Descomposición de fracciones parciales

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Descomposición de fracción parcial
En álgebra , la descomposición de la fracción parcial o la expansión de la fracción parcial de una fracción racional (es decir, una fracción tal que el
numerador y el denominador son polinomios ) es una operación que consiste en expresar la fracción como una suma de un polinomio (posiblemente cero ) y
una o varias fracciones con un denominador más simple. [1]
La importancia de las mentiras descomposición en fracciones parciales en el hecho de que proporciona algoritmos para varios cálculos con funciones
racionales , incluyendo el cálculo explícito de primitivas , [2] desarrollos en serie de Taylor , inversas transformadas z , y inversa transformadas de Laplace . El
concepto fue descubierto de forma independiente en 1702 por Johann Bernoulli y Gottfried Leibniz . [3]
En símbolos, la descomposición en fracción parcial de una fracción racional de la forma donde f y g son polinomios, es su expresión como
donde p ( x ) es un polinomio y, para cada j , el denominador g j ( x ) es una potencia de un polinomio irreducible (que no se puede factorizar en polinomios de
grados positivos), y el numerador f j ( x ) es un polinomio de grado menor que el grado de este polinomio irreducible.
Cuando se trata de un cálculo explícito, a menudo se prefiere una descomposición más burda, que consiste en reemplazar "polinomio irreducible" por "
polinomio libre de cuadrados " en la descripción del resultado. Esto permite reemplazar la factorización polinómica por la factorización libre de cuadrados
mucho más fácil de calcular . Esto es suficiente para la mayoría de las aplicaciones y evita la introducción de coeficientes irracionales cuando los coeficientes de
los polinomios de entrada son números enteros o racionales .
Principios básicos
Parte polinomial
Factores del denominador
Potencias en el denominador
Declaración
Aplicación a la integración simbólica
Procedimiento
Ilustración
Método de residuos
Sobre los reales
Resultado general
Ejemplos de
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4 (método de residuos)
Ejemplo 5 (método de límite)
Ejemplo 6 (integral)
El papel del polinomio de Taylor
Bosquejo de la prueba
Fracciones de enteros
Notas
Referencias
enlaces externos
Dejar
ser una fracción racional , donde F y G son polinomios univariantes en la x indeterminada . La existencia de la fracción parcial se puede demostrar aplicando
inductivamente los siguientes pasos de reducción.
Existen dos polinomios E y F 
1
 tales que
Contenido
Principios básicos
Parte polinomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_fraction
https://en.wikipedia.org/wiki/Fraction_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Algorithm
https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Antiderivative
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series
https://en.wikipedia.org/wiki/Z-transform
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
https://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli
https://en.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz
https://en.wikipedia.org/wiki/Denominator
https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Numerator
https://en.wikipedia.org/wiki/Square-free_polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_factorization
https://en.wikipedia.org/wiki/Square-free_factorization
https://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Integer
https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_fraction
https://en.wikipedia.org/wiki/Univariate_polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_(variable)
y
donde denota el grado del polinomio P .
Esto resulta inmediatamente de la división euclidiana de F por G , que afirma la existencia de E y F 
1
 tal que y 
Esto permite suponer en los siguientes pasos que 
Si y
donde G 
1
 y G 
2
 son polinomios coprimos , entonces existen polinomios y tal que
y
Esto se puede probar de la siguiente manera. La identidad de Bézout afirma la existencia de polinomios C y D tales que
(por hipótesis, 1 es el máximo común divisor de G 
1
 y G 
2
 ).
Dejar con ser la división euclidiana de DF por Configuración uno obtiene
Queda por demostrar que Al reducir al mismo denominador la última suma de fracciones, se obtiene y por lo tanto
Usando la descomposición anterior de forma inductiva, se obtienen fracciones de la forma con donde G es un polinomio
irreducible . Si k > 1 , se puede descomponer aún más, usando que un polinomio irreducible es un polinomio libre de cuadrados , es decir, es un máximo
común divisor del polinomio y su derivada . Si es la derivada de G , la identidad de Bézout proporciona polinomios C y D tales que y por lo
tanto La división euclidiana de por da polinomios y tal que y Configuración 
 uno obtiene
con 
Iterando este proceso con en lugar de conduce eventualmente al siguiente teorema.
