NUMEROS PRIMOS

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ARITMÉTICA
SEMANA 15
NÚMEROS PRIMOS
Descubrimiento de los 
números primos
Los antiguos griegos conocían ya estos
números e incluso Euclides (300 A.C.) un
matemático griego demostró que el
número de primos es infinito,, esto quiere
decir que dada una lista de números
primos finita siempre habrá un número
primo que no este en esa lista.
El libro elementos de Euclides contiene
importantes teoremas sobre los números primos
como la infinitud de los números primos y el
teorema fundamental de la aritmética.
LA TEORIA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Die ganze Zahl schuf der liebe Gott, alles
ubrige ist menschenwerk. 
Los números enteros lo creó el querido Dios, 
todo lo demás es obra del hombre. 
Leopold Kronecker
Zahl significa número entero en alemán, y 
ésta es la razón por la que usamos Z para 
nombrar al conjunto de los números enteros. 
«Los matemáticos han intentado en vano, 
hasta la actualidad, descubrir algún orden en 
la secuencia de números primos, y tenemos 
razones para creer que se trata de un misterio 
que la mente humana nunca resolverá.» 
Leonhard Euler
Puentes de Königsberg
Euler: El problema tiene solución si el 
número de entradas y salidas en cada 
nodo es par. Por tanto el problema no 
tiene solución.
Modelo matemático
Problema real
ESTUDIO DE LOS ENTEROS
Srinivasa Ramanujan: matemático 
autodidacta indú, Nació el 22 de 
Diciembre de 1887 y murió a los 32 
años. Descubrió importantes 
resultados de la partición de un 
número,P(n), el número de expresiones 
de un número como sumas distintas. 
Llegó a tener un desarrollo asintótico 
de P(n), obtuvo importantes resultados 
sobre números primos y fracciones 
continuas.
Ramanujan trabajó en las particiones de los 
números enteros y las q-series, iniciada por 
Euler, Gauss y Jacobi . 
El número de primos menores que x, π(x).
Georg Friedrich
Bernhard Riemann (Bresel
enz, Alemania, 17 de
septiembre de 1826 -
Verbania, Italia, 20 de julio
de 1866) fue un
matemático alemán que
realizó contribuciones muy
importantes al análisis y la
geometría diferencial,
algunas de las cuales
allanaron el camino para el
desarrollo más avanzado
de la teoría de la
relatividad, la geometría
Riemeniana.
La hipótesis de Riemann constituye uno de los problemas abiertos más importantes en matemáticas. Aunque una gran 
cantidad de indicios apuntan a que es cierta, esta conjetura, formulada en 1859 por Bernhard Riemann, sigue hoy sin 
demostrar. La función zeta tiene un gran interés en teoría de números ya que, entre otras razones, se encuentra 
relacionada con la manera en que se distribuyen los números primos. En concreto, la distribución de los ceros de la 
función zeta de Riemann (es decir, aquellos valores de s para los cuales ζ(s) = 0) proporcionaría una buena estimación de 
la distribución de los números primos si la conjetura de Riemann fuese cierta. “A excepción de los ceros triviales (-2,-4,-
6,…) la parte real de los ceros de la función zeta cumple que es ½.
Hardy demostró que 
hay infinitas 
soluciones sobre la 
recta Re(s)=1/2.
Teorema de Fermat 𝒙𝒏 + 𝒚𝒏 = 𝒛𝒏
Conjetura de Taniyama-Shimura: dice que a cada 
forma modular le corresponde una curva elíptica 
y viceversa. Años después, en 1980, el 
matemático alemán Gerhard Frey planteó que el 
último teorema de Fermat podría representarse 
como una curva elíptica muy especial, cuya 
correspondencia modular no podría establecerse. 
Así, si la curva elíptica que describiera el teorema 
de Fermat existiera, habría un contrajemplo para 
la conjetura japonesa y se refutaría. En la década 
de los 90, el inglés Andrew Wiles decidió probar 
la conjetura de Taniyama-Shimura, que 
demostraría automáticamente el teorema de 
Fermat. Su prueba se presentó en una serie de 
conferencias en la Universidad de Cambridge, y 
aunque contenía un error, este se resolvió 
satisfactoriamente con la ayuda de uno de sus 
estudiantes, Richard Taylor.
Conjetura de Goldbach
Conjetura débil de Goldbach: 
“todo número mayor que cinco puede escribirse como suma de tres 
números primos”
Conjetura fuerte de Goldbach:
“todo número par mayor que dos puede escribirse como suma de 
dos números primos”
Conjetura de Goldbach: 
Nació en Königsberg (actualmente Kaliningrado, Rusia) en 1690. 
Viajó mucho por Europa y conoció a matemáticos como Gottfried W. 
Leibniz, Leonhard Euler o Daniel Bernoulli. En 1725 se fue a trabajar 
de historiador y profesor de matemáticas a la recién creada Academia 
de las Ciencias de San Petersburgo, y 3 años más tarde se iría a 
Moscú para ser tutor de Pedro II de Rusia. Allí moriría en 1764.
En una carta de Goldbach a Euler, del 7 de junio de 1742, el autor de 
la misma le plantea una conjetura relacionada con los números 
primos, que podría expresarse como que “todo número que se 
puede representar como suma de dos números primos, entonces se 
puede representar como suma de tres números primos.”
Matemático peruano resuelve la conjetura 
débil de Goldbach (Herald Helfgott).
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3357:leibniz-gottfried-wilhelm-1646-1716&catid=37:biograf-de-matemcos-ilustres&directory=67
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3341:euler-leonhard-1707-1783&catid=37:biograf-de-matemcos-ilustres&directory=67
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3323:bernoulli-daniel-1700-1782&catid=37:biograf-de-matemcos-ilustres&directory=67
Los números primos y la 
Criptografía 
Efectivamente los números primos de gran
tamaño pueden emplearse para codificar
cualquier tipo de información de manera
segura. “Si tomamos un par de números
primos de gran tamaño y lo multiplicamos,
para poder obtener los números originales
que lo constituyen es dificilísimo.
En la vida real los números primos tienen
gran uso en la criptografía que consiste en
codificar mensajes o cifrarlos.
Por ejemplo el cifrado en páginas de internet
donde se necesita seguridad al realizar
transferencias bancarias como la página web
de un banco o en el comercio electrónico.
Cifrado de un mensaje 
Un ejemplo muy básico de como se cifra un mensaje seria el siguiente: 
A cada letra del abecedario le haremos corresponder un número de dos cifras
A=01 B=02 C=03 D=04 E=05 F=06 G=07 H=08 I=09 J=10 K=11 L=12 M=13 N=14
Ñ=15 0=16 P=17 Q=18 R=19 S=20 T=21 U=22 V=23 W=24 X=25 Y=26 Z=27
El que envía el mensaje usa el siguiente método de cifrado: Si el número que corresponde a
la letra es primo, se deja como está, y si no es primo, le sumamos 5 unidades, obteniendo
A=06 B=02 C=03 D=09 E=05 F=11 G=07 H=13 I=14 J=15 K=11 L=17 M=13 N=19
Ñ=20 0=21 P=17 Q=23 R=19 S=25 T=26 U=27 V=23 W=29 X=30 Y=31 Z=32
La palabra “ALFREDO” sería 06171119050921 
Para descifrar un mensaje, agrupamos el número en bloques de dos cifras:
Descifrar 0305171905271914
Separamos bloques de dos cifras 03 05 17 19 05 27 19 14
Ejemplo
Ejemplo
C E P R E U N I
NÚMERO PRIMO 
En el conjunto ℤ, un entero 𝑝 es primo si admite sólo cuatro divisores
Es decir:
Un entero 𝒑 ≠ 𝟎 es primo si y solo si 𝒑 ≠ ±𝟏, además los únicos 
divisores enteros de 𝒑 son ±𝟏 𝒚 ± 𝒑.
