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Geometría
La geometría (del latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία de γῆ gē, ‘tierra’,
y μετρία metría, ‘medida’) es una rama de las matemáticas que se ocupa del
estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio,1 incluyendo:
puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares,
curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da
fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el
sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en
combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones
diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a
medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura,
geografía, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística etc. Y es útil en
la preparación de diseños e incluso en la fabricación de artesanía.
Historia
Axiomas, definiciones y teoremas
Axiomas
Topología y geometría
Tipos de geometría
Geometrías según el tipo de espacio
Geometrías asociadas a transformaciones
Geometría según el tipo de representación
Aplicaciones geométricas
Enseñanza y aprendizaje de la geometría
Véase también
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente está constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en
relación con las longitudes, áreas y volúmenes. La civilización babilónica fue una de las primeras culturas en incorporar el
estudio de la geometría. La invención de la rueda abrió el camino al estudio de la circunferencia y posteriormente al
descubrimiento del número π (pi); También desarrollaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada año cuenta con 365 días,
además implementaron una fórmula para calcular el área del trapecio rectángulo.2 En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada,
según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría3 en forma
Alegoría de la geometríaÍndice
Historia
https://es.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%ADn
https://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griego
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
https://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_(f%C3%ADsica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Recta
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Politopo
https://es.wikipedia.org/wiki/Paralelismo_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Curva
https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_descriptiva
https://es.wikipedia.org/wiki/Dibujo_t%C3%A9cnico
https://es.wikipedia.org/wiki/Comp%C3%A1s_(instrumento)
https://es.wikipedia.org/wiki/Teodolito
https://es.wikipedia.org/wiki/Pant%C3%B3grafo
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_posicionamiento_global
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_aplicada
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Arquitectura
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https://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa
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https://es.wikipedia.org/wiki/Bal%C3%ADstica
https://es.wikipedia.org/wiki/Artesan%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Trapecio_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egipto
https://es.wikipedia.org/wiki/Her%C3%B3doto
https://es.wikipedia.org/wiki/Estrab%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Diodoro_S%C3%ADculo
https://es.wikipedia.org/wiki/Euclides
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Geometria_(Geometry).jpg
axiomática y constructiva, tratamiento que estableció una norma a seguir
durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en Los Elementos.
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las
posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como
importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de
un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de
ecuaciones y la geometría analítica, marcando una nueva etapa, donde las
figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser
representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La
geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los
entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación
de la topología y la geometría diferencial.
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un
método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas
axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David
Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, este ya completo. Como en
todo sistema formal, las definiciones, no solo pretenden describir las propiedades de los objetos,
o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos
ideales y sus relaciones se denominan modelos.
Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado
material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá
también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente
idénticas al del modelo «tradicional».
En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos,
definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto
(el postulado de paralelismo) el que siglos después —cuando muchos geómetras lo cuestionaron al
analizarlo— originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de
Nikolái Lobachevski.
En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el
análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. f(x)
puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.
El campo de la topología, que tuvo un gran desarrollo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo
de geometría transformacional, en que las transformaciones que preservan las propiedades de las figuras son los homeomorfismos
(por ejemplo, esto difiere de la geometría métrica, en que las transformaciones que no alteran las propiedades de las figuras son
las isometrías). Esto ha sido frecuentemente expresado en la forma del dicho: "la topología es la geometría de la página de goma".
Fragmentos de los Elementos de Euclides
en los Papiros de Oxirrinco.
Axiomas, definiciones y teoremas
Un teorema
descubierto y probado
por Arquímedes: una
esfera tiene 2⁄3 del
volumen de su cilindro
circunscrito.
