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FÍSICA I
Diego Alejandro Torres Galindo1
F́ısico Universidad Nacional de Colombia.
2004
1datorresg@unal.edu.co
2
Índice general
Introducción XV
0.1. Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
0.2. Objetivos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
0.3. Objetivos espećıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
0.4. Explicación metodológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
1. Cinemática 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Evaluación de conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1. Definición de vector y operaciones . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2. Algebra de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3. Componentes de un vector y sistemas de coordenadas . 9
1.4. El concepto razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1. Definición de velocidad y aceleración . . . . . . . . . . 18
1.6. Movimiento en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1. Movimiento a velocidad constante . . . . . . . . . . . . 22
1.6.2. Movimiento a aceleración constante . . . . . . . . . . . 25
1.7. Movimiento en dos o mas direcciones . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7.1. Movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.9. Taller experimental: Cinemática del movimiento unidimensional. 53
1.9.1. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.9.2. La experiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.10. Resumen y glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.11. Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.12. Información de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
i
ii ÍNDICE GENERAL
2. Leyes de Newton
(Primera parte) 67
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2. Evaluación de conocimientos previos . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3. Primera ley: La inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4. Segunda ley: La fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.1. La masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4.2. La fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5. La tercera ley: Acción y reacción . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6. Unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.1. Medidas de longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.7. Taller experimental: Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . 85
2.7.1. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7.2. La experiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.8. Resumen y glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.9. Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.10. Información de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3. Leyes de Newton
(Segunda parte) 95
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2. Evaluación de conocimientos previos . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3. ¿Como analizar problemas con ayuda de las leyes de Newton? 96
3.4. Fuerza gravitacional, peso y campo gravitatorio . . . . . . . . 102
3.4.1. Fuerza gravitatoria de una esfera . . . . . . . . . . . . 105
3.5. Máquinas y fuerzas de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5.1. Movimiento de un tren con tres vagones . . . . . . . . 108
3.5.2. Movimiento de un tren con N vagones . . . . . . . . . 110
3.5.3. Fuerza de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.5.4. Fuerzas elásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.6. Algunas aplicaciones de las leyes de Newton . . . . . . . . . . 119
3.6.1. Máquina de Atwood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6.2. Dinámica de las gotas de lluvia . . . . . . . . . . . . . 121
3.6.3. La suma de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.7. Taller experimental: Carácter vectorial de las fuerzas. . . . . . 124
3.7.1. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.7.2. La experiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.8. Resumen y glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
ÍNDICE GENERAL iii
3.9. Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.10. Información de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4. Momentum lineal 137
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2. Evaluación de conocimientos previos . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3. Momentum lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4. El centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.4.1. Cálculo del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.5. Conservación de momentum lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.6. Las coordenadas del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.7. Choques en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.8. El impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.9. Taller experimental: Choque en dos dimensiones. . . . . . . . . 156
4.9.1. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.9.2. La experiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.10. Resumen y glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.11. Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.12. Información de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5. Trabajo y enerǵıa 169
5.1. introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.2. Evaluación de conocimientos previos . . . . . . . . . . . . . . 170
5.3. Solución de la ecuación m dv
dt
= F(r) en una dimensión . . . . . 170
5.4. El trabajo y la enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.5. Trabajo debido a una fuerza constante . . . . . . . . . . . . . 174
5.6. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.7. Trabajo debido a una fuerza variable . . . . . . . . . . . . . . 179
5.8. La enerǵıa y sus transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.9. Enerǵıa mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.9.1. Enerǵıa cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.9.2. Enerǵıa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.10. Fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.11. Fuerzas no conservativas y conservación de la enerǵıa . . . . . 191
5.12. Taller experimental: Conservación de la enerǵıa cinética . . . . 192
5.13. Resumen y glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.14. Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.15. Información de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
iv ÍNDICE GENERAL
6. Momentum angular 205
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.2. Evaluación de conocimientos previos . . . . . . . . . . . . . . 206
6.3. Momentum angular de una part́ıcula . . . . . . . . . . . . . . 206
6.3.1. Calculo del momentum angular de una part́ıcula que
se mueve en el plano (x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.4. Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.5. El momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.6. Cinemática rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.7. Trabajo y enerǵıa en un movimiento rotacional . . . . . . . . . 222
6.7.1. Enerǵıa cinética rotacional . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.7.2. Movimiento de rotación y translación simultáneos . . . 224
6.8. Tallerexperimental: Determinación de los momentos de Inercia 225
6.9. Resumen y glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.10. Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.11. Información de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7. Movimiento periódicos 235
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.2. Evaluación de conocimientos previos . . . . . . . . . . . . . . 235
7.3. Movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.3.1. Descripción del movimiento armónico por medio de la
función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3.2. Velocidad y aceleración en un movimiento periódico . 239
7.4. Enerǵıas cinética y potencial en el movimiento armónico simple241
7.5. Movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.6. Oscilaciones en un péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . 244
7.7. Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.8. Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.9. Movimiento Ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.9.1. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.9.2. Aplicaciones en Colombia: . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.10. Taller experimental: El péndulo f́ısico . . . . . . . . . . . . . 255
7.11. Resumen y glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.12. Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.13. Información de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
ÍNDICE GENERAL v
8. Calor y temperatura 267
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.2. Evaluación de conocimientos previos . . . . . . . . . . . . . . 268
8.3. Calor y temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.3.1. Ley cero de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . 270
8.3.2. ¿Como medimos la temperatura? . . . . . . . . . . . . 270
8.4. Calor espećıfico y capacidad caloŕıfica . . . . . . . . . . . . . . 274
8.5. Fusión y vaporización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.6. Transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.7. Combustibles y alimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.8. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
8.9. Taller experimental: Dilatación lineal. . . . . . . . . . . . . . . 280
8.10. Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.11. Información de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.12. Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9. Fluidos 289
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
9.2. Evaluación de conocimientos previos . . . . . . . . . . . . . . 290
9.3. Propiedades básicas de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.3.1. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.3.2. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.3.3. Gravedad espećıfica ó densidad relativa . . . . . . . . . 293
9.3.4. El peso espećıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.3.5. La Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.3.6. Tensión Superficial y Capilaridad . . . . . . . . . . . . 295
9.3.7. Capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
9.3.8. Presión en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
9.4. Estática de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
9.4.1. Principio de Arqúımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
9.5. Dinámica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
9.5.1. ¿Cómo se mide el flujo? . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
9.6. Taller experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
9.7. Resumen y glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
9.8. Evaluación final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
9.9. Información de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
vi ÍNDICE GENERAL
A. Estad́ıstica y manejo de datos 315
A.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
A.2. Evaluación de conocimientos previos . . . . . . . . . . . . . . 316
A.3. Procesos y variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.3.1. Función densidad y distribuciones discretas. . . . . . . 319
A.3.2. Función densidad y distribuciones continuas . . . . . . 322
A.3.3. Valor medio y desviación estándar . . . . . . . . . . . . 323
A.4. Distribuciones teóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.4.1. Distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
A.4.2. Distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
A.4.3. Distribución Gaussiana o normal . . . . . . . . . . . . 331
A.5. Distribuciones experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
A.5.1. Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
A.5.2. Muestreo y estimación de parámetros . . . . . . . . . 337
A.5.3. La desviación estándar de los promedios . . . . . . . . 340
A.6. Errores en las mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
A.6.1. Propagación de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
A.7. El promedio ponderado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
A.8. Comparación de valores experimentales . . . . . . . . . . . . 350
A.9. Ajuste de curvas: método de los mı́nimos cuadrados . . . . . . 350
A.10.Taller experimental: Histogramas y Distribución de Gauss . . 354
A.10.1.Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
A.10.2.La experiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
A.11.Resumen y glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
A.12.Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
B. Magnitudes y unidades de medida 359
B.1. Factores de conversión de unidades . . . . . . . . . . . . . . . 361
C. Notación cient́ıfica 365
Índice de cuadros
1.1. Relaciones útiles al estudiar movimientos acelerados. . . . . . 46
8.1. Calor especifico de algunas sustancias a 25o y a presión at-
mosférica normal. Nótese el gran valor de calor especifico para
el agua liquida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8.2. Poder caloŕıfico de algunos combustibles y alimentos. . . . . . 279
A.1. 100 mediciones de voltaje realizadas con el mismo equipo den-
tro de la universidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
A.2. Conversión de datos de la tabla A.1 a una tabla de frecuencias,
se ha hecho x = voltaje, la tabla se ha representado gráfica-
mente en la figura A.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
A.3. Tiempos de cáıda obtenidos en la determinación del momento
de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
A.4. Datos tomados de un experimento en el que se pretende de-
terminar la vida media del muón. . . . . . . . . . . . . . . . . 349
B.1. Unidades f́ısicas del sistema internacional (SI), las cantidades
con el simbolo * hacen referencia a magnitudes suplementarias. 360
B.2. Múltiplos y submúltiplos utilizados en las unidades de medida. 360
vii
viii ÍNDICE DE CUADROS
Índice de figuras
1.1. Signo de la aceleración de acuerdo a la elección del sistema
de coordenadas, el cero del sistema se ha situado en el sue-
lo. En (a) el sistema de coordenadas está de tal forma que
aumenta hacia arriba y disminuye hacia abajo, de esta forma
la aceleración, que siempre apunta hacia abajo, tiene el sig-
no negativo. En (b) el sistema de coordenadas aumenta hacia
abajo y disminuye hacia arriba, en este caso la aceleración
tiene el signo positivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2. Gráfico que muestra la posición inicial y final del objeto, el
desplazamientose realiza hacia los valores negativos del eje Z,
y la gravedad es negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3. Disposición del experimento a realizar. El timbre es una rueda
giratoria con un determinado tiempo de giro que posee un
piñon que deja una muestra cada vez que presiona la cinta
contra el papel carbón. El carrito se desliza libremente por el
plano inclinado halando la cinta. No hay presión alguna entre
ell timbre y la cinta. exceptuando cuando se deja la marca por
la presión del carbón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1. Dos elementos para simular sistemas aislados, (a) colchón de
aire bidimensional, (b) colchon de aire unidimensional, denom-
inado también riel de aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2. Montaje experimental para el experimento de segunda ley de
Newton. Se tienen 2 masas diferentes en la cual M1 se encuen-
tra sobre una mesa y está unida a la masa M2 por medio de
una cuerda inextensible y de masa despreciables. La masa M2
se encuentra bajo la acción de la gravedad y le transmite la
fuerza a la masa M1 por medio de la cuerda. . . . . . . . . . 86
ix
x ÍNDICE DE FIGURAS
2.3. Montaje experimental para el experimento de segunda ley de
Newton. Ahora se ha agregado el timbre con el objetivo de
medir la aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1. Máquina de Atwood. (a) muestra el esquema de la máquina,
esta consiste en una polea fija la cual sostiene dos masas difer-
entes por medio de una cuerda inextensible. En (b) se mues-
tran los diagramas de fuerza sobre las dos masas. La fuerza de
tensión es igual sobre las dos masas, sin embargo la fuerza de
gravedad es diferente en cada masa, lo que origina que se tenga
una fuerza neta diferente de cero y por lo tanto un movimiento
de las masas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2. Mesa de Fuerzas: consta de una mesa con un tornillo en el
centro, el cual es concéntrico con marcas sobre la mesa que
permiten medir el ángulo de las masas que penden de ellas.
