Raices de Polinomios

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METODOS DE SOLUCION DE 
POLINOMIOS
LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES POR LAS REGLA DE 
DESCARTES. METODOS DE MULLER Y DE BAIRSTOW. 
ITERACIÓN DE PUNTO FIJO. NEWTON-RAPHSON.
Lic. Walter Antonio Huallpa Gutiérrez
https://www.youtube.com/watch?v=NPv9PJFgCMc
Un polinomio es una suma de términos llamados
monomios.
an x
n + an-1 x
n-1 + an-2 x
n-2 + ... + a2 x
2 + a1 x + a0 = 0
Un monomio es el producto de un coeficiente (un
número real), una variable elevada a un exponente
(entero positivo).
En 1798, a los 20 años de edad , Gauss demostró el
teorema fundamental del Álgebra:
Todo polinomio de grado n tiene n raíces.
Las raíces pueden ser reales o complejas. Además las
raíces no necesariamente son distintas.
Si n es impar, existe por lo menos una raíz real.
Si existen raíces complejas, estas se encuentran en
número por pares conjugados.
Una forma más sencilla de escribir un polinomio es,
P(x) = (x - r1) (x – r2) (x – r3) . . . 
Donde r1, r2, r3 , son raíces del polinomio.
Regla de los signos de Descartes
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a
identificar el número posible de raíces reales de un
polinomio p(x) sin graficar o resolverlas realmente.
La regla establece que el número posible de las raíces
positivas de un polinomio es igual al número de
cambios de signo en los coeficientes de los términos o
menor que los cambios de signo por un múltiplo de 2.
Por ejemplo, si hay 3 cambios de signo en los
coeficientes de los términos del polinomio, entonces el
número posible de raíces positivas es 3 o 1.
Ejemplo: Encontrar el número de las raíces positivas
del polinomio. x3 + 3 x2 – x – x4– 2
Arregle los términos del polinomio en orden
descendente de los exponentes: – x4 + x3 + 3 x2– x – 2
Contar el número de cambios de signo:
Hay 2 cambios de signo en el polinomio, así que el número
posible de raíces positivas del polinomio es 2 o 0.
COROLARIO DE LA REGLA DE LOS SIGNOS 
DE DESCARTES
Primero reescriba el polinomio dado al sustituir –
x por x . Esto es igual a anular los coeficientes de los
términos de las potencias impares.
La regla del corolario establece que el número posible
de las raíces negativas del polinomio original es igual al
número de cambios de signo (en los coeficientes de los
términos después de anular los términos de las
potencias impares) o menor que los cambios de signo
por un múltiplo de 2.
Ejemplo: Encuentre el número posible de raíces
reales del polinomio y verifique. x3– x2 – 14 x + 24
Los términos del polinomio ya están en el orden
descendente de exponentes.
Cuente el número de cambios de signo:
Hay 2 cambios de signo en el polinomio y el número
posible de raíces positivas del polinomio es 2 o 0.
Para averiguar el numero de raíces negativas, se sustituye – x por
x en el polinomio y se simplifica:
Contar el número de cambios de signo:
Hay 1 cambio de signo en el segundo polinomio, el número
posible de raíces negativas del polinomio original es 1.
El polinomio puede ser reescrito como: ( x – 2)( x – 3)( x + 4)
Podemos verificar que hay 2 raíces positivas y 1 raíz negativa del
polinomio dado.
Dese cuenta que las raíces repetidas de un polinomio son
contadas por separado.
METODO DE NEWTON
p(x) = x3 – 2x – 5 = 0 . . . . . (1)
Se puede ver que x = 2, es una solución aproximada de la
ecuación.
Debe existir un p, tal que sumado (o restado) a 2 de una mejor
solución. Entonces sea x = 2+p . . . . (2)
Reemplacemos en el polinomio (1) original,
(2+p)3 – 2(2+p) – 5 = 0 . . . . (3)
p3 + 6p2 + 10p - 1 = 0, . . . . . (4)
como p es pequeño, no se toma en cuenta los términos mayores
o iguales al cuadrático.
