Guía de ejercicios de Cálculo I - Valencia (2)

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
GUIA DE EJERCICIOS 
MAT - 101 
CALCULO I 
 
( )2 2
2
lim sgn 1 1
x
L x x
±
→−
⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
 
Elaborado por: 
 Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta 
 
Colaboradores: 
 Ariel Cruz Limachi 
 Julio Uberhuaga Conde 
 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
GUIA DE PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
PRIMER PARCIAL 
 
 FUNCIONES 
 
Cuales son relaciones y cuales funciones 
1 
 
2 23 25 9 13y x⋅ = − ⋅ + ⋅ y 5 2 23 1y x y⋅ − ⋅ = 9 3 2 5 2x xx y e y −= 
2 3 3 3 0x y a xy+ − ⋅ = 6 2 2 2 2 2 2( ) 4 4x y z a x c+ + − ⋅ = 10
23 3
2 3
y y
x x
+
=
+ −
 
3 ( )2 1
4
y x arcsen y π= − − = 7 3 22 4
2
y yxe x In e6 +⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 11 2x y+ = 
4 
2
1 cos
r
θ
=
−
 8 ( )2 9cos 2r θ= 12 4y x+ = 
 
2 Para las funciones siguientes hallar su dominio 
1 ( )2
3 2
21
x x xy In
xx
− +⎛ ⎞= + ⎜ ⎟−⎝ ⎠−
 6 
2
2
y x
x
= − +
+
 11 
xy arcsen In
e
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
 
2 2
1
24
xy
xx
−
= +
+−
 7 
1
2 1
xy In
x
⎛ ⎞−
= ⎜⎜ ⎟⎟− +⎝ ⎠
 12 
2
2
3 4
5 16
x xy
x
− −
=
− −
 
3 
2
2
9 1 5
3 16
x xy
x x
6
x
− +
= − +
− −
 8 ( ) ( )2 cos 2y sen x x= 13 (2 9)lg ( 4) 1xy x−= − −
+
 
4 ( )( )2 6 9y In arcse x x= + 9 ( )2 9 4 1xy In x−= − − 14 ( ) ( )2 3y sen x sen x= + 
5 
4 1 3
2
9
87
8
4 18lg lg lg
27
x xy
x
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 10 ( )4 1 3
2
log log logy x
⎡ ⎤
⎢ ⎥=
⎢ ⎥⎣ ⎦
15 cosy senx= ⋅ x 
 
16 
( )2
4 3 49
11
xy
xx
−
= +
++
− Rpta: 
4 3, 1 1,
3 4
⎡ ⎡ ⎤− − − −⎢ ⎢ ⎥⎣ ⎣ ⎦
U
⎤
⎥⎦
 
17 
2
1
xy arcsen
x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
 Rpta: 
1 ,1
3
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
18 ( ) ( )( )1y arcsen x In In x= − + Rpta: ] ]1,2
19 
2
2
2
34 12
20
xy x x
x x
= + − +
+ −
 Rpta: [ [ 2,5
 21 4y x= − − Rpta: 2, 3 3,2⎡ ⎤ ⎡− −⎣ ⎦ ⎣U ⎤⎦ 
 
 
 
 1 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
 Para las funciones siguientes hallar su Rango 
1 
2
2
3
2
xy
x
+
=
+
 Rpta: 31,
2
⎤
⎥⎦ ⎦
⎤
⎥ 8 ( )
2
22 1x
xf
x x
=
+ +
 Rpta: 40,
7
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
2 2 1
xy
x
=
+
 Rpta: ] [1,1− 9 ]2 1 5 3,5
2 2 1
x
y
x
+ −
= ∈
− +
[− Rpta: 5 ,1
7
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
3 
( )
2
22
xy
x
=
−
 Rpta:[ [0,∞ 10 2 4 4y x x x= − − + − 2 Rpta: 2,2 3⎡ ⎤⎣ ⎦ 
4 2y x= − x Rpta: 15, 1⎡ ⎤− −⎣ ⎦ 11 ( )
25 15 2 58
4 2x
x xf x x
x x
− −
= +
− +
 : ] ] { }22,26 29− + − 
5 
2
2
1
sgn 6 1
xy
x x
−
=
− − −
 Rpta:{ }10, 5− − 12 ( )
24 1
2 1x
xf
x
−
=
+
 Rpta: ] [2,− ∞ 
6 
( )
2 2 3 1
2
5 1 15 6 2x
xx x
f
x
−
+ −
=
− − + +x
 Rpta: 2 ,1
9
⎤
⎥ ⎥⎦ ⎦
⎤ 13 ] [
1 1 0,1
2
x xy x
x x
− + −
= ∧
− −
∈ Rpta: 11,
2
⎤ ⎡− −⎥ ⎢⎦ ⎣
 
7 ( )
2 2 3
2x
x x 1f x
x
+
= − − Rpta: 13 ,3
4
⎡ ⎡−⎢ ⎢⎣ ⎣
 14 ( ) ] ]
2 5 4 , 1,3
2x
xf x x−= − ∈ Rpta:[ ]0,∞ 
 
Identificar cuales son funciones pares y cuales impares 
1 ( )6 3 2 31( ) xy x sen x x x
⎛ ⎞
= ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
 5 ( )22y x x tg x= + 9 ( )
1 1y x sen sen x
x x
⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2 
41 1 21
1 1
xy x
x x x
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠
 6 24y x x= + 10 ( ) ( )sec
2
xy tg x ctg x= + − 
3 
3
2 4
3
1 ( )y x x x sen x
x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 7 
1
1
x
x
ey
e−
+
=
−
 11 y x x x x= + − + ⋅ 
4 
( )
2
2
1 2 6cos( )
16 2
x xy In
x x sen x
⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟=
⎜ ⎟+ + ⋅⎝ ⎠
 8 
1 1
1 1
x
y In
x
⎛ ⎞+ +
= ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
 12 2 21 1y x x x x= + + − − + 
 
Realizando un análisis completo construya la grafica de: 
1 2 100 0yx x− − = 8 2 2 50 125 0x y x xy− − + = 15 2 2y x x y2− = 
2 10x y⋅ = 9 3 2 2 0x xy x y y− − + = 16 2 6 6xy x xy− − = 
3 2 9 0yx x y− − = 10 2 2 2xy x xy− = − 17 ( ) ( )4 1y In x In x= − − 
4 2 1
xy
x
= ±
+
 11 2 3 2x xy e− + −= 18 ( )2 24 1x y x y− − + = 0 
5 ( )2 2 21 2 1 0x y y− − + = 12 222 42 2
x xy 6
x x
− +
=
− +
 19 3 3 3 2y x x= − + 
 2 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
6 
3 2
2
1
1
x xy
x
+ −
=
−
 13 3 2
1
6
y
x x x
=
+ −
 20 
2
2 1
xy
x
=
−
 
7 ( )2 2 425 3y x x− = + 14 2 33 2
xy
x
−
=
+
 21 
3
4
xy
x
=
−
 
 
FUNCIONES ESPECIALES 
 
Determinar el dominio 
1 ( ) 4
4 16
9 3x
xf
x x
−
=
− −
 Rpta: ] [1 , 2 3,9
4
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
U 
2 ( )
2 1
1x
xf
x
−
=
−
 Rpta: ] [1,∞
3 ( ) 2
1
4x
x
f
x
−
= −
−
 Rpta: ] [1,1−
4 ( ) ( )( )1 1x
x x x
f
x x x
−
=
− − + − x
 Rpta: x Z∈ 
5 
( )
( )
2 2
4 2
( )
4
12 12
16
3 sgn 16
x
x x sgx x
f x
x x
+ − +
= − +
− − −
 Rpta: ] ] ] [, 4 4,−∞ − ∞U 
6 ( )
3 3
4 2
( )
4
2 116
3 2sgn 16
x
x xf x
x x
+ +
= − −
+ − −
 Rpta: ] [ [ [ { }, 5 2, 2−∞ − ∞ −U U
7 2 3( ) 4 2
1 2
1 1
1
x
x
f x x
x
− −
= − − − +
−
 Rpta: 3 31, 2 2, 3⎡ ⎡ ⎡ ⎡⎣ ⎣⎣ ⎣U
8 ( )
( )
5 2 3
( ) 2
3 sgn 32 1 1
sgn2
x
x x x xf
xx
− − − − − −
= +
−−
 
9 ( )
 es par
6 es imparx
x x x
f
x x x
⎧ −⎪= ⎨
− +⎪⎩
 ( )
2
( ) 2
9 2sgn 1
1x
xx
f
x x x
− −− +
= +
− −
 
 
Analizar el dominio, el rango y trazar la grafica de las siguientes funciones 
1 y x x= + 23 1y x= + 
2 2( ) 2 3 1 6f x x= − − − + 24 2( ) 4 7 4f x x= − − + 
3 ( ) (2 2sgn 4 sgn 2y x x x= − − + )x 25 1sgn 12
xy x
x
+⎛ ⎞= − −⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
 3 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
4 2
1sgn
2
xy x
x
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
 26 22 8y x x 5= − + 
5 ( )21 2 1 sgn 1y x x= + + − − 27 1y x x= + + 
6 24 5 1 2y x= − − − + 28 ( ) [ ]2 4 2 3 3,3y x x x= − + ∧ ∈ − 
7 ( )
( )2 sgn 1 2
1x
x x x
f
x x
⎡ ⎤− +⎣ ⎦=
− −
 29 ( ) 3 1 2 1 4 2xf x x x x= − − − − + − 
8 
1 11 ; y x x x x 1
x x
= + − + < 30 
1
sgn
2
x
y x
x
⎛ ⎞+
= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
9 ( )2( ) 1 2 1 sgn 1xf x x= + + − − 31 2 1x y= + − 
10 ( )x
x x
f
x x
+
=
−
 32 ( )( )( )
6
1 1
x
x x x
f
x x x
− −
=
x− − + −
 
11 [ ]( )
2 4,4x
xf x
x x
−
= ∧ ∈ −
−
 33 2( )
2 2 59 sgn
1 3x
x xf x
x x
⎛ ⎞+ + 1= − ⋅ + −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
 
12 ( )
1 2
1 2x
x x
f
x x
− + +
=
− + +
 34 [ ], 2, 2
2 2
y sen x sen x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ∈ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
13 ( )x
x x
f
x x
+
=
+
 35 ( )
4 3 1
3 4x
x
f
x
− −
=
−
 
14 
2 2 3 1
12 2,
5 1 15 6 2 5
xx x
y x
x x
−
+ −
⎤= ∧ ⎥ ⎥− − + + ⎦ ⎦
⎤∈ − 36 ( )
1
2x
f x x x⎧ ⎫= + +⎨ ⎬
⎩ ⎭
 
15 
{ }
( ) 2
1
sgn
x x
y
x x
+ +
=
−
 37 
( )2 sgn 3 22sgn 9 1
2 1 3
x x
y x
x x x
+ − −⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ − + − − −⎝ ⎠
 
16 ( )
2
1 2
1
xe x x
y
x
− + + + −
=
+
 38 
( )2 2 sgn3sgn
4 3 1
x xxy
x x
+ + −−⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
 
17 (9 )xf − si 
 3
1 3
x x
y
x x
⎧ ≤⎪= ⎨
+ >⎪⎩
 39 ( ) 2 2x
f sen x sen xπ π⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
 en [ ]2,2− 
18 
( )2 3 sgn 1sgn 9
2 1
x x
y x
x
+ + −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ + +⎝ ⎠
 40 
( )
( )
4 2
sgn 3 2
4 1
 2
1
x
x x
x
y
x sgx x x
x
⎧⎛ ⎞− +
+ ≥⎪⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎪⎝ ⎠= ⎨
⎪ <⎪ −⎩
 
 4 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
19 
1
( ) 1
 es par
1 es impar
x
f f x x
f
f f x x
−
−
⎧ −⎪= ⎨
⎪ − −
⎩
o
o
 41 
( ){ } 2
( )
 
sgn 4 2
4
2
x
x x x
f
x x
x
x
⎧ − − ≤⎪⎪= ⎨ −⎪ >⎪⎩
 
20 ( )
( )
2
( )9 4
sgn +1 2 4 0
sgn 2 2 0 1
x
x x
f x
x x x
⎧ − >
⎪
⎪= + − ≤⎨
⎪
− − ≤ ≤ −⎪
⎩
x < 42 ( )xf si ( )
( )2 2
2
2
sgn 4 9
6 12 27
3
10 21 3 6
x
x x
xf x
x x x
⎧ − ≤⎪
⎪ +⎪ x= − < −⎨
⎪
⎪ + + − >⎪⎩
 
21 
log ( )a x si 0 0a a> ∧ ≠
( )
( )
lg ( ) log 0
log ( ) 1log log 0
a
a
a
x x
x
a x
x
≥⎧
⎪
= ⎨ ⎛ ⎞ <⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩
 
43 ( )
2
( )
2 
sgn 4 3
6 2 3 9
3
10 21 6 3
x
x x
xf x
x x x
⎧ − ≤
⎪
⎪ +⎪= + <⎨
⎪
⎪
<
+ + ≤⎪⎩
−
 
22 
[ [
2
( )
 
+2 7, 2
 2
2
1 1
2 5
2 1
x
x x
xf x x
x
x
x
⎧
⎪ ∈ − −
⎪
⎪
= + ≤⎨
⎪
⎪ − +
< ≤⎪
−⎩
 44 
] [
[ [
[ [
[ [
( ) 
 ,0
 0,1
1 1,9
 9,
x
x
x
f
x
x
⎧− −∞
⎪
⎪
= ⎨ −⎪
⎪ ∞⎩
 
 
ALGEBRA DE FUNCIONES 
1. Hallar el mínimo valor de si k ( ) ( )2
9
2 3 5x
F k x Dom F
x x
= ≤ ∧ ∀ ∈
− +
 Rpta: 8
31
k = 
2. Sea una función de variable real, tal que F ( )2 1xF x+ = . Hallar los valores de de tal modo que p
( )
( )
2
2
2 3
2 3
2
6
x
x
F px
F x
−
+
+
− < <
−
4 Rpta: ] [2,4− 
3. En que intervalo debe variar de modo que una raiz de k ( )
29 36x
2f x x k= − + se encuentre en el 
intervalo 
4 , 2
3
⎤ ⎡−⎥ ⎢⎦ ⎣
 Rpta: 6, 4 2 4 2,6k ⎤ ⎡ ⎤∈ − −⎦ ⎣ ⎦U ⎡⎣ 
4. Entre que valores debe estar comprendido para que -2 quede comprendido entre las raíces de la 
función de Rpta:
k
( ) ( )
2 248 16 1 4xf x k x k= + − + − ] [10,22k∈ 
5. Si ( )
1 1
1 1
2 3
x
x
f x x
x
≤⎧
⎪= +⎨
>⎪ +⎩
 hallar el conjunto de valores de tal que x ( )1 xx f− ≤ Rpta: , 2⎤ ⎤−∞⎦ ⎦ 
 5 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
6. Hallar ( )( ) xf g+ si ( )( ) sgn 2 1 3xf x x x= − − − − y [ ]( ) 2 3xg x x x= ⋅ − ∧ ∈ − ,5 
 
