resumen teorico potenciacion radicación

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

ARITMÉTICA ADMISIÓN 2020 II 
 
CEPREUNI Página 1 
 
POTENCIACIÓN EN LOS NATURALES 
A la operación que consiste en multiplicar un número natural por sí mismo varias veces 
se le llama potenciación. 
 
 




+
n +
n veces
k : base (k Z ) 
En gener
 
k.k.k.......k =k =P, donde n:exponente (n Z ) al
:
: 
P potencia perfecta de grado n
 
POTENCIACIÓN EN LOS RACIONALES: Ocurre cuando la base k es un número racional. 
PROPIEDADES: Criterios de inclusión y exclusión de cuadrados y cubos perfectos. 
1.- Con respecto a la descomposición canónica. Un número N expresado en su descomposi-
ción canónica por N = a b …..c será una potencia perfecta de grado n si y solamente si , , 
…. ,  son 
0
n . 
Ejemplos. 71100 = 22 . 32 . 52 . 72 (potencia perfecta de grado 2 ó cuadrado perfecto) 
2.- Según la cifra de primer orden, se tendrá: 
k …0 …1 …2 …3 …4 …5 …6 …7 …8 …9 
k2 …0 …1 …4 …9 …6 …5 …6 …9 …4 …1 
k3 …0 …1 …8 …7 …4 …5 …6 …3 …2 …9 
 Con lo cual se puede concluir: 
a) Un cuadrado perfecto no puede terminar en la cifra 2; 3; 7 ni 8. 
b) Si un número termina en la cifra 1, 4, 5, 6 ú 9 puede ser un cuadrado perfecto 
c) Un número cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra. 
3.- Según su terminación en cifras ceros. 
a) Un número será cuadrado perfecto, si la cantidad de ceros en los que termina es múltiplo de 2 y 
el número que lo “acompaña” es cuadrado perfecto. 
Es decir: 2ab.......yz 00.......00=k 
 
b) Un número será cubo perfecto, si la cantidad de ceros en los que termina es múltiplo de 3 y el 
número que lo “acompaña” es cubo perfecto. 
Es decir: ab......yz 00.....00 k3 
 
 
 
 3q 
0
3 ceros 
 
 
 2q 
0
2 ceros 
 
 
ARITMÉTICA ADMISIÓN 2020 II 
 
CEPREUNI Página 2 
 
4. Según su terminación en cifra 5. 
a) Sea M un número de 1 ó más cifras, entonces 
total de cent
2
.
M5 = xy.....c 25 = [M(M+1)]25 , donde 
c = 0, 2 o 6. 
Observación. Todo cuadrado perfecto que termina en 5, terminara en 25, y el número formado 
por las cifras que anteceden a 25, (es decir, el total de sus centenas) proviene del producto de 
números consecutivos, luego 
total de cent
2
.
M5 = xy.....c 25 = [M(M+1)]25 , donde se observa que el total de 
centenas xy.......c se expresa como xy.......c =M(M+1) lo cual termina únicamente en 0, 2 o 6. 
b) Todo cubo perfecto que termina en 5, termina en 25 ó 75; siendo de la forma: 
3
M5 = ......c25 ó ......c75 donde c = 1, 3, 6, ú 8. 
Otro modo podemos enunciar lo anterior es: Un número entero positivo que termina en 
c25 o c75 puede ser cubo perfecto si es que c = 1, 3, 6 u 8. 
5.- Según criterios de divisibilidad. 
a) Todo cuadrado perfecto es de la forma: 
0
3 ó 
0
3+1 ; 
0
4 ó 
0
4+1; 
0
8 ó 
0
8+1 ó 
0
8+ 4 
b) Todo cubo perfecto es de la forma: 
0
9 ó 
0
9+1 ó 
0
9 -1 
6.- Según la conversión a otras bases diferentes de 10. 
a) Todo cuadrado perfecto al ser convertido 
i) A la base 3 termina en 0 ó en 1; es decir, se cumple que 
2 2k =3 o k =3+1
0 0
 
ii) A la base 4 termina en 0 ó en 1; es decir, se cumple que 
2k = 4
0
 ó 
2k = 4+1
0
 
iii) A la base 8 termina en 0 ,1 ó 4; decir, se cumple 
0 0 0
2 2 2k =8 o k =8+1o k =8+4 
b) Todo cubo perfecto al ser convertido a la base 9 termina en 0 ,1 ú 8 
7.- Según divisibilidad por un número primo “p” 
a) Si un número cuadrado perfecto es múltiplo de p entonces será múltiplo de p2 
b) Si un número cubo perfecto es múltiplo de p entonces será múltiplo de p2 y p3 también. 
8.- Según divisibilidad: 
 a) Si un número es cubo perfecto, entonces la suma de sus cifras es 
0
9 ó 
0
9  1 
 b) Todo cuadrado perfecto impar al restarle 1 nos da un 
0
8 . 
9. Todo cuadrado perfecto que termina en cifra impar cumple que la cifra de segundo orden es 
par. 
Consecuencia: Y no existe un cuadrado perfecto de dos ó más cifras que tenga toda 
sus cifras impares. 
 
