Valores y vectores propios

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VALORES Y VECTORES PROPIOS
Localización de valores y vectores propios. Cálculo 
de los valores y vectores propios. Método de 
potencia.
DEFINICION DE UN VECTOR PROPIO
Dada una matriz cuadrada A de orden n se dice que el número λ0
es un valor propio de A si existe un vector columna c no nulo t.q.
A c = λ0 c. El vector c se llama vector propio de A asociado al
valor propio λ0. Otras terminologías equivalentes.
λ0 c
valor propio 
Auto valor 
Valor característico 
Eugen valor
vector propio 
Auto vector 
vector característico
Eugen vector
SISTEMA ALGEBRAICO LINEAL 
HOMOGENEO
Los problemas de valores propios relacionados con la ingeniería
tienen la forma general:
donde λ es un parámetro desconocido llamado valor propio o
característico o eigenvalor.
Aunque son posibles las soluciones no triviales para tales
sistemas, generalmente no son únicas. Más bien, las
ecuaciones simultáneas establecen relaciones entre las x que
se pueden satisfacer con diferentes combinaciones de valores.
Una solución {X} de este sistema se le conoce como vector
propio (vector característico o eigenvector). El conjunto de
ecuaciones anterior también se expresa de manera concisa
como:
[[A] – λ[I]]{X} = 0
La solución de la ecuación anterior depende de la
determinación del valor de λ. Una manera de obtenerlo se
basa en el hecho de que el determinante de la matriz [[A] –
λ[I]] debe ser igual a cero para que existan soluciones no
triviales. La expansión del determinante será un polinomio en
función de λ. Las raíces de este polinomio son los valores
propios.
Ejemplo: Sea la matriz A, hallar un valor propio y un vector
propio asociado,
Resolveremos el determinante, I - A = 0
Por inspección hallamos  = 1.
λ3 - 2λ2 - 5λ + 6 = (λ - 1) (λ2 – λ - 6) = (λ - 1) (λ + 2) (λ - 3)
𝐴 =
1 −1 4
3 2 −1
2 1 −1
Ahora hallaremos el vector asociado a  = 1. 
Recordemos (λ0 I3 − A) c = 0, entonces
Resolviendo se tiene que,c1 = -1, c2 = 4, c3 = 1, por lo tanto el 
vector propio asociado a  = 1, es
− 1 1 −4
−3 − 2 1
−2 −1 + 1
𝑐1
𝑐2
𝑐3
=
0
0
0
0 1 −4
−3 −1 1
−2 −1 2
𝑐1
𝑐2
𝑐3
=
0
0
0
c =
−1
4
1
El sistema de resortes 
representa una 
edificación de tres 
pisos. En el caso de 
un sismo, la 
aceleración del 
terreno genera 
fuerzas inerciales 
sobre el edificio 
(F=m.a).
ANALISIS VIBRACIONAL DE ESTRUCTURAS
APLICACIÓN A SISTEMA ARMONICO
Se tiene un sistema compuesto por dos masas m1 y m2, ellas
están unidas por un resorte de constante K y a su vez, están
unidas a dos paredes fijas con resortes similares.
Los resortes se encuentran en su longitud natural. Se perturba
ligeramente las dos masas y se dejan libre para que oscilen.
. . . . (1)
. . . . (2)
Ԧ𝐹1 = −𝑘1𝑥1 Ƹ𝑖 Ԧ𝐹2 = 𝑘2(𝑥2 − 𝑥1) Ƹ𝑖
F3
F4
m2
Ԧ𝐹3 = −𝑘2(𝑥2 − 𝑥1) Ƹ𝑖 Ԧ𝐹4 = −𝑘2(𝑥2) Ƹ𝑖
D. C. L. m2
F1 F2
m1
D. C. L. m1
De la teoría de vibraciones, se conoce que las soluciones de las
ecuaciones (1) y (2) pueden tomar la forma:
xi = Ai sen(wt), . . . . (3)
donde Ai es la amplitud de la vibración de la masa i y w es la
frecuencia de la vibración,
donde Tp es el periodo. Derivando dos veces la expresión (3):
xi′′= -Ai
2 sen (ωt) . . . . . (5)
Las ecuaciones (5) y (3) se sustituyen en las ecuaciones (1) y (2),
y después de agrupar términos, se expresan como:
𝜔 =
2𝜋
𝑇𝑝
. . . . (4)
. . . . (6)
. . . . (7)
Ejemplo: Evalúe los valores propios y los vectores propios en el
sistema donde m1 = m2 = 40 kg y k = 200 N/m.
