Analisis de sensibilidad, explicacion paso por paso

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Hoja1
	Analisis de sensibilidad ejemplo profe
	Problema: Un taller fabrica dos tipos de platos plásticos, A1 y A2, mediante procesos de estampado y vitrificado. Los estándares de producción y disponibilidades se muestran en la tabla. Además existe una restricción de demanda máxima de 300 docenas/semana de platos A1. Los beneficios unitarios son de 40$ por docena y 80 $ por docena respectivamente. 
	Operación min/docena	A1	A2	Disponibilidad semanal(min/semana)
	Estampado	2	2	8000
	Vitrificado	1	3	15000
	Variables de decisión:																		y1	x3
	X1 = Docenas de plato 1 a producir y vender por semana [=] (Doc. Plato 1 / Semana)										Planteo Problema Dual:								y2	x4
	X2 = Docenas de plato 2 a producir y vender por semana [=] (Doc. Plato 2 / Semana)										Variables de decisión:								y3	x5
	F.O										Y1 = Valor marginal del recurso minuto de estampado [=] ($/min Est.)								y4	x1
											Y2 = Valor marginal del recurso minuto de vitrificado [=] ($/min Vit.)								y5	x2
	Restricciones										Y3 = Valor marginal de la demanda plato 1 [=] ($/Doc. Plato 1)
											F.O: 
											S.a:
	Restricciones de no negatividad: 
	Forma Estándar
	Variables de decisión:
	X1 = Docenas de plato 1 a producir y vender por semana [=] (Doc. Plato 1 / Semana)										Forma estándar
	X2 = Docenas de plato 2 a producir y vender por semana [=] (Doc. Plato 2 / Semana)										Variables de decisión:
	S1= Minutos sobrantes del recurso estampado [=] (min. Est. / Semana)										Y1 = Valor marginal del recurso minuto de estampado [=] ($/min Est.)
	S2= Minutos sobrantes del recurso vitrificado [=] (min. Vit. / Semana)										Y2 = Valor marginal del recurso minuto de vitrificado [=] ($/min Vit.)
	S3= Holgura de la demanda de platos tipo 1 [=] (Doc. Plato 1 / Semana)										Y3 = Valor marginal por docena de plato 1 [=] ($/Doc. Plato 1)
											Y4= Costo de oportunidad de la docena de plato 1[=] ($/Doc. Plato 1)
	Tabla optima			y4	y5	y1	y2	y3			Y5= Costo de oportunidad de la docena de plato 2[=] ($/Doc. Plato 2)
	Cj	Basic Variables	 Quantity	 40 X1	 80 X2	 0 slack 1	 0 slack 2	 0 slack 3			F.O: 
	80	X2	4000	1	1	0.5	0	0
	0	slack 2	3000	-2	0	-1.5	1	0
	0	slack 3	300	1	0	0	0	1
		zj	320000	80	80	40	0	0			S.a:
		cj-zj		-40	0	-40	0	0			 
	En el óptimo:
	X1=0
	X2=4000 platos tipo 2 por semana
	S1=0(recurso estampado es escaso)
	S2=3000(recurso vitrificado abundante)
	S3=300(holgura de la demanda de platos A1)
	Z=320000 $/sem
											Cj	Basic Variables	 Quantity	 8000 X1	 15000 X2	 300 X3	 0 artfcl 1	 0 surplus 1	 0 artfcl 2	 0 surplus 2
											8000	X1	40	1	 1.5	0	0	0	 0.5	 -0.5
											0	y4	40	0	2	-1	-1	1	1	-1
												zj	320000	8000	18000	600	0	0	-4000	4000
												cj-zj		0	-3	-300	0	0	4000	-4000
											Variable	Status	Value
											y1	Basic	40
											y2	NONBasic	0
	1)       Cambios que afectan la optimalidad										y3	NONBasic	0
											y4	Basic	40
	Cambio en los coeficientes ci de la función objetivo										y5	NONBasic	0
	Si la variable no es básica: Por ejemplo X1										Optimal Value (Z)		320000
	Al ser una variable no basica, no afecta el Cb, por ende los "y" no cambian, solo me afecta al renglon asociado a x1 en el dual
	Reemplazo en c1 inicial por 
				Yo se que y=Cb*B^-1, por ende los valores de y no cambian				y1	Basic	40
				permanecen constantes				y2	NONBasic	0
								y3	NONBasic	0
	La solución actual permanece óptima siempre que el coeficiente de c1 de x1 no sea mayor que c1+D1=$40+$40=$80
	Si la variable es básica: Por ejemplo X2
				y4	y5	y1	y2	y3
	Cj	Basic Variables	 Quantity	 40 X1	 80 X2	 0 slack 1	 0 slack 2	 0 slack 3
	80	X2	4000	1	1	0.5	0	0
	0	slack 2	3000	-2	0	-1.5	1	0
	0	slack 3	300	1	0	0	0	1
		zj	320000	80	80	40	0	0
		cj-zj		-40	0	-40	0	0
