Números Reales T 190421

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CÁLCULO DIFERENCIAL
NÚMEROS REALES
MG. ING. VÁSQUEZ DOMÍNGUEZ RIQUELMER APOLINAR
AUTOR:
EDICIÓN WORD :AÑO 2019
EDICIÓN PPT :AÑO 2021
LIMA- PERÚ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA 
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Definición.-
Es un conjunto de elementos en donde se ha definido:
R
. a
 
. b …
Operación de adición.
Operación de multiplicación.
Una relación de orden.
Definiciones previas :
Es un símbolo para representar una cantidad.
En la figura hay una cantidad de patitos que se representa con el símbolo 2
2
Numeral.-
Ejemplo.-
Los numerales son 2 y 3, estos representan las cantidades de patitos en cada conjunto.
1.1.	 Operación de Adición :
2
3
+
5
2 + 3 = 5
La operación adición se representa así:	
a + b = c
De manera general sería:
El símbolo + se denomina operador, obsérvese que el resultado de la operación es la cantidad de patitos dentro del recuadro rectangular que contiene a los dos conjuntos.
1.2.	Operación de Multiplicación:
Cantidad de patitos en el recuadro más grande 
Cantidad de patitos en cada conjunto.
Cantidad de conjuntos 
2
2
2
x: operador de la multiplicación
De manera general sería:
a.b = c
(a)(b) = c
a x b = c
o
o
Nótese que se han usado otras maneras de indicar la operación de multiplicación.
2 x 3 = 3 x 2 = 6
Relación de desigualdad
Relación de igualdad
1.3.	Relación de Orden:
Definición.- - 
Consiste en comparar cantidades.
2	 =	2
Se lee: 2 es igual a 2
De manera general:	 a = b
✔	✔
✔ ✔✔
Se lee:	2 es menor que 3 o 3 es mayor que 2 
De manera general:	a < b
2	 < 3
1.4.	Propiedades de la Adición:
a, b ∈ ℝ ⟶ a+b ∈ ℝ	(Clausura)
a + b = b + a	(Conmutativa)
a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c	(Asociativa)
a + (0) = a	(Elemento neutro de la adición)
a + b = b + c	→ a=c	(Cancelativa)
a + (-a) = 0	(Inverso aditivo de a)
 
1.5.	Propiedades de la Multiplicación:
a,b ∈ ℝ ⟶ a.b ∈ ℝ	(Clausura)
a.b = b.a	(Conmutativa)
a.(b.c) = (a.b).c	(Asociativa)
a.b = a.c ∧ a≠0 ⟶ b=c	(Cancelativa)
a.1 = a	(Elemento neutro de la 					multiplicación)
a. (a-1) = 1	(Inverso multiplicativo de a)
Propiedades de la adición y multiplicación
a . (b + c)= a . b + a.c 	 (Distributiva)
1.6. Propiedades de la Relación de Orden:
Si a y b ∈ R entonces solo se puede cumplir una de las siguientes relaciones.
 a = b	∨	a < b	∨	b < a
(Tricotomía)
a < b →	a+c < b +c,	 ∀a,b,c ∈ℝ
 
a < b → 	a.c < b.c ∧ c >0
 
a > b ∧ b > c ⟶ a > c	 		 (Transitiva)
  
a.c < b.c ∧ c>0 → a<b				 (Cancelativa)
1.7.	Teoremas:
Observación Los axiomas o postulados son proposiciones en la que, para corroborar su verdad, necesitamos solo de nuestros cinco sentidos y en caso de no ser así esas proposiciones se llamarían teoremas. Es por ello que la demostración de un teorema se sustenta en un número no determinado de axiomas o postulados.
a.0 =0
Demostración:
a.0 = a.0 + 0
a.0 = a.0 + a + -a 
a.0 = a.0 + a.1 + -a 
a.0 = a(0+1) + -a
a.0 = a.1 + -a
a.0 = a + -a
a.0 = 0
a.0 = 0
L.q.q.d.
Demostración:
(-1)a = -a 
	(-1) a = (-1)a				(-1)a = (-1)a + 0
 	 (-1)a = (-1)a + a + -a
 	 (-1)a = (-1)a + a.1 + -a
 	 (-1)a = a(-1+1) + -a
 	 (-1)a = a.0 + -a
 	 (-1)a = 0 + -a															 (-1)a = -a
L.q.q.d.
Demostración:
-(-a) = -(-a)
 
