Aplicaciones a la derivada

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Cálculo Diferencial
Universidad Nacional de Ingenieŕıa
Los Profesores
2020-2
Aplicaciones a la derivada
Definición (Extremos locales y absolutos)
Sean I un intervalo en R, f : I → R una función y c ∈ I . Se dice que:
1 f tiene un ḿınimo local en c si existe δ > 0 tal que
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉 ∩ I .
En este caso f (c) se ḿınimo local de f .
2 f tiene un ḿınimo absoluto en c si
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ I .
En este caso f (c) se llama ḿınmo absoluto de f .
3 f tiene un máximo local en c si existe δ > 0 tal que
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉 ∩ I
En este caso f (c) se llama máximo local de f .
Aplicaciones a la derivada
Definición (Extremos locales y absolutos)
Sean I un intervalo en R, f : I → R una función y c ∈ I . Se dice que:
1 f tiene un ḿınimo local en c si existe δ > 0 tal que
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉 ∩ I .
En este caso f (c) se ḿınimo local de f .
2 f tiene un ḿınimo absoluto en c si
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ I .
En este caso f (c) se llama ḿınmo absoluto de f .
3 f tiene un máximo local en c si existe δ > 0 tal que
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉 ∩ I
En este caso f (c) se llama máximo local de f .
Aplicaciones a la derivada
Definición (Extremos locales y absolutos)
Sean I un intervalo en R, f : I → R una función y c ∈ I . Se dice que:
1 f tiene un ḿınimo local en c si existe δ > 0 tal que
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉 ∩ I .
En este caso f (c) se ḿınimo local de f .
2 f tiene un ḿınimo absoluto en c si
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ I .
En este caso f (c) se llama ḿınmo absoluto de f .
3 f tiene un máximo local en c si existe δ > 0 tal que
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉 ∩ I
En este caso f (c) se llama máximo local de f .
Aplicaciones a la derivada
Definición (Extremos locales y absolutos)
Sean I un intervalo en R, f : I → R una función y c ∈ I . Se dice que:
1 f tiene un ḿınimo local en c si existe δ > 0 tal que
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉 ∩ I .
En este caso f (c) se ḿınimo local de f .
2 f tiene un ḿınimo absoluto en c si
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ I .
En este caso f (c) se llama ḿınmo absoluto de f .
3 f tiene un máximo local en c si existe δ > 0 tal que
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉 ∩ I
En este caso f (c) se llama máximo local de f .
Aplicaciones a la Derivada
Definición
4 f tiene un máximo absoluto en c si existe δ > 0 tal que
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ I .
En este caso f (c) se llama máximo absoluto de f .
5 f tiene un extremo local (absoluto) en c , si se tiene alguno de los
casos anteriores y el valor f (c) se llama extremo local (absoluto) de
la función f
Aplicaciones a la Derivada
Definición
4 f tiene un máximo absoluto en c si existe δ > 0 tal que
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ I .
En este caso f (c) se llama máximo absoluto de f .
5 f tiene un extremo local (absoluto) en c , si se tiene alguno de los
casos anteriores y el valor f (c) se llama extremo local (absoluto) de
la función f
Aplicaciones a la Derivada
Definición
4 f tiene un máximo absoluto en c si existe δ > 0 tal que
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ I .
En este caso f (c) se llama máximo absoluto de f .
5 f tiene un extremo local (absoluto) en c , si se tiene alguno de los
casos anteriores y el valor f (c) se llama extremo local (absoluto) de
la función f
Aplicaciones a la derivada
Definición
Sea I un intervalo definimos el interior de I denotado por int(I ), aquellos
valores de I que no sus extremos.
Por ejemplo, si I = [a, b], entonces int(I ) = 〈a, b〉, I = [a, b〉, entonces
int(I ) = 〈a, b〉.
Teorema (Teorema de Fermat)
Sea f : I → R una función, c ∈ int(I ). Si f es derivable en c y tiene un
extremo relativo en c , entonces
f ′(c) = 0
Suponiendo que f tiene un extremo relativo en c , existe δ > 0 tal que
f (x) ≤ f (c) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉,
Si c − δ < x < c , entonces
f (x)− f (c)
x − c
≥ 0.
Si c < x < c + δ, entonces
Aplicaciones a la derivada
Definición
Sea I un intervalo definimos el interior de I denotado por int(I ), aquellos
valores de I que no sus extremos.
Por ejemplo, si I = [a, b], entonces int(I ) = 〈a, b〉, I = [a, b〉, entonces
int(I ) = 〈a, b〉.
Teorema (Teorema de Fermat)
Sea f : I → R una función, c ∈ int(I ). Si f es derivable en c y tiene un
extremo relativo en c , entonces
f ′(c) = 0
Suponiendo que f tiene un extremo relativo en c , existe δ > 0 tal que
f (x) ≤ f (c) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉,
Si c − δ < x < c , entonces
f (x)− f (c)
x − c
≥ 0.
Si c < x < c + δ, entonces
Aplicaciones a la derivada
Definición
Sea I un intervalo definimos el interior de I denotado por int(I ), aquellos
valores de I que no sus extremos.
Por ejemplo, si I = [a, b], entonces int(I ) = 〈a, b〉, I = [a, b〉, entonces
int(I ) = 〈a, b〉.
Teorema (Teorema de Fermat)
Sea f : I → R una función, c ∈ int(I ). Si f es derivable en c y tiene un
extremo relativo en c , entonces
f ′(c) = 0
Suponiendo que f tiene un extremo relativo en c , existe δ > 0 tal que
f (x) ≤ f (c) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉,
Si c − δ < x < c , entonces
f (x)− f (c)
x − c
≥ 0.
Si c < x < c + δ, entonces
Aplicaciones a la derivada
Definición
Sea I un intervalo definimos el interior de I denotado por int(I ), aquellos
valores de I que no sus extremos.
Por ejemplo, si I = [a, b], entonces int(I ) = 〈a, b〉, I = [a, b〉, entonces
int(I ) = 〈a, b〉.
Teorema (Teorema de Fermat)
Sea f : I → R una función, c ∈ int(I ). Si f es derivable en c y tiene un
extremo relativo en c , entonces
f ′(c) = 0
Suponiendo que f tiene un extremo relativo en c , existe δ > 0 tal que
f (x) ≤ f (c) ∀x ∈ 〈c − δ, c + δ〉,
Si c − δ < x < c , entonces
f (x)− f (c)
x − c
≥ 0.
Si c < x < c + δ, entonces
Aplicaciones a la derivada
f (x)− f (c)
x − c
≤ 0
Y como f es derivable en c
ĺım
x→c+
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c−
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c
f (x)− f (c)
x − c
= f ′(c),
Luego de las desigualdades anteriores se tiene
f ′(c) ≥ 0 f ′(c) ≤ 0,
de donde concluimos que f ′(c) = 0.
Definición (Punto cŕıtico)
Sea f : I → R una función y c ∈ I . Se dice que c es un punto cŕıtico de f
si f ′(c) = 0 o no existe f ′(c) o c es un extremo del intervalo I .
Ejemplo
Dada la función f definida f (x) = x3 ∀x ∈ [−1, 1]. Pruebe que x = 0 no
es un extremo relativo.
Aplicaciones a la derivada
f (x)− f (c)
x − c
≤ 0
Y como f es derivable en c
ĺım
x→c+
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c−
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c
f (x)− f (c)
x − c
= f ′(c),
Luego de las desigualdades anteriores se tiene
f ′(c) ≥ 0 f ′(c) ≤ 0,
de donde concluimos que f ′(c) = 0.
Definición (Punto cŕıtico)
Sea f : I → R una función y c ∈ I . Se dice que c es un punto cŕıtico de f
si f ′(c) = 0 o no existe f ′(c) o c es un extremo del intervalo I .
Ejemplo
Dada la función f definida f (x) = x3 ∀x ∈ [−1, 1]. Pruebe que x = 0 no
es un extremo relativo.
Aplicaciones a la derivada
f (x)− f (c)
x − c
≤ 0
Y como f es derivable en c
ĺım
x→c+
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c−
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c
f (x)− f (c)
x − c
= f ′(c),
Luego de las desigualdades anteriores se tiene
f ′(c) ≥ 0 f ′(c) ≤ 0,
de donde concluimos que f ′(c) = 0.
Definición (Punto cŕıtico)
Sea f : I → R una función y c ∈ I . Se dice que c es un punto cŕıtico de f
si f ′(c) = 0 o no existe f ′(c) o c es un extremo del intervalo I .
Ejemplo
Dada la función f definida f (x) = x3 ∀x ∈ [−1, 1]. Pruebe que x = 0 no
es un extremo relativo.