	Ahora si esta afectado los valores de y, debido a que la variable basica esta incluida en Cb
	Debo determinar los nuevos y, que los llamare Yn
	Originales:
	Nuevo:
					=
	Estos nuevos valores de Yn influyen en el renglon deZj-Cj, en los valores que son distintos de 0, en los valores que valen 0 no hace falta la evaluacion
	debido a que queremos mantener el programa de variacion y como ahí el costo de oportunidad y los valores marginales son 0, no hace falta el analisis
	Trabajo con las restricciones no basicas
	Reemplazando:
	Resolviendo:
	Luego : 		Elegimos ese valor debido a que si elegimos el -80, la primera inecuacion no nos da
				Reemplazo el valor original de c2(x2) que era 80
				Llegamos a la conclusion entonces de que c2 tiene que ser mayor a 40 para no cambiar la produccion actual
	Curvas de Oferta
	Curva de Oferta de X1
	Para construir la Curva de Oferta primero se debe encontrar el intervalo de variación de c1 en el óptimo, en el cuál se mantiene constante el plan de producción (según lo explicado):
				 o 0 ≤C1
		En este intervalo se mantiene constante el Plan de producción (x1=0 platos tipo 1 y x2=4000 platos tipo 2 )
	Reemplazo el valor de c1=80 en la función objetivo y obtengo la nueva tabla óptima:
	El plan de producción para este caso es de x1=300 platos tipo 1 y x2= 3700 platos tipo 2(activó x1)
	De esta tabla observamos que el valor c(j)-z(j) de S3 es 0, y es una variable no basica, eso nos da la pauta de que existen optimos alternativos
	entonces lo que debemos hacer es encontrar el otro optimo alternativo para asi encontrar el rango de variacion
	para eso tomamos como variable de entrada s3 y se selecciona la variable de salida tamoando las razones correspondientes
	y se selecciona la menor para elegir la variable de salida, continuamos con el procedimiento de Gauss Jordan hasta encontrar la otra solucion
	que mantendra el valor de z
	Curvas de ofertas
	Aquí vemos las variaciones de X1 y X2 y los valores que adoptaran en cada caso
								Curva X1
								C1	X1
								0	0
								80	0
								80	300
	Esto significa que de 0 a 40 y de 40 a 80, x1 tendra un valor de 0, a partir de 80 ya cambia el plan de produccion							100	300
	produciendo 3000 platos de 1
								Curva X2
								C1	X1
								0	0
								0	3700
								40	3700
								40	4000
	Esto significa que si la utilidad de X2 es 0, no produciremos nada, de 0 a 40 produciremos 3700 platos							100	4000
	y de 40 a infinto produciremos 4000 platos
	Agregado de una nueva actividad
	La adición de una nueva actividad es deseable si deja utilidades o mejora el óptimo. Esto se verifica calculando zj-cj=Y.Pj-cj , donde Y son los valores óptimos actuales, Pj y cj son el empleo de los recursos y la utilidad por unidad de la nueva actividad
	Supongamos que se sugiere la producción de un nuevo plato A3, cuyos requerimientos de producción son 1min/plato tipo3 para las operaciones de estampado y vitrificado, sabiendo que su utilidad es de $50/plato tipo 3
	Si zj-cj calculada satisface la condición de optimalidad no es deseable, de lo contrario la nueva actividad produce utilidades
	Es decir que si zj-cj es mayor a 0, no nos conviene agregar la nueva actividad, ya que en maximinizacion llegamos al optimo cuando ningun valor zj-cj es menor que 0, entonces para seguir iterando, necesitamos un zj.cj menor que 0
	Tabla optima			y4	y5	y1	y2	y3
	Cj	Basic Variables	 Quantity	 40 X1	 80 X2	 0 slack 1	 0 slack 2	 0 slack 3
	80	X2	4000	1	1	0.5	0	0
	0	slack 2	3000	-2	0	-1.5	1	0
	0	slack 3	300	1	0	0	0	1
		zj	320000	80	80	40	0	0
		zj-cj		40	0	40	0	0
	Volviendo al ejemplo del plato A3
	Esta ecuacion tiene que ser menor a 0
	Reemplazando
	Esto quiere decir que si sera lucrativo y tenemos que encontrar un nuevo optimo
	Ahora debemos introducir la nueva columna de X3, entonces para eso:
	Multiplicamos el B^-1 por P6, P6 hace referencia a los requerimientos de produccion, en este caso 1 min de estampado y vitrificado por plato