Sustituyendo los valores de los parámetros en las ecuaciones (6)
y (7) se obtiene: (10 – w2)A1 – 5A2 = 0
–5A1 + (10 – w
2)A2 = 0
El determinante de este sistema es:
(w2)2 – 20w2 + 75 = 0
que puede resolverse con la fórmula cuadrática para
w2 = 15 y 5 s–2
Por lo tanto, las frecuencias de las vibraciones de las masas son
w = 3.873 s–1 y 2.236 s–1, respectivamente. Para el primer
periodo, Tp = 1.62 s; y para el segundo, Tp = 2.81 s.
Para la primera frecuencia (w2 = 15 s–2), A1 = –A2.
Para la segunda frecuencia (w2 = 5 s–2), A1 = A2.
Este ejemplo proporciona información valiosa con respecto al
comportamiento del sistema. Si el sistema está vibrando en el
primer modo, la amplitud de la segunda masa será igual, pero de
signo opuesto a la amplitud de la primera. Las masas vibran
alejándose, y después acercándose de manera indefinida.
En el segundo modo, las dos masas tienen igual amplitud todo el
tiempo, vibran hacia atrás y hacia adelante sincronizadas. Deberá
observarse que la configuración de las amplitudes ofrece una
guía para ajustar sus valores iniciales para alcanzar un
movimiento puro en cualquiera de los dos modos. Cualquier otra
configuración llevará a la superposición de los modos de
vibración.
MÉTODO DE POTENCIAS
Es un procedimiento iterativo que sirve para determinar el
valor propio mayor o valor propio dominante. Con ligeras
modificaciones, también puede ser útil para determinar
los valores menor e intermedio. Como ventaja adicional, el
vector propio correspondiente se obtiene como parte del
método.
Sea A una matriz cuadrada de orden n y la cual tiene n
vectores propios linealmente independientes (es decir , A
es diagonizable) y un valor propio dominante, es decir si
sus valores propios son
1, 2, 3, . . . , n
Entonces ocurre que:
1 > 2  3  . . .   n
Denotaremos por vi al vector propio asociado a cada valor
propio i para i = 1, 2, . . .n ,
Entonces por la hipótesis de la que hemos partido tenemos
que: (v1, v2, . . . , vn) son linealmente independientes.
Esto significa que cualquier vector v del espacio vectorial Rn
se puede expresar como una combinación lineal de los
vectores (v1, v2, . . . , vn)
Es decir existirán valores reales ai  R, tales que

𝑣 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 𝑣𝑖
Por lo tanto tenemos que:
Es decir tenemos:
A v = a1 1 v1 + a2 2 v2 + . . . + an n vn
Si multiplicamos esta expresión de nuevo por A, tenemos:
A2 v = a1 1
2 v1 + a2 2
2 v2 + . . . + an n
2 vn
Si continuamos multiplicando por A sucesivamente:
Ak v = a1 1
k v1 + a2 2
k v2 + . . . + an n
k vn
𝐴𝑣 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 𝐴𝑣𝑖 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 𝑖𝑣𝑖
Como tenemos que el valor propio 1 es el, de mayor 
módulo si sacamos factor común 1
k en la expresión 
anterior tenemos:
Si tomamos límites cuando k , tenemos en cuenta que 
al ser 1 el valor propio dominante entonces
lim
𝑘→∞
𝑖
1
𝑘
= 0 𝑖 = 2, 3, . . . . 𝑛
Entonces en consecuencia se tiene que:
𝐴𝑘𝑣 = 1
𝑘 𝑎1𝑣1 + 𝑎2
2
1
𝑘
𝑣2+ . . . +𝑎𝑛
2
1
𝑘
𝑣𝑛
lim
𝑘→∞
𝑎1𝑣1 + 𝑎2
2
1
𝑘
𝑣2+ . . . +𝑎𝑛
2
1
𝑘
𝑣𝑛 = 𝑎1𝑣1
Por lo tanto, para valores “grandes” de k se tiene que:
Ak v  1
k a1 v1
Es decir la sucesión:
{Ak v}kN es una sucesión de valores que cumple que la 
sucesión
{1
-k Ak v}kN converge a a1 v1
Por lo tanto tenemos que:
lim
𝑘→∞
𝐴𝑘+1 𝑣
1
𝐴𝑘 𝑣 1
= 1
Solo nos quedamos 
con la primera 
coordenada del 
vector
Ejemplo: Sea la matriz A, hallar el valor propio 
dominante.
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
0
0
0
1. Se elige una matriz columna para el vector propio V0.
2. Se multiplica A con V0. Es decir, V1 = A V0
3. Se halla La nueva la nueva matriz columna V2 = A V1
4. El primer valor iterado de 1 = -v2/v1, donde v1 es el
primer elemento de la matriz columna V1 y v2 es el
primer elemento de la matriz columna V2
5. Se halla la nueva matriz columna V3 = A V2
6. El segundo valor iterado de 2 = -v3/v2, donde v3 es el
primer elemento de la matriz columna V3.
7. Se compara el error entre los lambda y si está dentro del
error se detiene la iteración, sino se continúa de manera
similar.