Despeje

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EL DESPEJE 
Tengo dolor de ecuación 
no la puedo resolver 
ni tampoco comprender; 
ya no me da la razón 
para poder entender 
el inverso de la adición. 
 
Sergio Gamboa Virgen 
alumno de 2° Grado 
de la Esc. Telesec. 
 José María Morelos y Pavón 
El Zapote, Mpio de Alvarado, 
ciclo escolar 1998-1999. 
 
El objetivo de la matemática es contar y calcular. Cuando calculamos debemos de 
determinar si una proposición matemática es válida. En la matemática, la mayor 
parte del trabajo que hacemos es validar la igualdad. 
Una proposición es válida si es verdadera y es verdadera si y sólo si es lógica. Una 
proposición es un enunciado matemático. 
Hay dos tipos de igualdad matemática: la igualdad por identidad y la igualdad por 
equivalencia. 
La igualdad matemática por equivalencia se usa en las fórmulas y adquiere la 
característica de ecuación, es una igualdad con valor condicionado; en tanto que 
una identidad matemática es cierta para todo valor. 
Por ejemplo en la igualdad: 
=2 2 , que leemos dos es igual con dos, es una identidad. 
La igualdad 2+3=5 es una equivalencia. 
Las validamos como ciertas porque son verdaderas y son verdaderas porque son 
lógicas. 
La proposición: ; la validamos como falsa y es falsa porque no es lógica y 
expresamos: 2=3 ! que significa que es un absurdo. 
=2 3
 1
Cabe mencionar que la igualdad tiene implícitos algunos aspectos que a primera 
vista parecen lógicos y si lo son, pero el educando adolescente no los ve tan 
lógicos, tangibles o perceptibles a priori; de ahí que sea necesario aclarar sus 
distintas propiedades usando lenguaje coloquial para elevarnos al nivel del 
lenguaje formal del álgebra y hacer bien explícito todo aquello que aparente ser 
explícito y no lo hayamos explicado con propiedad. 
En el entendimiento de ésta lógica se basa el entendimiento de casi toda la 
matemática. 
Una de las habilidades más difíciles de lograr en el alumno de secundaria es el 
despeje. Son distintas y de muchas índoles las razones por las que no es fácil 
lograr el desarrollo de esta habilidad sin embargo vamos a analizar aquí algunas de 
las razones de índole académica por las que resulta de difícil acceso: 
- En el despeje es común encontrar la sustitución algebraica escondida en un 
sin fin axiomas. 
- El discurso matemático, es decir el circuito de la comunicación que se 
establece en el aula tiene implícito el uso de categorías lógicas como los 
valores de verdad que se esconden en la sustitución. 
- Uno de los objetivos más comunes en el discurso matemático es la 
validación del signo igual (=). 
- Es común encontrar miedo a las palabras que nubla u oblitera la 
comunicación. Cuando queremos comunicarnos con el alumno adolescente 
usando términos exactos y precisos a veces lo único que logramos es que el 
alumnado cierre sus accesos a su conocimiento y que se genere un bloqueo 
muy cercano a lo que Gastón Bachelart denomina obstáculos 
epistemológicos que puede generar un estado de perplejidad1 en el 
discente. 
Las fórmulas tanto en física como en matemáticas, al usar lenguaje algebraico se 
expresan en lenguaje formal. Sin embargo es posible y deseable llevar el 
 
1 La perplejidad epistemológica la describe el matemático, astrónomo y médico sefaradí (judeo-español) de la Alta Edad 
Media Moshé ben Maimóm mejor conocido como Maimónides en su libro La Guía de los Perplejos como un estado que 
adquiere la mente cuando “El Conocimiento”, como él lo llama, no ha encontrado su verdadero lugar en el entendimiento. 
 2
entendimiento de toda fórmula como acabamos de mencionar: desde un lenguaje 
coloquial hasta un lenguaje formal. Por ejemplo en la fórmula de velocidad, que es 
la primera que se estudia desde primer grado en Introducción a la Física y a la 
Química, la podemos expresar en lenguaje coloquial y en lenguaje formal de 
distintas maneras: 
d
t
v= , ¿qué pasa si mantenemos constante al tiempo considerando un lapso 
imaginario de media hora? en media hora llega un avión de Veracruz a México 
t
=
dv y un carro de pasaje de Boca del Río a Veracruz d
t
v= , aquí vemos que lo 
que cambia es la distancia entre ambas ciudades como consecuencia de los 
vehículos usados. El tamaño de las letras representa la magnitud de cada variable. 
Ahora pensemos en mantener constante la distancia. La distancia de Boca del Río 
a Antón Lizardo es la misma que de Antón Lizardo a Boca del Río; si imagino que 
voy viajando en un helicóptero sé que haré menor tiempo 
t
=
dv que si voy en 
bicicleta 
d
t
v= . Es recomendable usar colores para ilustrar las distintas variables y 
constantes de las fórmulas. En el primer caso hablábamos de una relación 
directamente proporcional porque a mayor velocidad, mayor distancia y a menor 
velocidad menor distancia; en tanto que en el segundo caso es una relación 
inversamente proporcional, o sea la ley de mientras menos burros mas olotes. 
La siguiente fórmula que se analiza en el avance programático es una fórmula de 
aceleración en la que hay un problema de entendimiento subyacente a la 
sustitución algebraica: a= v . 
t
Si 
d
t
v= ; y a=
v
t
, entonces a=
d
t
t
, sustituyendo el valor de igualdad de v de la 
primera fórmula en la segunda fórmula que me habla de aceleración. 
 3
El entendimiento de este paso no es fácil ya que requiere cierto nivel de 
abstracción que no siempre ha logrado el educando adolescente de primer grado y 
en ocasiones es de dificultad hasta en tercer grado ya que aquí estamos hablando 
de sustitución de igualdad por equivalencia. Una dificultad intrínseca al despeje de 
fórmulas como mencionábamos con anterioridad, tiene que ver con los axiomas de 
los números reales (verdades tan obvias que no requieren de demostración), 
que resumidos son: 
=
n
n
1
; por lo tanto 
n
n=
1
. 
×n 1=n ; por tanto , porque a la igualdad la podemos leer tanto de 
izquierda a derecha como de derecha a izquierda porque es igualdad. Poder 
entender esto tiene que ver con la reversibilidad del pensamiento a la cual se llega 
apareada con la maduración de la abstracción en el pensamiento. 
×n=n 1
La operación complementaria a la adición es la sustracción y por lo tanto, de la 
sustracción la adición, del positivo el negativo y de la multiplicación la división. 
El inverso multiplicativo de 
n
1
 es 1
n
 . 
De particular interés resulta la expresión: =
n
1
n
 ya que la unidad, al ser el idéntico 
multiplicativo la podemos ver como un valor “virtual”; existe y siempre está ahí 
pero no siempre se ve. 
Otra consideración que debemos de tomar en cuenta es que si sumo, resto 
multiplico, divido, exponencío o radico en un lado de la igualdad, debo de hacer la 
misma operación en el otro miembro para que esta continúe teniendo valor de 
verdad afirmativo. 
Volviendo a la fórmula de aceleración antes mencionada tenemos que: 
a=
d
t
t
; y como 
n
n= ; por lo tanto: a=
d
t
t
, entonces 
t
t=
1 1
1
. Aplicando la ley de la 
torta, que me dice que extremos por extremos y medios por medios que es un 
 4
caso de productos cruzados que es la ley fundamental de las proporciones, 
sabemos que: , y , entonces ×d × 2t t=t 2a=
d
t
. 1=d
En el despeje existen muchos casos de sustitución algebraica como el ejemplo 
anterior en el que lo que hacemos es ir al revés del proceso de despeje. 
El manejo de las propiedades de la igualdad y de la sustitución algebraica es 
necesario para el despeje y es menester tenerlas en mente; se puede tener una 
cartulina con ellas en el aula como auxiliar para su aprendizaje y uso. 
Otro aspecto fundamental con las propiedades de la igualdad es que lo importante 
no es cómo se llaman dichas propiedades sino cómo se aplican y que queden 
claras en la mente del educando de la misma manera si mencionamos los axiomas 
de primera instancia es probable que cierren su entendimiento a que si los usamos 
sin mencionarlos entendiéndolos.Aunque en los actuales planes y programas no se hace énfasis en el aspecto lógico 
es importante hacer hincapié en ese importante rubro. 
Y para despejar es importante ejercitar. Gran parte de la facilidad que pueda tener 
un individuo para ello depende en cómo y cuánto se haya ejercitado y tratar de 
que quede claro qué se desea obtener, dicho sea de otra manera: ver a dónde se 
quiere llegar. Lo básico es que la incógnita o literal a despejar quede en el primer 
miembro de la igualdad haciendo uso de la propiedad que me dice que si a=b 
entonces b=a, y luego es importante ver de quién está acompañada la incógnita; 
porque cuando llevo al cine a mi novia la quiero a ella sola sin acompañantes y al 
chaperón es necesario ver cómo no nos acompaña de manera que todos 
quedemos contentos; esa manera es aplicándole a su opuesto; es necesario que el 
alumno vea por qué cuando está sumando pasa restando o si está restando pasa 
sumando; es decir, explicar porque le estamos aplicando su inverso aditivo; si está 
multiplicando por qué le aplicamos su inverso multiplicativo y viceversa y por qué 
cuando una incógnita o literal está exponenciando pasa radicando y a la inversa. 
Analicemos con calma la lección 4.66 de Conceptos Básicos volumen II de 3° de 
Secundaria p. 170. 
 5
Vamos a despejar vf de la fórmula de aceleración: if
v v
t
− . a=
si if
v
a=
v
t
−
entonces i
v
a
t
−fv =
porque hemos usado la propiedad simétrica. Poder usar esta propiedad implica en 
el alumno el desarrollo del razonamiento bidireccional o reversibilidad del 
pensamiento para que lea las igualdades en ambos sentidos. 
Como no quiero a t en el primer miembro aplico el inverso multiplicativo de 
1
t
 que 
es 
t
1
 : 
iv t ta
t 1 1
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
fv 
Lo usamos porque en la expresión: 
ifv fiv 1 v
t t 1
v− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 y f fi iv vv1
t 1 t
v − −⎞⎛ ⎞ ⎛ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. 
Lo que hemos hecho es factorizar a 
1
t
 y necesitamos hacerle ver al joven cómo 
podemos factorizar esas expresiones para poder encontrar el inverso multiplicativo 
de t. En esta expresión aparece ese famoso 1 que consideramos “virtual” que 
habíamos dicho que no se ve pero si existe. Es común que el estudiante no 
conciba a t en el denominador como 
1
t
. Ese 1 “virtual” es nuestro comodín. Por lo 
que nos queda que i
v t t
a
t 1 1
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
fv multiplicando a t
1
 en ambos miembros de 
la ecuación para no afectar la igualdad y deje de ser cierta. Esta última afirmación 
es necesaria validarla con el modelo de la balanza2; si quito o pongo lo mismo de 
ambos lados de la igualdad ( en cada brazo de la balanza ) ésta no se ve afectada 
en su equilibrio. 
 
2 El modelo de la balanza ayuda a construir el conocimiento en éste rubro. Es conveniente proponer actividades que generen 
la construcción de conocimientos para cada uno de los aspectos del despeje. 
 6
( ) ( )iv t a t
t 1
− ⎛ ⎞ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 porque t= t
1
 en el segundo miembro. fv
En el primer miembro tenemos que: 
i ifv t 1 v
1 1 1
v t
t t
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 porque t(1)=t y 1(t)=t y como t
t
= , nos queda que: 1fv −
( )fv − fifi i
v t v
v
t
1
1
1 1 1
v
v
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, donde el “virtual”. 1
( )ifv − − if if
v t v
v
v
1
1 t 1
v⎛ ⎞ = = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 y como t
t
= tenemos que: 1
ifv v a t− = •
Es muy común oír decir que 
t
t
= “se va”; y en realidad no “se va”; no se va 
porque no desaparece porque no es igual con cero; no se ve porque es “virtual” y 
hay que mostrarlo y demostrarlo de esa manera al discente. Esta es otro de los 
errores metodológicos muy comunes al despejar. 
1
Hemos pasado a t del primer miembro al segundo pues al aplicarle su inverso 
multiplicativo de dividir, pasó a multiplicar. Es importante que el estudiante 
entienda por qué si estaba dividiendo pasó multiplicando, además es importante 
tanto expresar en clase así como para sí que es porque se le ha aplicado su 
inverso y no de manera “mágica”. 
Como queremos a solita le vamos a quitar a fv iv− aplicándole su inverso que es 
+vi y nos queda que: 
ii iv vtv a= •+ +−fv 
operando en el primer miembro nos queda que, como i ivv− + =0: 
ifv i vv− + ia vt= • +
0 a t v= • +−fv i
aquí i ivv− + sí “se va”. Puede resultar importante decir que el cero carece de 
signo. 
 que es a lo que queríamos llegar. iva t= • +fv
 7
Para despejar a r de 
34 r
V=
3
π 
34 r
V
3
π
= , por propiedad simétrica. 
Voy a quitar a 3 porque no lo quiero ahí: 
34 r 3 3
V
3 1 1
π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
; inverso multiplicativo 
1
3
 de 3
1
 y operando: 
( )34 r V 3π = 
Ahora el que me estorba es el 4 y lo voy a anular del primer miembro: 
( )3 14 r V 3
4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
; inverso multiplicativo 1
4
 de 4
1
 y operando: 
Ahora voy a pasar a pi (π) al segundo miembro: 
3 V 3r
4
⋅
π = 
3 1 V 3 1r
4
⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠
; inverso multiplicativo 1
π
 de 
1
π
 y operando: 
( )
3 V 3r
4
⋅
=
π
 
