Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Lea materiales sin conexión, sin usar Internet. Además de muchas otras características!
Variable compleja y ecuaciones diferenciales
Josue
Compartir
Vista previa del material en texto
: - -. ~ . .~ '. ,. ,.., . • ~ I ~ .. -
, \~ .. ".
.-'l.
"
I ,"' " .
.
'.:L " ",. ~~~ ~~l~ . t~~~l~J~ .
"
~
. ~t~~t ~~~~ ~ ~~~~~t ~l~~
,
R. ~USTtR l. GIMtNtl
. . . tDITORIAl RtVtRTÉ, S,A .
l' .
http://carlos2524.jimdo.com/
~ - - -- -
http://carlos2524.jimdo.com/
http://carlos2524.jimdo.com/
,
R. ~USTtR l. GIMtNtl
Departamento de Matemática Aplicada
Universitat Politecnica de Valencia
EDITORIAL REVERTÉ, S.A.
Barcelona-Bogotá-Buenos Aires-Caracas-México
http://carlos2524.jimdo.com/
Propiedad de:
EDITORIAL REVERTÉ, S.A.
Loreto, 13-15, Local B
08029 Barcelona
Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cual-
quier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático,
y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda ri-
gurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las
sanciones establecidas por las leyes.
Edición en español
© EDITORIAL REVERTÉ, S.A., 1995
Impreso en España - Printed in Spain
© R. FUSTER, l. GIMÉNEZ
ISBN - 84 - 291 - 5032 - 3
Depósito Legal: B - 10558 - 1995
Impreso por LlBERGRAF, S.L.
Constitución 19, interior (Can Batlló)
08014 BARCELONA
http://carlos2524.jimdo.com/
Prólogo
Aunque es imposible ofrecer un curso que se adapte totalmente a los
planes de estudio de cada una de las carreras técnicas, es evidente que las
ecuaciones diferenciales ordinarias y la variable compleja, en mayor o menor
medida, forman parte fundamental de los contenidos de las asignaturas de
matemática aplicada de todas ellas. Pretendemos que este texto sirva de
base, apoyo o consulta, tanto al profesor como al estudiante de carreras de
ingeniería o ciencias que ya han cubierto al menos un primer curso de cálculo
y álgebra lineal.
Nuestra intención ha sido la de hacer un libro ameno, completo, pero 10
más conciso posible en cuanto a los contenidos: creemos que la mejor forma
de presentar un resultado -al menos en un libro de texto- no es casi nunca la
más general. También nos pemos propuesto mantener un razonable equilibrio
entre el rigor y la intuición, procurando desterrar el formalismo (rigor no es
formalismo) que en muchas circunstancias sólo les sirve a los estudiantes
para oscurecer y hacer ininteligible aquello que era claro y perfectamente
compren si ble.
Por otra parte, hemos intentado dar a nuestro texto una cierta origi-
nalidad en la presentación de la materia, aunque somos conscientes de la
dificultad de esta empresa en un tema tan bien conocido y sobre el que se
han escrito textos de gran calidad científica y pedagógica.
Probablemente, la novedad más aparente radica en una cierta violación
de la tradición docente: que nosotros sepamos, tanto en las escuelas técni-
cas como en las facultades de ciencias o de matemáticas, el estudio de las
ecuaciones diferenciales ordinarias suele preceder al de la variable compleja.
Esta tradición está posiblemente justificada desde el punto de vista his-
tórico pero, a nuestro parecer, no 10 está desde una perspectiva didáctica:
por una parte, la teoría de ecuaciones diferenciales presenta escollos difíciles
de salvar sin el apoyo de la variable compleja (el primero de ellos puede ser
el tratamiento de las ecuaciones lineales con coeficientes analíticos); por otra
v
http://carlos2524.jimdo.com/
VI Prólogo
parte, es imposible fundamentar su estudio sin una cierta base de topología
de espacios métricos o de convergencia uniforme, 10 cual supone un grado de
abstracción considerablemente superior al que se requiere para una razonable
introducción de la variable compleja (básicamente, los prerrequisitos para tal
introducción consisten en un buen conocimiento del cálculo infinitesimal de
una y dos variables reales).
Así pues, hemos alterado el orden clásico en la presentación de la ma-
teria, desarrollando en primer lugar el estudio de las funciones de variable
compleja.
De este modo, el texto constará de dos partes. La primera, la presente,
constituye en sí misma un curso de variable compleja.
La segunda, en fase de preparación, consistirá en un curso de ecuaciones
diferenciales ordinarias complementado con temas relacionados con ellas y de
gran importancia en matemática aplicada, como las ecuaciones en diferencias
y las transformadas de Lap1ace.
Por razones de carácter didáctico, este primer volumen se ha organizado
en tres bloques y dos apéndices. El primero de estos bloques comienza con
un capítulo introductorio sobre las propiedades elementales de los núme-
ros complejos y contiene las propiedades acerca de sucesiones de números
complejos y de funciones complejas de variable compleja que pueden consi-
derarse como la generalización lógica de las correspondientes propiedades en
el contexto real.
El segundo bloque constituye el cuerpo del texto y contiene los resultados
clásicos de la variable compleja. Hemos procurado ofrecer un tratamiento
moderno, claro y elemental, evitando entrar en temas que podrían resultar
escabrosos para un alumno que toma su primer contacto con la teoría. Así,
el lector no encontrará ninguna alusión a funciones multiformes (definimos
con precisión las determinaciones del logaritmo como distintas funcionés uni-
formes) o a la topología de los conjuntos simplemente conexos (a todos los
efectos que nos incumben, el concepto de conjunto estrellado, perfectamente
claro tanto intuitiva como analíticamente, es suficiente).
Finalmente, el tercer bloque se dedica al estudio de la convergencia uni-
forme de sucesiones y series de funciones y de integrales paramétricas en el
campo complejo, finalizando con la aplicación de los resultados obtenidos al
estudio de las funciones r y f3 de Euler. Los dos apéndices finales retoman
el problema de la convergencia uniforme, ahora en el caso de la variable real.
Su inclusión como tales apéndices se justifica por varias razones. Por una
http://carlos2524.jimdo.com/
Prólogo VII
parte, es obvio que los estudiantes a los que va dirigido el texto poseen dis-
tintos niveles de conocimiento del análisis de una variable real y en concreto
no todos ellos han estudiado el problema de la convergencia uniforme (real).
Por otra parte, nos parece muy interesante la comparación de los resultados
en los dos casos (real y comp1ejo*). Finalmente, el conocimiento de las pro-
piedades básicas de la convergencia uniforme (en variable real y compleja)
va a ser imprescindible en la segunda parte de este libro.
Un curso elemental de variable compleja podría estar constituido por los
dos primeros bloques de este texto. Si se opta por el estudio de la convergen-
cia uniforme, sugerimos la lectura previa al menos del primer apéndice, ya
que es aquí donde hemos intentado justificar las ideas intuitivas, dando por
sentado en el capítulo 11 que e11ector ya está familiarizado con el concepto
de convergencia uniforme.
En todo caso, si se ha de proseguir con el tratamiento de las ecuaciones
diferenciales es necesario, como ya se ha dicho, estudiar también el tercer
bloque y los dos apéndices.
La estructura del texto (con la relativa salvedad de los dos apéndices
finales) es perfectamente lineal: cada capítulo sucede de forma lógica al an-
terior y presupone leídos todos los que le preceden. Los capítulos se dividen
en secciones y ocasionalmente en subsecciones, con la intención de hacer más
aparente la estructura de la materia.
Al final de cada uno de ellos el alumno encontrará una colección de
ejercicios y problemas, que van desde los ejercicios de cálculo destinados a
la consolidación de las técnicas estudiadas en el texto hasta los problemas
que permiten a11ector interesado la profundización en la teoría, pasando por
otros problemas que se resuelven por aplicación más o menos directa de la
teoría o, que anticipan o sugieren el desarrollo posterior de la mismat . Los
ejercicios y problemas de cada capítulo se clasifican, aproximadamente, en
las mismas secciones que éste.
Tal vez la resolución de algún problema puede presentar serias dificulta-
des . En todo caso, no nos interesan los problemas difíciles, SÍ'no aquellos que
tienen interés en sí mismos, ya sea por los resultados que se obtienen o por
las técnicas que se precisan para resolverlos.
'Evidentemente, los autores pretenden convencer al lector de la excelencia de la
variable compleja.
tHasta llegar al capítulo 7 nos hemos dedicado a pers eguir a la función exponen-
cial a través de las sucesivas secciones de problemas.
http://carlos2524.jimdo.com/
l
VIII Prólogo
Este texto es el resultado de un largo período de trabajo, costoso pero
muy satisfactorio, porque nos ha obligado a estudiar en profundidad algunas
obras, como las que citamos en la bibliografía, verdaderamente hermosas.
Debemos, y lo hacemos con sumo placer, agradecer a nuestros compañeros
sus múltiples consejos y sugerencias (de todo tipo: científicas, literarias o
estéticas). A editorial Reverté que ha tenido la amabilidad de publicar esta
obra. Y muy especialmente a nuestros amigos Antonio Marquina - que nos
enseñó variable compleja- y Josep H. Canós, Cristina Corral, Vicent del
Olmo, Juan Carlos Ferrando y Josep Mas. Todos ellos han corregido errores,
sugerido problemas y mejorado el texto en muchos aspectos.
R.F. e I.G.
VALENCIA, MAYO DE 1992
http://carlos2524.jimdo.com/
Prólogo
Números complejos y funciones complejas
1 Los números complejos
1.1. Los números complejos: introducción.
1.2. Los números complejos y el álgebra. .
1.3. Los números complejos y la geometría
1.3.1. La forma polar
Ejercicios y problemas
2 Sucesiones y series
2.1. Sucesiones convergentes ... . ....... .
2.2. Sucesiones divergentes y el punto del infinit.o
2.3. Series de números complejos.
2.3.1. Series biláteras
Ejercicios y problemas
3 Funciones complejas
3.1. La topología de ([: ..... . ...... .
·3.2. Funciones complejas de variable real .. .
3.3. Funciones complejas de variable compleja
3.4. El teorema fundamental del álgebra
Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . .
4 Funciones holomorfas
4.1. La definición de derivada .... . .
4.2. Las condiciones de Cauchy-Riemann
4.3. Propiedades de las derivadas
Ejercicios y problemas . . . . . . .
IX
Indice
v
3
3
5
9
11
16
21
21
23
27
31
32
37
37
38
42
44
47
53
53
54
57
64
http://carlos2524.jimdo.com/
x In dice
Funciones analíticas
5 La integral curvilínea
5.1. Caminos ..... .
5.2. La integral curvilínea. Primitivas
Ejercicios y problemas . . . . . . . . .
6 El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas
6.1. El teorema de Cauchy-Goursat .... . .
6.1.1. Conjuntos estrellados y primitivas
6.2. Las funciones logarítmicas
Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . .
7 Series de potencias. Funciones elementales
7.1. Series de potencias complejas ...... .
7.1.1. Derivación de una serie de potencias
7.2. Las funciones elementales .. .. . .
7.2.1. La función . exponencial ... .
7.2.2. Las funciones trigonométricas
7.2.3. Las funciones hiperbólicas
7.2.4. Potencias complejas
7.3. Series de potencias biláteras
Ejercicios y problemas
8 Funciones analíticas
8. 1. Funciones analíticas ........ .