Teorema - Vamos f y g sea no nulos polinomios sobre un campo K . Escribe g como un producto de potencias de distintos polinomios
irreducibles:
Hay (únicas) polinomios b y un ij con deg un ij <° p i tal que
Factores del denominador
Potencias en el denominador
Declaración
https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_of_a_polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_division_of_polynomials
https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_polynomials
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_greatest_common_divisor#B%C3%A9zout's_identity_and_extended_GCD_algorithm
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_greatest_common_divisor
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_division_of_polynomials
https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Square-free_polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_greatest_common_divisor
https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_greatest_common_divisor#B%C3%A9zout's_identity_and_extended_GCD_algorithm
Si deg f <deg g , entonces b = 0 .
La unicidad se puede demostrar de la siguiente manera. Sea d = max (1 + grados f , grados g ) . Todos juntos, b y a ij tienen d coeficientes. La forma de la
descomposición define un mapa lineal de vectores de coeficientes a polinomios f de grado menor que d . La prueba de existencia significa que este mapa es
sobreyectivo . Como los dos espacios vectoriales tienen la misma dimensión, el mapa también es inyectivo , lo que significa unicidad de la descomposición. Por
cierto, esta prueba induce un algoritmo para calcular la descomposición a través deálgebra lineal .
Si K es un campo de números complejos , el teorema fundamental del álgebra implica que todo p i tiene grado uno y todos los numeradores son constantes.
Cuando K es el campo de números reales , algunos de los p i pueden ser cuadráticos, por lo que, en la descomposición de fracciones parciales, también pueden
ocurrir cocientes de polinomios lineales por potencias de polinomios cuadráticos.
En el teorema anterior, uno puede reemplazar "polinomios irreducibles distintos" por " polinomios coprimos por pares que son coprimos con su derivada". Por
ejemplo, p i pueden ser los factores de la factorización libre de cuadrados de g . Cuando K es el campo de los números racionales , como suele ser el caso en el
álgebra computacional , esto permite reemplazar la factorización por el cálculo del máximo común divisor para calcular una descomposición de fracciones
parciales.
Para el propósito de la integración simbólica , el resultado anterior puede refinarse en
Teorema - Vamos f y g sea no nulos polinomios sobre un campo K . Escriba g como un producto de potencias de polinomios coprimos por
pares que no tienen raíz múltiple en un campo algebraicamente cerrado:
Hay polinomios (únicos) b y c ij con deg c ij <deg p i tales que
donde denota la derivada de 
Esto reduce el cálculo de la antiderivada de una función racional a la integración de la última suma, que se llama parte logarítmica , porque su antiderivadaes
una combinación lineal de logaritmos. De hecho, tenemos
Hay varios métodos para calcular la descomposición anterior. El que es más simple de describir es probablemente el llamado método de Hermite . Como el
grado de c ij está limitado por el grado de p i , y el grado de b es la diferencia de los grados de f y g (si esta diferencia no es negativa; de lo contrario, b = 0), se
pueden escribir estas incógnitas polinomios como polinomios con coeficientes desconocidos. Reduciendo los dos miembros de la fórmula anterior al mismo
denominador y escribiendo que los coeficientes de cada potencia de x son los mismos en los dos numeradores, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales que
se puede resolver para obtener los valores deseados para los coeficientes de incógnitas.
Dados dos polinomios y , donde α i son constantes distintas y grados P < n , las fracciones parciales
generalmente se obtienen suponiendo que
y resolver las constantes c i , por sustitución, igualando los coeficientes de términos que involucran las potencias de x , o de otra manera. (Esta es una variante
del método de coeficientes indeterminados ).
Un cálculo más directo, que está fuertemente relacionado con la interpolación de Lagrange, consiste en escribir
donde es la derivada del polinomio .