Ejemplo
Número compuesto 
• Divisores enteros de 41: ±1 𝑦 ± 41
• Divisores enteros de -13: ±1 𝑦 ± 13
Existen infinitos 
números primos 
Es todo entero no nulo que posee 
más de cuatro divisores enteros
Ejemplo
• Divisores enteros de 25: ±1; ±5 𝑦 ± 25
• Divisores enteros de -14: ±1; ±2; ±7 𝑦 ± 14
Todo número compuesto 
posee al menos dos 
divisores primos 
Si p es primo, -p también es primoNota:
41 y – 13 son primos 
25 y – 14 son compuestos 
Teorema de Euclides: Existen infinitos números primos.
• Se ve que 𝒑𝟏>1 y que N >2, y que N no puede ser primo, pues ya
están todos numerados. Entonces N es compuesto y por el lema 2,
existe un primo p que lo divide. Observamos que no se cumple
pues 𝑵 = 𝒑𝒌 + 𝟏, ningún primo que hemos propuesto divide a N,
así que contradice nuestra hipótesis.Por tanto queda demostrado
que hay una infinidad de primos. Es lo que conocemos hasta el
momento.
Demostración
Lema 1: Un
entero n>1, es
compuesto si y
sólo si existen
enteros a y b tal
que n=a.b,
1<a<n; 1<b<n.
Lema 2: Sea el
entero positivo
n>1, existe un
primo p tal que
p divide a n.
• Sean los primos entonces: 𝒑𝟏, 𝒑𝟐, ..., 𝒑𝒏, todos los primos
𝒑𝟏 < 𝒑𝟐 < … < 𝒑𝒏
Definimos el número 𝑵 = 𝒑𝟏. 𝒑𝟐……𝒑𝒏 + 𝟏 y 𝒑𝒌 = 𝒑𝟏. 𝒑𝟐……𝒑𝒏
• Tal como lo demostrara Euclides, en “los Elementos”. Asumimos
por contradicción, que existen finitos primos, y llegaremos a una
contradicción que invalida nuestra hipótesis, que son una
cantidad finita de primos.
°
APLICACIÓN 1 
Sea 𝑁 = 9𝑎2 − 𝑏2, un número primo positivo, además 𝑎 𝑦 𝑏 son números naturales,
¿cuántos valores de dos cifras puede tomar 𝑁, si 𝑎 también es un número primo?
Resolución:
Observación:
2
Si 𝑷 es un número primo y se puede expresar como el producto de dos
factores enteros, entonces las únicas opciones son 𝑷 = 𝟏(𝑷) ó 𝑷 = (−𝟏)(−𝑷)
En nuestro caso:
𝑁 = 9𝑎2 − 𝑏2 = (3𝑎 − 𝑏)(3𝑎 + 𝑏)
++ +
𝟏 𝑏 = 3𝑎 − 1
𝑁 = 6𝑎 − 1
primos
2 cifras
11
317
529
741
∴ 𝑁 solo toma 4 valores
Rpta: 4
Números primos entre sí (PESI) 
Dos o más enteros no nulos son PESI (coprimos o primos relativos) 
si sus únicos divisores comunes son el ±𝟏.
Ejemplo
• ¿10 y 21 son PESI?
±1 ±1
±2 ±3
±5
±10
±7
±21
Divisores 
enteros
Únicos divisores 
comunes
• ¿-6, 33 y 57 son PESI?
±1 ±1 ±1
±2 ±3 ±3
±3
±6
±11
±19
±57
Divisores 
enteros
divisores 
comunes
10 y 21 son PESI -6, 33 y 57 no son PESI
Nota: Si nos dicen que 𝑵 y 12 son PESI, entonces sus únicos divisores
comunes deben ser ±𝟏 y como el 12 tiene como divisores primos al 2 y 3,
entonces 𝑵 no debe ser múltiplo de 2 ni de 3
APLICACIÓN 2 
Determine la cantidad de números capicúas de cuatro cifras que son PESI con 175.
Resolución:
Como 𝑎𝑏𝑏𝑎 y 175 son PESI y 175 = 52 × 7, entonces
𝑎𝑏𝑏𝑎
≠ ሶ𝟓
≠ ሶ𝟕
𝒂 ≠ 𝟓
𝟓𝒃 ≠ ሶ𝟕 𝒃 ≠ 𝟎; 𝟕
1
2
3
4
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
8
9
Cantidad de números: 𝟖 × 𝟖 = 𝟔𝟒
Rpta: 64
APLICACIÓN 3
Propiedad: Sea
𝑛 ∈ ℕ tal que
(2n+1) es cuadrado
perfecto, entonces
n+1 es suma de dos
cuadrados
consecutivos.
Demostración
Veamos; 
2𝑛 + 1 = (2𝑡 + 1)2
entonces
𝑛 =
(2𝑡+1)2−1
2
𝑛 =
4𝑡2 + 4𝑡
2
luego :
𝑛 + 1 = (𝑡 + 1)2+𝑡2
Determine los enteros positivos n tales que 𝑛4 + 4 es primo.
𝑛4 + 4 = 𝑛4 + 4𝑛2 + 4 − 4𝑛2
Luego 𝑛4 + 4 = (𝑛2 − 2𝑛 + 2)(𝑛2 + 2𝑛 + 2)
Como 𝑛4 + 4 es primo, el menor de los factores debe ser la unidad. 
Entonces 𝑛2 − 2𝑛 + 2 = 1, luego (𝑛 − 1)2= 0 , entonces n=1.
Por tanto 𝒏𝟒 + 𝟒 = 𝟓, es el único número primo que cumple la condición.
Como 
Si a y n son enteros positivos, 𝒏 ≥ 𝟐 , a>1 y 𝒂𝒏 − 𝟏 es primo.
Entonces a debe ser 2.
Esto debido a que 𝒂𝒏 − 𝟏 = (𝒂 − 𝟏)(𝟏 + 𝒂 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 +⋯+ 𝒂𝒏−𝟏)
Si 𝒂𝒏 − 𝟏 es primo, a-1 debe ser 1, osea a=2.
Números PESI 2 a 2
Tres o más enteros no nulos son PESI 2 a 2 cuando al ser tomados 
de 2 en 2 cada pareja de números resultan ser PESI.
Ejemplo
• ¿12; 25 y 77 son PESI 2 a 2? • ¿10; -39 y 91 son PESI 2 a 2?
Nota: Si un conjunto de números son PESI 2 a 2, entonces son PESI, lo 
contrario no siempre se cumple.