8.1. 1. Indice de un camino cerrado.
8.2. Funciones holomorfas en un abierto.
8.2.1. La serie binómica ...... .
8.3. Las consecuencias ..... . .... .
8.3.1. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville .
8.3.2. Principio de los ceros aislados
8.3.3. Principio del módulo máximo
8.3.4. La regla de I'H6pital
Ejercicios y problemas . . . . '. .
9 Series de Laurent. El teorema de los residuos
9.1. Serie de Laurent en un ani llo . . . .
9.2. Singularidades aisladas. Clasificación
9.3. El teorema de los residuos
Ejercicios y problemas
71
71
78
85
87
87
92
95
101
105
106
108
113
113
116
119
119
121
123
131
132
134
139
141
145
145
147
150
151
152
157
157
165
167
173
http://carlos2524.jimdo.com/
Indice XI
10 Aplicaciones del teorema de los residuos 175
10.1. Cálculo de integrales reales . . . . . . . 176
10.1.1. Integrales del tipo 12" R(sent,cost)dt 176
1
+ 00
10 .1.2. Integrales del tipo - 00 F(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.1.3 . Integrales del tipo ¡:oo F(t) cos atdt ó ¡: F(t) sen atdt 182
10.1.4. Integrales de funciones con polos en el eje real . 185
10.1.5. Integrales del tipo 1+00 t a F(t)dt . . . 189
10.2. Principio del argumento. Teorema de Rouché 192
Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . .. 197
Convergencia uniforme
11 Sucesiones y series de funciones de variable compleja 203
11.1. Convergencia puntual y uniforme . . . . . . 203
11.1.1. El teorema de Morera . . . . . . . . 205
11.1.2. Convergencia uniforme y derivación 206
11.2. Series de funciones 208
Ejercicios y problemas . . . 210
12 Integración paramétrica 215
12.1. Integrales paramétricas propias . . . . . . . . . 215
12.2. Integrales paramétricas impropias. . . . . . . . 219
12.2.1. Integrales impropias de primera especie 220
12.2.2. Integrales paramétricas impropias de primera especie. 221
12.2.3. Integrales paramétricas impropias de segunda especie 225
12.2.4. Integrales paramétricas impropias: caso general 227
Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13 Las funciones de Euler 231
13.1. La función Gamma
13.1.1. La función Gamma de variable real.
13.1.2. Prolongación analít ica de Gamma
13.2. La fun ción Beta ............ .
13.3. Relación entre las funciones (3 y r
13.4. Aplicaciones de las funciones de Euler
13.4 .1. La fórmula de Wallis ..
13.4.2 . La distribución normal.
Ejercicios y problemas . . . .
231
234
238
242
246
248
248
250
251
http://carlos2524.jimdo.com/
XII Indice
Apéndices
A Sucesiones y series de funciones real~s. Series de potencias 259
A.l. Sucesiones de funciones . . .. . . . . . . . . . . . .... . 259
A.l.l. Convergencia puntual y uniforme . . . . . . . . . . . 260
A.1.2. Convergencia uniforme , continuidad e integrabilidad 264
A.1.3. Convergencia uniforme y derivación . .. .. ... . 266
A.2. Series de funciones .. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
A.2 .1. Criterios de convergencia uniforme para series de funciones 270
A.3 . Series de potenci'¡jg . . . . . . . . . . . 275
A.3.1. Serie de Taylor de una función 280
A.3.2. Teorema del límite de Abel 284
B ' Integrales paramétricas reales 287
B.l. Integral paramétrica propia 288
B.l.1. Extremos dependientes del parámetro 295
B.2 . Integral paramétrica impropia. . . . . . . . . 298
B.2.1. Integrales paramétricas impropias de primera especie. 299
B.2.2. Integrales paramétricas impropias de segunda especie 304
B.2.3. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Lista de figuras 310
Bibliografía 311
Indice alfabético 315
http://carlos2524.jimdo.com/
259
259
260
264
266
267
ones 270
275
280
284
287
288
295
298
299
304
306
310
311
315
A Guillem i Claudia que han crescut amb aquest llibre
I.G.
http://carlos2524.jimdo.com/
.. , ..
http://carlos2524.jimdo.com/
Números complejos
y funciones complejas
http://carlos2524.jimdo.com/
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 1
Los números complejos
Los números reales suelen introducirse, sea definiéndolos en forma
axiomática, sea construyéndolos a partir de los números racionales,
con el fin de asegurar la existencia de raíces cuadradas para todos los
números positivos, lo que resulta conveniente desde el punto de vista
geométrico, dado que el cuerpo de los números racionales no es el idó-
neo para medir longitudes. Ahora bien, los números reales también
resultan deficientes, al menos si adoptamos una postura algebrista, ya
que, por ejemplo, no nos permiten extraer raíces cuadradas de núme-
ros negativos. Como consecuencia de ello, sabemos que la ecuación
polinómica
ax 2 + bx + c = O
sólo puederesolverse (en lR) cuando b2 - 4ac 2: o. Para subsanar esta
dificultad, entre otras, se introducen los números complejos.
1.1. Los NÚMEROS COMPLEJOS: INTRODUCCIÓN
Nuestro objetivo es ampliar el cuerpo lR de los números reales de tal
modo que obtengamos un conjunto de números complejos, que repre-
sentaremos por e, en el cual se puedan realizar las operaciones suma
y producto y que éstas tengan las mismas propiedades que en el caso
real: esto es, e deberá ser un cuerpo conmutativo que contenga a lR.
y queremos que en este cuerpo existan las raíces cuadradas de todos
los números. El método que vamos a seguir para ello es el de dar por
supuesto que dicho cuerpo existe y deducir así su estructura.
http://carlos2524.jimdo.com/
4 Capítulo 1: Los números complejos
Dado que -1 no tiene raíz cuadrada real, en e existirá un número,
que representaremos por i, que no es real y posee la propiedad siguien-
te: i 2 = -1. Como C es un cuerpo, debemos poder multiplicar y
sumar i con todos los números reales, de manera que expresiones como
a + bi deberán tener sentido en C. En otras palabras, si a y b son dos
nó.meros reales, a + bi es un número complejo (más tarde veremos cómo
no necesitaremos añadir más números al conjunto C).
Consideremos entonces dos números complejos de la forma a + bi y
c + di Y veamos qué podemos decir sobre ellos.
Es fundamental saber cuándo a + bi = c + di: dado que C es un
cuerpo conmutativo, aplicando las propiedades de esta estructura, te-
nemos que
a + bi = c + di
es equivalente a
a - c = (d - b)i (1.1 )
Ahora bien, si tuviéramos b i= d, resultaría: i = ~:::: ~, lo cual es imposible
dado que i no es un número real. Así pues, b = d Y entonces, de (1.1)
se s~gue que a = c.
Hemos , pues , obtenido así el primer resultado importante sobre los
números complejos:
Sean a, b, c y d números reales. Entonces, a + bi = c + di si y sólo
si a = c y b = d. *
Volviendo a los dos números a + bi Y e + di, pasemos a calcular su
suma y su producto: teniendo en cuenta las propiedades conmutativa
y asociativa, obtenemos sin dificultad que
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
donde podemos observar que se mantiene la estructura inicial de número
real + número real xi; para el producto debemos trabajar un poco más:
*Si el lector considera que la anterior propiedad era evidente , le sugerimos que
considere los números racionales 1/2 y 3/6.
http://carlos2524.jimdo.com/
Los números complejos y el álgebra
(a + bi)(c + di) ac + adi + hci + bdi2
ac + (ad + bc)i - bd
(ac - bd) + (ad + bc)i
5
Llegados a este punto, debemos observar una cuestión importante:
la suma y el producto de dos números de la forma a + bi son de la
forma a + bi. Este detalle tampoco es una trivialidad, dado que no
hemos supuesto todavía que todos los números complejos son de la
forma a + bi. Sin duda, este es el momento apropiado, no sólo para
hacer tal suposición, sino para convertirla en la definición de C.
1.2. Los NÚMEROS COMPLEJOS Y EL ÁLGEBRA
Definición 1.1 Sea i un objeto cualquiera que no sea un número real.
Un número complejo es cualquier expresión de la forma a + bi dondé
a y b son números reales. El conjunto de todos los números complejos
se representa por C, es decir
C={a+bi a,b E IR}
Se d,ice que dos números complejos a + bi y c + di son iguales cuando
a = e y b = d.
La suma y el producto de dos números complejos se definen res-
pectivamente por
(a + bi) + (e + di)
(a + bi)(c + di)
(a+c)+(b+d)i
(ac - bd) + (ad + bc)i
Se adoptan ' las siguientes convenciones con el fin de simplificar el uso
de los números complejos:
* Los números complejos de la forma a + Oi se representan sim-
plemente por a. Es evidente que forman un subconjunto de <C
algebraicamente idéntico a IR. Por lo tanto, estos numeros se
llamarán reales y podemos considerar que IR e C.
http://carlos2524.jimdo.com/
6 Capítulo 1: Los números complejos
* Los números complejos de la forma O + bi se representan simple-
mente por bi y se llaman imaginarios puros. (El número 0+ Oi,
aunque también responde a esta descripción se representa por O,
como en el primer caso.)
* El número li se representa por i y se llama unidad imaginaria.
(También a + li se escribe simplemente como a + i.)
Para denotar números complejos se suelen utilizar más comúnmente
las letras z y w. Así, z = a + bi quiere decir el número complejo z de
la forma a + bi, donde a y b son reales. Además, se utiliza la siguiente
terminología:
* a se llama la parte real de z y se escribe a = re( z)
* b se llama la parte imaginaria de z y se escribe b = im(z ).
Veamos ahora que e, así definido, tiene las propiedades que deseá-
bamos.
Teorema 1.1 El conjunto e con las operaciones suma y producto de-
finidas arriba tiene estructura de cuerpo conmutativo.
Demostración.- Las propiedades asociativa y conmutativa de la suma y
del producto y la distributiva se comprueban sin dificultad. El elemento
neutro de la suma es el número O, ya que
(a + bí) + O = (a + bí) + (O + Oí) = (a + O) + (b + O)i = a + bi
El opuesto de z = a + bi, -z, es -a + (-b)i (que escribiremos como
- a - bí) , el neutro del producto es el número 1 y, finalmente, si z =
a + bi i= O, su inverso, z-l = C + di, deberá cumplir que
ZZ-l = 1 = (ac - bd) + (ad + bc)í
es decir,
ac - bd 1
ad + bc O
http://carlos2524.jimdo.com/
Los números complejos y el álgebra 7
sistema lineal cuya solución es
a
c = -,---
a 2 + b2
es decir,
Teorema 1.2 i 2 = (_ i)2 = -l.
Demostración.- i 2 = (O + 1i)(0 + 1i) = (O - 1) + (O + O)i = - lo
Además, sabemos que en cualquier cuerpo se verifica la regla de los
signos, luego (_ i)2 = -1 O
Nótese que este resultado era evidente puesto que desde él prác-
ticamente hemos construido el conjunto e . Así, hemos obtenido las
raíces cuadradas de -1 y de este resultado podríamos deducir las raíces
cuadradas de cualquier número real (positivo o negativo) ene; hemos
pues alcanzado uno de los objetivos iniciales. Veamos a continuación
cómo el resultado es aún mejor.
