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Análisis de Sensibilidad Análisis de Sensibilidad Relación con el Problema Primal El Análisis de Sensibilidad o Post óptimo estudia la sensibilidad de la solución óptima cuando se realizan cambios en el modelo original: 1. En la función objetivo, 2. Agregado de una nueva actividad 3. En los términos independientes, 4. Agregado de una nueva restricción Ejemplo de la primera clase: Max z = 3xE + 2xI sa. xE + 2xI 6 2xE + xI 8 - xE + xI 1 xI 2 xE , xI 0; xE : ton. Vendidas de pint. ext/día; xI : ton. Vendidas de pint. int/día | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 1 _ 2 3 _ 4 _ 5 _ 6 _ 7 _ 8 _ XI xE 0 A B C D E F G H 1 4 2 5 3 6 xE + 2xI = 6 2 xE + xI = 8 xI = 4/3 xE = 10/3 Z = 3 x 3.33 + 2x 1.33 = 12. 2/3 -c 0 0 A I b 1ra. tabla cBB -1A- c cBB -1 Z* = cBxB*=cBB -1 b B-1A B-1 xB* = B -1 b Tabla óptima En forma tabular y= cB B -1 Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 Solución z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 Razón s1 0 1 2 1 0 0 0 6 6 s2 0 (2) 1 0 1 0 0 8 4 s3 0 -1 1 0 0 1 0 1 s4 0 0 1 0 0 0 1 2 Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 Solución z 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 Razón s1 0 0 (3/2) 1 -1/2 0 0 2 4 / 3 xE 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4 8 s3 0 0 3/2 0 1/2 1 0 5 10 / 3 s4 0 0 1 0 0 0 1 2 2 Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 Solución z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 12 2/3 xI 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4 / 3 xE 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 10 /3 s3 0 0 0 -1 1 1 0 3 s4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 2 / 3 =− 0 0 3 2 1BCB 1. Cambio en los Coeficientes (Beneficios / Costos) de la función objetivo (Actividades) -Supongamos que la Ganancia de xE ; cambia de 3 a 3 +1 - z = (3 + 1 ) xE + 2 xI El cambio DÓNDE y QUÉ efectos producirá? Rango de variación de Ci: Determinemos el efecto que produce, utilizando el análisis matricial: (1) 1/3 - 1 /3 0 y 4/3 + 2/3 1 0 (2) de (1) 1 1 y de (2 ) 1 -2 -2 1 1 1 cE 4 xE xI s1 s2 s3 s4 Solución z 0 0 1/3- 1/3 1 4/3 + 2/3 1 0 0 12 2/3 + 10 / 3 1 ( ) − − − − +=− 103/13/2 0111 003/23/1 003/13/2 0,0,3,2 1 1 BCB 1. Cambio en los Coeficientes (Beneficios / Costos) de la función objetivo (Actividades) Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 Solución z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 12 2/3 xI 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4 / 3 xE 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 10 /3 s3 0 0 0 -1 1 1 0 3 s4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 2 / 3 Rango de variación de CE: (1) 1/3 - 1 /3 0 y (2) 4/3 + 2/3 1 0 de (1) 1 1 y de (2 ) 1 -2 -2 1 1 ; 3-2 cE 1+3; 1 cE 4 Para un problema de maximización , zj- cj en el optimo es positivo, por lo que para obtener un cero alternativo. 1. la variación negativa, nos da el limite superior. Si no hay, no existe limite superior 2. la variación positiva, nos da el limite inferior Si no hay, no existe limite inferior En un caso de minimización es al revés MAX MIN Limite superior - + Limite inferior + - aij Cambios que afectan la optimalidad 1- Cambios coeficientes de la función objetivo c+ c Max z = ( c+ c ) x z j - (c j + cj ) = cBB -1 a j - (c j+ cj ) verificar z j - c j = 0 j B z j - c j > 0 j B Ej: Max z = 5x1 + 2x2 y el limite Max z = 4x1+ 2 x2 Si C1=5, entones z1 - c1 < 0 = -1 Se debe iterar de nuevo, No es optima y zj Básica z X1 X2 s1 s2 s3 s4 Solución z 1 0 0.5 0 2.5 .0 0 20 s1 0 0 1.5 1 -0.5 0 0 2 X1 0 1 0.5 0 0.5 0 0 4 s3 0 0 1.5 0 0.5 1 0 5 s4 0 0 1 0 0 0 1 2 cBB -1A- c cBB -1A- c Se recalcula el z j - c j de x1, en caso que sea negativo, debe buscarse el optimo Para una variable no básica, un cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable no básica afectará en , de la tabla optima Curvas de oferta ⚫ Gráfico C en f(X): en la tabla óptima se calcula el rango de C de una actividad. Se grafica C en f(X). ⚫ Para el límite superior de C se realiza una nueva iteración del MS, sobre el cual se vuelve a calcular el limite superior de C. Se grafica C en f(X). Se repite el procedimiento hasta que para cualquier aumento de C, X se mantiene constante. ⚫ El mismo procedimiento para el límite inferior de la TO. Se grafica C en f(X). Se repite el procedimiento hasta que X=0. ⚫ Referencias: La Programación Lineal en el proceso de decisión- Marín Palma Lara- ed. Macchi Programación Lineal y su entorno- Miguel Miranda Ed Educa. Ejemplo Se busca el rango de variación de c1 300 c1 600 No tiene limite superior 1 1 X1 se va de la base Curvas de oferta Gráfico C en f(X): en la tabla óptima se calcula el rango de C de una actividad. Se grafica C en Función de X1. 