𝟏𝟐 𝒚 𝟐𝟓 son PESI
𝟏𝟐 𝒚 𝟕𝟕 son PESI
𝟐𝟓 𝒚 𝟕𝟕 son PESI
12; 25 y 77 son PESI 2 a 2
−𝟑𝟗 𝒚 𝟗𝟏 no son PESI, porque 
además del ±𝟏, comparten al 
± 𝟏𝟑 como divisores comunes
10; -39 y 91 no son PESI 2 a 2
Propiedades
2. Dos o más números consecutivos siempre son PESI. 
3. Tres o más impares consecutivos siempre son PESI.
5. Si A y B son PESI, entonces
1. La unidad es PESI con cualquier número entero.
4. Dado un conjunto de números, si dos de ellos son PESI, entonces 
todo el conjunto de números serán PESI.
• 𝑨 𝒚 𝑨 ± 𝑩 son PESI • 𝑨𝒏 𝒚 𝑨𝒏 ± 𝑩𝒏 son PESI.• 𝑨 ± 𝑩 𝒚 𝑨 × 𝑩 son PESI
¿Los números 𝑎𝑏24 𝑦 𝑎𝑏49 son PESI?
Como 𝑎𝑏24 y 25 son PESI, entonces 𝑎𝑏24 y (𝑎𝑏24 + 25) son PESI
𝑎𝑏49
EJEMPLO
Veamos
Propiedad de la linealidad de 
los coprimos 
Dos números enteros no nulos a y b son primos entre sí, si y solo si 
existen dos números enteros m y n tales que m a + n b = 1.
Ejemplo
𝟏𝟐 𝒚 − 𝟑𝟓 son PESI
12 𝟑 + −35 𝟏 = 1
12 −𝟑𝟐 + −35 −𝟏𝟏 = 1
Los enteros m y n no 
son únicos
−𝟐𝟏 𝒚 𝟗𝟏 no son PESI −21 𝒎 + 𝟗𝟏 𝒏 ≠ 1
7°7°
En el conjunto de los naturales (ℕ)
Primeros números primos: 𝟐; 𝟑; 𝟓; 𝟕; 𝟏𝟏; 𝟏𝟑; 𝟏𝟕; 𝟏𝟗; 𝟐𝟑; 𝟐𝟗; ⋯ℕ
• La unidad: Es el único número natural que posee un divisor.
• Números primos: Son aquellos que admiten dos divisores la 
unidad y el mismo número.
• Números compuestos: Son aquellos que tienen más de dos divisores.
Primeros números compuestos: 𝟒; 𝟔; 𝟖; 𝟗; 𝟏𝟎; 𝟏𝟐; 𝟏𝟒; 𝟏𝟓; 𝟏𝟔; ⋯
Se concluye: • El único número primo que es par es el 2 todos los demás son impares.
• Los únicos naturales consecutivos y primos a la vez son el 2 y el 3.
• Los única terna de impares consecutivos y primos a la vez son el 3, 5 y 7.
• Si 𝒑 > 𝟐 es primo, entonces 𝒑 = 𝟒 ± 𝟏, lo contrario no siempre se cumple.
• Si 𝒑 > 𝟑 es primo, entonces 𝒑 = 𝟔 ± 𝟏, lo contrario no siempre se cumple.
°
°
Aula vpm-004
APLICACIÓN 4 
Sean 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 números primos diferentes tales que: 2𝑎 + 𝑎 × 𝑏 + 𝑏 = 2𝑐3
Determine el valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
Resolución:
Dato: 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son primos diferentes
2𝑎 + 𝑎 × 𝑏 + 𝑏 = 2𝑐3
imparpar impar
imparpar
𝑎 debe ser par y primo a la vez, entonces 𝒂 = 𝟐
Reemplazando tenemos
4 + 3𝑏 = 2𝑐3
…𝟗 𝒃 = ⋯𝟑 y primo
73 2
83 5
NO pues 𝐜 ≠ 𝒂
SI 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟗𝟎 Rpta: 90
Determine n, entero positivo, dado que los siguientes números son primos,
3n-4, 4n-5 y 5n-3.
Sean las raíces 𝒙𝟏 𝒚 𝒙𝟐 , (𝒙𝟏 < 𝒙𝟐) por propiedad se tiene: 𝒑 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
y 𝒒 = 𝒙𝟏. 𝒙𝟐 y siendo q primo solo nos queda que 𝒙𝟏 = 𝟏, teniendo
𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝒑 = 𝟑 , 𝒙𝟐 = 𝟐, pues son consecutivos. Luego 𝑝
𝑞 = 32 = 9.
APLICACIÓN 5
Considerando que entre todos, el mayor es 5n-3
RESOLUCIÓN 
Por tanto los primos son: 2, 3 y 7.
entonces n es par y el menor de los tres primos, 3n-4 debe ser par
5n-3 es impar
3n-4 = 2 de donde n = 2
APLICACIÓN 6
Siendo p y q primos, la ecuación 𝑥2 − 𝑝𝑥 + 𝑞 tiene dos raíces naturales, determine 𝑝𝑞.
RESOLUCIÓN 
El único 
primo que 
es par es 
el 2
Los únicos 
consecutivo
s y primos a 
la vez son el 
2 y 3
Criba de Eratóstenes
Es un proceso mediante el cual se puede determinar, la sucesión de los número primos.
Ejemplo Para hallar los números primos desde el 1 al 100
• Primero se elimina el 1
• Luego se eliminan los múltiplo de 2 a 
partir de 𝟐𝟐
• Después se eliminan los múltiplo de 3 
a partir de 𝟑𝟐
Así sucesivamente con todos los 
múltiplos de los números primos 
Los números que queden sin eliminar 
serán primos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Existen 25 números primos 
menores que 100
Algoritmo para saber si un número 
es primo
Ejemplo ¿El número 239 es primo?
Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada del número, si es exacta en número no es primo.
𝟐𝟑𝟗 = 𝟏𝟓, 𝟒𝟓…
Paso 2: Se consideran todos los números primos menores iguales que la parte 
entera de la raíz cuadrada.
𝟐; 𝟑; 𝟓; 𝟕; 𝟏𝟏; 𝟏𝟑 ≤ 𝟏𝟓
Paso 3: Se divide el número entre cada primo obtenido en el paso 2, si todas las 
divisiones son inexactas el número será primo.
• 239 = 2 + 1
• 239 = 3 + 2
• 239 = 5 + 4
• 239 = 7 + 1
• 239 = 11 + 8
• 239 = 13 + 5
Como todas las divisiones son
inexactas, entonces 239 es primo
°
°
°
°
°
°
Teorema: Sea n un número compuesto, entonces n tiene 
un divisor primo p ≤ 𝑛
Si n es compuesto existen por lema 1, enteros a y b tal que n=a.b y 1<a<n,
1<b<n. Afirmamosque uno de tales a o b cumple que es ≤ 𝒏.
Demostración
NOTA: Si p y q
son primos y ȁ𝑝 𝑞,
entonces p=q.
Pasamos a demostrar el Algoritmo anterior: 
Puesto que si no es asi, tendremos que 𝒂 > 𝒏 y 𝒃 > 𝒏 ,
luego a.b >n, que contradice lo obtenido de acuerdo al lema 1.
Por tanto 𝒂 ≤ 𝒏 o 𝒃 ≤ 𝒏, suponemos que 𝒂 ≤ 𝒏 ,
y como 1<a, por lema 2, existe un primo p tal que ȁ𝒑 𝒂
y como ȁ𝒂 𝒏 se concluye que ȁ𝒑 𝒏 y es primo.