Aplicaciones a la derivada
f (x)− f (c)
x − c
≤ 0
Y como f es derivable en c
ĺım
x→c+
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c−
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c
f (x)− f (c)
x − c
= f ′(c),
Luego de las desigualdades anteriores se tiene
f ′(c) ≥ 0 f ′(c) ≤ 0,
de donde concluimos que f ′(c) = 0.
Definición (Punto cŕıtico)
Sea f : I → R una función y c ∈ I . Se dice que c es un punto cŕıtico de f
si f ′(c) = 0 o no existe f ′(c) o c es un extremo del intervalo I .
Ejemplo
Dada la función f definida f (x) = x3 ∀x ∈ [−1, 1]. Pruebe que x = 0 no
es un extremo relativo.
Aplicaciones a la derivada
f (x)− f (c)
x − c
≤ 0
Y como f esderivable en c
ĺım
x→c+
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c−
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c
f (x)− f (c)
x − c
= f ′(c),
Luego de las desigualdades anteriores se tiene
f ′(c) ≥ 0 f ′(c) ≤ 0,
de donde concluimos que f ′(c) = 0.
Definición (Punto cŕıtico)
Sea f : I → R una función y c ∈ I . Se dice que c es un punto cŕıtico de f
si f ′(c) = 0 o no existe f ′(c) o c es un extremo del intervalo I .
Ejemplo
Dada la función f definida f (x) = x3 ∀x ∈ [−1, 1]. Pruebe que x = 0 no
es un extremo relativo.
Aplicaciones a la derivada
f (x)− f (c)
x − c
≤ 0
Y como f es derivable en c
ĺım
x→c+
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c−
f (x)− f (c)
x − c
= ĺım
x→c
f (x)− f (c)
x − c
= f ′(c),
Luego de las desigualdades anteriores se tiene
f ′(c) ≥ 0 f ′(c) ≤ 0,
de donde concluimos que f ′(c) = 0.
Definición (Punto cŕıtico)
Sea f : I → R una función y c ∈ I . Se dice que c es un punto cŕıtico de f
si f ′(c) = 0 o no existe f ′(c) o c es un extremo del intervalo I .
Ejemplo
Dada la función f definida f (x) = x3 ∀x ∈ [−1, 1]. Pruebe que x = 0 no
es un extremo relativo.
Aplicaciones a al derivada
Como f ′(x) = 3x2 = 0, se tiene x = 0
un punto cŕıtico, observe que 0 ∈ 〈−1, 1〉,
pero x = 0 no es un punto
extremo.
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R una función definida por f (x) = x ∀x ∈ 〈−1, 1〉 y
f (−1) = f (1) = 0. Pruebe que no tiene extremos relativos.
En efecto si tuviera en algúm c ∈ 〈−1, 1〉 entonces f ′(c) = 0, lo cual es
absurdo.
Ejemplo
Encuéntrese los valores máximo y ḿınimo de la función f definida por
f (x) = x − 3x1/3 sobre el intervalo [−1, 2].
Aplicaciones a al derivada
Como f ′(x) = 3x2 = 0, se tiene x = 0
un punto cŕıtico, observe que 0 ∈ 〈−1, 1〉,
pero x = 0 no es un puntoextremo.
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R una función definida por f (x) = x ∀x ∈ 〈−1, 1〉 y
f (−1) = f (1) = 0. Pruebe que no tiene extremos relativos.
En efecto si tuviera en algúm c ∈ 〈−1, 1〉 entonces f ′(c) = 0, lo cual es
absurdo.
Ejemplo
Encuéntrese los valores máximo y ḿınimo de la función f definida por
f (x) = x − 3x1/3 sobre el intervalo [−1, 2].
Aplicaciones a al derivada
Como f ′(x) = 3x2 = 0, se tiene x = 0
un punto cŕıtico, observe que 0 ∈ 〈−1, 1〉,
pero x = 0 no es un puntoextremo.
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R una función definida por f (x) = x ∀x ∈ 〈−1, 1〉 y
f (−1) = f (1) = 0. Pruebe que no tiene extremos relativos.
En efecto si tuviera en algúm c ∈ 〈−1, 1〉 entonces f ′(c) = 0, lo cual es
absurdo.
Ejemplo
Encuéntrese los valores máximo y ḿınimo de la función f definida por
f (x) = x − 3x1/3 sobre el intervalo [−1, 2].
Aplicaciones a al derivada
Como f ′(x) = 3x2 = 0, se tiene x = 0
un punto cŕıtico, observe que 0 ∈ 〈−1, 1〉,
pero x = 0 no es un puntoextremo.
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R una función definida por f (x) = x ∀x ∈ 〈−1, 1〉 y
f (−1) = f (1) = 0. Pruebe que no tiene extremos relativos.
En efecto si tuviera en algúm c ∈ 〈−1, 1〉 entonces f ′(c) = 0, lo cual es
absurdo.
Ejemplo
Encuéntrese los valores máximo y ḿınimo de la función f definida por
f (x) = x − 3x1/3 sobre el intervalo [−1, 2].
Aplicaciones a al derivada
Como f ′(x) = 3x2 = 0, se tiene x = 0
un punto cŕıtico, observe que 0 ∈ 〈−1, 1〉,
pero x = 0 no es un puntoextremo.
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R una función definida por f (x) = x ∀x ∈ 〈−1, 1〉 y
f (−1) = f (1) = 0. Pruebe que no tiene extremos relativos.
En efecto si tuviera en algúm c ∈ 〈−1, 1〉 entonces f ′(c) = 0, lo cual es
absurdo.
Ejemplo
Encuéntrese los valores máximo y ḿınimo de la función f definida por
f (x) = x − 3x1/3 sobre el intervalo [−1, 2].
Aplicaciones a la derivada
Para determinar los puntos cŕıticos de f sobre [−1, 2] encontramos la
derivada de f : f ′(x) = 1− x−2/3, x 6= 0. Luego los puntos cŕıticos son
−1, 0, 1, 2. Calculando estos valores en f
f (−1) = 2 f (0) = 0 f (1) = −2 f (2) = 2− 3 3
√
2 > −2.
Aśı pues, f (−1) = 2 es el máximo y f (1) = −2 es el valor ḿınimo de la
función f sobre [−1, 2].
Teorema (Teorema de Rolle)
Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] y derivable 〈a, b〉. Si
f (a) = f (b) = 0 entonces existe c ∈ 〈a, b〉 tal que f ′(c) = 0.
Aplicaciones a la derivada
Para determinar los puntos cŕıticos de f sobre [−1, 2] encontramos la
derivada de f : f ′(x) = 1− x−2/3, x 6= 0. Luego los puntos cŕıticos son
−1, 0, 1, 2. Calculando estos valores en f
f (−1) = 2 f (0) = 0 f (1) = −2 f (2) = 2− 3 3
√
2 > −2.
Aśı pues, f (−1) = 2 es el máximo y f (1) = −2 es el valor ḿınimo de la
función f sobre [−1, 2].
Teorema (Teorema de Rolle)
Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] y derivable 〈a, b〉. Si
f (a) = f (b) = 0 entonces existe c ∈ 〈a, b〉 tal que f ′(c) = 0.
Aplicaciones a la derivada
Para determinar los puntos cŕıticos de f sobre [−1, 2] encontramos la
derivada de f : f ′(x) = 1− x−2/3, x 6= 0. Luego los puntos cŕıticos son
−1, 0, 1, 2. Calculando estos valores en f
f (−1) = 2 f (0) = 0 f (1) = −2 f (2) = 2− 3 3
√
2 > −2.
Aśı pues, f (−1) = 2 es el máximo y f (1) = −2 es el valor ḿınimo de la
función f sobre [−1, 2].
Teorema (Teorema de Rolle)
Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] y derivable 〈a, b〉. Si
f (a) = f (b) = 0 entonces existe c ∈ 〈a, b〉 tal que f ′(c) = 0.
Aplicaciones a la derivada
Para determinar los puntos cŕıticos de f sobre [−1, 2] encontramos la
derivada de f : f ′(x) = 1− x−2/3, x 6= 0. Luego los puntos cŕıticos son
−1, 0, 1, 2. Calculando estos valores en f
f (−1) = 2 f (0) = 0 f (1) = −2 f (2) = 2− 3 3
√
2 > −2.
Aśı pues, f (−1) = 2 es el máximo y f (1) = −2 es el valor ḿınimo de la
función f sobre [−1, 2].
Teorema (Teorema de Rolle)
Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] y derivable 〈a, b〉. Si
f (a) = f (b) = 0 entonces existe c ∈ 〈a, b〉 tal que f ′(c) = 0.
