NÚMEROS RACIONALES-FINAL

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ARITMÉTICA
NÚMEROS 
RACIONALES
¿Cómo realizar un estudio de personas 
vulnerables al contagiarse con COVID?
Han pasado algunos meses desde la aparición del COVID-19 en el 
mundo y si bien es cierto es una enfermedad nueva y con 
limitada información, se sabe que existen grupos vulnerables. 
GRUPOS VULNERABLES O CON MAYOR RIESGO
• Mayores de 65 años.
• Con problemas cardiacos.
• Personas con patologías 
respiratorias crónicas (bronquitis 
crónica o asma).
• Diabéticos.
• Fumadores.
• Obesidad.
Relaciones definidas sobre el conjunto
de personas vulnerables
Denotemos por 𝑉 al conjunto de personas vulnerables al contraer la 
enfermedad del COVID 19, se definen las siguientes relaciones sobre 
el conjunto 𝑉:
¿Qué relaciones definen 
una relación de 
equivalencia sobre 𝑉?
a) 𝐴 𝑅1 𝐵 si y sólo si 𝐴 y 𝐵 pertenecen al 
menos a un grupo vulnerable. 
b) 𝐴 𝑅2 𝐵 si y sólo si 𝐴 y 𝐵 pertenecen sólo a un 
grupo vulnerable pero dichos grupos son distintos. 
c) 𝐴 𝑅3 𝐵 si y sólo si 𝐴 pertenece a 2 grupos 
vulnerables y 𝐵 pertenece a 3 grupos vulnerables.
Relación de equivalencia
Dado el conjunto A≠∅ y 𝑅 una relación definida sobre A. Decimos que 𝑅 es una relación de 
equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
Reflexiva
Para todo 𝑥 ∈ 𝐴 se tiene (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅.
Simétrica
Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 entonces (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅.
Transitiva
Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ⋀ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 entonces (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅.
Ejemplo: Sea el conjunto 𝐴 = 2,3,5 , 
Verifique si dichas relaciones son de equivalencia:
Observación
Si alguna de las propiedades mencionadas no 
se cumple, diremos que dicha relación no es 
de equivalencia.
b) 𝑅2 = 2,2 , 3,3 , 5,5 , (2,3)
a) 𝑅1 = 2,2 , 3,3
Solución:
a) 𝑅1 no es reflexiva, ya que (5,5) ∉ 𝑅1
𝑅1 no es relación de equivalencia
b) 𝑅2 no es simétrica, ya que
Si (2,3) ∈ 𝑅2 entonces (3,2) ∈ 𝑅2.
V F
La proposición 
es falsa
𝑅2 no es relación de equivalencia
Aplicación 1
Sea el conjunto 𝐴 = 2,3,5,7 , definamos las siguientes relaciones sobre 𝐴:
a) 𝑅1 = 2,2 , 3,3 , 5,5 , (7,7)
b) 𝑅2 = 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3 , 5,5 , (7,7)
c) 𝑅3 = 2,2 , 2,3 , 3,2 , 2,5 , 5,2 , 3,3 , 3,5 , 5,3 , (5,5), (7,7)
Verifique si dichas relaciones son de equivalencia.
RESOLUCIÓN
a) Es claro que 𝑅1 es 
reflexiva y simétrica, 
veamos si es transitiva
Como la propiedad transitiva es una
condicional debemos buscar hacer 
que el antecedente sea verdadero
para ver como responde el 
consecuente, luego se tiene: 
Si (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅1⋀ (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅1
entonces (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅1.
La proposición 
es Verdadera
𝑅1 es relación 
de equivalencia
b) Es claro que 𝑅2 es 
reflexiva y simétrica, 
veamos si es transitiva, usando 
la observación anterior
Si (2,3) ∈ 𝑅2⋀ (3,2) ∈ 𝑅2
entonces (2,2) ∈ 𝑅2.
Si (3,2) ∈ 𝑅2⋀ (2,3) ∈ 𝑅2
entonces (3,3) ∈ 𝑅2.
Ambas proposiciones son 
verdaderas
𝑅2 es relación 
de equivalencia
c) Es claro que 𝑅3 es 
reflexiva y simétrica, 
veamos si es transitiva, usando 
la parte b), solo restaría probar
Si (3,5) ∈ 𝑅3⋀ (5,3) ∈ 𝑅3
entonces (3,3) ∈ 𝑅3.
Si (2,5) ∈ 𝑅3⋀ (5,2) ∈ 𝑅3
entonces (2,2) ∈ 𝑅3.
Si (5,2) ∈ 𝑅3⋀ (2,5) ∈ 𝑅3
entonces (5,5) ∈ 𝑅3.
Si (5,3) ∈ 𝑅3⋀ (3,5) ∈ 𝑅3
entonces (5,5) ∈ 𝑅3.
