metodos-y- tecnicas-de-integracion

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1,0,
1
1




nx
n
X
dxX
n
n 
 
0,||ln  xCxx
dx
 
 
  1,0,ln
aaC
a
a
dxa
x
x 
 
  Cedxe
xx 
 
  Cxdxsenx cos. 
 
Csenxdxx  .cos 
 
  Cxdxx )sec(ln)tan( 
 
  Cxxdxx )tan()sec(ln)sec( 
 
  Cxxecdxxec )cot()(cosln)(cos 
 
Cxsendxx  )(ln)cot( 
 
  Cxx
dx
)tan(
)(cos2
 
 
Cx
xsen
dx
 )cot()(2
 
 
  Cxdxx tan.sec
2 
 
  Cxdxx cot.csc
2 
 
  Cxdxxx )sec()tan(*)sec( 
 
  Cxecdxxanxec )(cos)(cot*)(cos 
 
Cxdxxsenh  cosh.. 
 
  Cxsenhdxx ...cosh 
 
  Cxdxxh tanh.sec
2 
 
  Cxdxxh coth.csc
2 
 
 
 
 
 
 

Cxarcsen
x
dx
)(
1 2
 
 
 

C
a
x
arcsen
xa
dx
22
 , |x|<|a| 
 
 

 Cx
x
dx
)arccos(
1 2
 
 
 
Cx
x
dx
)arctan(
12
 
 
 
C
a
x
aax
dx
arctan
1
22
 , a=0 
 
 

Cxarc
xx
dx
)sec(
)1( 22
 
 
C
ax
ax
aax
dx





ln
2
1
22
 , a=0 
 
C
xa
xa
axa
dx





ln
2
1
22
 , a=0 
 
Caxx
ax
dx



22
22
ln ,a=0 
 
 

Caxx
ax
dx 22
22
ln ,|x|>|a| 
 
C
a
x
arcsenaxaxdxxa  )(*2
1
**
2
1 22222 
 
Caxxaaxxdxax 
2222222 ln**
2
1
**
2
1
 
 
Caxxaaxxdxax 
2222222 ln**
2
1
**
2
1
 
 
 
Identidades trigonometricas e hiperbólicas mas usadas 
 
 
Sen2 (x) + cos2(x) =1 
1 + tan2(x) = sec2(x) 
csc2(x) + 1 = cot2(x) 
sen2(x) = 
2
1
 ( 1 - cos (2x) ) 
cos2(x) = 
2
1
 ( 1 + cos (2x) ) 
sen(x)*cos(x) = 
2
1
 sen(2x) 
1- cos(x) = 2*sen2 (1/2 x) 
1+cos(x) = 2*cos2 (1/2 x) 
 
sen(a + b) = sen(a)*cos(b) + cos(a)*sen(b) 
sen(a - b) = sen(a)*cos(b) – cos(a)*sen(b) 
cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sen(a)*sen(b) 
cos(a - b) = cos(a)*cos(b) + sen(a)*sen(b) 
 
para ángulo doble 
 
sen(2a) = 2*sen(a)cos(a) 
cos(2a) = cos2(a) - sen2(a) 
tan(2a) = 
)(tan1
)tan(*2
2 a
a

 
 
identidades hiperbolicas 
 cosh²x - senh²x = 1 
 sech²x + tgh²x = 1 
 cotgh²x - cosch²x = 1 
 senh (x ± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y 
 cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y 
 tgh (x ± y) = 
 senh (2x) = 2 senh x cosh x 
 cosh (2x) = cosh²h + senh²x 
 senh a + senh b = 2 senh 
 cosh a + cosh b = 2 cosh 
 2senh² = cosh x - 1 
 2cosh² = cosh x + 1 
 (senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh (nx) , (Fórmula de Moivre 
 
para medio ángulo 
 
2
)cos(1
2
aa
sen







 
2
)cos(1
2
cos
aa 






 
)cos(1
)cos(1
2
tan
a
aa








 
 
productos de senos y cósenos 
 
sen(a)*cos(b) =  )()(
2
1
basenbasen  
cos(a)*sen(b) =  )()(
2
1
basenbasen  
cos(a)*cos(b) =  )cos()cos(
2
1
baba  
sen(a)*sen(b) =  )cos()cos(
2
1
baba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sustitución Trigonometrica 
 