Aplicaciones a la derivada
Para determinar los puntos cŕıticos de f sobre [−1, 2] encontramos la
derivada de f : f ′(x) = 1− x−2/3, x 6= 0. Luego los puntos cŕıticos son
−1, 0, 1, 2. Calculando estos valores en f
f (−1) = 2 f (0) = 0 f (1) = −2 f (2) = 2− 3 3
√
2 > −2.
Aśı pues, f (−1) = 2 es el máximo y f (1) = −2 es el valor ḿınimo de la
función f sobre [−1, 2].
Teorema (Teorema de Rolle)
Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] y derivable 〈a, b〉. Si
f (a) = f (b) = 0 entonces existe c ∈ 〈a, b〉 tal que f ′(c) = 0.
Aplicaciones a la derivada
Para determinar los puntos cŕıticos de f sobre [−1, 2] encontramos la
derivada de f : f ′(x) = 1− x−2/3, x 6= 0. Luego los puntos cŕıticos son
−1, 0, 1, 2. Calculando estos valores en f
f (−1) = 2 f (0) = 0 f (1) = −2 f (2) = 2− 3 3
√
2 > −2.
Aśı pues, f (−1) = 2 es el máximo y f (1) = −2 es el valor ḿınimo de la
función f sobre [−1, 2].
Teorema (Teorema de Rolle)
Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] y derivable 〈a, b〉. Si
f (a) = f (b) = 0 entonces existe c ∈ 〈a, b〉 tal que f ′(c) = 0.
Aplicación de la derivada
1 Si f (x) = 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces escoger cualquier punto
de 〈a, b〉.
2 Si f (x) > 0 para algún x ∈ 〈a, b〉, sea c un punto sobre [a, b] donde
f alcance su máximo. Entonces, como f (c) > 0 mientras que
f (a) = 0 = f (b), tenemos que c ∈ 〈a, b〉. Como f está definido en la
vecindad 〈a, b〉 de c y f ′(c) existe, tenemos f ′(c) = 0.
3 Si f (x) < 0 para algún x ∈ 〈a, b〉, sea c un punto sobre [a, b] donde
f alcance su ḿınimo. Entonces, como f (c) < 0 mientras que
f (a) = 0 = f (b), tenemos que c ∈ 〈a, b〉. Como f está definido en la
vecindad 〈a, b〉 de c y f ′(c) existe, tenemos f ′(c) = 0.
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R definida por f (x) = 1− |x |.
Esta función es continua en [−1, 1], f (−1) = f (1) = 0, pero no es
derivable en x = 0. Además es claro que f ′ no se anula en ningún punto
en 〈−1, 1〉.
Aplicación de la derivada
1 Si f (x) = 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces escoger cualquier punto
de 〈a, b〉.
2 Si f (x) > 0 para algún x ∈ 〈a, b〉, sea c un punto sobre [a, b] donde
f alcance su máximo. Entonces, como f (c) > 0 mientras que
f (a) = 0 = f (b), tenemos que c ∈ 〈a, b〉. Como f está definidoen la
vecindad 〈a, b〉 de c y f ′(c) existe, tenemos f ′(c) = 0.
3 Si f (x) < 0 para algún x ∈ 〈a, b〉, sea c un punto sobre [a, b] donde
f alcance su ḿınimo. Entonces, como f (c) < 0 mientras que
f (a) = 0 = f (b), tenemos que c ∈ 〈a, b〉. Como f está definido en la
vecindad 〈a, b〉 de c y f ′(c) existe, tenemos f ′(c) = 0.
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R definida por f (x) = 1− |x |.
Esta función es continua en [−1, 1], f (−1) = f (1) = 0, pero no es
derivable en x = 0. Además es claro que f ′ no se anula en ningún punto
en 〈−1, 1〉.
Aplicación de la derivada
1 Si f (x) = 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces escoger cualquier punto
de 〈a, b〉.
2 Si f (x) > 0 para algún x ∈ 〈a, b〉, sea c un punto sobre [a, b] donde
f alcance su máximo. Entonces, como f (c) > 0 mientras que
f (a) = 0 = f (b), tenemos que c ∈ 〈a, b〉. Como f está definido en la
vecindad 〈a, b〉 de c y f ′(c) existe, tenemos f ′(c) = 0.
3 Si f (x) < 0 para algún x ∈ 〈a, b〉, sea c un punto sobre [a, b] donde
f alcance su ḿınimo. Entonces, como f (c) < 0 mientras que
f (a) = 0 = f (b), tenemos que c ∈ 〈a, b〉. Como f está definido en la
vecindad 〈a, b〉 de c y f ′(c) existe, tenemos f ′(c) = 0.
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R definida por f (x) = 1− |x |.
Esta función es continua en [−1, 1], f (−1) = f (1) = 0, pero no es
derivable en x = 0. Además es claro que f ′ no se anula en ningún punto
en 〈−1, 1〉.
Aplicación de la derivada
1 Si f (x) = 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces escoger cualquier punto
de 〈a, b〉.
2 Si f (x) > 0 para algún x ∈ 〈a, b〉, sea c un punto sobre [a, b] donde
f alcance su máximo. Entonces, como f (c) > 0 mientras que
f (a) = 0 = f (b), tenemos que c ∈ 〈a, b〉. Como f está definido en la
vecindad 〈a, b〉 de c y f ′(c) existe, tenemos f ′(c) = 0.
3 Si f (x) < 0 para algún x ∈ 〈a, b〉, sea c un punto sobre [a, b] donde
f alcance su ḿınimo. Entonces, como f (c) < 0 mientras que
f (a) = 0 = f (b), tenemos que c ∈ 〈a, b〉. Como f está definido en la
vecindad 〈a, b〉 de c y f ′(c) existe, tenemos f ′(c) = 0.
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R definida por f (x) = 1− |x |.
Esta función es continua en [−1, 1], f (−1) = f (1) = 0, pero no es
derivable en x = 0. Además es claro que f ′ no se anula en ningún punto
en 〈−1, 1〉.
Aplicación de la derivada
1 Si f (x) = 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces escoger cualquier punto
de 〈a, b〉.
2 Si f (x) > 0 para algún x ∈ 〈a, b〉, sea c un punto sobre [a, b] donde
f alcance su máximo. Entonces, como f (c) > 0 mientras que
f (a) = 0 = f (b), tenemos que c ∈ 〈a, b〉. Como f está definido en la
vecindad 〈a, b〉 de c y f ′(c) existe, tenemos f ′(c) = 0.
3 Si f (x) < 0 para algún x ∈ 〈a, b〉, sea c un punto sobre [a, b] donde
f alcance su ḿınimo. Entonces, como f (c) < 0 mientras que
f (a) = 0 = f (b), tenemos que c ∈ 〈a, b〉. Como f está definido en la
vecindad 〈a, b〉 de c y f ′(c) existe, tenemos f ′(c) = 0.
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R definida por f (x) = 1− |x |.
Esta función es continua en [−1, 1], f (−1) = f (1) = 0, pero no es
derivable en x = 0. Además es claro que f ′ no se anula en ningún punto
en 〈−1, 1〉.
Aplicaciones a la derivada
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R una función definida por
f (x) =
{
x , x ∈ 〈−1, 1〉
2, x = −1, 1
Notemos que f es diferenciable en 〈−1, 1〉, f (−1) = f (1) = 2, pero no es
continua en [−1, 1]. Y no exsite ningún c ∈ 〈−1, 1〉 tal que f ′(c) = 0.
Aplicaciones a la derivada
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R una función definida por
f (x) =
{
x , x ∈ 〈−1, 1〉
2, x = −1, 1
Notemos que f es diferenciable en 〈−1, 1〉, f (−1) = f (1) = 2, pero no es
continua en [−1, 1]. Y no exsite ningún c ∈ 〈−1, 1〉 tal que f ′(c) = 0.
Aplicaciones a la derivada
Ejemplo
Sea f : [−1, 1]→ R una función definida por
f (x) =
{
x , x ∈ 〈−1, 1〉
2, x = −1, 1
Notemos que f es diferenciable en 〈−1, 1〉, f (−1) = f (1) = 2, pero no es
continua en [−1, 1]. Y no exsite ningún c ∈ 〈−1, 1〉 tal que f ′(c) = 0.
