:
𝒏
(𝒏 − 𝟏)/𝟐
𝒏
𝟏
𝒏
𝟐
𝒏
𝒏
=
++
+ +⋯+
+⋯+
= 𝟐𝒏−𝟏 − 𝟏
DEMOSTRACIÓN
Sea:
𝒏
(𝒏 − 𝟏)/𝟐
𝒏
𝟏
𝒏
𝟐
+ +⋯+𝑺 = . Tenemos:
𝒏
𝒏 − 𝒌
𝒏
𝒌
Luego: 𝑺 =
𝒏
𝒏 − 𝟏
𝒏
𝒏 − 𝟐
++⋯+
𝒏
(𝒏 + 𝟏)/𝟐
Por la primera propiedad del binomio de Newton:
𝟐𝒏 =
𝒏
𝟎
+
𝒏
(𝒏 − 𝟏)/𝟐
𝒏
𝟏
𝒏
𝟐
+ +⋯+
𝒏
(𝒏 + 𝟏)/𝟐
𝒏
𝒏 − 𝟏
𝟐𝒏 = 𝟏 +
𝟐𝒏 − 𝟐 = 𝟐𝑺 𝟐𝒏−𝟏 − 𝟏 = 𝑺
𝑺 + 𝑺 + 𝟏
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Problema 1
Se tiene un dodecaedro, un decaedro y un cubo, las caras de cada sólido están
enumeradas desde el 1 y así sucesivamente hasta la última cara. Si se lanzan los tres
sólidos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer estos sólidos, si por lo menos dos
sólidos cayeron sobre el lado marcado con la cifra 3?
RESOLUCIÓN:
Resultado 
de la base:
𝟑 𝟑 𝟏
𝟑
𝟐
𝟔
.
.
.
𝟑 𝟑𝟏
𝟑
𝟐
𝟏𝟎
.
.
.
𝟑 𝟑𝟏
𝟑
𝟐
𝟏𝟐
.
.
.
N° de maneras 
diferentes:
𝟔 𝟗 𝟏𝟏+ +
Respuesta: 26
Problema 2
RESOLUCIÓN:
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hacia B, siempre avanzando y
pasando por C?
Ir de A hacia C está formado por 3 tramos
horizontales iguales y 2 tramos verticales iguales:
permutación de 5 elementos con repetición de 3 y 2:
=
𝟓!
)𝟑! (𝟐!
= 𝟏𝟎
𝟑, 𝟐
𝑃𝑅 𝟓
Para ir de C a B, tenemos 5 tramos horizontales
iguales y 2 tramos verticales iguales, permutación
de 7 elementos con repetición de 5 y 2:
=
𝟕!
)𝟓! (𝟐!
= 𝟐𝟏
𝟓, 𝟐
𝑃𝑅 𝟕
Se observa, que para ir de A a B; se puede ir (de A a C) y (de C a B)
N° de maneras diferentes: 𝟏𝟎 × 𝟐𝟏 Respuesta: 210
Problema 3
RESOLUCIÓN:
Dos vehículos defectuosos han sido incluidos en un envío de 6 vehículos diferentes, ¿de
cuántas maneras se podrán poner estos en fila, de tal manera que uno de los defectuosos
esté ubicado en una de las dos primeras posiciones y el otro vehículo defectuoso esté en la
cuarta o quinta posición?
Se tiene 6 vehículos:
B1 B2 B3 B4 D1 D2
1° CASO:
𝑷(𝟒) = 𝟒! = 𝟐𝟒
Permutación lineal 
de 4 elementos:
𝑷(𝟒) = 𝟒! = 𝟐𝟒
Permutación lineal 
de 4 elementos:
Si D1 ocupa la 2° posición, se tendría: 
D1 ocupa la 1° posición
𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟒𝟖
𝟒𝟖
2° CASO: Similar al caso anterior, D2 ocupa la 1° y 2° posición, se tendría: 𝟒𝟖 + 𝟒𝟖 = 𝟗𝟔
N° de maneras diferentes: 𝟗𝟔 + 𝟗𝟔 Respuesta: 192
D2
D2D1
D1
Problema 5
RESOLUCIÓN:
El empleado de un banco quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de cuatro
dígitos no necesariamente diferentes. Solamente sabe que los dígitos posibles son: 0; 2;
4; 6 y 8. ¿Cuál es el número máximo de combinaciones erradas que podría intentar?
Lugar 1 Lugar 2 Lugar 3 Lugar 4
0 0 0 0
2 2 2 2
4 4 4 4
6 6 6 6
8 8 8 8
Consideremos las posibles combinaciones para abrir la caja fuerte:
5 5 5 5 x x x = 𝟔𝟐𝟓
En total son 625 combinaciones diferentes, pero una de ellas abre la caja fuerte 
Luego, el número máximo de combinaciones erradas es: 𝟔𝟐𝟓 − 𝟏
Respuesta: 624
Problema 7
RESOLUCIÓN:
Para buscar una vacuna contra el COVID-19 se encuentran 4 neumólogos, 3
infectólogos y 6 microbiólogos. ¿Cuántas comisiones de profesionales pueden formarse
si cada una debe tener al menos uno de cada especialidad?
POR LO MENOS UNO POR LO MENOS UNO POR LO MENOS UNO
𝑪𝟏
𝟑 + 𝑪𝟐
𝟑 + 𝑪𝟑
𝟑
= 𝟐𝟑 − 𝑪𝟎
𝟑 = 𝟕
𝑪𝟏
𝟒 + 𝑪𝟐
𝟒 +⋯+ 𝑪𝟒
𝟒
= 𝟐𝟒 − 𝑪𝟎
𝟒 = 𝟏𝟓
𝑪𝟏
𝟔 + 𝑪𝟐
𝟔 +⋯+ 𝑪𝟔
𝟔
= 𝟐𝟔 − 𝑪𝟎
𝟔 = 𝟔𝟑
LUEGO: N = (15)(7)(63) = 6615
Respuesta: 6 615
Problema 9
RESOLUCIÓN:
¿De cuántas maneras diferentes se pueden distribuir 15 bolillas idénticas en 3 cajas de