Teorema 1.3 a) Dado z E e, existe w E e de manera que w 2
(_W)2 = z .t
b) Toda ecuación polinómica de segundo grado admite raíces com-
plejas.
D emostración. - a) Sea z = a + bi. Supondremos en principio que b > O.
Buscamos un w = x + yi que verifique (x + yi)2 = a + bi, es decir ,
Si elevamos estas dos expresiones al cuadrado y las sumamos , obtene-
mos
t w y - w se representan conjuntamente como vz ó ±vz. Si x es un número real
positivo , entonces se representa como Fx la raíz cuadrada positiva de x. Dado que
en re no podemos hablar de números positivos o negativos, no existe ninguna razón
obj etiva para representar como vz a una u otra de las dos raíces cuadradas de z.
http://carlos2524.jimdo.com/
8 Capítulo 1: Los números complejos
luego
y puesto que X2 - y2 = a
2X2 a + Ja2 + b2
2y2 - a +Ja2 +b2
es decir,
[J a + J a
2 + b2 J -a + J a2 + b2 .] w=± 2 + 2 z (1.2)
y se comprueba fácilmente la primera parte del teorema. (Se deja como
ejercicio para el lector la demostración de los casos b < O Y b = O.)
b) Dada la ecuación ax2 + bx + e = O, multiplicando por 4a y
sumando y restando convenientemente b2 , podemos escribirla como:
(2ax + b)2 + 4ac - b2 = O
de donde, despejando x, obtenemos la fórmula clásica para la ecuación
de segundo grado, que ahora sabemos que tiene solución en ce para
cualesquiera a, b, e números reales o complejos. O
Ejemplo.- Calculemos las raíces cuadradas de z = 1 + i . Según la
fórmula (1.2)
±y'Z ~ ± [JI +2v'2 + J-I; v'2;]
Como la fórmula (1.2) no parece sencilla de memorizar, podemos
repetir el proceso utilizado en la demostración para llegar hasta las
raíces pedidas:
(x + yi)2 = 1 + i ~ X2 - y2 + 2xyi = 1 + i
~ X2 - y2 = 1, 2xy = 1
~ x4 + y4 _ 2x2y2 = 1,4x2y2 = 1
~ x4 + y4 + 2x2y2 = (X2 + y2)2 = 2
~ X2 + y2 = V2 (-V2 no puede s er !)
http://carlos2524.jimdo.com/
Los números complejos y la geometría
y como x2 - y2 = 1, entonces,
X=±Jl+2V2y=±J-l;V2
y dado que 2xy = 1, x e y tienen el mismo signo, y se obtiene la misma
solución".
1.3. Los NÚMEROS COMPLEJOS Y LA GEOMETRÍA
(1.2)
La suma de números complejos y el producto de un número complejo
por un número real dan a e estructura de espacio vectorial sobre ]R (de
hecho, todo cuerpo es siempre espacio vectorial sobre sus subcuerpos,
incluido él mismo). Además, es absolutamente trivial que la aplicación
e ]R2deja como
= O.)
por 4a y
como:
a + bi (a, b)
es un isomorfismo de espacios vectoriales.
eje utiaquiario
bi ----e a + bi zI
I z+w
I
I
I
eje realI
1 a w
ecuación
en re para
Según la
• a - bi
podemos
hasta ·las
-(a + bi)
.~
Figura 1.1: Interpretación geométrica.
Este isomorfismo nos; permitirá trasladar muchas propiedades del
plano euclídeo ]R2 a C. En primer lugar, podemos identificar el número2
ser !) tPosteriormente veremos métodos más rápidos para calcular raíces.
9
http://carlos2524.jimdo.com/
10 Capítulo 1: Los números complejos
complejo a + bi con el punto (a, b) en un sistema plano de coordenadas
cartesianas rectangulares (véase en este sentido la figura 1.1) . Por este
motivo, el conjunto e suele llamarse también plano complejo (obsérvese
la analogía con la expresión recta rea0.
Llamaremos eje real y eje imaginario a los ejes de coordenadas hori-
zontal y vertical respectivamente. Desde el punto de vista geométrico,
la suma se puede identificar con la suma de los vectores libres según
la clásica ley del paralelogramo. El opuesto viene también dado por el
vector opuesto, es decir el simétrico del punto (a, b) respecto al origen.
Por analogía con el plano euclídeo, se define el módulo de un número
complejo como sigue:
Definición 1.2 Dado z = a + bi E e definimos su módulo como el
número real positivo va2 + b2 } que representaremos por 1 z l.
Geométricamente, 1 z 1 representa la longitud del vector (a, b) , de la
cual conoce ya el lector muchas propiedades:
1 z 1 ~ O Vz E e
1 z 1 = O si y sólo si z = O
. 1 z + w 1 :::; 1 z 1 + 1 w 1 Vz, w E e (desigualdad triangular)
1 az 1 = 1 a 11 z 1 Va E R Vz E e
1 - z 1= 1 z 1 Vz E e
1 z - w 1 ~ 11 z 1 - 1 w 11 Vz, w E e
Otras propiedades del inódulo se enuncian en el próximo teorema. Es
conveniente introducir previamente la definición del conjugado de un
número complejo.
Definición 1.3 El conjugado del número complejo z = a + bi se defin e
como z = a - bi.
El conjugado de z se representa gráficamente por su simétrico res-
pecto aJ eje real (ver figura 1.1 ). Sus propiedades se resumen a conti-
nuación junto con otras del módulo:
http://carlos2524.jimdo.com/
Los números complejos y la geometría 11
Teorema 1.4 Dados dos números complejos z y w,
a) 1 z 1 = 1 z 1
b) zz = 1 Z 12
c) si z =1= O entonces z-l z2 ¡;¡
d) z + w = Z + w, z - w = Z - w, -w - w
e) zw = zw, 1 zw 1 = 1 z 11 w 1
f) z = z
g) 1 Z - l 1 = 1 z 1-\ Z-l = z-¡
La demostración se deja como ejercicio para el lector. O
1.3.1. LA FORMA POLAR
Con el fin de dar un significado geométrico al producto de númf'Y'()~
complejos, resulta conveniente introducir las coordenadas polares en d
plano complejo (figura 1.2): sea z = a + bi un número complejo 11{)
nulo de módulo r y cuyo vector de posición forma un ángulo a con }ji¡
dirección positiva del eje real. Entonces, a = r cos a, b = r sen a y po!:
lo tanto,
z = r ( cqs a + i sen a) (1.3)
La expresión 1.3 se denomina forma polar o trigonométrica de z .
Conocidos 1 z 1 y a, a partir de la expresión (1.3) podemos deter-
minar el número z . Recíprocamente, conocidos a y b, las partes real e
imaginaria de z, podemos calcular su módulo 1 z 1= J a2 + b2 , pero el
ángulo a no está unívocamente determinado por el sistema
a 1 z 1 cos a
b 1 z 1 sen a
ya que dos números reales tienen el mismo seno y el mismo coseno
siempre que difieran en un múltiplo entero de 211" (ver la figura 1.2).
Este hecho resulta de extraordinaria importancia en el estudio de las
funciones de variable compleja, por lo que vamos a tratarlo de forma
preCIsa.
http://carlos2524.jimdo.com/
12 Capítulo 1: Los nlÍmeros complejos
z z
a + 271"
Módulo y argumento de z Otro argumento de z
Figura 1.2: Fo¡:ma polar de un número complejo.
Definición 1.4 Dado el número complejo no nulo z = a + bi, se llama
argumento de z al conjunto
Arg z = {a E ~
a
cosa = r;T'
b
sena = r;T}
Cada elemento a E Arg z se dice que es un argumento de z. Puesto
que en cada intervalo semiabierto de longitud 271" ~ x - 71", X + 7I"[) exis-
te un único elemento de Arg z, representaremos a éste por argx z. Se
llama argumento principal de z al argumento que se encuentra en el
intervalo [- 71",71" L es decir al argo, que representaremos sencillamente
por arg z .
Antes de seguir adelante con las propiedades del argumento, re-
calquemos que Arg z es un conjunto de números reales (de forma que
dos cualesquiera de ellos difieren en un múltiplo entero de 271") Y que
argx z, arg z son elementos de aquel conjunto.§
Otra cuestión importante es que para el número O no tiene sentido
el concepto de argumento: desde el punto de vista geométrico, el vector
§También debemos señalar que esta notación no está adoptada con carácter
general, cosa que el estudiante deberá tener en cuenta al consultar otros textos.
http://carlos2524.jimdo.com/
llama
uesto
exzs-
z. Se
en el
mente
',,
o, re-
a que
y que
..t
entido
vector
arácter
tos.
Los números complejos y la geometría 13
de posición se reduce a un punto, que no forma ningún ángulo con el
eje real; desde el punto de vista analítico,
o = 1 O 1 (cos a + isen a)
se verificaría para todo número real a.
Ejemplo.- El número 1 + i, cuyo módulo es V2, se escribe en forma
polar como
h(cos a + isen a)'
donde a es cualquier elemento del conjunto
Arg(l + i) = {¡+ 2br k E Z}
siendo su argumento principal ¡.
Como ejemplos simples, podemos ver que el argumento principal
de los números reales positivos es O y el de los negativos v-x, el de
los imaginarios puros es ~ ó -~, según que la parte imaginaria sea
positiva o negativa respectivamente. La forma polar (1.3) de z suele
abreviarse escribiendo simplemente
(1.4 )
donde r =1 z 1y a E Arg z, de forma que
re>= r~ ~ r = r' y a = (3 + Zkt: para algún k E Z.
Ahora podemos entender el significado geométrico del producto de
números complejos: sean z = re> Y w = rp. Multiplicándolos obtene-
mos:
zw r (cos a + isen a) r' (cos (3 + isen (3)
rr'[( coi;a cos (3 - sen asen (3) + i(cos asen (3 + sen a cos (3)]
rr'[cos(a+(3) + isen(a+(3)],
rre>+/3
Es decir, para multiplicar dos números complejos, debemos multi-
plicar sus módulos y aumentar los argumentos de uno de ellos en un
http://carlos2524.jimdo.com/
14 Capítulo 1: Los números complejos Los núm
argumento del otro. Geométricamente, realizar en el plano una ho-
motecia de centro el origen de coordenadas y razón I z I y un giro de
amplitud un argumento de z. En particular, multiplicar por un número
real positivo equivale a una homotecia y multiplicar por un complejo
de módulo unidad equivale a un giro. (Figura 1.3.)
zw
f3
Iwlz
expresión que se conoce CI
más importante es la que
z Teorema 1.6 Todo núm.
mente n raíces n-ésimas ~
por
k=O,l, ... ,n-l
Figura 1.3: Producto de dos números complejos. Demostración.- Si aplicam
los Wk obtendremosLa expresión del producto en forma polar tiene otras consecuencias
importantes; por supuesto, permite sospechar las siguientes propieda-
des del argumento:
Arg(zw) Argz + Argw
Arg(z-l) -Argz
Argz -Argz
Arg(z/w) Argz - Argw
Con lo que queda probado
de z.
