Sistemas de Coordenadas

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Sistemas de Coordenadas
MateDLG y CyADLG
Índice:
Transformaciones
Coordenadas Rectangulares
Coordenadas Polares
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Polares
Ejercicios
Transformaciones
Transformación Lineal
Sean y espacios vectoriales y una función, decimos que es una transformación lineal si satisface:
Ejemplo:
Sean y dos espacios vectoriales. La función nula y la función lineal son transformaciones lineales.
Transformaciones de a 
Dadas las funciones llamadas Transformaciones de analizaremos como están transformaciones deforman a la región .
El siguiente ejemplo muestra una transformación 
Donde:
Observación
Tomemos de ejemplo la transformación:
 
 
Tal que: 
Definida sobre el rectángulo:
Esta transformación toma el rectángulo 
(Plano UV) y lo lleva a su imagen, el semicírculo (plano XY) tal como se muestra en la figura
Sistema de Coordenadas Rectangulares
¿Qué es?
El sistema de coordenadas rectangulares o llamado también plano cartesiano, consta de dos rectas de números reales que se cruzan en ángulo recto. La recta numérica horizontal se llama eje , y la recta numérica vertical se llama eje Estas dos rectas numéricas definen una superficie plana llamada plano , y cada punto de este plano está asociado con un par ordenado de números reales . El primer número se llama coordenada , y el segundo número se llama coordenada . La intersección de los dos ejes se conoce como origen , que corresponde al punto .
Cuadrantes
El eje e rompen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes , llamada usando los números romanos I, II, III, y IV, según lo representado. En el cuadrante I, ambas coordenadas son positivas. En el cuadrante II, la coordenada x es negativa y la coordenada y es positiva. En el cuadrante III, ambas coordenadas son negativas. En el cuadrante IV, la coordenada x es positiva y la coordenada y es negativa.
Ejemplos:
Grafique el par ordenado (−3, 5) y determine el cuadrante en el que se encuentra.
Solución: las coordenadas indican un punto 3 unidades a la izquierda y 5 unidades por encima del origen.
Gráficamente:
Respuesta:
El punto se traza en el cuadrante II porque la coordenada x es negativa y la coordenada y es positiva.
Distancia entre 2 puntos en el plano
La distancia "ordinaria" entre dos puntos dentro del plano cartesiano, también es denominado distancia euclídea o euclidiana, es calculado utilizando el teorema de Pitágoras. El cuadrado de la distancia total entre dos objetos es la suma de los cuadrados de las distancias a lo largo de cada coordenada perpendicular.
Lugar geométrico
Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos (normalmente que forman una curva o superficie) que satisfacen alguna condición.
En otras palabras, el conjunto de puntos que satisfacen alguna propiedad a menudo se denomina lugar geométrico de un punto que satisface esta propiedad. El uso del singular en esta formulación es un testimonio de que, hasta finales del siglo XIX, los matemáticos no consideraban conjuntos infinitos. En lugar de ver líneas y curvas como conjuntos de puntos, las vieron como lugares donde un punto puede ubicarse o moverse.
Cada curva en este ejemplo es un lugar geométrico definido como la concoide del punto y la línea . En este ejemplo, está a 8 cm de .
Ejemplo 1 (La circunferencia):
Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cartesiano que equidistan de un punto fijo 
Solución:
Suponiendo que elegimos un punto del plano, que además cumple las condiciones del problema, es decir:
Donde es un valor constante. Recordemos que la distancia entre dos puntos se halla:
Esta es denominada la ecuación de la circunferencia, que como su nombre dice, esta ecuación describe a una circunferencia dentro del plano:
Demostración que son las misma ecuaciones:
Por el teorema de Pitágoras:
Ejemplo 2 (Parábola):
Halle el lugar geométrico donde todos sus puntos se encuentran a una misma distancia de un punto y una recta dada.
Solución:
Ubicamos un punto V que está dentro del lugar geométrico y un punto que será parte de nuestro punto de referencia, de tal forma que asignamos una constante para la distancia entre y , una distancia y este valor será el mismo para la distancia entre y la recta 
Suponiendo que elegimos un punto del plano, que además cumple las condiciones del problema, es decir:
Observación: 
Identidad de Legendre:
La ecuación indica que el lugar geométrico en el plano tiene la siguiente forma:
Nota: También demuestre la ecuación para cuando el lado recto esté de manera horizontal
Ejemplo 3 (Elipse):
 Halle el lugar geométrico tales que la suma de las distancias de sus puntos a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. 
Supongamos que el centro de nuestro lugar geométrico se encuentre en la coordenada . Entonces:
Llamamos 
Entonces tenemos la ecuación:
Sistema de Coordenadas Polares
Definición
Los sistemas de coordenadas en realidad no son más que una forma de definir un punto en el espacio. Por ejemplo, en el sistema de coordenadas cartesianas en el punto se dan las coordenadas y usamos esto para definir el punto comenzando en el origen y luego moviéndonos unidades horizontalmente seguidas de unidades verticalmente.
Sin embargo, esta no es la única forma de definir un punto en un espacio bidimensional. En lugar de movernos vertical y horizontalmente desde el origen para llegar al punto, podríamos ir directamente desde el origen hasta llegar al punto y luego determinar el ángulo que forma esta línea con el eje X positivo. Entonces podríamos usar la distancia del punto desde el origen y la cantidad que necesitábamos rotar desde el eje X positivo como las coordenadas del punto. Esto se muestra en el esquema a continuación.
Las coordenadas de esta forma se llaman coordenadas cartesianas
Elementos
 También conocido como radio vector, representa la distancia entre el punto P y O.
 (ángulo polar): Es el ángulo que hay entre el eje polar y la línea que une el origen con el punto P. Los valores positivos del ángulo indica ángulos medidos en sentido antihorario desde el eje polar. El ángulo está en radianes
Relación con las coordenadas Cartesianas
A partir del triángulo rectángulo que se ve en la figura se establecen las siguientes relaciones entre las coordenadas cartesianas (x,y) y las coordenadas polares (r,θ). Se supone que el origen de las coordenadas polares coincide con el de las cartesianas y que además el eje polar es el eje X. Se cumple que:
En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene una sola representación
En un sistema de coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones
Es decir, el punto en coordenadas polares , también se representa por:
Ejemplo:
Represente en coordenadas polares.
Podemos representar como en coordenadas polares
También puede representarse como:
o 
Algunas Curvas Polares
Algunas Curvas Polares (2)
Algunas Curvas Polares (3)
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas 
Polares
Coordenadas 
Cilíndricas
Z = Z
Definición
Las coordenadas cilíndricas son una generalización de coordenadas polares bidimensionales a tres dimensiones superponiendo un eje z de altura . Un sistema de coordenadas cilíndrico es útil para resolver problemas que tienen simetría cilíndrica. La ubicación en el espacio libre está definida de forma única por tres variables, La coordenada es la distancia radial en el plano con el rango , es el ángulo medido desde el eje x positivo con el rango , y es como anteriormente definido en el sistema de coordenadas cartesianas con el rango
 
