T05950

•

Exatas

ed gar

20/3/2024

¡Este material tiene más páginas!

Entonces, ¿te gustó este material?

Ayude a animar a otros estudiantes a mejorar el contenido

¿Te gustó este material? ¡Compartir! 🧡

Fundamentos de la Termodinámica

2160 Materiales compartidos

Descarga la aplicación para disfrutar aún más

Lea materiales sin conexión, sin usar Internet. Además de muchas otras características!

Vista previa del material en texto

ANÁLISIS TERMODINÁMICO-MECÁNICO DE UN PROTOTIPO DE MOTOR
STIRLING DE CONFIGURACIÓN GAMMA DE BAJA POTENCIA

MARIO SUÁREZ LÓPEZ

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE OCCIDENTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA Y MECÁNICA
PROGRAMA DE INGENIERÍA MECANICA
SANTIAGO DE CALI
2015
ANÁLISIS TERMODINÁMICO-MECÁNICO DE UN PROTOTIPO DE MOTOR
STIRLING DE CONFIGURACIÓN GAMMA DE BAJA POTENCIA

Trabajo de grado para optar por el título de
Ingeniero Mecánico

Director
ELVER MAURICIO BARRERA
Ingeniero Mecánico

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE OCCIDENTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA Y MECÁNICA
PROGRAMA DE INGENIERÍA MECANICA
SANTIAGO DE CALI
2015
3

Nota de aceptación:

Aprobado por el Comité de Grado en
cumplimiento de los requisitos exigidos
por la Universidad Autónoma de
Occidente para optar al título de
Ingeniero Mecánico

DUCARDO LEÓN MOLINA
JURADO

JUAN RICARDO VIDAL
JURADO

Santiago de Cali, Junio 13 de 2013

MIS MÁS SINCEROS AGRADECIMIENTOS A:

Dios que ha sido fuente inagotable de amor, fortaleza y sabiduría.
Mi madre por su incansable e incondicional colaboración y comprensión.
Mi Padre y hermanos por su valioso apoyo en todo momento.
Esa amiga por su sincera amistad y ayuda oportuna.

CONTENIDO

pág.

RESUMEN ............................................................................................................. 13

INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 14

1. ANTECEDENTES ........................................................................................... 15

1.1 DESCRIPCION DEL PROTOTIPO EXISTENTE ......................................... 16

2. JUSTIFICACIÓN ............................................................................................. 18

3. OBJETIVOS ..................................................................................................... 19

3.1 OBJETIVO GENERAL ................................................................................. 19

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................ 19

4. MARCO TEÓRICO .......................................................................................... 20

4.1 CICLO STIRLING ........................................................................................ 20

4.2 MOTOR STIRLING TIPO ALFA .................................................................. 24

4.3 MOTOR STIRLING TIPO BETA .................................................................. 25

4.4 MOTOR STIRLING TIPO GAMMA .............................................................. 26

4.5 MECANISMO BIELA MANIVELA ................................................................ 26

4.5.1 Estudio cinemático .............................................................................. 27

5. METODOLOGÍA .............................................................................................. 29

6. FORMULACIÓN DEL ANÁLISIS MECÁNICO ................................................ 32

6.1 PARÁMETROS CINEMÁTICOS .................................................................. 32

6.2 CINEMÁTICA DEL MECANISMO ............................................................... 34

6.3 ANGULO DE TRANSMISIÓN ...................................................................... 37

6.4 MASAS EQUIVALENTES ............................................................................ 39

6.4.1 Modelo dinámicamente equivalente biela. ......................................... 39

6.4.2 Modelo estáticamente equivalente de manivela................................ 40

6.5 FUERZAS DEINERCIA Y DE SACUDIMIENTO .............................................. 43

7. FORMULACIÓN DEL ANALISIS TERMODINÁMICO ..................................... 46

7.1 VARIACIÓN DE VOLÚMENES DE COMPRESIÓN Y EXPANSIÓN ........... 48

7.2 EXPRESIÓN PARA LA PRESIÓN .............................................................. 53

8. PARES DE TORSIÓN ...................................................................................... 55

8.1 PAR DE TORSIÓN DEL GAS ...................................................................... 55

8.2 PARES DE TORSIÓN DE INERCIA Y SACUDIMIENTO ............................ 58

8.3 TORQUE DE LA FUERZA DEL GAS Y EFECTO DEL DESCENTRADO .. 59

8.4 TORQUETOTAL DEL MOTOR .................................................................... 59

9. IMPLEMENTACIÓN HOJA DE CÁLCULO .................................................... 61

9.1 VARIABLES ................................................................................................. 61

9.2 DESCRIPCIÓN DE HOJA DE CÁLCULO .................................................. 63

10. ANÁLISIS DE RESULTADOS ......................................................................... 70

11. CONCLUSIONES ............................................................................................ 83

BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................... 85

LISTA DE FIGURAS

pág.

Figura 1. Fotografía del prototipo de motor Stirling existente 17

Figura 2. Dos pistones y un cilindro del motor prototipo de motor Stirling 17

Figura 3. Motor Original de Robert Stirling 21

Figura 4 Diagrama P-V y T-S del ciclo Stirling 22

Figura 5. Procesos del ciclo Stirling 23

Figura 6. Motor tipo alfa con disposición en V 24

Figura 7. Esquema del motor Stirling tipo alfa 25

Figura 8. Esquema del Motor Stirling tipo Beta 25

Figura 9. Esquema del Motor Stirling tipo gamma 26

Figura 10. Mecanismo biela manivela 27

Figura 11. Diagrama de flujo para la metodología 31

Figura 12 Parámetros geométricos del mecanismo manivela -biela- pistón 33

Figura 13. Parámetros geométricos del mecanismo manivela - biela -
desplazador 33

Figura 14. Geometría del mecanismo 35

Figura 15. Esquema para ángulo de transmisión µ en un mecanismo biela-
manivela 38

Figura 16. Modelos dinámicos de masa concentrada de la biela 41

Figura 17. Dinámico masa concentrada estáticamente equivalente de
manivela 41

Figura 18. Masa concentrada de manivela-biela para pistón y desplazador 43

Figura 19. . Modelo dinámico masa concentrada de mecanismo biela-
manivela con h=0 44

Figura 20. Diagrama de cuerpo libre de un mecanismo biela manivela
con h=0 45

Figura 21. Parámetros geométricos y termodinámicos 47

Figura 22. Volúmenes de trabajo para el análisis de termodinámico 49

Figura 23. Diagrama de fasores para desplazamientos del pistón y
desplazador 51

Figura 24. Diagrama fasores para volúmenes de desplazamiento de
pistón y desplazador 52

Figura 25. Presión y fuerza del gas sobre el pistón 56

Figura 26. Diagrama cuerpo libre análisis de fuerza del gas mecanismo
manivela-corredera 56

Figura 27. Pantalla principal hoja de calculo 62

Figura 28 Bloque de variable dimensional para los mecanismos
manivela biela del pistón y desplazador. 64

Figura 29. Bloque de variable dimensional para los mecanismos
manivela biela del pistón y desplazador 65

Figura 30. Bloque correspondiente a las dimensiones del pistón,
desplazador y sus volúmenes muertos. 65

Figura 31 Asignación de variables en celdas de hoja de cálculo para
espacios de pistón y desplazador. 66

Figura 32. Bloque de propiedades del gas de trabajo 67

Figura 33. Bloque para variables de propiedades del gas de trabajo 67

Figura 34. Ubicación de las componentes de las masas equivalentes para
los puntos A, A’, B, B’ en el modelo delmecanismo manivela pistón. 68

Figura 35. Valores iníciales para análisis de configuraciones del motor 70

Figura 36. Presión del gas para la primera configuración del motor con
h = 0 m. 71

Figura 37. Valores para el torque en la primera configuración del motor
con h = 0 71

Figura 38. Valores para la segunda configuración h=0,01 m 72

Figura 39. Curva del gas de trabajo para la segunda disposición
h = 0,01 m. 72

Figura 40. Curva del torque para segunda disposición del motor con
h = 0,01 m 73

Figura 41. Comportamiento de la presión para h= 0,02m 73

Figura 42. Comportamiento del torque para h= 0,02m 74

Figura 43. Comportamiento de la presión para h=0,04 m 74

Figura 44. Comportamiento del torque total para h=0,04 m 75

Figura 45. Parámetros geométrico para la quita configuración 75

Figura 46. Comportamiento de la presión para h=0,055 m 76

Figura 47. Comportamiento del torque total para h=0,055 m 76

Figura 48. Curva de presión para el sexto arreglo con biela = 0,14 77

Figura 49. Comportamiento del torque total para h=0,14 m 77

Figura 50. Variables para séptimo arreglo a comparar diámetro
desplazador = 0,1 m 78

Figura 51. Curva de presión séptimo arreglo diámetro desplazador = 0,1 m 78

Figura 52. Curva de torque séptimo arreglo diámetro desplazador = 0,1 m 78

Figura 53. Variables para el octavo arreglo del motor Stirling a comparar 79

Figura 54. Curva de presión para un desplazador < pistón 79

Figura 55. Curva del torque para un desplazador < pistón 80

Figura 56. Valores que caracterizan la novena configuración del motor. 80

Figura 57. Curva de presión para la novena configuración 81

Figura 58. Curva de torque total para la novena configuración 81

Figura 59. Parámetros que caracterizan la décima configuración 82

Figura 60. Curva de presión para densidad del aire = 1,7 Kg/m3 82

Figura 61. Curva de torque para densidad del aire = 1,7 Kg/m3 82

LISTA DE ANEXOS

Anexo A. Análisis termodinámico-mecánico de un prototipo de motor Stirling de
configuración gamma y de baja potencia (ver en cd)
13

RESUMEN

El presente documento de grado, ha sido desarrollado con la pretensión de poner a
consideración de la academia, un análisis termodinámico-mecánico de un prototipo
de motor stirling de configuración gamma de baja potencia, procedimiento llevado a
cabo por el autor de este proyecto. En consecuencia, la primera actividad que se
realizó, fue la de describir del prototipo existente, para exhibir los diferentes
compuestos y partes de dicho prototipo en aras de contextualizar al lector.

