Enunciados de loa Problemas de la Asesoría N17

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DECIMOSÉPTIMA ASESORÍA DE 
GEOMETRÍA 
 
 
01. En un tronco de pirámide regular 
ABCD-EFGH, el centro de la base 
mayor ABCD es O. Si mEOG = 30, 
OE = k y AC = k√2 + √3, entonces el 
volumen del sólido determinado por el 
tronco es 
 
A) 
35k 2 3
12

 B) 
37k 2 3
12

 
C) 
311k 2 3
12

 D) 
35k 2 3
6

 
E) 
35k 2 3
4

 
 
02. En un cilindro oblicuo de sección recta 
circular, el eje mayor de una base y la 
altura miden q y q 3 , respectiva-
mente. Si los planos que contienen a 
la sección recta y a la base, 
determinan un diedro que mide 30, 
entonces la capacidad del cilindro es 
 
A) 
39 q
8

 B) 
37 q
8

 C) 
35 q
8

 
D) 
33 q
8

 E) 
3q
8

 
 
03. En el hexaedro regular ABCD-EFGH y 
la pirámide regular P-EFGH, la cara 
ABCD es secante con las caras 
laterales de la pirámide. Si la altura de 
la pirámide y la arista del hexaedro 
miden 6 u y 3 u respectivamente, 
entonces el volumen (en u3) del sólido 
determinado por el tronco de pirámide 
comprendido entre ABCD y EFGH es 
 
A) 13,25 B) 14,25 C) 15,75 
D) 13,75 E) 16,25 
 
 
04. En un cilindro oblicuo de sección recta 
circular, la altura mide 4 u y el área de 
la sección recta es 4π u2. Si el ángulo 
diedro determinado por los planos que 
contienen a la sección recta y una de 
las bases mide 60, entonces el área 
total (en u2) del cilindro es 
 
A) 48π B) 42π C) 46π 
D) 36π E) 40π 
 
05. En un tronco de pirámide regular 
ABCD-MNPQ, los puntos E y F 
pertenecen a las aristas AM̅̅̅̅̅ y DQ̅̅ ̅̅ 
respectivamente. Si AD = ME = DF 
= 4 u, EA = QF = 2 u, MQ = 10 u y 
el plano secante determinado por B, E 
y F interseca CP̅̅̅̅ en T, entonces el 
área lateral (en u2) del tronco ABCD-
EBTF es 
 
A) 
72
3
5
 B) 
82
3
5
 C) 
64
3
5
 
D) 
62
3
5
 E) 
96
3
5
 
 
06. De todos los cilindros circulares rectos 
de área total 2𝜋a2, el volumen 
máximo del sólido determinado es 
 
A) 3
2 3
a
3
 B) 3
2 3
a
9
 C) 3
3
a
3
 
D) 3
3 3
a
9
 E) 33 3 a 
 
 
 
 
 
 
 
07. En un prismoide las bases son 
regiones cuadradas, las caras 
laterales regiones triangulares 
isósceles y regulares; las 
proyecciones ortogonales de los 
vértices de una base son los puntos 
medios de los lados de la otra base y 
las caras laterales regulares 
comparten aristas con la base menor. 
Si la altura del prismoide mide H, 
entonces el volumen del sólido que 
determina es 
 
A) 
35H
3
 B) 
35H
4
 C) 
310H
3
 
D) 
39H
5
 E) 
37H
3
 
 
08. En un cilindro oblicuo, la sección recta 
es un círculo cuyo radio mide R. El 
ángulo diedro determinado por los 
planos que contienen a la sección 
recta y a la base mide 45. Si la altura 
del cilindro mide h, entonces el área 
lateral es 
 
A) 2𝜋Rh B) 2𝜋Rh√2 C) 𝜋Rh 
D) 2𝜋Rh√3 E) 2𝜋Rh√5 
 
09. En un prismoide ABCD-EFG, BC̅̅̅̅ // 
AD̅̅ ̅̅ , BE̅̅̅̅ y BF̅̅̅̅ son aristas laterales, las 
caras laterales AEGD y CDGF son 
regiones paralelográmicas y las otras 
caras laterales son regiones 
triangulares. Si la razón de las áreas 
de las regiones ABCD y EFG es 3/2, 
entonces la razón de las áreas de la 
sección media y la base menor del 
prismoide es 
 