Las 4 proposiciones son verdaderas
𝑅3 es relación de equivalencia
Dada la relación de equivalencia 𝑅 sobre 𝐴, para cada 𝑥 ∈ 𝐴 definamos el
conjunto
Clase de equivalencia
𝑥 = {𝑎 ∈ 𝐴: 𝑥𝑅𝑎}
como la clase de equivalencia del elemento 𝑥.
Conjunto cociente
Dada la relación de equivalencia 𝑅 sobre 𝐴, definamos el conjunto cociente
𝐴
𝑅
= { 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐴}
Observación: 
La relación de equivalencia 𝑅 permite 
particionar el conjunto A en conjuntos 
disjuntos.
Observación: 
Los elementos que pertenecen a la 
clase de equivalencia se denominan 
representantes.
Aplicación 2
Sea el conjunto 𝐴 = 2,3,5,7 , definamos las siguientes relaciones de equivalencia sobre 𝐴
como en la Aplicación 1:
a) 𝑅1 = 2,2 , 3,3 , 5,5 , (7,7)
b) 𝑅2 = 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3 , 5,5 , (7,7)
c) 𝑅3 = 2,2 , 2,3 , 3,2 , 2,5 , 5,2 , 3,3 , 3,5 , 5,3 , (5,5), (7,7)
Escribe las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
RESOLUCIÓN
a) 2 = 2
3 = 3
5 = 5
7 = 7
𝐴
𝑅1
= 2 , 3 , 5 , 7
b) 2 = 2,3 = 3
5 = 5
7 = 7
𝐴
𝑅2
= 2 , 5 , 7
c) 2 = 2,3,5 = 3 = 5
7 = 7
𝐴
𝑅3
= 2 , 7
2
3
5
7
𝐴
2
5
7
𝐴
2
7
𝐴
Notaciones: 
• En adelante escribiremos 𝑥𝑅𝑦 en vez de (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅.
• Usaremos las letras 𝑅,~,≡, etc para denotar una 
relación.
• Reflexiva :
𝑎. 𝑎 = 𝑎2 ≥ 0, ∀𝑎 ∈ ℤ
• Simétrica:
Si 𝑎. 𝑏 ≥ 0 entonces 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 ≥ 0
• Transitiva:
Si 𝑎. 𝑏 ≥ 0 y 𝑏. 𝑐 ≥ 0 entonces 𝑎. 𝑐 ≥ 0
−1 . (0) ≥ 0 ⋀ 0 . (1) ≥ 0
Aplicación 3
Definamos una relación ~ sobre ℤ como:
𝑎~𝑏 si y sólo si 𝑎. 𝑏 ≥ 0
¿Es ~ una relación de equivalencia sobre ℤ?
RESOLUCIÓN
Por tanto, ~ no
es una relación de
equivalencia
sobre ℤ
Verdadero 
Verdadero 
Falso 
V V F
V
−1 . (1) ≥ 0
Dada la relación de equivalencia 𝑅 sobre 𝐴 ≠ ∅, se cumple:
1. 𝑥 ≠ ∅, ∀𝑥 ∈ 𝐴
2. Para todo par de elementos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 se tiene que:
𝑥 = 𝑦 o 𝑥 ∩ 𝑦 = ∅
Propiedades
Prueba:
Supongamos que 𝑥 ∩ 𝑦 ≠ ∅ entonces
existe 𝑧 ∈ 𝑥 y 𝑧 ∈ 𝑦 , luego 𝑥 𝑅 𝑧 y 
𝑧 𝑅 𝑦 , por transitividad de 𝑅 se tiene 𝑥 𝑅 𝑦, 
lo cual es una contradicción.
Si 𝒙 𝑹 𝒚
Veamos que 𝑥 ⊂ 𝑦 :
En efecto: Sea 𝑧 ∈ 𝑥 entonces 𝑥 𝑅 𝑧, como
𝑅 simétrica se tiene 𝑧 𝑅 𝑥, luego 𝑧 𝑅 𝑥 y 
𝑥 𝑅 𝑦 ,por transitividad de 𝑅 se tiene que 
𝑧 ∈ 𝑦 . La otra inclusión es similar.
