PPT DE CONTINUIDAD_ Velasquez Castillo

Vista previa del material en texto

CALCULO DIFERENCIAL
CONTINUIDAD
Autor: MG. ING. Vásquez Domínguez Riquelmer Apolinario
Edición Word: 2019
Edición PPT: 2021
LIMA-PERÚ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y SISTEMAS
El título debe ser específico y directo. Use el subtítulo para proporcionar el contexto específico del discurso.
- El objetivo debería ser llamar la atención del público, algo que puede hacer con una cita, una estadística sorprendente o un hecho. No es necesario que incluya este dato llamativo en la diapositiva.
1
Información:
Definición
Propiedades
Continuidad de algunas funciones especiales
Función acotada
Recta y gráfica de una función
Pendiente de una recta tangente
Continuidad
Use los puntos contextuales para ofrecer detalles que no sean de dominio general o para proporcionar información que su público necesite conocer para entender el contexto del discurso.
- No lea estos puntos principales directamente del PowerPoint; profundice en ellos durante su discurso.
2
CONTINUIDAD
Sea f una función en donde x0 es punto de acumulación del dominio de f, entonces f se define como función continúa en x = x0 si se cumple lo siguiente:
Y
f
0
x0
X
f(x0)
f es continua en x0 porque
lim f(x) existe, 
x→ x0
además lim f(x)= f(x0)
 x→ x0
Ejemplo:
OBS: Redefiniendo una función se puede lograr que esta nueva función sea continua en un punto.
Ejemplo:
En la función f cuya gráfica se muestra, se puede redefinir f agregando la condición f(x0) = L. Entonces la nueva función es continua en x0 
Definición:
 lim f(x) = f(x0) 
 x→ x0
f
El título del punto principal n.º 1 debe ser claro y conciso. Resuma cada prueba para que sea clara y cítela correctamente. No se limite a leer las pruebas; ofrezca detalles cuando sea necesario. 
[Escriba notas para los detalles aquí]
Asegúrese de pasar al segundo punto principal y a la siguiente diapositiva.
3
Propiedades
Sean f y g funciones continuas en un intervalo I, entonces:
f + g es continua en I
f – g es continua en I
f/g es continua en I, excepto en g(x) = 0
f.g es continua en I
*Continuidad en una función compuesta
Si
 g(x)= L y f es continua en L, 
entonces f(g(x))= f( g(x))
Teorema del valor intermedio
Si f es continua en 〈 a, b 〉	y	k	∈	R tal que	f(a) ≠	f(b) ∧ entonces existe al menos un c que pertenece al intervalo 〈a,b〉 tal que: k = f(c). 
f
0	a
c
b
X
El título del punto principal n.º 3 debe ser claro y conciso. Resuma cada prueba para que sea clara y cítela correctamente. No se limite a leer las pruebas; ofrezca detalles cuando sea necesario. 
[Escriba notas para los detalles aquí]
Asegúrese de pasar al contraargumento y a la siguiente diapositiva.
4
Función polinómica
Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.
Ejemplo:
 P(X) = an+ +………+a1x +a0
 Función racional
La función racional f(x)= P(x)/Q(x) donde P y Q son funciones polinómicas según la relación que se presenta es continua siempre excepto cuando Q(x)= 0.
Función raíz enésima
Es de la forma:
 f(x) = 
Esta función es continua en todo su dominio porque:
 
 = 
 Sustento:
Sea cual fuere el valor de x perteneciente al dominio de f, siempre existirá un valor para P(x) , además el límite de la función polinómica en x es igual a P(x) por tanto la función polinómica es continua en x.
Funciones trigonométricas
Estas funciones son continuas en todo su dominio. El dominio de las funciones trigonométricas seno y coseno son todos los reales, entonces son continuas en todo el conjunto de los números reales, mientras que los dominios de las otras funciones trigonométricas son todos los reales excepto en algunos puntos reales que tienen discontinuidades en algunos.
Continuidad de algunas funciones especiales
El título del punto principal n.º 3 debe ser claro y conciso. Resuma cada prueba para que sea clara y cítela correctamente. No se limite a leer las pruebas; ofrezca detalles cuando sea necesario. 
[Escriba notas para los detalles aquí]
Asegúrese de pasar al contraargumento y a la siguiente diapositiva.
5
Ejercicio
Averiguar si la función f es continua por la derecha en x = 2
 3x - 5, x ≤ 2
f(x) = { 
 2x - 3, 2 < x
RESOLUCIÓN
Cálculo de lim f(x)
 