7. Hallar ( )( ) xf g+ si y ( )
 
1 2
 2 5
3 5
x
x x
f x x
x
− <⎧
⎪= ≤ <⎨
⎪− ≥⎩
( )
 
1 3
3 2 3 6
2 6
x
x x
g x x
x
− <⎧
⎪= − ≤ <⎨
⎪− ≥⎩
 
 
8. Hallar ( )( ) xf g⋅ si 
] ]
] [( )
2 1 3,0
2 0,3x
x x
f
x
⎧ + − −⎪= ⎨
+⎪⎩
 y 
[ ]
( ) [ ]( )
1 4, 1
sgn 2 0, 4x
x
g
x x
⎧ − − −⎪= ⎨
⋅ −⎪⎩
−
 
 
9. Hallar ( )( ) xf g+ si 
2
( )
5 2
2 2 2x
x x x
f
x x x
⎧ − < −⎪= ⎨
− − ≥ −⎪⎩
( ) 2
2 4 2
3 2
x
x x
g
x x x
 y 
− > −⎧⎪= ⎨
+ ≤ −⎪⎩
 
 
10. Hallar ( )( ) xf g+ y graficar cada una de las funciones 
[ [
[ [( )
1 1, 2
3 2,6x
x
g
x
⎧ ∈ −⎪= ⎨
∈⎪⎩
 y 2( ) 4 2xf x x= − + −
11. Hallar ( )( ) xf g+ si 
( )( )
-1
22
2
( ) 2
2
4
sgn 16 3
4
25 3 5
9
25 5
2
x
xx x x
xf x
x
x x
x
⎧
⎛ ⎞⎪ − − <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪
⎪ −⎪= < ≤⎨
−⎪
⎪
−⎪ >⎪ −
⎪⎩
 y 2( )
 
1 0
1 0 3
6 11 4 4
2
x
x x x
g x x
x x x
x
⎧
− + ≥⎪
⎪
= − < ≤⎨
⎪ −⎪ > ∨ < −
−⎩
 
12. Hallar ( )( ) xf g+ si 
( )
( ) 2 
+1 1
3 1
1 1
sgn 1
x
x x
x x
f
x x
x x x
⎧ <
⎪
+ >⎪
= ⎨
− =⎪
⎪ + <⎩ −
 y 
2
( )
 
1 2
1 2 2
2
2 2
x
x x x
xg x
x
x x
⎧ + + >
⎪
−⎪= − < ≤⎨ +⎪
⎪ + − ≤⎩
 
13. Hallar ( )( ) xf g+ si 
[ [
( )( )
1 2, 1
4 cos 0x
x
f
x x
⎧ − −⎪= ⎨
+ >⎪⎩
−
 y 
] [
( )
2
( )
5 ,0
5 0,
2
x
x
g
sen x π
⎧ − −
⎪
= ⎨ ⎤ ⎡−⎪
∞
⎥ ⎢⎦ ⎣⎩
 
Rpta.: ( )( )
( ) [ [21 5 2, 1
1 0,
2
x
x
f g π
⎧ − − − −
⎪
+ = ⎨ ⎤ ⎡−⎪ ⎥ ⎢⎦ ⎣⎩
 
 
14. Hallar ( )( ) xf g+ si [2( ) 6 3 0xf x x x x x= − + − + ∈ ],3 y ] ]( ) 6 2, 4xg x x x= − ∈ − 
)( ) [ ]6 3 0,3xf g x x+ = − ∈Rpta.: ( 
 6 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
15. Hallar ( )( ) xf g+ si ( ) 3 1xf x x= − + + y 
2
( )
2 3
1 1 3
2 1
x
x x
g x x
x x
− >⎧
⎪
= − − ≤ ≤⎨
⎪ < −⎩
 
Rpta.: ( )( )
2
2 3
3 1 3
2 1
x
x
f g x x
x
− >⎧
⎪
+ = + − ≤ ≤⎨
⎪ < −⎩
 
16. Hallar ( )( ) xf g+ si ] [( ) 3 2 ; 1,1xf x x= + + − y 
] [
[ [
( )
2
6 2,0
2
 0,1
x
x
g
x x
+⎧ −⎪= ⎨
⎪ +⎩
 
Rpta.: ( )( )
] [
( ) [ [2
4 2 1,0
1 2 0,1x
x
f g
x
⎧ − −⎪+ = ⎨
+ +⎪⎩
 
 
17. Hallar ( )
( )
x
x
g
y
f
= si ( )
( ) [ ]
] [2
1 sgn 3 0,6
 6,10
x
x x
f
x
⎧ − −⎪= ⎨
⎪⎩
 y ( )
] [
] [
2 8,3
2 3,8x
x
g
x x
⎧ − −⎪= ⎨
−⎪⎩
 
Rpta.: ( )
[ [
( ) ] ]
] [
2
 0,3
1
2
 3,6
1
2 6,8
x
x
x
x x
g
x
x
x
⎧ −
⎪ −⎪
⎪ −⎪= −⎨ −⎪
⎪ −
⎪
⎪⎩
 
18. Hallar ( )( )xy f g= + si ( )
[ [
[ [
1 2 -1,0
3 cos 0,x
x
f
x
⎧ −⎪= ⎨
+ ∞⎪⎩
 y ( )
] [
[ ]
2
2
 ,0
 0,
x
x
g
senx π
⎧ −∞⎪= ⎨
⎪⎩
 
Rpta.: ( )
( ) [ [
( )
( ) ] ]
( )
2
2
2
2
2
1 1,0
4 0
3 0,
2 ,
x
x
sen x x
g
sen x
sen x π
π
π
⎧ − −
⎪
⎪ + =⎪⎪= ⎨
+⎪
⎪
⎪ ⎤ ⎤+⎪ ⎦⎩ ⎦
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 
. Si 
 
1 ( ) 1
2
1 +
−
=− x
xg x y ( )( ) 12
1
+
−
=
x
xgf xo , hallar Rpta.: ( )2+xf ( ) 3
2
2 +
+
=+ x
xf x 
2. Si 
 
( ) 17
1397
2
2
202 +
−
=
− x
xf
x
 y ( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛− =
x
x gf 21 , hallar ( )( )xfg o Rpta.: ( )( ) 513
2414
+
+
=
x
xfg xo 
3
12
2
1 −
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
− x
xf
x
x , 2
24
1
12
x
xxg
x
x
++
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
 y ( )( ) 8
13
3 +
−
=− x
xfgh xoo hallar ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−
2
131 xh 3.)Si 
2
2
131
35171
20162
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−
x
xh x Rpta.: 
( )( )xg fo si: ( ) ( ) [ [
12 3-xf x f ,= − ∈ ∞ y ( )
1 12
2
-
xg x g ,
⎡ ⎡= + ∈ ⎢ ⎢⎣ ⎣
 ∞
Rpta.: 
4. Hallar 
( )( ) [ ] 3, 4xg f x x= ∈o 
 
. Hallar el rango de ( )( )xg fo si: ( ) ] [4 8 1
2
xf x x x ,= − ∈ − y ( ) ] [1 4xg x x ,= − ∈ − 0
Rpta.: 
5
( )( ) 1, 5xRang g f ⎤ ⎡⎦ ⎣o 
 
6. Si 3
43
52
3
3
1 ++
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ x
xf
x
. Hallar Rpta.: a)( )xf 1− ( ) 31
74
113
−
−
−=−
x
xf x b) ( )
( )( ) 34
117
3
3
1
+
+
=−
x
xff
xf
o 
 
Si ( ) ( )
3 2 3, 
6 5x x
1x xf g
x x
+ −
= =
+ −
 y ( )
7 1( )
6 5x
xg h f
x
⋅ −
=
− ⋅
o o . Hallar 3( )xxh
− 7. 
 
. Si x xg f x f g x x= − ∧ = + +o o . Hallar8 ( ) ( )
2 2
( ) ( )4 6 2 ( ) ( )x xf g∧ 
 
3
1
2 3
3 1( )
1
x
x
xf
x
−
+
+
=
+
 y 1( )
2 5
6x
xg
x
−
+
=
−
. Hallar 21 1 ( )( ) xg f −
− −o 9. Si 
( )( )xf fo si: ( )
1 0
0
x
2
 x
xf
x x
⎧ <⎪= ⎨
⎪− >⎩
 Rpta.: ( )( )
2
 0
1 0x
x x
f f
x
x
<⎧
⎪= ⎨− >⎪⎩
o 10. Hallar 
11. Hallar ( )( )xf fo si: Rpta.: ∞
12. Hallar si: 
( )
1 1
1x 2
 x
f
x x
<⎧⎪= ⎨
>⎪⎩
( )( ) ] [
4 1,xf f x x= ∈o 
( )( )xgf o ( )
] ]
]
 0, 4
 4,
3
x
x x
f
x+ x
⎧ +⎪= ⎨
[∞⎪⎩
 y ( )
] [
] [
2
x 3
1 2, 2
g
 2,
x
x
⎧ − −⎪= ⎨
∞⎪⎩
 
( ) ] [ { }: 2, 0,2Dom f g − ∞ −o Rpta.: 
 8 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
13. Hallar si: ( )( )xgf o ( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ < 
≤<
+
≤−−
=
51 ; 
2
2
17 ; 12
x
x
xx
f x y ( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ ≤−− 3 ; 13 xx
≤≤
+
<
=
84 ; 
1
2
4
x
x
xg x 
 Rpta.: ( )( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤
+
+
<<
+
≤<−−
=
84 ; 
12
1
2
3
2 ; 
13
2
3
22 ; 69 2
x
x
x
x
x
xxx
gf xo 
( )( )xg fo si: ( )
2 0
1 0x
x xf
x x
⎧⎪ <= ⎨
− ≥⎪⎩
 y ( )
2 1
1 1x
x x
g
x x
+ ≤⎧
= ⎨ − >⎩
 14. Hallar 
( )( )
2
2
-1 1
2 -1 0
3 0
x
x x
g f x x
x x
⎧ −∞ < < −
⎪⎪= + ≤ <⎨
⎪ − ≤ <⎪⎩
o Rpta.: 
∞
15. Hallar ( )( )xg fo si: ( )
2
3
 1
 2
x
x x
f
x x
⎧ <⎪= ⎨
− ≥⎪⎩
 y ( )
 2
2 4x
x x
g
x x
− <⎧
= ⎨ ≥⎩
 
( )( )
2
3
2
 2 1
 2
2 2
x
x x
g f x x
x x
⎧− − < <
⎪⎪= ≤⎨
⎪
< ∞
−∞ < ≤⎪⎩
o Rpta.: 
16. Hallar si: ( )( )xgf o ( ) ( )2
1 2 6< 2
6 1
sgn 1 2
x
x x x
xf
x x
−⎧ ∨ >⎪ += ⎨
⎪ − < ≤
⎩
 y ( )
( )
3 1 4 0
2 2 1 4
3
4sgn 3 4
x
x x
xg x
x
x x x
⎧ + − − ≤ ≤
⎪
−⎪= ≤ <⎨ −⎪
⎪ = ∨ >⎩
 
17. Hallar si: y 
Rpta.: 
18. Hallar 
( )( )xgf o ( )
⎩
⎨
⎧
<≤+
<≤−−
=
41 ; 1
125.2 ; 42
2 xx
xx
f x ( )
⎩
⎨
⎧
<≤−+
−<≤−
=
25.21 ; 45
14 ; 2
xx
xx
g x 
( )( )
4
2
1 ; 2 1
10 4 ; 1 0.6
25 40 17 ; 0.6 2.25
x
x x
f g x x
x x x
⎧ + − < < −
⎪
= + − ≤ < −⎨
⎪
+ + − ≤ <⎩
o 
( )( )
1 1
x
f g g− −⋅ o si: ( )
( )2
3 2 1 
sgn 9
5 5
x
x x
x x
f
x x
x
⎧ ≤ ≠⎪
+ −⎪= ⎨
⎪
+ ≥⎪⎩
 y ( )
2
2
16
1x
xg
x
−
=
−
 en [ [ [ [0,1 4,∞U 
[ [ [ [0,1 5,∞U Rpta.: 
 9 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
19. Hallar ( )( )xg fo si: ( )
4
3
1 3 4
1 1 4 
x
x x
f
x x
⎧ − − >⎪= ⎨
− < ≤⎪⎩
 y ( )
1
4x
xg
x
+
=
−
 
Rpta.: { }0, 5 6, 19⎤ ⎡ ⎤ ⎡∞ −⎦ ⎣ ⎦ ⎣U 
( )( )xf go si: ( ) 2
1 2 3
1 0 3 
x
x x
g
x x
⎧ − − >⎪= ⎨
⎪ − <⎩ ≤
 y ( ) 2
4
9x
xf
x
+
=
−
 
Rpta.: 
20. Hallar 
{ }3 3 34, 2 1, 4 5, 8,5⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡− − ∞ − ±⎦ ⎣⎣ ⎣ ⎦ ⎣U U 
( )xh si: ( )
2
2
2 3 2 
1 4 4
x
x x
f
x x
⎧ − ≤ ≤
( )
⎪= ⎨
⎪ − − ≤⎩
, ] ] ] ] ( )
2 4 4 , 4 0,2xg x= − − ∧ −∞ − U y ( )( )x xf h g= o 21. Hallar 
( ) ( )x xf g∧ si cumple ( )
1
3x
h f g f
x
= ∧ =
+
o22. Hallar 
23. Demostrar que si ( ) x
f x −
=
1
1 ( )( ) ( )xx ffffffff =oooooo se cumple 
24. Si ( ) 21 x
x
=f x
+
 y ( ) ( )( )( )( )xx fffg ..... = , n veces la composición hallar Rpta.:( )xg ( ) 2 1 nx
x
=g x
+
 
25. Dada la función ( ) 12
12
12 −
+
=+ x
xf x , calcular: ( )( )51 +− xff o ( )( ) 551 +=+− xff xo Rpta.: 
26. Si , hallar el valor de a para que se cumpla: 22 += aa ff Rpta.:( ) axf x 23 += ( ) ( )
1− 
9
2
=a 1−=a 
7. Si y , hallar el valor de a si: 
 
( ) 32
2
1 +−=− xxf x ( ) axg x −= ( )( ) ( )( )12 += afggf oo Rpta.: 5
3
=a2 
28. Expresar la función, como la composición de tres funciones 2 2 2
2
53 1 ( 1)
1
y x x
x
= − − + −
−
 
29. Hallar si existe. ( )( ) xg fo , donde 
] ]
[ [( )
 1,0
1 1,10x
x x
f
x x
⎧ ∈ −⎪= ⎨
− ∈⎪⎩
 y 
] ]
[ ]( ) 2
3 1,1
 2, 4
x
x x
g
x x
⎧ ∈ −⎪= ⎨
∈⎪⎩
 
( )( ) xg fo y su dominio, donde : ( ) 3
1 3 4
1 1 4
x
x x
g
x x
⎧ − − >⎪= ⎨
− < ≤⎪⎩
 y ( ) 2
4
9
x
xf
x
+
=
−
 30. Hallar si existe. 
 