 
Para integrandos de la forma 222222 ,, axxaxa  mas general como aparece en la siguiente tabla. 
 
para Usar Para obtener 
 
222 xba  
 
)(zsen
b
a
X  
 
)cos(*)(1 2 zazsena  
 
222 xba  
 
)tan(z
b
a
X  
 
)sec(*)(tan1 2 zaza  
 
222 axb  
 
)sec(z
b
a
X  
 
)tan(*1)(sec2 zaza  
 
 
 
 
 
Ejemplo integrando de la forma 222 xba  
 
1.- Hallar 
 22 4 xx
dx
 usando la tabla anterior sea x = 2 tang(z) fig .1 entonces dx = 2*sec2(z) dz 
además sabemos que tan2(z)+1=sec2(z) 
 
entonces    


)(*4
1
)cos(*)(
4
1
)(tan
)sec(
4
1
)sec(2(*))(tan*4(
)(sec*2
4
2
22
2
22 zsen
dzzzsendz
z
z
zz
dzz
xx
dx
 
 
pero de la figura 33.1 vemos que sen(z)=
24 x
x

 por lo tanto C
x
x
xx
dx




 4
4
4
2
22
 
 
 
 
formulas de reducción para funciones trigonometricas 
 
 
 
 
 
 
 
 integrales de la forma 
 
senm(x) , cosn(x) con m,n  N 
 
 
 
 
Estas integrales se deducen utilizando el método de integración por partes 
 
 
 dxxsenxsendxxsen mm )(*)()( 1 
 
 Haciendo u=senm-1(x) du=(m-1)*(senm-2(x))*(cos(x)) dx 
 dv=sen(x) dx v= - cos(x) 
 
 
  dxxxsenmxxsen mm )(cos*)()1()cos(*)( 221 utilizando la identidad cos
2(x)=1-sen2(x) 
  
 dxsenmdxxsenmxxsen mmm )1()()1()cos(*)( 22 pasando este ultimo miembro del 
otro lado y sumando y despejando m se llega al siguiente resultado: 
 
 
 
 
  dxxsen
m
m
xxsen
m
dxxsen mmm )(
)1(
)cos(*)(
1
)( 21 . 
 
 Haciendo un procedimiento análogo para el coseno se llega a 
 
  
  dxx
n
n
xsenx
n
dxx nnn )(cos
)1(
)(*)(cos
1
)(cos 21 
 
 
   








 12122 )1(
*
)1(2
1
1
)1)(1(2)1( nnn x
dx
nxn
x
x
dx
 n  N 
 
 dx
x
x
nxn
xsen
dx
x
xsen
nnn   



11
)cos(
1
1
)1(
)()(
 n  N 
 
integrando por partes se tiene que 
 
 
 
Haciendo un proceso similar para el coseno se tiene que 
 
 
 dx
x
xsen
nxn
x
dx
x
x
nnn   



11
)(
1
1
)1(
)cos()cos(
 n  N 
 
 
 
1.- 






 dxxsenx
nm
m
nm
xsenx
dxxsenx nm
nm
nm )(*)(cos
1)(*)(cos
)(*)(cos 2
11
 con m,n  N 
 
Dos reglas de sustitución útiles en ciertos casos simples. con m,n  N 
 
 dxxxsenpara
nm )(cos*)(.1 . Si m es impar, sustituir u = cos(x).Si n es impar u = sen(x). 
 dxxxpara
nm )(sec*)(tan.2 . Si n es par sustituir u = tan(x).Si m es impar sustituir u = sec(x). 
 
 
 
 
Integrales del tipo 
 
 
1.- dx ]ß)x - (sen +ß)x +(sen [ 
2
1
 )cos(*)(    dxxxsen 
 
2.-   dxxxdxxsenxsen  cos( cos [2
1
)(*)( 
 
3.- dxdxxx   ]ß)x - cos( +ß)x +cos( [ 2
1
)cos(*)cos(  
 
con α , β ε R
 
 
 
la reducción anterior se hace tomando en cuenta las identidades cos(a+b) y sen(a+b) desarrollándolas. 
 