2- Adición de una nueva actividad Ejemplo: Fabricación y venta de una nueva pintura (NP), cuya utilidad en miles de unidades monetarias por tonelada es: 4 y cuyos datos de producción son: 2 ton de MPA/ton NP y 1 Ton MPB/ton NP. Calcular los nuevos : z j - c j = cBB -1 aj - c j y los nuevos : a’j= B -1 a j Verificar z j - cj > = < 0 , se verifica con las variables del dual En caso que el z j - cj sea negativo, hay que volver la optimo, es decir iterar nuevamente, ya que se incrementara Z con la producción de esta pintura. Se comienza a producir este nuevo producto ( ) 24 0 0 1 2 0,0,3/4,3/1*1 −=− =−=−=−− cjajycjzjcjaBC jB 3- Cambios en el segundo miembro de las Restricciones (términos independientes). b→ b + b x^ B = B -1 (b + b) si x^ B 0 si x^ B < 0 Ej: 8 a 7 ( disponibilidad de materia prima B ) 4- Agregado de una nueva restricción ai j xj bi Se verifica la factibilidad en el optimo del primal, se satisface o no la solución actual. En caso de que se cumpla , no altera el optimo Se no cumple, se debe utilizar el dual simple para volver a la factibilidad Ej: x1 4 o x1 3 Cambios que afectan la factibilidad j=1 a n Cambio máximo en la disponibilidad de recursos - Materia Prima A de 6 a 6+ 1 * El cambio solo afectará el segundo miembro de cada iteración. * Cambios en la tabla óptima B-1 ( b + b ) : 12,66 + 1/3 1 4/3 + 2/3 1 (1) 0 10/3 - 2/3 1 (2) 0 3 - 1 1 (3) 0 2/3 - 2/3 1 (4) 0 Un cambio de este tipo afecta la factibilidad Para determinar el intervalo admisible de 1 * si 1 >0: (1) se cumple siempre de (2) 1 5 de (3) 1 3 1 1, (se elige el menor rango de variación) de (4 ) 1 1 * si 1 <0 : (2), (3) y (4) se satisfacen siempre. (1) 1 -2 -2 1 1 ; 6-2 b1 6+1 4 b1 7 Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 Solución z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 12,66 xI 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4 / 3 xE 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 10 /3 s3 0 0 0 -1 1 1 0 3 s4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 2 / 3 Curvas y en f(b), Z en f(b), Uso de recursos en f(b) En la tabla óptima se calcula el rango de b de una disponibilidad (de un recurso). Se grafican las coordenadas correspondientes de los tres gráficos en f(b). Para el límite superior de b se realiza una nueva iteración del MS, sobre el cual se vuelve a calcular el limite superior de b. Se continúa el gráfico de las tres curvas f(b). Se repite el procedimiento hasta que para cualquier aumento de b no se modifican las curvas. El mismo procedimiento para el límite inferior de la TO. Se grafican las curvas. Se repite el procedimiento hasta que b=0. Se trabaja en las tablas optimas del dual Referencias: La Programación Lineal en el proceso de decisión- Marín Palma Lara- ed. Macchi Programación Lineal y su entorno- Miguel Miranda Ed Educa. En el dual Tabla optima del dual MAX MIN Limite superior - + Limite inferior + - aij El rango de b2 es: 512 b2 768 ; en el optimo del dual Reemplazamos porel limite superior y calculamos zj-cj Se calcula el limite superior de b2, como no es básica el limite superior es infinito Reemplazamos por el limite inferior y calculamos zj-cj Nuevamente se busca el limite inferior 512 b2 768 Reemplazamos por el limite inferior y calculamos zj-cj Ya no se puede seguir iterando , porque al pretender ingresar y2, no puede salir ninguna Curvas y en f(b), Z en f(b), Uso de recursos en f(b) En la tabla óptima se calcula el rango de b de una disponibilidad (de un recurso). Para variables que no son básicas , solo afecta el correspondiente zj - cj Si se disminuye la disponibilidad en igual cantidad que la holgura, el recurso comienza a ser básico Producción de x2 y valor marginal de b3 x1 Uso de los recursos: Disponibilidad-holgura
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