ROPIEDADES Y TIPOS DE FUNCIONES 
)
P
 
1. Si g es una función que cumple ( )g ( yyx gx= + + y ( ) 10 =g , hallar Rpta.:( )1000g ( ) 10011000 =g 
 
 2. Hallar la función de primer grado tal que: ( ) 31 =f , ( ) 53 =f Rpta.: ( ) 2+= xf x 
 
 3. Determínese la función cuadrática tal que: 
 10 
( ) 31 =−f , ( ) 02 =f , ( ) 284 =f Rpta.:
 
 ( ) 443
2 −−= xxf x 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
 4. Hallar la función de la forma ( )
x
x bcaf += 1si 50 ( ) =f , ( ) 302 =f 04 9, ( ) =f : Rpta. ( )
x
xf 2510 ⋅+= 
 5. Si ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )x
xxgf
cosx
g x sec2 
=
xx 2cos1sen2 2 ++
 y 
1+
= h Rpta.:sen allar ( )xf ( ) x
xf x +
−
=
1
1 2
 
( ) ( ) 2arcsen
π
−= xf x demostrar ( ) ( ) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −−−
=+
2
 6. Si 
2 11 yxxyyx
fff 
ostrar que:
( ) ( )
 7. Dem ( ) ( )
( )yxyx
x
fff
g
242
2
+⎠⎝+
+
 si y
gg 4
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
= ( ) 2
xx
x
eeg
−+
= , ( ) 2
xx
x
eef
−−
= 
 8. Hallar la función d l ma pla: e primer grado (recta), de ta nera que cum ( )( ) 31812 +=+ xf f xo 
: ( ) 2
33 −= xf x ; ( ) 33 +−= xf Rpta. x 
a r la f ción primer grado (recta), de ta aner que c 9. H lla un de l m a umpla: ( )( ) 43212 +=− xff xo 
 Rpta.: ( ) 44 += xf x ; ( ) 3
204 −−= xf x 
10. es una función lineal con pendiente inters el eje . Además.
)2 )1 . Hallar la si se tiene que
f m , ección con igual a 
función 
b
( ) (2 12m b b mf f− + −= , ( ) (2 2m b m bf f+ − + += ( )xg
( )4
8 6
x m b m bg x f f+ + −⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
− = + ⎞
⎟
⎠
 Rpta.: 
( )
( ) 4
13
12
−=
−=
xg x
11. La función 
xg x
 
( ) 1 5− es inyectiva en xf x x= + ] [2,10− 
Rpta: No es inyectiva 
: 5, ,72 7xf b a→ = es biyectiva. Hallar el valor de 12. Si la función
2/ 8f x x− + [ ] [ ] ( ) a b+ 
Rpta: 5a b+ = 
13. Sea la función definida por :g R B→ ( )
] [6 7 2 3
5 5
3
3
x
x ,
g
x x
x
⎧− − −⎪⎪= ⎨
⎪ >
⎪ −⎩
. Hallar B para que ion sea
suryectiva R
 la func 
pta: ] [ ] [5 1 1B : , ,− ∞U 
14. Sea la función ( )
2 3
2
3x
x x
f
+
= . Es sobreyectiva? 
x
−
+
 tiva 
5. Dada la función
 x
⎧ + ≥⎪= ⎨
− <⎪⎩
5 5
 Rpta: Es sobreyec
1 ( ) 2f x
 hallar y ( )22x
3 3
5 3
2
x
x x x
) ( ) (x x xg f f− −= + 
( )
3 210 38 45xg x x= − + Rpta.: 
 
 11 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
16. Hallar la grafica de lg
a
x si: y 
0
1
a
a
>⎧
⎨ ≠⎩ 1
lg ( ) lg ( ) 0
lg ( )
lg ( ) lg ( ) 0
a a
a
xa a
x x
x
x
≥⎧
⎪= ⎨
<⎪⎩
 
 
17. Demostrar que cualquier función se puede expresar como la suma de dos funciones, de las cuales una 
es par y la otra impar. 
 
18. Expresar las funciones como la suma de una función par y otra impar 
 
a) 1y x= − b) ( )1y sen x= + c) ( )3 2y sen x x= + d) 22 11
xy
x
−
=
+
 e) xy e−= 
 
19. Dado ] ]3,2k∈ − y ( ) 1 1f x x= − + , hallar ( )f k y construir su grafica. 
 
20. En un circuito el voltaje disminuye de acuerdo con la ley lineal, en un principio la tensión es de 12 
voltios y al final del experimento que duro 8 segundos es de 6.4 voltios, expresar el voltaje en función del 
tiempo. 
 
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 
 
Hallar el dominio de las funciones: 
 
a) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
cos 2 cos 3 cos 4
2 3 4
x x x
y
sen x sen x sen x
+ +
=
+ +
 Rpta: /
3
x IR n Zπ⎧ ⎫∈ − ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭
 
b) 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 3cos 2
cos 2 3 2
sen x x
y
x sen x
+
=
−
 Rpta: ( ) ( )6 1 , 6 1
12 12
k k kπ π⎤ ⎡ Z− + ∧⎥ ⎢⎦ ⎣
∈ 
c) 
cos
4 4
cos
4 4
sen x x
y
sen x x
π π
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 Rpta: ( ) ( )4 1 , 4 3k k k+ + ∧ ∈⎡ ⎡⎣ ⎣ Z 
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sec cos cscy x x x sen x tg x ctg x= − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎦ Rpta: ( ) ( )8 1 , 4 14 2k k k
π π⎡ ⎡ Z+ + ∧ ∈⎢ ⎢⎣ ⎣
 
e) 
( )( )
( )( )
csc sec
sec sec
x
y
x
= Rpta: ( )2 1
2
x k k Zπ≠ + ∧ ∈ 
 
Hallar el rango de las funciones 
 
a) ( ) ( )csc cscy x= + x Rpta: { }2, 0⎡ ⎡∞ +⎣ ⎣ 
b) 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
csc
csc
sen x x
y
sen x x
−
=
+
 Rpta: ] ] { },0 1−∞ −− 
 12 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
c) Rpta:( ) ( )3y tg x ctg x= 1 ,3
3
IR ⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎣ ⎦
 
d) ( ) ( ) ( )sec
2 2
xy sen x x tg x tg π⎛= − − + +⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ Rpta: ] [1,1− 
e) ( )
( )
2
2
sec 2
2 csc
x
y
x
−
=
−
 Rpta: ] [1,IR − ∞ 
 
Encontrar el periodo de las siguientes funciones 
a) ( )cosy n= x Rpta.: 
n
T π2= g) ( )0seny ω= x Rpta.: 
0ω
π
=T
b) 
( )
( ) ( )
2
cos 2
2
sen x
y x
sen x
= + Rpta:
2
T π= h) 
2 xy sen
k
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 Rpta.: kT = 
c) ( ) 3 33
2 2
y sen x ctg x tg x⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 Rpta: 2
3
T π= i) 
(2 )
cos(2 ) 4
sen xy
x
=
+
 
d) ( )
3 5
x xy sen x sen sen⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 Rpta: π30=T j) cos
6 6
x xy se⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n 
e) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 5
cos cos 3 cos 5
sen x sen x sen x
y
x x x
+ +
=
+ +
 Rpta:T π= k) 
( ) (2 ) (3 )
(2 ) (3
tg x tg x tg xy
tg x tg x
+ +
=
⋅
 
f) ( )( ) ( )( )co s cos cosy sen x= x Rpta:
2
T π= l) 2 2y x x= − 
 
Analizar y graficar las siguientes funciones: 
a) ( ) ( )( )22cos10 xf x = g) ( ) ( ) ( ) ( )y tg x ctg x tg x ctg x= − + + 
b) ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−= −
4
50cos3 2 πxef xx h) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos 1y sen x x sen x x= + + + − 
c) ( ) 22
2cos1 +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=
πxf x i) ( ) ( )2 cos 2y sen x x= + 
d) 
( )
( )
( )
( )
3 cos 3
cos
sen x x
y
sen x x
= + j) ( ) (sec cosy x x= − −⎡ ⎤⎣ ⎦ )x 
e) 22cos
4
y x xπ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 k) ( )y x sen x= + 
f) ( )
cos( ) 0
( )
 0
x x
f x
sen x x
<⎧⎪= ⎨ ≥⎪⎩
 
 
 
 
 
 
 13 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
FUNCION INVERSA 
 
Hallar la inversa de las siguientes funciones 
 
1. ] ]2 16 7 , 7y x x= − + − −∞ − 
2. 
3
1 1
1
y x
x
= ≠
−
 
3. 3 32 1y x x x x= + − + − −2 1 Rpta.: ( )
3
1 3
2x
x xf − −= 
4. 
3 3
2
x xy −= Rpta.: 3 32 21 1y x x x x= + − + − − 
5. 2y x x= + 
6. Si ( ) [ 1 1x [f x x x x ,= + − ∈ − . Hallar Rpta.: ( )xf
1−
( ) ( ) [ [
21 1 1xf x x x x ,
− = − + ∈ − 
7. Si ( ) 1 x
xf x +
= . Hallar Rpta.: ( )xf 1− ( )
 1
1
x
xf x
−
=− 
8. Si ( ) ( )5 1 5xf x x= − + + − x . Hallar Rpta.: ( )xf 1− ( ) ( )1 21 18036xf x− = − 
9. Si ( )
23 7x 2 3f x x x ,⎡= + + ∈ ⎣ ⎤⎦ . Hallar Rpta.: ( )xf
1−
( )
2
1 3 5
8x
x xf − + += 6 
10. Hallar ( )
1
( )f g x
−
+ y graficar si ] ]( ) 4 , 4xf x x= − ∈ −∞ y [ [
] [
24 9 4,( )
8 , 4
xg x
⎧ + + ∞⎪= ⎨
−∞⎪⎩
 
 Rpta.: ( ) [ ]
] [
2
1
9 1,9( ) 2
4 ,0
x
f g x x
x
−
⎧ −
⎪+ = ⎨
⎪ − −∞⎩
 
11. Hallar 
1
( )f x
−
 y graficar si 
] ]
] [
2 ,0
( ) 1 0,
x
f x
x
⎧− −∞
⎪= ⎨
∞⎪
⎩
 Rpta.:
] ]
] [
1
2
 ,0
( ) 1 0,
x
f x
x
−
⎧− − −∞
⎪= ⎨
∞⎪
⎩
 
 
12. Hallar 
1
( )f x
−
 y graficar si 
1 1
( ) 1 2
3 5 2 4
x x
f x x x x
x x
⎧− − <
⎪
= − ≤ <⎨
⎪ − ≤ <⎩
 
13 Hallar 
1
( )f x
−
 y graficar si 3
3 0
( )
 1
x x
f x
x x
<⎧⎪= ⎨
≥⎪⎩
 Rpta.:
] [
] [
1
3
 ,0
3( )
 1,
x
f x
x
−
⎧ −∞⎪= ⎨
⎪ ∞⎩
 
 14 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
14 Hallar 
1
( )f x
−
 y graficar si 
2 4 2
( ) 2 2 6
2 10 6
x x
f x x x
x x
⎧ − < −
⎪⎪= − − ≤ <⎨
⎪− + ≥⎪⎩
 Rpta.:
] [
] ]
] ]
1 2
4 0,
( ) 2 2,0
1 5 , 2
2
x
f x x
x
−
⎧
+ ∞⎪
⎪
= + −⎨
⎪
⎪− + −∞ −
⎩
 
15 Hallar 
1
( )f x
−
 y graficar si ] [ ]
2 2 2 -3 2
( ) 3 -1,1 1,2
2 1
x x x
f x x
x
⎧
[
+ − ≤ < −⎪= ⎨ +
⎪ − −⎩
U
 Rpta: 
] [ ]
3 1 2 1
( ) 3 , 5 1,1
x x
f x x
x
⎧− + − − < <⎪= ⎨ − −∞ − ∞⎪ +⎩
U [
 
 
16 Hallar 
1
( )f x
−
 y graficar si 
2
2
( 1)
4
2
lg ( 1) 3 13
( ) 1 3
2 1 0 1
x
x x
f x x
x x x
−
− ≤ <⎧
⎪
⎪= ≤⎨
⎪
⎪
<
− − ≤ <⎩
 
17 Hallar 
1
( )f x
−
 y graficar si 
[ ]
] ]
] [
2
2
2 2, 2
( ) 1 2,6
2 6,7
x
x
f x
x x
⎧ + −
⎪⎪= − −⎨
⎪
⎪ +⎩
 
18 Hallar 
1
( )f x
−
 y graficar si 
[ [
[ ]
] ]
2
2
2
1 4, 2
( ) 2 2, 2
10 2,6
4
x
x
f x x
x
⎧
+ − −⎪
⎪
= + −⎨
⎪ −⎪ −
⎩
 
 
 
 15 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
GUIA DE PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
PRIMER PARCIAL
 
LÍMITES 
 
LIMITES POR DEFINICION (Demostrar mediante la definición de límite) 
 
1 ( )4
lim 2 1 9
x
x
→
+ = 15 ( )3
lim 7 3 2
x
x
→
− = − 29 1
2
1 6lim 2
5 5x
x
→−
⎛ ⎞− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2 
2
3
lim 2 3 1 10
x
x x
→
− + = 16 ( )3
0
lim 1 1
x
x
→
+ = 30 
2
0
lim 1 1
2x
x
→
− = 
3 
3 2
5
lim 2 140
x
x x x
→
+ − = 17 5
4
1lim 9
1x
x
x→−
−
= −
+
 31 
2
24
16lim 2
4x
x
x x→
−
=
−
 
4 
2
22
2 6lim
43 8 4x
x x 7
x x→
− −
=
− +
 18 
3lim 3
6 5x
x
xπ π→
=
−
 32 
2
1
1lim 1
1x
x
x→−
+
=
+
 
