_PROBABILIDADES-APLICACIONES

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ARITMÉTICA
CICLO 2020 - II
PROBABILIDADES
La palabra azar
etimológicamente la
empezaron a
utilizar los árabes
(AZ-ZAHR) para
denominar a una
cara de un dado
dibujado con una
flor.
DEFINICIONES
Experimento aleatorio (): Es un experimento que consiste en la realización de una o más 
pruebas, cuyo resultado (en cada uno) depende del azar, por tanto, no se puede anticipar el 
resultado.
Espacio Muestral (  ): Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un
experimento aleatorio.
Ejemplo: Experimento aleatorio : Se lanzan un par de monedas 
Espacio muestral:  = 𝒄𝒄 , 𝒄𝒔 , 𝒔𝒄 , 𝒔𝒔
Donde 𝑐 ∶ 𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑦
𝑠 ∶ 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑜
Evento o Suceso (A): Es un subconjunto del espacio muestral, es decir esta 
conformado por uno o más resultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo: 
Experimento aleatorio : Se lanza un par de dados 
Espacio muestral :
En el cuadro se muestran todos los posibles resultados.
Evento (A): Al lanzar un par de
dados se obtiene 6 como la suma
de los resultados observados en las
caras superiores de los dados
𝐴 = 5,1 , 4,2 , 3,3 , 2,4 , 1,5
CLASIFICACIÓN DE LOS ESPACIOS MUESTRALES (Ω)
𝛀 DEFINICIÓN EJEMPLOS
DISCRETO 
FINITO
NÚMERO FINITO DE 
ELEMENTOS
Ω1 = 𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑜 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ω2 = 𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎
= {𝐶𝐶𝐶, 𝐶𝐶𝑆, 𝐶𝑆𝐶, 𝑆𝐶𝐶, 𝐶𝑆𝑆, 𝑆𝐶𝑆, 𝑆𝑆𝐶, 𝑆𝑆𝑆}
DISCRETO 
INFINITO
NÚMERO INFINITO 
NUMERABLE
Ω3 = 𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑔𝑎
𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 = {𝐶, 𝑆𝐶, 𝑆𝑆𝐶, 𝑆𝑆𝑆𝐶, … }
Ω4 = 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 = {0, 1, 2, 3, … }
CONTINUO INFINITO NO 
NUMERABLE DE 
ELEMENTOS
Ω5 = 𝑉𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙, 𝑒𝑛 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠, 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
𝑎𝑟𝑡𝑒𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = {𝑡 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑡 ≥ 0}
Ω6 = 𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑑𝑜 𝑦 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎í𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑢𝑛 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒
5 𝑐𝑚 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 =
{(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 25}
Ejemplo: Los artículos provenientes de una línea de producción se han
clasificado por el departamento de control de calidad en : defectuosos (D) y
no defectuosos (N). El personal que registra los artículos que salen de
producción, hace un control riguroso, el proceso se detiene hasta observar
dos artículos defectuosos consecutivos o hasta que se observen tres
artículos no defectuosos .Indique el espacio muestral asociado a este
experimento.
𝛀 = {𝑫𝑫,𝑫𝑵𝑫𝑫,𝑫𝑵𝑫𝑵𝑫𝑫,𝑫𝑵𝑫𝑵𝑫𝑵,𝑫𝑵𝑫𝑵𝑵,𝑫𝑵𝑵𝑫𝑫,𝑫𝑵𝑵𝑫𝑵,𝑫𝑵𝑵𝑵,
𝑵𝑫𝑫,𝑵𝑫𝑵𝑫𝑫,𝑵𝑫𝑵𝑫𝑵,𝑵𝑫𝑵𝑵,𝑵𝑵𝑫𝑫,𝑵𝑵𝑺𝑵,𝑵𝑵𝑵}
RESOLUCION:
El siguiente conjunto muestra todos los casos que se pueden presentar .teniendo en 
cuenta las condiciones ( Espacio muestral discreto finito).
Ejemplo: Lanzar una moneda hasta que salga cara.
Resolución:
𝛀 = { 𝑪, 𝑺𝑪, 𝑺𝑺𝑪, 𝑺𝑺𝑺𝑪, 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑪, 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑪,… }
Se lanza moneda , pero cuando se obtiene CARA (C) no se pude
predecir cuando , se trata de un espacio muestral discreto infinito.
1. Sean 𝐴1, 𝐴1, … , 𝐴𝑛 eventos del espacio muestral , se cumple que:
• : Evento donde ocurre al menos uno de los eventos 𝐴1, 𝐴1, … , 𝐴𝑛.
En particular 𝐴 ∪ 𝐵 es el evento donde ocurre sólo 𝐴 ó sólo 𝐵 ó ambas a la vez.
• : Evento donde todos los eventos 𝐴1, 𝐴1, … , 𝐴𝑛 ocurren a la vez.
Evento seguro: 
Evento Imposible: ∅
En particular, llamemos:

n
i
iA
1
Observaciones:

n
i
iA
1
2. El número de eventos diferentes que se puede encontrar en un espacio
muestral  es: 2𝑛() .
Definición: Sea  el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. La
probabilidad de cualquier evento 𝐴 de , es el número real 𝑃(𝐴) que satisface
los siguientes axiomas:
P1) 𝟎 ≤ 𝑷 𝑨 , ∀ 𝑨 ⊂ 
Teorema 1: Si ∅ es el evento imposible, entonces P ∅ = 0.
Probabilidad de un evento
P2) 𝑷  = 𝟏
P3) Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces:
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝑩)
De los axiomas de probabilidad resultan los siguientes teoremas:
Prueba
Como  y ∅ son eventos disjuntos y = ∪ ∅, por el axioma P3 se tiene
P()=P()+P(∅) → P(∅)=0
Teorema 2: Si 𝐴𝐶 es el evento complementario de 𝐴 entonces
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴𝐶) o 𝑃 𝐴𝐶 = 1 − 𝑃(𝐴)
Prueba
Como 𝐴 y 𝐴𝐶son eventos disjuntos y =𝐴 ∪ 𝐴𝐶, por el axioma P3) se tiene
P()=P(𝐴)+P(𝐴𝐶)
Luego, por el axioma P2) se tiene 
1 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐴𝐶)
Al despejar un sumando se obtiene los resultados deseados.
Teorema 3: Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos de un mismo espacio muestral tales que
𝐴 ⊂ 𝐵, entonces 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵).
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩
Teorema 4: Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos de un mismo espacio muestral entonces
Es más, para tres eventos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 de un mismo espacio muestral se verifica que:
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 + 𝑷 𝑪 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑪 − 𝑷 𝑩 ∩ 𝑪 + 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪
Sea = 𝒘𝟏, 𝒘𝟐, … ,𝒘𝒏 , un espacio muestral finito, si 𝐴 es un evento del espacio
equiprobable  que consta de 𝑘 puntos muestrales (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) entonces la
probabilidad de 𝐴 es el número:
Probabilidad de un evento en un espacio muestral 
finito
𝑷 𝑨 =
𝒏(𝑨)
𝒏()
=
𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒂 𝑨
𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
Observación:
Se puede verificar que 𝑷 𝑨 =
𝒏(𝑨)
𝒏()
cumple con los 3 axiomas antes mencionado.
𝑷 𝑨 =
𝟏
𝒏
+
𝟏
𝒏
+⋯+
𝟏
𝒏
=
𝒌
𝒏
Es decir,
𝑘 veces
Aplicación 1:
Una urna contiene 20 fichas de las cuales : 10 son de color rojo, 6 son azules y 4 son
verdes. Si se extraen 3 fichas al azar (a la vez) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3
fichas sean de colores diferentes?
A) 4/19 B) 5/19 C) 6/19 D) 11/19 E) 15/19
RESOLUCION :
De la urna que contiene 20 fichas se van a extraer 3 fichas 
Casos totales: 𝐶3
20 = 1140
Sea 𝐴 el evento s
Casos favorables: 𝐶1
10 𝐶1
6 𝐶1
4 = 10𝑥6𝑥4 = 240
e extrae una ficha de cada color𝑃(𝐴) =
240
1140
=
4
19
RPTA. A
Un jurado formado por 7 jueces deben decidir sobre la inocencia o culpabilidad de
un reo. Supongamos que 4 piensan votar por su inocencia y los otros 3 por ser
culpabilidad. Si se selecciona al azar 3 jueces y si les preguntan cómo votaran ¿Cuál
es la probabilidad de que la mayoría en esa muestra estén a favor de la inocencia del
reo?
A) 3/10 B) 2/5 C) 22/35 D) 5/7 E) 24/3
Aplicación 2:
RESOLUCION
Total de jueces 7 ⇒ 
4 𝑣𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟
3 𝑣𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎
Para tener mayoría : De los 4 votan a favor 2 y de los 
3 vota en contra 1, O de los 4 votan a favor 3.
𝑃 =
𝐶
4
2
𝐶
3
1
+𝐶
4
3
𝐶
7
3
=
22
35
RPTA. C
En una sección de 50 alumnos se desea formar una comisión de 3 miembros ¿Cuál es
la probabilidad de que el alumno José siempre integre la comisión, si dicho alumno
pertenece a la sección indicada?
a) 0,03 b) 0,04 c) 0,05 d) 0,06 e) 0,07
Aplicación 3:
RESOLUCION
De los 50 alumnos se elige la comisión 
de 3 alumnos , donde siempre esta 
presente José.
𝑃 =
𝐶
49
2
𝐶
50
3
=
1176
19600
=
3
50
= 0,06 RPTA.D
En una reunión hay 12 hombres y 8 mujeres de los cuales 6 estudian ciencias y 14
estudian letras. Si 2 personas son mujeres que estudian ciencias. ¿Cuál es la
probabilidad de que al escoger 2 personas al azar estas sean mujeres o estudian
letras ?
A) 52/95 B) 53/95 C) 54/95 D) 56/95 E) 57/95
Aplicación 4:
𝑃 𝑀 ∪ 𝐿 = 𝑃 𝑀 + 𝑃 𝐿 − 𝑃(𝑀 ∩ 𝐿)
𝑃 𝑀 ∪ 𝐿 =
𝐶2
8
𝐶2
20 +
𝐶2
14
𝐶2
20 −
𝐶2
6
𝐶2
20 =
104
190
=
52
95
De los datos se forma el siguiente cuadro
H M TOTA
L 
Ciencias 4 2 6
Letras 8 6 14
12 8 20
RPTA. A
RESOLUCION 
En un colegio los alumnos pueden optar por estudiar los idiomas ingles o francés (
pero no ambos a la vez), si el 90% de los alumnos estudia ingles y el resto francés
, el 30% de los que estudian ingles son varones y de los que estudian francés son
varones el 40% .Si se elige, cual es la probabilidad de que sea:
i) una dama.
ii) varón que estudia francés
De como respuesta la suma de dichas probabilidades.a) 0,69 b) 0,73 c) 0,75 d) 0,79 e) 0,83
RESOLUCION
𝑃 𝑑𝑎𝑚𝑎 = 0,69Del enunciado
INGLES FRANCES TOTA
L
VARON 27% 4% 31%
DAMA 63% 6% 69%
90% 10% 100%
𝑃 𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒𝑠 = 0,04
Aplicación 5:
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: 0,73
RPTA. B
De 100 personas , 49 no compran el producto A, 53 no compran el producto B y
27 no compran ni A ni B .Calcule la probabilidad que al elegir una persona esta
solo compra uno de los productos.
Aplicación 6 
A)
1
6
B) 
13
60
𝐶)
1
4
D) 
12
25
E) 
11
25
RESOLUCI
ON
Del 
enunciado
A B
26 25 22
27
P(solo consumen un producto) = 
26+22
100
=
12
25
Rpta. D
De una baraja de 52 cartas se extraen al azar 5 cartas ¿Cuál es la probabilidad de
obtener “flor” ( 5 cartas del mismo grupo)? Considere que en la baraja de 52 cartas hay
4 grupos ( espada, diamante, trébol, corazón) y en cada grupo se hace la numeración de
la carta del 1 al 13.
APLICACIÓN 7
RESOLUCION
Sea el evento A : Obtener “ flor” 
Hay 4 formas de obtener uno de estos grupos y de estas hay 13
5
formas de extraer 5 
cartas del mismo grupo
𝑃 𝐴 =
4
1
13
5
52
5
=
33
16 660
A ) 
33
15 650
B) 
11
16 700
C) 
33
16 660
D) 
22
16 800
E) 
22
17 669
RPTA. C
Definición de Probabilidad en forma Frecuencial
Ley de los grandes números. En un experimento se determina el espacio muestral y se
elige un evento cualquiera A, luego se efectúa el experimento una cantidad de veces y se
calcula:
El resultado obtenido se denomina la frecuencia relativa del evento A.
A medida que el experimento se repite los resultados del experimento pueden ocurrir en
forma aleatoria, la frecuencia relativa del evento A cambia en forma aleatoria pero
cuando el experimento se repite un gran número de veces, aparece un modelo definido de
regularidad: la frecuencia relativa de A tiende a un número fijo el cual es llamado la
probabilidad de A, esto hace posible la construcción de un modelo matemático para
analizar el experimento.
Se han hecho estudios observando la vida de la nutria en las riveras de
los riachuelos que desembocan en el rio amazonas , se indico que el 98%
sobrevive los 200 días después de nacer, 83% sobrevive los 400 días,
40% sobrevive los 600 días, 8% sobrevive los 800 días y no sobreviven
los 1 000 días. Calcule la probabilidad de que mueran entre 200 y 400
días
RESOLUCION
Sea el evento A : El numero de nutrias muertas entre 200 y 400 
días : 98𝑥 − 83𝑥 = 15𝑥
𝑃 𝐴 =
15𝑥
100𝑥
= 0,15
A) 0,15 B) 0,18 C) 0,22 D) 0,25 E) 0,28
RPTA. A
APLICACIÓN 8
Eventos mutuamente excluyentes: 
Dos eventos A y B de un mismo de un mismo espacio muestral  ≠ ∅
son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto
implica que 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. Es decir 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0
Ejemplo:
Se lanza un dado y registra el número obtenido, también se definen los 
siguientes dos eventos:
A: Es el evento sale un número impar
B: Es el evento sale un número par
entonces los evento A y B son dos eventos mutuamente excluyentes.
Se cumple que : 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0
Eventos independientes: 
Dos Eventos A y B de un mismo espacio muestral  ≠ ∅ asociado a un 
experimento E se dice que son independientes sí y solo si 
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 .𝑷(𝑩)
Esto quiere decir que los eventos A y B no están relacionados, por lo tanto la ocurrencia de 
uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro.
Ejemplo. 
Supongamos que se lanza un dado normal dos veces, definamos los eventos A y B como sigue:
A: El primer resultado muestra un número par:
B: El segundo resultado muestra un 5 ó un 6:
La ocurrencia del evento A no influye en la ocurrencia del 
evento B. 
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 . 𝑷 𝑩 =
𝟏𝟖
𝟑𝟔
𝒙
𝟏𝟐
𝟑𝟔
=
𝟏
𝟔
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
𝑃 𝐴 =
18
36
𝑃 𝐵 =
12
36
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean 𝑨 y 𝑩 dos eventos de un mismo espacio muestral  ≠ ∅, se define la 
probabilidad condicional del evento 𝑩 dado que ha ocurrido el evento 𝑨 , de la 
siguiente forma:
Los estudiantes de una clase se han clasificado 
según el siguiente cuadro 
 Masculino Femenino TOTAL 
Lima 9 1 10 
Otros 
Departamentos 
36 4 40 
TOTAL 45 5 50 
 