 x→2+
lim f(x) = lim 2x - 3 = 1
 
x→2+ x→2+
Cálculo de f(2)
= 2(2) – 3 = 1
∴ f es continua en x0 = 2 por la derecha porque lim f(x)=f(2)
 x→2+
El título del punto principal n.º 3 debe ser claro y conciso. Resuma cada prueba para que sea clara y cítela correctamente. No se limite a leer las pruebas; ofrezca detalles cuando sea necesario. 
[Escriba notas para los detalles aquí]
Asegúrese de pasar al contraargumento y a la siguiente diapositiva.
6
Continuidad en un punto
Y
0
X
Y
0
X
Sea f una función cuyo dominio es 〈a, b〉 U {x0}, en este caso según la definición f es continua en x0
Definición:
Sea f una función con dominio Df = {x0} es decir el dominio es un punto, entonces se dice que f es continua en dicho punto.
El título del punto principal n.º 3 debe ser claro y conciso. Resuma cada prueba para que sea clara y cítela correctamente. No se limite a leer las pruebas; ofrezca detalles cuando sea necesario. 
[Escriba notas para los detalles aquí]
Asegúrese de pasar al contraargumento y a la siguiente diapositiva.
7
Continuidad de un punto por la derecha
Se dice que f es una función continua por la derecha en el punto x0 cuando:
Lim f (x) = f (x0)
x→ x0 +
Y
0
X
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
f es continua por la derecha en x0 porque 
Lim f(x) = f(x0) existe.
x→ x0 +
Y
0
X
f es continua por al derecha en x0 porque
Lim f(x) = f(x0) existe.
x→ x0 +
f no es continua por la derecha en x0 porque no existe f(x0) a pesar de que f(x) existe y es
igual a L.
f no es continua por la derecha porque:
f por la derecha es decreciente y sin límite, además f(x0) no existe.
El título del punto principal n.º 3 debe ser claro y conciso. Resuma cada prueba para que sea clara y cítela correctamente. No se limite a leer las pruebas; ofrezca detalles cuando sea necesario. 
[Escriba notas para los detalles aquí]
Asegúrese de pasar al contraargumento y a la siguiente diapositiva.
8
Continuidad en un punto por la izquierda
f es	una	función continua por la izquierda en	el punto x0 cuando:
Lim f(x) = f(x0)
x→ x0 -
Ejemplo:
Y
0
X
f es continua en x0 por la izquierda porque 
lim f(x) = f(x0) existe.
x→ x0 -
Y
0
X
Ejemplo:
f no es continua por la izquierda en x0 porque no existe f(x0) a pesar de que f(x) existe.
El título del punto principal n.º 3 debe ser claro y conciso. Resuma cada prueba para que sea clara y cítela correctamente. No se limite a leer las pruebas; ofrezca detalles cuando sea necesario. 
[Escriba notas para los detalles aquí]
Asegúrese de pasar al contraargumento y a la siguiente diapositiva.
9
Propiedad
Una función f es continua en un punto si y solo si es continua por la izquierda y también por la derecha en dicho punto.
lim f(x) = f(x) ↔ lim f(x) = f(x) ∧ lim f(x) = f(x)
 x→ x0 x→ x0 - x→ x0 +
Sustento:
Cuando se analiza la expresión significa que f(x) se aproxima a f(x) a medida que x se aproxima a x0 por la izquierda y también significa que f(x) se aproxima a f(x0) a medida que x se aproxima a x0 por la derecha.
El título del punto principal n.º 3 debe ser claro y conciso. Resuma cada prueba para que sea clara y cítela correctamente. No se limite a leer las pruebas; ofrezca detalles cuando sea necesario. 
[Escriba notas para los detalles aquí]
Asegúrese de pasar al contraargumento y a la siguiente diapositiva.
10
Continuidad en un Intervalo Abierto
Se dice que f es continua en 〈a,b〉 cuando f es continua en cada punto del intervalo 〈a,b〉.
Y
0
X
Continuidad en un Intervalo Semiabierto por la Derecha
f es una función continua en [a, b>cuando:
f es continua en 〈a,b〉 y además f es continua en a por la derecha.
Y
0
X
Continuidad en un Intervalo Semiabierto por la Izquierda
f es una función continua con ⟨a,b] cuando:
f es continua en 〈a,b〉 y además f es continua en b por la izquierda
Y
0
X
El título del punto principal n.º 3 debe ser claro y conciso. Resuma cada prueba para que sea clara y cítela correctamente. No se limite a leer las pruebas; ofrezca detalles cuando sea necesario. 
[Escriba notas para los detalles aquí]
Asegúrese de pasar al contraargumento y a la siguiente diapositiva.
11
Función Acotada Superiormente
La función f se dice que es acotada superiormente sobre el intervalo S Ì Df, cuando existe un número m tal que: f(x) £ m
Y
0
X
Observación:
En la figura mostrada, m puede tomar los valores m1, m2,… Los valores m1, m2, … se denominan cotas superiores de f sobre S.
Función Acotada Inferiormente
Una función f se dice que es acotada inferiormente sobre el intervalo S Ì Df cuando existe un número m tal que: m £ f(x).
Y
0
X
Observación:
En la figura mostrada m puede tomar los valores m1, m2, m3, …. Los valores m1, m2, m3, …. se denominan cotas inferiores.
Función Acotada
Se dice que una función es acotada sobre el intervalo 〈a,b〉, cuando es acotada superior e inferiormente, es decir, m £ f(x) £ M, ∀ x ∈ 〈a,b〉.
En el gráfico se muestra los valores m y M que son las cotas inferiores y superiores respectivamente de f para un intervalo 〈a,b〉.
Y
0
a
b
X
m
M
m £ f(x) £ M
Supremo
El supremo de f sobre S ⊂ Df denotado por Sup f(S) se define como la
menor de las cotas superiores, también se puede definir el supremo de la siguiente 
Sup = máx {𝑓(𝑥)/x Î S}
Se lee:
Supremo de f sobre S  Df es igual al máximo valor de f para todo x que pertenece a S.
Ínfimo
El ínfimo de f para un intervalo S ⊂ Df denotado por Inf f(S) se define como: la mayor de las cotas inferiores, también se puede definir el ínfimo de f de la siguiente manera
Inf = mín {𝑓(𝑥)/x Î S}
Se lee: 
Ínfimo de f sobre S ⊂ Df es igual al mínimo valor de f para todo x que pertenece a S.
Ejemplo:
Hallar el ínfimo y supremo de la función f sobre S = 〈-π/2 ,π〉 donde:
Teorema:
Toda función f continua sobre [a, b] es acotada sobre [a, b].
Demostración:
Según el grafico mostrado en [a, b] se puede ubicar los puntos de abscisas c y d tal que:
f(d) = máx {f(x)/x Î [a, b]}
f(c) = min {f(x)/x Î [a, b]}
Y
f(d)
f
f(c)
0
a	d
c
b
X
RESOLUCIÓN
A partir del siguiente gráfico:
f(x)= sen(x)
Ejercicio:
¿ f(x)= ⟦x⟧ – x es acotada en [0, 2] ?
RESOLUCIÓN
Redefiniendo f se tiene:
F(x) = 
-x, 0 ≤ x < 1
1-x, 1 ≤ x < 2
0, x=2
Graficando f, se tiene:
f es acotada superiormente
Sup f [0, 2] = 0
No tiene cota inferior
\No es acotada en [0, 2]
Rpta.
Recta y gráfica de una función
A continuación, se muestra la gráfica de una función f y de una recta L:
Y
f
0
X
a	b
Sea m la pendiente de la recta L.
Se puede calcular m de la siguiente manera:
m = diferencia de ordenadas
 diferencia de abscisas
m = f(b) – f(a)
 b - a
También se puede obtener la pendiente utilizando otras variables como se muestra en el siguiente gráfico.
y
x
X0	X0 + h
Entonces:
La pendiente m de la recta sería:
m = diferencia de ordenadas
 diferencia de abscisas
m = f(x0 + h) – f(x0)
 (x0 + h) – x0
m = f(x0 + h) – f(x0)
 h
Ejercicio:
Sea la función definida por la siguiente regla de correspondencia: f(x)= , hallar la pendiente de la recta secante a la gráfica f en los puntos cuyas abscisas son 0 y 1.
RESOLUCIÓN
. A continuación, se muestra la gráfica de f y la recta L.
L
y
x
Cálculo de f (0) y f (1)
f (0) = = 0
f (1) = = 1
Entonces
 = 1 – 0 = 1
 1 - 0
Rpta.
f(x)
Pendiente de una Recta Tangente
Sea L1 , L2 y L3 rectas secantes a la gráfica de f según f(x0) del grafico ilustrado; entonces:
 = f(x0 + ) – f(x0)
 