Cuando el anillo central está en equilibrio sin tocar el tornillo,
podemos decir que el sistema se encuentra en equilibrio. El
número de masas mı́nimo a utilizar es de dos. . . . . . . . . . 125
4.1. El movimiento de una bola se hace alrededor de su centro de
masa, su centro de masa describe un movimiento parabólico
a pesar que las esferas individuales efectúan un movimiento
muy complicado para ser descrito fácilmente. . . . . . . . . . . 146
4.2. Montaje del experimento de conservación del momentum. La
esfera incidente golpea a la esfera blanco y esta última cae
sobre el papel carbo que deja una huella sobre el papel blanco,
de manera que podemos medir la distancia de desplazamiento. 158
6.1. Diversos ejemplos de como se puede tener diferentes valores
de la fuerza y el torque sobre una rueda de radio R. . . . . . . 212
6.2. Torque para una part́ıcula que gira alrededor del eje z con una
velocidad vj a una distancia Rj del eje z, y con una masa mj. 213
6.3. Movimiento de rotación de una part́ıcula en un plano. Los vec-
tores radial Ir y acimutal Iθ son mostrados en la figura, los dos
vectores son mutuamente perpendiculares, y es por ello que el
vector acimutal describe el movimiento de rotación alrededor
del eje, mientras en vector radial describe el movimiento de la
part́ıcula alejándose del eje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
ÍNDICE DE FIGURAS xi
6.4. Montaje experimental para el taller de medición del momento
de inercia. Sobre un tambor rotante de radio r se encuentra un
objeto con momento de inercia I. Un extremo de la cuerda se
encuentra arrollada alrededor del tambor. En el otro extremo
de la cuerda se encuentra atado un objeto de masa m. Cuando
el objeto cae por acción de la gravedad hace que el disco rote
junto con el objeto que tenga sobre él. . . . . . . . . . . . . . 226
7.1. Diagrama de distancia contra tiempo en un movimiento periódi-
co de la forma x(t) = A sin(ωt + δ) . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.2. Velocidad contra tiempo en un movimiento periódico, el peri-
odo T es el mismo que en la gráfica de posición contra tiempo. 240
7.3. Aceleración contra tiempo en un movimiento periódico. . . . . 241
7.4. Diagrama de fuerzas del péndulo simple. La longitud de la
cuerda es l y la masa es m, θ es el ángulo de desplazamiento.
La tensión de la cuerda T y la componente del peso mg cos(θ)
son iguales, de lo contrario el péndulo tendŕıa una cuerda que
se estiraŕıa, lo cual no es la suposición inicial. En el texto se
muestra como en este sistema se encuentra una ecuación de la
forma d
2θ
dt2
= −g
l
θ que corresponde a unn movimiento armónico
simple para pequeñas oscilaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.5. Propagación de una onda como un pulso transversal en una
cuerda en (a). Y como un pulso longitudinal en un resorte en
(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.6. Pendulo f́ısico: la masa M se puede desplazar a lo largo de la
varilla, lo cual hace que el centro de masa del sistema entero
cambie. La varilla tiene una masa m. . . . . . . . . . . . . . . 258
8.1. Montaje experimental para determinar el coeficiente de dilat-
ación lineal del cobre, cada vez que la varilla se dilata y hace
contacto con el tornillo micrométrico, se cierra el circuito y se
enciende el bombillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
xii ÍNDICE DE FIGURAS
9.1. Principio de Pascal. Las fuerzas que actúan sobre una parte
del fluido se transmiten al interior del mismo y al recipiente
que lo contiene. En este caso el embolo ejerce una fuerza F
sobre el área determinada por el contacto entre el embolo y el
fluido, esto define una presión, esta presión es transmitida a
todas las partes del fluido y a las paredes del recipiente. . . . . 292
9.2. Montaje para la medición de la viscosidad de un fluido, P1 y
P2 son las presiones de entrada y salida en los extremos del
tubo. Las flechas representan la velocidad de las moléculas del
ĺıquido dentro del tubo, en los extremos la velocidad es menor
que en el centro del tubo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.3. Tensión superficial en una gota de agua. La gota puede ser
vista como un agregado de moléculas de agua que se atraen
unos a otros, al lado derecho hemos tomado 3 moléculas rep-
resentativas, las dos que se encuentran en el interior soportan
iguales fuerzas por todos los costados, de tal manera que la
suma total de estas fuerzas es cero, pero la molécula 3 que se
encuentra en la superficie no siente estas fuerzas, la diferencia
de fuerzas hace que se genere una tensión en la superficie, de
tal forma que para que la sumatoria de fuerzas sea igual a
cero la única opción que tiene el sistema es ocupar el mı́nimo
posible de volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
9.4. Capilaridad. El comportamiento capilar del agua y del mer-
curio es diferente, esto es debido a la diferencia en la tensión
superficial de los dos fluidos y las fuerzas de adhesión entre el
fluido y el material. En los dos casos la superficie del ĺıquido
se curva, en el agua la fuerza de cohesión entre sus moléculas
es menor que la fuerza de adhesión en la superficie de con-
tacto entre el agua y el vidrio, lo que da lugar a una forma
cóncava. En el caso contrario, el mercurio tiene una fuerza de
cohesión entre sus moléculas mayor que la fuerza de cohesión
entre la superficie mercurio y vidrio, lo cual da lugar a una
forma convexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
9.5. Parámetros que intervienen en la capilaridad. En ángulo β es
el formado por la curvatura del agua dentro del tubo, h es
la altura que alcanza la columna del ĺıquido y r el radio del
capilar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
ÍNDICE DE FIGURAS xiii
9.6. La presión de un fluido en el fondo de un recipiente es igual
a P = ρgh, obsérvese que la presión es independiente del áreadel fondo del recipiente, solamente depende de la profundidad
h del ĺıquido, de la densidad y la gravedad. . . . . . . . . . . . 300
9.7. La presión que se ejerce sobre un fluido se transmite por igual
a todo el fluido y a las paredes del recipiente que lo contienen,
esto permite la creación del elevador hidráulico, que utiliza
este principio de la siguiente forma: a la derecha una persona
se para sobre el sistema en la zona en la cual el area del ele-
vador es muy pequeña, el peso de la persona y la pequeña área
producen una presión muy grande, la cual es transmitida a la
zona en la cual se encuentra la casa, en esta zona el área es
muy grande, y como la presión es la misma, la fuerza resultante
será la suficiente para levantar la casa. El único inconveniente
es que el desplazamiento es pequeño. Este principio se utiliza
en los denominados gatos hidráulicos. . . . . . . . . . . . . . . 302
9.8. Sobre un elemento de ĺıquido, de volumen hA (h es la altura y
A el área de la sección transversal), contenido en un recipiente
de altura H = h+y, las fuerzas que actúan sobre este elemento
son la fuerza producida por la presión superior p0, es decir p0A,
la fuerza de la presión inferior pA, y el peso mg. . . . . . . . 303
9.9. Representación grafica de un esquema de flujo a través de un
tubo cuya sección transversal A varia de A1 hasta A2. P1, V 1,
∆X1 son la presión, la velocidad y la distancia inicial tomadas
como parametros de entrada. P2, V 2 y ∆X2 son las mismas
cantidades pero en la salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
9.10. Tanque con sus dimensiones para el problema 43 . . . . . . . 307
A.1. Ejemplo de dos dados uno perfecto (a) y otro cargado de ma-
nera exagerada (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
A.2. La figura de la izquierda corresponde a una distribución bi-
nomial para 15 intentos con una probabilidad de exito de 0.2.