Vale la pena resaltar que π no es un símbolo abstracto sino la representación de 
un número y como número se le pueden aplicar todas las propiedades y 
operaciones matemáticas. Caso de sustitución; lo que le pueda hacer a un número 
se lo puedo hacer a su símbolo. 
En el siguiente paso quiero a r solita sin exponente por tanto: 
33
V 3
r
4
⋅
=
π
; si aplico la misma operación a ambos miembros de la igualdad esta 
no se altera, le saco raíz cúbica a ambos miembros porque radicar es la operación 
complementaria de exponenciar. 
3 3 3
V 3
r
4
⋅
=
π
factorizando la radicación 
 8
3r
3
3
V 3
4
⋅
=
π
si obtengo la raíz cúbica de r cúbica me queda que: si obtengo la raíz cúbica de r cúbica me queda que: 
π
3
V 3
r
4
⋅
=
π
que es lo que queríamos obtener. 
Es común observar que no entiendan los muchachos este paso pues no se les 
facilita entender que la raíz cuadrada o cúbica de un número al cuadrado o al cubo 
es igual con el mismo número; se les puede aclarar como se les ha aclarado los 
inversos aditivo y multiplicativo, despacito y por pasos. 
Es conveniente no plantear la suma y resta, multiplicación y división o 
exponenciación y radicación como operaciones contrarias sino como operaciones 
complementarias. 
Una forma sencilla de despejar fórmulas básicas como v=
d
t
 es acomodar arriba 
en el triangulito mágico lo que está arriba en la fórmula: 
 
 
 d 
 
 
a la izquierda del triangulito lo que esta a la izquierda de la fórmula. 
 
 d 
 v 
 
y a la derecha del triángulo lo que está a la derecha de la fórmula. 
 
 9
 
 d 
 v t 
 
Si busco a d y veo que v y t están juntas debo de entender que se multiplican: 
( ) ( )d= v . t
Si buscamos a t, y d está arriba de v estas se dividirán: 
d
v
. t=
En la fórmula de la 2° ley de Newton f=(m)(a) colocaré a m y a a abajo del 
triángulo y operaré igual. 
Esta es una forma que aunque se aleja de la metodología de la enseñanza es 
efectiva y puede usarse con las debidas precauciones metodológicas. 
 
 
 10