 = f(x0 + ) – f(x0)
 
 = f(x0 + ) – f(x0)
 
Sea L la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x0 ;f(x0+0) ); entonces:
 = f(x0 + h) – f(x0) = 
(Indeterminado)
Según esto, la pendiente de la recta tangente no existe, es por ello que se va a definir a continuación la pendiente de una recta tangente a la gráfica de f.
Definición: 
Sea f una función y L una recta tangente a la gráfica de f en x = x0 entonces la pendiente () de la recta tangente a la gráfica de f en x = x0, se define:
Ejemplos:
Hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en x0 =1 donde f(x) = x2 
RESOLUCIÓN
Por definición:
Donde es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en x0= 1
Entonces:
Rpta.
2.	Hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = sen(x) en el punto (x0, y).
RESOLUCIÓN
Sabemos por definición que:
Reemplazando valores, se tiene:
Pero sabemos que:
 = 1
)
Rpta.
3.	Hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (, 4)
RESOLUCIÓN
Sabemos por definición:
Entonces, se tiene:
Entonces, se tiene:
Cambiando de variable, haciendo , se tiene:
Pero se sabe que: 
Rpta.
Número de Euler:
El número de Euler denotado por e se define de la siguiente manera:
Propiedad:
Demostración
Sabemos que:
Para nuestro caso
a = 1; y n=m, entonces se tiene:
1
1
Cuando m → ∞ entonces 
1
1
1
Pero sabemos que e= 1
L.q.q.d.
Ejercicios:
Dada la función:
𝒇(𝒙) =
 
 
Determine 𝒌 y 𝒏 para que 𝒇 sea continua en 1. 
Resolución
𝒇(𝒙) =
 
 
Recordar que:
En el problema:
Separando:
→ 𝑘= 
Si queremos eliminar el (𝑥-1), el numerador debe tener un factor (𝑥-1)
Evaluamos:
→ 𝑛 = 5 
Rpta.
2. Sea 𝒇 una función real de variable real definida por:
𝒇(𝒙) =
 
 
Verifique si la función 𝒇 es continua en cero. 
RESOLUCIÓN
𝒇(𝒙) =
 
 
Recordar que:
En el problema
Sabemos que:
Por el Teorema del Sándwich
L.q.q.d.
3. Determinar 𝒂 y 𝒃 para que la función sea continua en todo su dominio.
𝒇(𝒙) =
 
 
RESOLUCIÓN
Debemos analizar en 𝑥 = -1 y 𝑥 = 1 para que 𝑓(𝑥) sea continua en todo su dominio.
En 𝑥 = -1
En 𝑥 = 1
…(*)
En (*)
Rpta.
4. Sea la función 𝒇 dado por:
𝒇(𝒙) =
 
 
Explique si es continua en 𝒙 = 𝟐.
RESOLUCIÓN
, luego	𝑥 = 2	es	un	punto	de acumulación del dominio de 𝑓.
 
Si lim𝑥→2 𝑓(𝑥) = 𝑓(2), entonces 𝑓 es continua en 𝑥 = 2
Como: 
 
 
 
 y 𝑓(2) = 4
Luego: 
𝑓 no es continua en x=2
Rpta.
5. Determinar los valores de 𝑨 y 𝑩, tal que la función:
𝒇(𝒙) =
 