5 
7
1 8lim
9 60 3x
x
x→
+
=
−
 19 
6
lim 2
3x
x
x→
=
−
 33 
4
1 1lim
42x x→
=
+
 
6 
1
lim 1 0
x
x
→−
+ = 20 
5
lim 5 5 10
x
x
→
+ = 34 ( )
5
lim 5 5 10
x
x
→
+ = 
7 2
1
lim 4 3
x
x
→
− = 21 
9
3 1lim
23x x→
=
+
 35 1
2
1 1lim
4 2x
x
→
− = 
8 
3 2
2
3 1lim
3 3x
x
→
−
=
1
 22 1
1lim 2
x
x
x→
+
= 36 
1
2lim 3 1
x x→
⎛ ⎞− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
9 22
lim 1
3x
x x
x x→
+
=
+ −
 23 
2
3 1lim 5
2 1x
x
x x→
−
=
− −
 37 1
4
1lim
2x
x x
→
− = 
10 ( )2
3
sgn 1 1lim
4 7x
x
x→
−
=
+
 24 1
4
1lim
2x
x x
→
− = 38 22
2 2lim
33 2x
x x
x x→
− +
=
+ −
 
11 3
2
2lim 1
x
x
x x→
−
=
−
 25 
1
1
15lim
5 1 4x
x
x→
+
=
−
 39 
( )
21
sgn
lim 1
13 1
4 2
x
x x x
x
→−
+
=
⎛ ⎞− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
12 
2
1 1
lim 4
2 2x
x
x→
− −
=
+ −
 26 ( )0
lim 2 cos 1
x
x
→
− = 40 ( )
0
1 cos
lim 0
x
x
x→
−
= 
13 20
lim 0
1x
x
sen x→
=
+
 27 
( )
2
lim 1 0
x
sen x
π
→
− = 
41 
10lim 3
3 2x
x
x→∞
+
= −
−
 
14 
3 2
3
8 2 2lim 4
4 3 2x
x x
x x→∞
+ −
=
− +
 28 
1lim 1
1x
x
x→∞
+
=
−
 42 22
1lim
4x x+→
= +∞
−
 
 16 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
CALCULO DE LÍMITES ALGEBRAICOS (calcular los siguientes limites de tipo algebraico) 
 
1 ( )( )( )
x
xxximL
x
131211
0
−+++
=
→
l Rpta.: 6=L 
2 
( ) ( )3 22 3
3 21
1 1
4 5 2x
x x
L im
x x x→
− − −
=
− + −
l Rpta.: 9L = 
3 
2
24
3 17 2
4 25 3x
x xL im 0
6x x→
− +
=
− +
l Rpta.: 1L = 
4 
7 7
3 3x a
x aL im
x a→
−
=
−
l Rpta.: 47
3
L a= 
5 
( ) ( )5
2 50
1 1
x
5x x
L im
x x→
+ − +
=
+
l Rpta.: 10L = 
6 
( )
( )
202
102 3
20
12 16x
x x
L im
x x→
− −
=
− +
l Rpta.: 
103
2
L ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
7 22
2 2
3 6 2 5x
L im
x 2x x→
= −
− − +
l Rpta.: 4
9
L = 
8 
4 3 2
4 3 21
4 9 3 5
3 9 9 3x
x x x xL im 3
x x x x→−
+ + − −
=
+ + +
l Rpta.: 7
3
L = 
9 
1
.......32
1 −
−+++
=
→ x
nxxxximL
n
x
l Rpta.: ( )
2
1+
=
nnL 
10 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
→ 1
3
1
1
31 xx
imL
x
l Rpta.: 1=L 
11 
m m
x a
x aL im
x a→
−
=
−
l Rpta.: 0>m 1−= mmaL
12 
( )
( )2
1
ax
axnaaximL
nnn
ax −
−−−
=
−
→
l Rpta.: ( ) 2
2
1 −−= nannL 
13 
2
22
2
5 6x
x xL im
x x→
−
=
− +
l Rpta.- 2L = − 
14 
20 14
23 151
32
4 3x
x xL im 5
x x→
+ −
=
− −
l Rpta.- 8
7
L = 
15 
100
501
2 1lim
2 1x
x xL
x x→
− +
=
− +
 Rpta.: 12
24
L = 
16 
( )(
( )( )
)3 2
31
108 1 2
lim
3 1x
x x x
L
x x→−
+ +
=
+ −
 Rpta.: 27L = 
 17 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
17 
( )21
1 1
log1x
L im
xx→
= −
−
l Rpta.: L = ∃ 
18 
( ) (
( )( )
)
1
1 1
1 1
b a
a bx
a x b x
L im
x x→
− − −
=
− −
l Rpta.: 
2
a bL −= 
19 ( )
( )
2 1
21
1
1
a a
x
ax a x x
L im
x
+ +
→
− + +
=
−
l Rpta.: 
( )1
2
a a
L
+
= 
20 
( ) ( )
20
1 1
lim
n m
x
mx nx
x→
+ − +
 Rpta.:
( )
2
mn n m
L
−
= 
21 
1
lim ( )
1 1mx
m n
nx x→
−
− −
 Rpta.:
2
m nL −= 
22 
( )1
11
1 1
lim
1
n n
p px
nx n x
x x x
+
+→
+ − +
− + −
 Rpta.:
( )1
2
n n
L
p
+
= 
23 
( ) ( )
( )
1
2
n n n
x a
x a na x a
L im
x a
−
→
− − −
=
−
l Rpta.: 
( )
2
1
2 n
n n
L
a −
−
= 
24 
( ) ( )
3 2
3 21
5 3
2 1 2x
x x xL im
x n x n x n→−
− − −
=
+ − + − −
l Rpta.: 4
1
L
n
=
+
 
25 
( )4
22
4 1
2x
x
L im
6
x x→
− −
=
− −
l Rpta.: 32
3
L = − 
26 
4
51
3 2
4 3x
x xL im
x x→
− +
=
− +
l Rpta.: 10L = 
27 
( ) ( )
2
2 21
1
1x
xL im
ax a x→
−
=
+ − +
l Rpta.: 2
1
1
L
a
=
−
 
 
CALCULO DE LÍMITES CON RADICALES (calcular los siguientes limites con radicales) 
 
1 
3
8210
327 −
−+
=
→ x
ximL
x
l Rpta.: 
8
27
=L 
 2 
4
37
4 −
−+
=
→ x
ximL
x
l Rpta.: 
24
1
=L 
3 
3
8
7
8x
xL im
x→
+ −
=
−
l
3
 Rpta.: 1
72
L = 
4 
4 4 2
20
1
x
x xL im 1
x→
+ − +
= l Rpta.: 1
2
L = − 
 18 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
5 31
3 2
1 1x
L im
x x→
⎛ ⎞
= −⎜
− −⎝ ⎠
l ⎟ Rpta.: 
1
2
L = 
6 
2
22
4 1
1 13 5
n
mx
x xL im
xx→
⎛ ⎞⎛ ⎞− −
⎜ ⎟= ⎜⎜⎜ ⎟ − −⎝ ⎠− +⎝ ⎠
l
1−
⎟⎟ Rpta.: 6
mL
n
= 
 
 7 
x
babaximL
x
+−++
=
→0
l Rpta.: 
ba
L
+
=
2
1 
8 
2 2
23
2 6 2 6
4 3x
x x x xL im
x x→
− + − + −
=
− +
l Rpta.: 1
3
L = − 
9 
( )
3 2 3
28
4 4
8x
x xL im
x→
− +
=
−
l Rpta.: 1
144
L = 
10 
4
520
2 4
12 2x
xL im
x→
− −
=
+ −
l
4 Rpta.: 5L = 
11 
3 2
3
1 6
3x
x xL im
x→
− −
=
−
l Rpta.: 7
2
L = − 
12 
35
2 1
1 3 1x
xL im
x→
− −
=
− − −
l Rpta.: 3L = − 
13 
2
50 1 5 1x
xL im
x x→
=
+ − −
l Rpta.: 1
2
L = − 
14 
2
23
3
3 26 3 26 3 33
15 64 2
3
x
x x x
L im
x x
x
→
− + − − +
=
+ −−
+
l Rpta.: 69L = − 
15 
34
1
3
1x
x x xL im
x→
+ + −
=
−
l Rpta.: 13
12
L = 
16 ( )
( )
1
21
1
lim
1
n
x
x n x
L
x
+
→
− + +
=
−
n
 Rpta.:
( )1
2
n n
L
+
= 
17 
( ) ( )
( )
1
2lim
n n n
x a
x a na x a
L
x a
−
→
− − −
=
−
 Rpta.:
( ) 21
2
nn nL a −
−
= 
18 
1
1
1
n
mx
xL im
x→
−
=
−
l Rpta.: mL
n
= 
 19 
x
xx
imL
nm
x
βα +−+
=
→
11
0
l Rpta.: 
nm
L βα −= 
 19 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
 20 ( )( )( ) ( )
( ) 1
43
1 1
1.........111
−→ −
−−−−
= n
n
x x
xxxximL l Rpta.: 
!
1
n
L = 
21 
2 3
1
lim
1
n
x
x x x x nL
x→
⎛ ⎞+ + + + −
= ⎜⎜ −⎝ ⎠
L
⎟⎟ Rpta.:
( )1
2
n n
L
+
= 
22 
( ) ( )
x
xxxximL
nn
x
−+−++
=
→
22
0
11
l Rpta.: nL 2= 
23 
2
4
16
2 1 3x
xL im
x→
−
=
+ −
l Rpta.: 24L = 
.24 
( )2 2 33
32 2lim
a b
a b
x ax a x x b
L
a x x b
−
→
+ + + + − −
=
− − +
 Rpta.:
2
2
2 (1 9
9
b x xL )
x
+ +
= 
25 
2 23
3 22
3 8 6 2lim
2 2x
x x x x
x x x→
− − + − +
− + −
 Rpta.: 29
30
L = 
26 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+−−++=
→ xxxxxx
imL
x
111111
0
l Rpta.: 1=L 
27 
523
37
2
3 2
1 −+
+−+
=
→ xx
xximL
x
l Rpta.: 
96
1
−=L 
28 
5 35 3 3
20
1 1lim
1x
x x x
x x x→
+ + + + −
− +
2
 Rpta.: 2L = − 
29 2
32 2 2 33
( 1)1
( 1) 2 2
lim
xx
x x
−→
+ − + + 4
 Rpta.:
3 4
9
L = 
30 
32 23
6 3lim
2 1x
x
2x x x→−
− −
− − − − − + x
 Rpta.: 1
18
L = 
31 
5 6
18 250
1 3 1 2lim
1 1x
x x
x x→
+ − ⋅ + +
+ + + − 2
 Rpta.: 135
43
L = − 
32 
9 1311
3 5 76
7 4 7 7 4lim
6 7 5 7 7x
x x xL
x x x→
− + − − − +
=
− − − + − −3
 Rpta.: 3584
4719
L = 
33 
9
5 8
7 2 2x
x x xL im
x x→
− − − −
=
+ − +
l Rpta.: 14
5
L = 
34 
22 336 9
2 36 21
1 1 1 1lim
3 3 1 1x
x x x xL
x x x+→
⎛ ⎞⎛ ⎞− − − + − −⎜= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− + −⎝ ⎠ −⎝ ⎠
⎟
⎟
 Rpta.: 1
2
L = 
 20 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
35 
3
3 231
3 3lim
3 3x
x x x
x x x→
+ ⋅ − −
+ ⋅ − ⋅ −
1
1
 Rpta.: 27
8
L = 
36 
0
1 1lim
m n
x
kx x
x
λ
→
− ⋅ + −1 Rpta.: kL
m n
λ
= + 
37 
0
1 1lim
( )
m n
x
a x b x
sen b x→
+ ⋅ − + ⋅
⋅
 Rpta.: 1aL
bm n
= + 
38 
0
1 1
x
x xL im
x→
− − +
= l Rpta.: 1L = − 
40 
5 72 2
0
2 10 1 10
x
x x x xL im
x→
+ + − + +
= l
1 Rpta.: 4
7
L = 
41 
3 3
30
27 27
2 4x
x xL im
x→
+ − −
=
−
l Rpta.: 2
27
L = 
42 
3
1
5 3 3 1
3 2x
x xL im
x x→
+ − +
=
− +
l Rpta.: 2
15
L = 
43 
( )
3 2 33
21
2 3
1x
3x x x xL im
x+→
− + + −
=
−
l
x Rpta.: 1
9
L = 
44 
5
3 4 2 2 6 4
5x
x x xL im
x→
+ − − − +
=
−
l
5
 Rpta.: 9
10
L = − 
45 
( )25 24
21
1 1
12 1x
x
L im x 5 xx x→−
⎡ ⎤
−⎢ ⎥ ⎛ ⎞
= −⎢ ⎥ ⎜
+− + ⎝ ⎠⎢ ⎥
⎣ ⎦
l ⎟ Rpta.: 150L = 
46 
3
0
1 7 5 1 1
x
x xL im
x→
+ +
= l
− Rpta.: 31
6
L = 
47 
2
3 3 22
8 12
19 5x
x xL im
x x→
− +
=
+ − +
l Rpta.: 18L = 
48 
3
1
9
1x
x xL im
x+→−
− + −
=
+
l
2
 Rpta.: 7
6
L = − 
49 
2
3
6
1 2x
x xL im
x→
− − +
=
+ −
l
6 Rpta.: 70
3
L = 
50 
0
1 1 1 1 1 1
x
L im
x x x x x x+→
⎡ ⎤
⎢= + + − − +
⎢
⎣ ⎦
l ⎥
⎥
 Rpta.: 1L = 
51 
25 3
21
5 2 3 2 2 2 1 6
x
x x x xL im
x x−→
− + − + − + −
=
−
l
6
 Rpta.: 14L = 
 21 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
52 
5 4
21
5 2 4 1 2 3 2 2 1 2 5
x
x x x xL im
x x−→−
+ − − − + + − − − + +
=
+
l
3x
 Rpta.: 11L = − 
53 
3 2 2
231
3 4 4 5 10 6
3 6 8 5x
2x x x xL im
x x x→
+ + + + + −
=
+ + + + −
l
x Rpta.: 506
371
L = 
54 
( )
25 3
21 32 2 33
3 2 1 2 5 4 5 3 1 8 3
1 2 2 2 4
x
x x x xL im
x x
→
− − − + + − −
=
+ − + +
l Rpta.: 0L = 
55 
5 7
9 30
3 243 36 279936 3
7 262144 117 117649 5x
x xL im
x x→
+ − + − +
=
+ − +
l
x
+
 Rpta.: 0L = 
56 
3
7
2 2 2 1 3 3
7x
x x xL im
x→
+ − + − −
=
−
l Rpta.: 1
3
L = − 
57 
23
2
2 3 2 3 5 5 11
2x
x xL im
x→
+ − + +
=
−
l Rpta.: 11
2
L = − 
 
