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Sistemas y SeSistemas y Seññales Iales I
ÁÁlgebra de Diagramas de Bloqueslgebra de Diagramas de Bloques
Autor: Dr. Juan Carlos Gómez
SyS-I J. C. Gómez 2
Diagrama de Bloques en el dominio Diagrama de Bloques en el dominio transfomadotransfomado
• El DB en el dominio transformado de un SLE se 
obtiene reemplazando cada bloque por la FT 
que lo caracteriza.
FT de bloques más usados
Bloque GananciaBloque Ganancia
K
( )u t ( ) ( )y t Ku t=
K
( )U s ( ) ( )Y s KU s=
Trafo
Laplace
Bloque SumadorBloque Sumador
+
-
+
-
1( )u t
2 ( )u t
1 2( ) ( ) ( )y t u t u t= −
Trafo
Laplace
1( )U s
2 ( )U s
1 2( ) ( ) ( )Y s U s U s= −
SyS-I J. C. Gómez 3
Bloque IntegradorBloque Integrador Bloque Bloque DerivadorDerivador
( )u t ( ) ( )
t
y t u dτ τ
−∞
= ∫
( )U s 1( ) ( )Y s U s
s
=
Trafo
Laplace
∫
1
s
( )u t
( )( ) du ty t
dt
=
( )U s ( ) ( )Y s sU s=
Trafo
Laplace
( )d
dt
•
s
SyS-I J. C. Gómez 4
Velocidad angular ω
Torque motriz τm Torque resistente τr
Inercia J
Rozamiento b
ωτ Jext =∑
ωωττ J b =−− rm
( )ωττω b 1 −−= rmJ
J
1 ∫
b
( )tmτ
( )trτ
( )tωω
Ejemplo
SyS-I J. C. Gómez 5
J
1 ∫
b
( )tmτ
( )trτ
( )tωω
J
1
b
( )smτ
( )srτ
( )sω
s
1
Transformada de Laplace
SyS-I J. C. Gómez 6
ÁÁlgebra de bloqueslgebra de bloques
El Álgebra de Bloques es un conjunto de reglas que permiten 
transformar los diagrama de bloques, similar al álgebra que 
permite transformar las ecuaciones lineales. Un uso muy 
común del álgebra de bloques es con el objetivo de obtener la 
función transferencia equivalente de un sistema representado 
con un diagrama de bloques.
Veremos las reglas más comunes del álgebra de bloques.
SyS-I J. C. Gómez 7
1.1. Lazo simple de retroalimentaciLazo simple de retroalimentacióónn
)s(G2
( )sU ( )sY)s(G1
( )sε
( )
⎩
⎨
⎧
=
−=
)s( )s(G )s(Y
)s(Y )s(G )s(U s
1
2
ε
ε [ ]
[ ] )s(U )s(G)s(G )s(G1 )s(Y
)s(Y )s(G )s(G)s(U )s(G 
)s(Y)s(G)s(U)s(G)s(Y
121
211
21
=+
−=
−=
)s(G )s(G1
)s(G
)s(U
)s(Y
ˆ)s(H
21
1
+
==
Reglas del Reglas del áálgebra de bloqueslgebra de bloques
SyS-I J. C. Gómez 8
2.2. ConexiConexióón en cascadan en cascada
)s(G2( )sU ( )sY)s(G1
( )sU)s(Y 21 =
( )sU ( )sY)s(G)s(G 21
Entrada/Salida equivalente
SyS-I J. C. Gómez 9
3.3. ConexiConexióón en paralelon en paralelo
( )sU
)s(G1
)s(G2
( )sY
( )sY1
( )sY2
Entrada/Salida equivalente
( )sU ( )sY)s(G)s(G 21 +
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4.4. Corrimiento de bloquesCorrimiento de bloques
( )sU2 )s(G
( )sU1
( )sY
( )sY1
( )sY2
Entrada/Salida equivalente
( )sU2
)s(G
1( )sU1
( )sY)s(G
SyS-I J. C. Gómez 11
5.5. Corrimiento de bloquesCorrimiento de bloques
)s(G( )sU ( )sY1
( )sY2
Entrada/Salida equivalente
( )sU ( )sY1
( )sY2)s(G
)s(G
SyS-I J. C. Gómez 12
6.6. Corrimiento de bloquesCorrimiento de bloques
)s(G
( )sU1
( )sY
( )sU2
Entrada/Salida equivalente
( )sY
)s(G
)s(G
( )sU1
( )sU2
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7.7. Corrimiento de bloquesCorrimiento de bloques
( )sU )s(G ( )sY1
( )sY2
Entrada/Salida equivalente
( )sU ( )sY1)s(G
)s(G
1 ( )sY2
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EjemploEjemplo: Motor de Corriente continua: DB FT
( )tu
R )t(i
L
ε
+
−
cteIe =
J b
mτ
rτ
ω
⎩
⎨
⎧
=
=
Ki
K
 
