control automatico

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Escuela de Ingeniería Eléctrica
Informe Actividad Integradora 
Asignatura: Control Automático
Prof. Dr. Héctor Vargas O. - Ayudante: Sr. Andrés Vergara D.
	 	
ACTIVIDAD 2 (1S-2020)
PARTE I: ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL
Considere el diagrama de bloques presentado en la figura 1:
Figura 1
ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO (simulación interactiva con MATLAB)
1. Utilice como entrada de referencia para todos los ejercicios un escalón unitario.
a. Utilizando la herramienta MATLAB simule el comportamiento del sistema, considerando inicialmente K = 1 y “sin realimentación” de la salida. Observe la respuesta temporal del sistema y(t). Bajo las condiciones analizadas, ¿el sistema es estable o inestable? Justifique su respuesta. Repita el procedimiento anterior, pero esta vez “con realimentación” de la salida. ¿Qué cambios observa? (Justifique)
· Agregar pantallazo de la respuesta temporal del sistema sin realimentación 
 
· Indicar si el sistema es estable o inestable, justificando la respuesta 
Justificacion
El sistema es estable y esto se puede ver de una manera simple calculando las raices del denominador de la funcion de transferencia del sistema(ecuacion caractertistica), las cuales se encuentran en el lado izquierdo del plano complejo s.(LGR)
(Ecuacion)
Tambien realizando un analizis de estabilidad mediante el criterio de Routh- Hurwitz a partir de la ecuacion caracteristica para saber el comportamiento del sistema a partir de distintos valores de K.
(Criterio RH)
Como podemos ver el sistema es estable ya que.
· Agregar pantallazo de la respuesta temporal del sistema con realimentación 
· Indicar los cambios observados, justificando la respuesta 
· Los tiempos de respuesta del sistema con lazo cerrado son mas rapidos que con lazo abierto
· La amplitud de la respuesta permanente disminuyo para el sistema con lazo cerrado en comparacion al sistema con lazo abierto.
· Presencia de un sobrepaso en la respuesta transitoria del sistema en lazo cerrado.
b. Obtenga el Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) de forma analítica y compruebe con el obtenido mediante la herramienta MATLAB. Luego, realice un análisis de estabilidad comentando qué cambios existen en el comportamiento dinámico del sistema al variar K desde 0 a ∞. ¿Existe algún valor de K donde la respuesta se haga críticamente estable? Calcule de forma analítica y verifique usando los diagramas LGR. (Justifique su respuesta). 
Para obtener el lugar geometrico primero se deben localizar los polos y ceros de la función en lazo abierto
En este caso como no existen ceros los polos serán: 
 ; 
Una vez calculado los polos y ceros se debe calcular el numero de asíntotas:
 
Conociendo el numero de asíntotas se proseguirá con calcular el centroide: 
Los angulos de las asíntotas estarán dados por:
Ya hecho los cálculos en lazo abierto se continuaran estos en lazo cerrado, comenzando con calcular la ecuación característica para poder encontrar los puntos de ruptura, para esto se debe despejar k en lazo cerrado:
Donde sus soluciones corresponderán a los puntos de ruptura:
 ; 
Para obtener los puntos de corte con el eje imaginario primero se debe conocer los valores de K donde el sistema se mantiene estable. Por lo cual se debe calcular la estabilidad mediante el arreglo de Routh-Hurwitz:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Lo que se puede concluir que el sistema es estable para y criticamente estable para . Como se puede observar el sistema es inestable para K > 12.71 por lo que se puede deducir que corta el eje imaginario y estos se puede calcular igualando K = 12.71 en la ecuación lazo cerrado y obteniendo sus soluciones:
De esta forma podemos dibujar el LGR de la función de transferencia
(foto del LGR)
(imagen LGR matlab)
Ambos graficos presentan similitudes respecto a las trazas de líneas, pero con la diferencia de que el grafico dibujado presenta la líneas limites de las asíntotas que ayudan a una representación no tan exacta del recorrido de las líneas. El grafico simulado en MATLAB presenta una mayor exactitud por la cantidad de decimales que el software trabaja, por lo que se puede concluir el grafico del LGR dibujado puede ser utilizado de manera fiable para el análisis de estabilidad de un sistema.
A continuación se mostrara como reacciona el sistema para distintos valores de K:
Para K=10
Para K=12
Para K=12.7125
Para K = 20
 
Como se puede observar el cambio de la ganancia K en el sistema afecta de manera significativa aumentando el tiempo de estacionamiento, la amplitud de la señal de salida y disminuyendo , como también un subamortiguamiento a medida que K aumenta. En el punto crítico de la función de transferencia para K = 12.7125 se puede apreciar una respuesta oscilatoria permanente y para valores mayores a K = 12.7125 el sistema presentara inestabilidad. Se puede concluir que el sistema será permanentemente oscilatorio si las soluciones de los polos del sistema no presentan parte real, dando a entender que y que mientras mayor sea su parte real menor será la oscilación en la respuesta temporal.
· Determinar la función de transferencia 
· Agregar cálculos realizados para obtener el LGR 
· Agregar una foto del LGR dibujado 
· Agregar una imagen del LGR obtenido con MATLAB
· Agregar breve explicación con la comparación de los 2 diagramas 
· Agregar imagen con LGR y respuesta temporal para distintos valores de k (por lo menos 4) 
· Agregar comentarios sobre los cambios observados, mencionando la relación entre la ubicación de los polos y la respuesta temporal del sistema 
· Indicar de K para respuesta críticamente estable 
c. Determinar especificaciones de desempeño , y , para distintos valores de K. Realice los cálculos de forma analítica y compárelos con lo obtenido usando la herramienta MATLAB. Llene la siguiente tabla con los valores obtenidos y comente sus resultados. 
	K
	Analítica 
	Simulación
	