Aplicaciones a la derivada
Teorema (teorema del valor medio)
Si f es continua en [a, b] donde a < b y diferenciable sobre 〈a, b〉,
entonces existe un punto c ∈ 〈a, b〉 tal que
f ′(c) =
f (a)− f (b)
b − a
Aplicaciones a la derivada
Teorema (teorema del valor medio)
Si f es continua en [a, b] donde a < b y diferenciable sobre 〈a, b〉,
entonces existe un punto c ∈ 〈a, b〉 tal que
f ′(c) =
f (a)− f (b)
b − a
Aplicaciones a la derivada
Sea g : [a, b]→ R definida por
g(x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)
b − a
(x − a).
el cual es continua en [a, b], diferenciable en 〈a, b〉 y g(a) = g(b) = 0.
Luego por el teorema por Rolle existe c ∈ 〈a, b〉
g ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)
b − a
= 0.
Aplicaciones a la derivada
Sea g : [a, b]→ R definida por
g(x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)
b − a
(x − a).
el cual es continua en [a, b], diferenciable en 〈a, b〉 y g(a) = g(b) = 0.
Luego por el teorema por Rolle existe c ∈ 〈a, b〉
g ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)
b − a
= 0.
Aplicaciones a la derivada
Ejemplo
Aplique, si es posible, ele teorema del Valor Medio a la función:
1 f (x) = x2 − 4, x ∈ [−2, 2].
2 f (x) = x2 + 2x , x ∈ [0, 3].
1 Desde que f es continua en [−2, 2] y diferenciable en 〈−2, 2〉, luego
existe c ∈ 〈−2, 2〉 tal que f ′(c) = f (2)− f (−2)
3 + 2
= 2c lo que implica
c = 0.
2 Desde que f es continua en [0, 3] y diferenciable en 〈0, 3〉, luego
existe c ∈ 〈0, 3〉 tal que f ′(c) = f (3)− f (0)
3− 0
= 2c + 2 lo que
implica c = 3/2.
Ejemplo
Aplique el Teorema de Rolle, para demostrar que la ecuación cúbica
x3 − 3x + b = 0 no puede tener más de una ráız en el intervalo [−1, 1]
para ningún valor de b.
Aplicaciones a la derivada
Ejemplo
Aplique, si es posible, ele teorema del Valor Medio a la función:
1 f (x) = x2 − 4, x ∈ [−2, 2].
2 f (x) = x2 + 2x , x ∈ [0, 3].
1 Desde que f es continua en [−2, 2] y diferenciable en 〈−2, 2〉, luego
existe c ∈ 〈−2, 2〉 tal que f ′(c) = f (2)− f (−2)
3 + 2
= 2c lo que implica
c = 0.
2 Desde que f es continua en [0, 3] y diferenciable en 〈0, 3〉, luego
existe c ∈ 〈0, 3〉 tal que f ′(c) = f (3)− f (0)
3− 0
= 2c + 2 lo que
implica c = 3/2.
Ejemplo
Aplique el Teorema de Rolle, para demostrar que la ecuación cúbica
x3 − 3x + b = 0 no puede tener más de una ráız en el intervalo [−1, 1]
para ningún valor de b.
Aplicaciones a la derivada
Ejemplo
Aplique, si es posible, ele teorema del Valor Medio a la función:
1 f (x) = x2 − 4, x ∈ [−2, 2].
2 f (x) = x2 + 2x , x ∈ [0, 3].
1 Desde que f es continua en [−2, 2] y diferenciable en 〈−2, 2〉, luego
existe c ∈ 〈−2, 2〉 tal que f ′(c) = f (2)− f (−2)
3 + 2
= 2c lo que implica
c = 0.
2 Desde que f es continua en [0, 3] y diferenciable en 〈0, 3〉, luego
existe c ∈ 〈0, 3〉 tal que f ′(c) = f (3)− f (0)
3− 0
= 2c + 2 lo que
implica c = 3/2.
Ejemplo
Aplique el Teorema de Rolle, para demostrar que la ecuación cúbica
x3 − 3x + b = 0 no puede tener más de una ráız en el intervalo [−1, 1]
para ningún valor de b.
Aplicaciones a la derivada
Ejemplo
Aplique, si es posible, ele teorema del Valor Medio a la función:
1 f (x) = x2 − 4, x ∈ [−2, 2].
2 f (x) = x2 + 2x , x ∈ [0, 3].
1 Desde que f es continua en [−2, 2] y diferenciable en 〈−2, 2〉, luego
existe c ∈ 〈−2, 2〉 tal que f ′(c) = f (2)− f (−2)
3 + 2
= 2c lo que implica
c = 0.
2 Desde que f es continua en [0, 3] y diferenciable en 〈0, 3〉, luego
existe c ∈ 〈0, 3〉 tal que f ′(c) = f (3)− f (0)
3− 0
= 2c + 2 lo que
implica c = 3/2.
Ejemplo
Aplique el Teorema de Rolle, para demostrar que la ecuación cúbica
x3 − 3x + b = 0 no puede tener más de una ráız en el intervalo [−1, 1]
para ningún valor de b.
Aplicaciones a la derivada
Sea f (x) = x3 − 3x + b definida en [−1, 1], desde que f es de grado
impar entonces ella posee una ráız t real. Ahora supongamos que exista
otra ráız w . Suponiendo que −1 ≤ t < w ≤ 1 entonces f restringida en
[t,w ] es continua y diferenciable en 〈t,w〉 y además
f (t) = f (w) = 0,
luego existe un c ∈ 〈t,w〉 tal que f ′(c) = 0, esto es,
f ′(c) = 3c2 − 3 = 0⇒ c = ±1
lo cual es absurdo pues −1 < c < 1.
Ejemplo
Sean f : I ⊂ R→ R una función y I un intervalo,si f es continua en I y
diferenciable en int(I ) y f ′(x) = 0 para todo x ∈ int(I ), entonces f es
constante en I .
Sean a, b ∈ I , con a < b, f definida en [a, b] es continua y diferenciable
en 〈a, b〉. Usando el teorema del valor medio existe un c ∈ 〈a, b〉 tal que
f ′(c) =
f (b)− f (a)
b − a
Aplicaciones a la derivada
Sea f (x) = x3 − 3x + b definida en [−1, 1], desde que f es de grado
impar entonces ella posee una ráız t real. Ahora supongamos que exista
otra ráız w . Suponiendo que −1 ≤ t < w ≤ 1 entonces f restringida en
[t,w ] es continua y diferenciable en 〈t,w〉 y además
f (t) = f (w) = 0,
luego existe un c ∈ 〈t,w〉 tal que f ′(c) = 0, esto es,
f ′(c) = 3c2 − 3 = 0⇒ c = ±1
lo cual es absurdo pues −1 < c < 1.
Ejemplo
Sean f : I ⊂ R→ R una función y I un intervalo, si f es continua en I y
diferenciable en int(I ) y f ′(x) = 0 para todo x ∈ int(I ), entonces f es
constante en I .
Sean a, b ∈ I , con a < b, f definida en [a, b] es continua y diferenciable
en 〈a, b〉. Usando el teorema del valor medio existe un c ∈ 〈a, b〉 tal que
f ′(c) =
f (b)− f (a)
b − a
Aplicaciones a la derivada
Sea f (x) = x3 − 3x + b definida en [−1, 1], desde que f es de grado
impar entonces ella posee una ráız t real. Ahora supongamos que exista
otra ráız w . Suponiendo que −1 ≤ t < w ≤ 1 entonces f restringida en
[t,w ] es continua y diferenciable en 〈t,w〉 y además
f (t) = f (w) = 0,
luego existe un c ∈ 〈t,w〉 tal que f ′(c) = 0, esto es,
f ′(c) = 3c2 − 3 = 0⇒ c = ±1
lo cual es absurdo pues −1 < c < 1.
Ejemplo
Sean f : I ⊂ R→ R una función y I un intervalo, si f es continua en I y
diferenciable en int(I ) y f ′(x) = 0 para todo x ∈ int(I ), entonces f es
constante en I .
Sean a, b ∈ I , con a < b, f definida en [a, b] es continua y diferenciable
en 〈a, b〉. Usando el teorema del valor medio existe un c ∈ 〈a, b〉 tal que
f ′(c) =
f (b)− f (a)
b − a
Aplicaciones a la derivada
f (b) = f (a) lo cual se tiene que f (x) = d para todo x ∈ I .
Definición
Una función f se dice que es no decreciente ( no creciente) sobre un
intervalo I si f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)) para cualquier x1 y x2
cualesquiera en I tales que x1 < x2.
Definición
Una función f se dice que es creciente ( decreciente) sobre un intervalo
I si f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)) para cualquier x1 y x2 cualesquiera en
I tales que x1 < x2.
Definición
Una función f se dice que es monótona sobre un intervalo I si es no
decreciente, creciente, no creciente o no decreciente en I .