10p – 1  0, p = 0.1 . . . . .(5)
Una mejor solución será x = 2 + p = 2.1 . . . (6)
Recordemos que p es solución a la ecuación (4), es decir debe
existir un q, que sumado a la raíz hallada en (5), nos de una
mejor raíz que 0.1,
Entonces sea un p = 0.1 + q . . . . (7)
reemplacemos (7) en la ecuación (4)
(0.1+q)3 + 6(0.1+q)2 + 10(0.1+q) -1 = 0 . . . . (8)
q3 + 6.3q2 + 11.23q + 0.06 = 0 . . . . . (9)
como q es pequeño, no se toma en cuenta los términos mayores
o iguales al cuadrático.
q = -0.06/11.23 = -0.005342 . . . . (10)
Una segunda mejor solución es x = 2 + p + q = 2.094657 . . . (11)
Una siguiente aproximación para x, será a través de tomar un r,
tal que q = -0.00534 + r es una mejor solución para la ecuación
(9), despreciando los términos cuadráticos y superiores se halla
el valor de r, el cual se debe sumar a la relación (11).
METODO DE NEWTON-RAPHSON
Se elige un punto (x0). Se crea una recta que sea tangente
a la función f(x) y que pase por (x0), la intersección de la
recta con el eje horizontal es el nuevo valor de la iteración.
c
x1
RAICES MULTIPLES
En el caso de las raíces múltiples pares la función no cambia de
signo.
Ejemplos: f(x) = (x-2)(x-2)(x-1); g(x)=(x-2)(x-2)(x-2)(x-2)(x-1)
f(x)
g(x)
Raíz doble Raíz cuádruple
Ralston y Rabinowitz 1978
La derivada tiende a cero cerca de las raíces pares, por lo que
Ralston y Rabinowitz plantean una modificación en el método de
Newton-Raphson,
Donde m es la multiplicidad de la raíz (m = 3, raíz triple)
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −𝑚
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓´(𝑥𝑖)
Otra alternativa planteada por Ralston y Rabinowitz consiste en
definir una nueva función u(x)
𝑢 𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑓´(𝑥)
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑢(𝑥𝑖)
𝑢´(𝑥𝑖)
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓 𝑥𝑖 𝑓´(𝑥𝑖)
𝑓´(𝑥𝑖 )
2 − 𝑓 𝑥𝑖 𝑓"(𝑥𝑖)
METODO DE MULLER
Se utiliza tres puntos inicialmente para construir una parábola,
(x0, f(x0)); (x1, f(x1)); (x2, f(x2)), la intersección de esta parábola
con el eje horizontal, es la primera raíz aproximada (x3). Luego
se toma los últimos tres puntos (x1, f(x1)); (x2, f(x2)); (x3, f(x3)) y
se sigue iterando.
0
1 2
3
x3
f(x)
Raíz
X3 = Raíz estimada
La aproximación se facilita al escribir la ecuación de la parábola
en una forma conveniente,
f2(x) = a(x – x2)
2 + b(x – x2) + c . . . . . . (1)
Se desea que la parábola pase por tres puntos
(x0, f(x0)), (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)). 
Los coeficientes de la ecuación (1) se evalúan sustituyendo
cada uno de esos tres puntos para dar
f(x0) = a(x0 – x2)
2 + b(x0 – x2) + c . . . . . . . (2)
f(x1) = a(x1 – x2)
2 + b(x1 – x2) + c . . . . . . . (3)
f(x2) = a(x2 – x2)
2 + b(x2 – x2) + c . . . . . . . (4)
Debido a que se tienen tres ecuaciones, es posible encontrar
los tres coeficientes desconocidos a, b y c.