Este enfoque no tiene en cuenta varios otros casos, pero se puede modificar en consecuencia:
Si entonces es necesario realizar la división euclidiana de P por Q , usando división polinomial larga , dando P ( x ) = E ( x ) Q ( x ) + R ( x
) con grados R < n . Dividiendo por Q ( x ) esto da
Aplicación a la integración simbólica
Procedimiento
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map
https://en.wikipedia.org/wiki/Surjective
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space
https://en.wikipedia.org/wiki/Injective
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Pairwise_coprime
https://en.wikipedia.org/wiki/Pairwise_coprime
https://en.wikipedia.org/wiki/Square-free_factorization
https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_greatest_common_divisor
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_greatest_common_divisor
https://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_integration
https://en.wikipedia.org/wiki/Antiderivative
https://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Hermite
https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations
https://en.wikipedia.org/wiki/Equating_the_coefficients
https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_undetermined_coefficients
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_interpolation
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial#Divisibility
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division
y luego busque fracciones parciales para la fracción restante (que por definición satisface grados R <grados Q ).
Si Q ( x ) contiene factores que son irreducibles en el campo dado, entonces el numerador N ( x ) de cada fracción parcial con tal factor F ( x ) en el
denominador debe buscarse como un polinomio con grados N <grados F , más que como una constante. Por ejemplo, tome la siguiente
descomposición sobre R :
Suponga que Q ( x ) = ( x - α ) r S ( x ) y S ( α ) ≠ 0. Entonces Q ( x ) tiene un α cero de multiplicidad r , y en la descomposición de la fracción parcial , r de
las fracciones parciales será involucran las potencias de ( x - α ). A modo de ilustración, tome S ( x ) = 1 para obtener la siguiente descomposición:
En una aplicación de ejemplo de este procedimiento, (3 x + 5) / (1 - 2 x ) 
2
 se puede descomponer en la forma
Borrar denominadores muestra que 3 x + 5 = A + B (1 - 2 x ) . Al expandir e igualar los coeficientes de potencias de x se obtiene
5 = A + B y 3 x = –2 Bx
Al resolver este sistema de ecuaciones lineales para A y B se obtiene A = 13/2 y B = –3/2 . Por eso,
Sobre los números complejos, suponga que f ( x ) es una fracción racional propia y se puede descomponer en
Dejar
entonces, de acuerdo con la unicidad de la serie de Laurent , a ij es el coeficiente del término ( x - x i ) 
−1
 en la expansión de Laurent de g ij ( x ) sobre el punto x
i , es decir, su residuo
Esto viene dado directamente por la fórmula
o en el caso especial cuando x i es una raíz simple,
Cuándo
Las fracciones parciales se utilizan en el cálculo integral de variables reales para encontrar antiderivadas con valores reales de funciones racionales . La
descomposición en fracciones parciales de funciones racionales reales también se usa para encontrar sus transformadas inversas de Laplace . Para aplicaciones
de descomposición de fracciones parciales sobre los reales , consulte
Aplicación a la integración simbólica , arriba
Fracciones parciales en transformadas de Laplace
Ilustración
Método de residuos
Sobre los reales
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicity_(mathematics)#Multiplicity_of_a_root_of_a_polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Clearing_denominators
https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations
https://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series#Uniqueness
https://en.wikipedia.org/wiki/Residue_(complex_analysis)
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_calculus
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Antiderivative
https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Laplace_transform
https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fractions_in_Laplace_transforms
Sea f ( x ) cualquier función racional sobre los números reales . En otras palabras, suponga que existen funciones polinomiales reales p ( x ) yq ( x ) ≠ 0, tales
que
Al dividir tanto el numerador como el denominador por el coeficiente principal de q ( x ), podemos suponer sin pérdida de generalidad que q ( x ) es mónico .
Por el teorema fundamental del álgebra , podemos escribir
donde a 
1
 , ..., a m , b 1 , ..., b n , c 1 , ..., c n son números reales con b i
 2
 - 4 c i <0, y j 1 , .. ., j m , k 1 , ..., k n son números enteros positivos. Los términos ( x - a i )
son los factores lineales de q ( x ) que corresponden a raíces reales deq ( x ), y los términos ( x i
 2
 + b i x + c i ) son los factores cuadráticos irreducibles de q ( x )
que corresponden a pares de raíces conjugadas complejas de q ( x ).
Entonces, la descomposición de la fracción parcial de f ( x ) es la siguiente:
Aquí, P ( x ) es un polinomio (posiblemente cero), y A ir , B ir y C ir son constantes reales. Hay varias formas de encontrar las constantes.
El método más sencillo es multiplicar por el denominador común q ( x ). Entonces obtenemos una ecuación de polinomios cuyo lado izquierdo es simplemente
p ( x ) y cuyo lado derecho tiene coeficientes que son expresiones lineales de las constantes A ir , B ir y C ir . Dado que dos polinomios son iguales si y solo si sus
coeficientes correspondientes son iguales, podemos igualar los coeficientes de términos semejantes. De esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones lineales
que siempre tiene una solución única. Esta solución se puede encontrar utilizando cualquiera de los métodos estándar de álgebra lineal.. También se puede
encontrar con límites (ver Ejemplo 5 ).
Aquí, el denominador se divide en dos factores lineales distintos:
entonces tenemos la descomposición de la fracción parcial
Multiplicar por el denominador en el lado izquierdo nos da la identidad polinomial
Sustituyendo x = −3 en esta ecuación da A = −1/4, y sustituyendo x = 1 da B = 1/4, de modo que
Después de una división larga , tenemos
El factor x 
2
 - 4 x + 8 es irreducible sobre los reales, ya que su discriminante (−4) 
2
 - 4 × 8 = - 16 es negativo. Así, la descomposición de la fracción parcial
sobre los reales tiene la forma
Multiplicando a través de por x 
3
 - 4 x 
2
 + 8 x , tenemos la identidad polinomio
Resultado general
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo2
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Without_loss_of_generality
https://en.wikipedia.org/wiki/Monic_polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division
https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant
Tomando x = 0, vemos que 16 = 8 A , entonces A = 2. Comparando los coeficientes x 
2
 , vemos que 4 = A + B = 2 + B , entonces B = 2. Comparando coeficientes
lineales, vemos que - 8 = −4 A + C = −8 + C , entonces C = 0. En total,
La fracción se puede descomponer completamente usando números complejos . Según el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio complejo de grado
n tiene n raíces (complejas) (algunas de las cuales pueden repetirse). La segunda fracción se puede descomponer en:
Multiplicar por el denominador da:
Al igualar los coeficientes de xy los coeficientes constantes (con respecto a x ) de ambos lados de esta ecuación, se obtiene un sistema de dos ecuaciones lineales
en D y E , cuya solución es
Así tenemos una descomposición completa:
También se pueden calcular directamente A , D y E con el método del residuo (ver también el ejemplo 4 a continuación).
Este ejemplo ilustra casi todos los "trucos" que podríamos necesitar utilizar, salvo consultar un sistema de álgebra de computadora .
Después de una división larga y factorizar el denominador, tenemos
La descomposición de la fracción parcial toma la forma
Multiplicando por el denominador en el lado izquierdo tenemos la identidad polinomial
Ahora usamos diferentes valores de x para calcular los coeficientes:
Resolviendo esto tenemos:
Usando estos valores podemos escribir:
Comparamos los coeficientes de x 
6
 y x 
5
 en ambos lados y tenemos:
Ejemplo 3
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_numbers
https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_factorization
Por lo tanto:
lo que nos da B = 0. Por lo tanto, la descomposición de la fracción parcial está dada por:
Alternativamente, en lugar de expandirse, se pueden obtener otras dependencias lineales de los coeficientes calculando algunas derivadas en en la
identidad polinomial anterior. (Con este fin, recuerde que la derivada en x = a de ( x - a ) m p ( x ) desaparece si m > 1 y es solo p ( a ) para m = 1.) Por ejemplo,
la primera derivada en x = 1 da
eso es 8 = 4 B + 8 entonces B = 0.
Por tanto, f ( z ) se puede descomponer en funciones racionales cuyos denominadores son z +1, z −1, z + i, z −i. Como cada término es de potencia uno, −1, 1, - i
y i son polos simples.
Por lo tanto, los residuos asociados con cada polo, dados por
son
respectivamente, y
Los límites se pueden usar para encontrar una descomposición de fracciones parciales. [4] Considere el siguiente ejemplo:
Primero, factoriza el denominador que determina la descomposición:
Multiplicando todo por , y tomando el límite cuando , obtenemos
Por otro lado,
y por lo tanto:
Multiplicando por xy tomando el límite cuando , tenemos
y
Esto implica A + B = 0 y entonces .