2) Si 𝒙 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒚
• Reflexiva :
5| 𝑎 − 𝑎 , ∀𝑎 ∈ ℤ
• Simétrica:
Si 5|(𝑎 − 𝑏) entonces 5| 𝑏 − 𝑎
• Transitiva:
Si 5|(𝑎 − 𝑏) y 5|(𝑏 − 𝑐) entonces 5|[ 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 − 𝑐 ]
Aplicación 4
Definamos una relación ≡ sobre ℤ como:
𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 5) si y sólo si 5|(𝑎 − 𝑏)
Verifique que dicha relación es de equivalencia
RESOLUCIÓN
≡ Es una relación
de equivalencia
sobre ℤ
Verdadero 
Verdadero 
Verdadero 
0
𝑎 − 𝑐
Clases de Equivalencia :
• 0 = 5𝑘: 𝑘 ∈ ℤ
• 1 = 5𝑘 + 1: 𝑘 ∈ ℤ
• 2 = 5𝑘 + 2: 𝑘 ∈ ℤ
• 3 = 5𝑘 + 3: 𝑘 ∈ ℤ
• 4 = 5𝑘 + 4: 𝑘 ∈ ℤ
Aplicación 5
Del ejemplo anterior, escribe las clases de equivalencia de sus 
elementos y el conjunto cociente
RESOLUCIÓN
Conjunto cociente :
ℤ
≡
= 0 , 1 , 2 , 3 , 4
0
1
2
3
4
ℤ La relación de 
equivalencia ≡
particiona el 
conjunto ℤ en 5 
conjuntos 
disjuntos
Aplicación 6
Definamos la relación ~ sobre ℕ × ℕ como:
(𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) si y sólo si 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐
Verifique que dicha relación es de equivalenciaRESOLUCIÓN
Veamos que dicha relación es de equivalencia:
• Reflexiva
𝑎, 𝑏 ~ 𝑎, 𝑏 ↔ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, ∀ (𝑎, 𝑏) ∈ ℕ × ℕ
• Simétrica
Si (𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) entonces (𝑐, 𝑑)~(𝑎, 𝑏)
• Transitiva
Si (𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) y (𝑐, 𝑑)~(𝑒, 𝑓) entonces (𝑎, 𝑏)~(𝑒, 𝑓)
Verdadero 
𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑑 = 𝑑 + 𝑎
Verdadero 
𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑓 = 𝑑 + 𝑒 𝑎 + 𝑑 + 𝑐 + 𝑓 = 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒
Verdadero 
𝑎 + 𝑓 = 𝑏 + 𝑒
Aplicación 7
Sea 𝑉 el conjunto de personas vulnerables mostrados al inicio al contraer la enfermedad del 
COVID 19, se definen las siguientes relaciones sobre el conjunto 𝑉:
a) 𝐴 𝑅1 𝐵 si y sólo si 𝐴 y 𝐵 pertenecen al menos a un grupo vulnerable. 
b) 𝐴 𝑅2 𝐵 si y sólo si 𝐴 y 𝐵 pertenecen sólo a un grupo vulnerable pero dichos grupos son 
distintos. 
c) 𝐴 𝑅3 𝐵 si y sólo si 𝐴 pertenece a 2 grupos vulnerables y 𝐵 pertenece a 3 grupos 
vulnerables.
¿Cuáles definen una relación de equivalencia sobre 𝑉? RESOLUCIÓN
Reflexiva
Por tanto, 𝑅1 es una 
relación de equivalencia 
Simétrica
𝐴𝑅1𝐴, ∀𝐴 ∈ 𝑉
Si 𝐴𝑅1B
Simétrica
𝐵𝑅1A
Si 𝐴𝑅1B ⋀ 𝐵𝑅1C
Transitiva
𝐴𝑅1C
Transitiva
Supongamos que:
𝐴: Es diabético
𝐵: Es obeso
𝐶: Es diabético
Si 𝐴𝑅2B ⋀ 𝐵𝑅2C 𝐴𝑅2C
V V F
Por tanto, 𝑅2 no es una 
relación de equivalencia 
Supongamos que:
𝐴: Es diabético y obeso
𝐵: Es diabético, obeso y fumador.
Si 𝐴𝑅3B 𝐵𝑅3A
V F
Por tanto, 𝑅3 no es una 
relación de equivalencia 
Verdadero
Verdadero
Verdadero
a) b) c)
Definamosla relación ~ sobre F = ℤ × ℤ∗ como:
(𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) si y sólo si 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐
Contrucción de los Números Racionales
Veamos que dicha relación es de equivalencia:
• Reflexiva
(𝑎, 𝑏)~(𝑎, 𝑏) ↔ 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎, ∀ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐹
• Simétrica
Si (𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) entonces (𝑐, 𝑑)~(𝑎, 𝑏)
• Transitiva
Si (𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) y (𝑐, 𝑑)~(𝑒, 𝑓) entonces (𝑎, 𝑏)~(𝑒, 𝑓)
Verdadero 
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 𝑐𝑏 = 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑 = 𝑑𝑎
Verdadero 
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 𝑐𝑓 = 𝑑𝑒 𝑎𝑓 = 𝑎.
𝑑
𝑑
. 𝑓 =
𝑏𝑐𝑓
𝑑
=
𝑏𝑑𝑒
𝑑
= 𝑏𝑒
Verdadero 
Observación: 
En adelante denotamos:
𝑎, 𝑏 =
𝑎
𝑏
al que llamaremos fracción
La relación de equivalencia ~ permite contruir las clases de equivalencia:
Clase de equivalencia
𝑎
𝑏
= {
𝑐
𝑑
∈ 𝐹:
𝑎
𝑏
~
𝑐
𝑑
}
Representante canónico
Decimos que 
𝑝
𝑞
∈
𝑎
𝑏
es el representante canónico de la clase de equivalencia 
𝑎
𝑏
si 𝑝 y 𝑞 son PESI y 𝑞> 0.
