U5 pp 100 perspectiva

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Perspectiva
El término perspectiva (en latín, perspicere "para ver a través de")1 se utiliza en las artes gráficas para designar a una
representación, generalmente sobre una superficie plana (como el papel o un lienzo), de un motivo tal como es percibido por la
vista, de forma que se pueda intuir su configuración tridimensional.
Geométricamente, estas representaciones se obtienen a partir de la intersección de un plano (el plano del dibujo) con un conjunto
de visuales (las líneas rectas o rayos que unen los puntos del objeto representado con el punto desde el que se observa
(denominado el punto de vista)).
En este sentido, existen dos tipos fundamentales de perspectivas, en función de la posición relativa entre el modelo representado
y el punto de vista:
Perspectiva cónica: También denominada perspectiva central, sus características más
distintivas son que los objetos representados son más pequeños a medida que aumenta
su distancia al observador; y la convergencia en un punto de fuga de la representación
de las líneas paralelas del modelo. Las visuales forman un haz cónico, con su vértice en
el punto de vista.2 
Los pintores y arquitectos del Renacimiento italiano, incluidos Filippo Brunelleschi,
Masaccio, Paolo Uccello y Piero della Francesca, así como el matemático Luca Pacioli,
estudiaron la perspectiva central, escribieron tratados sobre ella y la incorporaron en sus
realizaciones, contribuyendo así a las matemáticas del arte.
A medio camino entre el arte y la técnica, arquitectos y urbanistas se han valido de este
tipo de perspectivas para dar una mejor idea del aspecto que podrían tener sus
propuestas constructivas, más allá de la información facilitada por planos en planta y
alzado.
Las fotografías producen este tipo de perspectivas3 (mediante un elemento fotosensible
que recoge la imagen proyectada desde el foco de una lente), al igual que los ojos de los
animales superiores (en los que se forma una imagen sobre la superficie de la retina,
proyectada desde el foco del cristalino).4 
Perspectiva axonométrica: es un tipo de proyección en la que todas las visuales son
paralelas entre sí, lo que equivale a que el punto de vista se sitúe en el infinito. En este
tipo de perspectivas, las líneas paralelas en el modelo conservan su paralelismo en la
imagen, por lo que los objetos no reducen su tamaño a medida que se alejan del
observador, ni existe ningún punto de fuga en el que converjan las líneas del dibujo.5 
Es un sistema de representación gráfico más ligado a la ciencia y a la técnica que al arte.
Sus orígenes no están claros, puesto que se conocen planos arquitectónicos que datan
de veinte siglos a. C., procedentes de Caldea, y existe una larga tradición en este campo
ligada a la cantería y a la ingeniería militar muy anterior al Renacimiento.6 En su forma
moderna surgió de la mano del matemático francés Gaspard Monge (1746-1818) como
una generalización al espacio del sistema de coordenadas cartesianas del plano6 
previamente formalizado en el siglo XVII, permitiendo visualizar de una forma
relativamente sencilla y eficaz curvas, superficies y objetos tridimensionales sobre el
plano del papel. Con el desarrollo de la industria mecánica de precisión a partir de finales
del siglo XIX, la perspectiva axonométrica tomó carta de naturaleza a partir de la
sistematización de su uso en cristalografía por el ingeniero de minas italiano Quintino
Sella (1827-1884), convirtiéndose en una herramienta de gran utilidad para generar
planos detallados de piezas complejas, facilitando la comprensión de su configuración
geométrica.6 
Otra ventaja de este tipo de vistas es que es posible conocer directamente las
dimensiones del modelo original midiendo sobre los ejes del dibujo. En este sentido,
numerosas normas técnicas especifican las características de este tipo de
perspectivas.5 
La aparición de programas de ordenador capaces de manejar con gran agilidad la información geométrica de modelos complejos,
ha diluido la diferencia que existía entre estos dos tipos de perspectivas en lo relativo a su ejecución, especialmente cuando se