ARITMÉTICA ADMISIÓN 2020 II 
 
CEPREUNI Página 3 
 
RADICACIÓN 
DEFINICIÓN. La radicación es la operación inversa a la potenciación en la que dado dos números 
RZ (llamado radicando) y nN (llamado índice); tiene por objeto hallar un número kZ, llamado 
raíz enésima de R , tal que se cumpla :  nn R =k R =k 
RADICACIÓN EXACTA. Dado N Z; si existe kZ , tal que siendo n N ; se verifica nN = k, k 
es la raíz enésima exacta de N 
3 3-343 = -7, ya que (-7) = -343Ejemplo : 
RADICACIÓN APROXIMADA. 
a) Raíces por defecto y por exceso en menos de una unidad. 
Se denomina raíz enésima por defecto en menos de una unidad de un número positivo, al ma-
yor número natural positivo cuya enésima potencia está contenida en el número original dado y 
raíz enésima por exceso al número inmediatamente superior al que expresa la raíz por defecto 
Así tenemos que si NZ: 
 
 k n N k+1 
 
 
 
k: raíz enésima por defecto k+1 : raíz enésima por exceso 
Conclusión: 
n n nk < N< (k +1) k < N < (k +1) 
DEDUCCIÓN DE LAS PROPIEDADES: Raíces aproximadas por defecto y por exceso en menos 
de una unidad. 
 kn N (k+1)n 
 
 Residuo =r ≥ 1 Residuo: r´ ≥ 1 
 Por defecto Por exceso 
 r = N - kn r´ = (k+1)n – N 
 N = kn + r N = (k+1)n – r´ 
 Algoritmo: Algoritmo: 
 n N k n N k+1 
 r r´ 
 r : resto por defecto r’: resto por exceso 
 
 
Radicación 
por exceso 
Radicación 
por defecto 
1 
error en menos de una 
unidad 
error en menos de una 
unidad 
ARITMÉTICA ADMISIÓN 2020 II 
 
CEPREUNI Página 4 
 
PROPIEDADES GENERALES. 
1. r + r = (k+1)n - kn 



min n n
n n
max
r =1
r < (k +1) -k
r = (k +1) -k -1
2. 
APLICACIONES NOTABLES: 
 
1. Para la raíz cuadrada (n = 2). En este caso tenemos: 
i) N = k2 + r (por defecto) y N = (k+1)2 – r´ (por exceso). 
ii) r + r = (k + 1)2- k2 = 2k + 1. 
iii) rmax = (k + 1)2- k2 – 1 = 2k; rmin = 1 
iv) Conclusión. 1  r < (k + 1)2- k2 = 2k + 1. 
 
2. Para la raíz cubica (n = 3). En este caso tenemos: 
i) N = k3 + r (por defecto) y N = (k+1)3 – r´ (por exceso). 
ii) r + r = (k + 1)3- k3 = 3k(k + 1) + 1. 
iii) rmax = (k + 1)3- k3 – 1 = 3k(k+1); rmin = 1 
iv) Conclusión: 1  r < (k + 1)3- k3 = 3k(k + 1) + 1. 
 
ALGORITMOS PARA EL CÁLCULO DE RAÍCES: CUADRADA Y CUBICA. 
Raíz cuadrada Raíz cubica 
 
Observación. Si ,
0 210 N<10 entonces N tiene 1cifra : 
 ,
2 410 N<10 entonces N tiene 2 cifras 
 ,
2(k+1)2k10 N <10 entonces N tiene (k+1)cifras : (k+1) cifras 
 (Algo similar ocurre con la raíz cubica) 
 
 
 
 
 
ARITMÉTICA ADMISIÓN 2020 II 
 
CEPREUNI Página 5 
 
 
RAÍCES POR DEFECTO Y POR EXCESO EN MENOS DE a/b 
Problema General: Calcular la raíz enésima de P en menos de a/b 
Resolución: 
 
 
a
x
b
 n P 
a
(x +1).
b
 
 
 
 
 
. .
n
n n
n n
n n
n
n n
n
n
n
n
a a
x. < P < (x +1).
b b
a a
x < P < (x +1)
b b
b
x < P < (x +1)
a
b
x < P < x +1
a
RELACIÓN ENTRE LA RAÍZ APROXIMADA Y LA COTA DE ERROR 
La aproximación de n P por medio del valor A , se denota como : nP = A con un error menos 
que ε, cumple con n P - A < ε , donde se tiene: nP es el valor exacto , A es el valor aproximado y 
ε la cota de error. 
 
 
a/b 
error en menos 
de a/b 
error en menos 
de a/b 
De donde se deduce: 
x es la raíz entera de 
n
n
n
b
 P 
a
; es decir: 
 
(Máximo entero de 
n
n
n
b
 P 
a
) 
 
a
x
b
 : Raíz enésima por defecto de P en menos 
a
b
 

a
(x +1)
b
 : Raíz enésima por exceso de P en menos 
a
b