A la derecha se observa una distribución binomial para 15 in-
tentos con una probabilidad de exito de 0.5. Notese como el
valor mas probable, la media, se ha desplazado al aumentar la
probabilidad, esto debido a que el valor medio es igual a Np. . 327
xiv ÍNDICE DE FIGURAS
A.3. Dos distribuciones de Poisson con medias diferentes, en la mas
alta tenemos una media de 3, mientras que en la mas baja
tenemos una media de 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
A.4. Arriba: Distribución Gaussiana, la relación entre la desviación
estándar (σ) y el FWHM (Full Width at Half-Maximun), note
que el FWHM es mayor que el σ. Abajo: se muestran tres
diferentes distribuciones Gaussianas, la de color negro corre-
sponde a σ = 0,3, la de color rojo corresponde a σ = 0,5 y
la de color azul corresponde a σ = 1, note como la desviación
estándar determina el ancho de la distribución. . . . . . . . . . 332
A.5. Área bajo la curva de la distribución Gaussiana entre difer-
entes ĺımites, en (a) el área se encuentra entre µ + σ y µ− σ,
esta región bajo la curva corresponde a un 68.3% del área to-
tal. Para (b) el área se encuentra entre µ + 2σ y µ − 2σ, esto
corresponde a un área efectiva de aproximadamente el 95.5%.
Para (c) el área se mide entre µ+3σ y µ−3σ que corresponde
a un área total del 99.7%. Notese como la mayor parte del área
se encuentra entre los ĺımites µ + σ y µ − σ. . . . . . . . . . . 334
A.6. Histograma de frecuencias de la tabla A.2. . . . . . . . . . . . 338
A.7. Linea recta que tiene como ecuación y(x) = m x + b, m se
denomina la pendiente, y b es el valor de y(0) = 0. Los puntos
alrededor de la recta son los puntos experimentales. . . . . . . 351
Introducción
Por F́ısica se entiende el estudio de la naturaleza, este concepto es bas-
tante amplio, ya que se ha descubierto que no se pueden trazar fronteras
claras entre ciencias como la f́ısica y la qúımica, por ejemplo. Sin embargo
empezaremos afirmando que en realidad la f́ısica es el estudio de la natu-
raleza.
Históricamente la f́ısica empieza de manera formal con Galileo, el cual
halló relaciones matemáticas en los comportamientos f́ısicos, descubre por
ejemplo que la cáıda de un cuerpo es proporcional al tiempo elevado al
cuadrado. Años mas tarde Isaac Newton con ayuda de una muy poderosa
herramienta, el cálculo, planteaŕıa las tres leyes de Newton, la inercia, fuerza
igual a la variación temporal del momentum y la ley de acción y reacción.
Sin embargo ya en la antigüedad se hab́ıan realizado intentos por sistemati-
zar los conocimientos, los filósofos de la antigua Grecia iniciaron sus estudios
tratando de comprender el funcionamiento de la naturaleza, y Arqúımedes
planteo una serie de principios, el más conocido el de la palanca, para crear
herramientas.
Sin lugar a dudas la historia de las ciencias es muy apasionante, y es
además una guia de la historia y evolución de la sociedad. Cuando Sir.
Isaac Newton escribió su libro “Principios matemáticos de la filosof́ıa
natural”. Se inicia una revolución técnica sin precedentes en la historia, el
hombre empezo a adquirir conocimiento a un ritmo muy acelerado, y desde
esa época no se ha detenido la producción de conocimientos a un ritmo tan
acelerado. Se crean los ingenios, máquinas con principios f́ısicos altamente
optimizadas, y se desarrolla una rama de conocimientos denominada Inge-
nieŕıa, (creación de ingenios). Es por lo tanto muy importante el plantear
una distinción fundamental pero no rigurosa entre la ciencia y la ingenieŕıa,
la ciencia busca conocimientos novedosos y básicos, tratando de compren-
der el funcionamiento de la naturaleza. La ingenieŕıa busca utilizar estos
xv
xvi INTRODUCCIÓN
conocimientos para mejorar la calidad de vida y el bienestar de la sociedad.
A principios del siglo pasado se inicia una nueva revolución cient́ıfica de-
nominada “mecánica cuántica”, que de la mano con la teoŕıa de la relatividad
le dan un nuevo aire a nuestro conocimiento de la naturaleza. También se ini-
cia una gran revolución técnica, una gran mayoŕıa de los equipos que usamos
a diario utilizan principios cuánticos, teléfonos celulares, televisores, relojes y
hasta los nuevos materiales con los cuales se construyen las gafas y lentes de
contacto, o el laser con el cual ahora se realizan operaciones quirúrgicas, las
radioterapias para el cáncer que utilizan materiales radiactivos, o la resonan-
cia magnética nuclear en la exploración del cuerpo. La revolución tecnológica
apenas empieza, nos encontramos en un mundo en continua construcción. Es-
ta es sin lugar a dudas una época interesante.
En la actualidad la f́ısica se ha diversificado en áreas altamente especial-
izadas, entre las cuales tenemos:
Óptica.
Óptica cúantica.
Materia condensada.
Estado sólido.
F́ısica nuclear.
F́ısica de part́ıculas elementales.
Teoŕıa del caos.
Y muchas mas de las cuales trataremos de hablar a lo largo del presente
texto.
A pesar de los avances técnicos y del conocimiento adquirido, los prin-
cipios básicos de la f́ısica continúan intactos. Conceptos como conservación
de la enerǵıa, momentum angular y lineal, se siguen usando tanto en la de-
nominada f́ısica clásica como en la f́ısica moderna. El objeto de el presente
texto es dar una introducción a estos conceptos, los cuales al ser aprendidos
de manera firme y correcta servirán como herramientas fundamentales en el
desarrollo de ingenios y soluciones a la sociedad.
0.1. PRESENTACIÓN xvii
0.1. Presentación
El texto que tiene en sus manos es un texto original, creado para las
carreras de ingenieŕıa de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia
(UNAD). Por ser la educación a distancia un reto para la enseñanza se
ha realizado un esfuerzo por crear un material que facilite y estimule el au-
toaprendizaje. Se espera que además el material sea una referencia a lo largo
de su carrera y su vida profesional.
Encontrará al inicio de cada caṕıtulo una lista de objetivos principales,
una eutoevaluación inicial el texto principal y finalmente una autoevaluaciónde lo visto en el capitulo. No se preocupe si no es capaz de responder las
preguntas de control iniciales, lo que realmente se busca es que usted este en
capacidad de contestarlas cuando termine el caṕıtulo respectivo.
Como objetivos del presente texto tenemos:
0.2. Objetivos generales
1. Introducir conceptos fundamentales de la f́ısica para poder ser aplicados
a la vida profesional.
2. Motivar el aprendisaje y uso de la f́ısica como herramienta vital en el
desarrollo de soluciones en la vida practica.
3. Comprobar experimentalmente algunas leyyes f́ısicas.
0.3. Objetivos espećıficos
1. Dotar al estudiante de herramientas lógicas, tanto f́ısicas como matemáticas,
para el desarrollo de problemas.
2. Motivar al estudiante a presentar de manera clara, rigurosa y concisa
informes de laboratorio, y reportes de trabajo en los cuales utilice la
f́ısica como herramienta.
0.4. Explicación metodológica
A lo largo de cada uno de los caṕıtulos encontrará el siguiente esquema:
xviii INTRODUCCIÓN
1. Introducción: En ella se da una justificación de la existencia del capit-
ulo, además de los conceptos que se aprenderán en el mismo. A pesar
de ser corta se ha buscado que sea lo suficientemente concisa para que
tenga una idea clara de loq ue se está buscando.
2. Evaluación de conocimientos previos: Se realizan en esta parte una serie
de preguntas de control, para averiguar que grado de conocimiento se
posee previamente del tema. Además sirve como guia de los conceptos
que se aprenderán a lo largo del caṕıtulo.
3. Desarrollo del tema: en esta parte se desarrollara el tema correspon-
diente al caṕıtulo. Se hará especial énfasis en el desarrollo de técnicas
matemáticas, además de ejemplos cotidianos para explicar los concep-
tos. Es muy importante que usted se de cuenta de la importancia de las
matemáticas para la f́ısica, es una herramienta, y muy poderosa como
se tratará de hacer ver.
4. Taller experimental: el taller tiene como propósito el aplicar los con-
ceptos aprendidos en una experiencia de laboratorio. Los talleres van
aumentando de dificultad a medida que avanza el texto, se espera que
al final del trabajo usted este en capacidad de crear un taller exper-
imental ideal. Es por eso que último capitulo dedicado a los fluidos
tiene como taller experimental un taller que usted debe crear siguiendo
unas pautas dadas. Lo mas importante es que usted utilice su imagi-
nación para realizar este taller, la imaginación es mas importante que
el conocimiento1.
5. Evaluación: en esta sección se evalúan los conocimientos teóricos apren-
didos, y su capacidad de emplearlos en la solución de problemas. Los
problemas presentados requieren que usted halla léıdo cuidadosamente
el material inicial, se espera que usted pueda solucionarlos todos. Puede
darse el caso de que usted no logre solucionar un problema, en ese caso
es muy importante que tenga en claro el por qué no ha podido solu-
cionarlo y busque ayuda. Cuando no se tiene solución a un problema se
debe tener en claro que es lo que dificulta su solución, y luego buscar
ayuda en los recursos con que se cuenta, personas, libros, internet. En
ocasiones se piensa que por encontrarse en un sitio aislado del mundo
1Frase de Albert Einstein
0.4. EXPLICACIÓN METODOLÓGICA xix
no es posible solucionar los problemas, nuevamente la imaginación es
la solución.