Se encuentra inmediatamente que c = f(x2). Así, el coeficiente c
es igual al valor de la función evaluada en el tercer valor inicial,
x2. Este resultado se sustituye en las ecuaciones (2) y (3) para
tener dos ecuaciones con dos incógnitas:
f(x0) – f(x2) = a(x0 – x2)
2 + b(x0 – x2) . . . . . . . . (5)
f(x1) – f(x2) = a(x1 – x2)
2 + b(x1 – x2) . . . . . . . . (6)
Definamos,
h0 = x1 – x0; h1 = x2 – x1; . . . (7)
. . . (8)𝛿0 =
𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
; 𝛿1 =
𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
(7) y (8) se sustituyen en las ecuaciones (5) y (6) para dar
(h0 + h1)b – (h0 + h1)
2a = h00 + h1 1 . . . . (9)
h1 b – h1
2 a = h1 1 . . . . (10)
de donde se despejan a y b. El resultado se resume como
. . . . . (11)
b = ah1 + 1
c = f(x2) 
Para encontrar la raíz se aplica la fórmula cuadrática a la
ecuación (1).
𝑎 =
𝛿1 − 𝛿0
ℎ1 − ℎ0
Sin embargo, debido al error de redondeo potencial, en lugar
de usar la forma convencional, se usará la fórmula alternativa
(para b2>>4ac), es decir,
. . . (12)
O despejando x3,
. . . (13)
Al usar la fórmula cuadrática, es posible localizar tanto las
raíces reales como las complejas. Ésta es la mayor ventaja del
método.
𝑥3 − 𝑥2 =
−2𝑐
𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥3 = 𝑥2 +
−2𝑐
𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Ahora, un problema de la ecuación (13) es que produce dos
raíces, correspondientes a los términos ± del denominador. En el
método de Müller, se escoge el signo que coincida con el signo
de b. Esta elección proporciona como resultado el denominador
más grande y, por lo tanto, dará la raíz estimada más cercana a
x2.
Una vez que se determinó x3, el proceso se repite. Esto trae el
problema de queun valor es descartado. En general, dos
estrategias son comúnmente usadas.
1. Si sólo se localizan raíces reales, elegimos los dos valores
originales más cercanos a la nueva raíz estimada, x3.
2. Si se localizan raíces reales y complejas, se emplea un método
secuencial. Es decir, como en el método de la secante, x1, x2 y
x3 toman el lugar de x0, x1 y x2.
Ejemplo: Sea un polinomio P(x) = 2x3 + 3x -5.
Como la raíz esta cerca a 1.5, escojamos los siguientes puntos
x0=1.1, x1=1.2, x2=1.3, por lo que evaluando en el polinomio
se tiene, f(x0)=0,962, f(x1)= 2.056, f(x2)= 3.294,
Sea la parábola: P(x) = ax2 + bx + c
Entonces 
0.962 = a(1.1)2 + b(1.1) + c
2.056 = a(1.2)2 + b(1.2) + c
3.294 = a(1.3)2 + b(1.3) + c
Efectuando,
0.962 = 1.21a + 1.1b + c
2.056 = 1.44a + 1.2b + c
3.294 = 1.69a + 1.3b + c
Resolveremos el sistema de ecuaciones lineales, resultando
a = 7.2, b = -5.62, c = -1.568
Entonces la parábola es 7.2x2 -5.62x -1.58, hallemos el
punto donde la parábola corta al eje x, 0 = 7.2x2 -5.62x -
1.58.
Utilicemos la fórmula del discriminante, arrojando dos
soluciones x31 = 0.99863172, x32 = -0.21807617, nos
quedamos con la solución x3 = 0.99863172, por estar mas
cerca a la raíz del polinomio.
f(x3)=-0,01230327
Tomamos los puntos (x1, f(x1)); (x2, f(x2)); (x3, f(x3)) y
volvemos a repetir el proceso hasta que el criterio de
parada se cumpla.
METODO DE BAIRSTOW
Este método sirve para calcular las raíces reales y complejas de
un polinomio p(x) de coeficientes reales. Para ello se sigue el
procedimiento que se indica:
1. Se divide el polinomio p(x) entre un polinomio de grado 2,
x2 – rx – s, para lo cual se toma en forma arbitraria los
valores de r y s, determinando el residuo.
2. Si el residuo del paso anterior es cero, entonces se busca
hallar las raíces del polinomio de grado que serían dos
raíces del polinomio p(x), para ello se utiliza la fórmula
discriminante y se vuelve al paso 1, con un nuevo polinomio
de grado n-2.