Tomando como referente que el propósito capital de este análisis era brindar una
interpretación de la condición de funcionamiento actual de un prototipo de motor
Stirling tipo Gamma de baja potencia construido por el autor, a partir de un análisis de
ingeniería, se formuló un modelo termodinámico/mecánico de apoyo sobre el
funcionamiento del prototipo del motor Stirling objeto de este proyecto. Para tal final,
se hizo una selección de las variables relevantes en el funcionamiento del motor y
también del rango de sus valores

En la parte final del documento, se propone un plan sistemático de simulaciones
utilizando el modelo matemático formulado, orientado a interpretar el funcionamiento
del prototipo.

INTRODUCCIÓN

El consumo de energía es necesario para el desarrollo económico y social. Sin
embargo, en los últimos años, las concentraciones de gases con efecto invernadero
están creciendo rápidamente en el planeta como consecuencia del uso generalizado
de los combustibles fósiles, provocando cambios drásticos en el clima mundial y
haciéndolo cada vez más impredecible.1

El desarrollo de fuentes energéticas renovables y el perfeccionamiento de tecnologías
que permitan su utilización en los diferentes escenarios industriales pueden marcar la
pauta en el camino hacia un uso sostenible de los recursos del medio ambiente. Por
ello hay un interés a nivel mundial por el desarrollo de nuevas tecnologías que
permitan la generación de potencia en forma limpia y económica. En este contexto
emergen las posibilidades que ofrece el motor tipo Stirling.

Como éste necesita solamente una fuente de calor externa es posible usar una gran
variedad de fuentes energéticas (energía solar, biomasa, energía geotérmica,
etcétera), lo que ha motivado el estudio de su desempeño a través de modelos
matemáticos.

Dado que el ciclo Stirling puede adaptarse a una variedad de configuraciones
mecánicas para obtener trabajo útil, cualquier intención de diseño debe estar
respaldada por un análisis termodinámico-mecánico, aplicado a algún caso particular.
Así, este trabajo propone realizar un análisis tal a un prototipo de motor Stirling tipo
Gamma de baja potencia, construido por el autor de este trabajo de grado, del cual
puedan obtenerse conclusiones sobre su puesta en marcha.

1 Es tiempo de cambiar sustentabilidad a partir de energías limpias [en línea]. En: revista de
humanidades. 2009 [consultado 20 de marzo de 2015]. Disponible en Internet:
http://www.up.edu.mx/files_uploads/20150_Revista_Humanidades_UP_2009.pdf

http://www.up.edu.mx/files_uploads/20150_Revista_Humanidades_UP_2009.pdf
15

1. ANTECEDENTES

El gran desarrollo de los motores de combustión interna a partir de la mitad del siglo
XIX y la mejora experimentada en el refinamiento de los derivados del petróleo, colocó
a los motores alternativos de combustión externa en gran desventaja. Este hecho,
acompañado de la invención de los motores eléctricos, consiguió que desde principios
del siglo XX, la máquina de vapor y los motores Stirling y Ericsson fueran dejados de
lado en la carrera por la industrialización.[A]

Hacia mediados del siglo XX aparece un renovado interés en estos dispositivos para
nuevas aplicaciones como refrigeración, calefacción y generación eléctrica – incluso
automoción-, a partir de fuentes de calor alternativas a los combustibles fósiles. Martini
[A] preparó un documento donde se sistematiza la información al respecto, y ante
todo, las estrategias de modelado que marcan la pauta en los estudios más recientes.
Este trabajo ha sido incluso reeditado [B];

Por la manera en que está estructurado el trabajo de Martini[A] y otros trabajos que
se citan como referencia central [H] puede decirse que ofrece una estrategia plausible
para lo que se propone mediante este trabajo.

Una muestra de la literatura reciente con respecto al diseño de motores Stirling [C, D,
E, F] confirma que, un principio subyacente a cualquier esfuerzo sistemático por lograr
su funcionamiento confiable, es trabajar sobre la base de algún modelo que tenga
forma matemática.

Como motivación importante para este documento se considera el trabajo realizado
por Robson y colaboradores [G], donde se toma un prototipo de motor Stirling como
un sistema dinámico conformado por unidades de compresión, expansión, movimiento
del pistón de desplazamiento libre y pistón de potencia de salida. Las predicciones
logradas fueron consideradas satisfactorias por sus autores.

Por otra parte, alrededor del año 2008, Al cursar la materia “Proyecto integrador” en
la Universidad Autónoma de Occidente, el objetivo general de dicho curso fue la
construcción de un motor Stirling. En este momento el autor elaboró un prototipo de
dicha máquina a partir de la teoría del ciclo termodinámico del mismo nombre. En
algún momento de la experimentación con el modelo, éste funcionó por un tiempo
corto y desde entonces no ha sido posible reanudar su funcionamiento, a pesar de
una serie de variaciones realizadas.
16

Finalmente, y en virtud de la consulta bibliográfica llevada a cabo, se piensa que
debería formularse un análisis de tipo termodinámico-mecánico, por el que pueda
darse una interpretación lógica a las dificultades observadascon este prototipo.

A continuación se presenta una descripción del prototipo objeto de estudio.

1.1 DESCRIPCION DEL PROTOTIPO EXISTENTE

El modelo de motor Stirling construido por el autor, tiene una configuración gamma
que dispone de dos pistones de movimiento horizontal y paralelo unidos a un cigüeñal
por dos bielas, ver figura 1.

Los dos pistones tienen un diámetro de 15mm y al igual que los cilindros son de vidrio;
la longitud del pistón del lado caliente es de 64mm mientras que. El pistón lado frío es
de 40mm y se muestran en la figura 2. Las bielas son fabricadas en aluminio y tienen
una serie de perforaciones para reducir su peso.

El eje del cigüeñal es de acero inoxidable con 6mm de diámetro y 73mm de longitud
y rueda en dos cojinetes de bolas. Adicionalmente el prototipo cuenta con un volante
fabricado en bronce con un peso de 80 gr.

La recámara caliente está compuesta por dos elementos: el elemento que recibe el
calor, fabricado en cobre, y su parte posterior, en teflón, que es el dispositivo
encargado de alojar el cilindro de vidrio. La recámara del lado frío es una sola pieza,
construida en cobre y provista de aletas para ayudar a disipar de calor.

El chasis de este prototipo de motor Stirling es un bloque realizado en láminas de
acero inoxidable atornillado a una base de madera. Estas láminas están separadas
por un bloque de empack D usado en este caso como un aislante térmico. La fuente
de calor es un mechero que usa como combustible alcohol industrial.

Este motor opera en un ciclo cerrado que usa aire como fluido de trabajo,
desplazándose alternativamente entre el lado frío y el lado caliente del motor. Al
hacerlo pasa por un regenerador fabricado en lámina de cobre enrollada dentro de un
tubo -también de cobre- de 10mm de diámetro y 17mm de longitud.

Figura 1. Fotografía del prototipo de motor Stirling existente

Figura 2. Dos pistones y un cilindro del motor prototipo de motor Stirling

2. JUSTIFICACIÓN

Hoy día el agotamiento de las fuentes de energía no renovables y el alto nivel de
contaminación del medio ambiente en el planeta, reclaman procesos industriales cada
vez más eficientes y limpios. En este contexto los motores de combustión eficiente
pueden alcanzar grandes ahorros energéticos y reducciones en las emisiones de CO2.
Dadas las características de su funcionamiento, los motores Stirling pueden cumplir
con tales requerimientos.

Por este motivo se ha despertado un interés en la industria y la academia de todo el
mundo para desarrollar programas de cara al diseño y experimentación de motores
Stirling suficientemente eficientes para competir con las soluciones actuales a la crisis
energética.

Dado que los países latinoamericanos no se escapan a los problemas energéticos del
planeta, es necesario promover también la investigación acerca de estos motores. Ello
implica, en primer lugar, tener un prototipo respaldado por un análisis desde el punto
de vista de las ciencias de la ingeniería (mecánica y termodinámica), que ayude a
participar de manera activa en las discusiones sobre el tema.

3. OBJETIVOS

3.1 OBJETIVO GENERAL

Dar una interpretación de la condición de funcionamiento actual de un prototipo de
motor Stirling tipo Gamma de baja potencia construido por el autor, a partir de un
análisis de ingeniería.

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Formular un modelo termodinámico/mecánico de apoyo sobre el funcionamiento
del prototipo del motor Stirling objeto de este proyecto.

 Hacer una selección de las variables relevantes en el funcionamiento del motor y
también del rango de sus valores

 Proponer y llevar a cabo un plan sistemático de simulaciones utilizando el modelo
matemático formulado, orientado a interpretar el funcionamiento del prototipo.

4. MARCO TEÓRICO

En 1816 Robert Stirling, reverendo de origen escocés proyecta el motor Stirling con el
objetivo de lograr un motor menos peligroso que la máquina de vapor que trabajaban
a altas presiones.

El motor Stirling es un dispositivo que opera entre una fuente a temperatura alta y un
sumidero a baja temperatura. Es decir, es necesaria la presencia de una diferencia de
temperaturas entre dos focos, lo cual lo caracteriza como un motor térmico. El calor
que toma de la fuente a alta temperatura lo convierte en trabajo, usando como medio
de trabajo un gas en un ciclo termodinámico cerrado conocido como el ciclo Stirling.
Este motor continúa siendo investigado debido a la gran variedad de fuentes de
energía que pueden ser utilizadas para su funcionamiento como la energía solar,
geotérmica, biomasa, etc.

La figura 3 muestra el esquema de un motor Stirling original y la empleamos para
explicar su funcionamiento. Un cilindro vertical es calentado en su parte superior por
el flujo de gases calientes provenientes de la caldera. En el interior del cilindro se
encuentra un pistón de potencia y un desplazador. El desplazador es liviano y no es
buen conductor de calor; al medio del desplazador existe un anillo de material capaz
de absorber y ceder calor que es el regenerador. Cuando el desplazador se mueve
hacia abajo, la mayor parte del aire que se encuentra dentro del cilindro queda en la
zona caliente y se expande, empujando el pistón de trabajo hacia abajo. Aquí se
entrega trabajo al exterior y gira el volante. Al suceder esto, una serie de bielas
mueven el desplazador hacia arriba, desplazando la mayor parte del aire a través del
regenerador hacia la zona fría donde se comprime el aire y se inicia nuevamente el
ciclo.