Calcular la probabilidad de que 
I. Sea mujer dado que es de Lima 
II. Sea hombre dado que es de otros 
departamentos 
RESOLUCION 
I. Definimos los eventos 
𝑨: Es de Lima 
𝑩: Es mujer 
𝑷(𝑩 𝑨 ) =
𝑷(𝑩 ∩ 𝑨)
𝑷(𝑨)
=
𝟏
𝟓𝟎
𝟏𝟎
𝟓𝟎
=
𝟏
𝟏𝟎
 
II. Definimos los eventos 
𝑪: Es hombre 
𝑫: Es de otros departamentos 
𝑷(𝑪 𝑫 ) =
𝑷(𝑪 ∩ 𝑫)
𝑷(𝑫)
=
𝟑𝟔
𝟓𝟎
𝟒𝟎
𝟓𝟎
=
𝟗
𝟏𝟎
 
Ejemplo
Un hombre tiene dos automóviles 𝐴 y 𝐵 , la probabilidad que ambos
arranquen es 0,1; la probabilidad de que arranque 𝐵 y 𝐴 no arranca es 0,2; la probabilidad de
que ninguno de ellos arranquen es 0,4.
Calcular la probabilidad de que:
1. Arranca 𝐴
2. Arranca 𝐴, dado que arranca 𝐵
3. Arranca 𝐵, dado que 𝐴 no arranca
RESOLUCION
Definimos
𝑨 ∶ 𝑬𝒍 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎𝒐𝒗𝒊𝒍 𝑨 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒏𝒄𝒂 , 𝑨𝑪: 𝑬𝒍 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎𝒐𝒗𝒊𝒍 𝑨 𝒏𝒐 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒏𝒄𝒂
𝑩:𝑬𝒍 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎𝒐𝒗𝒊𝒍 𝑩 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒏𝒄𝒂 ;𝑩𝑪: 𝑬𝒍 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎𝒐𝒗𝒊𝒍 𝑩 𝒏𝒐 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒏𝒄𝒂
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟎, 𝟏 ; 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨𝑪 = 𝟎, 𝟐 , 𝑷 𝑩𝑪 ∩ 𝑨𝑪 = 𝟎, 𝟒
Observación:
𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑨 ∩ 𝑪
𝑨 ∩ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑨 ∩ 𝑩 ∪ 𝑨 ∩ 𝑪
APLICACIÓN 9
 
1. 𝑨𝒄 = (𝑨𝒄 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) = 𝑨𝒄 ∩ (𝑩 ∪ 𝑩𝒄) = 𝑨𝒄 ∩∪= 𝑨𝒄 
 
𝑷(𝑨𝒄) = 𝑷 (𝑨𝒄 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) 
𝑷(𝑨𝒄) = 𝑷(𝑨𝒄 ∩ 𝑩) + 𝑷(𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) − 𝑷 (𝑨𝒄 ∩ 𝑩) ∩ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) 
 
𝑷 𝑨𝒄 ∩ (𝑩 ∩ 𝑩𝒄) 
𝑷(𝑨𝒄 ∩ ∅) = 𝑷(∅) 
 
𝑷(𝑨𝒄) = 𝟎,𝟐 + 𝟎,𝟒 + 𝟎 = 𝟎,𝟔 
𝑷(𝑨) = 𝟎,𝟒 
2. 𝑷(𝑨 𝑩 ) =
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑩)
=
𝟎,𝟏
𝑷(𝑩)
=
𝟎,𝟏
𝟎,𝟑
=
𝟏
𝟑
 