	
	
	
	
	
	
	1
	3.68%
	12.83
	8.03
	3.23%
	14.7
	5.59
	5
	49.48%
	27.82
	2.78
	43.9%
	26.4
	2.12
	10
	85.6%
	96.6
	1.94
	75.2%
	91.5
	1.48
	15
	NA
	NA
	NA
	∞
	NA
	NA
Cálculos:
Sea la ecuación característica del sistema en lazo cerrado:
Los parámetros a analizar:
 
 
Para todos los casos se utilizará la dominancia de polos. 
Para K=1 
 2
 
 
 
Para K=5
 
 2
 
 
 
 
 
Para K=10
 
 2
 
 
 
Para K=15
Los cálculos de los valores de K=15 se omitirán por el hecho de que un sistema inestable presentara valores de asentamiento inexistentes por el hecho que la señal crece hacia el infinito.
En conclusión, se puede deducir que la falta del polo eliminado por la dominancia polos generara un error relativo alrededor del 13.51% en promedio de los errores de la máxima sobreelongación. La velocidad en los tiempos de subida será mucho más rápida y más lenta para el tiempo de establecimiento a el calculo de los valores mediante la dominancia de polos.
· Llenar la tabla y agregar los cálculos analíticos 
· Llenar la tabla y agregar pantallazos de las simulaciones 
· Comentar los resultados 
d. Obtener el error en estado estacionario para una entrada y K = 3. Realice los cálculos de forma analítica y compárelos con la simulación. 
Sea error en estado estacionario: 
Donde R(s) corresponde al tipo de entrada.
Sea , donde M será igual a . Todo evaluado para una ganancia K=3:
· Agregar cálculos analíticos 
· Agregar captura de pantalla de la simulación 
· Comentar los resultados, justificando la respuesta 
ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA (simulación interactiva con MATLAB)
2. Simule el Diagrama de Bode de (F.T.L.A.) y (F.T.L.C.) del sistema utilizandola herramienta MATLAB. Utilice K = 3 para el análisis. 
· Agregar captura de pantalla 
a. Realice análisis de estabilidad a través del Margen de Fase y Margen de Ganancia en forma analítica y compárelo con el obtenido utilizando la herramienta MATLAB. 
Calculo:
Lo primeramente necesario para obtener la estabilidad a través s del Margen de Fase y de Ganancia será el cruce de ganancia y la frecuencia de cruce de ganancia 
· Agregar cálculos analíticos 
· Agregar captura de pantalla de las simulaciones
· Comentarios 
b. Calcule el pico de resonancia y ancho de banda del sistema de control de forma analítica. Verifique estos valores mediante la herramienta MATLAB. 
· Agregar cálculos 
· Agregar pantallazo de la simulación 
c. Comente brevemente la relación que existe entre los gráficos obtenidos en el dominio temporal y los gráficos obtenidos en el dominio de la frecuencia. 
· Agregar pantallazos 
· Comentarios 
PARTE II: DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
Considerando el siguiente diagrama de bloque:
3. Diseño de compensadores por BODE
a. Diseñar un compensador de adelanto en forma analítica para un sistema con función de transferencia de modo que la constante de error estático de posición sea de 5[s-1] y con margen de fase de al menos 30°. Validar el compensador obtenido. 
Calculo:
El compensador será de la forma 
Calcular el error estático de posición junto con el compensador
Agregando la ganancia K a G(s) podremos determinar el nuevo margen de fase por bode
Obtenemos la frecuencia de cruce de ganancia:
Margen de fase:
 
Entregando un margen de fase de 2.88°. Al nuevo angulo deseado se le agregaran 5° extras por convención para compensar el retardo inicial.
 
El factor de amortiguamiento estará dado por:
 
La frecuencia será:
 
La frecuencia esquina:
 
Ya con estos datos podemos calcular el compensador por adelanto el cual será:
Como se puede apreciar en la imagen el margen de ganancia del sistema con el compensar será de 32°
· Agregar los cálculos analíticos 
· Indicar el compensador diseñado 
· Validación del compensador 
b. Simule el compensador diseñado en el punto a. utilizando la herramienta MATLAB. Comentar el resultado obtenido. 
· Agregar los pantallazos de la simulación 
· Comentar los resultados
4. Para el sistema :
a. Diseñar un controlador PID de estructura mínima, considerando un sobrepaso de 30% y un tiempo de asentamiento de 10seg. Según el comportamiento dinámico del sistema, ¿qué controlador se ajusta de mejor manera a las especificaciones de desempeño indicadas? Validar el controlador diseñado en forma analítica.
Calculo:
 
El aporte angular del sistema a partir del polo dominante será:
(foto del lgr)
 
 
Como el Angulo de integrado es igual al del polo del origen este se multiplicará por dos
Dado que el angulo deseado será menor a 90°, el compensador indicado será PI el cual solo tendrá un cero.
(foto del lgr del compensador)
Asi nuestro contraldor tendrá la siguiente forma:
Para poder calcular la ganancia del compensador se hará mediante la ganancia 
Por tanto, el compensador final será:
· Indicar qué controlador se diseñará
· Agregar cálculos analíticos 
· Agregar controlador diseñado 
· Validación del controlador 
b. Simular el controlador PID diseñado en la parte a. utilizando la herramienta MATLAB. Comentar los resultados.
· Entregar pantallazos de la simulación 
· Comentar los resultados