CALCULO DE LÍMITES AL INFINITO (calcular los siguientes límites al infinito) 
1 3
2 3lim
x
xL
x x→∞
+
=
+
 Rpta.: 2L = 
2 
2
2
2lim
3x
x xL x
x x→∞
+ +
=
+
 Rpta.: 1L = 
3 
3 54 3
3 7
3 4lim
1x
x xL
x→∞
+ − +
=
+
 Rpta.: 0L = 
4 
3 2
3
2lim
1x
x xL 1
x→∞
+ +
=
+
 Rpta.: 2L = 
5 
( )
( )
62
43
2 1
lim
3 1x
x
L
x→∞
+
=
+
 Rpta.: 64
81
L = 
6 
6 7 3
3 4 4
6lim
5x
x xLx x→∞
+ +
=
+
 Rpta.: 0L = 
7 
( ) ( )
( )
20 30
50
2 3 3 2
lim
2 1x
x x
L
x→∞
− +
=
+
 Rpta.:
303
2
L ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
8 3 3 32 3 3lim 8 8 8 8 2
x
L x x x x
→∞
⎛ ⎞
= + + + −⎜⎜
⎝ ⎠
x ⎟⎟ Rpta.:
1
6
L = 
9 ( )( )lim 3 2
x
L x x x
→∞
⎡= − − −⎣
⎤
⎦ Rpta.:
5
2
L = 
 22 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
10 
( )
( )
1
lim
1
m n
m nx
x x
L
x x→∞
+
=
−
 Rpta.: 1L = 
11 lim 2
x
L x x x
→∞
⎡= +⎢⎣
⎤− ⎥⎦
 Rpta.: L = ∞ 
12 3 3 3 32 4 2lim 27
x
L x x x
→−∞
⎛ ⎞
= + + −⎜⎜
⎝ ⎠
2x ⎟⎟ Rpta.: 1L = 
13 3 32lim 1 30 2 5
x
L x x x
→∞
⎛= − − + + −⎜
⎝ ⎠
2 3x ⎞⎟ Rpta.: L = ∞ 
14 
2 2
2 2 3 33lim
2 2a
b a b aL a x a x
→∞
⎛ ⎞− −⎜= + − +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ Rpta.: 2
9 4
36
xL
x
+
= 
15 2 2 2 2 2 2lim 2
2a
a bL a a x b a x a x
→∞
⎛ ⎞+
= + + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
 Rpta.: 0L = 
16 2lim 3 2
x
L x x
→∞
⎛= + −⎜
⎝ ⎠
x ⎞− ⎟ Rpta.:
3
2
L = 
17 
3 54 3
3 7
3lim
1x
x xL
x→∞
⎛ ⎞+ − +⎜=
⎜ ⎟+⎝ ⎠
4 ⎟ Rpta.: 0L = 
18 
3 3 2
2 2
6 16lim
2 1x
x x xL
x x x→∞
⎛ ⎞+ − −⎜=
⎜ ⎟+ + − −⎝ ⎠x
⎟ Rpta.: 1
3
L = 
19 lim
x
xL
x x x→∞
=
+ +
 Rpta.: 0L = 
20 
3 3 2
3 3 2
5 4 6 2
12 1x
x x xL im
x x x→∞
+ + + −
=
− + +
l Rpta.: 1
16
L = − 
21 
2 2
3 3
8 1
lim
1x
x x x
L
x x→∞
⎛ ⎞− ⋅ + + −⎜ ⎟
⎝=
⋅ +
1
⎠ Rpta.: 1L = 
22 [ xxxximL
x
++−+=
∞→
1222
3
l ] Rpta.: 
4
1
−=L 
23 2 22 2
x
L im x x x x x
→∞
⎛= + − + +⎜
⎝
l x⎞⎟
⎠
 Rpta.: 1
4
L = − 
24 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+=
∞→
xxxximL
x
2l Rpta.: ∞=L 
25 
3 2 3 3 2
2
12 6 3lim 3 1 7
2 7x
x xL x
x→∞
⎛ ⎞+ −
= − +⎜⎜ +⎝ ⎠
x x+ − ⎟⎟ Rpta.: 4L = 
 23 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
26 ( )
3
2 2 2lim 2 1 1 2 1 1
2x
xL x x x x sen
→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 Rpta.: 
( )2
2 2
2 1
L =
+
 
27 
2 3
3lim 3 3 1x
L x
x x x
→∞
= −
− +
 Rpta.: 1L = − 
28 
5 47 3
6 8 7
3 2 1lim
1x
x xL 8
x x x→∞
+ + +
=
+ + −
 Rpta.: L = ∞ 
29 
3 3 2
3 3 2
5 4 6 2lim 4 4 4 2
16 1x
x x xL x x x x
x x x→∞
⎛ ⎞
+ + + − ⎛⎜ ⎟= +⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟− + +⎝ ⎠
⎞+ − ⎟ Rpta.: 
1
32
L = − 
30 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −++=
∞→
xxxximL
x
2444l Rpta.: 
2
1
=L 
31 ( )68166816 22 +−−++=
∞→
xxxximL
x
l Rpta.: 2=L 
32 3 3 23 53 5
1 18 32 64 24
x
L im x x x
x x→−∞
⎡ ⎤⎛ ⎞
= + + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
l 3+ Rpta.: 1
2
L = − 
33 
2
2
3
3x
x
L im
x→−∞
−
=
−
l 
34 
3 2
4
2 3
4 4x
x xL im 5
x x→−∞
− +
=
+ −
l Rpta.: 0L = 
35 2 22 6 2 5
x
L im x x x x
→−∞
= + −l + Rpta.: 2
4
L = 
36 
1n
x x xL im
x→∞
+ +
=
+
l Rpta.: 1L = 
37 
n
L im x x x
→∞
= + + −l x Rpta.: 1
2
L = 
38 1 2
n
a a nL im x x x a
n n n n→∞
⎡ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
l L
1 ⎤⎞
⎟⎥⎠
 Rpta.:
2
aL x= + 
39 
2 21 2
n
a a nL im x x x a
n n n n→∞
⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
l L
21
 Rpta.:
2
2
3
aL x ax= + + 
40 
( )
1 2 3
1 3 5 2 1n
nL im
n→∞
+ + +
=
+ + + −
KKK
l
KKK
 Rpta.: 1
2
L = 
 24 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
41 
( )( ) (
( )
)2
1
2
1 1
lim
1
n
nn
n
x x x
L
nx
+→∞
+ + +
=
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
L 1
 Rpta.:
( )1
2
n n
L n
+
−
= 
42 
3 3 3
3
1 2lim
4n
n nL
n→∞
⎛ ⎞+ + +
= ⎜⎜
⎝ ⎠
L
− ⎟⎟ Rpta.: 
1
2
L = 
43 
( )
( )
22 2
22 2
1 3 2 1
lim
2 4 2n
n
L
n→∞
⎛ ⎞+ + + −⎜=
⎜ + + +⎝ ⎠
L
L
⎟
⎟
 Rpta.: 1L = 
44 
2 21 1
lim
n n
nx
x x x x
L
x→∞
⎛ ⎞ ⎛− − + + −⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝=
⎞
⎟
⎠ Rpta.: 2nL = 
45 
( )
( )
33 3 3
2
1 4 7 3 2
lim
1 4 7 3 2n
n
L
n→∞
+ + + + −
=
+ + + + −
L
 Rpta.: 3L = 
 
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 
1 ( )
1
 1 tg
2x
xL im x π
→
⎛= − ⎜
⎝ ⎠
l
⎞
⎟ Rpta.: π
2
=L 
2 
0
1 coslim
1 cosx
xL
x+→
−
=
−
 Rpta.: 0L = 
3 
( )
( )
2
0
1 cos
1 cosx
x
L im
x→
−
=
−
l Rpta.: 2L = 
4 
( ) ( )
20
cos cos 3
x
x x
L im
x→
−
= l Rpta.: 4L = 
5 ( ) ( )
ax
aximL
ax −
−
=
→
coscos
l Rpta.: ( )aL sen−= 
6 
( ) ( )
20
cos cos 3
x
x x
L im
x→
−
= l Rpta.: 4L = 
7 ( ) ( )
x a
sen x sen a
L im
x a→
−
=
−
l Rpta.: ( )cosL a= 
8 
( )
( )
2
3
2
1
cosx
sen x
L im
xπ→
−⎡ ⎤⎣= l ⎦ Rpta.: 0L = 
9 ( ) ( )
( )
4
cos
1x
sen x x
L im
tg xπ→
−
=
−
l Rpta.: 
2
2
L = 
 25 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
11 ( ) ( )
x a
ctg x ctg a
L im
x a→
−
=
−
l Rpta.: ( )2secL a= −
12 
( ) ( )20
2 1lim
1 cosx
L
xsen x→
= −
−
 Rpta.: 1
2
L = 
13 
( ) ( )
30
1 1
x
tg x sen x
L im
x→
+ − +
= l Rpta.: 1
4
L = 
14 ( )
4
x
sen x x
L im
xπ→
+
= l Rpta.: 2 2L π
π
+
= 
15 ( )
( ) ( )
3
3
4
1
2x
ctg x
L im
ctg x ctg xπ→
−
=
− −
l Rpta.: 3
4
L = 
16 
( ) ( )
( )2
cos 4 cos
x
x x
L im
sen xπ→
−
= l Rpta.: 7
2
L = − 
17 
( )
x
ximL
x 2
cos
2
−
=
→ ππ
l Rpta.: 
2
1
=L 
18 
( )
( )1
sen
sen
a
bx
x
L im
x
π
π→
= l Rpta.: aL
b
= 
19 
( )
( )nx
mximL
x sen
sen
π→
= l Rpta.: ( )
n
mL nm−−= 1 
20 ( )
( )0
lim
x
tg x x
L
x sen x→
−
=
−
 Rpta.: 2L = 
21 ( )( )π−=
∞→
xximL
x
arctg2l Rpta.: 2−=L 
22 ( ) ( )30
2sen2tg
x
xximL
x
−
=
→
l Rpta.: 4=L 
23 
2
arcsen
2 1x
xL im x
x
π
→∞
⎛ ⎞
⎜= −
⎜ +⎝ ⎠
l ⎟
⎟
 Rpta.: 1=L 
24 ( ) ( )
( ) ( )0
1 cos
1 cosx
sen x x
L im
sen px px→
+ −
=
+ −
l Rpta.: 
1L
p
= 
25 ( ) ( )
ax
aximL
ax −
−
=
→
arcsenarcsen
l Rpta.: 
21
1
a
L
−
= 
26 ( ) ( )30
sencos
x
xxximL
x
−
=
→
l Rpta.: 
3
1
−=L 
27 ( ) ( )30
arctgarcsen
x
xximL
x
−
=
→
l Rpta.: 
2
1
=L 
 26 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
28 
( ) ( )
30
lim
x
tgh x sh x
L
x→
−
= Rpta.: 1
2
L = − 
29 ( ) ( )
( ) ( )0
2 3 4
lim
5 6 7x
tg x arcsen x
L
sen x arctg x→
−
=
−
 Rpta.: 10
37
L = 
30 30
2
x
arcsenx arcsen xL im 2
x→
−
= l Rpta.: 1L = − 
31 
( ) ( ) ( )
20
2 2
x
sen a x sen a x sen a
L im
x→
+ − + +
= l Rpta.: ( )L sen a= 
32 
( ) ( ) ( )
20
cos 2 2cos cos
x
a x a x a
L im
x→
+ − + +
= l Rpta.: ( )cosL a= − 
33 
( ) ( ) ( )
20
2 2
x
tg a x tg a x tg a
L im
x→
+ − + +
= l Rpta.: 
( )
( )3
2
cos
sen a
L
a
= 
34 
( ) ( ) ( )
20
2 2
x
ctg a x ctg a x ctg a
L im
x→
+ − + +
= l Rpta.:
( )
( )3
cos
2
a
L
sen a
= 
35 ( ) ( ) ( )
2
0
2
x
sen a x sen a x sen x
L im
x→
+ + −
= l Rpta.: ( )3 2
2
L sen x= 
36 
( ) ( )2
0
sec sec
x
arc x h arc x h
L im
x→
+ − +
= l Rpta.: 
2
1
1
L
h h
=
−
 
37 ( )
( )0
2
2x
x arcsen x
L im
x arctg x→
−
=
+
l Rpta.: 1
3
L = 
38 
( ) ( )
( )
3
20
cos cos
x
x x
L im
sen x→
−
= l Rpta.: 1
12
L = − 
39 
( ) ( )
20
2 cos cos
x
x x
L imx→
− −
= l Rpta.: 3
4
L = 
40 
( )
6
3 2cos
2sen
6
x
x
L im
xπ π→
−
=
⎛ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
l
⎞
 Rpta.: 1
2
L = 
41 ( )
( )0
2
2x
x arcsen x
L im
x arctg x→
−
=
+
l Rpta.: 1
3
L = 
42 
( )
( ) ( )0 1 cos secx
tg ax
L im
ax x ax→
=
− +⎡ ⎤⎣ ⎦
l Rpta.: L a= 
43 
( ) ( ) ( )
20
tg 2 2 tg tg
x
a x a x a
L im
x→
+ − + +
= l Rpta.: 
( )
( )a
aL 3cos
sen2
= 
 27 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
44 
( )
2cos 1
lim
1 xx
x x
L
x
π
→∞
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟
⎝=
− −
⎠ Rpta.: 1L = 
45 
( )
( )
3
20
1 cos
lim
3x
x x
L
x In x tg x→
+ −
=
+
 Rpta.: 1
2 3 3 2
eL = − 
46 
( ) ( )
40
3 cos 3 2
x
ch x x
L im
x→
+ −
= l Rpta.: 27
4
L = 
47 
( )( )
( )( ) ( )( )
1 cos
cos 1 cos 1 cosx
sen x
L im
x tg xπ→
+
=
⎡ ⎤ ⎡+ −⎣ ⎦ ⎣
l
⎤⎦
 Rpta.: 1L = 
48 ( )
( )( ) ( )( )xx
ximL
ba
ba
x sen1sen1
sen1
2 −−
−
=
+
→
π
l Rpta.: 
ab
baL += 
49 ( )
0
2arccos
x
x
L im
x
π
→
−
= l Rpta.: 2L = 
50 
( ) ( )
6
20x
xL im
tg x sen x→
=
−⎡ ⎤⎣ ⎦
l Rpta.: 4L = 
51 ( )
4
2
4x
L im tg x tg x
π
π
→
⎛= ⎜
⎝ ⎠
l
⎞− ⎟ Rpta.: 
1
2
L = 
52 Demostrar el siguiente limite especial: ( ) 1sen
0
=
→ x
xim
x
l 
53 ( ) ( )100 3 200cos
x
sen x x
L im
x→∞
+
= l Rpta.: 0L = 
54 Rpta.: ( ) ( )1
x
L im sen x sen x
→∞
= + −⎡⎣l ⎤⎦
55 ( ) ( )1
x
L im sen x sen x
→∞
⎡= + −⎣l
⎤
⎦ Rpta.: 0L = 
56 lim 1
x
L sen x sen
→∞
= + − x Rpta.: 0L = 
57 6 3 51 1 1lim 2 1 ( ) ( ) ( )
x x
x x xx
L x sen sen senπ π π
+ + +→∞
= + ⋅ ⋅ ⋅ Rpta.: 315 2L π= ⋅ 
58 3 51 1 1
2
1 cos
1lim ( ) ( ) ( )
3 11
x x
x x xx
xxL sen sen sen
x In
x
π π π
π
+ + +→∞
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ +⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ ⎛ ⎞⎢ ⎥ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 Rpta.:
515
2
L π= 
59 ( )02 3 2 2lim 22 2
x
x
x w wL x arctg tg arctg e
xw x w x wx w x→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠+ + + +⎝ ⎠⎝ ⎠
⎟ Rpta.: 2 1
weL
w
=
+
 