 
2 senx 
A senx + B 
cosx 
Sea continua en la recta real.
RESOLUCIÓN
Si 𝑥 ∈ < −∞ ,- > , entonces 𝑓 es continua, ya que 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 , y toda función senoidal es continua en su dominio, lo mismo ocurre para 𝑥 ∈ < − , > y 𝑥 ∈ < , ∞ > . Entonces si 𝑓 debe ser continua en toda la recta real falta analizar en 𝑥 = ± 𝜋 2 .
1) Si 𝑓 debe ser continua en 𝑥 = − debe cumplir que:
) = -2sen 
Y si ∃ = -2
→ 
−𝐴 + 𝐵 = −2 ………… (I)
2) Si = 𝑓() → 𝑓 es continua en 𝑥 = 
= 
→ 
𝐴 + 𝐵 = 0 ………… (II)
De (I) y (II):
𝐴 = 1 y 𝐵 = -1 
Rpta.
6. Determinar el valor de para que la función
𝒇(𝒙) =
 
 
Sea continua en 𝒙 = 𝒂
RESOLUCIÓN
Como 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 y es punto de acumulación de 𝐷𝑓 , entonces:
Si: = L …… (I), entonces f es continua en x=a
Si 𝑥 > 𝑎
De (I) y (II):
Rpta.
7. Halle 𝒌 de modo que la función 𝑭 sea continua en 𝒙 = 𝝅/𝟐
 