Para el aprendizaje de los conceptos se utilizan como herramientas funda-
mentales la matemática y la experimentación. La matemática involucrada en
el texto se ha desarrollado de tal forma que a la par con el curso de f́ısica se
este tomando un curso de calculo fundamental. Conceptos como derivación
e integración, fundamentales para el desarrollo de la f́ısica, serán muy im-
portantes a lo largo del texto, por lo cual se recomienda dar una mirada a
los textos de matematicas que ha visto en cursos anteriores o actuales. En la
bibliogarfia la referencia [1] encontrará un manual muy completo de formulas
y tablas matemáticas.
Es muy importante que como estudiante se de cuenta desde el principio
de la herramienta que es la matemática, en especial el calculo y la estad́ıstica.
Se ha desarrollado un apéndice sobre estad́ıstica, es algo extenso, pero muy
importante para su vida profesional, y ha sido desarrollado pensando en
alumnos que se enfrenta por primera vez a los conceptos estad́ısticos.
Los ejemplos desarrollados han tratado de ser explicados en detalle, es-
pecialmente los pasos matemáticos, sin embargo es importante que se desar-
rollen de manera independiente los cálculos y los análisis desarrollados a lo
largo del texto.
Al final de cada caṕıtulo encontrará una pequeña sección de palabras
claves para búsqueda en Internet, estas palabras claves se pueden digitar en un
buen buscador de Internet, por ejemplo http://www.google.com, el cual
es el buscador que yo recomiendo. La lista de paginas y textos será extensa,
sin embargo es un buen ejercicio que busque algunas paginas y las abra.
Actualmente internet proporciona una buena guia acerca de un tópico, sin
embargo es solo una guia, y es por ello que usted deberá discriminar y tomar
la información. Es un buen ejercicio.
Además de las palabras claves de Internet al final del caṕıtulo usted en-
contrará una bibliograf́ıa de textos escritos que podrá consultar al final del
texto. Una parte de la bibliograf́ıa se encuentra en ingles, otra parte es en
español. Es importante que empiece a consultar algunos textos en ingles, ya
que esto formará una parte muy importante en su ejercicio profesional. Una
parte de los textos en español son textos como [9] y [20] son textos producidos
en la Universidad Nacional de Colombia.
Cualquier observación acerca del libro se puede realizar al correo elec-
trónico datorresg@universia.net.co. El proceso de escritura y reunión de
xx INTRODUCCIÓN
conceptos es una tarea ardua, y el lograr un texto final perfecto tiene como
base una interacción constante entre las personas que utilizan el texto y el
autor. Es por eso que espero que esta interacción se dé, y a partir de ella
se obtengan beneficios para las futuras ediciones. El beneficio será triple, yo
aprenderé usted aprenderá y los que utilicen el texto en el futuro aprenderán.
Diego Alejandro Torres.
Bogotá, Colombia.
Caṕıtulo 1
Cinemática
1.1. Introducción
La cinemática se encarga de estudiar el movimiento sin preocuparse por
sus causas, fue desarrollada desde la antigüedad, sin embargo los aportes mas
importantes a la cinemática fueron dados por Galileo Galilei e Isaac Newton.
El primero empezó a matematizar los resultados de sus observaciones llegan-
do a conclusiones como que la distancia de cáıda de un cuerpo es proporcional
al cuadrado del tiempo de caida. Newton creó el cálculo, junto con Leibnitz,
y tambien encuentra las fórmulas matemáticas que rigen los movimientos.
El corazón de la f́ısica es la mecánica, por ello para poder entender de
manera mucho mas amplia los conceptos f́ısicos, es importante tener una
herramienta muy poderosa, la matemática, por ello al inicio de esta unidad
lo que haremos es desarrollar rápidamente algunas herramientas matemáticas
que sin lugar a dudas usará a lo largo de su vida profesional.
1.2. Evaluación de conceptos previos
1. ¿Como se puede definir movimiento?.
2. ¿Qué es una magnitud escalar y una vectorial?.
3. ¿En donde se utilizan los veloćımetros?.
4. ¿Qué es acelerar?.
5. ¿Qué es frenar?.
1
2 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
1.3. Vectores
Utilizando los vectores las leyes de la f́ısica pueden ser escritas en una
forma mas compacta, para ello vamos a ver la famosa segunda ley de Newton,
en la notación corriente se puede escribir
Fx = max
Fy = may
Fz = maz.
(1.1)
En notación de vectores simplemente escribimos
F = ma,
en donde las letras en negrilla simbolizan los vectores. La principal razón
por la cual se introducen los vectores es por que simplifica la notación, mas
adelante se vera que son útilestambién por sus propiedades.
1.3.1. Definición de vector y operaciones
Un vector es un ente matemático que posee magnitud y dirección ,
además posee propiedades como la suma, resta, multiplicación por un escalar
y dos tipos de producto el interno y el producto cruz. Un vector puede ser
representado por un segmento de recta, o una flecha, en un espacio. Por
ejemplo las flechas mostradas a continuación representan vectores.
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
1.3. VECTORES 3
Algo ha notar en la figura anterior es que se han ubicado los vectores
dentro de un sistema de coordenadas, esto nos permite identificar su
magnitud y su dirección. Es usual notar los vectores o por letras en negrilla
(A), o por la letra y encima un śımbolo de flecha ~A, en este texto utilizaremos
las negrillas para identificar vectores.
Los vectores tienen en común ciertas propiedades con lo números natu-
rales, por ejemplo en la suma, sin embargo son un poco mas completos para
describir ciertas caracteŕısticas f́ısicas. Cuando hablamos de los vectores co-
mo entes matemáticos nos referimos a que con ellos podemos efectuar op-
eraciones. Por ejemplo la suma y la resta de vectores nos da otro vector, el
producto interno nos da por el contrario un número real, y el producto cruz
nos da otro vector. Las dos caracteŕısticas mas importantes de un vector son
su magnitud y su dirección.
Magnitud: Es la longitud del vector, o la flecha. La magnitud de un
vector A se indica por |A|. Si la magnitud de A es
√
3 entonces se dice que
|A| =
√
3. La magnitud de un vector es un número real.
Dirección: Se refiere hacia donde apunta la flecha del vector,norte-sur,
oriente-occidente, etc..
Es usual agregar otra caracteŕıstica denominada sentido, que se refiere a
la linea recta sobre la cual se encuentra el vector, sin embargo desde el punto
de vista f́ısico solo nos interesa la magnitud y la dirección.
Si deseamos describir claramente una cantidad vectorial, debemos decir
su magnitud y su dirección. Por ejemplo la velocidad es una magnitud vecto-
rial, y para describirla debemos decir su magnitud (700 km/h por ejemplo),
y su dirección (norte-sur por ejemplo); es por ello que los aviones tiene un
veloćımetro, que indica la velocidad del avión con respecto a la tierra y
su dirección, por el contrario lo carros no poseen veloćımetro, solo poseen
rapidómetro que es el que mide la rapidez, es decir la magnitud de la
velocidad.
Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y direc-
ción. Esto se representa por,
A = C (1.2)
Si la longitud de un vector es igual a la unidad, entonces se dice que este
vector es unitario, un vector unitario se nota como Â. Además se dice que
para un vector A existe un vector unitario paralelo Â, tal que
 =
A
|A| , (1.3)
4 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
es decir que se puede encontrar un vector unitario a partir de cualquier vector,
simplemente es dividir por su magnitud. Y de manera inversa todo vector
A puede ser expresado como la multiplicación de su magnitud |A| por un
vector unitario en la misma dirección Â.
A = |A|Â. (1.4)
1.3.2. Algebra de vectores
Multiplicación por un escalar
Como vimos en la última parte un vector puede ser multiplicado por una
cantidad escalar, una magnitud real en este caso. Es decir sea un vector
cualquiera A y una cantidad escalar d, podemos crear otro vector tal que
C = d|A| (1.5)
Un caso interesante es multiplicar el vector por -1, en este caso el resultado
es otro vector con la misma magnitud pero dirección opuesta (antiparalela)
al vector original. En el siguiente diagrama expresamos lo anterior
−1× =
Si el escalar por el cual se multiplica es negativo y diferente de -1, entonces
lo que se está cambiando es tanto la magnitud como la dirección. Solamente
los escalares negativos pueden cambiar la dirección de un vector.
Suma de vectores
La suma de vectores posee una interpretación geométrica simple, si se
tienen dos vectores A y B, la suma A + B es equivalente a colocar en la
punta del vector A la cola del vector B, o colocar en la punta del vector B la
cola del vector A, y unir la cola del primer vector con la punta del segundo.
Esto se muestra en el siguiente diagrama.
1.3. VECTORES 5
+ = =A
B
A
B
A
B
A + B A + B
A la propiedad según la cual A + B = B + A se le denomina conmuta-
tividad.
Resta de vectores
Para la resta de vectores podemos utilizar las dos operaciones antes vis-
tas, la multiplicación por -1 y la suma, ya que cuando hacemos A − B =
A + (−1B), y la interpretación es que del vector A estamos substrayendo el
vector B. En este caso lo que se hace es colocar la cabeza del vector B con la
cabeza del vector A, y finalmente unir las dos colas. Lo anterior se muestra
a continuación.
=A
B
−B
A
−B
A + (−B)
A
−B
A + (−B)
Como se ha visto hasta ahora se pueden utilizar argumentos geométri-
cos para comprobar las operaciones vectoriales. Las siguientes leyes también
pueden ser probadas geométricamente, y se dejarán como ejercicio al estudi-
ante.
