Ejercicio resuelto Mov Circular 2

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Una moto frena al entrar en una redoma de 60 m 
diámetro, reduciendo su rapidez de 25 m/s (Punto A) a 
12,5m/s (punto B) en 4 segundos. Determine: a) El 
vector desplazamiento desde A hasta B, b) La 
velocidad media desde A hasta B. 
c) La magnitud y dirección de la aceleración cuando su 
desplazamiento angular sea de 180°; d) el tiempo que 
tarda en detenerse. Cuantas vueltas ha dado? 
X+ 
Y+ 
A 
vA 
B 
vB 
X+ 
Y+ 
A 
vA 
B 
vB 
a) ∆𝑟𝐴−𝐵=? 
Como nos piden el vector desplazamiento desde A hasta B, debemos recordar que este se calcula 
restando el vector posición final, menos el vector posición inicial ∆𝑟𝐴−𝐵= 𝑟𝐵 − 𝑟𝐴 
 
Vector 𝒓𝑨 
𝑟𝐴 = 𝑟𝐴𝑥𝑖 + 𝑟𝐴𝑦𝑗 
𝑟𝐴𝑥 = −𝑅 = −30𝑚 
𝑟𝐴𝑦 = −𝑅 = −30𝑚 
𝑟𝐴 = −30𝑖 − 30𝑗 
𝑟𝐵 
𝑟𝐵𝑥 
𝑟𝐵𝑦 
𝑟𝐴 
𝑟𝐴𝑥 
𝑟𝐴𝑦 
 
 
Como la moto frena al entrar en la redoma, el movimiento 
es circular uniformemente desacelerado. 
El diámetro R=
𝑫
𝟐
=
𝟔𝟎𝒎
𝟐
=30m 
Los vectores posición se 
dibujan desde el origen del 
sistema de referencia hasta 
donde se encuentra la 
partícula 
El vector desplazamiento ∆𝑟𝐴−𝐵 
se dibuja desde el punto A hasta 
el punto B 
R 
C 
vC 
Para conocer 
las 
componentes 
rectangulares 
de los 
vectores 
posición 
𝑟𝐴 𝑦 𝑟𝐵 , se 
proyectan 
sobre los ejes 
X y Y 
En el gráfico se puede observar que 
las componentes son iguales al radio 
ya que van desde el centro hasta un 
punto sobre la circunferencia (su 
signo depende de la dirección de la 
componente) 
ar 
at 
𝑎 
r 
Vector 𝒓𝑩 
 
𝑟𝐵 = 𝑟𝐵𝑥𝑖 + 𝑟𝐵𝑦𝑗 
𝑟𝐵𝑥 = 𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛  
 
𝑟𝐵𝑥 = 30𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53,24° =24,03m 
 
 
 
 
𝑟𝐵𝑦 = − 𝑅 − 𝑅 ∙ 𝑐𝑜𝑠 
 
𝑟𝐵𝑦 = − 30𝑚 − 30𝑚 ∙ 𝑐𝑜𝑠53,24° 
𝑟𝐵𝑦 = −12,05𝑚 
𝑟𝐵 = 24,03𝑖 − 12,05𝑗 
 
 
 Como no se tiene suficiente información para 
determinar las componentes de 𝑟𝐵, utilizaremos 
los datos que tenemos para poder hallar . 
 = ∆𝜃 − 90° 
Sabemos que 
𝑆 = 𝑅 ∙ ∆𝜃 → ∆𝜃 =
𝑆
𝑅
 
Como el movimiento es circular uniformemente 
desacelerado 
𝑆 = 𝑣0 ∙ 𝑡 +
𝑎𝑡 ∙ 𝑡
2
2
 
𝑎𝑡 =
𝑣𝑓 − 𝑣0
𝑡𝑓 − 𝑡0
=
12,5
𝑚
𝑠 − 25 𝑚/𝑠
4𝑠 − 0𝑠
= −3,13𝑚/𝑠2 
Sustituyendo en S 
𝑆 = 25 𝑚/𝑠 ∙ 4𝑠 +
−3,13 𝑚/𝑠2 ∙ (4)2
2
 
𝑆 =74,96m 
 
Sustituyendo en ∆𝜃 
∆𝜃 =
74,96𝑚
30𝑚
= 2,5 → ∆𝜃 = 2,5rad 
∆𝜃 = 2,5rad∙
180°
𝜋𝑟𝑎𝑑
= 143,24° 
 
Sustituyendo en  
 = 143,24° − 90° = 53,24° 
 
Vector ∆𝒓 
𝑟𝐵 = 24,03𝑖 − 12,05𝑗 
-𝑟𝐴 = +30𝑖 + 30𝑗 
 
∆𝒓 = 𝟓𝟒, 𝟎𝟑𝒊 + 𝟏𝟕, 𝟗𝟓𝒋 
b) 𝑣𝑚 =? 
 
