NÙMEROS PRIMOS

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ARITMÉTICA 
 CICLO PREUNIVERSITARIO 
 
 
 
 
 
NÚMEROS PRIMOS 
En el conjunto de los números enteros, un entero p es primo si admite sólo 4 divisores 
Esto es, un entero p  0 es primo  p  1, y además los únicos divisores de p son p y 
1. 
Ejemplo: 
 41: 1; 41 (divisores de 41) 
 -13: 1; 13 (divisores de -13) 
 41 y –13: Son números primos 
Definición: En los enteros, todo número no nulo que posee más de cuatro divisores se 
llama número compuesto. 
Los primeros primos son:  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... 
Los números compuestos son:  4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,… 
 
Teorema. El conjunto de los números primos es infinito. 
 
Algunas definiciones 
 Dos o más números enteros no nulos se llaman coprimos o primos entre sí (PESI) o 
primos relativos si sus únicos divisores comunes son 1 y -1. 
Ejemplos 6 y -35 son PESI 6, 33, -45 No son PESI 
 
 Dos o más números enteros no nulos son primos entre sí dos a dos, cuando 
tomados de dos en dos resultan ser primos entre si 
 Ejemplos -4, 13 y 9 son PESI 2 a 2 6, 3, -35 no es PESI 2 a 2 
 
Propiedad de la linealidad de coprimos 
 
Dos números enteros no nulos a y b son primos entre sí, si y solo si existen dos números 
enteros m y n tales que m a + n b = 1. 
 
En el caso de los números naturales (N) 
Un número natural es primo si sólo admite dos divisores 
Los primeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... 
Los números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,… 
 
Propiedades 
 El único número primo natural que es par es el 2, todos los demás son impares. 
 Los únicos naturales consecutivos y primos a la vez son el 2 y el 3. 
 La única terna de impares consecutivos y primos a la vez son 3; 5 y 7. 
 En N todo número primo mayor que 3 es un múltiplo de 6 más uno o múltiplo de 6 
menos uno. Lo contrario no siempre se cumple. 
 En N todo número primo mayor que 2 es un múltiplo de 4 más uno o múltiplo de 4 
menos uno. Lo contrario no siempre se cumple. 
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Determinación de números primos en los Naturales 
 
1.- CRIBA DE ERATOSTENES: 
Es un proceso mediante el cual se puede determinar; la serie de los números primos: 
Ejemplo: 
5049
484746454443424140393837
363534333231302928272625
242322212019181716151413
121110987654321
 
Primero se elimina el 1, luego se eliminan los múltiplos de 2 a partir de 22, a continuación, 
los múltiplos de 3, a partir de 32 y así sucesivamente continuamos con todos los múltiplos 
de los números primos que lo permita la tabla de los números dados. 
Los números que queden sin eliminar serán primos, en este caso los primeros números 
menores que 50. 
2.- ¿CÓMO SABER SI UN NÚMERO ES PRIMO EN N? 
Basta verificar que el número no es divisible entre ninguno de los factores primos menores 
o iguales que la raíz cuadrada del valor absoluto del número. 
Ejemplo: ¿El número –113 es primo? 
 Sabemos que 113 10,... , y además: 113 
o
2 ,
o
3 , 5
o
, 
o
7 
  El número –113 es un número primo. 
Nota: No existe una la ley según la cual se forman y suceden los números primos. 
Euler ha encontrado algunas fórmulas que son válidas hasta ciertos límites; para 
determinar números primos así: 
 x2 + x + 41 desde x = 0 hasta x = 39 
 x2 + x + 17 desde x = 0 hasta x = 15 
 x2 + x + 29 desde x = 0 hasta x = 27 
Fermat: 
n22 + 1 da algún primo. 
 Si n = 0  3 
 Si n = 1  5 
 Si n = 2  17 
 Si n = 3  257 
 Si n = 4  65 537 
525, 2 1 641
o
n    , n=5 no cumple 
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Teorema fundamental de la Aritmética (Teorema de Gauss) 
 
Todo número entero positivo no primo y diferente de la unidad, se puede descomponer 
como un producto de factores primos positivos elevados a ciertos exponentes de manera 
única, esta descomposición es llamada la descomposición canónica del número en 
referencia. 
Ejemplo 
 60 = 22  3  5 1260 = 22  32  5.7 
 
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES 
 I. El número uno. 
 II. Los números primos. 
III. Los números compuestos. 
 
