MULTIPLICACION - DIVISION

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MULTIPLICACION EN LOS ENTEROS POSITIVOS 
 
Sea “·” una función que asocia a cada par ordenado (A,B) de números enteros positivos 
otro entero positivo A+A+…+A (donde A está B veces), al resultado anterior lo 
denotaremos con P. 
Notación: ·(A,B)=P y por razones prácticas se denota por A·B=P 
El Dominio de · es Z+ x Z+ y su rango es Z+ 
A: es llamado multiplicando, es el número a sumar varias veces 
B: es llamado multiplicador, indica cuántas veces se debe sumar el multiplicando 
P: es llamado producto, es el resultado de efectuar A+A+…+A (donde A está B veces) 
A la función · la llamaremos operación producto. 
 
 
Propiedades: 
1) La operación producto es conmutativo: A·B= B·A 
2) La operación producto es asociativo: (A·B)·C=A·(B·C) 
3) El producto distribuye a la suma: A·(B+C)=A·B+A·C 
4) La cantidad de cifras de un número entero positivo en base 10: 
Si N es un entero positivo de k cifras, entonces 10k-1  N <10k 
5) La cantidad de cifras de un número entero positivo en base n: 
Si N es un entero positivo de k cifras en base n, entonces 10n k-1  N <10n k 
6) Sean A y B dos enteros positivos de a y b cifras respectivamente en base n 
10na-1  A <10na, 10n b-1  B <10n b, entonces 
10n a-1+b-1  AB <10n a+b 
la mayor cantidad de cifras es a+b 
y la menor cantidad de cifras es (a-1+b-1)+1=a+b-1 
entonces AB tiene a lo más a+b cifras y por lo menos a+b-1 cifras 
7) Se tiene k números enteros positivos A,B,…,C de a,b,…,c cifras respectivamente 
10na-1  A <10na, 10nb-1  B <10nb,…, 10nc-1  C <10nc, entonces 
10na-1+b-1+…+c-1  AB…C <10na+b+…+c la mayor cantidad de cifras es a+b+…+c y la 
menor cantidad de cifras es 
(a-1+b-1+…+c-1)+1=a+b+…+c-k+1 
 
LA DIVISIÓN DE LOS ENTEROS 
Sean A, B y K ϵ Z, B  0 tal que A = BK, entonces diremos que A es múltiplo de B (A = 
B
0
) 
Observación: 
0 = B
0
,  B ϵ Z - 0. Por ejemplo 0 = 5
0
, 0 = ( -2
0
) 
Sean D y d ϵ Z, d  0, en lo sucesivo llamaremos D: Dividendo y d: divisor 
 Diremos que la división de "D" entre "d" es exacta si D = d
0
y es inexacta 
 si D  d
0
 
 
 
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7.1 CLASES DE LA DIVISIÓN INEXACTA 
1. Por Defecto: Dado D y d ϵ Z, d  0 Existen y son únicos q ϵ Z y r ϵ N tales que 
 D = dq + r y 1  r  d-1 ; donde q : Cociente por defecto y r : Residuo por defecto 
 
2. Por Exceso: Dado D y d ϵ Z, d  0. Existen y son únicos q´ ϵ Z y r' ϵ N tales que 
 D = dq' - r' y 1  r'  d-1 ; donde q' : Cociente por exceso y r' : residuo por exceso 
 Propiedades 
 r + r' = d
2. Si d > 0  q' = q + 1 
Si d < 0  q' = q - 1 
3. El menor valor de un residuo es 1 y el máximo es d - 1 
4. r = 1  r' = d - 1 
r' = 1  r = d - 1 
 
 
 
 
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LA CANTIDAD DE CIFRAS DE UN COCIENTE 
 
Sea A un número que tiene a cifras en base n: 10na-1  A <10na 
B tiene b cifras en base n: 10nb-1  B <10nb 
¿Cuántas cifras puede tener A/B ? 
 10na-1  A <10na ……..(1) 
 10n-b < 1/B  10n-(b-1)…...(2) 
 (1)*(2): 10na-b-1 < A/B < 10na-b+1 
Entonces A/B puede tener por lo menos a-b cifras y a lo más a-b+1 cifras