Teorema
Si f es continua sobre un intervalo I y f ′(x) ≥ 0 en todo punto interior
de I , entonces f es no decreciente sobre I .
Aplicaciones a la derivada
f (b) = f (a) lo cual se tiene que f (x) = d para todo x ∈ I .
Definición
Una función f se dice que es no decreciente ( no creciente) sobre un
intervalo I si f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)) para cualquier x1 y x2
cualesquiera en I tales que x1 < x2.
Definición
Una función f se dice que es creciente ( decreciente) sobre un intervalo
I si f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)) para cualquier x1 y x2 cualesquiera en
I tales que x1 < x2.
Definición
Una función f se dice que es monótona sobre un intervalo I si es no
decreciente, creciente, no creciente o no decreciente en I .
Teorema
Si f es continua sobre un intervalo I y f ′(x) ≥ 0 en todo punto interior
de I , entonces f es no decreciente sobre I .
Aplicaciones a la derivada
f (b) = f (a) lo cual se tiene que f (x) = d para todo x ∈ I .
Definición
Una función f se dice que es no decreciente ( no creciente) sobre un
intervalo I si f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)) para cualquier x1 y x2
cualesquiera en I tales que x1 < x2.
Definición
Una función f se dice que es creciente ( decreciente) sobre un intervalo
I si f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)) para cualquier x1 y x2 cualesquiera en
I tales que x1 < x2.
Definición
Una función f se dice que es monótona sobre un intervalo I si es no
decreciente, creciente, no creciente o no decreciente en I .
Teorema
Si f es continua sobre un intervalo I y f ′(x) ≥ 0 en todo punto interior
de I , entonces f es no decreciente sobre I .
Aplicaciones a la derivada
f (b) = f (a) lo cual se tiene que f (x) = d para todo x ∈ I .
Definición
Una función f se dice que es no decreciente ( no creciente) sobre un
intervalo I si f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)) para cualquier x1 y x2
cualesquiera en I tales que x1 < x2.
Definición
Una función f se dice que es creciente ( decreciente) sobre un intervalo
I si f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)) para cualquier x1 y x2 cualesquiera en
I tales que x1 < x2.
Definición
Una función f se dice que es monótona sobre un intervalo I si es no
decreciente, creciente, no creciente o no decreciente en I .
Teorema
Si f es continua sobre un intervalo I y f ′(x) ≥ 0 en todo punto interior
de I , entonces f es no decreciente sobre I .
Aplicaciones a la derivada
f (b) = f (a) lo cual se tiene que f (x) = d para todo x ∈ I .
Definición
Una función f se dice que es no decreciente ( no creciente) sobre un
intervalo I si f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)) para cualquier x1 y x2
cualesquiera en I tales que x1 < x2.
Definición
Una función f se dice que es creciente ( decreciente) sobre un intervalo
I si f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)) para cualquier x1 y x2 cualesquiera en
I tales que x1 < x2.
Definición
Una función f se dice que es monótona sobre un intervalo I si es no
decreciente, creciente, no creciente o no decreciente en I .
Teorema
Si f es continua sobre un intervalo I y f ′(x) ≥ 0 en todo punto interior
de I , entonces f es no decreciente sobre I .
Aplicaciones a la derivada
Sean x1 y x2 en I tales que x1 < x2. Por el teorema del valor medio tenemos
que existe un c ∈ 〈x1, x2〉,
f ′(c) =
f (x2)− f (x1)
x2 − x1
entonces f (x2)− f (x1) ≥ 0→ f (x2) ≥ f (x1)
Teorema
Si f es continua sobre un intervalo I y f ′(x) ≤ 0 en todo punto interior de I ,
entonces f es no creciente sobre I .
Teorema (Primer criterio de la derivada)
Si c es un punto cŕıtico de f y si existe un intervalo [a, b] con c ∈ 〈a, b〉 tal que
f es continua sobre [a, b] y
1 f ′(x) ≥ 0 para x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) ≤ 0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f tiene un
máximo relativo en c:
2 f ′(x) ≤ 0 para x ∈ 〈a, c〉 yf ′(x) ≥ 0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f tiene un
ḿınimo relativo en c:
3 f ′(x) > 0 para x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) > 0 para x ∈ 〈c, b〉 o f ′(x) < 0 para
x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) < 0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f no tiene ni un máximo
ni un ḿınimo relativo en c.
Aplicaciones a la derivada
Sean x1 y x2 en I tales que x1 < x2. Por el teorema del valor medio tenemos
que existe un c ∈ 〈x1, x2〉,
f ′(c) =
f (x2)− f (x1)
x2 − x1
entonces f (x2)− f (x1) ≥ 0→ f (x2) ≥ f (x1)
Teorema
Si f es continua sobre un intervalo I y f ′(x) ≤ 0 en todo punto interior de I ,
entonces f es no creciente sobre I .
Teorema (Primer criterio de la derivada)
Si c es un punto cŕıtico de f y si existe un intervalo [a, b] con c ∈ 〈a, b〉 tal que
f es continua sobre [a, b] y
1 f ′(x) ≥ 0 para x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) ≤ 0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f tiene un
máximo relativo en c:
2 f ′(x) ≤ 0 para x ∈ 〈a, c〉 yf ′(x) ≥ 0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f tiene un
ḿınimo relativo en c:
3 f ′(x) > 0 para x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) > 0 para x ∈ 〈c, b〉 o f ′(x) < 0 para
x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) < 0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f no tiene ni un máximo
ni un ḿınimo relativo en c.
Aplicaciones a la derivada
Sean x1 y x2 en I tales que x1 < x2. Por el teorema del valor medio tenemos
que existe un c ∈ 〈x1, x2〉,
f ′(c) =
f (x2)− f (x1)
x2 − x1
entonces f (x2)− f (x1) ≥ 0→ f (x2) ≥ f (x1)
Teorema
Si f es continua sobre un intervalo I y f ′(x) ≤ 0 en todo punto interior de I ,
entonces f es no creciente sobre I .
Teorema (Primer criterio de la derivada)
Si c es un punto cŕıtico de f y si existe un intervalo [a, b] con c ∈ 〈a, b〉 tal que
f es continua sobre [a, b] y
1 f ′(x) ≥ 0 para x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) ≤ 0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f tiene un
máximo relativo en c:
2 f ′(x) ≤ 0 para x ∈ 〈a, c〉 yf ′(x) ≥0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f tiene un
ḿınimo relativo en c:
3 f ′(x) > 0 para x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) > 0 para x ∈ 〈c, b〉 o f ′(x) < 0 para
x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) < 0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f no tiene ni un máximo
ni un ḿınimo relativo en c.
Aplicaciones a la derivada
Sean x1 y x2 en I tales que x1 < x2. Por el teorema del valor medio tenemos
que existe un c ∈ 〈x1, x2〉,
f ′(c) =
f (x2)− f (x1)
x2 − x1
entonces f (x2)− f (x1) ≥ 0→ f (x2) ≥ f (x1)
Teorema
Si f es continua sobre un intervalo I y f ′(x) ≤ 0 en todo punto interior de I ,
entonces f es no creciente sobre I .
Teorema (Primer criterio de la derivada)
Si c es un punto cŕıtico de f y si existe un intervalo [a, b] con c ∈ 〈a, b〉 tal que
f es continua sobre [a, b] y
1 f ′(x) ≥ 0 para x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) ≤ 0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f tiene un
máximo relativo en c:
2 f ′(x) ≤ 0 para x ∈ 〈a, c〉 yf ′(x) ≥ 0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f tiene un
ḿınimo relativo en c:
3 f ′(x) > 0 para x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) > 0 para x ∈ 〈c, b〉 o f ′(x) < 0 para
x ∈ 〈a, c〉 y f ′(x) < 0 para x ∈ 〈c, b〉, entonces f no tiene ni un máximo
ni un ḿınimo relativo en c.
Aplicaciones a la derivada
1 Como f ′(x) ≥ 0 para x ∈ 〈a, c〉, f es no decreciente sobre [a, c].
De donde f (x) ≤ f (c) para toda x ∈ 〈a, c〉.
Como f ′(x) ≤ 0 para x ∈ 〈c, b〉, f es no creciente sobre [c, b].
De donde f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ 〈c, b〉.
Aśı pues, f (x) ≤ f (c) para toda x ∈ 〈a, b〉 y f tiene un máximo relativo
en c.
Ejemplo
Encuentre los máximo y los ḿınimos relativos de la función f difinida por
f (x) = 1
2
x2(x − 4)1/3 y grafique la función.