 
OBSERVACIÓN: 
𝑩 = (𝑩 ∩ 𝑨) ∪ (𝑩 ∩ 𝑨𝒄) ⇒ 𝑩 = 𝑩 ∩ (𝑨 ∪ 𝑨𝒄) = 𝑩 ∩ 𝑼 
𝑷(𝑩) = 𝑷 (𝑩 ∩ 𝑨) ∪ (𝑩 ∩ 𝑨𝒄) 
𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑩 ∩ 𝑨) + 𝑷(𝑩 ∩ 𝑨𝒄) − 𝑷 (𝑩 ∩ 𝑨) ∩ (𝑩 ∩ 𝑨𝒄) 
𝑷(𝑩) = 𝟎,𝟏 + 𝟎,𝟐 − 𝟎 = 𝟎,𝟑 
 
3. 𝑷(𝑩 𝑨𝒄 ) =
𝑷(𝑩∩𝑨𝒄)
𝑷(𝑨𝒄)
=
𝟎.𝟐
𝟎,𝟔
=
𝟐
𝟔
=
𝟏
𝟑
 
 
1. 𝑨𝒄 = (𝑨𝒄 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) = 𝑨𝒄 ∩ (𝑩 ∪ 𝑩𝒄) = 𝑨𝒄 ∩∪= 𝑨𝒄 
 
𝑷(𝑨𝒄) = 𝑷 (𝑨𝒄 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) 
𝑷(𝑨𝒄) = 𝑷(𝑨𝒄 ∩ 𝑩) + 𝑷(𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) − 𝑷 (𝑨𝒄 ∩ 𝑩) ∩ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) 
 
𝑷 𝑨𝒄 ∩ (𝑩 ∩ 𝑩𝒄) 
𝑷(𝑨𝒄 ∩ ∅) = 𝑷(∅) 
 
𝑷(𝑨𝒄) = 𝟎,𝟐 + 𝟎,𝟒 + 𝟎 = 𝟎,𝟔 
𝑷(𝑨) = 𝟎,𝟒 
2. 𝑷(𝑨 𝑩 ) =
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑩)
=
𝟎,𝟏
𝑷(𝑩)
=
𝟎,𝟏
𝟎,𝟑
=
𝟏
𝟑
 
 
OBSERVACIÓN: 
𝑩 = (𝑩 ∩ 𝑨) ∪ (𝑩 ∩ 𝑨𝒄) ⇒ 𝑩 = 𝑩 ∩ (𝑨 ∪ 𝑨𝒄) = 𝑩 ∩ 𝑼 
𝑷(𝑩) = 𝑷 (𝑩 ∩ 𝑨) ∪ (𝑩 ∩ 𝑨𝒄) 
𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑩 ∩ 𝑨) + 𝑷(𝑩 ∩ 𝑨𝒄) − 𝑷 (𝑩 ∩ 𝑨) ∩ (𝑩 ∩ 𝑨𝒄) 
𝑷(𝑩) = 𝟎,𝟏 + 𝟎,𝟐 − 𝟎 = 𝟎,𝟑 
 
3. 𝑷(𝑩 𝑨𝒄 ) =
𝑷(𝑩∩𝑨𝒄)
𝑷(𝑨𝒄)
=
𝟎.𝟐
𝟎,𝟔
=
𝟐
𝟔
=
𝟏
𝟑
 
 
1. 𝑨𝒄 = (𝑨𝒄 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) = 𝑨𝒄 ∩ (𝑩 ∪ 𝑩𝒄) = 𝑨𝒄 ∩∪= 𝑨𝒄 
 
𝑷(𝑨𝒄) = 𝑷 (𝑨𝒄 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) 
𝑷(𝑨𝒄) = 𝑷(𝑨𝒄 ∩ 𝑩) + 𝑷(𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) − 𝑷 (𝑨𝒄 ∩ 𝑩) ∩ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) 
 
𝑷 𝑨𝒄 ∩ (𝑩 ∩ 𝑩𝒄) 
𝑷(𝑨𝒄 ∩ ∅) = 𝑷(∅) 
 
𝑷(𝑨𝒄) = 𝟎,𝟐 + 𝟎,𝟒 + 𝟎 = 𝟎,𝟔 
𝑷(𝑨) = 𝟎,𝟒 
2. 𝑷(𝑨 𝑩 ) =
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑩)
=
𝟎,𝟏
𝑷(𝑩)
=
𝟎,𝟏
𝟎,𝟑
=
𝟏
𝟑
 
 
OBSERVACIÓN: 
𝑩 = (𝑩 ∩ 𝑨) ∪ (𝑩 ∩ 𝑨𝒄) ⇒ 𝑩 = 𝑩 ∩ (𝑨 ∪ 𝑨𝒄) = 𝑩 ∩ 𝑼 
𝑷(𝑩) = 𝑷 (𝑩 ∩ 𝑨) ∪ (𝑩 ∩ 𝑨𝒄) 
𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑩 ∩ 𝑨) + 𝑷(𝑩 ∩ 𝑨𝒄) − 𝑷 (𝑩 ∩ 𝑨) ∩ (𝑩 ∩ 𝑨𝒄) 
𝑷(𝑩) = 𝟎,𝟏 + 𝟎,𝟐 − 𝟎 = 𝟎,𝟑 
 