Descripción
En forma análoga a las coordenadas polares en el plano, las coordenadas cilíndricas en están definidas por la transformación del espacio al espacio 
A los números se les llama coordenadas cilíndricas del punto representadas en la figura. El rango de estos valores son:
Relación con el plano XYZ
En el plano XY se cumplen lassiguientes relaciones
La superficie S en el espacio XYZ definida por representado en coordenadas cilíndricas:
Cuyo solido V representado en coordenadas cilíndricas es:
Ejemplo:
Halle las gráficas del siguiente conjunto:
Solución:
 no depende de , ello indica que varía en toda una vuelta de radianes:
En el espacio , D es una lámina rectangular plana horizontal a la altura de y su imagen en el espacio es un disco horizontal de radio 5 y altura 
Exprese en coordenadas cilíndricas la región limitada superiormente por el plano e inferiormente por el paraboloide 
. 
Solución:
La intersección de ambas superficies tiene su proyección en XY:
Veamos la variación de 
 tiende a si tiende a o 
Entonces: 
La variación de z en coordenadas cilíndricas, según el problema y el gráfico:
Superiormente está acotado por 
Inferiormente está acotado por 
Por lo tanto el sólido buscado está definido por las coordenadas cilíndricas:
Coordenadas Esféricas
Definición
Otro sistema de coordenadas útil en tres dimensiones es el sistema de coordenadas esféricas.
El sistema de coordenadas esféricas es un sistema de coordenadas para un espacio tridimensional donde la posición de un punto se especifica mediante tres números: la distancia radial de ese punto desde un origen fijo, su ángulo polar medido desde una dirección cenital fija , y el ángulo azimutal de su proyección ortogonal en un plano de referencia que pasa por el origen y es ortogonal al cenit, medido desde una dirección de referencia fija en ese plano. Puede verse como la versión tridimensional del sistema de coordenadas polares.
Elementos
Las coordenadas cilíndricas en están definidas por la transformación del espacio al espacio 
Donde:
 El radio o la distancia radial es la distancia euclidiana desde el origen O a P 
: El azimut (o ángulo azimutal ) es el ángulo con signo medido desde la dirección de referencia del azimut (eje X) hasta la proyección ortogonal del segmento de línea OP en el plano de referencia.
: La inclinación (o ángulo polar ) es el ángulo entre la dirección del cenit (Eje Z) y el segmento de línea OP
Relación con el sistema de coordenadas rectangulares
A los números se les llama coordenadas esféricas del punto donde:
Donde: 
El rango de estos valores son:
También se cumple que:
Ejemplo:
Determine las coordenadas cartesianas de los puntos cuyas coordenadas cartesianas son:
 