4.1 CICLO STIRLING

El ciclo Stirling ideal consiste de dos procesos isotérmicos totalmente reversibles y
dos procesos reversibles a volumen constante. La figura 4. Muestra los procesos del
ciclo en una curva p-v y en un cura T-s.

Durante el proceso de expansión 3-4 el calor es suministrado a temperatura constante
TH y durante el proceso 1-2 el calor es rechazado a temperatura constante TL. De 2-3
el calor interactúa a volumen constante al igual que de 4-1. La cantidad de calor en
estos dos procesos es esencialmente igual, pero en dirección opuesta; este proceso
de intercambio necesita ser realizado por un regenerador. La función del regenerador
21

es actuar como un reservorio temporal, capaz de absorber calor durante el proceso
de 4-1 y entregar idealmente la misma cantidad de calor durante el proceso de 2-3.

Figura 3. Motor Original de Robert Stirling

Fuente: El motor sterling [en línea]. Chile: Universidad de Chile, 1998 [consultado 20
de marzo de 2015]. Disponible en Internet:
http://www.cec.uchile.cl/~roroman/cap_10/STRLNG2.HTM

http://www.cec.uchile.cl/~roroman/cap_10/STRLNG2.HTM
22

Figura 4 Diagrama P-V y T-S del ciclo Stirling

Fuente: SAAD, Michael. Thermodynamics principles and practice. México: Prentice
Hall, 1997. capítulo 7.

En la figura 5 se representa un sistema que puede ejecutar los diferentes procesos
del ciclo Stirling.

Al fluido de trabajo se le añade calor isotérmicamente de una fuente externa de
temperatura TH durante el proceso 1-2, y se rechaza también isotérmicamente en un
sumidero externo a temperatura TL durante el proceso 3-4. En un proceso isotérmico
reversible, la transferencia de calor se relaciona con el cambio de entropía.

En una carrera permanente por realizar mejoras al motor Stirling se han generado
innumerables arreglos los cuales se clasifican dentro de tres grupos principales que
son los motores tipo alfa, beta y gamma.

Figura 5. Procesos del ciclo Stirling

Fuente: SAAD, Michael. Thermodynamics principles and practice. Mèxico: Prentice
Hall, 1997. capítulo 7.

4.2 MOTOR STIRLING TIPO ALFA

Es posible que esta sea la configuración más sencilla de las tres, siendo conformada
por dos pistones en cilindros diferentes conectados en seriemediante un regenerador.
Uno de los cilindros está conectado a un calentador y el otro a un enfriador. Richard
Wheeler2 desarrolló un motor tipo alfa con disposición en V, este se muestra en la
figura 6

Figura 6. Motor tipo alfa con disposición en V

Fuente: Stirling engines - mechanical configurations [en línea]. Ohio: Universidad de
Ohio [consultado 20 de marzo de 2015]. Disponible en Internet:
http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html

Un diagrama esquemático de esta configuración se muestra en la figura 7, donde se
observa la disposición de los elementos termodinámicos de la configuración alfa, es
de notar el regenerador entre el intercambiador de calor caliente y el frío.

2 Stirling engines - mechanical configurations [en línea]. Ohio: Universidad de Ohio [consultado 20 de
marzo de 2015]. Disponible en Internet: http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html
http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html
http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html
25

Figura 7. Esquema del motor Stirling tipo alfa

4.3 MOTOR STIRLING TIPO BETA

El motor Stirling original de acuerdo a la patente del dibujo de 1816, se muestra un
tipo beta. En esta configuración el pistón y el desplazador se encuentran en un mismo
cilindro el cual tiene en un extremo la zona caliente y en el otro la zona fría. El oficio
del desplazador es impulsar el gas de la zona fría a la caliente y viceversa. Un
esquema de esta configuración lo vemos en la figura 8.

Figura 8. Esquema del Motor Stirling tipo Beta

http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html
http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html
26

4.4 MOTOR STIRLING TIPO GAMMA

El motor tipo Gamma tiene una configuración similar a la máquina del tipo beta, sin
embargo el desplazador y el pistón se encuentran en distintos cilindros. Esto permite
una separación completa entre el cilindro del desplazador y el cilindro que contiene el
pistón, lo cual hace que los intercambiadores de calor estén separados el uno del otro,
por lo tanto, tienden a tener un poco más grandes los volúmenes de las zonas muertas
que cualquiera de los motores alfa o beta. Ver figura 9.

Figura 9. Esquema del Motor Stirling tipo gamma

4.5 MECANISMO BIELA MANIVELA

El mecanismo de biela - manivela es un mecanismo que transforma un movimiento
circular en un movimiento de traslación, o viceversa. El ejemplo actual más común se
encuentra en el motor de combustión interna de pistones, en el cual el movimiento
lineal del pistón producido por la explosión del combustible, se trasmite a la biela y se
convierte en movimiento circular en el cigüeñal.

http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Mecanismo
http://es.wikipedia.org/wiki/Motor_de_combusti%C3%B3n_interna
http://es.wikipedia.org/wiki/Pist%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Biela
http://es.wikipedia.org/wiki/Cig%C3%BCe%C3%B1al
27

4.5.1 Estudio cinemático. Definimos la dirección de la coordenada X de manera
paralela a la dirección del movimiento cruceta - pistón y definimos el origen de
coordenadas correspondiente en el centro de rotación de la manivela; el problema
consiste en hallar las funciones que determinan la posición, la velocidad lineal y la
aceleración también lineal de la cruceta en función de la velocidad angular ω de la
manivela y del ángulo α de rotación de la misma.

Siendo:

R = Longitud de la manivela
L = Longitud de la biela
Ө = Ángulo de rotación descripto por la manivela
Ø = Ángulo de rotación descripto por la biela alrededor de su articulación con la cruceta
o pistón.

Las ecuaciones para el desplazamiento, velocidad y aceleración se obtienen a partir
de la figura 10.

Figura 10. Mecanismo biela manivela

Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice
Hall, 2011. 584 p.

X = R + L – RcosӨ – Lcos Ø (3.1)

X = R( 1 – cosӨ) + L(1 - cos Ø) (3.2)

𝑋 = 𝑅(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝐿 (1 − √1 − (𝑅 𝐿⁄ )
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃) (3.3)

Si tiene en cuenta que

√1 − (𝑅 𝐿⁄ )
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 −
1
2
(
𝑅
𝐿
)
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃 (3.4)

La ecuación (15) se puede simplificar:

𝑋 = 𝑅(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) +
𝑅2
2𝐿
𝑠𝑒𝑛2𝜃 (3.5)

Donde debido a que se toma como constante. La velocidad y la aceleración
serán:

𝑉 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑅𝑤 (𝑠𝑒𝑛𝜃 +
𝑅
2𝐿
𝑠𝑒𝑛2𝜃) (3.6)

𝐴 =
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= 𝑅𝑤2 (𝑐𝑜𝑠𝜃 +
𝑅
𝐿
𝑐𝑜𝑠2𝜃) (3.7)

5. METODOLOGÍA

La formulación del modelo termodinámico-mecánico de un prototipo de motor Stirling
tipo gamma inició por la parte mecánica, tomando como patrón el análisis dinámico
de un mecanismo manivela-deslizador que se presenta en el texto “Diseño de
Maquinaria” de Norton, indicado en la bibliografía al final del informe. Dicho análisis
viene precedido por un análisis cinemático, en el cual se establecen expresiones para
la posición, velocidad y aceleración del deslizador dada una posición angular de la
manivela.

A diferencia del estudio presentado en el texto del profesor Norton, el análisis que se
desea hacer al prototipo incluye un desfase u “Offset”, que es la longitud del segmento
que parte del eje de la manivela y es perpendicular a la línea de eje del deslizador,
cuando se mira al mecanismo perpendicular al plano descrito por la rotación de la
manivela. Luego, la obtención de una expresión acorde con las simplificaciones que
presenta el profesor Norton en su texto (omisión de términos armónicos de alto orden)
obligó a una reformulación propia.

El análisis dinámico, en cuanto a las expresiones para el torque de gas y el torque de
inercia, no presenta variaciones con respecto de la referencia utilizada, a excepción
del valor de la presión del gas, que fue el objeto del análisis termodinámico.

El análisis termodinámico es el que se presenta bajo el nombre de Gustav Schmidt,
tal como se expone en el portal “Stirling cycle machine analysis” de la universidad de
Ohio (EEUU), cuyo enlace se indica en la bibliografía al final de este documento. Se
trata de un análisis donde se asume un régimen isotérmico para el gas en los espacios
de compresión y expansión tanto barridos por el desplazador y el pistón, como los
correspondientes a volúmenes muertos. Así mismo, se asume un perfil lineal de
temperatura a través del regenerador, o zona que media entre los volúmenes de aire
frío y caliente.

El análisis Schmidt produce como resultado un perfil de presión de trabajo en función
de la coordenada angular de la manivela. Este resulta altamente dependiente de la
fase que se tenga entre el movimiento del pistón y el del desplazador, que a su vez va
a incidir en la variación periódica del volumen de compresión. Esta relación se hace
evidente a través del denominado “diagrama fasor”, que aunque está disponible en la
referencia indicada, hubo necesidad de reformularlo para hacer evidente los términos
que representan los parámetros de diseño en el presente trabajo. Esta acción
simplifica la implementación de las expresiones resultantes en hoja de cálculo y
30

también la explicación a quien no estuviera familiarizadocon el funcionamiento del
motor Stirling.

La expresión para la presión del gas, que resulta del análisis termodinámico, se
reemplaza en su lugar correspondiente en la del torque de gas; esta última sumada al
torque de inercia resulta en la curva de torque total. Dichas expresiones muestran las
siguientes cantidades como parámetros de diseño: longitud de manivela y de biela del
lado del pistón de potencia y del desplazador, masas equivalentes en los mecanismos
de manivela-deslizador del lado del pistón de potencia y del desplazador, diámetros
del pistón de potencia y del desplazador, longitudes de los tramos muertos de
compresión y de expansión, longitud y diámetro del regenerador, temperaturas de lado
frío y de lado caliente, y densidad y presión del aire en la cámara a temperatura
ambiente (condición de inicio del motor)

La curva de presión de gas y la de torque total, se pueden utilizar para estudiar el
efecto de estos parámetros en el tamaño del volante requerido y en el trabajo neto de
salida del motor.