modo que cada caja tenga al menos dos bolillas?
Primero en cada caja colocamos 2 bolillas.
Las 9 bolillas que quedan las distribuimos en 3 cajas, equivalente a permutar 9
bolillas equivalentes y dos marcadores para establecer los lugares o 3 cajas.
Permutación de 11 elementos con repetición de 9 bolillas y 2 marcadores:
=
𝟏𝟏!
𝟗! 𝟐!
N° de maneras =
𝟏𝟎 𝟏𝟏
𝟐
= 𝟓𝟓
Respuesta: 55
Problema 11
RESOLUCIÓN:
En una heladería se venden helados de 4 sabores; 5 hermanos compran uno cada uno, y
luego se ubican alrededor de una mesa circular donde el menor y el mayor siempre están
juntos, ¿de cuántas maneras pueden sentarse?
Primero se determina la cantidad de maneras 
en que un hermano compra un solo helado 
1°H
(Mayor)
5°H
(Menor)
2°H 4°H3°H
N° de maneras: 4 4 4 4 4x x x x
= 𝟏 𝟎𝟐𝟒
A continuación 
se ordenan en 
una mesa 
circular:
1
2
34
5
Permutación circular de 4 elementos 
y permutación lineal de 2 elementos
N° de maneras: 𝑷𝑪𝟒 x 𝑷(𝟐)
= 3! × 2! = 𝟏𝟐
= 𝟏 𝟎𝟐𝟒 × 𝟏𝟐∴ N° de maneras
Respuesta: 12 288
Problema 13
RESOLUCIÓN:
Si colocamos 8 esferas en 5 urnas.
A) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar, si las esferas son del mismo color?
B) ¿Y si cada esfera es de un color diferente?
C) ¿Y si las esferas son del mismo color, con la condición de que ninguna urna quede vacía?
Dar como respuesta la suma de cifras del total de los resultados obtenidos en las partes A; B y C
A) Si son indistinguibles, podremos colocarlas en las urnas de la siguiente manera:
𝟓 + 𝟖 − 𝟏
𝐶
𝟖
𝟓
𝐶𝑅
𝟖
=
𝟏𝟐
𝐶 𝟖= =
𝟏𝟐!
𝟖! × 𝟒!
=
𝟖! × 𝟗 × 𝟏𝟎 × 𝟏𝟏 × 𝟏𝟐
𝟖! × 𝟐𝟒
=
B) Si son distinguibles y se podrán colocar de la siguiente manera: 𝟓𝟖 = 𝟑𝟗𝟎 𝟔𝟐𝟓
C) Si ninguna urna queda vacía,
colocamos una bola en cada urna, tal
que solo tenemos que distribuir las tres
bolas restantes en las cinco urnas:
𝐶𝑅
𝟓
𝟑
= 𝟑𝟓=
𝟕!
𝟑! × 𝟒!
𝟓 + 𝟑 − 𝟏
𝐶
𝟑
=
𝟕
𝐶
𝟑
=
Total de resultados:
𝟒𝟗𝟓
𝟑𝟗𝟏 𝟏𝟓𝟓
Respuesta: 24
Problema 16
RESOLUCIÓN:
Una bandera está formada por siete franjas, las cuales deben ser coloreadas con los
colores azul, verde y rojo. Si cada franja debe tener un solo color y no puede usar
colores iguales a las franjas adyacentes. ¿De cuántas maneras diferentes se puede
colorear la bandera?
Consideremos las posibles banderas de 7 franjas que se pueden formar
FRANJAS: 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7°
3 2 2 2 2 2 2x x x x x x
Número de formas diferentes de colorear la bandera es: 𝟑(𝟔𝟒) Respuesta: 192
Problema 19
RESOLUCIÓN:
Una persona, para obtener un ingreso adicional, alquila las 7 habitaciones de su casa: 4 en
el primer piso y 3 en el segundo piso. Llegan 5 huéspedes: A, B, C, D y E. El huésped A no
acepta alojarse en una habitación del segundo piso; B y C no aceptan ir a una habitación
del primer piso; D y E no tienen preferencias. ¿De cuántas maneras diferentes los 5
huéspedes pueden ser distribuidos en las 7 habitaciones?
Consideremos las 7 habitaciones de 2 pisos
de la siguiente manera:
A no puede alojarse en el 2°piso
B y C no puede alojarse en el 1°piso
Cada turista elige una habitación:
11
12
13
14
21
22
23
21
22
23
11
12
13
14
21
22
23
11
12
13
14
21
22
23
𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟑x x x xN° de maneras =Respuesta: 288
Problema 21
RESOLUCIÓN:
Expresar en términos de n
     
