Enunciados de los problemas de Superficie Cilíndrica

Vista previa del material en texto

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2020 – II 2do Material de Estudio 
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 - 
SUPERFICIE CILÍNDRICA 
CILINDRO Y TRONCO DE CILINDRO 
 
49. En un cilindro circular recto, el área 
lateral es igual a S y una sección 
transversal determina dos cilindros. 
En uno de ellos la altura es 
congruente con el radio de la base 
¿Cuál es el área total del otro cilindro 
determinado? 
 
A) 
S
4
 B) 
S
3
 C) 
S
2
 
D) S E) 2S 
 
50. En un cilindro circular recto, se trazan 
dos planos secantes que contienen a 
los extremos de una generatriz y la 
intersección de dichos planos con la 
generatriz diametralmente opuesta 
es un único punto. Si el área lateral 
del cilindro es S, entonces el área de 
la superficie lateral del tronco de 
cilindro oblicuo determinado por los 
planos es 
 
A) 
S
4
 B) 
S
3
 C) 
S
2
 
D) 
3S
4
 E) 
2S
3
 
 
51. En un cilindro oblicuo de sección recta 
circular, la recta mediatriz de una 
generatriz que mide g y la recta 
perpendicular a una de las bases en el 
centro, se intersecan en un extremo de 
la generatriz diametralmente opuesta. 
¿Cuál es el volumen del solido 
determinado por el cilindro oblicuo? 
 
A) 
33 g
16

 B) 
33 g
8

 C) 
33 g
4

 
D) 
33 g
2

 E) 
33 g 
52. En un cilindro oblicuo de sección 
recta circular está inscrito un prisma 
oblicuo cuya sección recta es una 
región determinada por un 
dodecágono regular inscrito en la 
circunferencia de la sección recta del 
cilindro. Si el volumen del sólido 
determinado por el prisma es igual a 
V, entonces el volumen del sólido 
determinado por cilindro es 
 
A) 
V
3

 B) 
3 V
2

 C) V 
D) 2 V E) 3 V 
 
53. En la figura se muestran tres cilindros 
de revolución cuyos radios de las 
circunferencias de sus bases son 
congruentes y las regiones elípticas 
son determinados por tres planos 
paralelos entre sí. Si los volúmenes 
de los sólidos determinados por el 
mayor y menor cilindro son 1V y 2V , 
entonces el volumen del sólido 
determinado por el tercer cilindro es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 1 2
V V
2
+
 B) 1 2
V V
2
−
 
C) 1 2V V D) 
2 2
1 2V V+ 
E) 1 2
1 2
V V
V V+
 
 
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2020 – II 2do Material de Estudio 
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 2 - 
54. En un octaedro regular, está inscrito 
un cilindro circular recto cuyas 
generatrices son paralelas a una de 
las diagonales. Si el volumen del 
sólido determinado por el octaedro 
regular es igual a V , entonces el 
volumen máximo del sólido 
determinado por el cilindro circular 
recto es 
 
A) 
V
9

 B) ( )3V 2 1
8
− 
C) ( )3V 2 2
4
− D) ( )V 2 1
8
− 
E) ( )V 2 2
4
− 
 
55. En la figura se muestra el desarrollo 
de la superficie total de un cilindro 
circular recto de generatriz AB 
siendo A, D, E y F puntos de 
tangencia. Calcule el volumen del 
sólido determinado por el cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
3
2
R 2
1 1

 + +
 B) 
3
3
2
R 2
1 1

 + +
 
C) 
3
5
2
R 2
1 1

 + +
 D) 
3
2
R
1 1

 + +
 
E) 
3
2
2 R
1 1

 + +
 
 
56. En la figura se muestra un servilletero 
que resulta de perforar un agujero 
cilíndrico a través del centro de una 
esfera. Utilice el Postulado de 
Cavalieri para demostrar que el 
volumen del sólido es igual a 
3h
6

. 
¿Qué sucede si comparamos con 
otro servilletero de altura congruente 
y diferente diámetro? ¿Son 
equivalentes? 
 
 
 
 
 
 
57. Dos cilindros circulares rectos tienen 
el mismo eje y las bases coplanares, 
el plano determinado por dos 
generatrices del cilindro mayor y que 
contiene solo a una generatriz del 
cilindro menor determina en el cilindro 
mayor una sección cuadrada. Si la 
generatriz mide g , calcule el volumen 
del sólido determinado por los 
cilindros. 
 
A) 
3g
8

 B) 
3g
4

 C) 
3g
2

 
D) 
3g E) 3g 2 
 
58. El área total de un cilindro recto de 
revolución es S. ¿Cuánto mide el 
radio de la base para que el volumen 
sea máximo? 
 
A) 
S
6
 B) 
S

 C) 
2S

 
D) 
3S
2
 E) 
5S
6
 
 
R 
B C 
D A 
O 
F E 
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2020 – II 2do Material de Estudio 
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 3 - 
59. En un cilindro oblicuo M y N son 
centros de las bases y AB un 
diámetro de la base inferior contiene 
a N. Si m AMN m ABM =  y 
MB = 2 u, entonces la longitud (en u) 
de la generatriz del cilindro es 
 
A) 1 B) 2 C) 
3
4
 
D) 3 E) 
4
3
 
 
60. Calcule las dimensiones del cilindro 
recto de revolución que detrmina el 
mayor volumen y está inscrito en un 
cono recto de revolución de radio R y 
altura H. 
 