confeccionaban manualmente. En cualquier caso, los procedimientos gráficos y sus bases teóricas asociados a estos dos tipos de
sistemas de representación siguen formando parte de los programas académicos tanto de los centros de educación secundaria
como de las escuelas superiores de arquitectura, ingeniería y bellas artes de todo el mundo.7 
Visión general
Desarrollo histórico
Antecedentes
Antigüedad y Edad Media
Renacimiento: base matemática
Manifestaciones posteriores
Evolución de la perspectiva axonométrica
Presente: gráficos por computadora
Tipos de perspectiva
Perspectiva con un punto de fuga
Perspectiva con dos puntos de fuga
Croquis realizados a mano de las perspectivas de
una habitación, en los que se aprecian las líneas
auxiliares utilizadas
Analogía funcional entre el ojo humano y una
cámara fotográfica. En ambos casos, las imágenes
recibidas se forman gracias a una proyección
central
"Diferencia entre una perspectiva axonométrica
(arriba) y una perspectiva cónica (abajo): en la
cónica existen líneas paralelas del modelo que
convergen, y las casas van siendo más pequeñas
a medida que se alejan del punto de vista;
mientras que en la axonométrica todas las líneas
paralelas se conservan como tales, y las casas no
decrecen de tamaño (nótese el efecto óptico que
da la impresión de que las casas más alejadas son
mayores, cuando en realidad todas son del mismo
tamaño en el dibujo)
Índice
https://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_lat%C3%ADn
https://es.wikipedia.org/wiki/Artes_gr%C3%A1ficas
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_c%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Renacimiento_italiano
https://es.wikipedia.org/wiki/Filippo_Brunelleschi
https://es.wikipedia.org/wiki/Masaccio
https://es.wikipedia.org/wiki/Paolo_Uccello
https://es.wikipedia.org/wiki/Piero_della_Francesca
https://es.wikipedia.org/wiki/Luca_Pacioli
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_y_arte
https://es.wikipedia.org/wiki/Fotograf%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Retina
https://es.wikipedia.org/wiki/Cristalino
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_axonom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fuga
https://es.wikipedia.org/wiki/Caldea
https://es.wikipedia.org/wiki/Canter%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_militar
https://es.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Quintino_Sella
https://es.wikipedia.org/wiki/Arquitectura
https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Bellas_artes
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:%D9%85%D9%86%D8%B8%D9%88%D8%B1-%D8%A8%D9%85%D8%B3%D8%AA%D9%88%D9%89-%D8%A7%D8%B3%D9%82%D8%A7%D8%B7-%D8%B1%D8%A3%D8%B3%D9%8A.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:C%C3%A1mara_y_ojo.png
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Haeuserreihe.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_axonom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_c%C3%B3nica
Perspectiva con tres puntos de fuga
Escorzo
Perspectiva con numerosos puntos de fuga
Perspectiva curvilínea
Perspectiva sin puntos de fuga
Perspectivas axonométricas
Métodos de construcción
Limitaciones
Véase también
Referencias
Bibliografía
Lecturas adicionales
Enlaces externos
Referencias adicionales
La perspectiva lineal siempre funciona representando la luz procedente de una escena que
pasa a través de un rectángulo imaginario (realizado como el plano de la pintura), hasta
alcanzar la vista del espectador, como si el espectador mirara a través de una ventana y
pintara directamente sobre el cristal lo que se ve. Si se mira desde el mismo lugar donde se
pintó el cristal de la ventana, la imagen pintada sería idéntica a lo que se veía a través de la
ventana sin pintar. Cada objeto pintado en la escena es una versión plana y reducida del
objeto situado al otro lado de la ventana.8 Dado que cada parte del objeto pintado se
encuentra en la línea recta desde el ojo delespectador a la parte equivalente del objeto real
representado, el espectador no ve diferencia (sin considerar la percepción de profundidad
binocular) entre la escena pintada en el cristal de la ventana y la vista de la escena real.