 
 
 
Integrales del tipo (25.6) dx
dcx
bax
dcx
bax
xF
srr
)..,,.........,(
1
 















 
 
Con r1,........,rs  Q además a,b,c,d  R. y 0
dc
ba
, se reduce a integrales de funciones racionales 
Sea m  Z no negativo tal que existen p1,p2.........,ps  Z. Tal que 
m
p
r
m
p
r ss  .,,.........
1
1 haciendo el 
cambio de variable 
dcx
bax
t m


 entonces mmm dtbaxxctbaxtdcx  ;)( despejando “x” 
)(tF
act
dtb
x
m
m



 , F(t) es una función racional de “t” y f(t) también es una función racional de “t” (f(x) es la 
derivada de F(x)) y dx =f(t) dt como 
dcx
bax
t m


 entonces Si
dcx
bax
t
i
i
p
mr
....2,1







 luego 
  











 

























dttftt
ct
dtb
Fdx
dcx
bax
dcx
bax
xF pspi
m
mrsr
)(,.....,,..........,
1
 que es una función racional 
 
ejemplos 1 
calcular 
 4 1212 xx
dx
 donde a=2, b=1, c=0, d=1 y r1=1/2 r2=1/4 ahora verificamos que el 
determinante de la matriz formada por a,b,c,d sea distinto de cero ya que sino, no se puede aplicar este método 
2
10
12
 continuando vemos que las “r” deben de ser de la forma r1=p1/m , r2=p2/m...........rs=pi/m ahora 
para que esto suceda con r1 , r2 multiplicamos a r1 por 1 o sea por 2/2 entonces r1=2/4, r2=1/4 y claramente 
se observa que m= 4 por lo tanto hacemos la siguiente sustitución t4=2x-1  2x =1 + t4 
 x = (1+ t4)/2 y dx = 2t3 dt sustituyendo; 
     




cttt
t
dt
dtt
tt
dtt
tt
dtt
xx
dx
1ln22
1
2)1(22
)()(
2
1212
2
2
3
)4/1(4)2/1(4
3
4
 
como t4 = 2x+1 4
2 1212  xtxt entonces el resultado buscado es 
cxxx
xx
dx


 112ln212*212
1212
44
4
 
 
ejemplo 2 
calcular 

dx
x
x 4
 donde a=1,b=4, c=0, d=1 y r1=1/2 además 1
dc
ba
 entonces si se puedeaplicar 
este método. Vemos que m=2 entonces t2 = x+4  x =t2 – 4, dx =2t dt sustituyendo tenemos que 
  




dt
t
t
tdt
t
t
dx
x
x
4
22
4
4
2
2
2
2
 que ya se puede resolver como las integrales de funciones 
racionales. 
Nota: las integrales del tipo  dxbaxbaxxF rsr  )......()(,
1 y las del tipo   dxxxxF
rsr ,.....,, 1 con r  Q 
se reducen a integrales de funciones racionales mediante una sustitución análoga a la anterior. 
 
 
Integrales del tipo   dxbxax ))(( 
 
 
 
 
 
 
 
que ya puede ser calculada por el método de fracciones racionales 
 
integrales del tipo dxcbxaxxR  ),(
2
, con a 0 
se reduce a integrales de funciones raccionales mediante la sustitución de Euler. 
Casos posibles: 
1) a > 0 
2) ax2 + bx + c tiene raices reales 
3) c > 0 
 
primer caso: a > 0 demostración. 
 
 
 
segundo caso: ax 2 + bx + c tiene raíces reales demostración. 
 
 
 
 
R3 puede ser calculada mediante la sustitución 
)(
)(
1
22
xx
xxa
t


 que en nuestro caso da 
 
 
(x-x1)t = ))(( 21 xxxxa  
o tomando t>0 cuando x  x1 y t<0 cuando x  x1,(x-x1)t = cbxax 
2
 
 
te rcer caso: c > 0 demostracion. 
 