𝒇(𝒙) =
 
 
𝐬𝐞𝐧 𝒙 , 
kx + 3 , 
RESOLUCIÓN
Debemos verificar que f() existe y 
Según la función f() = sen =1 
Hallando el límite por la izquierda y por la derecha:
Como debemos garantizar la existencia del límite y este debe ser igual a f() entonces: (I) = (II) = f() 
Rpta.
8. Si 𝒇 es una función definida en todo ℝ , tal que:
i) 𝒇 es continua en 𝒂 = 𝟎
ii) 𝒇(𝒙 + 𝒚) = 𝒇(𝒙). 𝒇(𝒚), ∀ 𝒙, 𝒚 reales.
Demuestre que 𝒇 es continua en cualquier punto 𝒂 ∈ ℝ
RESOLUCIÓN
Debemos demostrar que lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Como 𝑓 es continua en 0, entonces: lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = 𝑓(0)
Dela segunda condición implica que para 𝑥 = 𝑦 = 0
𝑓(0 + 0) = 𝑓(0). 𝑓(0) ⟹ 𝑓(0) = [𝑓(0)]2
⟹ 𝑓(0). [1 − 𝑓(0)] = 0
⟹ 𝑓(0) = 0 ∨ 𝑓(0) = 1
Así tenemos que:
Si 𝑓(0) = 0 Entonces:	𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑎 + 0) = 𝑓(𝑎). 𝑓(0) = 0 
lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶0 𝑓(𝑥 + 𝑎) = lim𝑥⟶0 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑎)
= 𝑓(𝑎)[lim𝑥⟶0 𝑓(𝑥)] = 𝑓(𝑎). 𝑓(0) = (0)(0) = 0 = 𝑓(𝑎)
Así resulta que lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) , por lo tanto 𝑓 es continua.
Si 𝑓(0) = 0 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶0 𝑓(𝑥 + 𝑎) = lim𝑥→0[𝑓(𝑥). 𝑓(𝑎)] = 𝑓(𝑎). [lim𝑥⟶0 𝑓(𝑥)] = 𝑓(𝑎). 𝑓(0) = 𝑓(𝑎). 1 = 𝑓(𝑎)
Así se verifica que 𝑓 es continua para este caso.
L.q.q.d.
9. Halle los valores de 𝒂 y 𝒃 para que la función 𝒇 sea continua en 〈−𝟓/𝟐, ∞〉 estando 𝒇 definida por:
𝒇(𝒙) =
RESOLUCIÓN
En cada punto de cada dominio parcial: la función
resulta continua. Solo falta analizar en los puntos 𝑥 = −2 𝑦 𝑥 = 0, donde para que 𝒇 sea continúa debe cumplirse que: 
a)	lim𝑥→−2− 𝑓(𝑥) = lim𝑥→−2+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(−2) = −2𝑎 + 𝑏
lim𝑥→0− 𝑓(𝑥) = lim𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) = 𝑏
Es decir:
lim𝑥→−2− = lim𝑥→−2+ (ax + b) ⟹ 𝜋 = −2𝑎 + 𝑏 …………. (*)
b)	 (𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑏 = 2
Rpta.
Reemplazando en (*):
𝑎 = (2 − 𝜋) y 𝑏 = 2
10. Estudiar la continuidad de la función.
𝒇(𝒙) =
RESOLUCIÓN
La función presenta en = 0 (donde no está definida) una discontinuidad de salto finito por ser los limites laterales infinitos y contrarios.
En 𝑥0 = 1 se tiene que:
Luego solo se tiene continuidad por la derecha. La discontinuidad es de salto infinito.
Rpta.
11. Calcular “𝒎” si 𝒇 es continua en 𝑹.
𝒇(𝒙) =
RESOLUCIÓN
Si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑅 lo será en 𝑥 = entonces:
 … (𝑖)
En el problema:
 |𝑠𝑒𝑛𝑥| ∈ [0,1 > → 0 ≤ |𝑠𝑒𝑛𝑥| < 1 → ⟦|𝑠𝑒𝑛𝑥|⟧ = 0
Redefiniendo la función:
𝒇(𝒙) =
En (i) 
Rpta.
𝒇(𝒙) =
12. Dada la función continua en 𝒙 = 𝟐, hallar “𝒂” y “𝒃”.
𝒃⟦𝟑𝒙 + 𝟒⟧, 𝒙 ∈ [𝟏, 𝟐 >
𝟓𝒙
𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟗𝒙,	𝒙 = 𝟐
RESOLUCIÓN
Si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 2 entonces:
 ……… (I)
En el problema:
Redefinimos ⟦3𝑥 + 4⟧ como 𝑥 → 2 entonces 