Ejemplo:
•
6
−8
=
−3𝑘
4𝑘
: 𝑘 ∈ ℤ∗ posee como representante 
canónico a 
−3
4
.
Observación: 
El representante canónico 
es único.
Números Racionales
Definamos el conjunto de los números racionales como el conjunto cociente:
ℚ ≔
𝐹
~
= {
𝑎
𝑏
:
𝑎
𝑏
∈ 𝐹}
1
2
−3
4
ℚ
.
.
.
Gráficamente
1
2
−3
4
Observación: 
Los elementos que pertenecen 
a la clase 
𝑎
𝑏
son puntos que 
pertenecen a una misma recta 
que pasa por el origen.
Adición
Operaciones sobre ℚ
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎. 𝑑 + 𝑏. 𝑐
𝑏. 𝑑
Ejemplo:
•
3
−8
+
−2
5
=
31
−40
•
−6
−9
.
−2
5
=
12
−45
Multiplicación
𝑎
𝑏
.
𝑐
𝑑
=
𝑎. 𝑐
𝑏. 𝑑
Observación: 
• Las operaciones de sustracción y 
división de números racionales 
son una consecuencia de la 
adición y multiplicación.
¿Qué relación existe entre ℤ y ℚ?
Es claro que, al considerar a ℚ como un conjunto formado por clases
de equivalencias, este no contiene a ℤ, pero si se considera el conjunto
Esto nos permite identificar a todos los números racionales (𝑎, 𝑏) como el 
cociente de los números enteros 𝑎 y 𝑏, para así ser ubicados en la recta 
numérica. Luego se concluye que visto ℚ como puntos sobre la recta numérica, 
este contendría a ℤ. 
Existe una función biyectiva
𝑓: 𝐴 → ℤ
(𝑎, 1) → 𝑎
𝐴 = (𝑎, 1) : 𝑎 ∈ ℤ ⊂ ℚ
Se observa que este puede ser identificado por ℤ, es decir:
Aplicación 8
Determine la veracidad de las siguientes proposiciones con respecto a la relación que 
permite construir al conjunto de los números racionales:
I) Los elementos de (𝑎, 𝑏) son puntos que pertenecen a una recta que pasa por el origen o 
tienen pendiente un número irracional.
II) Existe una recta que contiene a los puntos de alguna clase de equivalencia y que es
perpendicular a la recta 𝑦 = 0. 
III) (𝑎, 𝑏) ∪ (𝑐, 𝑑) es una clase de equivalencia.
RESOLUCIÓN
Verdadero
Por tanto, la proposición 
es verdadera 
Los elementos de (𝑎, 𝑏) son 
puntos que pertenecen a una 
recta que pasa por el origen.
La recta vertical 𝑥 = 0 contiene 
a los puntos de alguna clase de 
equivalencia y es perpendicular 
a la recta 𝑦 = 0. 
Por tanto, la proposición 
es verdadera 
Considere:
(𝑎, 𝑏) = [(0,1)] y (𝑐, 𝑑) = [(1,1)]
(0,1) y (1,1) pertenecen a 
(𝑎, 𝑏) ∪ (𝑐, 𝑑)
Por tanto, la proposición 
es falsa
a) b) c)
p:
Los elementos de (𝑎, 𝑏) son 
puntos.q:
p ⋁ q
V FV
Verdadero Falso
Si fuese una clase de 
equivalencia
(0,1) ~ (1,1) lo cual es falso
Decimos que el conjunto 𝐴 ⊂ ℝ es denso en ℝ, si para todo x, y ∈ ℝ con x <
y , existe un z ∈ 𝐴 tal que x < z < y.
Densidad de un conjunto en ℝ
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ con 𝑥 < 𝑦 entonces
1
𝑦−𝑥
> 0. 
Teorema
El conjunto de los números racionales ℚ es denso en ℝ.
Prueba: 
Luego, como el conjunto de los números naturales ℕ no es acotado superiormente
∃𝑛 ∈ ℕ tal que 𝑛 >
1
𝑦−𝑥
, así 𝑛𝑦 − 𝑛𝑥 > 1.
Es decir el intervalo 𝑛𝑥, 𝑛𝑦 posee una longitud mayor que 1 , luego ∃𝑚 ∈ ℕ
tal que 𝑛𝑥 < 𝑚 < 𝑛𝑦 . Por lo tanto ∃
𝑚
𝑛
∈ℚ tal que 𝑥 <
𝑚
𝑛
< 𝑦.
Propiedad 1
El complemento de un conjunto numerable o contable 𝐴 ⊂ ℝ es denso en ℝ.
Ejemplo:
• Los conjuntos ℚ𝐶(números irracionales) y ∅𝐶 =ℝ son densos en ℝ.
• Los conjuntos ℕ𝐶 y ℤ𝐶 son densos en ℝ
1. La cantidad de números racionales e irracionales que se encuentra en çualquier
intervalo ]𝑎, 𝑏[ es infinita.