3. 𝑷(𝑩 𝑨𝒄 ) =
𝑷(𝑩∩𝑨𝒄)
𝑷(𝑨𝒄)
=
𝟎.𝟐
𝟎,𝟔
=
𝟐
𝟔
=
𝟏
𝟑
 
Distribución de Probabilidad Discreta: 
Sea la variable aleatoria discreta 𝑋 con:
𝑋: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 (Valores de la variable)
𝑃: 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑘 (Respectivas probabilidades) 
tal que 𝑃1 + 𝑃2 +⋯+ 𝑃𝑘 = 1
Es más, sea 𝐴 el conjunto de valores de la variable 𝑋, es posible asociar una 
función de probabilidad:
𝑓: 𝐴 → 0,1
𝑥𝑖 → 𝑃𝑖
Para todo 𝑖 = 1,2, … , 𝑘
Observación:Esta función no es inyectiva y 
tampoco sobreyectiva
Ejemplo. Sea el siguiente experimento aleatorio: Se enciende el motor de un carro y la
probabilidad que funcione a 750 RPM sin apagarse es del 80%, si este experimento se realiza
4 veces en las mismas condiciones. Cual es la probabilidad que siempre se encienda el motor?
RESOLUCION
Definimos la variable aleatoria X: número de veces que funciona bien el motor; determinar la función de
probabilidad.
Los valores que puede tomar 𝒙 𝒔𝒐𝒏 ∶ 𝟎, 𝟏, 𝟐 , 𝟑 , 𝟒
𝒙 Funciona el motor 𝑷(𝒙)
0 No funciono 𝑷(𝒙 = 𝟎) 𝑪
𝟒
𝟎
𝟎, 𝟖 𝟎 𝟎, 𝟐 𝟒 0,0016 = 0,16%
1 Funciono una vez 𝑷(𝒙 = 𝟏) 𝑪
𝟒
𝟏
𝟎, 𝟖 𝟏 𝟎, 𝟐 𝟑 0,0256=2,56%
2 Funciono dos veces 𝑷(𝒙 = 𝟐) 𝑪
𝟒
𝟐
𝟎, 𝟖 𝟐 𝟎, 𝟐 𝟐𝟐 0,1536=15,36%
3 Funciono tres veces 𝑷(𝒙 = 𝟑) 𝑪
𝟒
𝟑
𝟎, 𝟖 𝟑 𝟎, 𝟐 𝟏 0,4096=40,96%
4 Funciono cuatro veces 𝑷(𝒙 = 𝟒) 𝑪
𝟒
𝟒
𝟎, 𝟖 𝟒 𝟎, 𝟐 𝟎 0,4096=40,96%
Sea = 𝒘𝟏, 𝒘𝟐, … ,𝒘𝒏, … , un espacio muestral infinito numerable, es decir:
Probabilidad de un evento en un espacio muestral 
infinito numerable
 



1i
iw    










11
1)(
i
i
i
i wPwP 
Luego, si 𝐴 es un evento de , se tiene que:
 


Aw
i
i
wPAP )()(
Un dado se lanza sucesivamente hasta que aparezca el primer uno.
a) Describe el espacio muestral del experimento y determine la probabilidad de cada elemento.
b) Verificar que 𝑃  = 1.
c) Si dos personas 𝐴 y 𝐵 juegan a lanzar el dado uno después del otro y si gana el que obtiene
el primer uno, calcule la probabilidad de que gane 𝐴, si él comienza primero.
Aplicación 10:
RESOLUCIÓN
a) Sea
E: Sale uno en la tirada 𝑖.
F: No sale uno en la tirada 𝑖.
= 𝑬,𝑭𝑬, 𝑭𝑭𝑬,…
  













6
1
6
5
)(
1i
iwP
Luego
b)   












1
1
1
6
5
1
1
6
1
6
5
6
1
i
i
P
c) ...
6
5
6
1
6
5
6
1
6
1
)(
42






























GaneAP
11
6
6
5
1
1
6
1
2









con 𝑖 ∈ ℕ
Luis y Miguel juegan alternativamente sacando una ficha con reposición de una urna que
contiene 3 fichas de color rojo y una de color azul, si gana el primero que obtiene la ficha azul,
calcule la probabilidad de que gane Luis, si él inicia el juego.
A) 3/5 B) 3/13 C) 7/11 D)5/9 E) 4/7
Aplicación 11:
RESOLUCIÓN
Sea
E: Sale la ficha azul en la extracción 𝑖.
F: No sale la ficha azul en la extracción 𝑖.
= 𝑬,𝑭𝑬, 𝑭𝑭𝑬,…
El espacio muestral que resulta
de extraer una ficha hasta obtener
una azul es:
...
4
3
4
1
4
3
4
1
4
1
)(
42






























XP
7
4
4
3
1
1
.
4
1
2









X: Evento de  que resulta ganador Luis
X= 𝑬, 𝑭𝑭𝑬, 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑬,…


























 ...
4
3
4
3
1
4
1
42
CLAVE E
Si tres personas 𝐴,𝐵 y 𝐶 juegan a lanzar una moneda uno después del otro y si gana el que
obtiene la primera cara, calcule la probabilidad de que gane 𝐵, si 𝐴 inicia el juego seguido de 𝐵 y
después 𝐶 y así sucesivamente.
A) 3/5 B) 2/9 C) 7/11 D)2/7 E) 1
Aplicación 12:
RESOLUCIÓN
Sea
E: Sale cara en la tirada 𝑖.
F: No sale cara en la tirada 𝑖.
= 𝑬,𝑭𝑬, 𝑭𝑭𝑬,…
El espacio muestral que resulta
de lanzar una moneda hasta obtener
una cara s:
...
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
74




































XP
7
2
2
1
1
1
.
4
1
3









X: Evento de  que resulta ganador 𝐵
X= 𝑭𝑬,𝑭𝑭𝑭𝑭𝑬, 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑬,…


























 ...
2
1
2
1
1
4
1
63
CLAVE D
Sea 𝐴 cualquier evento de un espacio muestral continuo , tal que la medida
(longitud o área) de 𝐴 exista, denotado por 𝑚(𝐴). Definamos la probabilidad de
𝐴 como:
Probabilidad de un evento en un espacio muestral
continuo
)(
)(
)(