A + B = B + A Ley conmutativa (1.6)
(A + B) + c = A + (B + C) Ley asociativa (1.7)
c(dA) = (cd)A Ley asociativa (1.8)
(c + d)A = cA + dB Ley distributiva (1.9)
cA + B = cA + cB Ley distributiva (1.10)
6 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
Producto escalar
Como ya hab́ıamos mencionado existen dos tipos de productos, el escalar
y el cruz. El producto escalar también es llamado producto punto. Este tipo
de producto se denota A · B, y es definido por
A · B ≡ |A||B| cos(θAB). (1.11)
Aqui cos(θAB) es el coseno del angulo que forman los vectores A y B.
La cantidad |B cos(θAB)| se puede interpretar como la proyección del vec-
tor B a lo largo de la dirección del vector A, es decir que es una medida
de que parte del vector B se encuentra en la misma dirección del vector B,
como se muestra en los siguientes diagramas.
A
−B
A
−B
Proyección de B en A.
Si A · B = 0, significa que ó A = 0, ó B = 0, ó que los dos vectores
son perpendiculares, es decir que el angulo que forman es de 90o, ya que
cos(90) = 0.
Otro resultado importante es que A · A = |B|2. Es importante resaltar
que el resultado del producto interno de dos vectores es siempre un escalar.
Ejemplo 1 La ley de los cosenos: Esta ley tiene una demostración muy
simple con ayuda del producto interno.
C = A + B
C · C = (A + B) · (A + B)
|C|2 = |A|2 + |B|2 + 2|A||B| cos(θAB)
(1.12)
Ejemplo 2 El trabajo como producto interno: El concepto de trabajo
es definido a part́ır del producto interno entre dos vectores, que representan
1.3. VECTORES 7
cantidades f́ısicas, la fuerza y el desplazamiento. Cuando empujamos una
caja por medio de una cuerda con una fuerza F a lo largo de un trayecto
que puede ser descrito por un vector d, por ejemplo un camino de un metro
en linea recta, la fuerza actuara según el ángulo que exista entre la fuerza
aplicada y la dirección de movimiento. De esta forma el trabajo W se define
W = F · d = |F||d| cos(θFd) (1.13)
Este trabajo es igual a la enerǵıa que se emplea en mover la caja, por ello
para mover la caja de una manera mas eficiente es preferible empujarla en
la misma dirección del movimiento, ya que en este caso cos(0) = 1.
F
F
θFd
En el anterior diagrama se ve que es preferible efectuar la fuerza para arras-
trar la caja en la misma dirección del desplazamiento que en otra dirección.
El producto Cruz
Este es el segundo tipo de producto entre vectores, a diferencia del pro-
ducto punto el resultado de este producto es otro vector. Se denota como
C = A × B (1.14)
La magnitud de este nuevo vector es definida como
|C| = |A||B| sin(θAB) (1.15)
En donde θAB es el angulo entre los vectores A y B. Para eliminar problemas
en la definición de este angulo, θ siempre se toma como el angulo mas pequeño
que 180o ó π radianes.
Geométricamente los vectores A y B forman un plano, y al colocarlos cola
con cola el vector resultante C = A × B es perpendicular al plano formado
por los vectores A y B. Como se observa en el siguiente diagrama.
8 CAPÍTULO1. CINEMÁTICA
�
�
�
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZ~
6
A
B
C
De la definición de producto cruz tenemos que,
A × B = −B × A (1.16)
Es decir que el producto cruz no es conmutativo, cuando se tiene que el
producto tiene signo contrario al invertir los factores se dice que es anticon-
mutativo.
Si los dos vectores forman un ángulo de 0o, entonces el producto es un
vector nulo, por ejemplo el producto cruz de un vector consigo mismo es nulo,
ya que los dos vectores forman un ángulo de cero.
A× A = 0. (1.17)
Ejemplo 3 El producto cruz en f́ısica: Una importante aplicación del
producto cruz es la descripción del movimiento de una part́ıcula cargada
eléctricamente en un campo magnético. La fuerza es proporcional a la carga
eléctrica de la part́ıcula, que denotamos como q, al campo magnético el cual
esta descrito por medio de un vector B, y a la velocidad que está descrita
por un vector v. Se ha encontrado que esta fuerza es proporcional al seno del
angulo que forman los vectores velocidad y campo magnético, por lo cual se
describe como
F = qv × B. (1.18)
De la ecuación (1.18) podemos extraer información muy importante:
La fuerza es proporcional a la carga eléctrica, por lo tanto una part́ıcula
que no tenga carga no siente algún tipo de efecto por esta fuerza.
1.3. VECTORES 9
La fuerza se hace presente cuando hay una velocidad diferente de cero
y un campo magnético.
El movimiento se realiza en tres dimensiones, ya que la velocidad v y
el campo magnético B forman un plano, y la fuerza es perpendicular a
el plano formado.
Es muy importante el empezar a realizar este tipo de análisis f́ısico sobre
las ecuaciones, ya que de esta forma podemos extraer mucha información
utilizando poco espacio de papel.
1.3.3. Componentes de un vector y sistemas de coor-
denadas
Hasta el momento hemos introducido los vectores sin hacer referencia
a un sistema de coordenadas, es decir no los hemos ubicado dentro de un
sistema que facilite saber su dirección y magnitud. Ahora realizaremos esta
introducción, ya que los sistemas de coordenadas son los que nos permiten
aplicar toda la herramienta de los vectores a los casos f́ısicos reales.
Un sistema de coordenadas puede ser unidimensional (de una dimensión
como la linea recta), bidimensional (un plano) o tridimensional (el espacio).
Existen sistemas de coordenadas mas complejos de una mayor cantidad de
dimensiones, hablaremos de ellos en una corta sección de f́ısica moderna,
sin embargo en la ingenieŕıa corriente es suficiente con sistemas de hasta tres
dimensiones. A continuación mostramos ejemplos de sistemas de coordenadas
de una dimensión (a), dos dimensiones (b) y tres dimensiones (c).
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6
-
6
-
�
�
�
�
��	
(a) (b) (c)
0 1 2-1-2
1 2
2
x
y
1
0
x
y
z
0
10 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
En los diagramas anteriores se observa que cada eje está rotulado con
el nombre del eje principal, x, y o z, y además tiene marcas que indican la
distancia al origen. Un vector se suele colocar en algun tipo de sistema de
coordenadas, la cola del vector se coloca en el origen, y la punta en algún
lugar del sistema donde sea conveniente. De esta forma para un vector bidi-
mensional tenemos solamente que indicar las coordenadas de la punta de la
forma
A = (Ax, Ay), (1.19)
y en el caso de un vector tridimensional
A = (Ax, Ay, Az). (1.20)
De esta forma estamos dando información acerca de la dirección del vector.
La magnitud del vector la podemos hallar por medio de las formulas
|A| =
√
A2x + A
2
y → Sistema bidimensional (1.21)
|A| =
√
A2x + A
2
y + A
2
z → Sistema tridimensional. (1.22)
Y de esta forma damos información de la magnitud del vector.
Decimos que dos vectores son iguales si
A = B
(Ax, Ay, Az) = (Bx, By, Bz),
es decir que Ax = Bx, Ay = By y Az = Bz. Dos vectores son iguales si
lo son componente a componente.
La multiplicación por un escalar es de la forma
cA = (c · Ax, c · Ay) → Caso bidimensional (1.23)
cA = (c · Ax, c · Ay, c · Az) → Caso tridimensional. (1.24)
La suma de vectores se realiza sumando componente a componente,
A + B = (Ax + Bx, Ay + By) → Caso bidimensional (1.25)
A + B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz) → Caso tridimensional.(1.26)
El producto punto es de la forma
A · B = (Ax · Bx, Ay · By) → Caso bidimensional (1.27)
A ·B = (Ax · Bx, Ay · By, Az · Bz) → Caso tridimensional. (1.28)
1.3. VECTORES 11
Para definir el producto cruz vamos primero a definir los vectores base.
Estos vectores base son un conjunto de vectores ortogonales, es decir que su
producto punto es igual a cero, unitarios, es decir que su longitud es igual a
la unidad, y que se encuentran en las direcciones de cada eje.
A el vector base a lo largo del eje x se le nota como î = (1, 0, 0), a lo largo
del eje y se le nota como ĵ = (0, 1, 0) y a lo largo del eje z se le nota como
î = (0, 0, 1).
De esta forma los vectores base tienen las siguientes propiedades:
î · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1
î · ĵ = ĵ · k̂ = k̂ · î
î × ĵ = k̂ (1.29)
ĵ × k̂ = î
k̂ × î = ĵ.
Una representación gáfica de los vectores base la vemos a continuación.
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-
�
��	
6
-
�
�
�
�
�
�
�
��	
x
y
z
0î
ĵ
k̂
Cualquier vector lo podemos escribir en términos de los vectores base,
A = (Ax, Ay, Az)
A = Axî + Ay ĵ + Azk̂
A = Ax(1, 0, 0) + Ay(0, 1, 0) + Az(0, 0, 1)
12 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
Si queremos encontrar la magnitud de una componente del vector, sola-
mente tenemos que realizar el producto punto entre el vector y el vector base
a lo largo de esa componente,
Az = A · k̂
Az = (Ax, Ay, Az) · (0, 0, 1)
Az = (Ax · 0) + (Ay · 0) + (Az · 1) (1.30)
Az = Az
Con los vectores base es fácil definir el producto cruz,
A × B = (Axî + Ay ĵ + Azk̂) × (Bxî + By ĵ + Bzk̂)
= î(AyBz − AzBy) − ĵ(AxBz − AzBx) + k̂(AxBy − AyBx)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
î ĵ k̂
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣
∣
∣
∣
∣
∣
. (1.31)
La útima matriz es una forma de notar el producto interno.