2.1 Si el residuo del paso 1 no es cero, se busca modificar los
valores de r y s y se vuelve al paso 1.
Generando los valores de r y s
Ahora tratemos de encontrar la relación que debo utilizar para
generar el nuevo r (es decir r+r) y el nuevo s (es decir s+s)
Utiliza el siguiente teorema:
Si el polinomio pn(x) = anx
(n) + . . . + a0 . . . . (1)
se divide entre el polinomio cuadrático
x2 – r x – s . . . . (2)
entonces el cociente (pn-2) y el residuo (R) son:
pn-2(x) = bnx
(n-2) + bn-1x
(n-3) + . . . + b3x + b2 . . . . (3)
R(x) = b1(x - r) + b0 . . . . . . . (4)
y pueden calcularse de forma recursiva haciendo
bn = an . . . . (5)
bn-1 = an-1 + r bn . . . . . .(6)
bk = ak + rbk+1 + sbk+2; k = n-2 a 0 . . . . . (7)
De la ecuación 7, se deduce que b0 y b1 dependen de los
valores que tomen r y s, es decir b0 = b0(r,s) y b1 = b1(r,s)
El método propone BAIRSTOWN es que b1 y b0 se hallen
utilizando el método de Newton-Raphson para resolver un
sistema de 2 ecuaciones, que se obtienen al utilizar la serie de
Taylor para aproximar los valores de b1 y b0.
𝑏1(𝑟 + ∆𝑟, 𝑠 + 𝑠) = 𝑏1 +
𝜕𝑏1
𝜕𝑟
∆𝑟 +
𝜕𝑏1
𝜕𝑠
∆𝑠
𝑏0(𝑟 + ∆𝑟, 𝑠 + 𝑠) = 𝑏0 +
𝜕𝑏0
𝜕𝑟
∆𝑟 +
𝜕𝑏0
𝜕𝑠
∆𝑠
Los incrementos de r y s se estiman igualando a cero las dos
ecuaciones anteriores, lo cual implica que el residuo debe ser
cero.
Bairstow demostró que las derivadas parciales se pueden
obtener por división sintética en la misma forma como las b
han sido obtenidas
cn = bn . . . . (12)
cn-1 = bn-1 + r cn . . . . . .(13)
ck = bk + rck+1 + sck+2 ; k = n-2 a 1 . . . . . (14)
−𝑏1 =
𝜕𝑏1
𝜕𝑟
∆𝑟 +
𝜕𝑏1
𝜕𝑠
∆𝑠
-𝑏0 =
𝜕𝑏0
𝜕𝑟
∆𝑟 +
𝜕𝑏0
𝜕𝑠
∆𝑠
donde
𝑐1 =
𝜕𝑏0
𝜕𝑟
𝑐2 =
𝜕𝑏0
𝜕𝑠
=
𝜕𝑏1
𝜕𝑟
𝑐3 =
𝜕𝑏1
𝜕𝑠
Las ecuaciones (10) y (11) quedan,
−𝑏1= 𝑐2∆𝑟 + 𝑐3 ∆𝑠 . . . . . . . (18)
−𝑏0 = 𝑐1∆𝑟 + 𝑐2 ∆𝑠 . . . . . . . (19)
Para hallar los incrementos resolvemos las ecuaciones (18) y (19)
Si los incrementos están dentro del error, se reemplazan estos
valores en la ecuación (1) y se utiliza la forma del discriminante
para hallar las dos raíces, lo cual tal vez permita hallar las raíces
imaginarias.
Se trata de un proceso iterativo que combina los métodos de
Muller y Newton-Rapshon. Para poder realizarlo, debemos de
partir de dos polinomios cuadráticos:
Si x2 – r x – s, fuese un divisor exacto del polinomio,
las raíces del polinomio de grado dos pueden
hallarse utilizando la fórmula del discriminante. Por
lo que el método consiste en hallar los valores de r y
s que hacen que el residuo sea nulo.
http://www.academia.edu/3524281/Metodo_de_Bairstow._Raices_de_
Polinomios