Clase Torsión II y componentes de aceleración

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Torsión II y Aplicaciones del Cálculo Vectorial
CyADLG y MATEDLG + ¿Para qué?
Índice:
Frenet- Serret
Definición
Expansión
Aplicaciones
Aplicaciones del Cálculo Vectorial
Cinemática
Segunda Ley de Newton
2da Ley de Kepler
Ejercicios
Frenet- Serret
Tranquilos, el meme se explica solo luego :v
Frenet- Serret
Recordemos que definimos para una curva regular, se definía torsión de la siguiente forma:
s: longitud de la curva en un intervalo dado
Análogamente para el vector tangencial:
Dado que 
Recordar las formulas de Frenet-Serret:
Ojo:
Aclaración
En algunos textos también se encuentra que las formulas de Frerret – Serret están representadas de las siguientes formas:
La forma matricial sirve para aplicar la fórmula de Frerret- Serret para más dimensiones
Realizando una generalización del vector de curvatura
¿Para que sirve la fórmula de Frerret- Serret?
Cinemática por Cuadros (instantes):
Las fórmulas de Frenet-Serret admiten una interpretación cinemática . Imagine que un observador se mueve a lo largo de la curva en el tiempo, supongamos que este tome una fotografía en cada punto como su sistema de coordenadas. Las fórmulas de Frenet-Serret significan que este sistema de coordenadas gira constantemente a medida que un observador se mueve a lo largo de la curva. Por tanto, este sistema de coordenadas siempre es no inercial . El momento angular del sistema de coordenadas del observador es proporcional al vector Darboux (vector de momento angular) del cuadro.
Aplicaciones:
Aplicaciones. 
La cinemática del cuadro tiene muchas aplicaciones en las ciencias.
En las ciencias de la vida , particularmente en modelos de movimiento microbiano, se han utilizado consideraciones del cuadro Frenet-Serret para explicar el mecanismo por el cual un organismo en movimiento en un medio viscoso cambia su dirección. 
En física, Frenet-Serret es útil cuando es imposible o inconveniente asignar un sistema de coordenadas natural para una trayectoria. Tal es a menudo el caso, por ejemplo, de la teoría de la relatividad . Dentro de este entorno, los marcos de Frenet-Serret se han utilizado para modelar la precesión de un giroscopio en un pozo gravitacional
Ejercicios:
El vector de Darboux se define como:
Demuestre que la ecuación:
Donde resulta de la combinación lineal de los tres vectores , , 
Solución:
Derivamos con respecto a el parámetro longitud s, y se obtiene
Recordando las fórmulas de Frenet y Serret, donde:
Reemplazando y ordenando obtenemos:
Luego:
Recordando que: 
Factorizando y ordenando se obtiene:
De (1) - (2):
Así, se verifica que el vector es solución de esta ecuación diferencial.
Aplicaciones de cálculo vectorial
Aclaración:
Recordemos que el vector tangente unitario a la curva C en el punto es:
Si volvemos a derivar con respecto a t, obtenemos:
También recordemos que:
Vector Velocidad y Aceleración
La idea de un vector de velocidad proviene de la física clásica. Al representar la posición y el movimiento de una sola partícula usando vectores, las ecuaciones para el movimiento son más simples e intuitivas. Suponga que la posición de una partícula en el tiempo (t) viene dada por el vector de posición. Entonces el vector de velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo:
 
La aceleración se define como la derivada de la velocidad en el tiempo
De las formulas anteriores, podemos expresar a la velocidad y a la aceleración como:
Componentes de la aceleración
Aceleración Tangencial: La aceleración tangencial es la que aumenta o disminuye la velocidad con la que se desplaza el vehículo. Se representa por y es dada por:
Aceleración Normal: La aceleración normal da cuenta del cambio en la dirección del vector velocidad de la partícula en cada punto . Se representa por y es dada por:
Propiedades
 donde es el módulo del vector velocidad y R es el radio de curvatura
Segunda Ley de Newton
La segunda ley de Newton establece que la aceleración de un objeto depende de dos variables: la fuerza neta que actúa sobre el objeto y la masa del objeto. La aceleración del cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Esto significa que a medida que aumenta la fuerza que actúa sobre un objeto, aumenta la aceleración del objeto. Asimismo, a medida que aumenta la masa de un objeto, disminuye la aceleración del objeto.
Definición
La aceleración de un objeto producida por una fuerza neta es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza neta, en la misma dirección que la fuerza neta, e inversamente proporcional a la masa del objeto.
Leyes de Kepler
Johannes Kepler, el matemático y astrónomo alemán, es uno de los nombres más famosos de la astronomía. Kepler formuló tres leyes del movimiento planetario basadas en las observaciones precisas, detalladas y meticulosamente registradas del movimiento planetario y las estrellas por el gran astrónomo danés Tycho Brahe (quien recopiló datos astronómicos sin la ayuda de un telescopio ). Kepler trabajó como asistente de Tycho Brahe. Le tomó alrededor de 20 años llegar a las leyes del movimiento planetario. Estas leyes se pueden establecer de la siguiente manera
La órbita de un planeta es una elipse con el Sol en uno de los dos focos.
Un segmento de línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.
El cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita.
Segunda Ley de Kepler
Solo veremos una breve demostración, con los pocos conocimientos que se tiene del curso, la demostración es más extensa pero solamente mostraremos las nociones para esta
El segmento de línea que une el Sol y el planeta barre el área d de un sector elíptico en el intervalo de tiempo dt (el sector elíptico está formado por el arco recorrido por el planeta a lo largo de su órbita y los segmentos de línea que unen los extremos de ese arco al centro del Sol). Según la segunda ley de Kepler, esta área dividida por dt es constante, es decir, dA / dt = constante. Ésta es la expresión matemática de la segunda ley de Kepler.
A partir del cálculo vectorial, sabemos que la magnitud de un producto cruzado de dos vectores es igual al área del paralelogramo formado por esos dos vectores. Por lo tanto, el área (Aᵣ) del triángulo es la mitad de la magnitud de cualquiera de los siguientes productos cruzados
Como estamos abarcando solamente una porción muy pequeña del área barrida, podemos afirmar que 
Para un Δt suficientemente pequeño (Δt que tiende a cero), las direcciones de Δr y v casi coinciden. Usando la definición de v , podemos escribir Δr ≈ v Δt. Sustituyendo Δr en la ecuación. (1), y sabiendo que Δt es una cantidad escalar, obtenemos:
La primera ley de Kepler implica que el movimiento planetario es plano. Por lo tanto, r y v se encuentran en el mismo plano, y la dirección de   siempre es fijo siempre puntos en la dirección perpendicular al plano del movimiento planetario). Entonces, es constante y la dirección de   siempre es fija
Por lo tanto 
Ejercicios:
Una partícula se mueve según la ley
Halle sus vectores velocidad y aceleración, su velocidad escalar, los vectores unitarios T y N, y los componentes normal y tangencial del vector aceración, todo para .
Solución: