Sist Ecuac Diferencial

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SISTEMA DE 
ECUACIONES DIFERENCIALES
El circuito que se muestra es conocido comúnmente
como circuito temporizador.
Las curvas de la gráfica muestran el comportamiento de
la corriente que pasa por cada resistor
Para el lazo de la izquierda,
Para el lazo de la derecha
𝜀 − 𝑖1𝑅1 −
𝑄
𝐶
= 0
−
𝑄
𝐶
− 𝑖2𝑅2 = 0
−𝑅1
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
−
1
𝐶
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 0
−𝑅1
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
−
1
𝐶
(𝑖1 − 𝑖2) = 0
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
= −
1
𝑅1𝐶
(𝑖1 − 𝑖2)
𝑑𝑖2
𝑑𝑡
= −
1
𝑅2𝐶
(𝑖2 − 𝑖1)
Condiciones iniciales:
En t = 0 s, i1 = 12/5
En t = 0 s, i2 = 0
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales, con n
condiciones iniciales
Todos los métodos analizados para una ecuación,
pueden extenderse al sistema de n ecuaciones. En todo
caso, el procedimiento para resolver un sistema de
ecuaciones consiste únicamente en aplicar la técnica
simple por ecuación en cada paso, antes de proceder
con la siguiente ecuación.
Ejercicio: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales utilizando el método de Euler, suponiendo
que en x = 0, y1 = 4 y y2 = 6. Halle los valores de y1 y y2
para x = 0.5.
En el circuito RC con fuente de tensión directa, el
capacitor es de 22 F, los resistores son de 5  y la
fuente es de 12V. Graficar la corriente que atraviesa a
cada resistor hasta que ingresan al régimen
estacionario. Tomar h = 0.0004
Métodos de Runge-Kutta
Desarrollamos primero las pendientes para todas las
variables en el valor inicial. Esas pendientes (un
conjunto de las k1) se utilizarán después para realizar
predicciones de la variable dependiente en el punto
medio del intervalo. Tales valores del punto medio se
utilizan, a su vez, para calcular un conjunto de
pendientes en el punto medio (las k2) y así
sucesivamente se usarán para desarrollar pendientes al
final del intervalo (las k4). Por último, las k se combinan
en un conjunto de funciones incrementadas y se llevan
de nuevo al inicio para hacer la predicción final.
Ejercicio: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales utilizando el método de RK-4, suponiendo
que en x = 0, y1 = 4 y y2 = 6. Halle los valores de y1 y y2
desde x = 0 hasta x = 0.1 con un tamaño de paso igual a
0.1.
METODOS MULTIPASOS
Los métodos (de un paso) que
se describieron en las secciones
anteriores utilizan información
de un solo punto, (xi, yi), para
predecir un valor de la variable
dependiente, y, en un valor
futuro, de la variable
independiente x.
Los procedimientos de pasos
múltiples o multipasos, se
basan en que, una vez
empezado el cálculo, se tiene
a disposición información de
los puntos anteriores. La
curvatura de las líneas que
unen esos valores previos
ofrecen información respecto
a la trayectoria de la solución.