-(-a) = -(-a) + 0
 
-(-a) = -(-a) + -a + a	 …(Por propiedad (-1) a = - a)
 
-(-a) = (-1)(-a) + -a + a
 
-(-a) = (-a)(-1+1) + a
 
-(-a) = (-a)(0) + a
 
-(-a) = 0 + a
 
-(-a) = a
-(-a) = a
L.q.q.d.
-(-a) = a
(-a)b= (-a)b	 …(Por propiedad (-1) a = - a)
(-a)b =a(-1)b	 …(Conmutativa)
	 (-a)b =a((-1)b)			…(Por propiedad (-1) a = - a) 
	 
	 (-a)b =a(-b)
II.
Demostración:
(-a) b = -(ab) = a(-b)
L.q.q.d.
(-a)b= (-a).(b)
(-a)b= (-1).ab	...(Por propiedad (-1) a = - a) 
(-a)b= -(ab)
L.q.q.d.
I.
(-a)b=(-1)ab
(-a)b= (-1).(ab)
Demostración:
(-a)(-b)= (-a)(-b)
 
(-a)(-b)=(-a)(-b) + 0
 
(-a)(-b)=(-a)(-b) + ab + -(ab)
 
(-a)(-b)=(-a)(-b) + ab +a.(-b) …(Conmutativa de la adición)
 
(-a)(-b)=a(-b) + (-a)(-b) +ab
 
(-a)(-b)=(-b)(a+(-a)) + ab
 
(-a)(-b)=(-b).(0) + ab
 
(-a)(-b) = 0 + ab
 
(-a)(-b)= ab
 
(-a)(-b)= ab
 
(-a)(-b) = ab
L.q.q.d.
En adelante la expresión a+(-b) la denotaremos por a - b Es decir: a+(-b) = a - b
Demostración:
L.q.q.d.
a < b ∧ c < 0 → bc < ac 
a < b	Dato	...(1)
  c < 0	Dato
  -c +c < 0 - c
 	 0 < -c					…(2)
De (1) y (2) se tiene:
 a(-c) < b(-c)
 	 -ac < -bc
  -ac+ac+bc< -bc +bc +ac
  bc < ac 
Propiedades:
Ejemplo:
De igual manera la expresión a . b lo denotaremos por:
-1
a ÷ b o
a
b
 =
a . b 
-1
a ÷ b 
 o
a
b
Es decir:
 
Demostración:
a-1. b-1 = (a. b) -1
L.q.q.d.
a-1. b-1 = a-1. b-1.1
 
a-1. b-1 = (a-1)(b-1).(ab)(ab)-1
 
a-1. b-1 = (a-1)(b-1).ab.(ab)-1
 	 
 a-1. b-1 = a-1.a.b-1.b.(ab)-1
a-1. b-1 = 1.1(ab)-1
a-1. b-1 = (ab)-1
a-1. b-1 = (ab)-1
Demostración:
L.q.q.d.
 
 
 
	abb-1 = 0b-1	⋁	baa-1 = 0a-1
Demostración:
L.q.q.d.
ab = 0 → a = 0 v b = 0
	ab = 0	⋁	ab = 0
a = 0
b = 0
L.q.q.d.
 
Demostración:
a2 – b2 = 0
  	 (a + b)(a – b) = 0 
	 a+b = 0 ∨ a-b = 0 
 	 a = -b ∨ a = b
L.q.q.d.
			
	a.1	= 0	⋁	b.1	= 0
Si 0 < a entonces “a” se denomina número positivo.
Si 0 > a entonces “a” se denomina número negativo.
b < a → - b > - a
Demostración:
b < a
 -a+(-b)+b < a+(-a)+(-b)
 	 -a+0 < 0+( -b)
-a < -b
L.q.q.d.
0 < a < b ∧ 0 < c < d → ac < bd
Demostración:
	Datos:	a < b	∧	0	< c	 
	Propiedad:	a < b	∧	0	< c	→ ac < bc
ac < bc	 ...(1)
 	 bc	<	bd		…(2)
De (1) y (2) por la propiedad transitiva 
ac < dc
L.q.q.d.
Demostración:
 