𝒏 = 𝟔:
ȁ𝟐 (𝟕! + 𝟐)
ȁ𝟑 (𝟕! + 𝟑)
ȁ𝟒 (𝟕! + 𝟒)
ȁ𝟓 (𝟕! + 𝟓)
ȁ𝟔 (𝟕! + 𝟔)
ȁ𝟕 (𝟕! + 𝟕)
NOTA: Para cualquier entero positivo n existe un entero α tal que los n 
enteros consecutivos 
𝛼, 𝛼 + 1, 𝛼 + 2,…… . , 𝛼 + (𝑛 − 1) son todos compuestos.
Bastará con definir 𝜶 = 𝒏 + 𝟏 ! + 𝟐
Existen 6 enteros 
consecutivos que 
son compuestos
NOTA: No se ha determinado la ley según la cual se forman y suceden 
los números primos.
Euler ha encontrado algunas fórmulas que son válidas hasta ciertos 
límites; para determinar números primos así:
Fermat 22
𝑛
+ 1 da algún número primo
x2 + x + 41 desde x = 0 hasta x = 39
x2 + x + 17 desde x = 0 hasta x = 15
x2 + x + 29 desde x = 0 hasta x = 27
Si n = 0  3
Si n = 1  5
Si n = 2  17
Si n = 3  257
Si n = 4  65 537 no cumple
525, 2 1 641
o
n = + =
APLICACIÓN 7 
Para averiguar si un número natural es primo se pensaba realizar siete divisiones,
pero faltando una división se determinó que el número es compuesto. Calcule la suma
de cifras de dicho número.
Resolución:
Sea N el número natural
Como se pensaba realizar 7 divisiones, entonces se debía dividir entre: 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17
𝑁
17,…
18,…
17 < < 19 289 < 𝑁 < 361
13 = 13𝑘 ≠ 2, 3, 5, 7, 11
22, . . < 𝑘 < 27,…
÷
𝟐𝟑
𝑁 = 13 × 23 = 299
Suma de cifras = 2 + 9 + 9 = 20
Rpta: 20
Faltando una división se determino
que el número es compuesto
𝑘 ≠ 2, 3, 5, 7, 11° °°°° ° °° ° °°
Teorema fundamental de la Aritmética
(Teorema de Gauss)
Ejemplo
Todo entero positivo diferente de la unidad, se descompone de
una manera única como el producto de factores primos positivos
elevados a ciertos exponentes que son enteros positivos.
Esta descomposición es llamada la descomposición canónica
(DC) del número.
Es decir 𝑺𝒊 𝑵 = 𝒂𝜶 × 𝒃𝜷 × 𝒄𝜸 es la DC de 𝑁 , entonces 𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 son
números primos diferentes y 𝜶, 𝜷 𝒚 𝜸 son enteros positivos.
• 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟐𝟒 × 𝟑𝟏 × 𝟓𝟐…(𝑫𝑪)
• 𝟑𝟐𝟎𝟎. . 𝟎𝟎𝟔 𝟑𝟐𝟎𝟎. . 𝟎𝟎𝟔 = 𝟐
𝒏+𝟐 × 𝟑𝒏 × 𝟓…(𝑫𝑪)
n cifras n cifras
• 𝟏𝟖𝒏+𝟐 − 𝟏𝟖𝒏 = 𝟏𝟖𝒏 𝟏𝟖𝟐 − 𝟏 = 𝟐𝒏 × 𝟑𝟐𝒏 × 𝟏𝟕 × 𝟏𝟗… (𝑫𝑪)
= 𝟑𝟐𝟔 × 𝟔
𝒏 = 𝟐𝟎 × 𝟐𝒏 × 𝟑𝒏
Estudio de los divisores positivos de 
un número entero positivo
Ejemplo Elaborar la tabla de divisores de 72 = 23 × 32…(𝐷. 𝐶. )
1 21 22 23
1
31
32
1 2 4 8
3 6 12 24
9 18 36 72
Divisores de 𝟐𝟑
Divisores 
de 𝟑𝟐
La cantidad de divisores de un número
se obtiene multiplicando el número de
filas por el número de columnas
1 + 2 + 22 + 23
3(1 + 2 + 22 + 23)
32(1 + 2 + 22 + 23)
𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆
𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓𝒆𝒔
𝒅𝒆 𝟕𝟐
= (𝟏 + 𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟑)(𝟏 + 𝟑 + 𝟑𝟐)
Tabla de divisores
Cantidad de divisores positivos (CD)
Sea 𝑵 un número que descompuesto en su forma canónica es:
𝑪𝑫 𝑵 = (𝜶 + 𝟏)(𝜷 + 𝟏)(𝜸 + 𝟏)
𝑵 = 𝒂𝜶 × 𝒃𝜷 × 𝒄𝜸…(𝑫. 𝑪. )
𝟏
𝒂𝟏
𝒂𝟐
⋮
𝒂𝜶
𝟏
𝒃𝟏
𝒃𝟐
⋮
𝒃𝜷
𝟏
𝒄𝟏
𝒄𝟐
⋮
𝒄𝜸
Divisores positivos
Para obtener un
divisor de 𝑵 se elige
un elemento de cada
columna y los
multiplicamos
Observación:
(Divisores de 18): 1; 2; 3; 6; 9; 18
Divisores
primos
Divisores
compuestos
• 𝑪𝑫 𝑵 = 𝟏 + 𝑪𝑫 𝑵 + 𝑪𝑫(𝑵)
primos compuestos
• 𝑪𝑫 𝑵 = 𝑪𝑫 𝑵 − 𝟏
propios
• También 𝑪𝑫 𝑵 = 𝟐. 𝑪𝑫 𝑵
enteros
Un número es
cuadrado si y solo
sí tiene una
cantidad impar de
divisores positivos
Nota:
Suma de divisores positivos (SD)
Sea 𝑵 un número que descompuesto en su forma canónica es:
𝑵 = 𝒂𝜶 × 𝒃𝜷 × 𝒄𝜸…(𝑫. 𝑪. )
𝟏
𝒂𝟏
𝒂𝟐
⋮
𝒂𝜶
𝟏
𝒃𝟏
𝒃𝟐
⋮
𝒃𝜷
𝟏
𝒄𝟏
𝒄𝟐
⋮
𝒄𝜸
Divisores positivos
Para obtener la suma de
divisores sumamos los
valores que hay en cada
columna y los
multiplicamos
Observación:
𝑺𝑫 𝑵 = (𝟏 + 𝒂 + 𝒂𝟐 +⋯+ 𝒂𝜶)(𝟏 + 𝒃 + 𝒃𝟐 +⋯+ 𝒃𝜷)(𝟏 + 𝒄 + 𝒄𝟐 +⋯+ 𝒄𝜸)
𝑺𝑫 𝑵 =
𝒂𝜶+𝟏 − 𝟏
𝒂 − 𝟏
𝒃𝜷+𝟏 − 𝟏
𝒃 − 𝟏
𝒄𝜸+𝟏 − 𝟏
𝒄 − 𝟏
También
Si 𝑺𝑫 𝑵 = 𝑵+ 𝟏, entonces 𝑵 es primo.