Con el fin de sintetizar la metodología expuesta en la figura 11 se presenta un
diagrama de flujo con los pasos que se sigue en este proyecto para lograr los
objetivos.

Figura 11. Diagrama de flujo para la metodología

Mecanismo a considerar
 
 
 hlrx
hlrx
hlrx
,,,
,,,
,,,





Análisis cinemático: posición,
velocidad y aceleración
Modelo dinámico de
masas concentradas
INERCIAT
Motor Stirling
tipo Gamma
 p
Presión al
interior de la
cámara
Torque debido
a las fuerzas de
inercia del
mecanismo
GAST
Torque debido
a la acción del
gas sobre el
pistón
INERCIAGASTOTAL TTT 
ANALISIS
TERMODINÁMICO
ANALISIS
MECÁNICO

6. FORMULACIÓN DEL ANÁLISIS MECÁNICO

6.1 PARÁMETROS CINEMÁTICOS

El mecanismo de un motor Stirling de configuración gamma está constituido por un
pistón y un desplazador, cada uno de estos elementos posee una biela y una manivela
las cuales los unen a un mismo eje. Para realizar el análisis cinemático del motor se
asume que:

-Las bielas del pistón y del desplazador tienen las mismas longitudes.

-Las manivelas del pistón y del desplazador tienen las mismas longitudes.

-La presión del gas de trabajo se ejerce solamente sobre el pistón.

Para este estudio se eligió una configuración de manivela-biela descentrada, es decir
que el eje de la corredera no está centrado con el pivote de la biela, esto con el fin de
abarcar una mayor cantidad de configuraciones para dicho motor.

En las figuras 12 y 13 se muestran los mecanismos manivela - biela para el pistón y
el desplazador en la configuración propuesta, donde r es la longitud de la manivela, l
la longitud de la biela y h es distancia entre el eje de la corredera y el eje de la
manivela.

Las longitudes r, l y h son variables de entrada para el análisis y es necesario que al
darle valores se configure un mecanismo que al girar la manivela no presente posición
de agarrotamiento y sea capaz de dar una revolución completa alrededor de su eje

Figura 12 Parámetros geométricos del mecanismo manivela -biela- pistón

Figura 13. Parámetros geométricos del mecanismo manivela - biela -
desplazador

La condicione básica para que la ecuación de desplazamiento de la corredera (esta
se verá en el siguiente numeral) no quede indeterminada es que los valores dados a
las variables r, hy l cumplan con:

Si h es diferente de cero:

𝑟+ℎ
𝑙
< 1 (6.1)

Si h es igual a cero:

𝑟
𝑙
< 1 (6.2)

6.2 CINEMÁTICA DEL MECANISMO

Por parámetros cinemáticos se entienden los que resultan del análisis del mecanismo
cuando el propósito es obtener expresiones para la posición, velocidad y aceleración
del deslizador en función de la posición angular de la manivela.

Un mecanismo de biela y corredera puede ser analizado empleando los métodos
usados en el análisis de mecanismos de cuatro barras con juntas de pasadores. En la
figura 14 se observa la geometría de un mecanismo de corredera manivela de cuatro
barras descentrado lo cual significa que el eje de la corredera no pasa por el punto de
pivote de la manivela.

Este mecanismo se puede representar por cuatro vectores de posición R1, R2, R3, R4,
donde R1 equivale a la posición de la corredera con magnitud X. R4 corresponde a
una magnitud constante h la cual define el descentre entre el eje de la corredera y el
pivote de la biela. El vector R2 define la longitud de la manivela r y el vector R3
representa la magnitud L dela biela que es elemento acoplador entre la manivela y el
pistón.

Para el análisis se crea un eje de coordenadas paralelo al eje de deslizamiento de la
corredera. El vector R3 que representa el acoplador se coloca con su origen en la
corredera.

El ángulo ɵ es el ángulo de la manivela y para una velocidad angular constante w este
ángulo está dado por ɵ= wt. El ángulo formado por la biela con el eje x es Ø

De la figura 14 se construye el triángulo rsq y el triángulo ul(q-h)y por geometría se
tiene que:

𝑞 = 𝑟 sin 𝜃 = (𝑙 sin ∅) + ℎ (6.3)

De (6.3) se despeja senØ y se tiene:

sin ∅ =
𝑟 sin𝑤𝑡−ℎ
𝑙
(6.4)

Figura 14. Geometría del mecanismo

De Figura 14 también se tiene que:

𝑠 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 y 𝑢 = 𝑙 cos ∅ y𝑋 = 𝑆 + 𝑈

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙𝑐𝑜𝑠∅ (6.5)

De la identidad trigonométrica se tiene que:

𝑐𝑜𝑠∅ = √𝑙 − 𝑠𝑒𝑛2∅ (6.6)

Reemplazando (6.4) en (6.6)

𝑐𝑜𝑠∅ = √1 − (
𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−ℎ
𝑙
)
22
(6.7)

Reemplazando (6.7) en (6.5)

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙√1 − (
𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−ℎ
𝑙
)
2
(6.8)

El radical de la ecuación (6.8) es

√1 − (
𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−ℎ
𝑙
)
2
(6.9)

La ecuación (6.9) se expresa como:

(1 − (
𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−ℎ
𝑙
)
2
)
1/2
(6.10)

= (1 − (
𝑟
𝑙
𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ
𝑙
)
2
)
1/2
(6.11)

Se emplea el teorema binomial para expandir el radical de la ecuación (6.8) que nos
da la posición pistón. La forma general del teorema binomial ó del también llamado
binomio de Newton expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio:

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑛𝑎𝑛−1𝑏 +
𝑛(𝑛 − 1)
2!
𝑎𝑛−2𝑏2 +
𝑛(𝑛 − 1)(n − 2)
3!
𝑎𝑛−3𝑏3 +⋯

Para la expansión binomial de (6.11) se tiene que:

a=1, 𝑏 = −(𝑟
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ
𝑙
)
2
, n= ½

Entonces (6.11) se expande a:

1 −
1
2
(
𝑟
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ
𝑙
)
2
+
1
8
(
𝑟
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ
𝑙
)
4
−
1
16
(
𝑟
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ
𝑙
)
6
+⋯ (6.12)

Desarrollando los cuatro primeros términos de la expresión binomial se tiene que:

1 −
1
2
(
𝑟2
𝑙2
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 −
2𝑟
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 +
ℎ2
𝑙2
) +
1
𝟖𝒍𝟒
(𝑟4𝑠𝑒𝑛4𝑤𝑡 − 4𝑟3ℎ𝑠𝑒𝑛3𝑤𝑡 + 6𝑟2ℎ2𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 −
4𝑟ℎ3𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 + ℎ4) −
1
𝟏𝟔𝒍𝟔
(𝑟6𝑠𝑒𝑛6𝑤𝑡 − 6𝑟5ℎ𝑠𝑒𝑛5𝑤𝑡 + 15𝑟4ℎ2𝑠𝑒𝑛4𝑤𝑡 − 20𝑟3ℎ3𝑠𝑒𝑛3𝑤𝑡 +
15𝑟2ℎ4𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 − 6𝑟ℎ5𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 + ℎ6) (6.13)

Si se tiene en cuenta que l siempre será mayor que r, es decir que la relación 𝑟 𝑙⁄ será
menor que uno. Entonces para (6.13) los elementos a partir del tercer término se
harán cada vez muy pequeños por lo que la podemos simplificar a:

1 −
1
2
(
𝑟2
𝑙2
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 −
2𝑟
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 +
ℎ2
𝑙2
) (6.14)

Se reemplaza la expresión (6.14) en la ecuación (6.8) y se tiene que:
37

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 (1 −
1
2
(
𝑟2
𝑙2
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 −
2𝑟
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 +
ℎ2
𝑙2
)) (6.15)

En la ecuación (6.15) se sustituye:

𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 = 1−𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡
2
(6.16)

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙
+
𝑟2
4𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙
(6.17)

La ecuación (6.17) es un modelo matemático bastante aproximado para describir el
desplazamiento del pistón en la corredera.

Una expresión para la velocidad del pistón se encuentra derivando la ecuación (6.17)𝑥 ′ = −𝑟𝑤𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
𝑟2𝑤
2𝑙
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 + 𝑟𝑤𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 (6.18)

La aceleración de un punto en x se obtiene derivando la ecuación de velocidad (6.18)

𝑥 ′′ = −𝑟𝑤2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 −
𝑟2𝑤2
𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 − 𝑟𝑤2𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 (6.19)

Del análisis presentado es claro que además de la posición angular de la manivela
reflejada por el término t , se tiene el largo de la manivela r y el de la biela l como
parámetros cinemáticos.

6.3 ANGULO DE TRANSMISIÓN

El ángulo de transmisión definido como el ángulo formado entre los eslabones
acoplador y de salida en un mecanismo de cuatro barras, es una forma rápida de
apreciar la eficiencia con la que la potencia es transmitida. Este ángulo varia
continuamente entre un valor mínimo y un valor máximo conforme el eslabonamiento
pasa por su intervalo en movimiento. En la figura 15 se muestra un mecanismo de
cuatro barras donde la barra 4 es la motriz, la barra 3 es el elemento acoplador y la
barra 2 es el eslabón de salida. Por lo tanto el ángulo de transmisión es el formado
entre las barras 2 y 3.

Figura 15. Esquema para ángulo de transmisión µ en un mecanismo biela-
manivela

De la ecuación (6.4) se despeja Ø para obtener:

∅ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑟 sin𝑤𝑡−ℎ
𝑙
) (6.20)

Ø corresponde al ángulo menor que se pueda formar entre el elemento acoplador y la
horizontal en el origen del vector R4 que corresponde al pistón.

El ángulo entre la manivela y la biela está dado por:

𝜇 = 180 − (𝜃2 − ∅31) (6.21)

Por lo que el ángulo de transmisión está dado por:

𝜇 = 180 − (𝜃2 − (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑟 sin𝑤𝑡−ℎ
𝑙
))) (6.22)

Una implementación en hoja de cálculo permitirá visualizar aquellas configuraciones
del mecanismo (a través de la posición angular de la manivela) donde la cercanía de
µ a 0° o 180° indica una transmisión poco eficiente del movimiento.