Derivando
f ′(x) = 1
2
x2(x − 4)−2/3 + x(x − 4)1/3, x 6= 4
= 1
6
(x − 4)−2/3[x2 + 6x2 − 24x ]
= 1
6
x(7x − 24)(x − 4)−2/3,
Luego lo puntos cŕıticos son x = 0, 24
7
, 4. Luego
Aplicaciones a la derivada
1 Como f ′(x) ≥ 0 para x ∈ 〈a, c〉, f es no decreciente sobre [a, c].
De donde f (x) ≤ f (c) para toda x ∈ 〈a, c〉.
Como f ′(x) ≤ 0 para x ∈ 〈c, b〉, f es no creciente sobre [c, b].
De donde f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ 〈c, b〉.
Aśı pues, f (x) ≤ f (c) para toda x ∈ 〈a, b〉 y f tiene un máximo relativo
en c.
Ejemplo
Encuentre los máximo y los ḿınimos relativos de la función f difinida por
f (x) = 1
2
x2(x − 4)1/3 y grafique la función.
Derivando
f ′(x) = 1
2
x2(x − 4)−2/3 + x(x − 4)1/3, x 6= 4
= 1
6
(x − 4)−2/3[x2 + 6x2 − 24x ]
= 1
6
x(7x − 24)(x − 4)−2/3,
Luego lo puntos cŕıticos son x = 0, 24
7
, 4. Luego
Aplicaciones a la derivada
1 Como f ′(x) ≥ 0 para x ∈ 〈a, c〉, f es no decreciente sobre [a, c].
De donde f (x) ≤ f (c) para toda x ∈ 〈a, c〉.
Como f ′(x) ≤ 0 para x ∈ 〈c, b〉, f es no creciente sobre [c, b].
De donde f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ 〈c, b〉.
Aśı pues, f (x) ≤ f (c) para toda x ∈ 〈a, b〉 y f tiene un máximo relativo
en c.
Ejemplo
Encuentre los máximo y los ḿınimos relativos de la función f difinida por
f (x) = 1
2
x2(x − 4)1/3 y grafique la función.
Derivando
f ′(x) = 1
2
x2(x − 4)−2/3 + x(x − 4)1/3, x 6= 4
= 1
6
(x − 4)−2/3[x2 + 6x2 − 24x ]
= 1
6
x(7x − 24)(x − 4)−2/3,
Luego lo puntos cŕıticos son x = 0, 24
7
, 4. Luego
Aplicaciones a la derivada
f ′(x) > 0, x ∈ 〈−∞, 0〉.
f ′(x) < 0, x ∈ 〈0, 247 〉.
f ′(x) > 0, x ∈ 〈 247 , 4〉 ∪ 〈4,+∞〉.
Ejemplo
Encuentre los máximos y ḿınimos relativos de la función f definida por
f (x) = x4 + 2x3 + x3 − 8 y grafique f .
Derivando f ′(x) = 4x3 + 6x2 + 2x = 2x(2x + 1)(x + 1), hallando los
puntos cŕıticos de f son −1, − 12 y 0.
Aplicaciones a la derivada
f ′(x) > 0, x ∈ 〈−∞, 0〉.
f ′(x) < 0, x ∈ 〈0, 247 〉.
f ′(x) > 0, x ∈ 〈 247 , 4〉 ∪ 〈4,+∞〉.
Ejemplo
Encuentre los máximos y ḿınimos relativos de la función f definida por
f (x) = x4 + 2x3 + x3 − 8 y grafique f .
Derivando f ′(x) = 4x3 + 6x2 + 2x = 2x(2x + 1)(x + 1), hallando los
puntos cŕıticos de f son −1, − 12 y 0.
Aplicaciones a la derivada
f ′(x) < 0, x ∈ 〈−∞,−1〉.
f ′(x) > 0, x ∈ 〈−1,− 12 〉.
f ′(x) < 0, x ∈ 〈− 12 , 0〉.
f ′(x) > 0, x ∈ 〈0,+∞〉.
Ejemplo
El costo por unidad en una fábrica de cámaras fotográficas es de S/ 127.
Además, los costos generales semanales para la producción de camáras
son de S/1420. El fabricante sabe que si pone como precio p dólares por
camára y 127 ≤ p ≤ 375, puede esperar una venta de 250− 23p cámaras
por semana. ¿Qué precio será el que produzca un beneficio máximo?
Aplicaciones a la derivada
f ′(x) < 0, x ∈ 〈−∞,−1〉.
f ′(x) > 0, x ∈ 〈−1,− 12 〉.
f ′(x) < 0, x ∈ 〈− 12 , 0〉.
f ′(x) > 0, x ∈ 〈0,+∞〉.
Ejemplo
El costo por unidad en una fábrica de cámaras fotográficas es de S/ 127.
Además, los costos generales semanales para la producción de camáras
son de S/1420. El fabricante sabe que si pone como precio p dólares por
camára y 127 ≤ p ≤ 375, puede esperar una venta de 250− 23p cámaras
por semana. ¿Qué precio será el que produzca un beneficio máximo?
Aplicaciones a la derivada
f ′(x) < 0, x ∈ 〈−∞,−1〉.
f ′(x) > 0, x ∈ 〈−1,− 12 〉.
f ′(x) < 0, x ∈ 〈− 12 , 0〉.
f ′(x) > 0, x ∈ 〈0,+∞〉.
Ejemplo
El costo por unidad en una fábrica de cámaras fotográficas es de S/ 127.
Además, los costos generales semanales para la producción de camáras
son de S/1420. El fabricante sabe que si pone como precio p dólares por
camára y 127 ≤ p ≤ 375, puede esperar una venta de 250− 23p cámaras
por semana. ¿Qué precio será el que produzca un beneficio máximo?
Aplicaciones de la derivada
Sea I (p) = pq ingrreso obtenido, donde p representa el precio y q la
cantidad, y sea B(p) = I − gastos el beneficio obtenido. Luego
B(p) = p(250− 2
3
p)−127q−1420 = p(250− 2
3
p)−127(250− 2
3
p)−1420.
Derivando B(p) = 10043 −
4
3p = 0, lo que implica que p = 251. Luego
desde que B(p) es una parábola el alcanza su máximo beneficio en
p = 251. Luego el precio será s/251.
Teorema (Criterio de la segunda derivada)
Sea f una función real, derivbe en una vecindad 〈c − δ, c + δ〉 del punto
c tal que f ′(c) = 0 y f ′′(c) existe.
1 Si f ′′(c) > 0, entonces f (c) es un ḿınmo relativo de f .
2 Si f ′′(c) < 0, entonces f (c) es un máximo relativo de f .
3 Si f ′′(c) = 0 no se puede afirmar nada.
Ejemplo
Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide
1, halle el mayor valor de la suma a + 2b.
Aplicaciones de la derivada
Sea I (p) = pq ingrreso obtenido, donde p representa el precio y q la
cantidad, y sea B(p) = I − gastos el beneficio obtenido. Luego
B(p) = p(250− 2
3
p)−127q−1420 = p(250− 2
3
p)−127(250− 2
3
p)−1420.
Derivando B(p) = 10043 −
4
3p = 0, lo que implica que p = 251. Luego
desde que B(p) es una parábola el alcanza su máximo beneficio en
p = 251. Luego el precio será s/251.
Teorema (Criterio de la segunda derivada)
Sea f una función real, derivbe en una vecindad 〈c − δ, c + δ〉 del punto
c tal que f ′(c) = 0 y f ′′(c) existe.
1 Si f ′′(c) > 0, entonces f (c) es un ḿınmo relativo de f .
2 Si f ′′(c) < 0, entonces f (c) es un máximo relativo de f .
3 Si f ′′(c) = 0 no se puede afirmar nada.
Ejemplo
Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide
1, halle el mayor valor de la suma a + 2b.
Aplicaciones de la derivada
Sea I (p) = pq ingrreso obtenido, donde p representa el precio y q la
cantidad, y sea B(p) = I − gastos el beneficio obtenido. Luego
B(p) = p(250− 2
3
p)−127q−1420 = p(250− 2
3
p)−127(250− 2
3
p)−1420.
Derivando B(p) = 10043 −
4
3p = 0, lo que implica que p = 251. Luego
desde que B(p) es una parábola el alcanza su máximo beneficio en
p = 251. Luego el precio será s/251.
Teorema (Criterio de la segunda derivada)
Sea f una función real, derivbe en una vecindad 〈c − δ, c + δ〉 del punto
c tal que f ′(c) = 0 y f ′′(c) existe.