Todos los dibujos en perspectiva suponen que el espectador está a cierta distancia del
dibujo. Los objetos se escalan en relación con ese punto de visión. Un objeto a menudo no
se escala de manera uniforme: un círculo frecuentemente aparece como una elipse y un
cuadrado puede aparecer como un trapezoide. Esta distorsión se conoce como escorzo.9 
Los dibujos en perspectiva tienen una línea del horizonte, que casi siempre está implícita. Esta línea, directamente opuesta al ojo del
espectador, representa objetos infinitamente lejanos, que se han reducido en la distancia al grosor infinitesimal de una línea. Es
análogo (y lleva el nombre) del horizonte de la Tierra.10 
Cualquier representación en perspectiva de una escena que incluya líneas paralelas tiene uno o más puntos de fuga. Un dibujo en
perspectiva de un solo punto significa que el dibujo tiene un único punto de fuga, normalmente (aunque no necesariamente)
directamente opuesto al ojo del observador y generalmente (aunque no necesariamente) en la línea del horizonte. Todas las líneas
paralelas a la línea de visión del espectador retroceden hacia el horizonte, dirigidas al punto de fuga. Este es el fenómeno estándar
de la convergencia de las vías del tren. Un dibujo con dos puntos de convergencia tendría líneas paralelas a dos ángulos diferentes.
Es posible cualquier número de puntos de fuga en un dibujo, uno para cada conjunto de líneas paralelas que están en un determinado
ángulo respecto al plano del dibujo.2 
Las perspectivas que contienen muchas líneas paralelas se observan a menudo cuando se dibujan obras de arquitectura (donde se
utilizan con frecuencia líneas paralelas a los ejes x, y y z). Debido a que es raro tener una escena que consista únicamente en líneas
paralelas a los tres ejes cartesianos, en la práctica no es frecuente ver perspectivas con solo uno, dos o tres puntos de fuga; incluso
un edificio sencillo frecuentemente tiene un techo puntiagudo que da como resultado un mínimo de seis conjuntos de líneas
paralelas, que a su vez corresponden a hasta seis puntos de fuga.2 
Por el contrario, las escenas de la naturaleza a menudo no poseen ningún conjunto de líneas paralelas y, por lo tanto, no tienen
puntos de fuga.11 
Por otro lado, las perspectivas axonométricas ortogonales se pueden considerar casos especiales de la perspectiva cónica, en las que
las visuales que sirven para delinear el dibujo son paralelas entre sí (lo que equivale a situar el punto de vista infinitamente alejado
del modelo). Esto se traduce en la ausencia de puntos de fuga en el dibujo. Por otro lado, las axonometrías oblicuas no se
corresponden con ningún tipo de modelo óptico de perspectiva, siendo un artificio gráfico matemático que permite simplificar la realización de determinadas representaciones de cuerpos
tridimensionales.
El intento de dar sensación de volumen a las representaciones pictóricas se encuentra más o menos presente desde las primeras muestras del arte paleolítico, como se puede apreciar en las pinturas
rupestres de la cueva de Altamira (con unos 35.000 años de antigüedad), en las que se aprovecha el relieve de las rocas de la pared de la cueva para dotar de profundidad a los dibujos.12 Esta
tendencia alcanzó altas cotas de perfección técnica durante la época romana (seguramente basándose en procedimientos empíricos o intuitivos), pero no fue hasta el siglo XV, durante el
Renacimiento italiano, cuando se sentaron las bases geométricas que permitieron convertir el dibujo en perspectiva en una técnica con sólidos fundamentos teóricos. Desde entonces, ha pasado a
generalizarse su uso, convirtiéndose en una útil herramienta primero para los pintores, después para los arquitectos y más adelante para los ingenieros, hasta llegar al desarrollo en el último cuarto
del siglo XX de las aplicaciones por ordenador que permiten automatizar la generación de este tipo de vistas, que hasta entonces podían requerir de una laboriosa construcción gráfica.13 
Un lápiz afilado en perspectiva
extrema. Téngase en cuenta la
profundidad de campo
Visión general
Un cubo en una perspectiva con dos
puntos de fuga
Rayos de luz viajando desde el objeto, a
través del plano del dibujo, y hasta
alcanzar el ojo del espectador. Esta es
la base de la perspectiva
Efectos del cambio de la posición relativa del
punto de vista y del plano del dibujo respecto al
modelo: cuando el plano se acerca al punto de
vista, se obtiene el mismo dibujo pero de menor
tamaño; cuando el punto de vista se acerca al
modelo, aumenta la convergencia de las líneas del
dibujo
Desarrollo histórico
Antecedentes