Ejemplo 4 Álgebra de vectores: Sean los vectores (1,3,6) y (3,-2,4),
ub́ıquelos en un diagrama tridimensional, obtenga la suma, la resta, el pro-
ducto interno, y los vectores posibles por medio del producto cruz.
El diagrama tridimensional lo puede realizar el lector muy fácilmente.
La suma vectorial es para la convención de vectores a = (1, 3, 6) y
b = (3,−2, 4), de la forma
a + b = (1, 3, 6) + (3,−2, 4)
= (4, 1, 10)
b + a = (3,−2, 4) + (1, 3, 6)
= (4, 1, 10)
De manera que a + b = b + a.
La resta es de la forma
a − b = (1, 3, 6)− (3,−2, 4)
= (−2, 5, 2)
b − a = (3,−2, 4) − (1, 3, 6)
= (2,−5,−2)
1.4. EL CONCEPTO RAZÓN DE CAMBIO 13
De esta forma se ve que a − b = −(b − a), el resultado es un vector
de igual magnitud, pero que apunta en dirección contraria, observe el
signo menos
El producto interno es de la forma:
a · b = (1, 3, 6) · (3,−2, 4)
= 3 + (−6) + 24 = 21
b · a = ·(3,−2, 4) · (1, 3, 6)
= 3 + (−6) + 24 = 21
El producto cruz es de la forma
a × b =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
î ĵ k̂
1 3 6
3 −2 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (12 − (−12))̂i − (4 − 18)̂j + (−2 − 9)k̂
= 24̂i + 14̂j − 11̂i
= (24, 14,−11)
b × a =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
î ĵ k̂
3 −2 4
1 3 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (−12 − 12)̂i − (18 − 4)̂j + (9 − (−2))
= −24̂i − 14̂j + 11k̂
= (−24,−14, 11)
El vector a× b es diferente al b× a, apuntan en direcciones opuestas,
como se ve del signo menos.
1.4. El concepto razón de cambio
En nuestra vida cotidiana vemos como los eventos transcurren en el tiem-
po, la cáıda de las hojas, el movimiento de los carros, el movimiento de las
manecillas del reloj. Todos estos fenómenos implican movimiento, y para que
14 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
este movimiento se realice es importante que transcurra un tiempo determi-
nado. El concepto de cambio, ya sea en la posición, o en el estado de algo,
está intimamente ligado a que el tiempo transcurra.
Se define la razón de cambio de una cantidad cualquiera, como la división
del cambio en la cantidad sobre el tiempo transcurrido en realizar el cambio,
Razón de cambiode una cantidad =
Cambio de la cantidad
T iempotranscurridoenelcambio
(1.32)
Supongamos que una persona se mueve en una plaza desde el punto (0,0)
hasta el punto (5,3) en 10 segundos, vamos a suponer que estas medidas
están en metros y que el movimiento lo realiza en ĺınea recta. De esta forma la
distancia total recorrida puede ser representada por un vector desplazamiento
de la siguiente forma
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
x(m)
y(m)
(4,3)
A
La magnitud del desplazamiento es
|A| =
√
42 + 32 =
√
25 = 5 metros (1.33)
Este desplazamiento se realizo en 10 segundos, y nosotros deseamos conocer
la razón de cambio de la distancia, es decir la velocidad promedio,
Velocidad promedio =
Cambio en la posición
Tiempo transcurrido en cambiar la posición
=
5 metros
10 segundos
= 0,5m/s. (1.34)
El concepto razón de cambio es uno de los mas importantes en la f́ısica.
Ya vimos cómo la razón de cambio del desplazamiento es la velocidad, de
1.4. EL CONCEPTO RAZÓN DE CAMBIO 15
la misma forma la razón de cambio de la velocidad es la denominada acel-
eración. A lo largo del texto haremos mención a otras importantes razones
de cambio, lo importante es tener en claro que toda magnitud que cambia en
el tiempo tiene asociada una razón de cambio.
La razón de cambio de una magnitud nos esta dando una medida de como
esta cantidad está cambiando en el tiempo. Para el ejemplo de la velocidad
promedio, vemos como si el tiempo empleado hubiese sido menor, por ejemplo
5 segundos, la velocidad hubiese sido mayor,
V =
5m
5s
= 1m/s.
O si por ejemplo hubiésemos recorrido el doble de distancia en el mismo
tiempo, también hubiésemos necesitado una velocidad mayor para lograr esto.
De esta forma la razón de cambio nos da una medida de como está evolu-
cionando una cantidad en el tiempo, y nos permite comparar con cantidades
similares. Por ejemplo cuando se están realizando mediciones de el peso de
dos niños que nacieron el mismo d́ıa, es muy conveniente mirar la manera
como aumenta el peso a lo largo del tiempo. De esta manera podemos definir
Evolución del peso =
Cambio en el peso
Tiempo empleado en cambiar el peso
. (1.35)
Se puede observar que el niño que tenga una mayor medida en la evolución
del peso, pesará mas a medida que transcurra el tiempo.
Se suele notar los cambios en magnitudes por medio de la letra griega
(∆). Por ejemplo la razón de cambio de la posición, la velocidad promedio,
se suele notar como,
Velocidad promedio =
Cambio en la posición
Tiempo transcurrido en cambiar la posición
=
x(t2) − x(t1)
t2 − t1
(1.36)
=
∆x
∆t
.
En donde x(t1) se refiere a la ubicación del vector posición en el tiempo
t1, x(t2) se refiere a la ubicación del vector posición en el tiempo t2. Se ha
realizado la resta de los dos vectores, lo cual da como resultado otro vector,
y se ha dividido este nuevo vector por un escalar, el intervalo de tiempo
transcurrido. De esta forma vemos como la velocidad es también un vector.
16 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
Ahora podemos pasar a estudiar dos conceptos muy importantes, la ve-
locidad y la aceleración.
1.5. Velocidad y aceleración
Como ya hemos visto el desplazamiento de un objeto puede ser descrito
por un vector, y para ello nos valemos de un sistema de coordenadas. Este
sistema de coordenadas lo vamos a elegir en tres dimensiones, con ejes x, y,
z. Y vamos a colocar este sistema de coordenadas de tal manera que descri-
ba un Sistema de referencia, por ejemplo colocamos nuestro sistema de
coordenadas dentro de una habitación en donde realizamos nuestros experi-
mentos, de esta forma podemos describir el mundo f́ısico, ubicando sistemas
de coordenadas adecuadamente dentro de los sistemas de referencia que de-
seamos estudiar. Por ejemplo podemos estudiar el movimiento de una pelota
negra dentro de un cuarto, como se muestra en el siguiente dibujo.
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6
-
x
y
z
En f́ısica se ubican los sistemas de referencia convenientemente, dentro
de un átomo, dentro de un automóvil, en una galaxia, etc... de manera que
1.5. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 17
podamos estudiar de manera mas fácil el comportamiento de la naturaleza.
¿Puede el lector imaginar como describir un movimiento sin un sistema de
referencia?.
La ubicación de la pelota dentro del cuarto puede describirse por medio
de tres coordenadas (x1, y1, z1), y si esta se desplaza se necesitan otras tres
coordenadas para describir el movimiento (x2, y2, z2), de esta manera el vector
desplazamiento comienza en (x1, y1, z1) y termina en (x2, y2, z2). Para hallar
la distancia total recorrida tenemos que restar la posición final menos la
posición inicial,
(x2, y2, z2) − (x1, y1, z1) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1). (1.37)
La magnitud del desplazamiento es la magnitud del anterior vector
Desplazamiento =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
S = AFinal − AInicial. (1.38)
De manera que podemos definir el desplazamiento como1:
El desplazamiento es la diferencia entre la posición inicial y la final.
En la siguiente figura se notan los vectores implicados en el desplazami-
ento, el vector con lineas de puntos es el vector desplazamiento resultante,
la magnitud del vector desplazamiento resultante dividido por el tiempo que
dura el desplazamiento es denominada rapidez . La rapidez es la magnitud
del vector velocidad.
1Se suele notar el desplazamiento por la letra s, la velocidad por la letra v y la acel-
eración por la letra a.
18 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
y(m)
z(m)
x(m)
(x1, y1, z1)
(x2, y2, z2)
De esta forma hemos visto la importancia de definir un sistema de refe-
rencia para realizar un estudio sobre un sistema f́ısico. En el caso de la tierra
esta se mueve con respecto al sol, sin embargo para efectos prácticos los ex-
perimentos en la tierra toman como sistema de referencia la tierra misma, y
suponen que esta se encuentra en reposo.
Cuando estudiamos sistemas en movimiento es importante definir un sis-
tema de referencia tal que se vea claramente el movimiento que el objeto
bajo estudio describe.
1.5.1. Definición de velocidad y aceleración
Podemos definir la velocidad como
La velocidad es la razón de cambio del desplazamiento.
Es decir que la velocidad nos esta dando información acerca de que tan
rapido está cambiando un objeto su posición en el espacio. La velocidad es
una cantidad vectorial, por lo tanto tiene magnitud y sentido. A la magnitud
de la velocidad se le denomina rapidez.