A) 
11
5
 B) 
11
3
 C) 
11
2
 
D) 
17
13
 E) 
11
8
 
 
 
 
 
 
10. Un cilindro oblicuo de sección recta 
circular, tiene capacidad V y área 
lateral A. Si la generatriz determina 
con el plano de la base un ángulo de 
medida 45, entonces el área de la 
base del cilindro es 
 
A) 
2
V
4 7
A
 
 
 
 B) 
2
V
4 5
A
 
 
 
 
C) 
2
V
4 3
A
 
 
 
 D) 
2
V
4 2
A
 
 
 
 
E) 
2
V
4
A
 
 
 
 
 
11. En un cilindro circular recto, AB̅̅ ̅̅ y CD̅̅ ̅̅ 
son dos generatrices diametralmente 
opuestas y el área lateral es S. ¿Cuál 
es el área de la superficie lateral del 
cilindro comprendido entre las caras 
de un ángulo diedro que contienen 
solo los puntos A y B, y cuya arista es 
secante y perpendicular a CD̅̅ ̅̅ ? 
 
A) 
S
2
 B) 
S
3
 C) 
S
4
 
D) 
S
6
 E) 
S
8
 
 
12. Tres cilindros oblicuos comparten las 
mismas bases dos a dos de manera 
que un punto de la elipse común de 
los dos menores cilindros pertenece a 
la generatriz del cilindro mayor. Si los 
volúmenes de los sólidos 
determinados por los menores 
cilindros son iguales a V1 y V2, 
entonces el volumen del sólido 
determinado por el tercer cilindro es 
 
A) V1 + V2 B) √V1V2 C) 
1 2
1 2
V V
V V
 
D) 2√V1V2 E) 
2 2
1 2V V 
 
 
 
 
13. En un tronco de pirámide, las áreas 
de las bases son 16 u2 y 36 u2; las 
prolongaciones de las aristas laterales 
se intersecan en el punto P, que dista 
24 u de la menor base del tronco. 
Calcule el volumen (en u3) del sólido 
que determina dicho tronco. 
 
A) 300 B) 304 C) 320 
D) 324 E) 364 
 
14. En un cilindro circular recto hay una 
esfera tangente a la superficie lateral 
y a una base. Un plano tangente a 
dicha esfera, que pasa por un punto 
de la otra base, determina un diedro 
de 37 con el plano que la contiene y 
en la superficie lateral, una elipse de 
eje mayor con longitud d. La 
capacidad aproximada del cilindro es 
 
A) 3
12
d
125

 B) 3
16
d
125

 C) 3
19
d
125

 
D) 3
21
d
125

 E) 3
24
d
125

 
 
15. Las bases de un prismoide son una 
región triangular y la otra hexagonal 
regular, de áreas 
S
4
 y 6S, respectiva-
mente; los lados de la base triangular 
son paralelos a tres lados no 
consecutivos de la base hexagonal. Si 
la altura mide h, entonces el volumen 
del sólido limitado por el prismoide es 
 
A) 
31
Sh
12
 B) 
45
Sh
4
 C) 
17
Sh
4
 
D) 
37
Sh
12
 E) 
29
Sh
12
 
 
16. En una pirámide cuadrangular regular 
W-ABCD, en las aristas laterales WA̅̅ ̅̅ ̅, 
WB̅̅ ̅̅̅, WC̅̅̅̅̅ y WD̅̅ ̅̅ ̅ se ubican los puntos E, 
F, G y H, tal que BW = 4(AE) = 4(BF) 
y WD = 2(CG). Si el volumen del 
sólido piramidal W-ABCD es V, 
entonces el volumen del sólido 
limitado por el tronco de pirámide 
ABCD-EFGH es 
A) 
49
V
16
 B) 
49
V
32
 C) 
36
V
25
 