Consecuencias: 
2. El complemento de todo conjunto finito 𝐴 ⊂ ℝ es denso en ℝ.
Propiedad 2
1. Si ℚ ⊂ 𝐴 ⊂ ℝ , entonces 𝐴 es denso en ℝ.
Ejemplo:
• El conjunto ℚ ∪ 𝜋 es denso en ℝ.
• El conjunto I ∪ 𝑝 ∈ ℕ: 𝑝 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 es denso en ℝ.
Si 𝐴 ⊂ ℝ es un conjunto denso en ℝ entonces todo conjunto 𝐵 que contiene a 𝐴 y
esta contenido en ℝ es denso en ℝ
Consecuencia: 
2. Si I ⊂ 𝐴 ⊂ ℝ , entonces 𝐴 es denso en ℝ.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 
Problema 1 
Sean las relaciones definidas sobre ℤ∗:
I. 𝑥~𝑦 ↔ 𝑥. 𝑦 > 0.
II. 𝑥~𝑦 ↔ 𝑥 + 𝑦 es un número par.
III. 𝑥~𝑦 ↔ 𝑀𝐴 𝑥, 𝑦 ≥ 𝑀𝐻 𝑥, 𝑦 .
Escribe V en caso dicha relación defina una relación de equivalencia, caso contrario coloque F. 
A) VVV B) VVF C) VFV D) FFV E) FVVResolución 
I. Reflexiva
𝑥. 𝑥 = 𝑥2 > 0
II. Simétrica
Si 𝑥. 𝑦 > 0 entonces 𝑦. 𝑥
= 𝑥. 𝑦 > 0
III. Transitiva
Si 𝑥. 𝑦 > 0 ⋀ y. 𝑧 > 0
entonces 𝑥. 𝑦2. 𝑧 > 0, 
luego 𝑥. 𝑧 > 0
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Por tanto, ~ es una 
relación de equivalencia
I. Reflexiva
𝑥 + 𝑥 = 2𝑥
II. Simétrica
Si 𝑥 + 𝑦 = 2𝑘 con 𝑘 ∈ ℤ∗
entonces 𝑦 + 𝑥 = 2𝑘
III. Transitiva
Si 𝑥 + 𝑦 = 2𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ∗ ⋀ 𝑦 + 𝑧
= 2𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑟 ∈ ℤ∗ entonces 𝑥 + 2𝑦
+ 𝑧 = 2(𝑘 + 𝑟), luego 𝑥 + 𝑧 es 
par
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Por tanto, ~ es una 
relación de equivalencia
III. Transitiva
FalsoConsidere
𝑥 = −2, 𝑦 = 4, 𝑧 = 1.
Por tanto, ~ no es una 
relación de equivalencia
CLAVE: B
Si 𝑀𝐴 𝑥, 𝑦 = 1 ≥ 𝑀𝐻 𝑥, 𝑦 = −8
⋀ 𝑀𝐴 𝑦, 𝑧 = 2,5 ≥ 𝑀𝐻 𝑦, 𝑧 = 1,6.
𝑀𝐴 𝑥, 𝑧 = −0,5 ≥ 𝑀𝐻 𝑥, 𝑧 = 4
Problema 2 
Sean 𝑅1 y 𝑅2 dos relaciones definidas sobre el conjunto 𝐴 ≠ ∅.
Determine la veracidad de las siguientes proposiciones:
I. Si 𝑅1 es reflexiva entonces 𝑅1 ∪ 𝑅2 es reflexiva.
II. Si 𝑅1 es simétrica entonces 𝑅1 ∪ 𝑅2 es simétrica.
III. Si 𝑅1 y 𝑅2 son de equivalencia entonces 𝑅1 ∩ 𝑅2 es de equivalencia.
A) VVV B) VFV C) VFF D) FFV E) FVV
Resolución 
I. Como 𝑅1 es reflexiva
(𝑥, 𝑥)∈𝑅1, ∀𝑥 ∈ 𝐴
Por tanto, la proposición
es Verdadera
y como 𝑅1 ⊂ 𝑅1 ∪ 𝑅2
(𝑥, 𝑥)∈𝑅1 ∪ 𝑅2, ∀𝑥 ∈ 𝐴
II. Para 𝐴 = {2,3,5}, 
definamos
𝑅1 = { 2,3 , (3,2)} y
𝑅2 = { 3,5 }
Por tanto, la proposición
es Falsa
𝑅1 ∪ 𝑅2 = { 2,3 , 3,2 , (3,5)}.
La cuál no es simétrica ya 
que 5,3 ∉ 𝑅1 ∪ 𝑅2
III. 1) Como 𝑅1 y 𝑅2 son reflexivas
(𝑥, 𝑥)∈𝑅1, ∀𝑥 ∈ 𝐴
(𝑥, 𝑥)∈𝑅2, ∀𝑥 ∈ 𝐴
Por tanto, la proposición es Verdadera
(𝑥, 𝑥)∈𝑅1 ∩ 𝑅2, ∀𝑥 ∈ 𝐴
2) Como 𝑅1 y 𝑅2 son simétricas
Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅1 ∩ 𝑅2 entonces (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅1 ∩ 𝑅2.
Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅1 ∩ 𝑅2⋀ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅1 ∩ 𝑅2entonces (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅1 ∩ 𝑅2.
V V
3) Como 𝑅1 y 𝑅2 son transitivas
V V V
Problema 4
Con respecto a la construcción de los números racionales, se puede afirmar:
I. ℚ = (𝑎, 𝑏) : 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ ʌ 𝑀𝐶𝐷 𝑎, 𝑏 = 1 .
II. ℚ = (𝑎, 𝑏) : 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ ʌ 𝑎 × 𝑏 ≥ 0 .
III. ℚ = (𝑎, 𝑏) : 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ ʌ (𝑎 × 𝑏 ≥ 0 ⋁𝑎 × 𝑏 < 0) .
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF
Resolución 
I. Sea el conjunto
A =
𝑎
𝑏
: 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ʌ 𝑀𝐶𝐷 𝑎, 𝑏 = 1 .
• 𝐴 ⊂ ℚ Es claro
• ¿ℚ ⊂ 𝐴? Si
Sea 
𝑚
𝑛
∈ ℚ entonces existe un 
representante canónico 
𝑥
𝑦
∈
𝑚
𝑛
, luego 
como 𝑀𝐶𝐷 𝑥, 𝑦 = 1
Verdadero
Por tanto, 𝐴 = ℚ
Falso
Por tanto, B ≠ ℚ
Verdadero
II. Sea el conjunto
B =
𝑎
𝑏
: 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ ʌ 𝑎 × 𝑏 ≥ 0 .
• B⊂ ℚ Es claro
• ¿ℚ ⊂ 𝐵? No
−1
2
∈ℚ pero no pertenece a 𝐵
III. Sea el conjunto
C =
𝑎
𝑏
: 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ ʌ (𝑎 × 𝑏 ≥ 0 ⋁𝑎 × 𝑏 < 0) .
• 𝐶 ⊂ ℚ Es claro
• ¿ℚ ⊂ 𝐶? Si
Sea 
𝑚
𝑛
∈ℚ entonces (𝑚, 𝑛) ∈ ℤ × ℤ∗
Entonces 𝑚 × 𝑛 ≥ 0 ⋁ 𝑚 × 𝑛 < 0
Por tanto, C = ℚ𝑥
𝑦
=
𝑚
𝑛
∈ 𝐴
CLAVE: C
Problema 5
A) FVV B) VVV C) FFV D) FVF E) FFFResolución 
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:I. El conjunto de los irracionales es cerrado bajo la operación suma.
II. La gráfica de la clase de equivalencia de (1; 2) es una recta cuya pendiente es 0,5.
III. Las fracciones (24, 39) y [0; 1, 1, 1, 2] son equivalentes. 
1 − 2 + 2 = 1
CLAVE: E
∉ 𝐼
La gráfica de la clase de 
equivalencia (1,2)
posee pendiente 2.
0 1 1 1 2
-
k2k
k2k
3k
3k
5k8k
5k
5k
Por tanto 
24
39
y 
5
8
no son 
equivalentes
I. Falso
II. Falso
III. Falso
Problema 7
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. El menor ángulo formado por las rectas que contienen a las clases de equivalencia [(4; 3)] y 
[(–24; 7)] es 53°.
II. Si 𝑎, 𝑏 𝜖[(6, −8)] y 𝑐, 𝑑 𝜖[(−12,−18)] son representantes canónicos de sus respectivas 
clases de equivalencia entonces 𝑎 + 𝑐 = −1 .
