Ecuaciones Logaritmicas

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Kharla Mérida 
Matemática de 4to Año con Tu Profesor Virtual Logaritmo 
 Hemos conocido la definición de logaritmo, logaritmos notables y la forma en que 
operamos con ellos para transformar expresiones. Ahora empezaremos a aplicar lo 
que hemos aprendido. Identificaremos y resolveremos ecuaciones logarítmicas. 
Ejercitemos. 
1 
Todas las experiencias que vivimos son parte de las herramientas que nos 
servirán para asumir nuevas responsabilidades o retos. Debemos cuidar 
nuestras herramientas y hacerles mantenimiento para que siempre estén 
en condiciones de ser usadas con eficiencia. 
2.4 Ecuaciones Logarítmicas 
Descripción 
2 
2da Unidad 
Logaritmo 
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Kharla Mérida 
Matemática de 4to Año con Tu Profesor Virtual Logaritmo 
 Operaciones y Propiedades de los Números Reales, Propiedades de las Potencias, 
Resolución de Ecuaciones, Ecuaciones Lineales y Ecuaciones de 2do Grado. 
 Solución de Ecuaciones Logarítmicas Lineales, Resolver Ecuaciones Logarítmicas de 
2do Grado. 
LOGARITMO. Solución de Ecuaciones Logarítmicas Lineales 
LOGARITMO. Resolver Ecuaciones Logarítmicas de 2do Grado 
Conocimientos Previos Requeridos 
Contenido 
Videos Disponibles 
2 
 Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al 
encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una 
dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para 
fortalecer el Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones. 
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Kharla Mérida 
Matemática de 4to Año con Tu Profesor Virtual Logaritmo 
LOGARITMO. Solución de Ecuaciones Logarítmicas Lineales 
Ecuación logarítmica. Es aquella en la que la incógnita está como argumento del 
logaritmo 
 Estudiemos 2 tipos de ecuaciones logarítmicas básicas: Lineales y de 2do Grado. 
Ecuaciones Logarítmicas Lineales. El logaritmo tiene exponente 1. 
Guiones Didácticos 
¿Cuál de estas dos es una ecuación logarítmica? 
 En la primera ecuación hay un logaritmo, pero su argumento 
es un número conocido y la incógnita está libre de logaritmo 
2xlog 24 + 3y = 6 5logx - 20 = 0
2log 24x + 3y = 6
 La segunda ecuación tiene la incógnita como argumento 
del logaritmo, esta es la ecuación logarítmica. 
5 -ogxl 20 = 0
 Lo que significa que puede despejarse el 
logaritmo y aplicar definición para luego 
despejar la incógnita. 
balog x + c = 0
Exponente 1 
b
c
log x = -
a
Puede despejarse el logaritmo 
c
-
ax = b
y despejarse la incógnita 
aplicando definición 
Ejemplo 
El 2 que está multiplicando al otro lado de la igualdad 
dividiendo 
la incógnita está como argumento del logaritmo. 
Hallar el valor de x en la ecuación: 
3
2logx =
2
 0
2logx
3
=
2
Primero despejamos el logaritmo, el 3/2 que está 
restando, pasa al otro lado de la igualdad sumando. 
log =x
3
2
2
 0
Nota: Si pasa dividiendo, se ubicará en el denominador del otro lado de la igualdad, 
lo que significa que multiplica a lo que esté en el denominador de la fracción en el 
2do lado de la igualdad. 
3
log =x
2 2
 Para liberar el argumento del logaritmo, aplicamos la 
definición. 
¿por qué la base de la potencia es 10?. 
logx
3
=
4
3
4x =10
 En la 2da lección de logaritmo vimos que si la base de un logaritmo no aparece de 
forma explícita (no está visible), es porque la base es 10. 
3 
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 La solución de la ecuación es 
 Transformamos la potencia en raíz. 
3
4x =10
34x = 10
 Acompáñanos a la siguiente lección para ver cómo resolver ecuaciones 
logarítmicas de 2do grado. 
4x = 1000
LOGARITMO. Resolver Ecuaciones Logarítmicas de 2do Grado 
Ecuaciones Logarítmicas de 2do Grado. Hay al menos una 
potencia cuadrada de logaritmo, que es a su vez el mayor 
exponente del logaritmo en la ecuación. 
2
k kalog x +blog x + c = 0
Grado 2 
 Para resolverla, debemos sustituir temporalmente el 
logaritmo por una variable nueva. 
Ejemplo 
2
k kalog x +blog x + c = 0
klog x = y
 Y con esto queda clara la forma cuadrática de la ecuación. 
2y ya +b + c = 0
La ecuación dada tiene un término en el que el logaritmo 
está elevado a la 2 un término donde el logaritmo está 
elevado a la 1 y un término independiente. 
Escribiremos el cuadrado del logaritmo de esta manera, 
para poder tener claro el panorama ahora podemos 
sustituir logaritmo en base 4 de x por y 
4
2
4log x lo- 3 -g x 10 = 0
Hallar el valor de x en la ecuación: 
2
4 4log x - 3log x -10 = 0
   4 4
2
log x lo- 3 -g x 10 = 0
2 - 3 -y y 10 = 0Sustituimos: log4x  y 
Ecuación de 2do grado: 
 
 Fórmula para resolver ecuaciones de 2do grado 
Tenemos una ecuación de 2do grado 
2ax +bx + c = 0
2-b ± b - 4ac
x =
2a
 La variable de la ecuación es y, a = 1, b = -3 y c = -10 
Sustituimos estosvalores en la fórmula para resolver 
ecuaciones de 2do grado 
Efectuaremos las operaciones de la raíz y denominador. 
     
2
- -3 ± -3 - 4 1 -10
y =
2 1
 

3 ± 7
y =
2
4 
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Hay dos posibles valores para y, uno es 5 y otro es -2 
Hay una gran variedad de casos en este tipo de ecuaciones, los iremos estudiando 
en las lecciones prácticas para que tengas suficiente material con qué guiarte en 
tu práctica avancemos 
¿qué hacemos ahora? 
1y = 5 y = -22
Como ya esta resuelta la ecuación de 2do grado, 
regresamos el cambio de variables que hicimos. 
Resultan dos ecuaciones logarítmicas lineales. 
Aplicaremos definición de logaritmo para despejar x 
log4x  y 
1log = 5x4 2log = -2x4
5
1 = 4x
2
2
-= 4x
Efectuamos las potencias en cada caso: 1 =1024x 2
1
=
16
x
5 
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A Practicar 
Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas lineales: 
6 
1. 4logx 1= 0 2. 2logx 2 = 0 3. 6
1
log x = 0
3
4.  35 2logx log x = 51
Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas cuadráticas: 
5. 2log x 9 6. 2log x - 3logx 0 7. 
2log x - logx 6 8. 
22log x - logx 10
¿Lo Hicimos Bien? 
Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas lineales: 
1. 
1
x
4
2.  x 10 3. x 100 4. 
9x =10
Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas cuadráticas: 
5. 
 3 3x =10 , x 10 6.  ,
3x 1 x 10 7. ,
3 -2x =10 x =10
8. 
 ,
5
22x 10 x 10
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