D) 
49
V
64
 E) 
18
V
25
 
 
17. En un tronco de pirámide 
cuadrangular regular, el menor ángulo 
interno de una cara lateral mide 75 y 
la longitud de la menor trayectoria 
para trasladarse por la superficie 
lateral, desde un vértice de la base 
mayor y volver al mismo vértice, es 
6 3 3 cm. Si la capacidad del 
tronco es mínima, entonces la 
longitud (en cm) de la apotema del 
tronco es 
 
A) 
1
6
 B) 
1
5
 C) 
1
4
 
D) 
1
3
 E) 
1
2
 
 
18. En un tetraedro regular, cuya arista 
mide a, se inscribe un cilindro de 
revolución, tal que una base del 
cilindro está contenida en una cara 
del tetraedro y la otra base es 
tangente a las demás caras. La 
capacidad máxima del cilindro es 
 
A) 
3a 6
225

 B) 
3a 6
234

 C) 
3a 6
243

 
D) 
3a 6
252

 E) 
3a 6
261

 
 
19. En un tronco de pirámide, la altura 
mide 3 u, el área de la sección media 
es 4 u2 y el producto de las áreas de 
las bases es 9 u4. El volumen (en u3) 
del sólido determinado por el tronco 
de pirámide es 
 
A) 12 B) 12 C) 18 
D) 10 E) 13 
 
 
 
20. En un cilindro circular recto, el radio 
de la base mide R y la altura mide h. 
Si el área total es 64 u2 y Rh = 4(R + 
h), entonces la capacidad (en u3) del 
cilindro es 
 
A) 112 B) 128 C) 118 
D) 132 E) 130 
 
21. En un tronco de pirámide regular 
ABCD-EFGH, O es centro de la base 
mayor ABCD. Si AE = EO y mEAO 
= 45, entonces la razón de los 
volúmenes de los sólidos 
determinados por el tronco de 
pirámide regular ABCD-EFGH y la 
pirámide O-EFGH es 
 
A) 
1
7
 B) 
8
3
 C) 2 
D) 6 E) 7 
 
22. Una región rectangular ABCD, al girar 
una vuelta alrededor de las rectas que 
contienen a los lados AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅̅̅ , genera 
dos cilindros cuyas capacidades son 
288𝜋 u3 y 384𝜋 u3. El área (en u2) de 
la región rectangular ABCD es 
 
A) 12 B) 42 C) 48 
D) 288 E) 384 
 
23. En una pirámide A-BCD, en la arista 
AB̅̅ ̅̅ se ubica el punto medio M, en la 
arista AC̅̅̅̅ se ubican los puntos N y F 
(A–N–F), AN = NF = FC y en la arista 
AD̅̅ ̅̅se ubica el punto Q, tal que 3(AQ) 
= 2(QD). La razón de volúmenes de 
los sólidos determinados por los 
poliedros MNQDF y BCDFM es 
 
A) 
1
4
 B) 
1
3
 C) 
2
3
 
D) 
2
5
 E) 
3
5
 
 
 
 
 
24. Indique el valor de verdad de cada 
proposición: 
I. En algún prismoide, todas las caras 
pueden ser triangulares. 
II. En el prismoide, la sección media 
equidista de las bases. 
III. Si las bases de un prismoide son 
regiones triangulares, entonces la 
sección media es una región triangular. 
 
A) VFV B) FFF C) FVF 
D) VVF E) VVV 
 
25. El volumen de un paralelepípedo 
rectangular es V. Calcule la capacidad 
de un prismoide cuyos vértices son 
los puntos medios de las aristas de 
una cara del paralelepípedo y los 
vértices de la cara opuesta a esta. 
 
A) 
2V
3
 B) 
3V
4
 C) 
4V
7
 
D) 
5V
6
 E) 
5V
8
 
 
26. Las áreas de las bases de un tronco 
de pirámide son 1 u2 y 9 u2. Calcule el 
área (en u2) de la sección transversal 
cuyas distancias a la base menor y 
mayor están en razón como 3 es a 1, 
respectivamente. 
 
A) 
3
8
 B) 
25
4
 C) 
1
15
 
D) 8 E) 
1
3