Limite y Continuidad de una función multivariable

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Limite y Continuidad de una función multivariable
MateDLG y CyADLG
Índice:
Límite de una función multivariable
Definición
Interpretación
Demostración
Límites Restringidos
Límites Iterados
Continuidad
Propiedades
Adicional
Límites Restringidos para funciones de n variables
Formas de hallar límites
Ejemplos
Límites de funciones multivariables
Recordemos
Distancia entre 2 puntos: Sea A y B dos puntos de :
Bola abierta en : Una bola abierta de centro y radio , es el conjunto:
 Bola reducida en : 
Bola cerrada en :
Nota: Se referirá a una vecindad de un punto a una bola abierta con centro en 
Conjunto abierto en : 
Un conjunto es abierto en si y solo sí , existe tal que 
Ej: y 
 Conjunto cerrado en :
Un conjunto es cerrado si y solo si el complemento de es abierto en 
Ej: 
Punto de Acumulación:
Llamaremos punto de acumulación de un conjunto a un punto si toda bola reducida contiene algún punto de A, es decir: 
Límite de una función
Sea una función definida en el conjunto abierto A de Sea un punto de U o bien un punto frontera de U. Se dice que el límite de f cuando x tiene a es L, lo cual se escribe como:
Si dado cualquier tal que
Reinterpretando la definición:
Observaciones:
Se cumple el teorema de unicidad:
Supongamos que tiene dos límites y 
De la expresión podemos deducir lo siguiente:
De (i) y (ii):
Recordemos de cálculo diferencial:
Entonces:
No puede haber dos limites distintos, el limite en un punto siempre será el mismo.
Use la definición para probar que el Limite existe
Siempre busque al momento de demostrar los limites por definición. Además use de preferencia: (escoja un valor de delta en ese intervalo)
Dado que , donde ,
 
Se sabe que:
Por transición:
Análogamente:
Interpretación del Limites:
Demostración de Limite
Demuestre que:
Datos:
Entonces:
Como 
Entonces, si tomamos , tenemos que ,
Siempre que lo cual demuestra que efectivamente:
Caso II:
Demuestre que:
Solución:
Dado que: 
Para el límite:
Obs:
Si tomamos ; 
						 	 	 
Luego, podemos considerar que para que el límite sea 0
Por lo tanto queda demostrado
Propiedades
Sea son funciones tal que existen tales que sus límites son respectivamente, y sí A un punto de acumulación de entonces:
 si 
Sea una función continua en L:	 
 
Las demostraciones de estas propiedades son muy parecidas a las propiedades vistas en limites de una variable y de una función vectorial.
Así que se invita al estudiante a realizar las demostraciones respectivas, porque a mi me dio zzzzzzzzzzzzz
Limites Restringidos
Introducción:
Recordemos que así para funciones de una variable real, se definen los límites laterales, y estos son límites en los que los puntos del dominio tienden a un valor del punto de acumulación solo por la izquierda o solo por la derecha, igualmente para las funciones de varias variables se puede restringir el cálculo del límite a un conjunto de puntos particulares.
Ahora, veremos la ilustración de este tipo de límites para funciones de dos variables (Regla de las 2 trayectorias). Para funciones de 3 o más variables se pueden generalizar en forma similar
Regla de las dos trayectorias
Suponiendo que la función está definida en todos los puntos de una bola abierta con centro en pero no está definida en , entonces y para toda curva que pasa por , es decir: , se tiene que 
Teorema
Sean T y S dos conjuntos diferentes de que tiene a como punto de acumulación y sus límites sean y respectivamente. Por teorema de unicidad de Limites tendremos que y si se cumple lo contrario () entonces diremos que el límite en el punto no existe.
Sean y dos conjuntos de puntos en que tienen a como punto de acumulación, y si:
Entonces:
 no existe
 en 
 en 
Ejemplo:
Dada la función 
Calcule en el caso exista 
Consideremos el conjunto 
Consideremos el conjunto 
Dado que poseen límites diferentes para f entonces por el teorema:
 no existe
Nota:
Del ejemplo anterior concluimos que el límite no existe debido a que encontramos dos trayectorias que conducen a distintos límites; sin embargo, aunque estas dos trayectorias hubiesen conducido a un mismo límite, no podemos concluir que el límite existe. Para llegar a esta conclusión, debemos probar que el límite es el mismo para todas las trayectorias. Esta tarea sugiere el uso de la definición para demostrar la existencia o no existencia del límite
Ejemplo:
Calcule el limite de en en caso el límite exista:
Consideremos el conjunto 
Consideremos el conjunto 
Dado que Probemos que el límite de la función es 0
Recordemos que:
Y de la expresión 
Entonces:
Dado un existe el limite de en tal que este sea 0
Límites Iterados
Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable. 
La existencia de los límites iterados no garantiza que el limite exista, se usan más para concluir que el límite no existe
Se representa de la siguiente forma:
Primer caso
Segundo caso:
Teorema
Dada la función Supongamos que existen:
Entonces:
Ejemplo:
Demostramos que el límite en (0,0) es 0, entonces debe cumplirse que.
Observación:
Sin embargo esto no quiere decir que el límite exista y valga 0.
Consideremos el conjunto 
El Límite no existe
Continuidad
Continuidad de una función
Sea , se dice que f es continua en si y solo sí dado tal que:
 existe
 