Axiomas
La geometría
esférica es un
ejemplo de
geometría no
euclidianaTopología y geometría
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1s
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana
https://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclides
https://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Cartograf%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica
https://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Euclides
https://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert
https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Hilbert
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana
https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma
https://es.wikipedia.org/wiki/Postulado
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_el%C3%ADptica
https://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_hiperb%C3%B3lica
https://es.wikipedia.org/wiki/Nikol%C3%A1i_Lobachevski
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_las_transformaciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Homeomorfismo
https://es.wikipedia.org/wiki/Isometr%C3%ADa
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https://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclides
https://es.wikipedia.org/wiki/Papiros_de_Oxirrinco
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https://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes
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https://es.wikipedia.org/wiki/Volumen
https://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triangle_sph%C3%A9rique.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_esf%C3%A9rica
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_no_euclidiana
Desde los antiguos griegos, ha existido numerosas contribuciones a la geometría, particularmente a
partir del siglo XVIII. Eso ha hecho que proliferen numerosas subramas de la geometría con
enfoques muy diferentes. Para clasificar los diferentes desarrollos de la geometría moderna se
pueden recurrir a diferentes enfoques:
Los antiguos griegos manejaban un único tipo de geometría, a saber, la geometría euclídea, hábilmente codificada en los
Elementos de Euclides por una escuela alejandrina encabezada por Euclides. Este tipo de geometría se basó en un estilo formal de
deducciones a partir de cinco postulados básicos. Los cuatro primeros fueron ampliamente aceptados y Euclides los usó
extensivamente, sin embargo, el quinto postulado fue menos usado y con posterioridad diversos autores trataron de demostrarlo a
partir de los demás, la imposibilidad de dicha deducción llevó a constatar que junto con la geometría euclídea existían otros tipos
de geometrías en que el quinto postulado de Euclídes no participaba. De acuerdo a las modificaciones introducidas en ese quinto
postulado se llega a familias diferentes de geometrías o espacios geométricos diferentes entre ellos:
La geometría absoluta, que es el conjunto de hechos geométricos derivables a partir únicamente de los primeros
cuatro postulados de Euclides.
La geometría euclídea, que es la geometría particular que se obtiene de aceptar como axioma también el quinto
postulado. Los griegos consideraron dos variantes de geometría euclídea:
Geometría euclídea del plano
Geometría euclídea del espacio
La geometría clásica es una recopilación de resultados para las geometrías euclídeas.
A partir del siglo XIX se llegó a la conclusión de que podían definirse geometrías no euclídeas entre ellas:
La geometría elíptica
La geometría esférica
La geometría finita
La geometría hiperbólica
La geometría riemanniana
En el siglo XIX, Klein desarrolló el denominado Programa de Erlange que establecía otra forma de enfocar los conceptos
geométricos: estudiar bajo qué diferentes tipos de transformaciones matemáticas se verificaban invarianzas. Así se identificaron
grupos dotados de diversas operaciones y se plantearon subdisciplinas en base a cuales eran los tipos particulares de
transformaciones bajo las cuales se registraban invarianzas. Este estudio permitió la siguiente clasificación geométrica:
Geometría afín
Geometría conforme
Geometría convexa
Geometría discreta
Geometría de incidencia
Geometría ordenada
Geometría proyectiva
El nudo de trébol
Tipos de geometría
Geometrías según el tipo de espacio
Geometrías asociadas a transformaciones
Geometría según el tipo de representación
https://es.wikipedia.org/wiki/Euclides
https://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclides
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_absoluta
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_eucl%C3%ADdea
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_plana
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_del_espacio
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_cl%C3%A1sica
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_no_eucl%C3%ADdea
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_el%C3%ADptica
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_esf%C3%A9rica
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_finita
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_hiperb%C3%B3lica
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemann
https://es.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein
https://es.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Erlangen#El_Programa_de_Erlangense
https://es.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Erlangen#El_Programa_de_Erlangen
https://es.wikipedia.org/wiki/Invariante#Invariancia_en_matem%C3%A1ticas
https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_af%C3%ADn
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_conforme
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_convexa
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_discreta
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_incidencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_ordenada
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectiva_(Matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Trefoil_knot_arb.png
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Nudo_de_tr%C3%A9bol&action=edit&redlink=1
Si bien Euclides básicamente se restringió a conceptos geométricos representables mediante figuras (puntos, líneas, círculos, etc.)
el desarrollo de otras ramas de las matemáticas no conectadas inicialmente con la geometría propiamente dicha, llevó a poder
aplicar las herramientas de otras ramas a problemas propiamente geométricos así nacieron:
La geometría algebraica
La geometría analítica
La geometría descriptiva
La Topología geométrica
La geometría diferencial que engloba como ramas a:
Geometría diferencial discreta
La geometría de curvas y superficies
La Geometría diferencial de curvas
La Geometría diferencial de superficies
La Geometría diferencial de hipersuperficies
Geometría diferencial de variedades
La geometría de Riemann
La Geometría fractal
Geometría sintética
Además de las subramas propiamente dichas modernamente han surgido numerosas aplicaciones prácticas de la geometría entre
ellas:
Geometría computacional
Geometría constructiva de sólidos
Geometría molecular
El aprendizaje de la geometría implica el desarrollo de habilidades visuales y de argumentación.