 28 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
60
( )
( )
11 1 cos
lim
13 1x
x
xL
x In
x
→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣=
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎦ Rpta.: 1
2
L = 
61 
( )
2
20
1 cos( ) cos
lim
( )
x
x
x senx e
L
sen x
−
→
⎛ ⎞− ⋅ ⋅⎜=
⎜
⎝ ⎠
x⎟
⎟
 Rpta.: 0L = 
62 30
( ) ( )lim
x
tg x sen xL
x→
−
= Rpta.: 1
6
L = 
63 
3
20
1 cos( ) cos(2 ) cos(3 )
lim
x
x x x
L
x→
− ⋅ ⋅
= Rpta.: 3L = 
64 lim ( )
4 1x
xL x arctg
x
π
→∞
⎛= −⎜ +⎝ ⎠
⎞
⎟ Rpta.: 1L = 
65 
3
3lim
1 2cosx
sen x
L
xπ
π
→
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝=
−
⎠ Rpta.: 1
3
L = 
66 
0
1
2 2x
x xL im x arctg arctg
x x→
⎡ +⎛ ⎞ ⎛= −⎜ ⎟ ⎜⎢ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
l
⎤⎞
⎟⎥ Rpta.: 
1
2
L = − 
67 
0
lim , 1
x
x senaxL
x senbx→
−
=
+
b ≠ Rpta.: 1
1
aL
b
−
=
+
 
68 
( )
2 20
1 cos 1 cos
lim
x
x
L
x sen x→
− −
= Rpta.: 1
2
L = 
69 
( ) ( ) 2
20
lim
x
tg a x tg a x tg a
L
x→
+ ⋅ − −
= Rpta.: 4 1L tg a= − 
70 
( ) ( ) ( )
( )30
arccos 1
lim
2 4 3 8 2x
x tg x sen x
L
x x→
−
=
+ + − + x
 Rpta.: 4 2
3
L = 
71 
0
csc csc
x
x aL im
x a→
−
=
−
l Rpta.: 2
cos aL
sen a
= − 
72 lim
2 2x a
x a xL sen tg
a
π
→
−⎛ ⎞ ⎛= ⋅⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
 Rpta.: aL
π
= − 
73 ( )
( )
20
cos 3 cos(2 )1 cos( ) 1lim cos
x
x xxL
tg x x x→
⎛ ⎞−− ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎟⎟ Rpta.: 
5
2
L = − 
74 
( ) ( ) 20
2lim
2x
L
sen x sen x sen x→
=
⋅
1
− Rpta.:Secreto 
75 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0
2
2x
arctg x h arctg h x arctg x
L im
arcctg x h arcctg h x arcctg x→
+ − − −
=
+ − − −
l Rpta.: 1L = − 
 29 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
76 
( )( ) ( )( )
2
arccos cos
2x
arcsen sen x x
L im
xπ π→
−
=
−
l Rpta.: 0L = 
77 
( )
2 2x a
sen x a xL im tg
a
π
→
− ⎛ ⎞= ⎜
⎝ ⎠
l ⎟ Rpta.: 
aL
π
= − 
78 
( )( ) ( )220
1 cos 1 cos
csc
2x
x xL im tg x
x→
− − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
l Rpta.: 1
2
L = 
 
CALCULO DE LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS 
1 
( )
( )
2
0
cos
cos
x
x
mx
L im
nx
−
→
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
l Rpta.: 
( )2 212 n mL e −= 
2 ( ) ( )tg
2
sen x
x
L im x
π
→
= ⎡ ⎤⎣ ⎦l Rpta.: 1=L 
2 
( )
( )
1
x a
x a
sen x
L im
sen a
−
→
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
l Rpta.: ( )ctg aL e= 
4 
3
2 1
2
3 1
2 1
x
x
x
x xL im
x x
−
→∞
⎛ ⎞− +
= ⎜⎜ + +⎝ ⎠
l ⎟⎟ Rpta.: 0L = 
5 
1
2
2
2 1
2 3 2
x
x
x xL im
x x→∞
⎛ ⎞+ −
= ⎜⎜ − −⎝ ⎠
l ⎟⎟ Rpta.: 1L = 
6 ( )
2
2
0
1 2arccos 1
x
x
x x
L im
x
π
→
⎛ ⎞− − + +⎜=
⎜
⎝ ⎠
l ⎟
⎟
 Rpta.: 1=L 
7 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 c
0
2 1 2
2cos 3
os 3sen x tg x x
x
e xL im
x tg x→
− + −
=
⋅
l Rpta.: 1L = 
8 
0
( 1) (1 )lim
( 1) (1 )x
In x In x
arctg x arctg x→
+ − −
+ − −
 Rpta.: 2L = 
9 
( ) ( )
( )2
x a x b
x a bx
x a x b
L im
x a b
+ +
+ +→∞
+ +
=
+ +
l Rpta.: ( )baeL +−= 
10 
x
x
x aL im
x a→∞
+⎛ ⎞= ⎜ −⎝ ⎠
l ⎟ Rpta.: 
2aL e= 
11 
1
2 1
2
1
1
x
x
x
xL im
x
−
+
→∞
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
l Rpta.: 1L = 
 30 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
12 ( )
( )
2
0 x xx
tg x
L im
x a a→
=
+ −
l Rpta.: L a= 
13 
( )
( )
3
3
0
3 2
1
sen x xx
x
L im
cos x→
+
=
+
l Rpta.: 2
3
24=L 
14 
( ) ( )0
ax bx
x
e eL im
sen ax sen bx→
−
=
−
l Rpta.: 1L = 
15 ( ) ( )
0h
arctg x h arctg x
L im
h→
+ −
= l Rpta.: 2
1
1
L
x
=
+
 
16 
ax
xximL
ax
ax −
−
=
→
l Rpta.: aaL a ln=
17 
2
2
2
2
x
x
xL im
x→
−
=
−
l Rpta.: aaL a ln=
18 
xx
x
xL im
x
π π
π
π
π→
−
=
−
l Rpta.: ( ) ( )2 1ln lnL
ππ ππ π π π
π
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
− 
19 
x ax x
x ax a
a aL im
x a→
−
=
−
l Rpta.: ( )2ln
aaL a a= 
20 
x xx x
x xx a
x aL im
x a→
−
=
−
l Rpta.: 1
aaL a −= 
21 
( ) ( )
n n
x a
a aL im
nIn x nIn a→
−
=
−
l Rpta.: nL a= 
22 
x ax a a x
x ax a
a x x aL im
ax xa→
−
=
−
l Rpta.: 
( )
( )2
1
ln
aaa a
L
a a
−
= 
23 
( )31 1
xx x
x
x xL im
x→
−
=
−
l Rpta.: 1L = 
14 
1
1lim
( )
x
x
xL
x In x→
−
=
⋅
 Rpta.: 1L = 
15 
2 2
1
0
xx x
x xx
a bL im
a b→
⎛ ⎞+⎜=
⎜ ⎟+⎝ ⎠
l ⎟ Rpta.: 
1L
ab
= 
16 
( )2
x a a x
x a
x x a aL im
x a→
− + −
=
−
l Rpta.: ( ) 1lnaL a a
a
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
17 Rpta.: 0L( )2
0x
L im xIn n
→
= l = 
 31 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
18 
( )
2 2
20
x x
x x x
a bL im
a b→
−
=
−
l Rpta.: 
1
ln aL
b
−
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
 
19 
2
2
2 1
x
x
xL im
x→∞
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
l Rpta.: 0L = 
20 
( )
( )
3
4
2
3
2
3 1
1
x a
In x x
L im
sen x
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟ + −
⎜ ⎟
⎝ ⎠=
−
l Rpta.: 1L = 
21 ( )bx
ax
imL
x sen
4
tgln
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
→
π
l Rpta.: 
b
aL 2= 
22 
( )[ ]
( )[ ]bx
aximL
x cosln
cosln
0→
= l Rpta.: 
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
b
aL 
23 
( )[ ]
( )[ ]bx
aximL
x senln
senln
0→
= l Rpta.: 1=L 
24 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
++
=
→
1
1ln
1
1ln
2
2
2
0
x
x
xx
xx
imLx
l Rpta.: 
8
1
=L 
25 
0
1 1
1x
xL im In
x x→
⎛ ⎞+
= ⎜⎜ −⎝ ⎠
l ⎟⎟ Rpta.: 1L = 
26 20
2lim
x h h x h
x
a a aL
x
+ −
→
+ −
= Rpta.: 2( )aL a In a= ⋅
27 
1
0
lim
3
x x x x
x
a b cL
→
⎛ ⎞+ +
= ⎜⎜
⎝ ⎠
⎟⎟ Rpta.: ( )
1
3
L abc= 
28 
1
1 1 1
0
lim
x x x x
x
a b cL
a b c
+ + +
→
⎛ ⎞+ +
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
 Rpta.: ( )
1
a b c a b cL a b c + += 
29 
( ) ( )
30
cos 3 cos 2x x
x
x x
L im
x
−
→
−
= l Rpta.: ( )ln 6L = − 
30 
( ) ( ) ( )
( )
3 2
0
1 2 2 cos
x
In x sen x x x
L im
arctg x→
+ − +
= l Rpta.: 4
3
L = 
 32 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
31 
( ) (
( )
)2 2
20
1
x
3x In x arcsen x
L im
x sen x x→
+ −
=
⋅ −
l Rpta.: 6L = − 
32 
( ) ( )
( ) ( )
3 3
0
1 1
1 3 1x
arcsen x arctg x
L im
arctg x arcsen x→
+ − −
=
+ − −
l
2
4
 Rpta.: 2
7
L = 
33 [ ]lim ( 1) ( )
x
L x In x In
→∞
= + − x Rpta.: 1L = 
34 1
4
x
x
L im tg
x
π
→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎦
l ⎥ Rpta.: 
2L e= 
35 
( ) ( ) ( )
20
lg lg 2lg
lim
h
x h x h
L
h→
+ + − −
=
x
 Rpta.: 
( )
2
lg e
L
x
= − 
36 [ ]lim ( 2) ( 2) 2( 1) ( 1) ( )
x
L x In x x In x x In x
→∞
= + ⋅ + − + ⋅ + + ⋅ Rpta.: 0L = 
37 
1 1 1
22 2lim
2
x x x x x x
x x xx
a b c b c aL x a
a b c
+ + +
→∞
⎛ ⎞− − + + −
= ≠⎜⎜ − −⎝ ⎠
bc⎟⎟ Rpta.: 1L = 
38 
( )121lim 3 2
a xtg a x
x
a xL
a x
π ⋅ +⋅
⋅
→∞
⋅ +⎛ ⎞= −⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
 Rpta.:
4
L eπ= 
39 
0
11
x
x
L im
x→
⎛= +⎜
⎝ ⎠
l
⎞
⎟ Rpta.: 1L = 
40 
( )
1
0
1
x
x
x e
L im
x→
+ −
= l Rpta.: 
2
eL = − 
41 20
1lim
x
x
e xL
x→
+ −
= Rpta.: 1
2
L = 
42 
( )
20
cos
lim
x
x
a xIn a
L
sen x→
− −
=
x
 Rpta.: 21 ( ) 1
2
L In a⎡ ⎤= +⎣ ⎦ 
43 ( )
( )2
lim
x e
x eIn x
L
x e→
−
=
−
 Rpta.: 1
2
L
e
= 
44 
2
20
1lim
x x
x
xe e xL
x→
− + +
= Rpta.: 3
2
L = 
45 
( )
5
0
lim
ln 1 2
sen x senx
x
e eL
x→
−
=
+
 Rpta.: 2L = 
46 
1
0
1 coslim
1 4 cos 4
x
x
senx xL
sen x x→
+ −⎛ ⎞= ⎜ + −⎝ ⎠
⎟ Rpta.: 0L = 
 33 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
47 
2
2
2 1lim
4 2
x
x
x xL
x x→∞
⎛ ⎞− +
= ⎜⎜ − +⎝ ⎠
⎟⎟ Rpta.:
2L e= 
48 ( )
1
2 2
0
lim 1 x
x
L tg x
−
→
= + Rpta.: L e= 
49 
( )
( )
3
40
ln 4
lim
ln 3
x
xx
x e
L
x e
−
−→
+
=
+
 Rpta.: 1L = − 
50 
( )
( )
2
1
2
lim
ln cos 2
x
xx
sen
L
π
π→
=
⎡
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎤
 Rpta.: 2L = − 
51 
( )( )
1
1 1
1
x
x
nIn x
L im
x→
− −
=
−
l Rpta.: L n= 
52 
( )
( )21
ln ln 4
lim
4
x
xx
L
sen
π
π→
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣= ⎦ Rpta.: L = ∞ 
53 
1
0
lim senx
x
sena senxL
sena senx→
+⎛ ⎞= ⎜ −⎝ ⎠
⎟ Rpta.: 
2csc aL e=
54 
0
lim cosx
x
L
→
= x Rpta.:
1
2L e
−
= 
55 lim cos
x
x
nL
x→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎢ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
⎥ Rpta.:
2
2
n
L e
−
= 
56 2lim
3 1
x
x
xL sen
x
π
→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ +⎝ ⎠⎣ ⎦
⎥ Rpta.: 0L = 
57 ( )
2
5
1
0
lim
In x
x
L x
+
→
= Rpta.:
5
2L e= 
58 Rpta.: 0L( )2
0x
L im xIn x
→
= l = 
59 ( )
2
5 4
0
In x
x
L im x
+
+
→
= l Rpta.: 
1
2L e= 
60 ( )
1
2
2
1
x
x
L im x
−
→
= −l Rpta.: L e= 
61 Rpta.: 0L( )
0
lim
x
L xIn
→
= x = 
 34 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
62 
( )
0
1
sen x
x
aL im
x→
−
= l Rpta.: L = ∞ 
63 
( ) ( )
( )
2 3
3 4
2
31
1
1
x
In x x
L im
sen x
−→
+ −⎡ ⎤⎣ ⎦=
−⎡ ⎤⎣ ⎦
l Rpta.: 1L = 
64 
( )
( )
4
2 2
2
2
cos 2
xtg
xx
sen x
L im
x e
π π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞→ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤
⎢ ⎥
+⎢ ⎥
= ⎢
⎢ ⎥
⎢ ⎥+⎣ ⎦
l ⎥ Rpta.: 1L = 
65 
( ) ( )
2
0
2
1 secx
xL im
tgh x h x→
=
−
l Rpta.: 2L = 
66 ( ) ( )
( )0
9 5
x
sh x sh x
L im
x ch x→
−
=
⋅
l Rpta.: 4L = 
67 ( )
1
0
x x
x
L im x e
→
= +l Rpta.: 2L e= 
68 
( )( )
( )21
1 x
x
x In x
L im
sen xπ→
+ +
= l Rpta.: L = ∞ 
69 
( )
x a
In ax
L im
xIn
a
→
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
l Rpta.: 1L = 
70 ( )
0
x
x
L im sen x
→
= l Rpta.: 1L = 
71 
1
1
1
x
x
L im e
−
+→
= l Rpta.: 0L = 
72 
0
1 2x
x
L im x
→
= −l Rpta.: 2L e−= 
73 
( ) 2
1
0
x
x
sen x
L im
x→
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
l Rpta.: 
1
6L e
−
= 
74 
( ) 2
1
0
x
x
arcsen x
L im
x→
⎡ ⎤
= ⎢
⎣ ⎦
l ⎥ Rpta.: 
1
6L e
−
= 
75 
2
0x x
x
1L im a a+
→∞
= l < < Rpta.: 0L = 
 35 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
76 
( ) ( )
( ) ( )0
n
nx
sen x x In x
L im
sen x In x x→
+
=
+
l Rpta.: 
1 0
1 1
n n n
L L L
< =
= −∞ = =
1>
77 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
13 1 1 2
15 3 3 3
1 2 2
5 3 32
cos cos 3 2
1 3 1 cos 4
a x
a x
a x a x sen a x sen a x
L im
e sen a x sen a x
→
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜− − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦=
⎡ ⎤
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
l Rpta.: 1
6
L = 
78 
22
2
1 1
11x
x x xL im In In
xx x
−
→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞+ + ⎡ + ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎢⎢ ⎥ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦− −⎝ ⎠⎣ ⎦
l ⎥ Rpta.: 
1
8
L = 
79 
( )
( )
2
10
1
1x
In x x
L im
In x x→∞
− +
=
+ +
l Rpta.: 1
5
L = 
80 
( )2 1
1
2
x
x arctg x
L im
x
− −
−→∞
−
= l Rpta.: 2L = − 
81 ( )( )
1
3
3
0
1 3
sen x
x
L im sen x
+→
= +l Rpta.: 1L = 
82 
( )
( ) ( )
4 32 31
2 5 4 7x
In xxL im x x
x xIn x→∞
⎛ ⎞−−
= − −⎜⎜ − −⎝ ⎠
l 2 ⎟⎟ Rpta.: 
3
2
L = 
83 ( )
( )
2 2 2
2 2 senxx
x sen x
L im
x sen x e→∞
− ⋅
=
+⎡ ⎤⎣ ⎦
l Rpta.: L = ∃ 
84 
( )
: 1,a
x
x In bxx
eL im si a b
x→∞
= l 0f f Rpta.: 0L = 
85 
1
lim 1x
x
L x a
→∞
⎛ ⎞
⎜=
⎜
⎝ ⎠
⎟−
⎟
 Rpta.: ( )L In a= 
86 3lim
n
xx
xL
e→∞
= Rpta.: 0L = 
87 
1 1
lim
2
x
x x
x
a bL
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟+
= ⎜
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ Rpta.: L a= b 
 36 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
88 lim
bbx
x
e In x
L
x→∞
⎛ ⎞+⎜=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ Rpta.: 
89 
( )
3
2
1
2
1 2lim
arcsen x
x
x x
xL
x
π
−
−
→∞
− +
+= Rpta.: 1
3
L = 
90 
2
1
1 4lim
1 2
x x
xx
xL
x→∞
⎛ ⎞+
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
 Rpta.: 1L = 
91 ( )3 1lim
1 2
arcsen x
x
xL x
x x
π
→∞
⎡ ⎤
= ⎢ +⎣ ⎦
− + ⎥ Rpta.: 
1
3
L = 
92 
( )
( )
3
20
1 cos
lim
lg 3x
x x
L
x x tg x→
+ −
=
+
 Rpta.: 1 1
2 3 3 2
L e= − 
93 
( )
( )
2
2
0
2 1lim
1 cos
sen x x
x
L
x→
⎛ ⎞+⎜=
⎜ +⎝ ⎠
⎟
⎟
 Rpta.: 4L = 
94 
( ) ( )
( )( )
( )
0
lim
1
ctg x
tg x xx
xx
e x
L
sen x→
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎜ ⎟
⎝ ⎠
 Rpta.: L e= 
95 
1
1
0
1lim
2
x
x
x
xL
x
−
−
→
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
 Rpta.: 1
2
L = 
96 
1
1
1
1lim
2
x
x
x
xL
x
−
−
→
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
 Rpta.: 
2
3
L = 
97 
1
11lim
2
x
x
x
xL
x
−
−
→∞
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
 Rpta.: 1L = 
98 1 1lim cos
x
x
L sen
x x→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎥ Rpta.: L e= 
99 ( )
0
lim cosx
x
L x
→
= Rpta.: 
1
2
L e
−
= 
94 
( )
2
2
0
1 2arccos 1
lim
x
x
x x
L
x
π
→
⎛ ⎞− − + +⎜=
⎜
⎝ ⎠
⎟
⎟
 Rpta.: 1L = 
 37 
UNIVERSIDAD MAYORDE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
 