6.4 MASAS EQUIVALENTES

La biela o acoplador del mecanismo manivela-deslizador tiene un movimiento plano,
lo que asociado a su naturaleza de cuerpo rígido, hace complicado considerar un
modelo en términos de su momento de inercia y del movimiento de su centro de
gravedad. Por lo anterior se considera la representación del mecanismo como un
sistema de masas puntuales equivalentes. A continuación se establecen los detalles
de dicha formulación y se concluye señalando los parámetros inerciales de diseño del
motor.

En el caso del mecanismo de manivela-corredera, la manivela está en rotación pura y
el pistón en traslación pura y sus movimientos cinemáticos son fáciles de determinar.
La biela está en movimiento complejo y para realizar un análisis dinámico se debe
determinar la aceleración lineal de su CG en todas las posiciones para lo cual se
requiere un modelo simplificado de esta biela. Los requerimientos para obtener un
modelo dinámicamente equivalente son:

 La masa del modelo debe ser igual a la masa del cuerpo original.

 El centro de gravedad debe estar en el mismo lugar que el del cuerpo original.

 El momento de inercia de masa debe ser igual al del cuerpo original.

6.4.1 Modelo dinámicamente equivalente biela. En la figura 16.se muestra un
modelo genérico de dos masas de la biela. Una masa mt se localiza a una distancia lt
del CG de la biela original y la segunda masa mp a una distancia lp del CG. La masa
de la pieza original es m3 y su momento de inercia con respecto a su CG es IG3.

Una expresión matemática para los requisitos de la equivalencia dinámica en función
de estas variables es:

𝑚𝑝 +𝑚𝑡 = 𝑚3 (6.23)

𝑚𝑝𝑙𝑝 = 𝑚𝑡𝑙𝑡 (6.24)

𝑚𝑝𝑙𝑝
2 +𝑚𝑡𝑙𝑡
2 = 𝐼𝐺3 (6.25)
40

Se elige la distancia lt igual a la distancia del pasador del pistón lb como se muestra
en la figura 16.c. Al resolver las ecuaciones (6.23), (6.24), (6.25) se obtiene una
expresión para las dos masas concentradas.

𝑚𝑝 = 𝑚3
𝑙𝑏
𝑙𝑝+𝑙𝑏
(6.26)

𝑚𝑏 = 𝑚3
𝑙𝑝
𝑙𝑝+𝑙𝑏
(6.27)

6.4.2 Modelo estáticamente equivalente de manivela. Puede generarse un
modelo para la manivela, su CG se localiza a cierta distancia rG2 del pivote O2 sobre
la línea del muñón de la manivela A como se muestra en la figura 17. Para facilitar el
análisis se plantea un modelo como una masa concentrada en A unida a una masa
en el pivote O2 unidas por una barra sin masa.

Figura 16. Modelos dinámicos de masa concentrada de la biela

Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice
Hall, 201. p. 584.

Figura 17. Dinámico masa concentrada estáticamente equivalente de manivela

Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice
Hall, 2011. p. 584.
42

Dado que se asume que la velocidad angular w de la manivela como constante, es
posible emplear un modelo estáticamente equivalente debido a que la aceleración es
cero y las condiciones que debe cumplir son:

 La masa del modelo debe ser igual que la del cuerpo original

 El centro de gravedad debe estar en el mismo lugar que el del cuerpo original

Esto se puede escribir de la siguiente manera.

𝑚2 = 𝑚2 +𝑚2𝑂2 (6.28)

𝑚2𝑎𝑟 = 𝑚2𝑟𝐺2 (6.29)

𝑚2𝑎 = 𝑚2
𝑟𝐺2
𝑟
(6.30)

El muñón de la manivela tiene dos masas concentradas en el punto A, la masa
equivalente a la manivela 2 esm2A y la masa de la biela 3 esm3A. El total de estas
masas es:

𝑚𝐴 = 𝑚2𝐴 +𝑚3𝐴 (6.31)

En el punto B se concentran las masas del pistón 4 es m4y la masa del modelo de la
biela 3 es m3B. La masa total en este punto es

𝑚𝐵 = 𝑚3𝐵 + 𝑚4 (6.32)

En la figura 18 se representan las masas totales en los puntos A y B.

Nombrando la manivela del desplazador como barra 5, la biela del desplazador como
barra 6 y el desplazador como barra 7. Se tiene que el muñón entre la manivela y la
biela del desplazador sea el punto A’ y el muñón entre la biela y la extensión del
desplazador sea el punto B’. En A’ se tiene que la masa equivalente de la manivela
del desplazador es m5A’ y la masa equivalente de la biela es m6A’.
La masa total en este punto es:

𝑚𝐴′ = 𝑚5𝐴′ +𝑚6𝐴′ (6.31’)

En B’ la masa equivalente a la biela es m6B’ y la masa equivalente al desplazador y su
extensión es m7. La masa total en este puto es:

𝑚𝐵′ = 𝑚6𝐵′ + 𝑚7 (6.32’)

En la figura 18 se exponen las masa equivalentes en mA, mB, mA’ y mB’

Figura 18. Masa concentrada de manivela-biela para pistón y desplazador

De la discusión en esta sección del informe, queda claro que los parámetros inerciales
de diseño son las masas puntuales m2a, m3a, m3b, m4, m5a, m6a’, m6b’y m7 que junto con
los parámetros cinemáticos r y l se pueden utilizar para establecer una forma física
para la manivela y la biela; en este punto las limitaciones vienen por cuenta de la
facilidad de fabricación y por los esfuerzos que tengan lugar al interior de las mismas,
que ya no son el tema de este proyecto.

6.5 FUERZAS DEINERCIA Y DE SACUDIMIENTO

Utilizando el modelo simplificado de masa concentrada del mecanismo manivela
corredera para h=0 como el de la figura 19 es posible desarrollar una expresión para
las fuerzas y pares de torsión generados por las aceleraciones de las masas presentes
en el sistema. El método de d’Alembert permite visualizar los efectos de estas masa
en movimiento en el sistema del plano de la bancada.

Figura 19. . Modelo dinámico masa concentrada de mecanismo biela-manivela
con h=0

Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice
Hall, 2011. p. 523

Los diagramas de cuerpo libre de la figura 20 muestran las fuerzas de inercia de
d’Adembert que actúan en las masas localizadas en los puntos A y B. Se ignoran las
fricciones.

La aceleración del punto A en rotación se obtiene al diferenciar dos vecesel vector de
posición RA, con w constante se tiene:

𝑅𝐴 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝒊 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡𝒋 (6.33)

𝑎𝐴 = −𝑟𝑤
2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝒊 − 𝑟𝑤2𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡𝒋 (6.34)

La fuerza de inercia total Fi es la suma de la fuerza centrífuga en el punto A y la fuerza
de inercia en el punto B

𝐹𝑖 = −𝑚𝐴𝑎𝐴 −𝑚𝐵𝑎𝐵 (6.35)

Sustituyendo la ecuación (6.34) en (6.35) se tiene que:

𝐹𝑖 = −𝑚𝐴(−𝑟𝑤
2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡) − 𝑚𝐵𝑎𝐵 (6.36)

Figura 20. Diagrama de cuerpo libre de un mecanismo biela manivela con h=0

Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice
Hall, 2011. p. 523

𝑎𝐵 es la aceleración del pistón que está dada por la ecuación (6.19), reemplazándola
en (6.36):

𝐹𝑖 = −𝑚𝐴(−𝑟𝑤
2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡) − 𝑚𝐵(−𝑟𝑤
2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 −
𝑟2𝑤2
𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑤2𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡) (6.37)

Esta es la ecuación para la fuerza de sacudimiento que se define como la suma de
las fuerzas que actúan en el plano de la bancada.

7. FORMULACIÓN DEL ANALISIS TERMODINÁMICO

El motor Stirling tipo gamma tiene un pistón desplazador y un pistón de potencia en
cilindros diferentes, lo que le permite una separación completa entre el intercambiador
de calor de la zona caliente y el intercambiador de calor de la zona fría. El pistón
desplazador se mueve en el volumen asociado con el lado caliente y el pistón de
potencia se mueve en el volumen de compresión asociado con el lado frio.

El volumen que se encuentra en el cilindro caliente y delante del desplazador es
considerado como volumen de expansión y se suponen a una misma temperatura Tc.
El volumen que comprende desde el cilindro caliente por la parte posterior del
desplazador hasta el volumen barrido por el pistón se considera volumen de
compresión y se suponen a una misma temperatura Tf. El cuerpo del desplazador se
considera un elemento poroso que hace las veces de regenerador, esta porosidad
puede contener una cantidad de gas que corresponde a un porcentaje del volumen
total del cuerpo del desplazador.

La fórmula para la variación de la presión con la posición angular de la manivela,
resultado del análisis de Schmidt3, indica que dicha dependencia se da a través de la
variación de los volúmenes de compresión Vcy de expansión Ve; luego estos
volúmenes pasan a considerarse como parámetros de diseño surgidos del análisis
termodinámico del motor Stirling tipo gamma.

Antes de entrar a detallar las formulaciones correspondientes que se obtienen
mediante el denominado diagrama de fasor, es necesario esclarecer los parámetros
geométricos y termodinámicos que se utilizarán para caracterizar el motor y su fluido
de trabajo (aire).

En estos parámetros se citamos las variables que tienen que ver con el análisis
termodinámico del motor y que son datos de entrada como son las temperaturas y las
dimensiones de los distintos elementos que conforman las zonas donde se realiza el
intercambio de calor como se muestra en la figura 21.

Dd = diámetro del elemento desplazador

Dp = diámetro del pistón en el lado frío

3 Sinusoidal volume variations [en línea]. Ohio: Universidad de Ohio [consultado 20 de marzo de 2015].
Disponible en internet: http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/volumes.html
http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/volumes.html
47

Ddt = diámetro del ducto que comunica los cilindros

Ld = longitud del desplazador

Lp = longitud del pistón

Figura 21. Parámetros geométricos y termodinámicos

Ldt = longitud del ducto que une los cilindros

Lcled = longitud del volumen muerto en la zona de expansión o lado caliente del
desplazador

Lclcd = longitud del volumen muerto en la zona de compresión al lado del
desplazadoro lado frío del desplazador

Lclcp = longitud del volumen muerto en la zona del pistón

Tf = temperatura del lado frío
48

Tc = temperatura del lado caliente

Tr = temperatura del regenerador que hace las veces de elemento desplazador

%Vd = porcentaje del volumen del desplazador ocupado por el regenerador

7.1 VARIACIÓN DE VOLÚMENES DE COMPRESIÓN Y EXPANSIÓN

Para analizar el motor Stirling tipo gamma es necesario hallar una expresión que
ayude a determinar la variación de sus volúmenes con respecto al ángulo ɵ, para lo
cual nos basaremos en un estudio realizado por Gustav Schmidt del Instituto Alemán
Politécnico de Praga en el año de 18714.