1.5. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 19
La velocidad promedio v̄ de un punto que se mueve entre los tiempos
t1 y t2 es definida por
2
v̄ =
x(t2) − x(t1)
t2 − t1
=
∆x
∆t
(1.39)
La velocidad instantánea v es el ĺımite de la velocidad promedio cuando
el intervalo de tiempo se aproxima a cero.
v = ĺım
∆t→0
x (t1 + ∆t) − x (t1)
∆t
=
ds
dx
. (1.40)
En los cursos de cálculo a esta cantidad se de denomina la derivada del
desplazamiento con respecto al tiempo, y se le nota como ds
dt
. Por ello se dice
que la velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto del tiempo.
Existe una diferencia entre la velocidad promedio y la velocidad instantánea.
la velocidad promedio es la velocidad que en “promedio” tiene un cuerpo
despues de realizar un recorrido cualquiera, por ejemplo si dos pueblos están
separados 2 kilometros y una persona invierte 20 minutos en ir de un pueblo
al otro decimos que la velocidad promedio de la persona fue
Velocidad promedio =
2km
20minuto
= 0,1km/minuto = 100metros/minuto,
(1.41)
ya que un kilómetro son mil metros. Sin embargo durante el trayecto es
posible que la persona se haya detenido unos minutos a descansar, o halla
corrido un poco, la velocidad instantánea se refiere a la velocidad que lleva esa
persona en un instante determinado. Una buena aproximación a la velocidad
instantánea es el rapidómetro del carro, el cual nos marca la velocidad en un
instante determinado del trayecto.
Las unidades de la velocidad son distancia
tiempo
, y se suele mediren metros/segundo =
m/s, kilómetros/hora = km/h, etc... de acuerdo a las medidas mas conve-
nientes. Es muy importante realizar un análisis de unidades en las ecuaciones,
para verificar que se están realizando corréctamente los cálculos, por ejem-
plo si se encuentra que la velocidad se está midiendo en m/s2, entonces las
unidades están mal, por lo que hay que revisar los cálculos.
De manera similar podemos definir la aceleración como:
La aceleración es la razón de cambio de la velocidad.
2Se suele utilizar la barra, f̄ , para indicar el promedio de una cantidad.
20 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
La aceleración nos está dando información de como cambia la velocidad con
respecto al tiempo. Una gran aceleración significa que se obtiene una mayor
velocidad en menor cantidad de tiempo.
Se define la aceleración instantánea como el limite cuando el intervalo
de tiempo tiende a cero.
a = ĺım
∆t→0
v (t1 + ∆t) − v (t1)
∆t
=
dv
dt
. (1.42)
De nuevo en cálculo se dice que la aceleración es la derivada de la velocidad
con respecto del tiempo, y se denota por dv
dt
.
Las unidades de la aceleración son velocidad
tiempo
= distancia
tiempo2
, y se suelen utilizar
las unidades m/s2 ó km/h2.
Si el movimiento se realiza en una sola dirección, podemos ubicar nuestro
sistema de coordenadas con el eje x a lo largo de esta dirección, y tratar el
movimiento de una forma unidimensional. Este será el tema de la siguiente
subsección.
Ejemplo 5 Una gota de agua se desprende de una nube y dos segundos
despues lleva una velocidad de 28 m/s. ¿Cuál es la aceleración media durante
ese periodo?.
a =
(vf − vi)
tf − ti
k̂
=
−28m/s − 0m/s
2s − 0s k̂
= −14 m/s2
El signo negativo indica que la dirección de la aceleración es diriguida hacia
abajo.
Ejemplo 6 Un cuerpo se lanza hacia abajo. Su posición en función del tiem-
po está dada por y(t) = −1−2t−5t3, en donde y(t) está en metros y t está en
segundos.
Una gráfica de posición contra tiempo se observa a continuación.
1.6. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 21
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
−1000
−2000
−3000
−4000
t[s]
y(t)[m]
El movimiento se efectúa siempre hacia el lado negativo del eje y.
La velocidad en función del tiempo se encuentra mediante la derivada:
v(t) =
df(t)
dt
= −2 − 15t2
(1.43)
La aceleración en función del tiempo se encuentra por medio de la deriva-
da de la velocidad.
a(t) =
dv(t)
dt
= −30t
(1.44)
Es una aceleración negativa, lo que indica que el cambio en la aceleración
se produce en la misma dirección que el cambio en la velocidad. De manera
similar la posición y la aceleración poseen el mismo signo.
1.6. Movimiento en una dimensión
Hasta el momento hemos visto el movimiento de una forma general,
ubicándolo en un sistema tridimensional. Ahora estudiaremos la forma mas
simple de movimiento, el movimiento a lo largo de una ĺınea recta. Una lin-
ea recta posee una sola dimensión, es por esto que es usual denominar al
movimiento en una dimensión movimiento lineal.
22 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
Existen dos tipos principales de movimiento, con velocidad constante y
con aceleración constante, lo que no significa que no existan mas, sin embargo
el estudio de estos dos nos permitirá entender una diversidad de fenómenos
f́ısicos.
1.6.1. Movimiento a velocidad constante
Este movimiento se realiza a lo largo de una linea recta como la siguiente,
x0 x1 x2 x3−x1−x2−x3
Cuando decimos que un movimiento se efectúa con velocidad constante,
estamos afirmando que la magnitud y la dirección de la velocidad no cambian
con el tiempo. Es muy importante notar el hecho que la velocidad cambia
cuando cambia ó su rapidez ó su dirección. Vamos a calcular la razón de
cambio de la velocidad, es decir la aceleración, de un movimiento a velocidad
constante.
a =
v(t2) − v(t1)
t2 − t1
=
v(t1) − v(t1)
t2 − t1
=
0
t2 − t1
= 0. (1.45)
Por lo tanto podemos afirmar que:
Un movimiento es a velocidad constante si su aceleración es igual a cero .
¿Cómo podemos predecir la posición de un cuerpo que se mueve a veloci-
dad constante?, para ello utilizamos la definición de velocidad.
v =
x(t1) − x(t0)
t1 − t0
v =
x(t1) − x(t0)
∆t
v∆t = x(t1) − x(t0)
v∆t + x(t0) = x(t1)
Generalmente el tiempo inicial t0 se toma como cero, el tiempo final t1 se
toma como t y la posición inicial se nota como x0. De esta forma llegamos
a una de las ecuaciones de la cinemática , la ecuación de desplazamiento a
velocidad constante
x(t) = x0 + vt (1.46)
1.6. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 23
La ecuación (1.46) es una función del desplazamiento como función del
tiempo, y la velocidad v nos dice la razón de cambio de la distancia
con respecto al tiempo.
El signo de la velocidad en la ecuación (1.46) nos indica la dirección
de movimiento, por convención si el movimiento se realiza a lo largo de
una recta horizontal el signo es positivo si la dirección del movimiento
es de izquierda a derecha, y es negativo si el movimiento es de derecha
a izquierda.
x0
Signo de la velocidad positivo
Signo de la velocidad negativo
De la misma forma por convención si el movimiento se realiza verti-
calmente, la velocidad es positiva si la dirección del movimiento es de
abajo para arriba, y negativa si la dirección del movimiento es de arriba
para abajo.
y0
Signo de la velocidad positivoSigno de la velocidad negativo
En este caso es usual notar a los movimientos verticales con la letra y.
Estas convenciones también son aplicables a la aceleración.
24 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
Si la velocidad v = 0, entonces tenemos que la posición inicial es igual
a la posición final, x(t) = x0, esto es lógico, un objeto que no posee
velocidad no se mueve y permanecerá en su posición inicial durante
todo el tiempo.
El termino x0 hace referencia a la posición inicial del cuerpo en un
tiempo t = 0, este termino es constante y se suele tomar como cero, es
decir que se ubica el origen de coordenadas en el sitio exacto donde se
inicia el movimiento. De esta forma la ecuación de movimiento es x(t) =
vt. Esta ecuación es bastante usada a diario, cuando vamos en un carro
y vemos el rapidómetro3 del carro marcar 60 km/h, generalmente
pensamos que en una hora habremos recorrido 60 kilómetros.
Gráficamente un movimiento a velocidad constante puede ser representa-
do en un diagrama de Desplazamiento (x) contra tiempo (t) de la siguiente
forma.
x2 − x1
t4 − t2
x(t) = x0 + vt
Ecuación de movimiento
Velocidad
v = x2−x1
t2−t1
�
�
t
x
t0 t1 t2 t3 t4
x0
x1
x2
x3
(t2, x1)
(t4, x2)
Algunas observaciones con respecto a la gráfica son:
En el plano Desplazamiento contra Tiempo, si el movimiento es a ve-
locidad constante, la gráfica es una ĺınea recta.
En el gráfico hemos colocado en el tiempo inicial t0 la ubicación ini-
cial x0, es decir el punto (t0, x0), es usual colocar estos puntos como
(t0, x0) = (0, 0).
3Recordemos que los carros tiene rapidómetro y no veloćımetro, ya que ellos miden la
magnitud de la velocidad pero no su dirección.
1.6. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 25
En una gráfica de distancia contra tiempo la pendiente de
la recta es la velocidad . Cuando la gráfica es una ĺınea recta, esta
pendiente es independiente de la forma como la medimos, esto se debe
a que el movimiento se realiza a velocidad constante.
Ya vimos que la aceleración en un movimiento a velocidad constante es
igual a cero, ahora veamos la gráfica de velocidad contra tiempo.
v0
t3 − t0
Ecuación de movimiento
v(t) = v0
Aceleración
a = v0−v0
t3−t0
= 0
� �
t
v
t0 t1 t2 t3 t4
0
v0
En la gráfica anterior tenemos
La pendiente de la curva de velocidad contra tiempo es la
aceleración.