Osea:
Discontinua 
En este punto
Ejemplo:
Determine si la siguiente función es continua:
existe y es 0
Hallemos el límite de f en (0,0):
Consideremos el conjunto 
Consideremos el conjunto 
Dado que el límite en y son iguales, corroboraremos que el límite de nuestra función es 0:
En un anterior problema demostramos que, entonces Dado un existe el limite de en tal que este sea 0
Se cumplen las condiciones de continuidad, por lo tanto la función f es continua en (0,0)
Teoremas
A veces es necesario analizar en puntos donde no hay cambio de regla de correspondencia o analizar continuidad en puntos.
Los siguientes resultados simplifican estos cálculos:
Sean :continuas en . Entonces las funciones , también son continuas en . Además si , entonces es también continua en .
Sea : y :. Si es continua en y es continua en entonces es continua en todo 
Las funciones polinomiales y racionales de n variables son continuas en sus dominios
Ejemplo:
Dada la función, analice su continuidad:
Sea donde entonces:
Dado que 
Aplicamos Regla de L’ Hospital:
Como
Dado que la función F es continua en todo y g es continua en todo R, entonces por propiedad es continua en todo 
Adicional
Límite Restringido para funciones de n variables
Como comentamos anteriormente, se puede generalizar el teorema de las dos trayectorias para funciones de n- variables. Ejemplo:
Calcule el límite la siguiente función, si es que existe:
El límite es indeterminado, por lo que se seguirá un procedimiento similar al de las funciones de dos variables
Consideremos el conjunto (consideramos puntos en el plano XY)
Consideremos el conjunto 
Como podemos concluir que el límite no existe
Formas de encontrar el límite de una función
Método de la factorización
El siguiente método nos es útil para funciones racionales, lo que realizamos es factorizar tanto el denominador como numerador, con el fin de poder eliminar términos en común. Para este método no es necesario demostrar la existencia del límite.
Conjugada de una radical
El siguiente método también nos es útil para funciones racionales, lo que realizamos multiplicar por la conjugada de una radical, de tal forma de poder eliminar términos en común entre el denominador y el numerador. Para este método no es necesario demostrar la existencia del límite.
Teorema de la compresión(del Sandwich)
El teorema del emparedado es un resultado muy intuitivo y útil a la hora de calcular el límite de algunas funciones. Esta se aplica tanto para funciones normales como multivariables.
El teorema afirma que, si dos funciones tienen el mismo límite, entonces las funciones que están comprendidas entre éstas también tienen el mismo límite.
Enunciado:
Sean f, h y g funciones de definidas en una vecindad se verifica que:
Si
Entonces: 		 		 
Ejemplo:
Halle el límite de la función, si es que existe:
Sabemos que: 
Entonces:
Aplicamos límites:
Por la regla del Sandwich, concluimos que 
Observación: 
Gracias a este teorema, tampoco es necesario demostrar si el limite existe por definición
Teorema de Apoyo 
Sea y sea un punto de acumulación en el dominio de . Entonces:
Ejemplo:
Halle el límite de la función, si es que existe:
Se tiene que:
Nota: El teorema no se llama así
Entonces:
Luego:
De esta relación se deduce que en la vecindad reducida se verifica que:
Por teorema del Sandwich:
Luego aplicamos nuestro teorema de apoyo, este límite implica:
Regla de las dos trayectorias especiales
Demostrar por coordenadas polares: Para poder demostrar la existencia del límite podemos solamente tomar un conjunto el cual nos permita demostrar que este no existe.
Consideremos el conjunto 
Si el reemplazamos los valores en nuestra función principal obtendremos dos casos:
Caso 1: Al desarrollar el límite nos queda una función que solamente dependa de para este caso afirmaremos que el límite no existe
Caso 2: Al desarrollar el límite nos queda número real, para este caso tendremos que demostrar la existencia del límite por definición de limites o tomar otro conjunto
Ejemplos:
Halle los siguientes limites, en el caso de que existan:
Consideremos el conjunto:
Como el resultado solamente depende de , entonces el límite no existe
Consideremos el conjunto:
Supongamos que el límite de la función es 0:
Dado que 
También recordar que: 
entonces Dado un existe el limite de en tal que este sea 0
Demostrar por coordenadas esféricas: Para poder demostrar la existencia del límite podemos solamente tomar un conjunto el cual nos permita demostrar que este no existe.
Consideremos el conjunto 
Si el reemplazamos los valores en nuestra función principal obtendremos dos casos:
Caso 1: Al desarrollar el límite nos queda una función que solamente dependa de o de la combinación de estos, para este caso afirmaremos que el límite no existe
Caso 2: Al desarrollar el límite nos queda número real, para este caso tendremos que demostrar la existencia del límite por definición de limites o tomar otro conjunto
Regla de las dos trayectorias especiales
gracias
AXYZ