Raiz de Ec monovariables - Biseccion y Regula Falsi

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RAICES DE ECUACIONES NO 
LINEALES DE UNA VARIABLE
f(x) = 0
Lic. WALTER ANTONIO HUALLPA GUTIERREZ
Métodos de solución de ecuaciones de una variable. 
Localización de soluciones. Bisección. Regula Falsi y Regula 
Falsi modificado.
Se tiene un recipiente en forma esférica de radio R =
4 m. Hallar la profundidad “h” de modo que el
volumen de agua contenida sea de 80 m3. La relación
entre el volumen, el radio y la profundidad se
muestra en la fórmula.
𝑉 = 𝜋ℎ2
3𝑅 − ℎ
3
INTRODUCCION
El cálculo de las raíces de las ecuaciones es un
problema que se enfrenta mediante diversos
métodos. Determinando las raíces de una ecuación
se puede hallar los valores máximos y mínimos,
valores propios de matrices, resolver sistemas de
ecuaciones lineales y diferenciales, etc.
Un método consiste en graficar la función y ubicar el
punto donde la gráfica intercepta al eje de las
abscisas o eje x. Pero el método grafico no es preciso
por eso se necesita otros métodos más efectivos.
Métodos cerrados
Estos métodos encierran la función en un intervalo
donde dicha función cambia de signo para tener una
raíz dentro de este intervalo y luego empezar a reducir
por medios de algoritmos el tamaño del intervalo.
• Método de la Bisección.
• Método de Regula falsi (regla falsa) o Falsa posición.
c
xa
xb
Xa  c  Xb
Métodos abiertos
Estos métodos solo necesitan un valor inicial, pues no
encierran la raíz. En algunos casos la operación
diverge (se aleja de la raíz) y otros converge (se acerca
a la raíz) hallando de manera más efectiva la raíz.
• Método de Punto fijo.
• Método de Newton – Raphson.
• Método de la Secante.
c
x0
c
x0
TEOREMAS DE BOLZANO
Sea f  C [a, b] tal que f(a).f(b) < 0 entonces existe un c 
 <a, b> tal que f(c) = 0
c
c
xa
xb xa
xb
Los métodos que se utilizan para hallar la raíz, se
diferencian en el modo en que se aproximan a c.
MÉTODO DE BISECCIÓN
Sea f(x) una función continua y que cambia de signo en
los extremos de [a; b]. Basándonos en el teorema de
Bolzano, podemos aproximar una solución de la
ecuación f(x) = 0 dividiendo el intervalo inicial en dos
sub intervalos iguales. Se elige un nuevo intervalo que
es la mitad de anterior, teniendo en cuenta que siga
encerrando a la raíz.
Se repite el proceso hasta que se cumpla con el criterio
de parada.
El valor de la primera
aproximación es “c” y está
en el punto medio entre
“a” y “b”. En el gráfico, “a”
toma el valor de “c”, de
modo que otra vez la raíz
está entre “a” y “b”.
c
a
b
ERROR ABSOLUTO MAXIMO DEL METODO 
DE BISECCION
Sea {mn}n=0,1… la sucesión de aproximaciones de x
obtenidas mediante el método de Bisección y en =
|x - mn|, para n = 0, 1, . . ., para aproximar f(x) a
cero
Entonces
𝑒𝑛 ≤
𝑏 − 𝑎
2𝑛+1
Esquema de demostración
ALGORITMO BISECCION
1. Definir el error
2. Elegir a y b de modo que f(a).f(b) <0
3. Calcular c=(a+b)/2
4. Si f(c).f(a) < 0 entonces
3.1 tomar b=c
3.2 o si no a=c
5. Definir c1 = c
6. Recalcular c=(a+b)/2
7. Si f(c).f(a) < 0 entonces
7.1 tomar b=c
7.2 o si no a=c
8. Repetir desde 5 si error<=abs(c1-c) 
9. Imprimir c
Método de la bisección con excel
A B C D E F G H
1 i a b c fa fb fc Error
2 0
3 1
Construir la función llamada Valorx, cuyos argumentos 
sean i, fa y fc. Esta función calcula el nuevo valor de “a”. 
También debe servir para calcular el nuevo valor b.
Desde la fila 3 hacia abajo se le debe dar formato 
condicional, de modo que si el valor absoluto de la 
diferencia de dos valores consecutivos de fc son 
menores o iguales al error (H2) toda la fila se debe 
rellenar de color naranja.
MÉTODO DE REGULA-FALSI
Es refinamiento del método de Bisección, eligiendo la
aproximación m a distancias de a y b proporcionales a
f(a) y f(b).
El método consiste en encontrar dos valores a y b de
modo que f(a).f(b) < 0.
Trazar una recta entre los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
El valor aproximado (c) de la raíz es el punto donde la
recta corta al eje x.
Si el error de la aproximación no es el deseado, se
asigna el valor de c a “a” o a “b”, de modo que la raíz
esté encerrado entre a y b.
El primer valor de la
iteración es “c”, que es el
valor donde la recta cruza
al eje x.
En la gráfica, “a” toma el
valor de “c”, de modo que
la raíz se encuentra entre
“a” y “b”c
a
b
f(a)
f(b)
𝑐 =
𝑓 𝑏 . 𝑎 − 𝑓 𝑎 . 𝑏
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
f(x) = x2 - 5
Análisis del método
El algoritmo tiene el inconveniente de que si la función
es convexa o cóncava cerca de la solución, el extremo
del intervalo más alejado de la solución queda fijo
variando únicamente el más cercano, convergiendo
muy lentamente.
La situación en que el método falla es fácil de detectar
(el mismo extremo del intervalo se elige dos veces
seguidas) y fácil de corregir eligiendo un ck diferente.
Si f(b) se repite dos veces, la nueva recta se toma con el 
nuevo valor (b, 0.5f(b)). 
Si f(a) se repite dos veces, la nueva recta se toma con el 
nuevo valor (a, 0.5f(a)).
c
a
b
f(a)
f(b)
f(b)/2
L1
L2
c
a
b
f(a)
f(b)
f(a)/2
L1
L2
f(x) = x2 - 5
METODO REGULA FALSI 
MODIFICADO
La recta L1 es la recta definida por el método de Regula
falsi. A fin de acelerar la convergencia se utiliza una
recta con menor pendiente, el punto c es la
intersección de la recta L2 con el eje horizontal. Se
puede presentar dos casos:
c
a
b
f(a)
f(b)
L1
c
a
b
f(a)
f(b)
L1
c
a
b
f(a)
f(b)
f(b)/2
L1
L2
c
a
b
f(a)
f(b)
f(a)/2
L1
L2
Se deja de iterar cuando “c” cambia de signo o es
menor que el error.
El calculo de “c” es el mismo que de la regula falsi, pero
se debe detener en cuenta el nuevo valor de f(a) o de
f(b) según sea el caso.
𝑐 =
𝑓 𝑏 . 𝑎 − 𝑓 𝑎 . 𝑏
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)