III. Si 𝑎, 𝑏 𝜖[(𝑐, 𝑑)] es representante canónico entonces a y b son PESI y además 𝑎 × 𝑏 > 0 .
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVFResolución 
tan 𝛼 =
−
7
24
−
3
4
1 + (−
7
24
)(
3
4
)
I. Verdadero
Por tanto, el menor
ángulo es 180𝑜-127𝑜=53𝑜
II. Verdadero
Por tanto, 𝑎 + 𝑐 = −1
III. Falso
El elemento
−3
4
∈
6
−8
es el 
representante canónico y (-3)(4)<0 
𝑚1 =
3
4
(𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)
−24
7
4
3
𝑚2 = −
7
24
(𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)
= −
4
3
𝛼 = 127𝑜
Representante canónico de 
6
−8
:
Representante canónico de 
−12
−18
:
−3
4
2
3
a=−3,c=2
−12
CLAVE: B
Problema 9
Sean las clases de equivalencia (𝑎, 𝑏) = 𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 , 𝑏, 𝑎 ,… tal que 
𝑐 + 𝑑 ≠ 0; (𝑝, 𝑞) = 𝑝, 𝑞 , 0, 𝑟 , … y (𝑠, 𝑡) = (𝑎, 𝑏) + (𝑝, 𝑞) . Si 
(𝑚, 𝑛) es el representante canónico de (𝑠, 𝑡) , calcule 3m+n
A) -2 B) 0 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución 
Como (𝑏, 𝑎) ∈ (𝑎, 𝑏) Entonces:
CLAVE: D
𝑏 = −𝑎 ⋁ 𝑏 = 𝑎
𝑎 + 𝑏 = 0 𝑐 + 𝑑 = 0
(No es cierto)
Como (0, 𝑟) ∈ (𝑝, 𝑞) 𝑝 = 0
(𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑎) = (1,1)
(𝑝, 𝑞) = (0, 𝑞) = (0,1)
Por lo tanto: (𝑎, 𝑏) + (𝑝, 𝑞) = (1,1)
𝑚, 𝑛 = (1,1)
3𝑚 + 𝑛 = 4
Problema 11
Las clases de equivalencias 
𝑎−2
6+𝑎
y 
𝑎+2
6−𝑎
, con 𝑎 el menor entero positivo posible tiene 
como representantes canónicos a 
𝑥
𝑦
y 
𝑚
𝑛
, respectivamente, se sabe además que
𝑥 + 𝑦 = 14;𝑚 + 𝑛 = −4 , halle 𝑎 + 𝑥 + 𝑚
A) 6 𝐵) 8 C) 10 D) 11 E) 24
Resolución 
Como 
𝑥
𝑦
∈
𝑎−2
6+𝑎
es un 
representante 
canónico
Luego se tiene:
CLAVE: C
𝑎 − 2 = 𝑥𝑘
6 + 𝑎 = 𝑦𝑘
2𝑎 + 4 = 14𝑘
𝑎 + 2 = −2𝑚
𝑎 = −2𝑚 − 2
De (*) se tiene:
𝑎 + 𝑥 + 𝑚 = 10
(+)
Como 
𝑚
𝑛
∈
𝑎+2
6−𝑎
es un 
representante 
canónico
𝑎 + 2 = 𝑚𝑟
6 − 𝑎 = 𝑛𝑟
8 = −4𝑟
(+)
𝑎 + 2 = 7𝑘
𝑟 = −2
…(*)
= 2
𝑎 = 7 − 2
𝑎 = 14 − 2
𝑎 = 12,𝑚 = −7, 𝑥 = 5
Problema 12
Si (𝑛, 1) ∈
83−12𝑏
7
con 𝑛 ∈ ℤ+ y 
𝑝
𝑞
∈
𝑏
𝑛
es un representante canónico y además 𝑛 + 𝑏
< 10 , halle 𝑝 + 𝑞.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Resolución 
Como 
𝑛
1
∈
83−12𝑏
7
CLAVE: E
83 − 12𝑏 = 7
𝑏 =4,𝑛 = 5
12𝑏 = 7 + 83
 7 + 5𝑏 7 − 1
𝑏 = 7 + 4 <10
Luego como 
𝑝
𝑞
∈
4
5
es 
representante canónico 
𝑝 =4,𝑞 = 5
Por lo tanto: 𝑝 + 𝑞 = 9
Problema 14
Si (p,q) es el representante canónico de 
2𝑛−10
15−3𝑛
con 𝑛 ≠ 5 y (𝑟, 𝑡) es representante 
canónico de 
𝑥
𝑦
. Además 
𝑥
𝑦
=
𝑝
𝑞
+
𝑞
𝑝
, entonces el valor de 𝑟 + 2𝑡 es.
A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) 3
Resolución 
Como 
𝑝
𝑞
∈
2𝑛−10
15−3𝑛
=
2
−3
es representante canónico
CLAVE: B𝑥
𝑦
=
13
−6
𝑝 = −2, 𝑞 = 3
Por otro lado: 
−2
3
+ 
3
−2
=
𝑥
𝑦
Luego como 
𝑟
𝑡
∈
13
−6
es 
representante canónico 
𝑟 = −13,t = 6
Por lo tanto: 𝑟 + 2𝑡 = −1
Problema 16
Si 
23
𝑛−7
∈
1
𝑘
con 𝑘 ∈ ℤ+. Calcule la suma de los valores que toma 𝑛 con 3 cifras.
A) 19400 B) 20000 C) 20493 D) 20724 E) 21801
Resolución 
Como 
23
𝑛−7
∈
1
𝑘
CLAVE: E
4,04 ≤ 𝑘 < 43,17
𝑛 − 7 = 23𝑘, con 𝑘 ∈ ℤ+
Luego:
102 ≤ 𝑛 < 103
Suma de los valores de 𝑛: 
𝑆 = 
𝑘=5
43
(23𝑘 + 7)
= 23
5 + 43
2
39 + 7(39)23𝑘 + 7
𝑆
= 23 
𝑘=5
43
𝑘 + 
𝑘=5
43
7
= 21801
Problema 20
Se tienen los números racionales (2n – 1; n – 2) y (n – 3; 2) que pertenecen a ℤ × ℤ∗ y también a 
una misma clase de equivalencia, luego la suma de las pendientes de las rectas que pasan par los 
pares ordenados que pertenecen a la misma clase de equivalencia es
A) – 1,5 B) -0,6 C) -0,4
D) 1,5 E) 2,5
A) -1,5 B) -0,6 C) -0,4 D) 1,5 E) 2,5
Resolución 
Como (2n – 1; n – 2) y (n – 3; 2) 
pertenecen a una misma clase 
de equivalencia.