Dicho razonamiento parte de la suposición, de que, la temperatura en todo el
intercambiador de calor del lado caliente, se encuentra a una misma temperatura
superior y que todo el intercambiador de calor del lado frio se encuentra a una misma
temperatura inferior. También se supone que la masa de aire contenida en los
volúmenes es constante durante su funcionamiento. En esta configuración los
espacios de trabajo del motor en cuestión son los volúmenes donde se desplazan el
pistón, el desplazador y gas que en este caso es aire.

Estos espacios o volúmenes se muestran en la figura 22 y se nombran según las
características del aire contenido en él, así:

Vcled = volumen muerto en el lado caliente

Vda = mitad del volumen barrido por el desplazador en el lado caliente

Vclcd = volumen muerto en el lado frío correspondiente al desplazador

4 Ibíd., http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/volumes.html

http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/volumes.html
49

Figura 22. Volúmenes de trabajo para el análisis de termodinámico

Vclcp = volumen muerto correspondiente al lado del pistón

Vpa = mitad del volumen barrido por el pistón

Xdmin = valor mínimo que alcanza el desplazador en la dirección X

Xdmax = valor máximo que alcanza el desplazador en la dirección X

Xpmin = valor mínimo que alcanza el pistón en la dirección X

Xpmax = valor máximo que alcanza el pistón en la dirección X

Xpa = longitud efectiva del volumen de comprimido por el pistón

𝑋𝑝𝑎 =
𝑋𝑝𝑚𝑎𝑥−𝑋𝑝𝑚𝑖𝑛
2
−
𝐿𝑝
2
(7.1)

Xda = longitud efectiva del volumen recorrido por el desplazador en la zona de
expansión:

𝑋𝑑𝑎 =
𝑋𝑑𝑚𝑎𝑥−𝑋𝑑𝑚𝑖𝑛
2
−
𝐿𝑑
2
(7.2)
50

Ap= área de la sección del pistón y es igual a:

𝐴𝑝 =
𝜋
4
𝐷𝑝
2 (7.3)

Ad = área de la sección del desplazador y está dada por:

𝐴𝑑 =
𝜋
4
𝐷𝑑
2 (7.4)

Adt = área de la sección del ducto que comunica los cilindros:

𝐴𝑑𝑡 =
𝜋
4
𝐷𝑑𝑡
2 (7.5)

El volumen barrido por el desplazador en la zona de expansión es:

𝑉𝑑𝑎 = 𝐴𝑑𝐿𝑑𝑎 (7.6)

El volumen barrido por el pistón a partir de un punto medio hasta el límite superior de
la carrera es:

𝑉𝑝𝑎 = 𝐴𝑝𝐿𝑝𝑎 (7.7)

Volumen muerto en el lado caliente o volumen muerto en la zona de expansión:

𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑 = 𝐴𝑑𝐿𝑐𝑙𝑒𝑑 (7.8)

Volumen muerto en el lado frio correspondiente al cilindro del desplazador:

𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑 = 𝐴𝑑𝐿𝑐𝑙𝑐𝑑 (7.9)

Volumen muerto en el lado del pistón:

𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝 = 𝐴𝑝𝐿𝑐𝑙𝑐𝑝 (7.10)

Volumen del ducto que comunica los cilindros

𝑉𝑑𝑡 = 𝐴𝑑𝑡𝐿𝑑𝑡 (7.11)

Volumen total del cuerpo del desplazador

𝑉𝑑 = 𝐴𝑑𝐿𝑑 (7.12)

Volumen del regenerador:
51

𝑉𝑟 =
(%𝑉𝑑)𝑉𝑑
100
(7.13)

Vcoes es la suma de volúmenes de compresión comprendidos entre el lado del pistón
y del lado caliente en la parte inferior del desplazador, esto incluye los volúmenes
muertos.

𝑉𝑐𝑜 = 𝑉𝑑𝑎 + 𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑 + 𝑉𝑑𝑡 + 𝑉𝑝𝑎 + 𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝 (7.14)

Veo es la suma del volúmenes de expansión en la zona caliente incluyendo el volumen
muerto.

𝑉𝑒𝑜 = 𝑉𝑑𝑎 + 𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑 (7.15)

Se designa φ como el ángulo de avance del desplazador con respecto al pistón. En la
figura 23 se presenta el diagrama de fasores para los vectoresXpa que representa el
desplazamiento del pistón y el vector Xda que representa el desplazamiento del
elemento desplazador y entre ellos el ángulo φ marcando el desfase entre los
vectores.

Figura 23. Diagrama de fasores para desplazamientos del pistón y desplazador

En la figura 24 se observa que el comportamiento volumen Vpa es inversamente
proporcional al desplazamiento del pistón; es decir que cuando el pistón se desplaza
en sentido positivo el Vpa disminuye. Este comportamiento ubica los vectores Xpa y
Vpa con un desfase de 180 grados.

De igual manera, se observa que el desplazamiento positivo del desplazador
proporciona un incremento del Vda en el lado frío lo que hace que tengan un
comportamiento lineal sin desfase con el vector Xda. Cuando el volumen Vda del lado
52

frío se incrementa, el volumen Vda del lado caliente disminuye por lo que existe un
desfase de 180 grados entre los vectores de Vda del lado frío y Vda del lado caliente.
Estas condiciones las podemos expresaren un diagrama de fasores como se muestra
en la figura 24, donde Vca es la suma de los volúmenes o espacios en los que se
desplazan el pistón y el desplazador, esto no incluye los volúmenes muertos. Este
volumen se encuentra desplazado con respecto al pistón un ángulo δ.

El volumen de comprensión Vc en un instante dado en función del ángulo 𝜃 está dado
por:

𝑉𝑐 = 𝑉𝑐𝑜 − 𝑉𝑝𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑉𝑑𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝜑) (7.16)

Figura 24. Diagrama fasores para volúmenes de desplazamiento de pistón y
desplazador

Expandiendo la ecuación (7.16)

𝑉𝑐 = 𝑉𝑐𝑜 + (𝑉𝑑𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑉𝑝𝑎)𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑉𝑑𝑎𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃 (7.17)

Otra forma de expresar Vc es:

𝑉𝑐 = 𝑉𝑐𝑜 + 𝑉𝑐𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝛿) (7.18)

Expandiendo (7.18) se tiene:

𝑉𝑐 = 𝑉𝑐𝑜 + 𝑉𝑐𝑎(𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝛿) (7.19)
53

Igualando términos para las ecuaciones (7. 17) y (7.19) se tienen las siguientes
igualdades:

𝑉𝑐𝑎𝑐𝑜𝑠𝛿 = 𝑉𝑑𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑉𝑝𝑎 (7.20)

𝑉𝑐𝑎𝑠𝑒𝑛𝛿 = 𝑉𝑑𝑎𝑠𝑒𝑛𝜑 (7.21)

Donde podemos despejar 𝛿:

𝛿 = 𝑇𝑎𝑛−1 (
𝑉𝑑𝑎𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑉𝑑𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑−𝑉𝑝𝑎
) (7.22)

𝑉𝑐𝑎 = √𝑉𝑝𝑎
2 − 2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑉𝑑𝑎
2 (7.23)

𝑉𝑐 = (𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑 + 𝑉𝑐𝑙𝑐𝑟 + 𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝) + (𝑉𝑝𝑎
2 − 2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎 + 𝑉𝑑𝑎
2 )
1
2⁄ (1 + 𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝛿)) (7.24)

El volumen de expansión Ve está dado por:

𝑉𝑒 = 𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑 + 𝑉𝑑𝑎(1 + 𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝜑 + 𝜋)) (7.25)

7.2 EXPRESIÓN PARA LA PRESIÓN

La suposición de un sistema isotérmico hace que sea posible generar una expresión
sencilla para la presión del gas de trabajo en función de las variaciones de volumen.
De la ley de los gases ideales se tiene que:

𝑀 =
𝑃𝑉
𝑅𝑇
(7.26

Para cada uno de los volúmenes de trabajo se tiene

𝑀 =
𝑃
𝑅
(
𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑
𝑇𝑐
+
𝑉𝑑𝑎
𝑇𝑐
+
𝑉𝑟
𝑇𝑟
+
𝑉𝑑𝑎
𝑇𝑓
+
𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑
𝑇𝑓
+
𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝
𝑇𝑓
+
𝑉𝑝𝑎
𝑇𝑓
) (7.27)

𝑀 =
𝑃
𝑅
(
𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑+𝑉𝑑𝑎
𝑇𝑐
+
𝑉𝑟
𝑇𝑟
+
𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝+𝑉𝑝𝑎
𝑇𝑓
) (7.28)

El regenerador se encuentra entre el lado caliente y el lado frío del motor, se supone
que éste tiene un comportamiento ideal y que tiene un perfil de temperatura lineal
54

entre la temperatura Tf frío y la temperatura Tc caliente. Por estas suposiciones la
media de la temperatura en el regenerador está dada por:

𝑇𝑟 =
𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
(7.29)

Se reemplaza (7.24) en (7.23)

𝑀 =
𝑃
𝑅
(
𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑+𝑉𝑑𝑎
𝑇𝑐
+
𝑉𝑟
𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+
𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝+𝑉𝑝𝑎
𝑇𝑓
) (7.30)

Despejando P:

𝑃 =
𝑀𝑅
(

𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑+𝑉𝑑𝑎
𝑇𝑐
+
𝑉𝑟
𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+
𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝+𝑉𝑝𝑎
𝑇𝑓
)

(7.31)

𝑃 =
𝑀𝑅
(

𝑉𝑐
𝑇𝑐
+
𝑉𝑟
𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+
𝑉𝑒
𝑇𝑓
)

(7.32)

Se reemplazan las ecuaciones (7.24) y (7.26) en (7.32) para obtener una expresión
que describe la presión en términos de la variación de los volúmenes.