 
 
 
ejemplos de los tres casos de la sustitución de Euler. 
 
Ejemplo caso a>0 
 
Calcular 
 cx
dx
2
 sol. 
 
Sea cx 2 = -x + t elevando al cuadrado ambos lados  x2 + c = x2-2xt + t2 eliminando las “x” cuadras y 
despejando la “x “ que sobra se tiene que: 
t
ct
x
2
2 
 , y dt
t
ct
dt
t
cttt
dx
2
2
2
2
24
2*)()2*2( 


 
Ahora sustituyendo “x”en parte derecha de cx 2 = -x + t  se tiene que cx 2 =
t
ct
t
t
ct
22
22 


 
Ahora sustituimos en la integral a calcular y (tambien de esta ultima parte se depaja “t” para sustituirlo al final 
ya que la integral quedara en terminos de “t”) 
Se sigue que   





 





 


CcxxCt
t
dt
dt
t
ct
t
ct
cx
dx 2
2
2
2
2
lnln
2
2
 
 
Ejemplo caso 2: ax2 + bx + c tiene raices reales 
Condición 1 que x1 = x2 (siendo estas raices del polinomio) 
 
Calcular dxxx  242
2 dividiendo entre 2 y factorizando 12)1(2
2  xx luego 
 dxxdxxdxxx   1212242
2 pero se sabe que x-1= x-1 si x  0 ò x-1= -(x-1) si x0 
pero esta ultima nos dice que –(x-1)=x-1 si x 1 ò -(x-1) =1-x si x  1 entonces concluimos que 
 
1,,2
2
2242
2
2  xsiCx
x
dxxx pero si x<1 entonces el resultado es C
x
x 
2
22
2
 
 
condicion 2 x1  x2 ejemplo: 
 
calcular 
 432 xx
dx
 sol. 
Sus raices son x1= - 4, x2 =1 sea  (x+4)t = )1)(4(  xx elevando al cuadrado ambos lados 
(x+4)2t2 = (x+4)(x-1)  (x+4)t2 =(x-1) depejando “x” se tiene que dt
t
t
dx
t
t
x
222
2
)1(
10
,
1
41




 
 
Regresando un poco sabiamos que  (x+4)t = )1)(4(  xx sustituyendo el valor anterior de “x” en la parte 
izquierda se tiene que )1)(4(  xx = t
t
t









4
1
41
2
2
 ahora haciendo calculos concluimos que 
2
2
1
5
43
t
t
xx

 tomando este ultimo valor y el de “dx” sustituimos en; 
   








C
t
t
t
dt
dt
t
t
t
t
xx
dx
1
1
ln
1
2
1
5
)1(
10
43
2
2
2
2
 ya solo falta despejar “t” de (x+4)t = )1)(4(  xx 
y sustituirlo en este ultimo resultado para que quede en terminos de “x” y no de “t”. 
 
 
 
Tercer caso c  0 
 
Ejemplo: calcular 
 



dx
xx
xx
2
2
1
11
 sol. 
Haciendo xtxx  11 2 elevando al cuadrado ambos lados  1+ x + x2 = 1 + 2xt +x2t2 
Se sigue que x2 + x = 2xt +x2t2  x + 1 = 2t + xt2 despejando “x”  
21
12
t
t
x


 dt
t
t
dx
22 )1(
22


 
Ahora sustituimos a “x” en la parte derecha de xtxx  11 2  t
t
t
xx 








2
2
1
12
11 
Se concluye que 
2
2
2
1
13
1
t
tt
xx


 ahora regresando tenemos que; 
  





















dt
t
t
t
tt
t
tt
dx
xx
xx
22
2
2
2
2
2
2
)1(
22
1
13
1
13
1
1
11
 que al simplificar se convierte en una funcion racional 
que se puede integrar según lo visto de funciones racionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrales del binomio diferencial del tipo   dxbXaX
pnm )(
 
 
Con a,b  R, a0, b0 , p  Q y m,n  Z con n0 se reducen a integrales de funciones racionales 
unicamente cuando 
 
1 ) p Z y 1
1



n
m
q  Q 
2 ) p  Q y q  Z 
 
3 ) p+q  Z 
 
caso 1 dem. 
 