𝑛 9 − 𝑛 = 8
Por tanto:
𝑚1 +𝑚2 = −0,6
CLAVE: B
2 2𝑛 − 1 = (𝑛 − 2)(𝑛 − 3)
4𝑛 − 2 = 𝑛2 − 5𝑛 + 6
𝑛 = 1 ⋁ 𝑛 = 8
𝑚2 =
2
5
𝑛 = 1
1
−1
𝑛 = 8
15
6
𝑚1 = −1
Pendiente Pendiente
Problema 22
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos densos en ℝ, determine la veracidad de las siguientes proposiciones:
I. 𝐴 ∩ 𝐵 es denso en ℝ.
II. 𝐴 ∪ 𝐵 es denso en ℝ.
III. Si 𝐴 ⊂ 𝐵 entonces 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 es denso en ℝ.
A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF
Resolución 
Falso
Pero ∅ ⊂ ℝ no es denso 
en ℝ.
Verdadero
Por tanto, 𝐴 ∪ 𝐵 es denso en ℝ
Falso
Para 𝐴 = ℚ ʌ 𝐵 = ℝ
I II
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ con 𝑥 < 𝑦
III
Para 𝐴 = ℚ ʌ 𝐵 = I
Se tiene que:
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
Como 𝐴 ⊂ ℝ ʌ 𝐵 ⊂ ℝ 𝐴 ∪ 𝐵 ⊂ ℝ
∃𝑧 ∈ 𝐴 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵
tal que 𝑥 < 𝑧 < 𝑦
𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 = ∅
Pero ∅ ⊂ ℝ no es denso 
en ℝ.
CLAVE: D
Problema 23
Determine la veracidad de las siguientes proposiciones:
I. ℚ,I y ℝ son los únicos conjuntos densos en ℝ.
II. El complemento de 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0} es denso en ℝ.
III. Si 𝐴 ⊂ ℝ es denso en ℝ entonces 𝐴𝐶 es denso en ℝ.
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF
Resolución 
Falso
Por tanto ℚ,I y ℝ no son 
los únicos conjuntos densos 
en ℝ.
Verdadero
Por tanto, 𝐴𝐶 = ℝ es denso en ℝ
Falso
Para 𝐴 = ℝ
I II
𝐴 = ∅
III
Existen conjuntos densos
distintos a ℚ,I y ℝ por 
ejemplo: ℕ𝐶
Como 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0
posee ∆= (1)2−4 1 1 < 0
La ecuación no 
posee raíces reales
Pero ∅ ⊂ ℝ no es denso 
en ℝ.
Se tiene que:
𝐴𝐶 = ∅
CLAVE: B
Problema 25 
Sea 𝑃𝐴 el conjunto de profesores de Aritmética del Cepre-Uni, se definen las siguientes 
relaciones sobre 𝑃𝐴:
a) 𝐴 𝑅1 𝐵 si y sólo si 𝐴 y 𝐵 poseen la misma cantidad de hijos. 
b) 𝐴 𝑅2 𝐵 si y sólo si el sueldo de 𝐴 es menor o igual al sueldo de 𝐵. 
c) 𝐴 𝑅3 𝐵 si y sólo si la división del número de aulas que dictan en el ciclo pre es el cuadrado 
de un número racional.
¿Cuáles definen una relación de equivalencia sobre 𝑃𝐴? RESOLUCIÓN
Reflexiva
Por tanto, 𝑅1 es una 
relación de equivalencia 
𝐴𝑅1𝐴, ∀𝐴 ∈ 𝑉
Si 𝐴𝑅1B
Simétrica
𝐵𝑅1A
Si 𝐴𝑅1B ⋀ 𝐵𝑅1C
Transitiva
𝐴𝑅1C
Simétrica
Supongamos que las 
personas:
𝐴: Posee sueldo 1200 soles
𝐵: Posee sueldo 2500 soles
Si 𝐴𝑅2B 𝐵𝑅2𝐴
V F
Por tanto, 𝑅2 no es una 
relación de equivalencia 
Verdadero
Verdadero
Verdadero
a) b)
≡ F
Reflexiva
Por tanto, 𝑅3 es una 
relación de equivalencia 
𝑎
𝑎
=1, ∀𝑎 ∈ {1,2,3,4}
Si 
𝑎
𝑏
= 𝑘2
Simétrica
𝑏
𝑎
=
1
𝑘
2
Si 
𝑎
𝑏
= 𝑘2⋀
𝑏
𝑐
= 𝑟2
Transitiva
Verdadero
Verdadero
Verdadero
c)
𝑎
𝑐
= 𝑘𝑟 2