L.q.q.d.
a ≠ 0	 (dato)
 
0 < a			∨		a < 0
 
0. a < a. a	 ∨		(−a). a < (−a). 0
 
0 < a2			∨		−a2 < 0
 
0 < a2			∨		−a2 + a2 < a2
 
0 < a2			∨		0 < a2
0 < a2
a ≠ 0 ⟶ 0 < a2
	0	 < 	-a2b
			
			
			
	a2b	< 	a2.0
L.q.q.d.
	a2b	< 	0
Demostración:
a = 0 → a2 = 0
L.q.q.d.
 
0 < ab ⟶ (0 < a ∧ 0 < b)	∨	(a < 0 ∧ b < 0)
Demostración:
ab.0 < a.a.b
 	 0 < a2b	
	 Pero sabemos que	0 < a2 :
0 < b
L.q.q.d.
a < 0	 ∧	 Dato: 0 < ab
 0 < ab	 ∧	 0 < - a 
 (-a) 0 	 < a(-a) b
b < 0
0 < ab 	 ∧	 a < 0
Demostraciones:
0 < a
  0 < a	∧	0 < (a-1)2 
 a0 < (a-1.a-1)(a)
 0 < 1(a-1)
 0 < a-1
Teorema
0 < (a-1)2 ∧ a < 0
0 < (a-1)2 ∧ 0 < - a
  ( - a) 0 < (-a) (a-1)2 
  0 < - (a . a-1 ) . a-1
  0 < - 1. a-1
  	 0 < - a-1
  a−1 + 0 < a−1 − a−1 
 a−1 < 0
El inverso multiplicado de a si existe, tiene el mismo signo, es decir:
 
 
 
L.q.q.d.
L.q.q.d.
a > 0
0	< a < b
0	< c < d
Demostración:
L.q.q.d.
Observaciones
Se cumple: a.c < b.d
No siempre se cumple: 
 
Propiedades
ab < 0 ⟹ (0 < a ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ 0 < b)
0 < 𝑎	∧	𝑎𝑏 < 0	(dato)
 𝟎 < 𝒂−𝟏 ∧	𝒂𝒃 < 𝟎
 𝒂−𝟏𝒂𝒃 < 𝒂−𝟏. 𝟎
1.b < 0 
b < 0 
a < 0	∧ ab < 0	
 a-1 < 0	∧ ab < 0
 0 < -a-1 ∧ ab < 0
  ( -a-1) ab < (-a-1) (0)
  - (a-1. a) b < 0
 - b < 0
 b > 0
L.q.q.d.
 
42	< 52	 ∧ 	 0 < 4
 	 (-5 < 4 ∧ 4 < 5) 	 ∧ 0 < 4
	 0 < 4 < 5
 0 < a < b
Ejemplo: 
𝑎2 < 𝑏2 			 ∧ 0 < a		∧	0 < 𝑏
 	 𝑎2 < 𝑏2				∧ 0 < a
 	 𝑎2 − 𝑏2 < 0				∧ 0 < a
 	 ( a + b )( a – b ) < 0	∧ 0 < a
  ( 0< a + b	 ∧	 a – b < 0 ) ∨ ( a + b < 0	∧	0 < a – b ) ∧ 0 < a 
 [ (–b < a ∧		 a < b ) ∨ (a < –b 	∧	b < a) ]	 ∧ 0 < a
	 [ – b< a 	 ∧ a < b] ∧ ( 0 < a ) 
Demostración:
𝑎2 < 𝑏2 ∧ (0 < 𝑎 ∧ 0 < 𝑏) ⟶ 𝑎 < 𝑏
L.q.q.d.
No existe un“a” que satisfaga las dos condiciones al mismo tiempo.
Rpta.
1.8.	La raíz cuadrada:
L.q.q.d.
Demostración:
Definición.-
La raíz cuadrada de un número positivo “a” denotado por √𝑎 es otro número positivo “b”, tal que a=b2
Dicho de otra manera:	√𝑎 = b	↔	𝑎 = 𝑏2
a2 < b ∧ 0 < b → −√b < a < √b
a2< b	 ∧ 	 0 < b
a2 - b < 0 ∧ 0 < b
[ ( a + √b ) ( a - √b ) < 0] ∧ [ 0 < b ]
{ [(0 < (a + √b) ∧ (a - √b < 0] ∨ [(a + √b) < 0 ∧ 0 <(a - √b)] } ∧ [0 < b]
	{ [-√b < a)	 ∧ a < √b ]	∨	[a < - √b	∧	√b < a]	} ∧ [0 < b]
−√b < a < √b
Propiedades
	{ [-√b < a
  