𝑃 =
𝑀𝑅
(

(𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑟+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝)+(𝑉𝑝𝑎
2 −2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑑𝑎
2 )
1
2⁄
(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝛿))
𝑇𝑐
+
𝑉𝑟
𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+
𝑉𝑐𝑙𝑒+𝑉𝑑𝑎(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+∅+𝜋))
𝑇𝑓
)

(7.28)

8. PARES DE TORSIÓN

8.1 PAR DE TORSIÓN DEL GAS

El torque de gas es el torque de salida (en el eje de la manivela) debido a la acción de
la presión del gas sobre el pistón; la fuerza del gas se debe a la presión que ejerce
este sobre el pistón en el proceso de expansión. Sea Fg la fuerza del gas, Pg la presión
del gas, Ap el área del pistón y Dp el diámetro interior del cilindro que en este caso es
igual al diámetro del pistón, por lo que el área del pistón es:

𝐴𝑔 =
𝜋
4
𝐷𝑝
2 (8.1)

La fuerza ejercida sobre esta área es:

Fg = −PgAg (8.2)

Al reemplazar el área se obtiene

𝐹𝑔 = −
𝜋
4
𝑃𝑔𝐷𝑝
2 (8.3)

Se reemplaza la ecuación (7.28) en (8.3) para obtener:

𝐹𝑔 = −
𝜋𝑀𝑅𝐷𝑝
2
4
(

(8.4)

La fuerza del gas distribuida sobre la superficie del pistón se convierte en una sola
fuerza Fg que actúa a través del centro de masa del pistón, el signo negativo se debe
a la orientación de la fuerza contraria a la dirección positiva de x en la figura 25.

Este par de torsión se debe a la fuerza del gas Fg que actúa en un brazo de momento
con respecto al centro de la manivela O2. El brazo varía desde cero

Figura 25. Presión y fuerza del gas sobre el pistón

Hasta un máximo conforme voltea la manivela. Un análisis al sistema de fuerzas que
concurren en el punto B de la figura 26 determina que:

𝐹𝑔14 = 𝐹𝑔𝑡𝑎𝑛∅ (8.5)

𝐹𝑔34 = −𝐹𝑔𝒊 − 𝐹𝑔𝑡𝑎𝑛∅𝒋 (8.6)

Figura 26. Diagrama cuerpo libre análisis de fuerza del gas mecanismo
manivela-corredera

Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice
Hall, 2011. p. 523

El par de torsión motriz Tg21 generado por la fuerza del gas puede determinarse a partir
del producto de la fuerza Fg14 o Fg41 y la distancia x que es el brazo de momento
instantáneo con respecto a O2.

Tg21 = Fg41 . xk (8.6)

Al sustituir la ecuación (6.17) y (8.2) en la ecuación (8.3) se tiene que:

𝑇𝑔21 = (𝐹𝑔𝑡𝑎𝑛∅) (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙
+
𝑟2
4𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙
) (8.7)

Es posible expresar 𝑡𝑎𝑛∅ en términos de wt

𝑡𝑎𝑛∅ =
𝑞−ℎ
𝑢
=
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙𝑐𝑜𝑠∅
(8.8)

Reemplazando (6.7) en la ecuación (8.8) se tiene:

𝑡𝑎𝑛∅ =
𝑞−ℎ
𝑢
=
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙( √1−(
𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−ℎ
𝑙
)
22
)
(8.10)

El radical de la ecuación (8.10) se reemplaza por la expresión (6.14)

𝑡𝑎𝑛∅ =
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙(1−
1
2
(
𝑟2
𝑙2
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡−
2𝑟
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡+
ℎ2
𝑙2
))
(8.10)

Desarrollando el denominador

𝑡𝑎𝑛∅ =
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙−
𝑟2
2𝑙
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡+𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡+
ℎ2
𝑙
(8.11)

Reemplazando (8.11) en (8.7) se obtiene: la ecuación para el par de torsión motriz
Tg21 en términos de wt

𝑇𝑔21 = 𝐹𝑔 (
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙−
𝑟2
2𝑙
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡+ 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−
ℎ2
2𝑙
)(𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙
+
𝑟2
4𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙
) (8.12)

En la ecuación (8.12) se reemplaza la expresión para la fuerza (8.4) y se obtiene la
ecuación para el par de torsión motriz debido al gas Tg21 en términos de wt

𝑇𝑔21 = −
(

𝜋𝑀𝑅𝐷𝑝
2
4
(

)

∗
(
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ𝑙−
𝑟2
2𝑙
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡+ 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−
ℎ2
2𝑙
)(𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙
+
𝑟2
4𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙
) (8.13)

8.2 PARES DE TORSIÓN DE INERCIA Y SACUDIMIENTO

El torque de inercia también llamado de sacudimiento es el torque debido a las fuerzas
inerciales de los eslabones en movimiento. Su contribución neta al movimiento del
mecanismo es cero, pero ayudan a que el mecanismo pueda pasar a través de sus
puntos muertos (aquellas configuraciones en que el ángulo de transmisión se acerca
o es igual a 0° o 180°). La expresión para el torque de inercia se aplica dos veces, ya
que tanto el pistón como el desplazador juegan un papel en este sentido.

En el punto A la componente tangencial tiene un brazo de momento de radio de
manivela r, Si su w es constante la masa en A no aporta el par de torsión de inercia.

El pistón tiene una componente de inercia en la dirección x, excepto cuando este se
encuentra en PMS o PMI. De la figura 20 el par de torsión generado por esta fuerza
puede expresarse como:

𝑡𝑔∅ =
𝐹𝑖41
𝑚𝐵�̈�
⟹ 𝐹𝑖41 = 𝑡𝑔𝜙𝑚𝐵�̈� (8.14)

𝑇𝑖21 = (𝐹𝑖41 . 𝑥)𝒌 = (−𝐹𝑖14 . 𝑥)𝒌 (8.15)

En (8.15) se sustituye la expresión (6.17) para x

𝑇𝑖21 = −(−𝑡𝑔𝜙𝑚𝐵�̈�) (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙
+
𝑟2
4𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙
)𝒌 (8.16)
Al reemplazar la ecuación (8.11) de 𝑡𝑔𝜙 en (8.16) se tiene:
59

𝑇𝑖21 = −(−𝑚𝐵�̈�) [
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙−
𝑟2
2𝑙
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡+𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡+
ℎ2
𝑙
] (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙
+
𝑟2
4𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙
) 𝒌 (8.17)

𝑇𝑖21 = 𝑚𝐵 [
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙−
𝑟2
2𝑙
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡+𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡+
ℎ2
𝑙
] (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙
+
𝑟2
4𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙
) ∗
(−𝑟𝑤2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 −
𝑟2𝑤2
𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑤2𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡) 𝒌 (8.18)

8.3 TORQUE DE LA FUERZA DEL GAS Y EFECTO DEL DESCENTRADO

La fuerza del gas que es perpendicular al área del pistón y paralela al eje de la
corredera, actúa con el brazo h para generar un torque respecto al eje de la manivela
como se aprecia en la figura (25), por lo que el torque está dado por:

𝑇𝑔ℎ = 𝐹𝑔ℎ (8.19)

Reemplazando en (8.19) la expresión para Fg de (8.4) se tiene:

𝑇𝑔ℎ = −
ℎ𝜋𝑀𝑅𝐷𝑝
2
4
(

(8.20)

8.4 TORQUETOTAL DEL MOTOR

El par de torsión absoluto que se genera en el eje de la manivela es la suma de los
pares debido a las fuerzas de inercia y los pares generados por la fuerza del gas:

𝑇𝑡 = 𝑇𝑔 + 𝑇𝑖 + 𝑇𝑔ℎ (8.21)

Donde:
60

𝑻𝒈𝒉 = −
ℎ𝜋𝑀𝑅𝐷𝑝
2
4(
(𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑟+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝)+(𝑉𝑝𝑎
2 −2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑑𝑎
2 )
1
2⁄ (1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝛿))
𝑇𝑐
+
𝑉𝑟
𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+
𝑉𝑐𝑙𝑒+𝑉𝑑𝑎(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+∅+𝜋))
𝑇𝑓
)

𝑻𝒊𝟐𝟏 = 𝑚𝐵 [
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡) − ℎ
𝑙 −
𝑟2
2𝑙
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 +
ℎ2
𝑙
] (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙
+
𝑟2
4𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙
)
∗ (−𝑟𝑤2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 −
𝑟2𝑤2
𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑤2𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡) 𝒌

𝑻𝒈 = −
(

𝜋𝑀𝑅𝐷𝑝
2
4(
(𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑟+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝)+(𝑉𝑝𝑎
2 −2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑑𝑎
2 )
1
2⁄ (1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝛿))
𝑇𝑐
+
𝑉𝑟
𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+
𝑉𝑐𝑙𝑒+𝑉𝑑𝑎(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+∅+𝜋))
𝑇𝑓
)
)

∗ (
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡) − ℎ
𝑙 −
𝑟2
2𝑙
𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙
) ∗ (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙
+
𝑟2
4𝑙
𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙
)

9. IMPLEMENTACIÓN HOJA DE CÁLCULO

En la preparación de este análisis se han logrado expresiones con la finalidad de
obtener un modelo matemático que describa aproximada y teóricamente el
comportamiento de un motor Stirling de configuración gamma de baja potencia. Las
ecuaciones que conforman este modelo están encaminadas a hallar la presión del gas
(7.28)y el torque total que se ejerce sobre el eje de la manivela (8.1), por lo tanto estos
serían el punto de análisis y de comparación para las diferentes arquitecturas que
generan cada posible conjunto de variables.

Dado que no es fácil fabricar una serie de motores Stirling con diferentes
configuraciones para su respectivo análisis, se advierte que este modelo matemático
ayuda a estudiar el comportamiento o las tendencias de las variaciones de los
parámetros del motor. Montar y desarrollar estas ecuaciones en una hoja de cálculo
como Microsoft office Excel 2007 permite tener una herramienta que se convierte en
un simulador matemático con el cual es posible analizar y optimizar la presión del gas
y torque total de un motor Stirling tipo gamma.

En esta hoja de cálculo las celdas donde se digita el valor para las variables de entrada
tienen fondo amarillo y se emplea el sistema internacional de unidades SI. En la figura
27 se ilustra la pantalla principal de esta hoja de cálculo.