Suma de las inversas
de los divisores positivos (SID)
Ejemplo Determine la suma de las inversas de los divisores de 18
(Divisores de 18): 1; 2; 3; 6; 9; 18 𝑆𝐼𝐷 18 =
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
6
+
1
9
+
1
18
𝑆𝐼𝐷 18 =
18 + 9 + 6 + 3 + 2 + 1
18
=
𝑆𝐷(18)
18
En general 𝑺𝑰𝑫 𝑵 =
𝑺𝑫(𝑵)
𝑵
Producto de los divisores positivos (PD)
Ejemplo Determine el producto de los divisores de 18
𝑃𝐷 18 = 1 × 2 × 3 × 6 × 9 × 18 = 183
𝑪𝑫(𝟏𝟖)
𝟐
En general 𝑷𝑫 𝑵 = 𝑵
𝑪𝑫(𝑵)
𝟐 = 𝑵𝑪𝑫(𝑵)
18
18
18
Nota: Con respecto a los divisores positivos de un número 𝑁 se cumple
𝑴𝑨 =
𝑺𝑫(𝑵)
𝑪𝑫(𝑵)
𝑴𝑮 =
𝑪𝑫(𝑵)
𝑷𝑫(𝑵) = 𝑵 𝑴𝑯 =
𝑪𝑫(𝑵)
𝑺𝑰𝑫(𝑵)
=
𝑵. 𝑪𝑫(𝑵)
𝑺𝑫(𝑵)
Media aritmética Media geométrica Media armónica
Además se verifica que: 𝑴𝑨 ×𝑴𝑯 = 𝑴𝑮 𝟐
Propiedad: Si 𝐴 𝑦 𝐵 son PESI, entonces
𝐶𝐷 𝐴 × 𝐵 = 𝐶𝐷 𝐴 . 𝐶𝐷(𝐵)
𝑆𝐷 𝐴 × 𝐵 = 𝑆𝐷 𝐴 . 𝑆𝐷(𝐵)
𝑆𝐼𝐷 𝐴 × 𝐵 = 𝑆𝐼𝐷 𝐴 . 𝑆𝐼𝐷(𝐵)
𝑃𝐷 𝐴 × 𝐵 = 𝑃𝐷 𝐴 .𝑃𝐷(𝐵)
𝐶𝐷 𝑁 = 𝐶𝐷
𝑁
𝑎
𝑎
°
𝑆𝐷 𝑁 = 𝑎. 𝑆𝐷
𝑁
𝑎
°
𝑆𝐼𝐷 𝑁 =
1
𝑎
. 𝑆𝐼𝐷
𝑁
𝑎
°
𝑃𝐷 𝑁 = 𝑎
𝐶𝐷
𝑁
𝑎 . 𝑃𝐷
𝑁
𝑎
°
𝑎
𝑎
𝑎
Observación
:
Para divisores múltiplos de 𝑎
Primos de Mersenne:
𝑀𝑛 = 2
𝑛 − 1
Primos de Fermat:
𝐹𝑛 = 2
2𝑛 + 1
n 𝟐𝒏 − 𝟏 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒐 𝒅𝒆𝑴𝒆𝒓𝒔𝒆𝒏𝒏𝒆
𝑴𝒏 = 𝟐
𝒏 − 𝟏
Números Perfectos
𝑷𝒏 = 𝟐
𝒏−𝟏(𝟐𝒏 − 𝟏)
2 3 𝟐𝟐 − 𝟏 𝟐𝟐−𝟏(𝟐𝟐 − 𝟏)=6
3 7 𝟐𝟑 − 𝟏 𝟐𝟑−𝟏(𝟐𝟑 − 𝟏)=28
5 31 𝟐𝟓 − 𝟏 𝟐𝟓−𝟏 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟒𝟗𝟔
7 127 𝟐𝟕 − 𝟏 𝟐𝟕−𝟏(𝟐𝟕 − 𝟏)=8128
13 8091 𝟐𝟏𝟑 − 𝟏 𝟐𝟏𝟑−𝟏 𝟐𝟏𝟑 − 𝟏 = 𝟑𝟑𝟓𝟓𝟎𝟑𝟑𝟔
Números perfectos
Números con la 
propiedad: la suma de 
sus divisores propios es 
igual al mismo número.
𝑁 = 2𝑛−1. 𝑀𝑛 es 
perfecto.
𝜎 𝑁 = 𝜎 2𝑛−1 𝜎 𝑀𝑛
= 2𝑛 − 1 . 2𝑛 = 2𝑁
Siempre que se descubre un nuevo número de Mersenne del tipo 2𝑛 − 1 , 
se puede generar un nuevo número perfecto
Nota
APLICACIÓN 8 
Si 𝑁 = 25𝑛 × 122𝑛 tiene 633 divisores que son compuestos, ¿cuántos divisores que
son cuadrados perfectos tiene 𝑁?
Resolución:
𝑁 = 25𝑛 × 122𝑛 = 24𝑛 × 32𝑛 × 52𝑛…(DC) 𝑪𝑫 𝑵 = 𝟏 + 𝑪𝑫 𝑵 + 𝑪𝑫(𝑵)
primos compuestos
3 633
Entonces 𝐶𝐷 𝑁 = 4𝑛 + 1 2𝑛 + 1 2𝑛 + 1 = 637
4𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)2= 13 × 72 𝒏 = 𝟑
Por lo tanto 𝑁 = 212 × 36 × 56…(DC)
Nos piden la 𝐶𝐷 de 𝑁 que son cuadrados perfectos
𝑁 = 212 × 36 × 56…(DC)
1
22
24
26
28
210
212
1
32
34
36
1
52
54
56
𝐶𝐷 𝑁 = 7 × 4 × 4 = 𝟏𝟏𝟐
𝑘2 Rpta: 112
Divisores 
cuadrados 
perfectos
Número de formas de escribir un número natural 
como el producto de dos factores naturales
Ejemplo De cuantas formas diferentes se puede escribir 60 y 36 como el producto de dos 
factores enteros positivos
60 = 𝐴 × 𝐵
1 60
2 30
3 20
4 15
5 12
6 10
10 6
12 5
15 4
20 3
30 2
60 1
36 = 𝐴 × 𝐵
1 36
2 18
3 12
4 9
6 6
9 4
12 3
18 2
36 1
En general 
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔
𝒅𝒆 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂𝒓 𝑵 = 𝑨 × 𝑩
=
𝑪𝑫(𝑵)
𝟐
, 𝒔𝒊 𝑪𝑫 𝑵 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓
𝑪𝑫 𝑵 + 𝟏
𝟐
, 𝒔𝒊 𝑪𝑫 𝑵 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
Si 𝐴 𝑦 𝐵 son naturales
Nota: Si 𝐴 𝑦 𝐵 son PESI, entonces 
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔
𝒅𝒆 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂𝒓 𝑵 = 𝑨 × 𝑩
= 𝟐𝑪𝑫𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐𝒔 𝑵 −𝟏
6 
formas
5 
formas
Son las 
mismas 
parejas
Son las 
mismas 
parejas
Descomposición canónica de un 
factorial
Ejemplo 22! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22
22! = 219 × 39 × 54 × 73 × 112 × 13 × 17 × 19 … (𝐷𝐶)
Para conocer el exponente de un divisor primo que esta contenido 𝒏! se realizan divisiones sucesivas de 
𝒏 entre dicho primo y el exponente del número primo es la suma de los cocientes obtenidos
Ejemplo Calcule 𝑎+ 𝑏 + 𝑐, si 45! = 2𝑎 × 3𝑏 × 5𝑐 ×⋯( 𝐷𝐶)
45 2
22 2
11 2
5 2
22
1𝒂 = 𝟒𝟏
45 3
15 3
5 3
1
45 5
9 5
1
𝒃 = 𝟐𝟏 𝒄 = 𝟏𝟎
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟕𝟐
La cantidad de ceros en que termina
un factorial en base n, estará dado
por la mayor potencia de la base n
que esta contenida en el factorial
Nota
APLICACIÓN 9 
Determine la cantidad de cifras ceros en que termina 300! en base 10
Resolución:
300! = ⋯𝑥00. . . 00
El número de ceros queda determinada por la mayor potencia de 10 que divida a 300!