La velocidad permanece constate en la gráfica, v0, por esto la pendiente
es cero, es decir que la aceleración es cero.
El área bajo la curva desde t0 hasta t3 es igual a,
área = v0 × (t3 − t0),
de manera general el área es igual a v0∆t = v0t, es decir que salvo
la posición inicial, que podemos hacer igual a cero, el áreabajo la
curva de la gráfica de velocidad contra tiempo es igual al des-
plazamiento.
1.6.2. Movimiento a aceleración constante
Para comenzar esta parte es importante notar lo siguiente:
26 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
Siempre que hay un cambio en la velocidad hay una ace-
leración diferente de cero.
Todo cambio en la velocidad implica un cambio en la aceleración. El movimien-
to uniformemente acelerado es el mas simple de estudiar en cuanto a acel-
eración, sin embargo la aceleración también puede variar, y es importante
saberlo, a la razón de cambio de la aceleración se le denomina hertz, aunque
es una cantidad poco usada.
‘?Como podemos predecir la velocidad de un cuerpo a partir de su acel-
eración?, para ello nuevamente utilizamos la definición de aceleración,
a =
v(t1) − v(t0)
t1 − t0
a(t1 − t0) = v(t1) − v(t0) (1.47)
a(t1 − t0) + v(t0) = v(t1).
Como el tiempo es un parámetro podemos hacer la cantidad t0 = 0, t1 = t y
v(t1) = v(t). La velocidad inicial la podemos tomar como v(t0) = v0, de esta
forma llegamos a otra importante ecuación de la cinemática,
v(t) = v0 + at (1.48)
La ecuación (1.48) es una función de la velocidad como función del
tiempo, y la aceleración a nos dice la razón de cambio de la velocidad
con respecto al tiempo, que tan rapido está cambiando la velocidad y
en que dirección. Recordemos que la aceleración también es un vector.
Al igual que la velocidad, el signo de la aceleración nos indica en que
dirección está cambiando la velocidad. La convención es la misma que
se vió en la sección anterior.
Si la aceleración a = 0, entonces tenemos que la velocidad inicial es
igual a la velocidad final, v(t) = v0, un objeto con aceleración igual a
cero mantiene su velocidad constante.
El término v0 hace referencia a la velocidad inicial del cuerpo en un
tiempo t = 0, éste es constante y se puede tomar como cero, sin em-
bargo este término usualmente es muy importante, ya que determina si
el sistema de referencia usado se mueve a velocidad constante o se en-
cuentra en un reposo tal que se observa una velocidad inicial del objeto
bajo estudio.
1.6. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 27
Cuando hacemos v0 = 0 la ecuación de movimiento toma la forma
v(t) = at. Sin embargo la ecuación mas usada y general posible es la
(1.48).
Gráficamente un movimiento a aceleración constante puede ser represen-
tado en un diagrama de Velocidad contra tiempo de la siguiente forma.
v2 − v1
t4 − t2
v(t) = v0 + at
Ecuación de movimiento
Aceleración
a = v2−v1
t4−t2
�
�
t
v
t0 t1 t2 t3 t4
0
v0
v1
v2
(t2, v2)
(t4, v3)
Algunas observaciones con respecto a la anterior gráfica son:
En el plano Velocidad contra Tiempo, si el movimiento es a aceleración
constante, la gráfica es una ĺınea recta.
En el gráfico hemos colocado en el tiempo inicial t0 la velocidad inicial
v0, es decir el punto (t0, v0). No necesariamente la velocidad inicial es
cero.
La pendiente de la recta en una gráfica de velocidad contra
tiempo es la aceleración . Si esta gráfica es una ĺınea recta, su pen-
diente es independiente de la forma como la medimos, esto se debe a
que el movimiento se realiza a aceleración constante.
El área bajo la curva de velocidad contra tiempo es igual a
la distancia recorrida, vamos a calcular esta área desde el tiempo
t0 hasta t4. El área esta compuesta por dos figuras, un triángulo y un
rectángulo, el área del triángulo es base×altura
2
y el del rectángulo es
lado1 × lado2. Las figuras las mostramos a continuación.
28 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
v2 − v0
v0
t4 − t0
t
v
t0 t1 t2 t3 t4
0
v0
v1
v2
El área de la región oscura es igual a v0 × (t4 − t0), el área de la región
clara es (t4−t0)×(v4−v0)
2
, de esta forma la distancia total recorrida desde
t0 hasta t4 es,
x(t4 − t0) = v0 × (t4 − t0) +
(t4 − t0) × (v4 − v0)
2
x(t4 − t0) = v0 × (t4 − t0) +
(t4 − t0) × (v4 − v0)
2
× (v4 − v0)
(v4 − v0)
x(t4 − t0) = v0 × (t4 − t0) +
(t4 − t0)2
2
× v4 − v0
t4 − t0
x(t4 − t0) = v0 × (t4 − t0) +
(t4 − t0)2
2
× a.
Si suponemos t0 = 0 y t4 = t, obtenemos la ecuación del desplazamiento
para el movimiento uniformemente acelerado,
x(t) = v0t +
1
2
at2, (1.49)
si suponemos una posición inicial de x0, la ecuación mas general posible
es de la forma,
x(t) = x0 + v0t +
1
2
at2 (1.50)
Una gráfica muy interesante es la de posición (x) contra tiempo (t) en un
movimiento uniformemente acelerado, esta es de la forma.
1.6. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 29
�
�
�
�
� Ecuación de movimiento
x(t) = x0 + v0t +
1
2
at2
Ecuación de velocidad
v(t) = v0 + at
2
t
x
t0 = 0 t1 t2 t3 t4
x0
x1
x2
x3
En el plano de Desplazamiento contra tiempo un movimiento uniforme-
mente acelerado se ve como una parábola.
El punto x0 nos indica el origen del movimiento, si x0 = 0 la grafica y
las ecuaciones toman la forma,
�
�
�
�
�
Ecuación de movimiento
x(t) = v0t +
1
2
at2
Ecuación de velocidad
v(t) = v0 + at
2
t
x
t0 = 0 t1 t2 t3 t4
x0 = 0
x1
x2
x3
se observa como el origen de coordenadas es el origen del movimiento,
la posición inicial no afecta la velocidad.
Cuando la velocidad inicial es igual a cero v0 = 0, la forma de la gráfica
y las ecuaciones de movimiento ahora son
30 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA
�
�
�
�
�
�
Ecuación de movimiento curva continua
x(t) = x0 +
1
2
at2
Ecuación de movimiento curva a puntos
x(t) = x0 + v0t +
1
2
at2
t
x
t0 = 0 t1 t2 t3 t4
x0
x1
x2
x3
La curva punteada corresponde a la curva con una velocidad v0 6= 0,
y la curva continua corresponde a una curva con v0 = 0 y positiva, de
esta forma se ve como la velocidad inicial afecta la manera como se
mueve un objeto, una velocidad inicial diferente de cero y en la misma
dirección del movimiento indica que el objeto se moverá mas rápido. En
una carrera de carros tiene mas ventaja el que acelera con una velocidad
inicial que aquel que parte del reposo.
Si la velocidad inicial fuera negativa, la curva punteada aumentaŕıa mas
lentamente que la curva continua, como se muestra a continuación.
�
�
�
�
�
�
Ecuación de movimiento curva continua
x(t) = x0 +
1
2
at2
Ecuación de movimiento curva a puntos
x(t) = x0 − v0t + 12at2
t
x
t0 = 0 t1 t2 t3 t4
x0
x1
x2
x3
Si se fijan con cuidado la ĺınea a puntos arranca hacia el lado negativo
del eje x, ya que su velocidad inicial era negativa, y luego se detiene
cerca a t1 y empieza a crecer hacia el lado positivo del eje x, esto debido
a que la aceleración al ser positiva hace que la velocidad aumente hacia
el lado positivo del eje.
1.6. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 31
Ahora veremos un caso muy sencillo de aplicación del movimiento uni-
formemente acelerado, la cáıda libre.
Ejemplo 7 : Movimiento bajo la acción de la fuerza de gravedad.
La fuerza gravedad en la tierra tiene el efecto de atraer hacia ella los
cuerpos que poseen masa, además tiene una caracteŕıstica interesante, la
aceleración producida por la fuerza de la gravedad se mantiene casi constante
sobre la superficie. A nivel del mar la fuerza de la gravedad tiene un valor
de 9.80665 m/s2[18], para efectos prácticos se suele tomar este valor como
9.8 m/s2, e inclusive para cálculos sencillos se toma hasta de 10 m/s2, y se
representa por la letra g.
La fuerza de la gravedad en un sistema de referencia como la tierra actúa
de arriba hacia abajo, es decir que la dirección de la aceleración es de la
forma,
a = −gk̂. (1.51)
Esta ecuación tiene bastante información
El movimiento se realiza a lo largo de la dirección k̂, es decir el eje y,
a lo largo de los otros ejes no actua la aceleración de la gravedad.
El signo negativo nos indica que la dirección del vector aceleración es
de arriba hacia abajo, ó mejor aún, del lado positivo del eje y al lado
negativo.
La magnitud del vector aceleración de la gravedad es g = 9,8 m/s2.
De esta forma las ecuaciones más generales que gobiernan el movimiento
bajo la acción de la gravedad son,
y(t) = y0 + v0y t −
1
2
gt2, (1.52)
vy(t)