entonces ⟦3𝑥 + 4⟧ = 9, redefiniendo la función:
𝒇(𝒙) =
9b, 𝒙 ∈ [𝟏, 𝟐 >
𝟓𝒙
𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟗𝒙,	𝒙 = 𝟐
En (i):
→ 9𝑏 = 90
→ 𝑏 = 10
→ 10 =90 
→ =9 
→ =85 
∴ =85 y b=10 
Rpta.
13. Si: f(x)= , x≠0, f(0)=1. ¿Es f una función continua en x = 0?
RESOLUCIÓN
Por definición tenemos: limx→0 - f(x) = limx→0 + f(x) = f(0) = 1
Si queremos demostrar que f es continua en x=0, entonces tendremos que demostrar que los 2 límites son iguales a 1.
∴ f si es continua en x = 0 
Rpta.
14. Sean 𝒇 y 𝒈 las funciones definidas por:
g(𝒙) =
Halle los valores de 𝒙 donde la función 𝒉 = (𝒇 𝒐 𝒈) es continua
RESOLUCIÓN
Se observa:
f(𝒙) =
g(𝒙) =
Si: 𝑥 < 0
Dominio de h(x )
𝑥 𝜖 ⟨−∞; 0⟩	 ∧ 𝑔(𝑥) 𝜖 ⟨−∞; 0⟩
𝑥 𝜖 ⟨−∞; 0⟩ ∧ 𝑥 𝜖 ⟨−∞; 0
Entonces 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥) = 𝑥
Si : 𝑥 ≥ 0
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 ℎ(𝑥)= 
𝑥 𝜖 [0; ∞⟩ ∧ 𝑔(𝑥) 𝜖 [0; ∞⟩
𝑥 𝜖 [0; ∞⟩ ∧ 𝑥2 𝜖 [0; ∞⟩
𝑥 𝜖 [0; ∞⟩ ∧ 𝑥 𝜖 [0; ∞⟩
→ 𝑥 ϵ [0; ∞⟩
Entonces 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓( 𝑥2) = 𝑓(𝑥) = 0
Se tiene : 
ℎ(𝑥)= fog (x) = 
𝑥,	𝑥 < 0
0,	𝑥 ≥ 0
Demostrando su continuidad en 0:
lim ℎ(𝑥) = lim 𝑥 = 0
𝑥→0‾	 𝑥→0‾
lim ℎ(𝑥) = lim 0 = 0
𝑥→0+	 𝑥→0+
Por lo tanto : lim𝑥→0 ℎ(𝑥) = 0
∴ 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 0 
Rpta.
Y
X
Y
15. Sea 𝒇 la siguiente función:
𝒇(𝒙) =
𝒙 − 𝟐, 𝒙 > 𝟑
𝒙 + 𝟏, 𝒙 < 𝟑
Evaluar su continuidad. 
RESOLUCIÓN
Para que sea continua en un punto 𝑥0 se debe cumplir que:
 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑓()
 𝑓(𝑥) = x + 1 = 3 + 1 = 4 ;
 𝑓(𝑥) = x - 2 = 3 - 2 = 1 
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)
No es continua en ese punto.
Rpta.
Grafica de 𝑓(𝑥):
Y
X
Y
Rpta.
16. Sea 𝒇(𝒙) = 
Hallar si las afirmaciones son correctas:
a) 𝒇 es discontinua removible en 𝒙 = 𝟐𝒏 + 𝟏 ⁄ 𝒏 ∈ 𝒁 , 𝒏 = 
b) 𝒇 tiene una discontinuidad esencial en 𝒙 = ⁄ 𝒏 ∈ 𝒁 , 𝒏 = 
c) Hallando la discontinuidad en = 𝟐𝒏 + 𝟏 ⁄ 𝒏 ∈ 𝒁 , 𝒏 = 
 = 𝟏, 𝟓, 𝟗, …
 𝑓(𝑥) = 𝑓(2n+1) 
RESOLUCIÓN
Sea = 1
 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) 
 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(1) 
 = 
 = 
 = 
 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) 
Entonces deducimos que para cualquier valor de 𝑛 ∈ 𝑍⁄𝑛 = es discontinua la función 𝑓(𝑥).
Redefiniendo la función:
𝒇(𝒙) =
La discontinuidad si existe
 𝑓(𝑥) = 𝑓() (CUMPLE) =1
 = 
Deducimos que en el punto = 2𝑛 + 1 ⁄ 𝑛 ∈ 𝑍 , 𝑛 = ̇ es discontinua removible ya que si se puede redefinir la función para que sea continua en = 2𝑛 + 1 ⁄ 𝑛 ∈ 𝑍 , 𝑛 = . (V)
b) Hallando continuidad en 
 𝑓(𝑥) = 𝑓() 
Sea n = 0
 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) 
 = 
 = 
∄ 
∄ 
∄ 
Observamos que no es continua en todos los reales y es discontinua esencia en = 2𝑛 + 1 ⁄ 𝑛 ∈ 𝑍 , 𝑛 = 2̇ ya que:
𝑓(𝑥)= ∄ ,
𝑓(𝑥)= ∄
= ∄ 
Rpta.
17. Dada la función:
𝒇(𝒙) =
 , 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟐 