https://es.wikipedia.org/wiki/Percepci%C3%B3n_de_profundidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Escorzo
https://es.wikipedia.org/wiki/Horizonte
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fuga
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Cueva_de_Altamira
https://es.wikipedia.org/wiki/Renacimiento_italiano
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Sharpened_Pencil.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%A1piz
https://es.wikipedia.org/wiki/Profundidad_de_campo
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspectiva-1.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspectiva-2.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Zp-variationen1.svg
Las primeras pinturas y dibujos artísticos generalmente clasificaban muchos objetos y personajes jerárquicamente según su importancia espiritual o
temática, pero no según su distancia al espectador, y no usaban el escorzo. Las figuras más importantes a menudo se muestran como las más altas
en una composición, especialmente de motivos hieráticos, lo que lleva a la llamada "perspectiva vertical", común en el arte del Antiguo Egipto,
donde un grupo de figuras "más cercanas" se muestran debajo de la figura o figuras más grandes. En las pinturas egipcias se concebía un espacio
bidimensional de la superficie a pintar, sin sugerir estrictamente una idea de concepción espacial. Disponían los personajes aumentando su tamaño
según su importancia, lo que los historiadores del arte denominan perspectiva jerárquica o teológica.14 
El único método para indicar la posición relativa de los elementos en la composición era la superposición, de la que se hace mucho uso en trabajos
como los mármoles de Elgin, las famosas esculturas que decoraban el Partenón de Atenas. Sin embargo, existen numerosos estudios acerca del
propio Partenón, que afirman que sus dimensiones (especialmente la forma e inclinación de sus columnas) fueron meticulosamente estudiadas para
contrarrestar los efectos de la perspectiva sobre las líneas maestras del edificio.15 
Se considera que los primeros intentos por desarrollar una sistema de perspectiva comenzaron alrededor del
siglo V a. C. en el arte de la Antigua Grecia, como parte del interés en producir la ilusión óptica de
profundidad en los escenarios teatrales. Este hecho se describe en la Poética de Aristóteles como la
escenografía: el uso de paneles planos en un escenario para dar la ilusión de profundidad.16 Los filósofos
Anaxágoras y Demócrito elaboraron teorías geométricas de la perspectiva para ser usadas en la
skenographia. Alcibíades tenía pinturas en su casa diseñadas usando esta técnica,17 por lo que este arte no
se limitó simplemente a los escenarios.
Platón fue uno de los primeros en discutir los problemas de la perspectiva:
"Así (a través de la perspectiva) se revela dentro de nosotros todo tipo de confusión; y esta es la debilidad de
la mente humana sobre la cual se impone el arte de conjurar y engañar por la luz y la sombra y otros
ingeniosos artificios, que tienen un efecto sobre nosotros como la magia ... Y las artes de medir, numerar y
pesar vienen al rescate de la comprensión humana -de ahí su belleza-, y los aparentes mayor o menor
tamaño, o más o menos peso,ya no tienen dominio sobre nosotros, sino que ceden ante el cálculo de la
medida y el peso."18 
En su Óptica, Euclides introdujo una teoría matemática de la perspectiva, pero existe cierto debate sobre hasta qué punto coincide con la definición
matemática moderna. En los últimos períodos de la antigüedad, los artistas, especialmente aquellos de tradiciones menos populares, sabían que los objetos distantes podían mostrarse más pequeños
que los cercanos para aumentar el realismo, pero el hecho de que esta convención se utilizara realmente en un trabajo dependía de muchos factores. Algunas de las pinturas encontradas en las
ruinas de Pompeya muestran un notable realismo y perspectiva para su tiempo.19 Se ha afirmado que los sistemas completos de perspectiva ya se desarrollaron en la antigüedad, pero la mayoría de
los eruditos no lo aceptan. Casi ninguna de las muchas obras en las que se hubiera utilizado un sistema así ha sobrevivido. Un pasaje de Filóstrato sugiere que los artistas y teóricos clásicos
pensaban en términos de "círculos" a igual distancia del espectador, como un teatro semicircular clásico visto desde el escenario.20 En los dibujos del códice Vergilius Vaticanus, alrededor del año
400 más o menos, las vigas del techo de las habitaciones se muestran convergentes en un punto de fuga común, pero esto no está sistemáticamente relacionado con el resto de la composición.