 
 
Solución:
Recordemos que:
 
 
 
2. Interprete geométricamente en XYZ la ecuación (está en coordenadas esféricas):
Solución:
Como no hay restricciones para y entonces:
Lo cual corresponde a una esfera de radio 2 con centro en el origen.
3. Interprete geométricamente en XYZ la ecuación (está en coordenadas esféricas).
Solución:
La ecuación indica que debemos mantener fijo y solo variamos y todo 
Como:
Esto representa a la ecuación del plano , pero gráficamente la ecuación limitada por solo debe considerarse para los ejes . Esto debido a que el solo está limitado en el primer cuadrante del plano XY, así como indica el gráfico.
Análisis de Coordenadas Esféricas (Caso Esfera)
Supongamos que tenemos una esfera de radio 
Comenzamos generando una circunferencia con , dada que no hay restricciones, tenemos que es variable y . Por ahora solo escogemos un al evaluar todos los valores de , el extremo de genera una circunferencia como se aprecia en la primera figura.
Manteniendo constante variamos desde hasta .
Esto generará circunferencias paralelas más pequeñas que la correspondiente a y esto generará un casquete esférico que varía desde hasta como se puede apreciar en la segunda imagen
Nota:
 es el ángulo formado entre y el eje , cuando está contenido en .
Figura 1
Continuamos haciendo varias curvas desde hasta que de modo que las circunferencias generadas con barrerán una semiesfera de radio 
Figura 2
Figura 3
Evidentemente, si hacemos variar desde 0 hasta , mientras que para cada valor de varía desde 0 a y manteniendo constante , habremos generado la esfera completa es decir:
Gráficamente:
Nota: Este análisis nos servirá más adelante en cálculo de integrales triples por cambio de variable
Ejemplo Aplicativo:
En coordenadas esféricas halle una ecuación para la esfera:
Y encontrar las variaciones de las coordenadas esféricas que definen a la región encerrada por dicha esfera.
Solución:
Podemos reescribir la ecuación como:
Un punto genérico del interior del sólido que se mueve sobre el segmento radial de la figura de distancia varía desde 0 hasta según la relación 
Para ver la variación de , podemos utilizar la proyección de YZ (haciendo en la ecuación) de todo el sólido.
		(Ver siguiente diapositiva)
Por lo tanto:
Otra forma de ver esto es como sigue: los puntos sobre la circunferencia 
 incluirán al origen O, al que se le puede considerar como un unto límite en dicha ecuación cuando tiende a 0, entonces en
:
Por lo tanto:
Ahora para conocer la variación de , proyectamos el sólido hacia el plano XY (haciendo ) y obtenemos la siguiente frontera:
Lo que equivale a intersecar la esfera con el plano y proyectarla sobre el plano XY de acuerdo a la ecuación anterior
Así vemos que varía en toda una vuelta:
Finalmente:
El sólido encerrado por la esfera dada está descrito en coordenadas esféricas como:
(u,v)VUvu T(u,v)=(x,y)YX TDT(D)
(u,v)VUvu YX TD(x,y)xyvu-1101ߨ0
zZYXzxyrߠ(x,y)
ZYXzZYX5rߠ5ʹߨ40-545T
ZYX204
ZYX
ZYX1
ZYX1
ZYX111
ZYXP(x,y,0)a2aaa(x,y,z)
ZY2aaP
YX(x,y,0)