9.1 VARIABLES

Las variables creadas para esta hoja de cálculo son:

r = longitud de la manivela

Lb = longitud de la biela

h = distancia entre el eje de la corredera y el eje de la manivela.

Dd = es el diámetro del elemento desplazador

Dp = es el diámetro del pistón en el lado frío

Ddt = es el diámetro del ducto que comunica los cilindros

Figura 27. Pantalla principal hoja de calculo

Ld = longitud del desplazador

Lp = longitud del pistón

Ldt = longitud del ducto que une los cilindros

Lclde = longitud del volumen muerto en la zona de expansión o lado caliente del
desplazador

Lcldc = longitud del volumen muerto en la zona de compresión al lado del
desplazadoro lado frío del desplazador

Lclp = longitud del volumen muerto en la zona del pistón

Lclp = longitud zona muerta lado del pistón

Tf = temperatura del lado frío

Tc = temperatura del lado caliente

Tr = temperatura del gas en el regenerador.

%Vd = porcentaje del volumen del desplazador por el gas en el regenerador

R = constante de los gases ideales

m2a = sección de masa equivalente de la manivela-pistón en el punto A

m3a = sección de masa equivalente de la biela-pistón en el punto A

m3b =sección de masa equivalente de la biela-pistón en el punto B

m4 =masa del pistón en el punto B

m5a’= sección de masa equivalente de la manivela-desplazador en el punto A

m6a’ = sección de masa equivalente de biela - desplazador en el punto A

m6b’ = sección de masa equivalente de biela – desplazador en el punto B

m7 = masa del desplazador

φ = ángulo de desfase del desplazador

Ƿ = densidad del gas de trabajo

9.2 DESCRIPCIÓN DE HOJA DE CÁLCULO

La hoja de cálculo consta de los siguientes bloques:

 Variables dimensionales de los mecanismos manivela biela. Se recuerda que estas
dimensiones son idénticas para el pistón y el desplazador.

 Variables dimensionales del pistón, desplazador, y volúmenes muertos.

 Propiedades del gas de trabajo.

 Masas equivalentes para los mecanismos manivela biela del pistón y desplazador.

 Alertas por inconsistencias en valores asignados.
64

 Curva de presión del gas de trabajo y del torque toral.

 Cálculos generales.

Variables dimensionales de los mecanismos manivela biela. La longitud de la
manivela se digita en la celda C7, la altura de descentrado h en la celda C8 y la
longitud de la biela en C9. La celda E7 contiene la velocidad angular y la casilla E8
contiene el ángulo de desplazamiento entre la manivela del pistón y la manivela del
desplazador. En la celda E9 se realiza el chequeo de la restricción para las valores de
r, L y h. Ver figura 28. En este bloque no es correcto digitar valores negativos.

En la figura 28 se ilustra la correspondencia de estas variables en la hoja de cálculo
con el modelo del mecanismo manivela biela de pistóny desplazador. Es de notar que
las variables r, h y L solo se solicitan una vez dada la suposición de que son idénticas
para el mecanismo del pistón y del desplazador.

Figura 28 Bloque de variable dimensional para los mecanismos manivela biela
del pistón y desplazador.

Figura 29. Bloque de variable dimensional para los mecanismos manivela biela
del pistón y desplazador

Variables dimensionales del pistón, desplazador, y volúmenes muertos. En este
bloque se solicitan las dimensiones del pistón y desplazador, de los volúmenes
muertos y del elemento que los comunica. En la figura 30 se presenta una ilustración
de este bloque.

Figura 30. Bloque correspondiente a las dimensiones del pistón, desplazador y sus
volúmenes muertos.

En H7 y H8 se digitan los valores para la longitud del pistón y del desplazador. J7 y J8
contienen los diámetros del pistón y del desplazador. Las celdas H9 y J9 son la
longitud y diámetro respectivamente del conducto que comunica el volumen de
compresión del lado desplazador con el lado del pistón. L7 contiene la longitud del
volumen muerto de compresión del lado pistón, L8 la longitud del volumen muerto de
compresión lado desplazador y L9 es la longitud del volumen muerto del expansión
66

lado desplazador. La figura 31 ilustraciones la asignación de variables en celdas de
la hoja de cálculo según corresponde en los volúmenes del modelo planteado para el
motor Stirling analizado en el presente informe. En este bloque no es correcto digitar
valores negativos.

Figura 31 Asignación de variables en celdas de hoja de cálculo para espacios de pistón
y desplazador.

Propiedades del gas de trabajo. En este bloque se consignan las propiedades del
gas de trabajo. La celda O7 contiene la temperatura del lado frio que corresponde al
pistón y O8 la temperatura del lado caliente relacionada al desplazador. Q7 es la
densidad del gas de trabajo y Q8 es la constante para los gases ideales. O9 almacena
el porcentaje de gas que puede albergar el cuerpo del desplazador que a su vez es el
regenerador. Ver figura 32.

Figura 32. Bloque de propiedades del gas de trabajo

Masas equivalentes. En este bloque se introducen las masas equivalentes para los
mecanismos manivela biela del pistón y desplazador. En la hoja de cálculo aparece
como de muestra en la figura 33.

Figura 33. Bloque para variables de propiedades del gas de trabajo

La figura 33 presenta un esquema de la ubicación de las componentes de las masas
equivalentes para los puntos A, A’, B, B’ que son los puntos tenido en cuenta en esta
hoja de cálculo.

m2A masa de la manivela 2 del pistón concentrado en el punto A.

m3A corresponde a la masa de biela 3 concentrada en el punto A.

m3B masa de biela concentrada en el punto B equivalente al pistón.

m4 masa de pistón concentrada en el eje de B.

m5A’ masa de la manivela de desplazador concentrada en el pasador A’

m6A’ masa de la biela del desplazador concentrada en el pasador A’

m6B’ masa de la biela del desplazador concentrada en el pasador B’

m7 masa del desplazador concentrada en el eje 7.

Figura 34. Ubicación de las componentes de las masas equivalentes para los
puntos A, A’, B, B’ en el modelo del mecanismo manivela pistón.

Alertas. Estas son elementos que se activan en el momento que se introducen
algunos valores inconsistentes y se manifiestan colocando en rojo la casilla en la que
se digito el valor errado, además se presenta un rótulo pidiendo verificar el error
cometido. Las alertas que activa esta hoja de cálculo son:

Verificar que (r+h)/L< 1

Que el cociente (r+h)/L sea menor que uno es una condición necesaria para la
solución de la ecuación (6.8). Esta alarma advierte que se han digitado una
configuración que no cumple esta condición y el programa detiene los cálculos. Se
debe corregir esta situación cambiando valores de r, h y L hasta que se cumpla la
condición (r+h)/L< 1

Verificar que Tf < Tc

Esta alerta verifica que la temperatura relacionada con el desplazador sea siempre la
caliente o la mayor de las dos y que la temperatura relacionada con el pistón sea
siempre la menor o la temperatura fría.

Curva de presión del gas de trabajo y del torque total. La hoja de cálculo presenta
la curva del comportamiento de la presión del gas de trabajo con respecto a la posición
de la manivela en la gráfica izquierda de la pantalla y el comportamiento del torque
total del motor durante una revolución en el eje de la manivela en la gráfica derecha
de la pantalla.
70

10. ANÁLISIS DE RESULTADOS

Variando los parámetros geométricos y termodinámicos es posible obtener una
variedad de configuraciones para el motor Stirling estudiado en el presente informe.
La hoja de cálculo permite analizar y comparar los efectos que causan en la presión
del gas y el torque total para cada una de estas arquitecturas del motor Stirling.

Manteniendo constantes las variables termodinámicas se analiza el comportamiento
de la presión del gas y del torque según se varía la altura h. La temperatura del lado
frío permanece en 28oC y la temperatura del lado caliente en 200oC, la densidad del
aire está en 1,184 kg/cm3. Los valores para las masas equivalentes y los espesores
del pistón y desplazador son como aparecen en la figura 35.

Figura 35. Valores iníciales para análisis de configuraciones del motor

Primera configuración h = 0

Este arreglo de motor Stirling está caracterizado por las variables que se presentan
en la figura 35. La presión del gas varia aproximadamente entre 114100 y 112800
Pas, ver figura 36. Esta presión alcanza su máximo valor a los 275 grados de giro de
la manivela aproximadamente.

El torque para esta primera configuración toma valores entre -0,8 y 0,7 Nm y su
máximo valor se alcanza a los 90 grados de giro para la manivela como se muestra
en la figura 37.

Figura 36. Presión del gas para la primera configuración del motor con h = 0 m.

Figura 37. Valores para el torque en la primera configuración del motor con h =
0

Segunda configuración. h < r

Sin variar los parámetros termodinámicos solamente se modifica la longitud de h a
0,01m que es la segunda configuración, los otros valores se muestran en la figura 38.

Para esta segunda disposición la curva de presión se muestra en la figura 39 donde
se nota que la presión del gas de trabajo no sufre cambios notables en comparación
con la anterior configuración.

Figura 38. Valores para la segunda configuración h=0,01 m

Los resultados para valores del torque se presentan el al figura 40 y se observa que
estos oscilan entre -0,8 y 0,7 Nm aproximadamente. El valor máximo del torque se a
los 90 grados de giro de la manivela. En comparación con la disposición anterior, se
nota que al incrementar la longitud de la altura h de 0 m a 0,01m la presión en el gas
de trabajo y el torque permanece relativamente constante.

Figura 39. Curva del gas de trabajo para la segunda disposición h = 0,01 m.

Figura 40. Curva del torque para segunda disposición del motor con h = 0,01 m

Tercera configuración. h = r

La tercer configuración del motor Stirling se logra haciendo la longitud de h = 0,02m.
Para esta disposición la curva de presión se presenta en la gráfica 10.7 y no se
observa mayor variación en estos valores. Los valores del torque son muy similares
oscilando entre -0,7 Nm y 0,7 Nm, la diferencia es que el área bajo la curva de valores
positivos de toque se hace mayor, se puede concluir que en esta configuración el
motor puede funcionar con mayor facilidad al lograr producir un torque mayor que el
consumido para su funcionamiento.

Figura 41. Comportamiento de la presión para h= 0,02m

Figura 42. Comportamiento