1 Si f ′′(c) > 0, entonces f (c) es un ḿınmo relativo de f .
2 Si f ′′(c) < 0, entonces f (c) es un máximo relativo de f .
3 Si f ′′(c) = 0 no se puede afirmar nada.
Ejemplo
Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide
1, halle el mayor valor de la suma a + 2b.
Aplicaciones de la derivada
Sea I (p) = pq ingrreso obtenido, donde p representa el precio y q la
cantidad, y sea B(p)= I − gastos el beneficio obtenido. Luego
B(p) = p(250− 2
3
p)−127q−1420 = p(250− 2
3
p)−127(250− 2
3
p)−1420.
Derivando B(p) = 10043 −
4
3p = 0, lo que implica que p = 251. Luego
desde que B(p) es una parábola el alcanza su máximo beneficio en
p = 251. Luego el precio será s/251.
Teorema (Criterio de la segunda derivada)
Sea f una función real, derivbe en una vecindad 〈c − δ, c + δ〉 del punto
c tal que f ′(c) = 0 y f ′′(c) existe.
1 Si f ′′(c) > 0, entonces f (c) es un ḿınmo relativo de f .
2 Si f ′′(c) < 0, entonces f (c) es un máximo relativo de f .
3 Si f ′′(c) = 0 no se puede afirmar nada.
Ejemplo
Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide
1, halle el mayor valor de la suma a + 2b.
Aplicaciones a la derivada
De la condición 1 = a2 + b2, además queremos maximizar f (a, b) = a + 2b de
la condición anterior f (a) = a + 2
√
1− a2 desde que a > 0 y b > 0. Derivado
la función
f ′(a) = 1− 2a√
1− a2
= 0
los puntos cŕıticos son: a = ±
√
5
5
, luego a =
√
5
5
. Hallando la segundo
derivada para verificar el valor mx́imo
f ′′(a) = − 2
(
√
1− a2)3/2
⇒ f
(√
5
5
)
= −5
√
5
4
Ejemplo
Una estación de telecomunicaciones situada en un bosque está situada a 4 km
del punto más cercano de una carretera (recta). La distancia de este punto a
una tienda situada en la carretera es de 9 k m . Si una persona desea caminar
de la estación a la tienda en un tiempo ḿınimo, ¿qué ruta debeŕıa seguir si
puede caminar a la velocidad de 50 m/min por el bosque y 5 km/hora por la
carretera?
Aplicaciones a la derivada
De la condición 1 = a2 + b2, además queremos maximizar f (a, b) = a + 2b de
la condición anterior f (a) = a + 2
√
1− a2 desde que a > 0 y b > 0. Derivado
la función
f ′(a) = 1− 2a√
1− a2
= 0
los puntos cŕıticos son: a = ±
√
5
5
, luego a =
√
5
5
. Hallando la segundo
derivada para verificar el valor mx́imo
f ′′(a) = − 2
(
√
1− a2)3/2
⇒ f
(√
5
5
)
= −5
√
5
4
Ejemplo
Una estación de telecomunicaciones situada en un bosque está situada a 4 km
del punto más cercano de una carretera (recta). La distancia de este punto a
una tienda situada en la carretera es de 9 k m . Si una persona desea caminar
de la estación a la tienda en un tiempo ḿınimo, ¿qué ruta debeŕıa seguir si
puede caminar a la velocidad de 50 m/min por el bosque y 5 km/hora por la
carretera?
Aplicaciones a la derivada
De la condición 1 = a2 + b2, además queremos maximizar f (a, b) = a + 2b de
la condición anterior f (a) = a + 2
√
1− a2 desde que a > 0 y b > 0. Derivado
la función
f ′(a) = 1− 2a√
1− a2
= 0
los puntos cŕıticos son: a = ±
√
5
5
, luego a =
√
5
5
. Hallando la segundo
derivada para verificar el valor mx́imo
f ′′(a) = − 2
(
√
1− a2)3/2
⇒ f
(√
5
5
)
= −5
√
5
4
Ejemplo
Una estación de telecomunicaciones situada en un bosque está situada a 4 km
del punto más cercano de una carretera (recta). La distancia de este punto a
una tienda situada en la carretera es de 9 k m . Si una persona desea caminar
de la estación a la tienda en un tiempo ḿınimo, ¿qué ruta debeŕıa seguir si
puede caminar a la velocidad de 50 m/min por el bosque y 5 km/hora por la
carretera?
Aplicaciones a la derivada
Sean E=estación, T=tienda y
CT=carretera. Pinde minimizar
t = tTP + tPE .
tPE+
a
Va
=
√
16 + x2km
50m/min
=
√
16 + x2
3
horas.
tTP +
b
Vb
=
9− x
5
horas.
Luego t(x) =
1
3
√
16 + x2 +
1
5
(9− x). Derivando
T ′(x) = 0 ⇒ x = 3 o x = −3(descartado)
Derivando por segunda vez para verificación del ḿınimo
f ′′(3)
16
375
> 0
Luego tiempo T (3) =
43
15
.
Aplicaciones a la derivada
Sean E=estación, T=tienda y
CT=carretera. Pinde minimizar
t = tTP + tPE .
tPE+
a
Va
=
√
16 + x2km
50m/min
=
√
16 + x2
3
horas.
tTP +
b
Vb
=
9− x
5
horas.
Luego t(x) =
1
3
√
16 + x2 +
1
5
(9− x). Derivando
T ′(x) = 0 ⇒ x = 3 o x = −3(descartado)
Derivando por segunda vez para verificación del ḿınimo
f ′′(3)
16
375
> 0
Luego tiempo T (3) =
43
15
.
Aplicaciones a la derivada
Sean E=estación, T=tienda y
CT=carretera. Pinde minimizar
t = tTP + tPE .
tPE+
a
Va
=
√
16 + x2km
50m/min
=
√
16 + x2
3
horas.
tTP +
b
Vb
=
9− x
5
horas.
Luego t(x) =
1
3
√
16 + x2 +
1
5
(9− x). Derivando
T ′(x) = 0 ⇒ x = 3 o x = −3(descartado)
Derivando por segunda vez para verificación del ḿınimo
f ′′(3)
16
375
> 0
Luego tiempo T (3) =
43
15
.
Aplicaciones a la derivada
Sean E=estación, T=tienda y
CT=carretera. Pinde minimizar
t = tTP + tPE .
tPE+
a
Va
=
√
16 + x2km
50m/min
=
√
16 + x2
3
horas.
tTP +
b
Vb
=
9− x
5
horas.
Luego t(x) =
1
3
√
16 + x2 +
1
5
(9− x). Derivando
T ′(x) = 0 ⇒ x = 3 o x = −3(descartado)
Derivando por segunda vez para verificación del ḿınimo
f ′′(3)
16
375
> 0
Luego tiempo T (3) =
43
15
.
Aplicaciones a la derivada
Definición (convexidad)
Sea I ⊂ R un intervalo. Se dice que
1 La función f : I → R es convexa o cóncava hacia arriba
f ((1− t)a + tb) ≤ (1− t)f (a) + tf (b), ∀a, b ∈ I , ∀t ∈ [0, 1]
2 La función f : I → R es cóncava si −f es convexa.
Aplicaciones a la derivada
Definición (convexidad)
Sea I ⊂ R un intervalo. Se dice que
1 La función f : I → R es convexa o cóncava hacia arriba
f ((1− t)a + tb) ≤ (1− t)f (a) + tf (b), ∀a, b ∈ I , ∀t ∈ [0, 1]
2 La función f : I → R es cóncava si −f es convexa.
Aplicaciones a la derivada
Teorema
1 Si f ′′(x) > 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces la gráfica de f es
convexa sobre 〈a, b〉.
2 Si f ′′(x) < 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces la gráfica de f es
cóncava sobre 〈a, b〉.
Definición
Un punto de sobre la gráfica de una función donde la dirección de
concavidad cambia, se llama punto de inflexión.
Ejemplo
Grafique la siguientes función f definida por f (x) =
x3 + 1
2x
.
El dominio de f es dom(f ) = R− {0}.
Aśıntotas
Aplicaciones a la derivada
Teorema
1 Si f ′′(x) > 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces la gráfica de f es
convexa sobre 〈a, b〉.
2 Si f ′′(x) < 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces la gráfica de f es
cóncava sobre 〈a, b〉.
Definición
Un punto de sobre la gráfica de una función donde la dirección de
concavidad cambia, se llama punto de inflexión.
Ejemplo
Grafique la siguientes función f definida por f (x) =
x3 + 1
2x
.
El dominio de f es dom(f ) = R− {0}.
Aśıntotas
Aplicaciones a la derivada
Teorema
1 Si f ′′(x) > 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces la gráfica de f es
convexa sobre 〈a, b〉.