A) 
R 2H
;
3 3
 B) 
2R H
;
3 4
 C) 
2R H
;
3 3
 
D) 
2R H
;
3 5
 E) 
R H
;
4 2
 
 
61. En un hexaedro regular ABCD–EFGH 
de longitud de arista a, calcule el 
volumen del sólido limitado por el 
cilindro cuyas bases circulares están 
circunscritas en los triángulos EBD y 
FCH. 
 
A) 
3a 2
6

 B) 
3a 3
6

 
C) 
π a3√2
9
 D) 
32 a 3
9

 
E) 
3a 3
18

 
 
62. En un tronco de cilindro circular recto 
las generatrices máxima y mínima 
miden 10 u y 6 u. El eje mayor de la 
elipse que limita una de las bases 
mide 8 u. Calcule el volumen del 
sólido que limita el tronco de cilindro 
(en u3). 
 
A) 18 B) 36 C) 72 
D) 84 E) 96 
63. En un tronco de cilindro recto está 
inscrita una esfera y dos generatrices 
opuestas miden a y b. Calcule el 
volumen limitado por el tronco de 
cilindro. 
 
A) 
( )
2 2a b
3 a b

+
 B) 
( )
2 2a b
2 a b

+
 
C) 
( )
2 2a b
4 a b

+
 D) 
2 2a b
a b

+
 
E) 
( )
2 2a b
5 a b

+
 
 
64. En un tronco de cilindro oblicuo, los 
ejes de las elipses son 
perpendiculares, las generatrices 
miden a y b (a < b) y el ángulo que 
determinan el eje del tronco con el eje 
de la elipse es 75. Determine el 
volumen limitado por el tronco de 
cilindro. 
 
A) ( ) ( )
2
b a a b
64

− + 
B) ( ) ( )
2
b a a b
128

− + 
C) ( ) ( )
2
b a a b
32

− + 
D) ( ) ( )
2
b a a b
8

− + 
E) ( ) ( )
2
b a a b − + 
 
65. Calcule el volumen de un tronco de 
cilindro circular recto cuyas bases 
determinan un ángulo diedro cuya 
medida es 60, además la suma de las 
áreas de las bases es A y la 
generatriz mínima es nula. 
 
A) 
A
A

 B) 
A A
2 
 C) 
A A
3 2
 
D) 
A A
3 
 E) 
A A
2 3
 
 
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2020 – II 2do Material de Estudio 
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 4 - 
66. Dos troncos de cilindros oblicuos de 
sección recta circular tienen en 
común una de sus bases, mientras 
que las otras bases están situadas en 
un mismo plano tal que las 
generatrices mayores son 
perpendiculares y el extremo común 
de las generatrices menores es el 
incentro del triángulo que tiene por 
vértices a los extremos de las 
generatrices mayores. Si el ángulo 
entre una generatriz mayor de uno de 
los troncos de cilindro y el plano mide 
15, y la distancia entre los extremos 
no comunes de las generatrices 
menores es , entonces la suma de 
los volúmenes de los sólidos 
determinados por los troncos de 
cilindros oblicuos es 
 
A) 
π
3
256
(2√6+3) B) 
 π
3
256
(2√6 − 3) 
C) ( )
3
3 4
64

+ D) ( )
3
3 3 4
256

+ 
E) ( )
3
3 3 4
128

+ 
 
67. En un tronco de cilindro circular recto, 
se trazan dos planos secantes que 
solo contienen a los extremos de las 
generatrices mayor y menor 
determinándose dos troncos de 
cilindros circular recto. Si los 
volúmenes de los sólidos 
determinados por estos dos troncos 
de cilindro son iguales a 1V y 2V , 
entonces el volumen del sólido 
determinado por el tronco de cilindro 
dado es 
 
A) 1 2
V V
2
+
 B) 1 2V V+ C) 1 2V V 
D) 2 2
1 2V V+ E) 
1 2
1 2
V V
V V+
 
 
68. Tres cilindros oblicuos de sección 
recta circular comparten una misma 
base dos a dos. P es el único punto 
común de las secciones axiales de 
dichos cilindros. Además, P es un 
punto de la generatriz CD del 
cilindromayor que también es un lado 
de la sección axial. Los volúmenes de 
los cilindros menores son V
1
 y V
2
. 
Halle el volumen del sólido 
determinado por tronco de cilindro, 
cuya generatriz mayor es la 
generatriz opuesta a CD y cuyas 
bases se intersecan solo en P. 
 
A) 1 2
V V
2
+
 B) 1 2
V V
2
−
 C) 1 2V V 
D) 2 2
1 2V V+ E) 
1 2
1 2
V V
V V+
 
 
69. En la figura se muestran dos vasos 
que tienen la forma de cilindro circular 
recto, de modo que las bases son 
congruentes cuyos radios miden R. Si 
la altura del vaso mayor es H y todo 
el líquido de dicho vaso se vierte en el 
pequeño, entonces a que altura se 
encuentra el nivel de agua, en el vaso 
pequeño. 
 
 
 
A) R Hcos−  B) H Rsen−  
C) H R tan−  D) ( )H R cos−  
 E) ( )H R tan−  
 
 
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2020 – II 2do Material de Estudio 
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 5 - 
70. Tres troncos de cilindro oblicuo tienen 
por secciones rectas a círculos 
congruentes y comparten una misma 
base, dos a dos, tal que los centros 
de dichas bases son los vértices de 
un triángulo rectángulo. Si los 
volúmenes de los sólidos 
determinados por los dos menores 
troncos son V1 y V2, entonces el 
volumen del sólido determinado por el 
tercer tronco es 
 
A) 1 2
V V
2
+
 B) 1 2
V V
2
−
 C) 
1 2V V 
D) 2 2
1 2V V+ E) 
1 2
1 2
V V
V V+