Sistema de ecuaciones no lineales

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SISTEMAS DE ECUACIONES 
NO LINEALES
Ecuaciones simultáneas no lineales. 
Iteración de punto fijo. Newton-
Raphson
Lic. Walter Antonio Huallpa Gutiérrez
SISTEMA DE ECUACIONES
NO LINEALES
Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al
menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.
Por ejemplo,
2x + y - 3z = 2
X2 + 3y2 – z3 = 5
3x – 3y + z2 = 3 
Se considera la búsqueda de la solución de un sistema
de ecuaciones no lineales del tipo
donde las fi son funciones reales. Se supondrá, como
hipótesis, que dichas funciones son diferenciables en la
medida de lo requerido por los métodos que se
exponen.
Utilizando notación vectorial,
con lo cual el sistema anterior se escribe
El valor inicial de iteración,
METODO PUNTO FIJO 
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Sea el sistema de ecuaciones,
El primer paso a dar es transformar el sistema dado en 
otro de la forma
A partir de la elección de las funciones ϕi se genera
recursivamente la sucesión de vectores en el espacio de
n dimensiones, a partir de la aproximación inicial x0
Ejemplo: Utilizando el método de Punto Fijo, hallar las 
raíces.
Hagamos,
Tomemos x0 = 1, y0 = 1
METODO DE NEWTON RAPHSON
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Sea el sistema de ecuaciones,
Con su primera aproximación, Ԧ𝑥(0)
Un incremento ℎ
Siendo el valor iterado,
Ԧ𝑥 = Ԧ𝑥(0) + ℎ
El desarrollo en serie de Taylor para la función vectorial
f puede escribirse,
El operador “nabla” y las “potencias” colocadas entre
paréntesis son simbólicas. Por ejemplo
Limitando el desarrollo a los términos lineales se tiene,
Suponiendo ahora que los valores de hi calculados
a partir de este sistema son aquellos que anulan
las funciones fi, es decir los valores xi (0) + hi son
exactamente las raíces del sistema no lineal que se
está resolviendo, se tendrá,
Debe observarse que la matriz 
no es otra cosa que el Jacobiano de las funciones fi con 
respecto a las variables xi
Entonces, despejando queda,
Para un sistema de 2 ecuaciones no lineales.
Utilicemos el desarrollo de Taylor hasta dos términos
Expandiendo los términos
𝑓1 𝑥0, 𝑦0 + ℎ1
𝜕𝑓1(𝑥0,𝑦0)
𝜕𝑥
+ ℎ2
𝜕𝑓1(𝑥0,𝑦0)
𝜕𝑦
= 0
𝑓2 𝑥0, 𝑦0 + ℎ1
𝜕𝑓2(𝑥0,𝑦0)
𝜕𝑥
+ ℎ2
𝜕𝑓2(𝑥0,𝑦0)
𝜕𝑦
= 0
−𝑓1 𝑥0, 𝑦0 = ℎ1
𝜕𝑓1(𝑥0,𝑦0)
𝜕𝑥
+ ℎ2
𝜕𝑓1(𝑥0,𝑦0)
𝜕𝑦
−𝑓2 𝑥0, 𝑦0 = ℎ1
𝜕𝑓2(𝑥0,𝑦0)
𝜕𝑥
+ ℎ2
𝜕𝑓2(𝑥0,𝑦0)
𝜕𝑦
Se reconoce el Jacobiano
J =
𝜕𝑓1
𝜕𝑥
𝜕𝑓1
𝜕𝑦
𝜕𝑓2
𝜕𝑥
𝜕𝑓2
𝜕𝑦
−𝑓 Ԧ𝑋0 = 𝐽ℎ ℎ = −𝐽
−1𝑓 Ԧ𝑋0
Como,
Ԧ𝑋1 = Ԧ𝑋0 − 𝐽
−1𝑓( Ԧ𝑋0)
Entonces
Ԧ𝑋𝑖+1 = Ԧ𝑋𝑖 − 𝐽
−1𝑓( Ԧ𝑋𝑖)
Ejemplo: Utilizando el método de Newton resolver el 
sistema de ecuaciones: x2 + y2 = 10
x2 – y2 = 1
Sea f1 = x
2 + y2 – 10 y f2 = x
2 – y2 - 1
Tomemos los valores iniciales