m
Am
AP
Observación:
En el caso continuo la probabilidad de un punto en  es cero, por lo tanto,
si 𝑃 𝐴 = 0 no implica que 𝐴 = ∅. 
La demanda de lo productos 𝐴 y 𝐵 varía aleatoriamente en un rango de 1000 a 5000 kg.
El distribuidor decide bajar el precio de venta de ambos productos si la suma de sus
demandas varía de 3000 a 5000 kg. Calcule la probabilidad de que el precio de venta de
ambos productos baje.
Aplicación 13:
RESOLUCIÓN
Sean
𝑥: Demanda del producto 𝐴.
𝑦: Demanda del producto 𝐵.
Ambos en miles de soles
= 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝟐: 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓 𝒚 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟓
El espacio muestral es:
Si 𝐷 es el evento “el precio de ambos productos baja”:
D= 𝒙, 𝒚 ∈  ∶ 𝟑 ≤ 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟓
1 2 4 5
1
2
4
5 Área sombreada:
3×3
2
−
1×1
2
=4
𝑃 𝐴 =
4
42
=
1
4
Un centro de esparcimiento en forma de hexágono regular de 30𝑚 de lado, en cuyos
vértices existen piscinas en forma de sector circular de 10𝑚 de radio. Si un paracaidista
cae dentro del centro de esparcimiento. ¿Cuál es la probabilidad de que no caiga en el agua?
A) 0,29 B) 0,57 C) 0,73 D) 0,81 E) 0,93
Aplicación 14:
RESOLUCIÓN
El espacio muestral  es el conjunto
de puntos de la siguiente región :
𝑚  =6
302 3
4
𝑚2=1350 3𝑚2 CLAVE C
𝐦()
30𝑚
Sea el evento 𝐴 el conjunto de puntos que estan
dentro de las 6 regiones de cada sector circular con 
medida de angulo central 1200:
𝑚 A =6
2𝜋
3
×102
2
𝑚2
=200𝜋 𝑚2
Luego nos piden, la probabilidad del complemento
de 𝐴:
𝑃 𝐴𝑐 =
1350 3 − 200𝜋
1350 3
= 0,73
Dos ingenieros deciden encontrarse en cierto lugar para cerrar un negocio entre las 7:00pm
y 8:00pm. Si convienen que cada uno de ellos debe esperar al otro a lo más 20 minutos.
¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?
A) 1/11 B) 3/11 C) 5/11 D) 5/9 E) 7/9
Aplicación 15:
RESOLUCIÓN
Sean
𝑥: Hora de llegada de 𝐴.
𝑦: Hora de llegada de 𝐵.
= 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝟐: 𝟕 ≤ 𝒙 ≤ 𝟖, 𝟕 ≤ 𝒚 ≤ 𝟖
El espacio muestral es:
E= 𝒙, 𝒚 ∈ : 𝒙 − 𝒚 ≤
𝟏
𝟑
El evento es:
7
1/3
7
8
Área sombreada:
12 −
2
3
×
2
3
=
5
9
𝑃 𝐸 =
5
9
12
=
5
9
8
1/3
1/3
1/3
CLAVE D
Se extraen dos cartas una por una sin reposición de una baraja de 52
cartas, calcule la probabilidad de que la primera sea un diamante y la
segunda carta sea un trébol.
A) 1/17 B) 2/19 C) 3/23 D) 4/51 E) 4/53
1
RESOLUCION
Se tienen 52 cartas , dividido en 4 grupos de 13 cartas cada grupo ( espada , 
trébol , diamante , corazón ) 
𝑃 =
13
52
𝑥
12
51
=
1
17
RPTA. A
Siete atletas: A; B: C; D; E; F; G participan en una carrera ¿Cuál es la 
probabilidad que el atleta A llegue a la meta antes que el atleta B?
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5
Casos Totales: 𝑃7 = 7!
Casos favorables:
Si A llega primero, B puede llegar en alguno de los siguientes lugares 2º, 3º, 4º, 5º, 6º,
7º, es decir B tiene 6 posibilidades , luego ubicados A y B , los otros atletas pueden
llegar de 5! formas diferentes , entonces se tiene : 6 x 5! formas.
Si A llega segundo, B puede llegar 3º, 4º, 5º, 6º, 7º, se observa que B tiene ahora 5 
posibilidades y los otros atletas pueden llegar de 5! formas diferentes, entonces se 
tiene 5 x 5! formas.
Se continua con un análisis similar hasta cuando A llega sexto, se entiende que B llegaría 
séptimo y los otros atletas tendrían 5! formas diferentes de poder ubicarse.
𝑷 =
𝟔𝒙𝟓!+𝟓𝒙𝟓!+𝟒𝒙𝟓!+⋯+𝟏𝒙𝟓!
𝟕!
=
𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟓 RPTA. E
2
RESOLUCION
Una carta es extraída de un mazo de 52 naipes y se ubica a un lado sin
observar la denominación. ¿Cuál es la probabilidad de que en una segunda
extracción de las cartas restantes esta sea as?
A) 1/13 B) 3/13 C) 4/13 D) 7/52 E) 9/52
3
RESOLUCION
Sale AS 
4
52
No sale AS 
48
52
Sale AS 
3
51
No sale AS 
48
51
Sale AS 
4
51
No sale AS 
47
51
Utilizando el diagrama del árbol
Consideramos 
( La primera extracción es AS y la 
segunda también es AS ) o ( la 
primera extracción no es AS y la 
segunda si es AS)
𝑃 =
4
52
𝑥
3
51
+
48
52
𝑥
451
=
1
13
RPTA. A
Un vendedor tiene para vender 10 automóviles nuevos: 3 del
modelo A; 3 del modelo B y 4 del modelo C.
a) Calcule la probabilidad de vender uno de cada modelo
b) Calcule la probabilidad de vender dos de un mismo modelo?
A) 3/10 y 4/17 B) 3/10 y 4/15 C) 1/25 y 3/10
D) 1/20 E) 1/15
Vende uno de cada modelo (vende uno de A y uno de B y uno de C, la letra):
𝑃 =
𝑐1
3 𝑐1
3 𝑐1
4
𝑐3
10 =
36
120
=
3
10
Vende dos de un mismo modelo (vende dos de A o dos de B o dos de C
𝑃 =
𝐶2
3+𝐶2
3+𝐶2
4
𝐶2
10 =
12
45
=
4
15
4
RESOLUCION
A B C
3 3 4
RPTA. B
Tres turistas llegan a un pueblo y deciden alojarse en un hotel en habitaciones individuales.
¿Cuál es la probabilidad de que ellos se hospeden en un mismo piso, si dicho hotel tiene 4 pisos;
sabiendo que en el primer piso hay 2 habitaciones ocupadas, en el segundo una y cada piso
consta de 5 habitaciones?
A) 4/523 B) 7/242 C) 8/235 D) 6/137 E) 5/136
5
→ 4 𝑃𝐼𝑆𝑂
→ 3 𝑃𝐼𝑆𝑂
→ 2 𝑃𝐼𝑆𝑂
→ 1 𝑃𝐼𝑆𝑂
RESOLUCION Casos posibles:
1º Piso: 3! =6
2ºPiso: 𝑝3
4 = 4! =24 
3º piso: 𝑝3
5 = 60
4º piso: 𝑝3
5 = 60