Como q  Q, entonces, haciendo xn = t  x = t 
1/n
  dtt
n
dx n 1/1
1  
Ahora sustituyendo en: 
 



dttbta
n
dttbta
n
dttbtat
n
dxbXaX qpn
m
pnpn
m
pnm )(
1
)(
1
)(
1
)(
1
1
1
1
 
 
Caso 2 Dem. 
 
Sea p = r/s con r,s  Z y s0 haciendo (a + bxn) = ts despejando “x” bxn = ts-a  
dtstat
n
bdx
b
at
x snsn
ns
11)/1()/1(
1
)(
1
,  




 
 ahora sustituyendo se tiene que 
 
 







dttat
n
bs
dttat
n
bs
dtstat
n
btatbdxbXaX
srqssspnn
m
s
snsnspmnsnpnm
11
1
1
11)/1()/1()/1()/1(
)()(
)(
1
)()(
 
 
la cual es una integral de una función racional 
 
caso 3 Dem. 
Sea 
dxx
X
bXa
dxx
X
bXa
XdxbXaX npm
p
n
n
np
p
n
n
mpnm 
 




 





 
 )(
 
Haciendo 
)/1(/1
1
)( nsn
n
s
nns
n
n
s bta
bt
a
xabxxt
x
bxa
t 








 
 
 
Ademas dtstbtnadx
snsn 11)/1(/1 ))(/1(  
Haciendo el cambio de variable o sustitución en : 
 
 
   
















 





 

dttbt
n
sa
dttbt
n
sa
dtstbt
n
abtat
dxx
X
bXa
dxx
X
bXa
XdxbXaX
srqps
qp
srpnn
m
s
pnnm
snsnnpmnsnsp
npm
p
n
n
np
p
n
n
mpnm
)1()2(
)1(
11
1)/1()/(
11)/1(/1)/1(/1 ))(
1
()(
)(
que es una integral de una función racional. Chebishev mostro que para los exponentes m,n,p que no 
satisfacen alguno de los casos anteriores la integral no se expresa atraves de funciones elementales. 
 
Ejemplos: 
 
Caso 1 p Z q  Q 
 
Calcular 
 )1( 3 23 2 xx
dx
 sol. 
Tambien se puede espresar como 
 

dxxx
xx
dx 1)3/2()3/2(
3 23 2
)1(
)1(
 donde se observa que m=(-2/3), 
n =(2/3), p = -1 y q = (m+1/n)-1 = (-1/2) que es el primer caso. 
Haciendo x2/3 = t2  x = t3  dx = 3t2 dt entonces haciendo el cambio de variable se tiene que; 
   



 CxCt
t
dt
dttdttttdxxx
xx
dx 3
2
1221221)3/2()3/2(
3 23 2
arctan3)arctan(3
1
3)1(33)1()1(
)1(
 
 
caso 2 p  Q 
 
calcular 

dx
x
x
2
3
1
 sol. también se puede expresar como 


dxxxdx
x
x )2/1(23
2
3
)1(
1
 donde m=3 
n=2, p=(-1/2) y q = 1. haciendo 1-x2 = t2  x=(1-t2)(1/2)  dt
t
t
dx
21
 sustituyendo; 
   








  Ct
t
dtdttdttdt
t
t
tt
3
)1(
1
)()1(
3
22
2
)2/1(2)2/3(2 como t2 = 1-x2  t =
21 x 
por lo tanto Cxxdx
x
x



2)2/3(2
2
3
1)1(
3
1
1
. 
 
Caso 3 p+q  Z 
 
Calcular 
 322 )1( xx
dx
 sol. 
 

dxxx
xx
dx )2/3(22
322
)1(
)1(
 donde m= -2, n=2, 
p= -3/2 y q = -3/2 p+q = -3. 
 