Ejemplo 4 (método de residuos)
Ejemplo 5 (método de límite)
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_(mathematics)
Para x = 0 , obtenemos y por lo tanto .
Poniendo todo junto, obtenemos la descomposición
Supongamos que tenemos la integral indefinida :
Antes de realizar la descomposición, es obvio que debemos realizar la división larga polinomial y factorizar el denominador. Hacer esto resultaría en:
Sobre esto, ahora podemos realizar una descomposición de fracciones parciales.
asi que:
.
Al sustituir nuestros valores, en este caso, donde x = 1 para resolver B y x = -2 para resolver A, obtendremos:
Conectar todo esto nuevamente a nuestra integral nos permite encontrar la respuesta:
La descomposición en fracciones parciales de una función racional se puede relacionar con el teorema de Taylor de la siguiente manera. Dejar
ser polinomios reales o complejos suponga que
satisface
También defina
Entonces nosotros tenemos
si, y solo si, cada polinomio es el polinomio de Taylor de de orden en el punto :
El teorema de Taylor (en el caso real o complejo) proporciona una prueba de la existencia y unicidad de la descomposición de fracciones parciales y una
caracterización de los coeficientes.
Ejemplo 6 (integral)
El papel del polinomio de Taylor
Bosquejo de la prueba
https://en.wikipedia.org/wiki/Integral
https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem
La descomposición de la fracción parcial anterior implica, para cada 1 ≤ i ≤ r , una expansión polinomial
asi que es el polinomio de Taylor de , debido a la unicidad de la expansión polinomial de orden , y por suposición .
Por el contrario, si el son los polinomios de Taylor, las expansiones anteriores en cada sostener, por lo tanto también tenemos
lo que implica que el polinomio es divisible por 
Para también es divisible por , asi que
es divisible por . Ya que
entonces tenemos
y encontramos la descomposición de la fracción parcial dividiendo por .
La idea de fracciones parciales se puede generalizar a otros dominios integrales , digamos el anillo de números enteros donde los números primos toman el
papel de denominadores irreducibles. Por ejemplo:
1. Larson, Ron (2016). Álgebra y trigonometría (https://books.google.com/books?id=Ft-5DQAAQBAJ&q=partial+fraction%27&pg=PA662) . Aprendizaje
Cengage. ISBN 9781337271172.
2. Horowitz, Ellis. " Algoritmos para la descomposición de fracciones parciales y la integración de funciones racionales (ftp://ftp.cs.wisc.edu/pub/techreports/1
970/TR91.pdf) ". Actas del segundo simposio ACM sobre manipulación simbólica y algebraica. ACM, 1971.
3. Grosholz, Emily (2000). El crecimiento del conocimiento matemático . Publicadores académicos de Kluwer. pag. 179. ISBN 978-90-481-5391-6.
4. Bluman, George W. (1984). Libro de problemas para el cálculo del primer año . Nueva York: Springer-Verlag. págs. 250-251.
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152-154. doi : 10.1109 / TE.1968.4320370 (https://doi.org/10.1109%2FTE.1968.4320370) .
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Chang, Feng-Cheng (1973). "Fórmulas recursivas para la expansión de fracciones parciales de una función racional con múltiples polos". Proc. IEEE . 61
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Kung, HT; Tong, DM (1977). "Algoritmos rápidos para descomposición de fracciones parciales". Revista SIAM de Computación . 6 (3): 582. doi : 10.1137 /
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ill_g1q3/page/364) (3ª ed.). Addison-Wesley Educational Publishers, Inc. págs. 364–370 (https://archive.org/details/fundamentalsofco0000mill_g1q3/page/
364) . ISBN 0-673-38638-4.
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Fracciones de números enteros
Notas
Referencias
https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_domain
https://en.wikipedia.org/wiki/Integer
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https://books.google.com/books?id=Ft-5DQAAQBAJ&q=partial+fraction%27&pg=PA662
https://en.wikipedia.org/wiki/ISBN_(identifier)
https://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/9781337271172
ftp://ftp.cs.wisc.edu/pub/techreports/1970/TR91.pdf
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https://doi.org/10.1016%2F0377-0427%2883%2990018-3
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