Para que el aprendizaje de la geometría no carezca de sentido, es importante que el grupo docente se preocupe por buscar un
equilibrio entre la asociación de habilidades de visualización y argumentación, pues ambas habilidades son fundamentales dentro
del proceso formativo del individuo. Es decir, no se trata sólo de enseñar contenidos como una “receta” o por cumplir con lo
estipulado en el currículo sino que se pretende que con la enseñanza de la geometría el estudiantado aprenda a pensar
lógicamente.4 
El ser humano, desde su infancia, crea representaciones del mundo físico que le rodea. Estas le generan una necesidad (teórica y
práctica) para lograr el entendimiento de ese mundo. El hemisferio derecho del cerebro resulta ser el más beneficiado ante la
presencia de estímulos visuales, a diferencia del hemisferio izquierdo, que tiene la responsabilidad de desarrollar las capacidades
verbales. El estudio de la geometría contribuye significativamente al desarrollo de esas necesidades espaciales de visualización;
sin embargo, hasta una época histórica reciente, que data a partir de la década de los años 50, es cuando educadores matemáticos
se interesaron por el estudio de dicho campo, al vincular lacapacidad matemática con la capacidad espacial.5 
Respecto a las dificultades que las estudiantes y los estudiantes presentan al estudiar geometría se encuentran: resolver un
problema algebraicamente; calcular perímetros, áreas y volúmenes, debido a que no identifican cuál fórmula aplicar y dificultad
para interpretar qué es lo que dice un problema. Al realizar el análisis por nivel, se puede observar que en el ciclo diversificado
(décimo y undécimo año) la principal dificultad que presentan es interpretar lo que dice un problema. La principal dificultad de
Aplicaciones geométricas
Enseñanza y aprendizaje de la geometría
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraica
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_descriptiva
https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa_geom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_discreta
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_curvas_y_superficies
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_curvas
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficies
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_hipersuperficies
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_variedades
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemann
https://es.wikipedia.org/wiki/Fractal
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_sint%C3%A9tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_computacional
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_constructiva_de_s%C3%B3lidos
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_molecular
las alumnas y alumnos de séptimo, octavo y noveno año, es, respectivamente, comprender las fórmulas del perímetro, áreas y
volúmenes y aprender las definiciones; resolver una situación problema algebraicamente y dificultad para extraer información de
un dibujo geométrico.6 
 Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
 Portal:Álgebra. Contenido relacionado con Álgebra.
1. Rica, Editorial Grupo Fénix de Costa. MATEMÁTICA 10: Un enfoque con base en la resolución de problemas (htt
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2. Baldor, Gaaplex (2014). Geometría plana y del espacio y trigonometría. México: publicaciones cultural. ISBN 978-
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3. Wolchover, Natalie (17 de septiembre de 2013). «Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics |
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4. Gamboa-Araya, Ronny; Ballestero-Alfaro, Esteban (2010). «The Students’ Perspective of Geometry Teaching
and Learning in High School» (http://www.revistas.una.ac.cr/index.php/EDUCARE/article/view/906). Revista
Electrónica Educare 14 (2): 125-142. ISSN 1409-4258 (https://www.worldcat.org/issn/1409-4258). Consultado el 28 de
julio de 2017.
5. Gamboa-Araya, Ronny; Ballestero-Alfaro, Esteban (2010). «The Students’ Perspective of Geometry Teaching
and Learning in High School» (http://www.revistas.una.ac.cr/index.php/EDUCARE/article/view/906). Revista
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julio de 2017.
6. Gamboa-Araya, Ronny; Ballestero-Alfaro, Esteban (2010). «The Students’ Perspective of Geometry Teaching
and Learning in High School» (http://www.revistas.una.ac.cr/index.php/EDUCARE/article/view/906). Revista
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Véase también
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
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