Haciendo 
tdttdxt
t
xxxt
x
x
t 2)1(
2
1
,)1(
1
1
,1
1 )2/3(22/12
2/1
2
222
2
2
2  








 
 
Sabemos que  










 





 


dxx
x
x
dxx
x
x
xdxxx
xx
dx 52
3
2
2
3
2
3
2
2
2)2/3(22
322
11
)1(
)1(
 
Ahora sustituyendo en esta ultima parte se tiene 
 

  dt
t
t
dttttdtttt
2
2
22)2/3(2)2/5(23 1)1(2)1)(2/1()1( esta ultima integral ya es muy sencilla 
de calcular por funciones racionales y desoues dejar todo en terminos de “x” y no de “t” y eso es todo. 
 
Integrales del tipodxxsenxF )cos,( 
Se reducen a integrales de funciones racionales con -<x< 
Dem. 
Sen(x) = sen(x/2+x/2) = sen(x/2)*cos(x/2)+cos(x/2)*sen(x/2) = 2sen(x/2)*cos(x/2) 
Ahora dividimos entre 1=sen2(x/2)+cos2(x/2) y multiplicamos por 1 =
)2/(cos
)2/(cos
2
2
x
x
luego simplificamos; 
1)2/(tan
)2/tan(2
)2/(cos
)2/(cos
)2/(cos
)2/(
)2/cos(
)2/cos(
*
)2/cos(
)2/(2
)2/(cos)2/(
)2/cos(*)2/(2
*
)2/(cos
)2/(cos
)2/(cos)2/(
)2/cos()2/(2
)(
2
2
2
2
2222
2
22 







x
x
x
x
x
xsen
x
x
x
xsen
xxsen
xxsen
x
x
xxsen
xxsen
xsen 
haciendo algo análogo a lo anterior se llega a 
)2/(tan1
)2/(tan1
)cos(
2
2
x
x
x


 
haciendo u = tan(x/2)  x = 2arctanu  21
2
u
du
dx

 entonces 
21
2
)(
u
u
xsen

 y 2
2
1
1
)cos(
u
u
x


 
de esta forma la integral 22
2
2 1
2
1
1
,
1
2
)cos,(
u
du
u
u
u
u
FdxxsenxF










  que es una integral de una 
función racional. 
 
 
Ejemplos: 
Solo sustituimos a sen(x),cos(x) y dx por 
21
2
)(
u
u
xsen

 , 
2
2
1
1
)cos(
u
u
x


 , 
21
2
u
du
dx

 respectivamente. 
 
1.- Calcular   )(1 xsen
dx
 sol. 
 
   







 2
2
2
2
2
2
)1(
2
1
)1(
1
1
2
1
2
1
1
2
)(1 u
du
du
u
u
udu
u
u
u
xsen
dx
 haciendo t = 1+u,,dt = du. 
 
 
entonces    




 CtC
t
dtt
t
dt
u
du 1
1
2
22
2
1
222
)1(
2 
como t = 1+u y u = tan(x/2) t = 1+ tan(x/2) 
por lo tanto C
x
CxCt
xsen
dx






 )2/tan(1
2
))2/tan(1(22
)(1
11 
2.- Calcular  x
dx
4cos
 sol 
 
   













 du
u
u
du
u
u
udu
u
u
u
x
dx
42
32
42
42
2
4
2
2
2
4 )1(
)1(
2
)1(
)1(
1
1
2
1
1
1
2
cos
 esta integral se ha convertido en una mas 
complicada a veces este metodo complica algunas integrales como la anterior que se puede resolver 
utilizando la siguiente transformación, 
dxxxxdxx
xx
dx
x
dx
  
2222
224
sec*)tan1(sec*sec
cos*coscos
 
 
 Haciendo t = tanx  dt = sec2xdx 
   C
t
tdttdx
x
dx
3
)1(sec*)tan1(
cos
3
222
4
 como t = tanx 
C
x
xC
t
t
x
dx
 3
tan
tan
3cos
33
4
 fue mas facil que con el metodo, a veces el metodo anterior no sera 
conveniente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación: las siguientes integrales su primitiva no es una función elemental o una combinación de 
funciones elementales no se pueden resolver en términos de funciones elementales, es decir no se pueden 
resolver por ningun metodo de los anteriores mencionados. 
 
 
 con n ε N 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deducción de las formulas que aparecen en rojo 
 
1.-