La probabilidad de que los 3 se
hospeden en un mismo piso es :
P =
6+24+2 𝑥 60
17 𝑥 16 𝑥 15
= 
5
136
Numero total de 
habitaciones : 4 x 5 = 
20
RPTA. E
Backus está lanzando una promoción al mercado, debido a que por la cuarentena las
ventas han bajado notablemente y para asegurar sus ventas ha distribuido a las tiendas
dicha bebidas alcohólicas de tal manera que de cada 12 botellas una tiene premio (este
premio consiste en un vale de 20 soles).Cuatro amigos se dirigen a una tienda en la que hay
60 botellas de dicha bebida y compran un par de cervezas heladas . ¿Cuál es la probabilidad
de que al menos una de las botellas compradas tenga premio?
A) 9/118 B) 17/128 C) 19/118 D) 21/118 E) 23/118
66
RESOLUCION
Numero de botellas 60
Botellas premiadas 5
Botellas no premiadas 
55
Sean los eventos 
A : Al menos 1 con 
premio
𝐴𝐶: Ninguna con premio
𝑃 = 1 −
𝐶
55
2
𝐶
60
2
=
19
118 RPTA C
7
77 A y B son dos adictos al cigarro , en el año 2020, la probabilidad que A de 50 años
llegue a los 70 es de 1/5 y que B de 40 años llegue a los 60 años es 1/3 ¿Cuál es la
probabilidad de que al menos uno de ellos este vivo para el campeonato mundial de
futbol 2040?
A) 6/15 B) 7/15 C) 8/15 D) 9/15 E) 2/3
RESOLUCION
Sean los eventos :
A : A llega a los 70 años
B: B llega a los 60 años
𝑃 𝐴 =
1
5
; 𝑃 𝐵 =
1
3
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 …(1)
Los eventos son independientes
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑥𝑃 𝐵 … (2)
(2) en (1) :
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 𝑥 𝑃(𝐵)
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
1
5
+
1
3
−
1
5
𝑥
1
3
=
7
15
RPTA. B
Se tiene un dado cargado en el que todos los pares tienen la misma
probabilidad de obtenerse. Si el obtener un dos es el doble de la posibilidades que
obtener un tres ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo?
A)
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
9
E)
4
9
8
RESOLUCION
Probabilidad de obtener un valor
par es el doble de la
probabilidad de obtener un valor
impar
Valor 
obtenido
Probabilida
d
1 P
2 2P
3 P
4 2P
5 P
6 2P
Suma de las probabilidades =1
P+2P+P+2P+P+2P=1
P = 
1
9
Probabilidad de obtener 
un número primo
P(2) + P(3) + P(5) = 2P 
+ P + P = 4P = 
4
9
RPTA. E
Se tienen dos urnas , en la primera hay 4 bolas rojas y 6 azules , en la segunda hay 5
bolas rojas y 5 bolas azules .Se extrae una bola al azar de la primera urna y se coloca en
la segunda urna ¿Cuál es la probabilidad de que esta ultima sea una bola roja?
A) 0,4 12 B) 𝑂, 4 27 C) 0,45 3 D) 0, 47 6 E) 0,4 90
RESOLUCION
Se extrae una bola al azar de la
primera urna y se coloca en la
segunda urna y luego se extrae de
una bola de la segunda urna.
URNA 1 URNA 2
R 4
A 6
Formando el diagrama 
del árbol
R 5
A 5
4
10
6
10
6
11
5
11
5
11
6
11
𝑃 =
4
10
6
11
+
6
10
5
11
= 0.4 90
9
RPTA. E
En un intento por burlar la vigilancia en la aduana , un viajero colocó 5 pastillas
de narcótico en un frasco que contiene 10 pastillas de vitaminas de apariencia
semejante .Si el inspector de la aduana selecciona al azar 3 pastillas del
frasco ¿Cuál es la probabilidad de que un viajero no sea arrestado por
posesión ilegal de narcóticos ? ( considere una muestra sin reemplazo)
A) 0,2417 B) 0,2637 C) 0,2854 D) 0,541 E) 0,581
RESOLUCION 
Del enunciado se tienen 5 pastillas
de narcóticos y 10 pastillas de
vitamina
Para que no sea arrestado 
debe sacar 3 vitaminas
𝑃 =
10
15
𝑥
9
14
𝑥
8
13
= 0,2637
Otro método : 𝑃 =
𝐶
10
3
𝐶
15
3
= 0,2637
RPTA. B
10
De una baraja de 52 cartas se extraen tres naipes de uno en uno y sin 
reposición. Calcular la probabilidad de que todos sean ases.
A) 
1
550
B) 
1
950
C) 
1
1250
D) 
1
1525
E) 
1
1750
RESOLUCI
ON
En el mazo se tienen 52 cartas 
Se extraen 3 cartas de 
uno en uno
Se debe calcular la probabilidad de que 
todos son as
𝑃 =
4
52
3
51
2
50
=
24
132600
=
1
1525
11
RPTA. D
Diez alumnos de diferentes estaturas forman cola para tomar el ómnibus, calcular la 
probabilidad que:
i) El más alto se ubica al inicio
ii) El más alto y el más bajo estén en extremos opuestos
iii) El más alto y el más bajos estén juntos en la cola
Dar como respuesta la suma de las tres probabilidades
A) 29/90 B) 17/80 C) 41/ 100 D) 23/70 E) 21/ 80 
RESOLUCION
Del enunciado
i) 
𝑃 =
9!
10!
=
1
10
ii) 
𝑃 =
2! 𝑥 8!
10!
=
1
45
iii)
𝑃 =
2 𝑥 9!
10!
=
1
5
RPTA. A
12
ESPERANZA MATEMÁTICA
También llamada valor esperado , esperanza , media poblacional o 
media de una variable aleatoria , es el número que formaliza la idea 
de valor medio de un fenómeno aleatorio
DEFINICION 
Si una variable aleatoria puede tomar 
𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 𝑦 𝑠𝑢𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑃 (𝑥1) , 𝑃 (𝑥2) , … , 𝑃 (𝑥𝑛) , 
entonces el valor esperado de 𝑥 esta dado por:
𝐸 𝑥 = 𝑥1 𝑃 (𝑥1) + 𝑥2𝑃 (𝑥2) + … .+ 𝑥𝑛 𝑃 (𝑥𝑛)
Se tiene una ruleta divida en cuatro sectores circulares de 900 cada uno , hay dos
sectores de color rojo , uno blanco y uno verde , si se gira la rueda tres veces , se
define la variable aleatoria "𝑥“ como el numero de veces que se obtiene el sector rojo ,
calcule 𝐸(𝑥).
A) 0,5 B) 1/3 C) 3/2 D) 5/2 E) 7/5
RESOLUCION
La probabilidad de que salga rojo es 