 
 
 
CALCULO DE LÍMITES LATERALES 
 
1 Rpta.: 3L
3
lim 4
x
L x
+→
= + x− = 
2 ( )2
2
lim 2 1
x
L x x x
+→
= + − Rpta.: 16L = − 
3 
3
36 5 36 5lim
10 10x
x xL
+→
− +
= ⋅ Rpta.: 10L = 
4 
3 2
2
2 4lim
2x
x x xL
x→
− − +
=
−
8 Rpta.: 0L = 
5 
1
33 
23
1 −
−+−
=
→ x
xxximL
x
l Rpta.: 4=L 
6 
3
21
1
lim
1 1x
x
L
x x→
−
=
− + −
 Rpta.: 3L = 
7 ( )2
0
lim 3 sgn 1 1
x
L x x
→
= + − − Rpta.: 0L = 
8 ( )2 2
2
lim sgn 1 1
x
L x x
−
→−
⎡= + −⎢⎣
⎤− ⎥⎦
 Rpta.: L = ∃ 
9 ( )2 2
2
lim sgn 1 1
x
L x x
+
→
⎡= − −⎢⎣
⎤− ⎥⎦
 Rpta.: 1L = 
10 2
0
lim 9
x
L x
→
= + Rpta.: L = ∃ 
11 
2
3
6
lim
2 10
x
x
x
L
x→
−
=
+
 Rpta.: L = ∃ 
12 
23
1lim
x
x xL
x x→−
− −
=
−
 Rpta.: 1 2
2 3 13
L L+ −= − ∧ = − 
13 
1
6
312lim
3 10
x
x
L
x+→
−
=
⋅ −
 Rpta.: 6
5
L = − 
14 
2
lim
x
L x x x
→
= + + Rpta.: 2L = 
15 
3
32 6
2lim
2x
x x
L
x x+→
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟
= ⎜ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ Rpta.: 
25
9
L = 
 38 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
16 
2
3 22
2 1 10
1lim
9 24 2x
x
0
x x
xL
x x x−→
+
−
−=
− + −
 Rpta.: L = ∞ 
17 
( )
3 3
31 35
1 7
8
2 4 7 205sgn 8x
xx x x
L im
x x→−
+ + + − − +
=
+ − −
l
2
 Rpta.: 235
7
L = − 
18 
2 35
5 2 36
4 31 3 21 5
4
9 10 4x
x x x x
L im
x x+→
+ − + + − + −
=
− +
l
2
 Rpta.: 5
400
L = 
19 
2
3 22
2 1 10
1lim
11 38 40x
xx x
xL
x x x−→
+
−
−=
− + −
 Rpta.: 5
3
L = 
20
3
3 2
23
3 3
lim
9sgn( 1)
x x
x
x
L
x x→ −
− + −
=
− −
 Rpta.: 1
6
L = 
21 
22
3
1
9
lim
( 2)( 1)
x
x
x
x x x
L
x x−
−
−
→
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟
⎝=
+ −
⎠ Rpta.: 6L = 
22 
2
2lim 9 6x
x xL
x x→±∞
⎛ ⎞
= − +⎜⎜
⎝ ⎠
⎟⎟ Rpta.: 4L = 
23 
3
1lim
x
x xL
x x→
− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
 Rpta.: 2L L+ −= −∞ = −
24 
2
2
2 1 2
lim
3 2x
x x
x−→
+ + + −
+
2
 Rpta.: 4 2
6
L += 
25 
3
36 5 18
10 5 2lim
4x
x x
L
x x→
−⎛ ⎞+⎜ ⎟
= ⎜ + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ Rpta.: 
10
3
L = 
26 
3 2
1
25 7 3 2 21lim 4 3 437x
x x x xL x xxx+→
⎡ ⎤− − − −= + +⎢ ⎥−−⎣ ⎦
+ Rpta.: 3L = 
27 
3 23 22
3 2
3 2 4 3 22
2 1 2 15 9 1 1010
1 6 6 1lim
9 24 20 11 38 40x
x x x xx xx x
x x x xL
x x x x x x x−→
+ + + + −−
− + − −= +
− + − − + −
 Rpta.: L = ∞ 
28 
( )3
3
1 3 sgn 36 55 36lim 10 9 1x
x x x
0
xxL
x+→
⎛ ⎞− + + −+= ⎜ ⎟
⎜ −⎝ ⎠
⎟
 Rpta.: 35 3L = − 
 39 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
29 
( )
2
21
1 1 9
lim
2 3 2x
x x x x x x
L
x x x+→
⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟
⎝ ⎠=
− − +
 Rpta.: 0L = 
30 
( ) ( )2 2
22
5 sgn 1 1
lim
1x
x x x
L
x x→
+ + − − − +
=
+ +
 Rpta.: L = ∃ 
31 
( )
1
1
0
lim
In sen x
x
L x
+
→
= Rpta.: L e= 
32 Rpta.: L( ) ( )
2
2 2
6 2
lim ? 6 1 2
2 3 2
x xx
x x x
L f f x
x x x
→
⎧ − <
⎪
= = = <⎨
⎪
− − >⎩
≤ = ∃ 
33 ( ) ( )3
1 1 1 3
4 4
lim ?
2 1 3 4
2 5 2
x x
x
x x x
x x
L f f
x x
x x
+→
− + +⎧ − ≤ <⎪ − −⎪= = = ⎨
− +⎪ ≤ <⎪ − −⎩
 Rpta.: 1L = − 
34 ( ) ( )
2
2
2 5 2
3
lim ? 4 2
12sgn 3 2
3
x xx
x x x
x
L f f x
x x
x
→−
⎧ +
− < < ∞⎪ +⎪⎪= = = − = −⎨
⎪ −⎛ ⎞⎪ + −∞ < < −⎜ ⎟+⎪ ⎝ ⎠⎩
 Rpta.: 4L = − 
35 ( ) ( )2
1 9 2
lim ?
3 3 8
3 2 7
x xx
x x x
x x
L f f xx x
x
x x
→−
− −⎧ − ≤ < −⎪ −⎪
= = = ⎨ − −⎪
− ≤ <⎪ −⎩
 Rpta.: L = ∃ 
 
HALLAR LAS ASUNTOTAS OBLICUAS: 
 
1 
( )
2
( ) 2
9
3
x
xf
x
+
=
−
 5 
2
( )
2 5
3x
8x xf
x
+ −
=
+
 9 
5 4
3 3
( ) 4 2
5 1 1
11 80
x
x xf x
x x
+ +
= − +
− −
 
2 
2
( ) 2
1
4
x
xf
x
−
=
−
 6 
3
2
( ) 2
2 3 1 6
6
x
x xf x
x x
+ +
= + +
+ −
 10 
2 3
2
( ) 2
1 36 1
1
x
x xf x
x
+ −
= − +
+
 
3 
( )
1
( )
1
x
x
xf x
x
+
=
+
 7 3 2 2 0y y x y x− + + = 11 
3
2
( ) 2
3 3 1 4
6
x
x xf x
x x
+ +
= − +
+ −
 
4 
2
4( ) 2
21 4
7 8
x
x xf
x x
+ −
=
+ −
 8 3 2 36 0y x x− + = 12 3 3 2( ) 5 25 125xf x x x= − − + 
 40 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
13
8
5
3
1
2 1 1
8
1( ) 1 1
3
2 7 1
2 1
x x x
x
xf x x
x
x x x
x
−
⎧ + +⎪ −∞ < ≤ −
⎪ +
⎪ +⎪= − − < ≤⎨ +⎪
⎪ + +⎪ < < ∞
⎪ −⎩
 Rpta.: 1y x y= ∧ = 
14
( )
( )
3
3
2
22 3
2 2( ) 3 1
1
1
 1
1
x
x
xf x x
x
x
x
x
⎧
⎪ + <⎪
⎪
+⎪= − ≤⎨ −⎪
⎪ −⎪ ≥
⎪ +⎩
< 5 Rpta.: 1 1x y y x= ∧ = ∧ = − 
15
( )( )
( ) ( )
( )( ) ] [
2 2
2 2
3 2
2
3 2 3
4 21 2 1
 3
1 2 2 3
2 1( ) 3, 2 , 1
2 2 3
6 2
x x x x
x
x x x
x x xf x x
x x x
x x x
⎧ − − + +
⎪ ≤⎪ − + −⎪
⎪
+ − +⎪= ∈⎨
− + −⎪
⎪
⎪ − ≥⎪
⎪
⎩
x− ≠ 
 Rpta.: 12 1 3 2
2
x x x y y x= ∧ = ∧ = − ∧ = ∧ = − 
ANALIZAR LA CONTINUIDAD 
1 ( )2( ) sgn 2 3xf x x= + − 8 ( ) 2 1xf x= − 14 2 2( )xf x x= − 
2 ( )xf x x= − 9 ( ) 1 1xf x x x= − + − − 16 ( )
1
xf x
= 
3 ( )xf x x= − 10 ( )xf x x x= − − 17 ( )
1
xf x x
= ⋅ 
4 1
1
( )
1
1
x
xf
e
−
=
+
 11 ( )
1 1
1
1 1
1
x
x xf
x x
−
+=
−
−
 18 
( )
( )x
sen x
f
x
= 
5 ( )
1sgn
1x
xf
x
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
 12 ( )xf x x= ⋅ 19 ( )xf x x= − 
6 ( )( )( ) sgnxf sen x= 13 ( )( )xf x sen xπ= ⋅ 20 ( ) 2 1xf x x= + ⋅ − 
 41 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
7 
2
( )
1sgn
2x
xf
x
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
 14 ( ) 2
1 sgnxf sen xx
π⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
21 ( )
1sgn cosxf x
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
 
22 ( )
cos 1
2
1 1
x
x x
f
x x
π⎧ ⎛ ⎞ ≤⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨
⎪ − >⎩
 Rpta.:
1
1
continua x
discontinua x
=
= −
 
23 ( )
1sgn en su dominio
2
2 1 3 2
3
x
x
xf
x x
⎧ −⎛ ⎞
⎜ ⎟⎪⎪ +⎝ ⎠= ⎨
+⎪ − ≤ ≤ −⎪⎩
 Rpta.:
2
1
continua x
discontinua x
= −
=
 
24 
( )
( )
2 2
2
 1 1
3
sgn 0
x
x
x
xf
x x x x
⎧ −
− ≤ ≤⎪⎪ −= ⎨
⎪− + + ≠⎪⎩
 Rpta.: 1continua x = 
25 
( )
2
2
2
( )
2
4
25 3< 5
9
sgn 16
 3
3
25 5
2
x
x x
x
x
f x
xx
x x
x
⎧
⎪ −
≤⎪
−⎪
⎪
−⎪⎪= ≤⎨
⎪ −
⎪
⎪
⎪ −
>⎪ −⎪⎩
0x∧ ≠ Rpta.: 
5
3
3
5
continua x
discontinua x
discontinua x
continua x
= −
= −
=
=
 
 
Analizar la continuidad de ( )xh si: 
26 
[ ]
( )( ) ( )
[ [ ( )
] [
] [
2
( )
3 1, 2 1 2 , 1
2 1,7 en su dominio 2 2,x x xx
x x x
h f x x x gf g x x
⎧ ∈ − ⎧ − ∈ −∞ −⎪ ⎪= ∧ = − ∈ − ∧ =⎨ ⎨
+ ∈ ∞⎪⎪ ⎩⎩
o
 
 Rpta.: continua 1 discontinua 2x x= − ∧ = 
 
27 
( )( )
( ) [ [ ( )
[ ]
] ]
2
( )
4 5,3 3 4 0, 2
 0,3
1 2,5 en su dominiox x xx
x x x
h g x x f
x xf g
⎧ ⎤ ⎤− ∈ ⎧ + ∈⎪ ⎪⎦ ⎦= ∧ = ∈ ∧ =⎨ ⎨
− ∈⎪⎪ ⎩⎩
o
 
 Rpta.: continua 5 discontinua 2 3x x x= ∧ = ∧ = 
 
28 ( )( ) ( )
[ ]
] ] ( )
[ [
[ [( )
10 5 1,3 1 1, 2
 en su dominio 3 2 3,6 2,5
x x x
x
x x x x x x
h f gf g x x x x
− ≥⎧ ⎧⎧ ∈ − − ∈⎪ ⎪= ∧ = ∧ =⎨ ⎨
− ∈ ∈⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎩⎩
o
⎪
⎨
x x
 
 Rpta.: continua 5 discontinua 2; 3; 4x x= ∧ = = = 
 
 42 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SANANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
29 ( )( ) ( )
] [
] [ ( )
( ) [ ]
] ]
2
( ) 2
0 2 1 1,1 sgn 1,1
 en su dominio 1 1, 2 3 1,3
x x x
x
x x x x x x
h f gf g x x x x
⎧= ⎧ − ∈ −⎧ ∈ −⎪ ⎪ ⎪= ∧ = ∧ =⎨ ⎨ ⎨
− ∈ − ∈⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩
o
 
 Rpta.: continua 0; 2 discontinua 1x x x= = ∧ = 
30 Continuidad de ( )( )xh f g= o ( ) ( )( ) sgn 1x xf x g x= ∧ = + − x 
31 Continuidad de ( )( )xh f g= o ( )( ) 2
 0
2 0
x x
x xx x
f g
x x
<⎧+ ⎪= ∧ = ⎨
≥⎪⎩
 
32 Continuidad de ( )( )xh g f= o ( )( ) 2
3 3 1
41 0 3
x x
x x xf g
xx x
⎧ − > +⎪= ∧⎨ = −− < ≤⎪⎩
 
33 Continuidad de ( )( )xh f g= o ( )
2
( )
1 1 2 
0 1 2 2
x x
x x x
f g
x x
⎧⎧ ≤ 2− ≤⎪ ⎪= ∧ =⎨ ⎨
> >⎪ ⎪⎩ ⎩
 
34 Continuidad de ( )( )xh f f= o
2
( )
1 0
2 0
x
x xf
x x
⎧⎪ − ≤= ⎨
+ >⎪⎩
 
 
HALLAR LOS VALORES DE PARA QUE LAS FUNCIONES SEAN CONTINUAS ,a b ∧ L
1 ( )
2 3 4 4
4
 4
x
x x xf x
L x
⎧ − −⎪ ≠= ⎨ −
⎪ =⎩
 
Rpta.: 5L =
5 ( )
2 4
4
 4
x
x xf x
L x
⎧ −
≠⎪= ⎨ −
⎪ =⎩
 Rpta.: 1
4
L = 
2 ( )
21 
1 1
 1
x
x x
f x x
L x
⎧ − <
⎪⎪= − >⎨
⎪ =⎪⎩
1
 
 Rpta.: 0L =
6 ( )
2
4 2
2
x
x
xf
ax bx L x
⎧ ≥⎪
= ⎨
⎪ + + <⎩
 Rpta.: 1L = − 
3 ( )
( )
0
4
 0
ctg x
x
tg x xf
L x
π⎧⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ − ≠⎜ ⎟⎢ ⎥= ⎨ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎪
=⎩
 
 Rpta.: 1L =
7 ( )
2
0
cos cos 2 1
0
x
x xf x x
L x
⎧
≠⎪= ⎨ −
⎪ =⎩
 Rpta.: 2
3
L = − 
4 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
cos
0
cos
 0
sen x
x
a sen x
xf a sen x
L x
⎧
⎡ ⎤⎪ +⎪ ≠⎢ ⎥= ⎨ −⎣ ⎦⎪
⎪ =⎩
 
Rpta.: 2sec( )aL e=
 
 
 
 
 
8 
 
( )
( )1 3 0
1 1
 0
x
In x
x
f x
L x
+⎧
≠⎪= + −⎨
⎪ =⎩
 Rpta.: 6L = 
 
 
 
 43 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
9 
( )
( )
( )
2 
2
( ) 
2 2
1 
2
sen x x
f x a bsen x x
sen x x
π
π π
π
⎧− ≤⎪
⎪
⎪= + − < <⎨
⎪
⎪ − ≤⎪⎩
−
< ∞
 Rpta.: 1 1a b= ∧ = −
10 
( )
 0
( ) 0
cos 2
sen x
x
x
f x ax b x
x x
π
π
π π
⎧
− < <⎪
⎪⎪= + ≤ <⎨
⎪ ≤ <⎪
⎪⎩
 Rpta.: 0 1a b= ∧ = −
11 
( ) ( )
 0
( ) 2
1 2 2
2 2
sen x
x
x
f x ax b x
x x
In x In
π
π π
π π
π π
⎧
⎪ ≤ ≤
⎪
⎪= + < ≤⎨
⎪ ⎡ ⎤−⎪ >⎢ ⎥⎪ −⎣ ⎦⎩
 Rpta.: 1 1a b
π
= ∧ = − 
12 Rpta.:
2 2
( ) 3 2 1
3 2 1
x a x
f x ax b x
x b x
+ <⎧
⎪= + − ≤ <⎨
⎪ − ≥⎩
−
1 2
3 3
a b= ∧ = 
13 ( )
( )2
2
sgn 9 4
16 1 1
 4
x
x x
f x x
L x
⎧ − >
⎪
⎪
= − − <⎨
⎪
=⎪
⎩
 Rpta.: 1 0 3
4
a b L= − = = 
14 
32 2
23
5
2 3
8 24 2 5 1
7 5 4
( ) 1
31 6 8 1
( 26 5 8)
x x xa x
x x
af x x
b
x x x
b x x
⎧ ⎛ ⎞+ − − +⎪ ⎜ ⎟ − ≤ < −
⎪ ⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠⎪
⎪
= =⎨
⎪
⎪ − − −
> −⎪
⋅ − − −⎪
⎩
− Rpta.: 24.531
13.600
a = 135
204
b = 
15 ( )
3 2
2
2
2 2
1 1
2 1
1
10 4 1 3
x
x ax x x
b x x 1f x
x
a x x x
⎧ + + − ≤ −
⎪
⎪ + −
= −⎨
+⎪
⎪ − − < ≤⎩
< ≤
−
−
 Rpta.: 
4 3
5 9
a a
b b
= =
∧
= =
 44 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
16 ( )
3 2
3
3
3
1 1
1
1
1 1
1
x
x x x si x
x
1f ax b si x
x si x
x
⎧ + + +
< −⎪
+⎪
⎪= + − < <⎨
⎪
−⎪ >
⎪ −⎩
 Rpta.: 
0
2
3
a
b
=
=
 
 
HALLAR EL VALOR DE LAS CONSTANTES: 
1 2lim
x
x
x aL
x a
−
→∞
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
e= Rpta.: 1a = 
2 
2 1 0
1x
xL im ax b
x→∞
⎛ ⎞+
= − −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
l = Rpta.: 1 1a b= ∧ = −
3 2 1
x
L im x x ax b
→−∞
⎛= − + − −⎜
⎝
l 0⎞ =⎟
⎠
 Rpta.: 1 ?a b= ∧ =
4 
32 23 1 3 0
3x
x xL im ax b
x→∞
⎛ ⎞− + +⎜ ⎟= −
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
l − = Rpta.: 1 3a b= ∧ =
5 
34 8 6 3
2
1 1 5 5lim 0
4x
x x xL
x→∞
⎛ ⎞+ + + + −⎜=
⎜ +⎝ ⎠
ax b⎟+ − =
⎟
 Rpta.: 5 2a b= ∧ =
6 
32 23 1 5lim 0
3x
x xL a
x→∞
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟= −
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
x b⋅ − = Rpta.: 1 0a b= ∧ =
7 
344 12 3 9
3
6 4 1 1lim 7 3 2 0
8x
x x x xL a
x→∞
⎛ ⎞+ + − − +⎜ ⎟=
⎜ ⎟−⎝ ⎠
x b+ − − = Rpta.: 2 3a b= ∧ = −
8 
35 10 2 6 2
4 3
2
3 1 6 1 3lim 0
1 1x
x x x x x xL ax bx
x x x→∞
⎛ ⎞+ + − − + − + +⎜ ⎟= − −
⎜ ⎟+ + + −⎝ ⎠
1 ?cx d b− − − = Rpta.: a b= ∧ = 
9 
( )32 33 1 5
2 1lim 0
3x
xx sen x arctg x
xL a
x
π
→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎜ ⎟= −
+⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x b− = Rpta.: 1 3a b= ∧ = 
10 
4 3
2
3
1lim 3 10
1x
x axL x
x x→∞
⎛ ⎞+ +
= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
x k= 
 45 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
GUIA DE PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
SEGUNDO PARCIAL 
 
DERIVADA POR DEFINICION. Aplicando la definición calcular la primera derivada en: 
 
1 
1
2 1
y
x
=
+
 11 ( )2y In sen x= ⎡ ⎤⎣ ⎦ 21 2 1x xy e += 
2 2ax bx cy a + += 12 23senxy e x= + 22 4 3cosy sen x x= ⋅ 
3 x ay a x= ⋅ 13 (2 )xy sen= 23 x ay a x= 
4 2 2xy e sen x= + 14 ( )y sen sen senx= ⎡ ⎤⎣ ⎦ 24 2 1y x x= − − 
5 ( )3y arcsen x= − 15 cos xy senx e= ⋅ 25 3 xy x= 
6 ( )1 3 1arctg In xy e + += 16 
senx
y x= 26 ( )1 (2 3)arctg In xy e + += 
7 
cos
3x
senx xy += 17 
2
2
xey
x
−
= 27 2
x
Inx
y = 
8 
( )
( )
2sen x
y
tg x
= 18 
1
1
xy arctg
x
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
 28 2 1y In arctg x⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
 
9 
2
2
1
1
xy x x
x
= − −
−
 19 
2 3 2x xy sen e + −⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 29 
2
1xy In arctg a
⎛ ⎞⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
 
10 2tgxy = 20 7 42 coxy sen x−= ⋅ s x 30 
2 4 1y x x= − − − 
 
DERIVADA POR DEFINICION. Aplicando la definición de derivada (de orden superior) calcular la 
derivada de orden superior que sen indica: 
1 Hallar si: Rpta: ''y ( )y ctg x= ( )
( )3
cos
'' 2
x
y
sen x
= 
2 Hallar si: Rpta: '''y ( )y sen x= ( )''' cosy x= − 
 
3 Hallar si: Rpta: '''y ( )y tg x= ( ) ( ) ( )2 2 2''' 2 2 sec secy tg x x⎡ ⎤= +⎣ ⎦ x
4 Hallar si: Rpta: '''y ( )y arctg x=
( )
2
32
3 1''' 2
1
xy
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥−
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥+
⎣ ⎦
 
5 Hallar si: '''y ( )arccosy = x Rpta: 
2
2 5
2 1'''
(1 )
xy
x
+
= −
−
 
 
 
 46 
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
CURSO BASICO 
 
DERIVACION MEDIANTE TABLAS: Hallar y simplificar al máximo. 'y
1 623 263 2
13
6
5
9
7
18
2
3 xxxxxxxy +++= Rpta: 
( )
3
3
1'
x
xy += 
2 ( ) 22 23arctg3 xbxxb
xb
xby −+−
−
= Rpta: 
xb
xxy
−
= 4' 
3 
11
11ln
++
−+
=
x
x
e
ey Rpta: 
xe
y
+
=
1
1' 
4 
a
xaxay arcsen22 +−= Rpta: 
xa
xay
+
−
=' 
5 
a
xaxaxy arcsen222 +−= Rpta: 222' xay −= 
6 cos
cos
senx x xy
x senx x
− ⋅
=
⋅ +
 Rpta: 
( )
2
2' cos
xy
x x senx
=
+ ⋅
 
7 cosarccos
cos
b a xy
a b x
+⎛= ⎜ +⎝ ⎠
⎞
⎟ Rpta: ( )
2 2
' sgn
 cos
a by s
a b x
−
=
+
 en x 
8 
( ) ( )
( ) ( )
cos cos
cos cos
sen x x senx xy arctg
sen x x senx x
⎛ ⎞+ −
= +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
 Rpta: 2'
4
y ctg x π⎛ ⎞=