ESTUDIO DE LOS DIVISORES POSITIVOS DE UN NÚMERO 
Si un número N descompuesto en sus factores primos es: N = a  b  c . . . q 
 Donde a, b , c, . . . , q : Factores primos, 
 , , , . . . ,  : Exponentes de los factores primos 
2
2
2
los divisores de son :1, , ...,
los divisores de son :1, , ,...,
,...................,
los divisores de son :1, , ,...,
a a a a
b b b b
q q q q
 
 
 
 
Todos los divisores del número N ; se obtienen a partir del producto de las combinaciones 
de los divisores de a ,b , c ,. . ., q, Entonces: 
La Cantidad de divisores (CD) 
 
La suma de los divisores (SD) 
 
 
 
1 1 1 11 1 c 1 1
( ) ...
1 1 1 1
a b q
SD N
a b c q
         
    
   
 
 
 
 
 
 
 
CD(N) = ( + 1) ( + 1) (+ 1) . . . ( + 1) 
SD(N) = (1 + a + a2 + ... + a)(1 + b + b2 .. +b)(1 + c + c2 + ...+c) . . (1+ q + q2 +..+q) 
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La suma de las inversas de los divisores (SID) 
 
 
 
( )
( )
SD N
SID N
N
 
La suma de los divisores elevado cada uno a una potencia n 
 
 
 
1 1 1( ) 1 ( ) 1 ( ) 1
( ) ....
1 1 1
n n n
n
n n
a b q
S D N
a b q
      
   
  
 
 PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE N (PD) 
 
( ) / 2( ) CD NPD N N 
 
FORMAS DE DESCOMPONER UN NÚMERO COMO EL PRODUCTO DE DOS 
FACTORES 
 
CD(N)/2 , si CD(N) es par
F(N) =
(CD(N)+1)/2 , si CD(N) es impar 



 
 
 
La función de Euler o indicador de un número Natural  (N). 
Se llama indicador de un número natural N al número de primos relativos con N y 
menores que él y se denota por  (N). 
Por convención se tiene que  (1) = 1 
Si N = aα. bβ . c ... qλ, donde a, b, c, .....,q son números primos distintos, entonces 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
1 1 1 1
...N
a b c q
N
a b c q

         
       
       
( )nS D N  (1 + an + a2n+...+an)(1 + bn + b2n+…+bn)..…(1 + qn + q2n+…+qn) 
 
SID(N) = (1/1 + 1/a +...+1/a)(1/1 + 1/b +...+1/b)……(1/1+1/q+...+1/q) 
 
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Propiedad 
1.- Sea n la cantidad de divisores primos de un número natural N, entonces las formas de 
descomponer N como el producto de dos factores PESI es 
12n 
2.- Un número entero es cuadrado perfecto si y sólo si tiene un número impar de divisores 
positivos. 
3.- Sea N un número natural, entonces: 
 
 
4.- Si P y Q son números naturales PESI, entonces 
 (i) CD(P·Q) = CD(P) · CD(Q) 
 (ii) SD(P·Q) = SD(P) · SD(Q) 
 (iii) (P Q) (P) (Q)     
5.- El número de parejas de números naturales PESI que sumados dan N (siendo N un 
número natural mayor que 2) es igual a la mitad del indicador de N 
 Ejemplo para N=20,  (20) = 8, habrá 8/2=4 parejas: 1+19, 3+17, 7+13 y 9+11 
CD(N) = 1 + (Cantidad de divisores primos) + (Cantidad de divisores Compuestos)