Veamos a continuació:
Wk = Wj; esto significa que
Teorema 1.5 Sean z y w dos números complejos no nulos. Entonces,
3m E Z /
El lector debe encargarse de demostrar este teorema: téngase en
cuenta que se trata de igualdades entre conjuntos. O
Por otro lado, es razonable pensar que la potenciación y la extrac-
ción de raíces deben simplificarse en forma polar. Efectivamente, si
de donde
o bien k -j = mn, es dec
O:Sk,j:Sn-
luego el único múltiplo de
http://carlos2524.jimdo.com/Los números complejos y la geometría
r(cosa + isena)
r2(cos 2a + i sen 2a)
15
expresión que se conoce como fórmula de De Moivre. Su consecuencia
más importante es la que sigue.
Teorema 1.6 Todo número complejo no nulo z = rOl tiene exacta-
mente n raíces n-ésimas distintas, Wo, Wl, ... ,Wn-l , que vienen dadas
por
k = 0, 1, ... ,n - 1
Demostración.- Si aplicamos la fórmula de De Moivre a la expresión de
los Wk obtendremos
( )n (l/ n )n Wk = r n a±2k". = r 0I+ 2k1r = Z
n
Con lo que queda probado que todos los números Wk son raíces n-ésimas
de z .
Veamos a continuación que son todos distintos: supongamos que
Wk = Wj; esto significa que
de donde
a +2br
::1m E Z /
n
a + 2j7r
--~ +2m7r
n
2k7r = 2j7r + 2mn7r
o bien k - .j = mn , es decir, k - j es múltiplo de n . Pero
° ~ k,j ~ n - 1 =} - n + 1 ~ k - j ~ n - 1
luego el único múltiplo de n posible es k - j = o. En definitiva, k = j.
http://carlos2524.jimdo.com/
16 Capítulo J: Los números complejos
Finalmente, sólo queda por probar que las Wk son las únicas raíces
n-ésimas de z: observemos que las raíces n-ésimas de z son las raíces
del polinomio wn - z , que por ser de grado n tiene a lo sumo n raíces
distintas. O
El símbolo yZ representa las n raíces n-ésimas de z.
1.5 a) Demostrar la jórm
complejos a y b Ypara cual
Ejemplo.- Vamos a calcular las raíces sextas de -l.
1-11= 1, arg(-l) = -7f --t Wk = l Icos c, + isenO:k)
b) Expresar en la forma a -
1.6 Consideremos el conji
::, :;:::e~~:o::~,,(~:
de M de dimensión 2. b)
dotado de las operaciones
conmutativo isomorfo a C.
de este isomorfismo?
donde, o: - -.".+2k.".k = O, 1, 2, ... ,5 es decir,'k- --6-
Wo cos -6""+ i sen -6"" Y3-i W22
Wl cos ~ + i sen ~ y'3+i W3 Wl2
W2 cos 3.". + i sen 3.". z6 6
W3 cos 5.". + i sen 5.". -Y3+i W4 Wo6 6 2
W4 cos 77r + i sen 7.". -z
W56 6
W5 cos 9.". + isen 9.". -y'3-i6 6 2
Nótese que las raíces n-ésimas se sitúan en una circunferencia de
centro el origen de coordenadas y radio 1 z 1, formando los vértices de
un polígono regular de n lados.
1.7 Se llama cuerpo arde:
posible definir una relación
habitual ::;) compatible con
a) a ::; b :
b)a::;by
R y IQ son ejemplos de CUi
ordenado. Indicación: pro
táneamente i < O e i > O,
EJERCICIOS Y PROBLEMAS Los NÚMEROS COMPLEJO:
1.1 Determinar las partes real e imaginaria de los siguientes números com-
plejos:
i, 1, 1+i, (l+i)(l-i), 2+i, e2, (a + bi)2
1 - z
1.8 Determinar el módulc
del ejercicio 1.1 y escribir]
el argumento principal.
1.9 Probar que, 't:/z E C,
1.10 Describir geométric:
de números que verifican1
Los NÚMEROS COMPLEJOS Y EL ÁLGEBRA
1.2 Hallar las dos raíces cuadradas de 3 + 4i, 4 - 3i Y -i.
a) Z2 + Z + 1 c)z2+(3-i)z-3i
a) 1z - 11::; 1
c) Iz-112:1
e) 1z - 11= 1
g) 7r < arg z ::; 3;
i) re(z) > 5
1.3 Completar la demostración del teorema 1.3.
1.4 Hallar las raíces de los siguientes polinomios:
http://carlos2524.jimdo.com/
Ejercicios y problemas 17
1.5 a) Demostrar la fórmula del binomio: para cualquier par de números
complejos a y b Y para cualquier natural n,
b) Expresar en la forma a + bi el número complejo (1 + i)n.
1.6 Consideremos el conjunto M de todas las matrices cuadradas de orden
2 y coeficientes reales. Sea e el conjunto formado por las matrices de M
que tienen la forma ('::b !). Probar: a) e es un subespacio vectorial
de M de dimensión 2. b) Todas las matrices de e son regulares. c) e,
dotado de las operaciones matriciales de suma y producto, es un cuerpo
conmutativo isomorfo a e. ¿Qué matriz corresponde al número i a través
de este isomorfismo?
1.7 Se llama cuerpo ordenado a un cuerpo conmutativo 1( sobre el que es
posi ble definir una relación de orden total (que se representa con el símbolo
habitual ::;) compatible con las operaciones suma y producto, es decir:
a) a ::; b '* a + c ::; b + c 't/a,b,c E J(
't/a,b,c E J( b) a ::; b y O ::; c '* ac::; bc
R. Y Q son ejemplos de cuerpos ordenados. Probar que e no es un cuerpo
ordenado. Indicación: probar que si lo fuera, entonces se verificaría simul-
táneamente i < O e i > o.
Los NÚMEROS COMPLEJOS Y LA GEOMETRÍA
1.8 Determinar el módulo y todos los argumentos de los números complejos
del ejercicio 1.1 y escribirlos en forma polar. Indicar, en cada caso, cuál es
el argumento principal.
1.9 Probar que, 't/z E e, re(z) = ~ y im(z ) = z;z
1.10 Describir geométricamente, en cada uno de los apartados, el conjunto
de números que verifican las relaciones indicadas:
a) I z-11::;1
c) 1 z - 1 12: 1
e) 1 z - 11= 1
g) 71" < arg z ::; 3;
i) re( z ) > 5
b) 1 z - 2 + 4i 1< 3
d) 1 ::;1 z - 2 + 4i 1< 3
1) máx {I z - i 1, 1 z - 2 1} < 2
h) máx {I z - i 1, 1 z - 2 I} < 1
j) re(z) < im( z )
http://carlos2524.jimdo.com/
18 Capítulo 1: Los números complejos
1.11 Para cada uno de los números complejos z del ejercicio 1.1, hallar su
conjugado z y su inverso z-l.
1.12 Expresar analíticamente la función arg(x + iy). Indicación: la res-
puesta no es arg( x + iy) = arctan ~.
1.13 ¿Qué condición deben cumplir dos números complejos z y w para
que la desigualdad triangular se convierta en igualdad, es decir, para que
1 z + w 1=1 z 1 + 1 w I?
1.14 Demostrar los teoremas 1.4 y 1.5.
1.15 ¿Qué condición deben cumplir tres puntos del plano para encontrarse
sobre una misma recta? Determinar entonces la ecuación de dicha recta.
1.16 Probar que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las
diagonales coincide con la suma de los cuadrados de los lados.
1.17 Demostrar que, V<p E IR,
sen3 <p
cos3 <p
3 cos2 <p sen <p - sen 3<p
3 cos <p sen 2 <p + cos 3<p
1.18 · Utilizando la fórmula de De Moivre, obtener las siguientes sumas:
n n
L cosk<p L sen k<p
k=O k=O
donde <p es un número real y n un entero positivo.
1.19 Determinar analítica y geométricamente las raíces octavas de 28 .
1.20 ¿En qué transforma el isomorfismo del problema 1.6 el módulo y los
argumentos de un número complejo?
1.21 Probar que el conjunto de todos los números complejos de módulo 1
forma un grupo conmutativo (J (respecto a la multiplicación). Probar que la
aplicación
~: (IR,+) ~ ((J,.)
t ~ ~ ( t) = cos t + i sen t
es un homomorfismo de grupos y que, dado z E e, si z =1- 0, entonces
~(Argz) = fzr. Para cada natural n, probar que las raíces n-ésimas de 1
forman un subgrupo de (J. Probar que se trata del grupo cíclico de orden n.
http://carlos2524.jimdo.com/
Ejercicios y problemas 19
1.22 Sean wo, WI, . . . , Wn - I las raíces n-ésimas de la unidad. Probar que
Wo + WI + .. . + Wn-I = O. Deducir de este resultado y del problema anterior
que, si zn = 1 Y z -¡. 1, entonces 1 + z + z2 + ... + zn- I = O.
1.23 Resolver la ecuación zn = Z, n E N.
http://carlos2524.jimdo.com/
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 2
Sucesiones y series
La convergencia de sucesiones y series de números complejos se re-
duce, como veremos enseguida, al caso real: una sucesión (o una serie)
de números complejos converge a a + bi (a y b reales) si, y sólo si, sus
partes real e imaginaria convergen a a y b respectivamente.
2.1. SUCESIONES CONVERGENTES
Una sucesión { zn }~=l de números complejos converge al número
complejo z, por definición, si la sucesión de números reales {I Zn - Z I}
converge a cero . Esta convergencia se expresa también diciendo que el
límite de Zn es z, y se representa simbólicamente por
lím Zn = Z ó lím Zn = Z
n-+oo
Teniendo en cuenta la definición de límite de una sucesión de nú-
meros reales, resulta que
lím Zn = Z {::=::;> Ve > O 3no E N/n > no => I zn - Z 1< e
Por otra parte, y dado que el número complejo x + yi tiene el mismo
módulo que el vector (x, y), resulta que, para Zn = an + bni Y Z = a + bi,
luego
21
http://carlos2524.jimdo.com/
22 Capítulo 2: Sucesiones y series
y, como consecuencia inmediata de lo que ya conocemos sobre sucesio-
nes en JRn, que .
es decir,
límzn = Z <=} límre(zn)= re(z) y límim(zn) = im(z)
También se deducen de (2.1) las siguientes propiedades.
* El límite de una sucesión, siexiste, es único.
* Si lím Zn = Z y lím W n = w, entonces,
a) lím( Zn + wn ) = Z + W
b) límazn = az, Va E JR
* Toda sucesión convergente está acotada:
3M > O / I Zn 1< M Vn E N
* Si {zn } converge a z, todas sus subsucesiones convergen al mismo
z.
* Una sucesión es convergente si, y sólo si, es de Cauchy*:
VE; > O 3no E N / n, m ~ no =?I Zn - Zm 1< E;
* Toda sucesión acotada t iene alguna subsucesión convergente (teo-
rema de Bolzano-Weierstrass).
Diremos que un número Z es punto de acumulación de la sucesión {zn }
si existe alguna subsucesión de {zn } que converge a z . La propiedad
anterior se puede expresar entonces diciendo que toda sucesión acotada
tiene algún punto de acumulación. Además , toda sucesión convergente
tiene un único punto de acumulación (su límite) .t
Otras propiedades simples de los límites de sucesiones de números
complejos, que no pueden deducirse de (2 .1 ) puesto que en JR2 no está
definido el producto, son las siguientes:
'Lo cual se expresa diciendo que e es completo.
t ... y el lector puede entretenerse buscando alguna otra relación entre sucesiones
y puntos de acumulación.
http://carlos2524.jimdo.com/
Sucesiones divergentes y el punto del infinito
Teorema 2.1 Si lím Zn = Z y lím W n = w, entonces lím Zn W n = zw.
Además, si W -1- O, lím wn-
1 = w- 1 y por lo tanto, lím ~ = .2.. T Wn W
23
La demostración, que se realiza como en el caso real, se deja para
el lector. O
Nótese que, puesto que IR e e, las sucesiones de números reales
son un caso particular de las sucesiones de números complejos, siendo
entonces las propiedades anteriores una extensión perfecta de las cono-
cidas para el caso real.
2.2. SUCESIONES DIVERGENTES Y EL PUNTO DEL INFI-
NITO
Se dice que la sucesión {zn} diverge a infinito o que su límite es
infinito, y se representa simbólicamente por límn -+oo Zn = 00, o simple-
mente lÍm Zn = 00, si y sólo si lím 1 Zn 1= oo. En definitiva,
lím Zn = 00 {::=} Vk > O :Jno E N/n ~ no =} 1 Zn 1> k
Si una sucesión diverge a infinito, entonces todas sus sub sucesiones
divergen a su vez a infinito, así que no tiene puntos de acumulación.
Por lo tanto, para sucesiones divergentes a infinito no se puede formular
un resultado similar al teorema de Bolzano-Weierstrass t . De hecho, las
únicas sucesiones que no tienen puntos de acumulación son las diver-
gentes a infinito (así pues, el hecho de no tener puntos de acumulación
caracteriza en e las sucesiones divergentes a infinito).
Si, por el contrario, imaginamos un punto del infinito hacia el cual
convergieran estas sucesiones, resultaría que toda sucesión tendría al-
gún punto de acumulación, lo cual es muy interesante desde el punto
de vista de la topología. Por ello vamos a ampliar el plano complejo
añadiéndole dicho punto.
Definición 2.1 Sea 00 un objeto cualquiera que no sea un número
complejo, al cual llamaremos el punto del infinito . Consideremos el
tObsérvese que, evidentemente, estas sucesiones no están acotadas.
http://carlos2524.jimdo.com/
24 Capítulo 2: Sucesiones y series
conjunto C U{ oo} al que llamaremos plano ampliado y que represen-
taremos simbólicamente por C*. Las operaciones habituales de C se
extienden al plano ampliado según las siguientes fórmulas:
;
Vz -1 O" ooz zoo 0000 = 00
00 + z z + 00 00 Vz E C
", 00 - z z - 00 00 Vz E C
.' z O Vz E C'~;
00
!~I 00
00 Vz E Cz
Vz -1 O~ 00o
El módulo del infinito se define como 1 00 1= +00 pero carece de
sentido hablar del argumento del punto del infinito, así como de las
operaciones:
00 ± 00, 00 O
O
000, y
00
La anterior extensión de C tiene diversas ventajas. En primer lu-
gar, todas las propiedades enumeradas en el apartado 1 de este capítulo
siguen siendo válidas mientras no involucren operaciones carentes de
sentido como por ejemplo 00 + oo. Por otra parte, como era nuestro
primer objetivo, en el plano ampliado no existe ninguna diferencia entre
las sucesiones convergentes a un número finito (un número complejo)
y las que tienen límite infinito (las divergentes a infinito), sucesiones
estas últimas que podemos decir que son convergentes en el plano am-
pliado. Por último, el teorema de Bolzano- Weierstrass, en el plano
ampliado se transforma en el siguiente: toda sucesión tiene algún punto
de acumulación.
Por el contrario, el plano ampliado tiene otros inconvenientes. El
principal de ellos sería el de que, tal y como hemos definido las operacio-
nes en C* éste no tiene estructura de cuerpo (ni ninguna otra estructura
algebraica típica), por lo que habremos de vigilar las operaciones que
realizamos en él.
Otra dificultad estriba en el aspecto geométrico: si todos los nú-
meros complejos se representan o se corresponden con los puntos del
plano, ¿dónde representar el punto del infinito? Debería colocarse de
forma que todas las sucesiones que se alejan indefinidamente del origen
(o de cualquier otro punto) se acerquen al punto del infinito, lo cual,
Sucesione
Figura
en la representación ant
una respuesta satisfacto
proyección estereográficl
utilizados en la confec:
plana de superficies esí
representación de C*.
Consideremos en el,
denados e identifiquemc
que el eje real sea el e.
por otra parte la esfera
intersección de esta esfe
la circunferencia 1 z 1=
ponderían a los polos nc
Si P es un punto ge
corta el plano XY en 1
NZ, donde Z es un pun
punto P de la esfera dis
la esfera, el punto Z del
biunívoca de la esfera f
llamado proyección este
De esta forma podei
http://carlos2524.jimdo.com/
Sucesiones divergentes y el punto del infinito 25
I
l
Figura 2.1 : Proyección estereográfica.
en la representación anterior resulta imposible. Fue Riemann quien dio
una respuesta satisfactoria a esta cuestión con lo que se conoce como la
proyección estereográfica y que no es otra cosa que uno de los métodos
utilizados en la confección de mapas, es decir , en la representación
plana de superficies esféricas. Veamos a continuación cómo es esta
representación de C*.
Consideremos en el espacio lR? un sistema rectangular de ejes coor-
denados e identifiquemos el plano XY con el plano complejo, de modo
que el eje real sea el eje X y el imaginario el eje Y. Consideremos
por otra parte la esfera centrada en el origen y de radio unidad. La
intersección de esta esfera con el plano XY (el ecuador de la esfera) es
la circunferencia 1 z 1= 1. Los puntos N (O ,O, l) y S(O ,O,-l) corres-
ponderían a los polos norte y sur respectivamente (véase la figura 2.1).
Si P es un punto genérico de la esfera, distinto de N, la recta N P
corta el plano XY en un único punto Z y, recíprocament e, la recta
N Z, donde Z es un punto del plano XY, corta a la esfera en un único
punto P de la esfera distinto de N. Es decir, al asociar al punto P de
la esfera, el punto Z del plano XV, establecemos una correspondencia
biunívoca de la esfera sin el polo norte en el plano , a la que hemos
llamado proyección estereográfica (figura 2.1).
De esta forma podemos representar todo el plano complejo sobre
http://carlos2524.jimdo.com/
26 Capítulo 2: Sucesiones y series
.'
"
la esfera sin el punto correspondiente al polo norte, punto este último
donde veremos que viene perfectamente representado el punto del infi-
nito. Nótese que los números complejos de módulo 1 quedan represen-
tados en el ecuador, en el mismo punto sobre el que se encontraban.
Los del interior de la circunferencia de módulo uno, es decir, los de
módulo menor que uno, quedan representados en el hemisferio sur y
los de módulo mayor que uno, los de fuera de la circunferencia, quedan
representados en el hemisferio norte. Así pues, conforme nos aleja-
mos del origen en el plano complejo, nos acercamos al polo norte en su
representación en la esfera.
Para determinar analíticamente esta correspondencia, consideremos
las coordenadas geográficas de P, que son la latitud A y la longitud ¡..t
(A EJ - 7r/2, 7r/2[, ¡..t E [-7r, 7r[ ).
N
N
"-+~4 2 P1
/'
/
//1
// A
/
O Izl z..
Si Po es la proyección de P sobre el plano complejo,entonces la
longitud ¡..t de P es el ángulo formado por el semieje real positivo y la
semirecta OPo. Por lo tanto, el argumento principal de z coincide con
¡..t. y además, se verifica 1 z 1= tan(¡ + ~); es decir, la proyección este-
reográfica de P, cuyas coordenadas geográficas son (A, ¡..t), es el número
complejo
7r A
tan( ¡+ "2)( cos ¡..t + isen ¡..t)
Otras consideraciones geométricas que se deducen de esta repre-
sentación analítica serían, por ejemplo, que los paralelos de la esfera se
proyectan sobre círculos concéntricos y que los meridianos se proyectan
sobre las semirrectas que parten del origen. La longitud de P coincide
s
con el argumento de z.!
La representación e
infinito, convergería gec
deduce el mismo hecho
lím An = ~,luego la lati
es 7r/2 (no pudiendo de
Con todo ello, heme
un único punto de la es
también llamarse esjerc
2.3. SERIES DE f\
Sea {zn}~=l una su.
real, a partir de dicha
sucesión {Sn} de sus su
y decimos que la serie:
de sus sumas parciales,
la serie y se representa
00
n=l
En otro caso se dice qu
Es fácil comprobar (
(en C) es un espacio VE
a cada serie su suma e
números complejos es (
partes reales y la de las.
{zn} . (También se ded
otra que la de ]R2.)
SSi en un punto del mer
diano 1800 es medianoche.
los argumentos de los núme
11 ¿Se puede asociar algur
http://carlos2524.jimdo.com/
Series de números complejos 27
con el argumento de z.§
La representación en la esfera de una suceSlOn {zn} divergente a
infinito, convergería geométricamente al polo norte. Analíticamente se
deduce el mismo hecho de que, si lím tan( ¡ + A2n) = +00 , entonces
lím An = i, luego la latitud que deberemos asociar al punto del infinito
es 7r /2 (no pudiendo determinarse entonces su longitud)~.
Con todo ello, hemos conseguido representar cada punto de e* por
un único punto de la esfera. Así representado, el plano ampliado suele
también llamarse esfera de Riemann.
2.3. SERIES DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sea {zn} ~=1 una sucesión de números complejos. Como en el caso
real, a partir de dicha sucesión formamos la serie L Zn, es decir , la
sucesión {Sn} de sus sumas parciales,
n
y decimos que la serie L Zn es convergente si existe y es finito el límite
de sus sumas parciales, en cuyo caso a dicho límite se le llama suma de
la serie y se representa por
00 n
L Zn = lím Sn (= Ji.~ L Zk)
n=l k=l
En otro caso se dice que la serie diverge.
Es fácil comprobar que el conjunto de todas las series convergentes
(en e) es un espacio vectorial sobre e, y que la aplicación que asocia
a cada serie su suma es lineal. También se observa que una serie de
números complejos es convergente si, y sólo si, lo son las series de las
partes reales y la de las partes imaginarias de los términos de la sucesión
{zn} . (También se deduce trivialmente de que la topología de e no es
otra que la de 1R2 .)
§Si en un punto del meridiano terrestre 0° es mediodía, entonces sobre el meri-
diano 180° es medianoche. ¿De qué día? ¿Tiene esta pregunta alguna relación con
los argumentos de los números complejos?
11 ¿Se puede asociar alguna longitud al número complejo O?
http://carlos2524.jimdo.com/
28 Capítulo 2: Sucesiones y series
Otra propiedad inmediata es la del papel irrelevante del término a
partir del cual comienza la serie para determinar la convergencia, o no,
de una serie, que conocemos para series reales y que en e se enuncia
de igual forma:
= 00
L znconverge si, y sólo si, 3p E N / L znconverge
n= l n = p
debido a lo cual representaremos la serie, como ya hemos hecho antes,
por I: Zn sin mención al término desde el que ésta empieza mientras
no haya ambigüedades (el valor de la suma de la serie sí depende del
término inicial).
Teorema 2.2 (Condición necesaria de convergencia) Si la serie
I: Zn es convergente, entonces lím Zn = O.
Demostración .- Sea S la suma de la serie y sean Sn las sumas parciales,
es decir, lím Sn = S.
Como Zn = Sn - Sn-l , lím zn = S - S = O O
Dado que una sucesión es convergente si, y sólo si, es de Cauchy,
resulta que
Teorema 2.3 (Condición de Cauchy) La serie I: Zn es convergen-
te si, y sólo sí,
p+q
VE > O 3no E N / p > no y q E N====}I L Zn 1< E O
n = p
Si se verifica que la serie I: 1 Zn 1 es convergente, decimos que la
serie I: Zn es absolutamente convergente. Entonces, de la condición
de Cauchy y la desigualdad triangular se deduce que la convergencia
absoluta de una serie implica la convergencia ordinaria .
Teorema 2.4 (Criterio de la raíz) Sea a = lím sup ~ , enton-
ces
a) si a < 1 la serie I: Zn es absolutamente convergente
http://carlos2524.jimdo.com/
Series de números complejos 29
b) si a > 1 la serie L Zn diverge
Demostración. - Supongamos a < 1 Y sea r / O :::; a < r < 1.
Como límsup ~ < r, ~ < r a partir de cierto no. Por lo
tanto,
Vn:2 no
Puesto que O < r < 1, la serie (geométrica) L rn es convergente, y por
el criterio de comparación para series reales, L 1 Zn 1 es convergente.
Supongamos ahora a > 1. Como límsup 1 Zn 1> 1, existe una
subsucesión {Znk : k E N} de {zn } de modo que límk-+oo 1 Znk 1> 1 Y
por ello {zn } no puede converger a cero . O
Ejemplo.- La serie geométrica L zn, con Z E C.
a) Puesto que límsup ~
(a) si 1 Z 1< 1, la serie converge absolutamente y
(b) si 1 Z 1> 1 la serie diverge.
b) Si 1 Z 1= l · ===} lím 1 zn 1= 1 ===} lím zn .¡:. O, luego también
diverge.
Para el único caso convergente, 1 Z 1< 1, hallemos la suma L : = pZn :
luego,
En definitiva,
Zp - O
límSn = ---1 - Z
00 zP
L zn = -
n = p 1 - P
Vz / 1 z 1< 1
El criterio del cociente para series se deduce del siguiente lema.
http://carlos2524.jimdo.com/
30 Capítulo 2: Sucesiones y series
Lema 2.1 Sea {an} una sucesión de números positivos. Se verifican
las siguientes desigualdades:
1, . f an+l < l' . f n¡;:;- < l' n¡;:;- < l ' an+l lmm -- _ lmm van _ lmsup van _ lmsup--
an an
Demostración.- La segunda desigualdad es conocida y la tercera se
demuestra de forma similar a la primera, que es la que probaremos.
Sea a = líminf~. Si a = 0, la desigualdad es inmediata; en caso
an
contrario, para cualquier b tal que ° < b < a existe p E N de forma que
Yn ? p
de donde, si n > p,
bap < ap+l
bap+l < ap+2
ban-l < an
De estas n - p desigualdades obtenemos:
< bn-p- la < < b p+ l ... an- l
Luego,
b\/b- pap < yra;:
y tomando límites inferiores:
b ~ lím inf yra;:
luego a ~ lím inf yta:;;. D
Yn > p
Yb < a
Corolario 2.1 (Criterio del cociente) Sea {zn} una sucesión de nú-
meros complejos no nulos.
a) Si límsup 'Z,:ñi ' < 1, la serie L Zn es absolutamente convergente.
b) Si líminf '¡:ñi' > 1, la serie L Zn diverge. D
Ejemplo.- La serie L :~ converge absolutamente en todo el conjunto
e, como se comprueba inmediatamente aplicando el criterio del co-
ciente.
http://carlos2524.jimdo.com/
Series de números complejos 31
2.3.1. SERIES BILÁTERAS
Las series numéricas se han introducido con el fin de dar un signifi-
cado matemático a la idea de suma de infinitos términos,
Al desarrollar la variable compleja veremos cómo también va a ser
necesario trabajar con sumas doblemente infinitas del tipo
.. . + L3 + L2 + Ll + Zo + Z l + z2 + z3 + ...
cuya representación más natural será
(2.2)
n=-oo
Diremos que la serie (2.2) converge si, y sólo si, las dos series (ordina-
rias)
+00 +00
¿Zn y ¿Ln (2.3)
n=O n=l
convergen. En tal caso, la suma de la serie (2.2) se define como la suma
de las series (2.3), es decir ,
n=- oo n=O n=l
La serie (2.2) converge absolutamente, es decir, ¿~':- oo 1 an 1 con-
verge si, y sólo si, las series (2.3) convergen absolutamente.
Ejemplo.- Estudiemos el carácter de la serie bilátera
1 1 Z2 +00 zn
... + 221 + - + 1 + Z + , + ... = ¿ -1 -1'
Z . Z 2. n=-oo n .
Z E e - {O}
Por el criterio del cociente,
lím I zn+1 I = lím _1_z_1 = O
I Zn I n + 1
http://carlos2524.jimdo.com/
32 Capít ulo 2: Sucesiones y series
y
lím I L(n+l) I = lím ~ = O
I Ln I n + 1
para todo z E e - {O} -, luego lasdos series correspolldientes a (2.3)
convergen absolutamente y por tanto, la serie estudiada converge ab
solutamente en todo e - {O} .
Para terminar, obsérvese que si la serie (2.2) converge, entonces su
suma coincide con el límite
lím(z_n + ... + Ll + Zo + Zl + ... + zn) (2.4)
pero puede ocurrir que la serie (2.2) no converja y que, sin embargo, el
límite (2.4) exista y sea un número finito. Considérese por ejemplo la
sene:
.. . -1-1-1-1+0+1+1+1+1+ ...
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
SUCESIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS: CONVERGENCIA
2.1 Determinar si las siguientes sucesiones son o no convergentes. En caso
afirmativo, calcular sus límites.
a) n + 1 _ ~i b) n2 + 2n - 1 _ _ n_i
3n n 2 - 1 3n2 n + 2
2 .
) n n. d) n + z c ---+--z --
n3 - 1 n + 1 n - i
2.2 Demostrar el teorema 2.1.
2.3 Estudiar la convergencia de las sucesiones {zn } y C;zn} siendo z un
número complejo tal que
a) I z 1< 1 b) Izl>l c)lzl=l
2.4 Demostrar que si un~ sucesión de números complejos converge, enton-
ces la sucesión de sus medias aritméticas converge al mismo límite , es decir,
1, l ' Zl + Z2 + ... + Zn 1m Zn = Z ===> 1m = Z
n~oo n--+oo n
http://carlos2524.jimdo.com/
Ejercicios y problemas 33
2.5 a) Probar que, si lím Zn = z, entonces, lím I Zn 1=1 Z l. b) ¿Es cierto que
lím Zn = Z ===> lím argx Zn = argx z? c) ¿Qué condición deberían cumplir Z y
x para que la respuesta al apartado anterior fuese afirmativa? d) ¿Podemos
asegurar que , si 11m 1 Zn 1= a y lím argx Zn = <P, entonces lím Zn = a( cos <p +
i sen <p)?
2.6 Probar que , si Z = x + iy, entonces,
lím (1 + ~) ~ = eX ( cos y + i sen y)
n ---+-oo n
SUCESIONES DIVERGENTES Y EL PUNTO DEL INFINITO
2.7 Si alguna de las sucesiones del ejercicio 2.1 no era convergente, estudiar
su divergencia a oo .
2.8 Encontrar todos los puntos de acumulación de la sucesión {zn }, siendo
Z un número complejo de módulo unidad . Sugerencia: distínganse dos casos,
según sea Z una raíz k -ésima de la unidad (para algún natural k) o no (éste
es el caso difícil) .
2.9 Probar que el resultado del problema 2.4 no es cierto si Z = oo.
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
2.10 Si sobre la esfera de Riemann se consideran las coordenadas carte-
sianas (X l, X2, X3), ¿cuáles son las coordenadas de la imagen sobre ella del
número complejo z?
2.11 Si al punto P de la esfera de Riemann le corresponde el número com-
plejo z, ¿cuál es la imagen del punto antípoda de P?
2.12 La ciudad de Valencia se encuentra situada a 32.29° de latitud norte
y a 0.24° de longitud oeste. ¿Qué número complejo merece el honor de
llamarse "Valencia"?
http://carlos2524.jimdo.com/
34 Capítulo 2: Sucesiones y series
SERIES DE NÚMEROS COMPLEJOS
2.13 Estudiar la convergencia y la convergencia absoluta de las siguientes
series:
a) L: cost!i sent
d) L: (27)n
b) L:~
e) L: (i:)'2n
c) '" (cost+ i sent)n Q> 1
L..J nO ,
f) L: z7n
2.14 Demostrar que lím,J...; = O Y lím -.H-: = e.
vn! vn!
2.15 Determinar los valores de Z E ce para los que converge la serie
y hallar la suma de la serie para todos ellos .
CONVERGENCIA NO ABSOLUTA
2.16 a) Sean {zn}~I Y {wn}~=l dos sucesiones de números complejos. Y
sea Zn la suma parcial n-ésima de {zn}. Probar la jórm ula de suma ció n
parcial de Abel:
n n
L ZkWk = Zn w n+1 - L Zk(Wk+1 - Wk)
k=l k=l
b) Demostrar el criterio de Dirichlet: Si L: Zn tiene las sumas parciales
acotadas y {wn } es decreciente (por lo tanto real) y converge a O, entonces
L: Zn Wn es convergente.
2.17 Estudiar el carácter de la serie
'" (cos t + i sen t) n
~ nO<
2.18 Supongamos que L:~~ Zn converge absolutamente. a) Probar que
cualquier reordenación suya converge a la misma suma: si v .: N ~ N es
una aplicación biyectiva entonces L:~~ Zv(n) converge y
+00 +00
L Zv(n) = LZn
n=l n=l
http://carlos2524.jimdo.com/
Ejercicios y problemas 35
b) Sea r¡ : N --+ N una aplicación inyectiva. Demostrar que
entes
+00 +00
¿ 1 z'1(n) 1:::: ¿ 1 Zn 1
n=l n=l> 1
y que la desigualdad es estricta si, y sólo si, alguno de los términos que falta
en la última serie es no nulo.
MULTIPLICACIÓN DE SERIES
2.19 Dadas dos series ¿;t~ an y ¿;t~ bn, multiplicándolas formalmente
término a término resulta:
ciales
onces
ao + al + a2 +
bo + b1 + b2 +
aobo + albo + a2bO +
aOb1 + a1b1 +
aobo + (albo + aobt) + (a2bo + a(b, + aob2) +
Por lo tanto, aparentemente
+00 +00 +00
¿an¿bn = ¿cn (2.5)
10=0 n=O n=O
os. Y
ación
siendo Cn = ¿k=O an-kbk. Probar que, si ¿;t~ an converge absolutamente
y ¿;t~ b.; converge, entonces ¿;t~ Cn también converge y efectivamente se
verifica la igualdad (2.5), (éste es el teorema de Mertens). La serie ¿;t~ Cn
se llama producto de Cauchy de ¿;t~ an y ¿;t~ bn·
que
N es
2.20 Sean x e y dos números reales. a) Sumar la serie ¿;t~ (i:;{ (Su-
gerencia: calcular sus partes real e imaginaria). b) Obtener la suma de
",+00 (x+iy¡n
L..m=O n! .
2.21 Dar un ejemplo de dos series convergentes cuyo producto de Cauchy
no lo sea.
http://carlos2524.jimdo.com/
36 Capítulo 2: Sucesiones y series
SERIES BILÁTERAS
2.22 Determinar los valores de z E e para los que converge la serie bilátera
n=-oo n =O
y hallar la suma de la serie para todos ellos. Compárese el resultado con el
del ejercicio 2.15.
2.23 ¿Por qué es incorrecto el siguiente razonamiento (debido a Euler)?
,,+00 zn
L-n=O
,,+00 z-n
L-n=l
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 3
Funciones complejas
En este capítulo nos vamos a limitar casi tan sólo a trasladar a e
los conceptos relativos a funciones (límites, continuidad, etc.) reales
de una o varias variables reales. La salvedad se refiere a uno de los
teoremas más importantes de las matemáticas: el teorema fundam ental
del álgebra.
3.1. LA TOPOLOGÍA DE <C
Como en el caso de las sucesiones y sus límites, en realidad lo único
que hemos de hacer en esta sección es remitirnos a la topología de JR2 :
diremos que un conjunto A de números complejos es abierto, cerrado,
conexo, compacto, acotado, ... en re si, y sólo si, el conjunto
B = {(a, b) E JR2: a + bi E A}
es abierto, cerrado, conexo, compacto, acotado, ... en JR2.
Evidentemente, esta definición traslada automáticamente todas las
propiedades del plano euclídeo al plano complejo. En particular, una
sucesión de números complejos {zn} converge a z si, y sólo si, para
cualquier entorno U de z podemos encontrar un término de la sucesión
a partir del cual todos los términos pertenecen a U (lo cual coincide
perfectamente con la definición de convergencia de sucesiones dada en el
capítulo 2). Una ventaja de esta caracterización de límites de sucesiones
por entornos es la de su extensión al plano ampliado: diremos que un
conjunto U es un entorno de infinito si, y sólo si, existe un real positivo
37
http://carlos2524.jimdo.com/
38 Capítulo 3: FuncÍones complejas
r de modo que U contiene al exterior del disco de centro el origen y de
radio r. (Ver ejercicio 3.3.)
3.2. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE REAL
En este apartado estudiamos las funciones complejas de variable
real, que son las que admiten un tratamiento más simple por su total
similitud con las funciones vectoriales de variable real.
Por definición, una función compleja de variable real es una aplica-
ción f de un conjunto D(f) e IR. en re. Si t es un punto de D(f), f(t)
es un número complejo que, por tanto, podrá escribirse en la forma
f(t) = u(t) + iv(t)
es decir, descompuesto en sus partes real e imaginaria.
De este modo hemos definido a partir de f dos nuevas funciones, u
y v, funciones reales de variable real. Además, la correspondencia
f ~ (u,v)
es biunívoca, de forma que, como veremos, la mayoría de las propieda-
des de f se pueden deducir de las correspondientes del par (u, v).
Escribiremos f = u + iv para representar que
f(t) = u(t) + iv(t), u(t), v(t) E IR. Vt E D(f)
Definición 3.1 Sea f una función compleja de variable real. Sea to
un punto de acumulación del .dominio de f y Zo E C*. Diremos que el
límite de f en to es Zo si, y sólo si,para cada entorno U de Zo existe
un entorno V de to de manera que f((V - {zo})nD(f)) e U. En tal
caso escribiremos
lím f(t) = Zo
t--+to
Teorema 3.1 Sea f = u + iv una función compleja de variable real.
Sea to un punto de acumulación del dominio de f y Zo = Xo + iyo E re.
El límite de f en to es Zo si, y sólo si, los límites de u y v en to son
respectivamente Xo e Yo. Es decir,
lím f(t) = lím u(t) + i lím v(t)
t--+to t--+to t--+to
http://carlos2524.jimdo.com/
Funciones complejas de variable real 39
Demostración.- Si t es un punto del dominio de f, entonces, por las
propiedades del módulo, se tiene:
Ejemplo.-
1 u(t) - xo 1 < 1 f(t ) - zo 1
1 v(t) - Yo 1 < 1 f(t) - zo 1
1 f(t) - zo 1 < 1 u(t) - xo 1 + 1 v(t) - Yo 1 O
lím( cos i7r + i sen t7r) = lím cos t7r + i lím sen t7r = COS 1f + i sen 1f = - 1
t-+1 t -+1 t-+1
Definición 3.2 Sea f una función compleja de variable real Y to un
punto de acumulación del dominio de f. Diremos que f es continua en
t o si, Y sólo si, límt-+ to f(t) = f(to). Se dice que f es continua en un
conjunto de puntos si, Y sólo si, lo es en cada uno de los puntos del
conjunto . Diremos que f es uniformemente continua en un conjunto
A de puntos de su dominio si, Y sólo si,
Como consecuencia del teorema anterior, la continuidad y la conti-
nuidad uniforme de f son equivalentes respectivamente a la continuidad
y a la continuidad uniforme de u y v. Por lo tanto, si I< es un con-
junto compacto de números reales y f es continua en I<, entonces f es
uniformemente continua en I<. Se tiene, además, lo siguiente.
Teorema 3.2 Sea I< un conjunto compacto de números reales Y f una
función compleja de variable real continua en I<. Entonces, f está
acotada en I< , es decir, existe una constante M de manera que
1 f(t) 1< M Vt E I<
Demostración.- Basta tener en cuenta que u y v son uniformemente
continuas (y por lo tanto acotadas) y que
1 f(t) I ~I u(t) I + I v(t) I O
Definición 3.3 Sea f = u + iv una función compleja de variable real.
Si to es un punto interior del dominio de f, diremos que f es derivable
en to si existe Y es finito el límite
lím .:......:f (:.....:.t )_- -=-f-,-( t-,-o )
t -+to t - to
http://carlos2524.jimdo.com/
40 Capítulo 3: Funciones complejas
En tal caso, el número complejo
1'(t
o
) = lím f(t) - f(to)
t-+to t - to
se llama la derivada de f en too Se dice que f es derivable en un
subconjunto del interior de su dominio si, y sólo si, lo es en cada uno
de los puntos de dicho subconjunto.
De modo análogo se pueden definir las derivadas sucesivas de f , ya
que la función derivada, 1', es a su vez una función compleja de variable
real.
Además, teniendo en cuenta el teorema 3.1, si f = u + iv, f es
derivable en to si , y sólo si , lo son u y v y se tiene:
1'(to) = u'(to) + iv'(to)
Ejemplo.- Si f( t) = cos t + i sen t, entonces f es derivable en todo ~
y l' ( t) = - sen t + i cos t.
Definición 3.4 Sea f = u + iv una función compleja de variable real
definida en un intervalo cerrado [a , b]. Si u y v son integrables (en el
sentido de Riemann) en [a, b], diremos que f es integrable (integrable-
Riemann) en [a , b]. La integral de f en [a, b] se defin e por
lb f(t)dt = lb u(t)dt + i lb v(t)dt
Definición 3.5 Una primitiva de la función compleja de variable real
f en un conjunto A es una función F que verifica
F'(t) = f(t) Vt E A
Teorema 3.3 (Regla de Barrow) Sea f = u + iv. Si U y V son
primitivas de u y v en A respectivamente, entonces F = U + iV es
una primitiva de f en A. Además, si f es integrable en [a , b] e A, se
verifica la regla de Barrow:
lb f(t)dt = F(b) - F(a)
http://carlos2524.jimdo.com/
Funciones complejas de variable real
Ejemplo.-
r/2 __ d_t __
Jo cos t + i sen t
r/2
Jo (cost - isent)dt
sen t + i cos t I~ /2
W . W . O
sen "2 + Z cos "2 - sen O - Z cos
1 - i
Teorema 3.4 (Derivación paramétrica) Sea
f : [a, bl x le, d[ ----+ C
41
una función continua' derivable respecto a la segunda variable y con
esta derivada parcial continua. Entonces, la función g :Jc, d[ ----+ C,
definida por
g(y) = lb f(x, y)dx
es derivable en le, d[ , y su derivada viene dada por
g'(y) = lb Dd(x,y)dx
La demostración de los teoremas 3.3 y 3.4 se deduce directamente de la
descomposición de f como u + iv y de aplicar a u y v simultáneamente
los teoremas correspondientes para funciones reales. O
Como nota final a este apartado de funciones complejas de varia-
ble real digamos que, como resulta evidente, todas las definiciones y
teoremas son extensiones del caso de funciones reales de variable real,
es decir, que si una función f real de variable real es considerada como
función compleja, las definiciones en un caso y otro coinciden, sin más
que tener en cuenta que f = f + iO.
'Es decir, ¡(x , t) = u(x , t) + iv(x , t) , siendo u, v funciones reales continuas en
[a , b]x]c,d[.
http://carlos2524.jimdo.com/
42 Capítulo 3: Funciones complejas
3.3. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA
Una función compleja de variable compleja es una aplicación de un
subconjunto D(J) de C en C . Son éstas las funciones que estudiaremos
en los próximos capítulos. .
Si f es una función compleja y z es un punto del dominio de f,
podemos escribir
f(z) = u(z) + iv(z)
donde u y v representan funciones reales de variable compleja. Además
considerando z = x + iy, podemos escribir
f( z ) = u(x,y) + iv(x,y)
do~de ahora u y v representan funciones reales de dos variables reales.
Ello significa que la función compleja f está biunívocamente deter-
minada por el par de funciones reales de dos variables reales u y v, es
decir, existe una biyección entre el conjunto de funciones complejas de
variable compleja y el de funciones vectoriales de dos variables reales:
f(x+iy) +------t (u(x , y) , v(x,y))
Teniendo en cuenta la teoría de funciones de dos variables reales los
conceptos de límites y continuidad van a ser fácilmente trasladados a
funciones complejas. No ocurrirá así con el concepto de derivación que,
por su diferente tratamiento, será estudi ado en el próximo capítulo.
Definición 3.6 Sean f una función compleja de variable compleja, Zo
un punto de acumulación del dominio de f y Wo E C*. Diremos que el
límite de f en Zo es Wo si para cada entorno U de Wo existe un entorno
V de Zo tal que si z E V nD(J) y z f:. zo, entonces f( z ) E U. En tal
caso escribiremos
lím f( z ) = Wo
z~zo
http://carlos2524.jimdo.com/
Funciones complejas de variable compleja 43
Nótese que en la definición anterior queda incluido el caso Zo = (x),
recordando la definición de entorno de (X) . También hemos incluido el
caso de que el límite sea (X) con la misma consideración. t
Si Zo = Xo + iyo Y Wo = ao + ibo, se prueba de inmediato que
lím f(z) = Wo +----+ { l~m(x ,y)-+(xO,Yo)u(x,y) = ao y
z-+zo hm(x,y)-+(xO,Yo) v(x, y) = bo
Definición 3.7 Una función f se dice continua en un punto Zo de
acumulación de su dominio si, y sólo si,
lím f(z) = f(zo)
z---tZQ
f se dice continua en un conjunto si lo es en cada uno de sus puntos.
Por supuesto, la continuidad de f en Zo = Xo + iyo equivale a la
continuidad de u y v en (xo,Yo). Además es fácil comprobar el siguiente
teorema.
Teorema 3.5 (Algebra de límites) Si lím f(z) = a y lím g(z) = b,
Z--+ZQ Z--+ZQ
entonces
a) lím (J(z ) + g(z)) = a + b
Z--+ZQ
b) lím(af(z)) = aa Va E e
z-+zo
c) lím (J( z ) g( z)) = ab
Z-+ZQ
d) lím (J ( z ) / 9 ( z )) = a / b
Z-+ZQ
e) lím 1 f(z) 1=1 a 1
z---tzo
Siendo válidas las propiedades de a) a e) incluso cuando a, b, Zo y/ó
a son infinitos, mientras no entrañen operaciones imposibles. También
para b = O en d) si a =1= O. D
t Esta es la razón de haber dado la definición a partir de entornos frente a la
tradicional (VE > O 38 > O ... ) que obliga a dar definiciones específicas para los
casos de límite infinito y/o en el infinito.
http://carlos2524.jimdo.com/
44 Capítulo 3: Funciones complejas
Corolario 3.1 Si f y 9 son continuas en Zo E e y si aE e} entonces
f + g} af} fg } f/g (si g( zo) # O) Y 1 f 1 son continuas en Zo . O
Ejemplo.- La función f( z) = Z2 se escribe en la forma f = u+iv como
f(x + iy) = X2 - y2 + 2xyi
luego es continua en todo e, ya que u(x, y) = X2 - y2 Y v(x, y) = 2xy
son continuas en JR.2.
Teorema 3.6 (Composición de funciones continuas) Si f es con-
tinua en Zo E e y 9 es continua en Wo = f(zo) entonces fog es continua
en Zo.
La demostración es análoga al caso real. O
3.4. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Consideremos un polinomio p(z) = anzn + an_lZn- 1 + ... + al z + ao
con coeficientes complejos, de grado n y no constante, es decir, an # O
y n ~ . 1. Vamos a probar en este apartado que dicho polinomio tiene
al menos una raíz en C. Este resultado se conoce como teorema funda-
mental de álgebra y generaliza el teorema 1.3 (todo polinomio de grado
dos tiene raíces complejas). Por otra parte, este teorema marca una
diferencia fundamental entre la variable compleja y la real. Nótese por
último que, con 'el resultado que hemos avanzado, garantizamos a su
vez que todo polinomio de grado n puede descomponerse en producto
de n polinomios de grado uno (descomposición factorial del polinomio a
partir de sus n raíces complejas, iguales o distintas, en factores primos).
Lema 3.1 La función f(z) =1 p(z) 1 tiene mínimo (absoluto).
Demostración.- Si z # 0,
f(z) =1 z In lan + an-l + ... + ao I
z zn
Sea
g(z) = an + - + ... + -I
an-l aol
z zn
http://carlos2524.jimdo.com/
El teorema fundamental del álgebra 45
Entonces
lím g(z) =1 an 1> 1 a2n 1
z-+oo
luego
::1M > O / g(z) > 1 ~n 1 Vz E re / 1 z 12: M
tomando ahora N = máx{M, 12 1 ~ I} , obtenemos, para 1 z 12: N,
1
ao 1 1 an ·1 f(z) =1 zn 1 g(z) 2: 2 a
n
-2- =1 ao 1= f(O)
es decir,
f(O) ::; f(z) Vz E re / 1 z 12: N (3.1)
Por otra parte, el conjunto J( = {z E re : 1 z 1::; N} es un compacto
y f es continua en J(, luego f tiene un mínimo en J(, + es decir,
::Izo E J( / f(zo) ::; f( z) Vz E re / 1 z 1::; N (3.2)
De (3.1) y (3.2), y puesto que O E J(, se concluye que Zo es el
mínimo, es decir,
f ( zo) ::; f ( z ) Vz E e o
Teorema 3.7 (Fundamental del álgebra) El polinomio p(z) tiene
al menos una raíz compleja.
Demostración.- Probaremos que, si Zo es el mínimo de f(z) =1 p(z) 1,
entonces p(z~ = o. Para ello, consideremos la función q(z) = p(z + zo) .
La función q( z) es también un polinomio de grado n y por tanto
Para probar que p(zo) = O, probemos que q(O) = O, y puesto que
q(O) = bo, veamos que bo = o. Supongamos que por el contrario bo i- O.
Sea entonces m > O el primer Índice tal que bm i- O. El polinomio q( z )
podrá escribirse como
t Porque la topología de ([ es la de lP/?
http://carlos2524.jimdo.com/
46 Capítulo 3: Funciones complejas
Consideremos la ecuación
que, como sabemos del capítulo 1, tiene m raíces distintas . Sea a una
de ellas (am = - t;) y consideremos la función h(z) = q(az):
h(z) cnzn + Cn _1Zn-1 + .. . + bm( -f! )zm + bo
bo(1- zm) + zm(cm+lZ + Cm+2Z2 + ... + cnzn- m)
Dado que
1, ( 2 n- m) O 1m Cm+1Z + Cm+2Z + ... + Cnz = z-+o
resulta que
luego, si 1 z 1 < 8, se tiene que
1 h(z) 1<1 bo 111 - zm 1 + 1 zm 11 bo 1=1 bo 1 (11 - zm 1 + 1 zm 1)
En particular, para O < x < 8 < 1,
1 h(x) 1< 1 bo 1 (1 - xm + xm) =1 bo 1=1 h(O) 1
es decir, 1 q(ax) 1< q(O) con lo que 1 q(O) 1 no sería mínimo. O
Corolario 3.2 Sean Zl,Z2"",Zr las raíces de
y sean mI, m2, . .. , mr sus multiplicidades respectivas. Entonces,
n mI + m2 + ... + m r y
p(z) an(z - Zl)m1 (Z - Z2)m 2 ••• (z - zr)mr
Demoslración. - Como p(z) es divisible por (z - Zl)m1 , por (z - Z2)m2 ,
etc., también lo es por su producto, y por tanto
http://carlos2524.jimdo.com/
EjercÍcÍos y problemas 47
Veamos que q(z) es un polinomio constante. Si suponemos que, por el ,
contrario, el grado de q(z) fuera 1 o mayor, éste tendría al menos una
raíz, que sería raíz también de p( z), lo cual contradice las hipótesis, si
fuera distinta de las Zk Y también si fuera una de ellas pues aumentaría
la multiplicidad de la misma.
Luego q(z) = k. Igualando ahora en (3.2) el coeficiente de zn se
obtiene que k = an0 O
Ejemplo.- Dado que todo número complejo no nulo admite n raíces
n-ésimas distintas, si a E e-o, el polinomio zn - a se descompone en
factores primos en la forma
siendo {Wl,W2, . .. ,wn } las raíces n-ésimas de a.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
LA TOPOLOGÍA DE C
3.1 Indicar, entre los siguientes conjuntos de números complejos, cuáles
son abiertos y cuáles cerrados:
a) {z E C / 1 z 1< l}
c) {z E C / 1 z 1;::: l}
e) {z E C / re(z) = im(z)}
g) {1,1+i,1+2i,1+3i, ... }
b){z EC/l z l::;l}
d) {z E C / 1 z li l}
f) {z E C / 3::; im(z) < 7}
h) {l, 1 + t, 1 + it, 1 + i., ... }
3.2 De los conjuntos del problema anterior, determinar los que son conexos
y los acotados.
3.3 Demostrar que, en C*, una sucesión {zn} converge a z (que puede ser
infinito) si, y sólo si, para c1lalquier entorno U de z existe un término de la
sucesión a partir del cual todos los términos están en U.
FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE REAL
3.4 Hallar el conjunto imagen , 1m f, siendo f la función definida por
a) f(t)=t+it 2 , tE~
http://carlos2524.jimdo.com/
48 Capítulo 3: Funciones complejas
b) f(t) = 5 +3 sent + (-2+3 cost)i, tE [0,211'"]
c) f(t) = 5 + 3sen t + (-2 + 3cost)i, t E [O, +oo[
d) f (t) = 5+3sent+(-2+6cost)i, tE [0,211'"]
e) f(t)=i/t, tiO
f) f(t) = sen2 t - (cos2 t)i, tE lR
describiendo en cada caso el aspecto geométrico del conjunto 1m f. Este
problema debe convencer al lector (si no estaba ya convencido) de que la
imagen continua de un intervalo es una curva. Si f es derivable en to ,
entonces (reU'(to), imU'(to)) es el vector tangente a dicha curva en el punto
f(to). Hallar el vector y la recta tangentes a 1m f, para cada una de las
funciones f, en todos los puntos en que existan.
3.5 Sea A E e un conjunto abierto. Probar que A es conexo si, y sólo si,
para cualquier par de puntos a, b E A existe una función continua
f : [0 ,1] ----- A de modo que a = f(O ) y b = f(l). Explicar el signifi-
cado geométrico de este resultado. ¿Es cierta la equivalencia anterior si A
no es abierto?
3.6 Caracterizar en términos de derivadas los puntos de una curva plana
en los que la recta tangente es
a) horizontal
b) vertical
c) la bisectriz del primer cuadrante
3.7 Formalizar la demostración de todos los teoremas de la sección 3.2.
3.8 [Longitud de una curva] Sea f: [a ,b] ----- e una función continua. Si
a = to < tI < ... < tn = b
es una partición cualquiera de [a, b], entonces la longitud de la poligonal de
vértices f(to),f(tl), ... , f(t n ) es
n
¿ I f(tk) - f(tk-I) I
k=1
Parece razonable suponer que si la partición tiene muchos puntos , la
longitud de la poligonal es una buena aproximación de la longitud de la
curva representada por f. Así pues, se define la longitud de f como
n
lU) = sup ¿ I f(tk) - f(tk-I) I
k=1
http://carlos2524.jimdo.com/
Ejercicios y problemas 49
entendiéndose que el supremo se toma sobre todas las particiones posibles.
La función f se llamará rectificable si tiene una longitud finita.
Probar que si f es derivable y l' continua en [a, b], entonces f es rectifi-
cable y
1(1) = ¡b 1 1'(t) 1 dt
3.9 Teniendo en cuenta el problema anterior (aunque no se haya resuelto),
calcular la longitud de las curvas
z = p( cos t + i sen t) , O :::; t :::; 21l'
Z = p( cos 3t + i sen 3t), O:::; t :::; 21l'
Las dos curvas recorren el mismo rango y sin embargo sus longitudes son
distintas. ¿Por qué?
3.10 a) Comprobar que la función y = A( cos t + i sen t) , t E R., donde A es
una constante compleja arbitraria, verifica la ecuación diferencial y' - iy = O.
b) Demostrar que cualquier solución de y' - iy = O es de la forma
y = A(cost + isent)
c) Hallar todas las soluciones complejas de la ecuación y' + iy = O.
d) Hallar todas las soluciones reales de la ecuación y" + y = O.
FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA
3.11 Demostrar
Continuar navegando
Materiales relacionados
837 pag.
836 pag.Calculus - Apostol Vol
Desafio PASSEI DIRETO
74 pag.complex (1)
Sofía Rosalina Mejía Echeverría
292 pag.Dueñas H Y Rubio M
Desafio PASSEI DIRETO
Preguntas relacionadas
Compartir