τ
ωε
mecánicaelectro
Conversión
−
Hallar las funciones transferencia entre u y ω, y entre τ y ω.r
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Las ecuaciones que gobiernan la dinámica del MCC con 
excitación independiente constante son:
Circuito de armadura
( ) ( )( ) ( )di tu t Ri t L t
dt
ε= + +
Parte mecánica
( ) ( )( ) ( )m rJ t t t b tω τ τ ω= − −
Conversión electro-mecánica
( ) ( ) 
( ) = ( )
m t k i t
t k t
τ
ε ω
=⎧
⎨
⎩
(1)
(2)
(3)
SyS-I J. C. Gómez 16
El correspondiente Diagrama de Bloques resulta:
1
L k
k
∫ ∫
R
1
J
b
-
-
--
++
( )r tτ
( )u t ( )tω
( )i t
Subsistema eléctrico Subsistema mecánico
( )m tτ
Conversión Eléc-Méc
SyS-I J. C. Gómez 17
En el dominio transformado de Laplace el DB resulta:
1
L k
k
1
s
1
s
R
1
J
b
-
-
--
++
( )r sτ
( )U s ( )sω
( )I s
Subsistema eléctrico Subsistema mecánico
( )m sτ
Conversión Eléc-Méc
SyS-I J. C. Gómez 18
El sistema tiene dos entradas: la tensión de armadura u(t), que 
es la señal que se puede manipular para controlar la velocidad 
del motor, y el torque de carga que no es manipulable y 
que en general se modela como una perturbación. 
Como el modelo (DB) es lineal podemos aplicar superposición 
para el cálculo de las dos funciones transferencia. 
Denominemos a las funciones transferencia
( )r tτ
0
0
( )( )
( )
( )( )
( )
r
r
u
r u
sG s
U s
sG s
s
ω
τ
τ ω
ω
ω
τ
≡
≡
=
=
SyS-I J. C. Gómez 19
La respuesta del sistema, en el dominio de Laplace, resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ru r
s G s U s G s sω τ ωω τ= +
Aplicaremos las reglas del Àlgebra de bloques para el cálculo 
de ambas transferencias. 
1. Cálculo de . Debemos hacer ( )uG sω 0rτ =
1
L k
k
1
s
1
s
R
1
J
b
---
+
+
( )U s
( )sω
( )I s ( )m sτ
+
1( )G s 2 ( )G s
SyS-I J. C. Gómez 20
k
k
-
+
( )U s ( )sω
1( )G s 2 ( )G s
Vemos que y son dos lazos simples de 
retroalimentación. Resulta entonces:
1( )G s 2 ( )G s
1
2
1 11( )
1
1 11( )
1
Ls LG s R RLs R s
Ls L
Js JG s b bJs b s
Js J
= = =
++ +
= = =
++ +
El DB resulta:
SyS-I J. C. Gómez 21
Vemos que es un lazo simple de retroalimentación. La función 
transferencia resulta entonces:
1 2
22
1 2
2 2
2
( ) ( )( )
1 ( ) ( )
1
 
u
k
LJ
R bs s
kG s G s L JG s
kk G s G s
LJ
R bs s
L J
k k
LJ LJ
R b k R b Rb ks s s s
L J LJ L J LJ
ω
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠= =
+
+
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= =
+⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
SyS-I J. C. Gómez 22
2. Cálculo de . Debemos hacer u = 0 .( )rG sτ ω
1
L k
k
1
s
1
s
R
1
J
b
--
- +
( )sω
1( )G s 2 ( )G s
-
( )r sτ
+
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k
k
-
( )sω
1( )G s 2 ( )G s-
( )r sτ
Vemos que es un lazo simple de retroalimentación. La función 
transferencia resulta entonces:
2
2
1 2
( )( )
1 ( ) ( )r
G sG s
k G s G sτ ω
= −
+
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2
2 2
2
1
( )
1
1 1
 
r
J
bs
JG s
k
LJ
R bs s
L J
R Rs s
J L J L
R b k R b Rb ks s s s
L J LJ L J LJ
τ ω
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠= −
+
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − = −
+⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