Como en un factorial aparecen más múltiplos de 2 que múltiplos de 5, el número de ceros en 
que termina 300! queda determinada por el exponente del 5 que aparece en la DC de 300!
n cifras≠ 𝟎
= 𝐾 × 10𝑛
≠ 𝟏𝟎
300 5
60
512
2
5 El 300! termina en: 𝟔𝟎 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕𝟒 ceros en base 10 
Rpta: 74
Función de Euler o indicador 
de un número natural ∅(𝑁)
Ejemplo
Para un número natural 𝑁, el valor de𝝓 𝑵 , se define como el número de
enteros positivos 𝒎 menores ó iguales que 𝑵 y relativamente primos con 𝑵,
formalmente
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18
𝜙 7 = 6 = 7 − 1
𝜙 11 = 10 = 11 − 1
𝜙 8 = 4 = 23 − 22
𝜙 9 = 6 = 32 − 31
Si 𝑷 es primo entonces
• 𝝓 𝑷 = 𝑷 − 𝟏
• 𝝓 𝑷𝜶 = 𝑷𝜶 − 𝑷𝜶−𝟏
En general
𝝓 𝑵 = 𝑵 𝟏 −
𝟏
𝒂
𝟏 −
𝟏
𝒃
Sea 𝑁 = 𝑎𝛼 × 𝑏𝛽…(𝐷𝐶)
La cual es equivalente a 𝝓 𝑵 = 𝒂𝜶−𝟏(𝒂 − 𝟏)𝒃𝜷−𝟏(𝒃 − 𝟏)
𝝓 𝑵 = 𝒎 ∈ 𝟏; 𝟐;… ;𝑵 :𝒎𝒄𝒅 𝒎;𝑵 = 𝟏 Convención:𝝓 𝟏 = 𝟏
𝜙(28)= 𝜙(22)𝜙(7)=2. 6=12
𝜙(200)= 𝜙(23) 𝜙(52)=22 2 − 1 5 5 − 1 =80
Ejemplo
Nota: Sabemos que si 𝑎 𝑦 𝑁 son PESI con 1 ≤ 𝑎 < 𝑁, entonces 𝑎 + 𝑁 y 𝑁 también son PESI 
donde 𝑁 < 𝑎 + 𝑁 < 2𝑁
1; 2; 3;… ; 𝑁 − 1 ;𝑵: 𝑁 + 1 ;… ; 2𝑁 − 1 ; 𝟐𝑵; 2𝑁 + 1 ;… : 3𝑁 − 1 ; 𝟑𝑵;…
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑁
𝝓 𝑵 𝝓 𝑵 𝝓 𝑵
Propiedades
1.𝝓(𝑵) es par ∀ 𝑵 ≥ 𝟐, el único caso donde sale impar es cuando 𝑵 = 𝟏
2. Si 𝑨 𝒚 𝑩 𝒔𝒐𝒏 𝑷𝑬𝑺𝑰, entonces𝝓 𝑨 × 𝑩 = 𝝓(𝑨) × 𝝓(𝑩)
3. La cantidad de parejas de naturales que son PESI y que sumados dan 𝑵 > 𝟐, es igual a 
𝝓(𝑵)
𝟐
4. La suma de todos los números naturales menores que 𝑵 > 𝟐 y PESI con 𝑵 esta dada por 
𝑵×𝝓(𝑵)
𝟐
𝝓 𝑵 también nos dice, la cantidad de números PESI con 𝑵 que 
existen entre dos múltiplos consecutivos de 𝑵.
APLICACIÓN 10 
Del 150 al 420, ¿cuántos números son PESI con 902021?
Resolución:
Como 90 = 2 × 32 × 5 Decir PESI con 902021 , equivale decir que son PESI con 30 = 2 × 3 × 5
Pues tienen los 
mismos divisores 
primos
𝟏𝟓𝟎, 151,… , 179, 𝟏𝟖𝟎, 181,… , 209, 𝟐𝟏𝟎,… , 𝟑𝟗𝟎, 391,… , 419, 𝟒𝟐𝟎
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 30
𝝓 𝟑𝟎 𝝓 𝟑𝟎 𝝓 𝟑𝟎⋯
5(30) 6(30) 7(30) 13(30) 14(30)
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 30
𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑒𝑙 150 𝑎𝑙 420
= (𝟏𝟒 − 𝟓) 𝝓 𝟑𝟎 = 𝟗 × 𝟖 = 𝟕𝟐
= 𝝓 𝟐 𝝓 𝟑 𝝓 𝟓 = 𝟏 × 𝟐 × 𝟒 = 𝟖
Rpta: 72
Teoremas importantes 
Pequeño Teorema de 
Fermat
Congruencia de Euler y 
Fermat
Teorema de Wilson
(Test de primalidad)
Si 𝑵 𝒚 𝒑 ∈ ℕ y 𝒑 es un número
primo, entonces 
Sean 𝑵 𝒚 𝒑 ∈ ℕ y son PESI, 
entonces 
𝑵𝒑−𝑵 = 𝒑° 𝑵𝝓(𝒑) = 𝒑 + 𝟏°
𝒑 es un número primo, 
si y solo si 
𝒑 − 𝟏 ! = 𝒑 − 𝟏°
5 es primo y 12 ∈ ℕ,
entonces 125 − 12 = 5
Ejemplo
°
338 y 25 son PESI entonces,
338𝜙(25) = 33820 = 25 + 1
Ejemplo
°
7 es primo, entonces 
7 − 1 ! = 720 = 7 − 1
Ejemplo
°
Corolario Corolario
Si 𝑵 𝒚 𝒑 son PESI y 𝒑 es un 
número primo, entonces
𝑵𝒑−𝟏= 𝒑 + 𝟏°
Si 𝑷 es un número primo, 
entonces
𝒑 − 𝟐 ! = 𝒑 + 𝟏
𝒑 − 𝟑 ! = 𝒑 +
𝒑−𝟏
𝟐
Sea p primo y a>1. 
𝜙 𝑝𝑎 = 𝑝𝑎−1 𝑝 − 1 .
Si expresamos 𝑁 = 202072! + 35! en base 37, ¿en que cifra termina?
RESOLUCIÓN:
𝑁 = 202072! + 35! = …𝑥37 = 37 + 𝑥
• Como 2020 𝑦 37 son PESI y 37 es primo
Reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene 
202036 = 37 + 1
202072! = 202036 𝑘 = 37 + 1 𝑘
𝒙 = 𝟐
Rpta: 2
APLICACIÓN 11 
°
202072! = 37 + 1
• Como 37 es primo, por el corolario del teorema de Wilson 37 − 2 ! = 37 + 1
35! = 37 + 1
𝑁 = (37 + 1) + (37 + 1) = 37 + 2
Por el corolario del 
pequeño teorema 
de Fermat
𝟕𝟐! = 𝟑𝟔 = 𝟑𝟔𝒌
° °
°°
°
°
°
°
°
(1)
(3)
(2)
PROBLEMAS RESUELTOS
Rpta: 5
PROBLEMA 1
RESOLUCIÓN
¿Cuántos números primos se representan con tres cifras en el sistema quinario, 
donde su última cifra es 2?
Sea 𝑃 un número primo que cumple la condición, es decir: 
𝑃 = 𝑎𝑏25 = 5 + 2
Por numeración se tiene: 1005 ≤ 𝑃 = 𝑎𝑏25 < 10005
…𝟐 no puede ser primo
…𝟕 puede ser primo
25 ≤ 𝑃 < 125
. . 𝟕 𝒚 𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐
𝑃: 37, 47, 67, 97, 107
5 valores
°
PROBLEMA 4
Denotemos por 𝑃 al producto de los primeros 100 números primos, calcule el
residuo que se obtiene al dividir
a) 𝑃 entre 84 b) 𝑃2 entre 32
Resolución:
𝑃 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ⋯
100 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 (𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓)𝒑𝒂𝒓= ሶ𝟖 + 𝟏
a) 𝑃 = 2 × 3 × 7 × 5 × 11 ×⋯
42 𝟐𝒌 + 𝟏
𝑃 = 84𝑘 + 42 = ሶ84 + 𝟒𝟐
El residuo es 42
b) 𝑃2 = 𝟐𝟐 × 𝟑 × 𝟓 × 𝟕 ×⋯ 𝟐
𝟖𝒌 + 𝟏
𝑃2 = 32𝑘 + 4 = ሶ32 + 𝟒
El residuo es 4
Rpta: 42; 4
PROBLEMA 7 
Sean, 𝑝 𝑦 𝑞 respectivamente el menor y mayor factor primo del número
𝑁 = 1 004 006 004 001. Calcule el valor de la suma 𝑞 + 𝑝.
Resolución:
Debemos hallar la DC de 𝑁 = 1 004 006 004 001
Expresamos primero 𝑁 en base 1000
𝑁 = 1 004 006 004 001= (1)(004)(006)(004)(001) 1000
𝑁 = 146411000= 100001001 = 1001
4 = 74 × 114 × 134…(𝐷𝐶)
Como 𝑝 𝑦 𝑞 son el menor y mayor factor primo de 𝑁 entonces 𝑝 = 7 𝑦 𝑞 = 13
𝒒 + 𝒑 = 𝟐𝟎
Rpta: 20
PROBLEMA 9 
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones
I. Sean 𝑎 𝑦 𝑏 dos enteros positivos, entonces 𝑎𝑏 𝑦 (𝑎𝑏 + 1) son primos entre sí.
II. Si 𝑎 𝑦 𝑏 son primos entre sí, entonces 𝑎𝑏 𝑦 𝑎𝑛 + 𝑏𝑚 son primos entre sí, donde
𝑚 𝑦 𝑛 son enteros positivos.
III. Si 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 son primos entre sí, entonces 𝐶𝐷 𝐴. 𝐵. 𝐶 = 𝐶𝐷 𝐴 . 𝐶𝐷 𝐵 . 𝐶𝐷(𝐶)
Resolución:
I. Sea 𝑑 un divisor común de 𝑎𝑏 𝑦 (𝑎𝑏 + 1)
𝑎𝑏 = 𝑑
𝑎𝑏 + 1 = 𝑑
Entonces
°
(-)
1 = 𝑑
Solo cumple cuando 𝑑 = ±1
Por lo tanto 𝑎𝑏 𝑦 (𝑎𝑏 + 1) son PESI 
I. (V)
II. Supongamos que 𝑎𝑏 𝑦 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 comparten un 
divisor primo común 𝑑, entonces 
Si 𝒂 = 𝒅 → 𝑎𝑛 = 𝑑
𝑎𝑏 = 𝑑 𝑦 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = 𝑑
Si 𝑎𝑏 = 𝑑 → 𝑎 = 𝑑 ∨ 𝑏 = 𝑑
𝑏𝑛 = 𝑑 → 𝑏 = 𝑑
(1)
de (1)
Por hipótesis 𝑎 𝑦 𝑏 son PESI, entonces 𝑑 = ±1
𝑎𝑏 𝑦 𝑎𝑛 + 𝑏𝑚 son PESI II. (V)
III. (F) Se cumple cuando son PESI 2 a 2
Rpta: VVF
°
°
° °
°
°
°
°
°
° °
Lo mismo 
se 
concluye si 
𝒃 = 𝒅°
PROBLEMA 11 
¿Cuántos polígonos regulares, cuyos lados miden un número entero en metros existen, de
modo que su perímetro sea 17 640 metros y la cantidad de lados sea un número impar?
Resolución:
Denotemos por 𝑛 𝑦 𝑙 al número de lados y la longitud del lado que tiene el polígono regular
Por dato:
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝑛. 𝑙 = 17 640, 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑙 𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑛 ≥ 3
es un divisor impar de 17 640 
Cantidad de polígonos = 𝐶𝐷(17 640)
impares
≠ 𝟏
17 640 = 𝟐𝟑 × 32 × 5 × 72…(𝐷𝐶)
= 𝐶𝐷 32 × 5 × 72 − 𝟏 = 3 × 2 × 3 − 𝟏 = 𝟏𝟕
La unidad es 
divisor de 
todo número
Rpta: 17
PROBLEMA 12 
¿Cuántos números de la forma 2𝑎 2𝑏 𝑎𝑏, con 𝑎 > 𝑏 tienen 16 divisores enteros?
Resolución:
Como el número posee 16 divisores enteros, entonces posee 8 divisores positivos
𝑁 = 2𝑎 2𝑏 𝑎𝑏 = (2𝑎)(2𝑏) × 100 + 𝑎𝑏
2 × 𝑎𝑏
2𝑎 2𝑏 𝑎𝑏 = 201 × 𝑎𝑏 = 3 × 67 × 𝑎𝑏
𝒃 < 𝒂 < 𝟓
Como 𝐶𝐷 𝑁 = 8
Mínimo 2 
factores primos
𝑁
33 × 67… (𝐷𝐶)
3 × 67 × 𝑎𝑏… (𝐷𝐶)
𝑎𝑏 = 9 no puede ser
𝑎𝑏 es primo
31
41
43
Como 𝒂𝒃 toma 3 valores, entonces existen 3 números que cumplen dicha condición 
Rpta: 3
PROBLEMA 14 
Sea N un número de dos cifras que tienen tres divisores no compuestos y el
producto de sus divisores tiene 65 divisores. Determine la suma del mínimo y
máximo valor que puede tomar N.
Resolución:
El número 𝑁 = 𝑎𝑏, posee 3 divisores no compuestos 𝑁 = 𝑎𝑏, posee 2 divisores primos 
Por dato 𝐶𝐷 𝑃𝐷(𝑁) = 65 =13 × 5 𝑃𝐷 𝑁 = 𝑝12 × 𝑞4…(𝐷𝐶)
Como 𝑃𝐷 𝑁 = 𝑁
𝐶𝐷(𝑁)
2 = 𝑝3 × 𝑞1 4= 𝑝12 × 𝑞4
𝑁 = 𝑎𝑏
𝑪𝑫(𝑵)
𝟐
= 𝑝3× 𝑞1 …(𝐷𝐶)
𝟐𝟒 = 23 × 3
𝟒𝟎 = 23 × 5
𝟓𝟔 = 23 × 7
𝟖𝟖 = 23 × 11
𝟓𝟒 = 33 × 2
Mínimo:
Máximo:
la suma del mínimo y
máximo valor que puede
tomar N es 112
Rpta: 112
El PD(N) también posee
2 divisores primos
PROBLEMA 16 
Si la raíz cuadrada de 𝑁 = 22𝑘 × 32𝑘−2 × 52𝑘+2 con 𝑘 ∈ 𝑍+, tiene 60 divisores naturales,
¿cuántos divisores naturales de 𝑁 son múltiplos de 12 pero no múltiplos de 5?
Resolución:
𝑁 = 22𝑘 × 32𝑘−2 × 52𝑘+2 𝑁 = 2𝑘 × 3𝑘−1 × 5𝑘+1
Dato 𝐶𝐷 𝑁 = 60 𝑘 + 1 𝑘 𝑘 + 2 = 60 → 𝒌 = 𝟑
Entonces 𝑁 = 26 × 34 × 58= 𝟐𝟐 × 𝟑 24 × 33 × 𝟓𝟖
12
Nos piden 𝐶𝐷(𝑁)
12 ≠ 5°°
= 𝐶𝐷 24 × 33 = 5 × 4 = 𝟐𝟎
Rpta: 20
PROBLEMA 19 
Considerando solo divisores positivos, determine un número N de cinco cifras con cuatro
divisores primos y 91 divisores compuestos, tal que si se divide N entre 16; 49 y 27 se obtiene
como residuo 8; 35 y 9 respectivamente. Dar como respuesta la suma de las cifras de N.
Resolución:
𝑪𝑫 𝑵 = 𝟏 + 𝑪𝑫 𝑵 + 𝑪𝑫(𝑵)
primos compuestos
4 91
𝑪𝑫 𝑵 = 𝟗𝟔
𝑁
16 + 8
49 + 35
27 + 9
También
°
°
° = 8 ≠ 16
= 7 ≠ 49
= 9 ≠ 27
Como 𝑵 posee 4 divisores
primos y 3 de ellos son 2, 3 y 7
𝑁 = 23 × 32 × 7 × 𝑝𝛼…(DC)
𝑪𝑫 𝑵 = 𝟒 × 𝟑 × 𝟐 × 𝜶 + 𝟏 = 𝟗𝟔 𝜶 = 𝟑
𝑁 = 23 × 32 × 7 × 𝑝3 = 504 × 𝑝3
𝒑 𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐 ≠ 𝟐, 𝟑, 𝟕
tiene 5 cifras por dato
Solo se cumple para 𝑝 = 5 𝑁 = 504 × 53 = 𝟔𝟑 𝟎𝟎𝟎
Suma de cifras de 𝑵 = 𝟗
Rpta: 9
°
°°
°
°
°
PROBLEMA 21 
Si expresamos 20202942 en el sistema heptanario, ¿cuál es la suma de las tres
últimas cifras en que termina?
Resolución:
20202942 = …𝑎𝑏𝑐7 = 73 + 𝑎𝑏𝑐7 2020
2942 = 343 + 𝑎𝑏𝑐7
Por la congruencia del Euler y Fermat se cumple
Son PESI
2020𝜙(343) = 343 + 1
𝜙 343 = 𝜙 73 = 72 7 − 1 = 294 2020294 = 343 + 1
Como 20202942 = 2020294 10 × 20202
343 + 1
= 343 + 20202
20202 = 343 − 38 2 = 343 + 1444
343 + 72
20202 = 343 + 72
Se concluye que
20202942 = 343 + 72
𝑎𝑏𝑐7 = 72 = 1327
𝑎 = 1; 𝑏 = 3; 𝑐 = 2
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟔
Rpta: 6
° °
°
°
°
(1)
°
°
(2)
°
°
°
°
de (2)
(3)
De (1) y (3)
PROBLEMA 23 
Si la suma de los divisores de 24! es 𝐾, ¿cuál es la suma de los divisores de 25! que
son múltiplos de 5?
Resolución:
𝑆𝐷 24! = 𝐾 𝑆𝐷 25!Dato Nos piden
5°
= 𝟓 × 𝑆𝐷
25!
𝟓
Como 25! = 25 × 24! entonces en la DC solo cambia el exponente del 5
24! = 54 × 2𝑎 × 3𝑏 × 7𝑐 ×⋯× 23 …(𝐷𝐶)
𝑹
𝑆𝐷 24! = 𝑆𝐷 54 . 𝑆𝐷 𝑅 = 𝐾
25! = 56 × 𝑹 …(𝐷𝐶)
𝑆𝐷 25!
°5
25!
5
= 55 × 𝑹 …(𝐷𝐶)
= 5 × 𝑆𝐷 55 . 𝑆𝐷 𝑅
𝟓𝟓 − 𝟏
𝟓 − 𝟏
= 𝟕𝟖𝟏
𝑆𝐷 𝑅 =
𝐾
781
𝟓𝟔 − 𝟏
𝟓 − 𝟏
= 𝟑𝟗𝟎𝟔
=
𝟏𝟗 𝟓𝟑𝟎𝑲
𝟕𝟖𝟏
Rpta:
𝟏𝟗 𝟓𝟑𝟎𝑲
𝟕𝟖𝟏
PROBLEMA 25 
Sea 𝑛 = 𝑝1
𝛼 × 𝑝2
𝛽 × 𝑝3
𝛾, la descomposición canónica de 𝑛, además se cumple
a) 𝜙 𝑛 = 480 b) ȁ25 𝑛, ȁ8 𝑛 c) 125 ∤ 𝑛, 64 ∤ 𝑛
¿Cuántos valores puede tomar n?
Resolución:
Tenemos que la función 𝜙 de Euler de n: 
𝜙 𝑛 = 𝑝1
𝛼−1. 𝑝2
𝛽−1
. 𝑝3
𝛾−1
. (𝑝1 − 1)(𝑝2 − 1)(𝑝3 − 1).
Como 64 ∤ 𝑛 Para 𝑝1 = 2, 3≤ 𝛼 ≤ 5.
Como ȁ25 𝑛 pero 125 ∤ 𝑛 ⟹ 𝑠𝑖 𝑝2 = 5,𝛽 = 2.
𝜙 𝑛 = 𝜙 2𝛼 𝜙 52 𝜙 𝑝3
𝛾
= 480
𝜙 2𝛼 = 2𝛼−1 2 − 1 ,
𝜙 52 = 5 5 − 1 = 20,
𝜙 𝑝3
𝛾
= 𝑝3
𝛾−1
(𝑝3 − 1)
൝
𝑝3
𝛾
= 71 → 𝑛 = 23 × 52 × 71 = 1400.
𝑝3
𝛾
= 32 → 𝑛 = 23 × 52 × 32 = 1800.
para 𝜶 = 𝟑: 𝜙 𝑛 = 480 = 4 × 20 × 𝜙 𝑝3
𝛾
⟹𝜙(𝑝3
𝛾
) = 6
Para 𝜶 = 𝟒 𝒚 𝟓 𝒏𝒐 𝒉𝒂𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏
Solo existen dos valores para 𝒏
Rpta: 2