1
2
𝑥 (numero de veces que se obtiene el color rojo ) :0,1,2,y3 
X 0 1 2 3
probabilidad 1
8
3
8
3
8
1
8
𝐸 𝑥 = 0
1
8
+ 1
3
8
+ 2
3
8
+ 3
1
8
=
3
2
14
RPTA. C
Una persona compra una rifa en la que puede ganar un primer premio de 5000 soles o 
un segundo premio de 2000 soles con probabilidades de 0,001 𝑦 0,003 respectivamente 
¿Cuál es el precio justo (en soles) a pagar por el boleto de la rifa?
A) 11 B) 13 C) 17 D) 19 E) 23
RESOLUCION
Se define la variable aleatoria 𝑥 ∶ cantidad 
obtenida en soles al comprar la rifa , siendo 𝑥 el 
valor de un boleto de la rifa. 
𝑥 5000 − 𝑃 2000 − 𝑃 −𝑃
probabilida
d
0,001 0,003 0,996
𝐸 𝑥 = 5000 − 𝑃 0,001 + 2000 − 𝑃 0,003 + ( −𝑃 0,996 = 0
𝑃 = 11
15
RPTA. A
Un juego consiste en lanzar 4 monedas y las reglas del juego son: 
a. Si salen 4 caras se gana S/.20
b. Si salen exactamente 3 caras se gana S/.10
c. Si salen exactamente 2 caras se gana S/.5
d. Si sale una sola cara se pierde S/.10
e. Si salen 4 sellos se pierden S/. N
Calcule el valor esperado de N para que el juego sea equitativo.
A) 40 B) 42 C) 45 D) 49 E) 50
RESOLUCI
ON
CARAS
SELLOS
CARAS 0 1 2 3 4
PROBABILIDA
D
1
16
4
16
6
16
4
16
1
16
𝐸 𝑥 =
1
16
−𝑁 +
4
16
−10 +
6
16
5 +
4
16
10 +
1
16
20 = 0
⇒ 𝑁 = 50
16
RPTA. E
La empresa “PESCADITO FRITO” compra diariamente pescados en un puerto a 3 soles el Kg , para
comercializar en los mercados de Lima Norte . La venta se realiza de 07:00 am a 03:00 pm , pero el
pescado no vendidoen dichas horas se remata de 03:00 pm a 04:00 pm , El pescado no vendido se
vende en 1 sol el Kg . Calcular el valor esperado de la ganancia diaria de la empresa “PESCADITO
FRITO” , Sabiendo que diariamente compra 1600 Kg de pescado para vender en 4,5 soles el Kg. ,
además se sabe que para mantener la empresa en el mercado debe superar los 700 soles diarios de
ganancia en promedio , indique también si la empresa se mantendrá o no en el mercado.
x :Demanda diaria en 
Kg.
900 1200 1500
Probabilidad 0,5 k k k
RESOLUCI
ON
Suma de las probabilidades 
0,5k+k+k=1 ⇒ 𝑘 = 0,4
Compra diaria en 
Kg(oferta) 
1600 1600 1600
Demanda (Kg) 900 1200 1500
Queda( Kg) 700 400 100
Probabilidad 0,20 0,40 0,40
𝑈1 = 900 4,5 + 700 1 − 1600 3 = −50
𝑈2 = 1200 4,5 + 400 1 − 1600 3 = 1000
𝑈3 = 1500 4,5 + 100 1 − 1600 3 = 2050
𝐸 𝑈 = −50 0,20 + 1000 0,4 + 2050 0,4 =1210
El valor esperado de la Utilidad es 1210 soles , 
este supera los 700 soles diarios que se estiman 
para mantenerse en el mercado.
17
A) 1200 B) 1210 C) 1250 
D) 1300 E) 1350
RPTA. B
En el Cuzco, un hotel de turistas clasifica sus clientes en tres categorías:
I.Los clientes que viajan en tours organizados por agencias de viaje.
II. Los clientes independientes que viajan por su cuenta.
III. Los hombres de negocios.
La gerencia desea determinar la relación entre el tipo de cliente y el tipo de pago para esto ha
seleccionado 230 clientes de los que hospedó durante el mes de febrero del 2020 y los ha clasificado en
la siguiente tabla.
¿Cuál es la probabilidad de que, si se selecciona un cliente al azar de esta muestra, este sea hombre de 
negocios dado que pago con tarjeta? 
A) 5/12 B) 7/12 C) 15/23 D) 10/29 E) 19/43
Cliente Pago con tarjeta de crédito Pago en efectivo
Agencia de viaje 65 45
Independiente 30 30
Hombre de negocios 50 10
RESOLUCIO
NSe definen los eventos
A: Es un hombre de 
negocios
B: Pago con tarjeta 
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
50
230
145
230
=
50
145
=
10
29
18
RPTA. D
En una feria se debe pagar 5 soles por participar en un juego que consiste en tirar anillos.
Se dan tres anillos a una persona, la cual trata de lanzarlos una por una hacia una clavija
.Se da un premio de 10 soles, si se logra insertar un anillo en la clavija, si se logra insertar
2 anillos, el premio es de S/15, si se insertan los tres, entonces se otorga un premio de
S/20 .Suponiendo que la probabilidad de insertar en la clavija es de 0,10 en cada
lanzamiento, ¿cuál es la utilidad esperada si se juega una vez?
A) 2,15 B) 1,25 C) -2,14 D) -5,17 E) -7,18
RESOLUCI
ON
Sea el evento A el anillo
inserta en la clavija
Sea 𝑥 los valores que toma 
la variable aleatoria ; 𝑥 =
0,1,2 , 3
𝑥 0 1 2 3
𝑃(𝑥) 𝐶
3
0
𝑜, 9 3 𝐶
3
1
(0,9)2 0,1 𝐶
3
2
(0,9)(0,1)2 𝐶
3
3
0,9 0 0,1 3
Gananci
a
-5 10-5 15-5 20-5
𝐸 𝑥 = −5 0,729 + (5)3 0,081 + (10)3 0,009 + (20)0,001 = −2,14
RPTA. C
19
Sea el espacio muestral:
= 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒 ∈ ℤ
𝟒: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 10, 𝑥1 ≥ −2, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3 ≥ 0, 𝑥4 ≥ 0
y sea el evento 
A= 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒 ∈ : 𝑥1 > 𝟐, 𝑥3 ≥ 𝟑
Calcule la probabilidad 𝑃(𝐴)
A) 1/7 B) 2/9 C) 3/7 D) 1/13 E) 5/17
Hacemos:
𝑥1 + 2 = 𝑦1
Luego 𝑦1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 12, , 𝑦1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3 ≥ 0, 𝑥4 ≥
0
Número de soluciones enteras
20
PR
15
3,12 =
15!
3!.12!
=455
RPTA. D
n()=455
Hacemos:
𝑥1 − 3 = 𝑧1 , 𝑥3 − 3 = 𝑧3
Luego 𝑧1 + 𝑥2 + 𝑧3 + 𝑥4 = 4, 𝑧1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑧3 ≥ 0, 𝑥4 ≥ 0
Número de soluciones enteras PR
7
3,4 =
7!
3!.4!
=35
P(A)=
35
455
=
1
13