	Ahora a los valores de la multiplicacion los agrego en la columna
		X1	X2	X3	S1	S2	S3						X1	X2	X3	S1	S2	S3
	Z(j)-c(j)	40	0	-10	40	0	0	320000				Z(j)-c(j)	60	20	0	50	0	0	400000
	X2	1	1	0.5	0.5	0	0	4000	8000			X3	2	2	1	1	0	0	8000
	S2	-2	0	-0.5	-1.5	1	0	3000	-6000			S2	-1	1	0	-1	1	0	7000
	S3	10	0	0	0	1	300				S3	1	0	0	0	0	1	300
	Aplico gauss jordan y encuentro el optimo nuevo
	2)Cambios que afectan la factibilidad
	Cambio en el lado derecho bi
	a)      	Variación del recurso estampado								b1 hace referencia a los valores de las retricciones
										0.5	0	0		8000		4000
										-1.5	1	0		15000		3000
										0	0	1		300		300
				lo sumo al valor original de la restriccion
				Eso nos quiere decir que el valor mariginal asociado no va a cambiar entre ese rango de valores, a partir de 10000 min disponibles el recurso deja de ser escaso y ahí cambia el valor marginal
				Recordemos que con 8000 min disponibles, mi valor marginal era $40 x cada minuto extra que quiera agregar en esa actividad
												Ahí podemos ver los rangos en donde los valores marginales se mantienen contantes 
								Valores marginales actuales si quiero agregar un minuto mas de cada actividad
								Vemos que es 0 porque hay sobrante en esos casos
	Funcional(Z vs bi)
	Para hallar los rangos de variación de bi, se sugiere trabajar con la forma dual del problema, ya que los bi representan los coeficientes de la función objetivo G.
	Encontrar un rango de variación de bi, tomar los valores extremos y reemplazar en la función objetivo. En cada caso, obtener la nueva tabla óptima, indicar que se observan los óptimos alternativos y con ello encontrar los otros rangos de variación. 
					B1 desde	B1 hasta	Z inicial rango	Z final rango	Valor marg
					Aquí vemos que el valor matginal desde 10000 hasta 10400 min es de 10$/min y superando este valor 
					es 0 ya que sera un recurso abundante
	Grafico del funcional
										Este grafico nos muestra las distintas pendientes en los distintos sectores
										En el eje de las y vemos la variacion de la utilidad y en el de las x vemos la cantidad de recurso
										Podemos apreciar que hasta 10000 min tenemos una pendiente, eso debido a que el valor
										marginal es igual a 40$/min, luego la pendiente se achata, hasta los 10400 min debido a que el valor mariginal del recurso es menor 10$/min, 
y luego la pendiente se hace cte, es decir que no varia la utilidad ya que sera un recurso abundante, en donde el valor mariginal por cada minuto es igual a 0
	Agregado de una nueva restricción 
	Caso 1: Restriccion redundante, es decir que no se modifica la utilidad
	Caso 2: Al agregar la nueva restriccion la solucion se desmejora, disminuye la utilidad al tener mas condiciones
	 Caso 1: Debido a condiciones de mercado la demanda de platos tipo A2 debe ser menor a 5000 doc.P2/sem
	Comprobamos si el óptimo verifica:
	En el óptimo:
	X1=0
	X2=4000 platos tipo A2 por semana
	S1=0(recurso estampado es escaso)
	S2=3000(recurso vitrificado abundante)				Como vemos la restriccion es redundante ya que nosotros hacemos 4000 platos del tipo 2
	S3=300(holgura de la demanda de platos A1)
	Z=320000 $/sem
	 Caso 2: Se agrega una nueva operación que requiere 1min/Doc Pi (platos tipo A1 y A2) y se dispone semanalmente de 3000 min
		Como vemos, no verifica , asi que debo encontrar otro optimo
			X1	X2	X3	S1	S2	S3	S4
		Z(j)-c(j)	40	0	-10	40	0	0	0	320000
		X2	1	1	0.5	0.5	0	0	0	4000
		S2	-2	0	-0.5	-1.5	1	0	0	3000
		S3	1	0	0	0	0	1	0	300
		S4	1	1	0	0	0	0	1	3000
	Debemos agregar esa nueva columna y resolver de vuelta el problema y ver como sera el nuevo optimo
								Como vemos el nuevo z disminuyo ya que ahora producimos menos platos, y tenemos un nuevo recurso escaso
								dado por la nueva operación
Curva X1	0	0	300	300	0	80	80	100	Curva X2	0	3700	3700	4000	4000	0	0	40	40	100	
Para ser factible debe ser ≥0