Estructuras algebraicas y conmutatividad

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Estructuras algebraicas y conmutatividad
Una estructura algebraica viene dada por uno o varios conjuntos dotados de operaciones binarias u operaciones externas. En la definición de cada tipo de estructura algebraica impone que estas operaciones cumplan ciertas propiedades, entre las que puede estar la propiedad conmutativa. Cuando en alguna de estas operaciones no se impone que satisfaga la propiedad conmutativa pero sin embargo la satisface, entonces se añade el adjetivo conmutativo el nombre de la estructura en cuestión.5​
· Un magma es un conjunto dotado de una operación binaria. Cuando esta es conmutativa se llama magma conmutativo.
· Un monoide es un conjunto dotado de una operación asociativa con elemento neutro. Si también es conmutativa, se dice monoide conmutativo. Por ejemplo, (N,+) y (N,·) son monoides conmutativos.
· Un grupo es un conjunto dotado de una operación asociativa, con elemento neutro, y donde todo elemento es simetritzable. Si la operación es conmutativa se llama grupo conmutativo o grupo abeliano. Por ejemplo, (Z,+) es un grupo conmutativo.
· Un anillo es un conjunto A dotado de dos operaciones binarias, habitualmente denotadas con notación aditiva (+) y notación multiplicativa (·). Respecto a la primera, (A,+) es un grupo conmutativo. Respecto a la segunda, (A,·) es un monoide. Además, la segunda debe ser distributiva respecto a la primera. Cuando la multiplicación es conmutativa, se llama anillo conmutativo. Por ejemplo, (Z,+, ·) es un anillo conmutativo.
· Un cuerpo es un anillo donde 0≠1 y todo elemento no nulo es invertible. Un cuerpo se llama cuerpo conmutativo cuando la multiplicación es conmutativa. Por ejemplo, con la suma y producto habituales, Q, R y C son cuerpos conmutativos, mientras que el cuerpo de los cuaterniones H es un cuerpo no conmutativo. (Nótese, sin embargo, que algunos autores prefieren requerir la conmutatividad del producto dentro de la definición de cuerpo, en cuyo contexto los cuerpos no conmutativos son llamados anillos de división.)