	 ∧ a < √b ]
 	∨	 	∅	} ∧ [0 < b]
	 { [-√b < a < √b ] 
	 
 ∧ [0 < b]
Demostración:
a2 > b ∧ 0 < b 		→	√b < a ∨ a < −√b
L.q.q.d.
a2 > b			 	 ∧		0 < b 
a2 − b > 0			 	∧		0 < b
(a + √b)(a − √b) > 0 ∧	0 < b
Si m.n > 0 entonces m y n son del mismo signo.
[ (0 < a + √b ∧ 0 < a − √b )] ∨ [ (a + √b < 0 ∧ a − √b < 0)] ∧ 0 < b
[√b < a ∧ −√b < a]	 ∨	[a < √b ∧ a < −√b]	 ∧ 0 < b
[√b < a ∨ a < −√b] 	 ∧ 0 < b
[√b < a ∨ a < −√b]
Demostración:
a2 ≤ b ∧ 0 < b → −√b ≤ a ≤ √b
L.q.q.d.
a2 ≤ b				 ∧	0 < b
a2 − b ≤ 0			 	 ∧	0 < b 
(a + √b)(a − √b) ≤ 0 ∧	0 < b
Si m.n < 0 entonces m y n son de diferentes signos.
[ (0 < a + √b ∧ a − √b < 0 )] ∨ [ (a + √b < 0 ∧ 0 < a − √b)]
[−√b < a ∧ a < √b]		 ∨ [a < −√b ∧ √b < a]
[−√b < a ∧ a < √b]		 ∨ ϕ
−√b < a < √b
1.8.	La raíz cuadrada:
 
 
 
Ejemplo:
 
 
Propiedades
Para la demostración consideramos tres casos: a.b < 0 ∨ a.b = 0 ∨	0 < a.b
 
Demostraciones
Demostración:
 
 
L.q.q.d.
Si 0 < a.b 
	[ (−a)(b) = |a||b| ]	∨	[ (a)(−b) = |a||b| ]
Si a.b = 0 
	Se cumple:
	 (a = 0) ∨ (b = 0) ∨ (a = 0 ∧ b = 0)
	|a| = 0	∨	|b|= 0	 ∨	|a| = 0 ∧ |b|= 0
	|a||b| = 0 ∨ |a||b| = 0	∨ |a||b| = 0					 		 ...(3)
	Pero por definición de valor absoluto |a.b| = a.b = 0	 		 	 …(4)
	de (3) y (4):
	|a.b| = |a||b|											 …(β)
			
	  (a < 0 ∧ b > 0)	 
 ∨	 
 (0 < a ∧ b < 0)
L.q.q.d.
Es decir: −a. b = |a||b|							 	 …(5)
Por definición de valor absoluto |a.b| = - a.b			 		 …(6)
De (5) en (6):
|a. b| = |a||b|										 	 ...(γ)
De (α) , (ß) y (γ) se obtiene:
|a.b| = |a||b|
L.q.q.d.
Si a.b < 0
Se cumple:
	(−a = |a| ∧ b = |b| )	∨	( a = |a| ∧ −b = |b| )
 
Demostración:
 
L.q.q.d.
 
 
x
 
 
L.q.q.d.
Propiedades
Si a < 0
 
x
Demostración:
−|a| ≤ a ≤ |a|
L.q.q.d.
 