𝑣𝑚 =
∆𝑟
∆𝑡
=
54,03𝑖 + 17,95𝑗 (𝑚)
4𝑠
 
 
𝒗𝒎 = 𝟏𝟑, 𝟓𝟏𝒊 + 𝟒, 𝟒𝟗𝒋 (m/s) 
 
CO 
CO 
CA 
R 
CA 
Para determinar las 
componentes rectangulares 
de 𝑟𝐵, usamos el triángulo 
rectángulo que se forma 
d) t=? V=0m/s 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 ∙ 𝑡 
𝑡 =
𝑣 − 𝑣0
𝑎𝑡
=
0
𝑚
𝑠
− 25
𝑚
𝑠
−3,13 𝑚/𝑠2
= 7,99𝑠 
𝑆 = 25𝑚/𝑠 ∙ 7,99𝑠 +
−3,13 𝑚/𝑠2 ∙ 7,99𝑠 2
2
 
𝑆 = 99,84𝑚 
∆𝜃 =
𝑆
𝑅
=
99,84𝑚
30𝑚
= 3,33 → ∆𝜃 = 3,33𝑟𝑎𝑑 
 
#𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 = 3,33𝑟𝑎𝑑 ∙
1𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
= 0,53 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 
 
 
c) 𝑎 =? → ∆𝜃 = 180° 
 
Como sabemos 
𝑎 = 𝑎𝑡2 + 𝑎𝑟2 
La 𝑎𝑡 = −3,13 m/s2 y su modulo no varía 
 
La 𝑎𝑟 =
𝑣𝐶
2
𝑅
 
 
Como sabemos que =180° 
𝑆 = 𝑅 ∙ ∆𝜃 
𝑆 = 30𝑚 ∙ 180° ∙
𝜋
180°
=94,25m 
 
𝑆 = 𝑣0 ∙ 𝑡 +
𝑎𝑡 ∙ 𝑡
2
2
 
94,2m= 25 𝑚/𝑠 ∙ 𝑡 +
−3,13 𝑚/𝑠2∙𝑡2
2
 
 
94,25m= 25
𝑚
𝑠
∙ 𝑡 − 1,57 𝑚/𝑠2 ∙ 𝑡2 
0= −94,25𝑚 + 25
𝑚
𝑠
∙ 𝑡 − 1,57 𝑚/𝑠2 ∙ 𝑡2 
t1=6,13s t2=9,79s 
Como t=6,13s 
Buscamos el modulo de la velocidad para ese 
tiempo 
𝑣𝐶 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 ∙ 𝑡 
𝑣𝐶 = 25
𝑚
𝑠
+ −3,13
𝑚
𝑠2
∙ 6,13𝑠 
𝑣𝐶 = 5,81 𝑚/𝑠 
Sustituyendo en 𝑎𝑟 
𝑎𝑟 =
5,81 𝑚/𝑠 2
30𝑚
 =1,13m/s2 
 
Sustituyendo en 
 
𝑎 = 𝑎𝑡2 + 𝑎𝑟2 
𝑎 = −3,13 𝑚/𝑠2 2 + 1,13 𝑚/𝑠2 2 
𝑎 = 3,33 m/𝑠2 
 
𝛽𝑟 = 𝑡𝑔
−1 𝑎𝑡
𝑎𝑟
= 𝑡𝑔−1
−3,13 𝑚/𝑠2
1,13 𝑚/𝑠2
=-70,15° 
 
La aceleración tiene dos 
componentes la 
aceleración radial 
dirigida hacia el centro de 
la circunferencia, y la 
aceleración tangencial 
que en este caso tiene 
sentido contrario a la 
velocidad porque el mov 
es circular 
uniformemente 
desacelerado.