2 Si f ′′(x) < 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces la gráfica de f es
cóncava sobre 〈a, b〉.
Definición
Un punto de sobre la gráfica de una función donde la dirección de
concavidad cambia, se llama punto de inflexión.
Ejemplo
Grafique la siguientes función f definida por f (x) =
x3 + 1
2x
.
El dominio de f es dom(f ) = R− {0}.
Aśıntotas
Aplicaciones a la derivada
Aśıntota vertical
ĺım
x→0+
x3 + 1
2x
= +∞
ĺım
x→0−
x3 + 1
2x
= −∞
Aśıntota Horizontal
ĺım
x→∞
x3 + 1
x
= +∞
No posee aśıntotas horizontales. Tambiés se prueba que no tiene aśıtotas
oblicuas.
Derivando f ′(x) =
2x3 − 1
2x2
. Puntos cŕıticos x =
1
3
√
2
.
f ′(x) < 0, x ∈ 〈−∞, 0〉 ∪
〈
0,
1
3
√
2
〉
f ′(x) > 0, x ∈
〈
1
3
√
2
,∞
〉
Aplicaciones a la derivada
Aśıntota vertical
ĺım
x→0+
x3 + 1
2x
= +∞
ĺım
x→0−
x3 + 1
2x
= −∞
Aśıntota Horizontal
ĺım
x→∞
x3 + 1
x
= +∞
No posee aśıntotas horizontales. Tambiés se prueba que no tiene aśıtotas
oblicuas.
Derivando f ′(x) =
2x3 − 1
2x2
. Puntos cŕıticos x =
1
3
√
2
.
f ′(x) < 0, x ∈ 〈−∞, 0〉 ∪
〈
0,
1
3
√
2
〉
f ′(x) > 0, x ∈
〈
1
3
√
2
,∞
〉
Aplicaciones a la derivada
Aśıntota vertical
ĺım
x→0+
x3 + 1
2x
= +∞
ĺım
x→0−
x3 + 1
2x
= −∞
Aśıntota Horizontal
ĺım
x→∞
x3 + 1
x
= +∞
No posee aśıntotas horizontales. Tambiés se prueba que no tiene aśıtotas
oblicuas.
Derivando f ′(x) =
2x3 − 1
2x2
. Puntos cŕıticos x =
1
3
√
2
.
f ′(x) < 0, x ∈ 〈−∞, 0〉 ∪
〈
0,
1
3
√
2
〉
f ′(x) > 0, x ∈
〈
1
3
√
2
,∞
〉
Aplicaciones a la derivada
Drivado nuevamente f ′′(x) =
x3 + 1
x3
.Posible punto de inflexión x = −1.
f ′′(x) > 0, x ∈ 〈−∞,−1〉 ∪ 〈0,∞〉
f ′′(x) < 0, x ∈ 〈−1, 0〉.
De lo obtenido tenemos que (
1
3
√
2
,
1
4 3
√
2
). es el punto ḿınimo,y (−1, 0) es
un punto de inflexión, f decrece en el intervalo 〈−∞, 0〉 ∪
〈
0,
1
3
√
2
〉
y
crece en el intervalo f ′(x) > 0, x ∈
〈
1
3
√
2
,∞
〉
.
Aplicaciones a la derivada
Drivado nuevamente f ′′(x) =
x3 + 1
x3
. Posible punto de inflexión x = −1.
f ′′(x) > 0, x ∈ 〈−∞,−1〉 ∪ 〈0,∞〉
f ′′(x) < 0, x ∈ 〈−1, 0〉.
De lo obtenido tenemos que (
1
3
√
2
,
1
4 3
√
2
). es el punto ḿınimo,y (−1, 0) es
un punto de inflexión, f decrece en el intervalo 〈−∞, 0〉 ∪
〈
0,
1
3
√
2
〉
y
crece en el intervalo f ′(x) > 0, x ∈
〈
1
3
√
2
,∞
〉
.
Aplicaciones a la derivada
Derivada de la función onversa
Teorema
Sea f : I → R continua e inyectiva y sea c ∈ f (I ). Si f es derivable en
f ∗(c) y f ′(f ∗(c)) 6= 0, entonces la función inversa f , f ∗ es derivable en c
y
(f ∗)′(c) =
1
f ′(f ∗(c))
Ejemplo
Sea f ∗(x) = arcsenx , halle su derivada.
(f ∗)′(y) =
1
f ′(f ∗(c))
=
1
cos(arcseny)
=
1√
1 + sen2(arcseny)
Ejemplo
Halle la derivada de f (x) = arcsen
(
2x
1 + x2
)
, si x ≥ 1.
Derivada de la función onversa
Teorema
Sea f : I → R continua e inyectiva y sea c ∈ f (I ). Si f es derivable en
f ∗(c) y f ′(f ∗(c)) 6= 0, entonces la función inversa f , f ∗ es derivable en c
y
(f ∗)′(c) =
1
f ′(f ∗(c))
Ejemplo
Sea f ∗(x) = arcsenx , halle su derivada.
(f ∗)′(y) =
1
f ′(f ∗(c))
=
1
cos(arcseny)
=
1√
1 + sen2(arcseny)
Ejemplo
Halle la derivada de f (x) = arcsen
(
2x
1 + x2
)
, si x ≥ 1.
Derivada de la función onversa
Teorema
Sea f : I → R continua e inyectiva y sea c ∈ f (I ). Si f es derivable en
f ∗(c) y f ′(f ∗(c)) 6= 0, entonces la función inversa f , f ∗ es derivable en c
y
(f ∗)′(c) =
1
f ′(f ∗(c))
Ejemplo
Sea f ∗(x) = arcsenx , halle su derivada.
(f ∗)′(y) =
1
f ′(f ∗(c))
=
1
cos(arcseny)
=
1√
1 + sen2(arcseny)
Ejemplo
Halle la derivada de f (x) = arcsen
(
2x
1 + x2
)
, si x ≥ 1.
Derivada de la función onversa
Teorema
Sea f : I → R continua e inyectiva y sea c ∈ f (I ). Si f es derivable en
f ∗(c) y f ′(f ∗(c)) 6= 0, entonces la función inversa f , f ∗ es derivable en c
y
(f ∗)′(c) =
1
f ′(f ∗(c))
Ejemplo
Sea f ∗(x) = arcsenx , halle su derivada.
(f ∗)′(y) =
1
f ′(f ∗(c))
=
1
cos(arcseny)
=
1√
1 + sen2(arcseny)
Ejemplo
Halle la derivada de f (x) = arcsen
(
2x
1 + x2
)
, si x ≥ 1.
Aplicaciones a la derivada
f ′(x) = arc sen′
(
2x
1 + x2
)(
2x
1 + x2
)′
=
1√
1− 4x
2
(1 + x2)2
2(1− x2)
(1 + x2)2
f (x) =
2
1 + x2
Teorema
Sean f y g funciones diferenciable em 〈a, b〉, tales que g ′(x) 6=,
∀x ∈ 〈a, b〉. Si se cumple que:
ĺım
x→x0
f (x) = 0, ĺım
x→x0
g(x) = 0,
con x0 ∈ 〈a, b〉 y existe el ı́mite L = ĺım
x→x0
f ′(x)
g ′(x)
, entonces
ĺım
x→x0
f (x)
g(x)
= ĺım
x→x0
f ′(x)
g ′(x)
= L.
Aplicaciones a la derivada
f ′(x) = arc sen′
(
2x
1 + x2
)(
2x
1 + x2
)′
=
1√
1− 4x
2
(1 + x2)2
2(1− x2)
(1 + x2)2
f (x) =
2
1 + x2
Teorema
Sean f y g funciones diferenciable em 〈a, b〉, tales que g ′(x) 6=,
∀x ∈ 〈a, b〉. Si se cumple que:
ĺım
x→x0
f (x) = 0, ĺım
x→x0
g(x) = 0,
con x0 ∈ 〈a, b〉 y existe el ı́mite L = ĺım
x→x0
f ′(x)
g ′(x)
, entonces
ĺım
x→x0
f (x)
g(x)
= ĺım
x→x0
f ′(x)
g ′(x)
= L.
Ejercicios
Ejemplo
Halle los ĺımetes de las siguientes expresiones
1 ĺım
x→0
x − tan x
x − sen x
2 ĺım
x→0
x − sen x
(x sen x)3/2
.
Ejercicios
Ejemplo
Halle los ĺımetes de las siguientes expresiones
1 ĺım
x→0
x − tan x
x − sen x
2 ĺım
x→0
x − sen x
(x sen x)3/2
.