De (α) y (β):
 	-|a| ≤ a ≤ |a|
Demostración:
|-a| = |a|
L.q.q.d.
|-a| = |(-1).a|
|-a| = |-1.a|
|-a| = 1|a|
|-a| = |a|
Demostración:
− b ≤ a ≤ b ∧ 0 < b ⟶ |a| ≤ b
L.q.q.d.
Si 0 < a entonces a = |a| 					 …(1)
 Pero sabemos que a ≤ b 				 …(2)
 
(1) en (2):
 		 |a| ≤ b
Si 0 > a entonces -a = |a| 				 …(3)
 Pero sabemos que -b ≤ a 				 …(4)
 			 
(3) en (4):
	|a| ≤ b 		
		|a| ≤ b
 
 
Demostración:
|a| ≤ b ∧ 0 < b → − b ≤ a ≤ b
L.q.q.d.
Demostración:
 
L.q.q.d.
a ≤ −b ∨ b ≤ a
L.q.q.d.
 
Demostración:
|a + b| ≤ |a|+ |b|
L.q.q.d.
L.q.q.d.
 
Demostración:
|a|- |b| ≤ |a - b| ; ∀ a,b∈ R
L.q.q.d.
L.q.q.d.
 
Demostración:
|a| ≤ |b| →	a2 ≤ b2
L.q.q.d.
L.q.q.d.
 
Demostración:
 
L.q.q.d.
 
Ejemplo:
1.8.	Máximo entero:
Sea x ∈ ℝ , entonces el máximo entero de x denotado por ⟦x⟧ se define:
⟦x⟧ = n ↔	n ∈ Z 	∧ 	n ≤ x < n+1
⟦x⟧ = n, cuando
⟦5,1⟧ = 5
⟦-5,1⟧ = -6
n
n + 1
x
Propiedades:
⟦x⟧ ≤ x < ⟦x⟧ +1
⟦x⟧ ≤ n → x < n+1
0 ≤ x- ⟦x⟧ < 1
⟦x⟧ < n → x < n
⟦x⟧ ≥ n → x ≥ n
⟦x⟧ > n → n+1 ≤ x
⟦x+n⟧ = ⟦x⟧+n,	n∈ ℤ
Demostración:
 
Hallar en forma de intervalo el conjunto A
Ejemplo
 
Rpta.
 
 
Rpta.
Rpta.
 
 
 Resolución
Rpta.
Ejemplo
Demostramos:
Demostración de (I)	
	⟦x⟧ ≥ n
Sea ⟦x⟧ = t, t ∈ Z							…(1)
	t ≤ x < t+1
	t ≤ x								…(α)
Pero ⟦x⟧ ≥ n (dato)						…(2)
(1) en (2)
	t ≥ n								…(β)
De (α) y (β), por la propiedad transitiva 
	x ≥ n
Demostración de (II)
	x ≥ n
Sea ⟦x⟧ = t , t∈Z							…(3) 
	t ≤ x ≤ t+1
	t+1 ≤ x+1 < t+2						…(4)
L.q.q.d. 
L.q.q.d. 
 
Ejercicios:
 Resolución
 
+
 
 
+
+
 
Rpta. 
n
 
0
+
+
 
 Resolución
 
+
L.q.q.d. 
 Resolución
 
n
 
 
Rpta. 
 
 
L.q.q.d. 
 Resolución
 
L.q.q.d. 
 Resolución
 
L.q.q.d. 
 Resolución
 Resolución
 
L.q.q.d. 
 
 
L.q.q.d. 
 Resolución
 
 Resolución
 Resolución
 
L.q.q.d. 
 
L.q.q.d. 
 Resolución
 
Rpta. 
 
Rpta. 
	en (β)	 |x| ≥ x − 2 →	x ≥ x − 2	∨	x ≤ 2 − x
	0 ≥ −2	 ∨	x ≤ 1
			
	V
Rpta. 
	V	∨	x ≤ 1
 
L.q.q.d. 
 Resolución
 
L.q.q.d. 
 Resolución
 
Rpta. 
Recordar:	⟦x ± n⟧ = ⟦x⟧ ± n,	n ∈ ℤ
+
-
+
∴ x ∈ [−3,3 >
-4
 
 Resolver:		 𝟐⟦𝐱 − 𝟏⟧𝟐 + 𝟓⟦𝐱⟧ ≤ 𝟏𝟕 
 Resolución
 
L.q.q.d. 
 Resolución
 
L.q.q.d. 
 Resolución
Demostración:
 
L.q.q.d. 
(+)
Demostrar que:
 Resolución
 
 
L.q.q.d. 
1
1
 Resolución
 
L.q.q.d.