𝟐𝒙 − 𝟓 , 𝒙 ≥ 𝟐 
Analiza la continuidad de 𝒇. Indique la continuidad en sus intervalos.
RESOLUCIÓN
Analizando por intervalos:
Si 0 ≤ 𝑥 < 2
a) Si 𝑥 = 𝑛 y 𝑛 𝜖 𝑍
→ ⟦1 − 𝑥⟧ = 1 − 𝑛 y ⟦𝑥 − 1⟧ = 𝑛 − 1
→ 𝑓(𝑥) = 
b) (𝑥 ≠ 𝑛 ; 𝑛 𝜖 𝑍 ˄ ⟦𝑥⟧ = 𝑛) ↔ ( 𝑛 < 𝑥 < 𝑛 + 1 ) 
→ 𝑛 − 1 < 𝑥 − 1 < 𝑛 ˄ − 𝑛 < 1 − 𝑥 < 1 − n
⟦𝑥 − 1⟧ = 𝑛 − 1 ⟦1 − 𝑥⟧ = 1 − n
→ 𝑓(𝑥) = 
* 0 < 𝑥 < 1 ⟦𝑥⟧ = 𝑛 = 0
* 1 < 𝑥 < 2 ⟦𝑥⟧ = 𝑛 = 1
𝑓(𝑥) = 
𝑓(𝑥) = 
Pero:
𝑓(𝑥)= 
(𝑓 es discontinua en 0)
Además: 
 𝑓(𝑥)= 
(𝑓 es discontinua en 1) 
Si 𝑥 ≥ 2
𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 5
 𝑓(𝑥)
Limite por la izquierda:
 𝑓(𝑥)= 
Entonces 𝑓(𝑥) es continua en 2
𝑓(𝑥) es continua en < 0,1 > U < 1, + ∞ >
𝑓(𝑥) es discontinua en 0 y 1 pero si es continua en 2
Rpta.
18. Definir 𝒇 en 0 y en 1, de modo que sea continua sobre [𝟎, 𝟏] donde:
𝒇(𝒙) =
¿Es continua en 𝒙 = 𝟎?
RESOLUCIÓN
2
𝑓 es continua en el punto 𝑥 = 0 
Rpta.
2. ¿Es continua en 𝒙 = 𝟏?
RESOLUCIÓN
Nota:
1 – 𝑥 = 𝑀 (cambio de variable)
𝑥 → 1	𝑀 → 0
𝑓 es continua en el punto 𝑥 = 1
Rpta.
19. Estudie la continuidad de la siguiente función:
𝒇(𝒙) =
RESOLUCIÓN
Veamos que el radicando siempre es positivo:
|𝑥| > 1 → 𝑥2 − 1 = |𝑥|2 − 1 > 1 − 1 = 0
Por tanto, los únicos puntos donde debemos estudiar la continuidad son aquellos donde cavia la definición de la función.
𝑥 = ±1
Calculamos los limites laterales:
Como los limites laterales no coinciden, la función no es continua en 𝑥 = 1 ni en x=-1.
Rpta.
Gráfica:
X
Y
20. Según la función 𝒇(𝒙)= analice la continuidad en el intervalo [−𝟏𝟐; −𝟑]. 
RESOLUCIÓN
Analizando en 𝑥0 = −6
𝑥 < −6
𝑥 −6
En una vecindad pequeña
En una vecindad pequeña:
−7 < 𝑥 < −6
-2 < < −1.6
−6 < 𝑥 < −5
-2.3 < < −2
Entonces:
Entonces:
=-3
=-2
Rpta.
No es continua en 𝑥0 = −6
La función no es continua en el dominio [-12;-3 ]
Rpta.
21. Grafique y estudie la continuidad de la siguiente función:
𝐟(𝐱) = ⟦𝟕𝐱𝟐 − 𝟕⟧
RESOLUCIÓN
Sabemos: ⟦x⟧ = n ⟺ n ≤ x < n + 1
a) Analizando: n = 0 → 0 ≤ 7x2 − 7 < 1
7 ≤ 7x2 < 8
1 ≤ x < 1,07 …	∨	−1,07 ≤ x < −1
n = 1 → 1 ≤ 7x2 − 7 < 2
8 ≤ 7x2 <9 
 ≤ x2 < 
1,07 ≤ x < 1,13	∨	−1,13 ≤ x < −1,07
n = −1 → −1 ≤ 7x2 − 7 < 0
6 ≤ 7x2 < 7 
 ≤ x2 < 1 
0,93 ≤ x < 1	∨	−1 ≤ x < −0,93
n = −7 → −7 ≤ 7x2 − 7 < −6
0 ≤ 7x2 <1 
0 ≤ x2 < 
1 ≤ x < 0,3 …	 ∨	 −0,3 ≤ x <0 
Gráfica:
y
f
x
f(x) = ⟦7x2 − 7⟧ es una función par 
Observamos:
 f(x) = ⟦7x2 − 7⟧ = −7
 f(x) = ⟦7x2 − 7⟧ = −7
f(x) es continua en x =0 
b) x = 
x = 
f(x) =⟦7x2 − 7⟧ = ⟦7()2 − 7⟧ = ⟦6,3⟧ = 6 
x = 
f(x) =⟦7x2 − 7⟧ = ⟦7()2 − 7⟧ = ⟦7,7⟧ = 7
f(x) no es continua en x = 
Rpta.
22. Analice la existencia de una solución real de la ecuación
𝟑𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟐 =0 
RESOLUCIÓN :
Por el teorema del cero:
Si 𝑓(𝑥) es continua en [𝑎; 𝑏] y 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0 → ∃ 𝑟 ∈ 〈𝑎; 𝑏〉 / 𝑓(𝑟) =0
El polinomio 3𝑥3 − 4𝑥2 + 13𝑥 + 2 = 0 es continua ∀ 𝑥 ∈ ℝ 
𝑓(−1) = −18 , 𝑓(0) = 2 
→ 𝑓(−1)𝑓(0) = −36 < 0 
∃ 𝑟 ∈ 〈−1; 0〉 / 𝑓(𝑟) = 0 
Rpta.