        
     
n n n
E 2 3 n
2 3 n
𝐸 + 𝒏 = 𝟎𝑪𝟎
𝒏 + 𝟏𝑪𝟏
𝒏 + 2𝐶2
𝑛 +⋯+ 𝑛 − 1 𝐶𝑛−1
𝑛 + 𝑛𝐶𝑛
𝑛
𝐸 + 𝑛 = 𝑛𝐶𝑛
𝑛 + 𝑛 − 1 𝐶𝑛−1
𝑛 + 𝑛 − 2 𝐶𝑛−2
𝑛 +⋯+ 1𝐶1
𝑛 + 0𝐶0
𝑛
𝐸 = 2𝐶2
𝑛 + 3𝐶3
𝑛 +⋯+ 𝑛𝐶𝑛
𝑛Se tiene:
Sabemos: 𝑛 = 𝐶1
𝑛 𝑛 = 0𝐶0
𝑛 + 𝐶1
𝑛
Sumando:
Se suma , 
considerando:
⋯(∗)
⋯ (∗∗)
y (∗∗)(∗)
𝑪𝒌
𝒏 = 𝑪𝒏−𝒌
𝒏
2𝐸 + 2𝑛 = 𝑛 𝐶0
𝑛 + 𝐶1
𝑛 +⋯𝐶𝑛
𝑛
2 𝐸 + 𝑛 = 𝑛 2 𝑛 𝐸 + 𝑛 = 𝑛 . 2𝑛−1
Respuesta: 𝑬 = 𝒏 𝟐𝒏−𝟏 − 𝟏
Problema 25
RESOLUCIÓN:
Calcule la suma de cifras de:
 
𝑝=1
𝑛
𝑝 =
𝑛 𝑛 + 1
2Sabemos:
1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 =
𝑛 𝑛 + 1
2
𝑆 = 
𝑚=1
10
10 11 12
6
𝑆 = 
𝑚=1
10
 
𝑛=1
10
 
𝑝=1
𝑛
𝑝
luego, se tiene:
𝑆 = 
𝑚=1
10
 
𝑛=1
10
𝑛(𝑛 + 1)
2
𝑆 = 
𝑚=1
10
1 × 2
2
+
2 × 3
2
+
3 × 42
+⋯+
10 × 11
2
𝑆 = 
𝑚=1
10
220 𝑆 = 220 × 10
Respuesta: 𝟒
= 𝟐𝟐𝟎𝟎