Los artistas chinos utilizaron la proyección oblicua desde el siglo I hasta el siglo XVIII. No es seguro cómo llegaron a usarla; algunas autoridades sugieren que los chinos adquirieron esta técnica
de la India, que a su vez la adquirió de la Antigua Roma.21 La proyección oblicua también aparece en el arte japonés, como en las pinturas Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752-1815).21 En el siglo
XVIII, los artistas chinos comenzaron a combinar la perspectiva oblicua con la disminución regular del tamaño de las personas y los objetos con la distancia; no se elige ningún punto de vista
particular, pero se logra un efecto convincente.21 
 
1)
 
2)
 
3)
 
4)
1) Codex Amiatinus (siglo VII). Imagen de Esdras, del quinto folio del inicio de un Antiguo Testamento 
2) Acuarela china de la dinastía Song de un molino en perspectiva oblicua, siglo XII 
3) Ilustración del siglo XV de una traducción al francés antiguo de la Histoire d'Outremer de Guillermo de Tiro22 
4) Intento geométricamente incorrecto de una perspectiva en una pintura de 1614 de la antigua Catedral de San Pablo (Sociedad de Anticuarios de Londres)
En el período de la Antigüedad tardía, el uso de técnicas de perspectiva disminuyó. El arte de las nuevas culturas del período de las grandes migraciones no tenía tradición de intentar
composiciones con gran número de figuras, y el arte medieval temprano tardó mucho y fue inconsistente en volver a aprender la convención de los modelos clásicos, aunque el proceso ya se puede
apreciar en el arte carolingio.23 
Varias pinturas durante la Edad Media muestran intentos de proyecciones en dibujos de muebles, donde las líneas paralelas se representan con éxito en proyección isométrica o mediante líneas a su
vez paralelas, pero sin un único punto de fuga.
Los artistas medievales en Europa, como los del mundo islámico y China, conocían el principio general de variar el tamaño relativo de los elementos según la distancia, pero contaban con motivos
compositivos para ignorarlo, incluso más que el arte clásico. Los edificios a menudo se muestran oblicuamente según una convención particular. El uso y la sofisticación de los intentos de
transmitir distancia aumentaron constantemente durante este período, pero sin basarse en una teoría sistemática. El arte bizantino también conocía estos principios, pero mantenía la convención de
Escena de una cacería. Pintura del
antiguo Egipto
Antigüedad y Edad Media
Mural romano de
Boscoreale (del 43 al 30 a.
C.)
Imagen del Vergilius Vaticanus
https://es.wikipedia.org/wiki/Escorzo
https://es.wikipedia.org/wiki/Hier%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Arte_del_Antiguo_Egipto
https://es.wikipedia.org/wiki/Pintura_del_Antiguo_Egipto
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1rmoles_de_Elgin
https://es.wikipedia.org/wiki/Parten%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Arte_de_la_Antigua_Grecia
https://es.wikipedia.org/wiki/Po%C3%A9tica_(Arist%C3%B3teles)
https://es.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teles
https://es.wikipedia.org/wiki/Anax%C3%A1goras
https://es.wikipedia.org/wiki/Dem%C3%B3crito
https://es.wikipedia.org/wiki/Alcib%C3%ADades
https://es.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93ptica_de_Euclides
https://es.wikipedia.org/wiki/Euclides
https://es.wikipedia.org/wiki/Casa_de_los_Vettii
https://es.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3strato_de_Lemnos
https://es.wikipedia.org/wiki/Vergilius_Vaticanus
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_oblicua
https://es.wikipedia.org/wiki/Ukiyo-e
https://es.wikipedia.org/wiki/Torii_Kiyonaga
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:CodxAmiatinusFolio5rEzra.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Song_Dynasty_Hydraulic_Mill_for_Grain.JPG
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Reconstruction_of_the_temple_of_Jerusalem.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:StPaul%27sCross.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Codex_Amiatinus
https://es.wikipedia.org/wiki/Esdras
https://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Testamento
https://es.wikipedia.org/wiki/Dinast%C3%ADa_Song
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_oblicua
https://es.wikipedia.org/wiki/Franc%C3%A9s_antiguo
https://es.wikipedia.org/wiki/Guillermo_de_Tiro
https://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Catedral_de_San_Pablo
https://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADodo_de_las_grandes_migraciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Arte_carolingio
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_isom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Arte_bizantino
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Theban_tomb_a6_hunting_in_desert.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Roman_fresco_from_Boscoreale,_43-30_BCE,_Metropolitan_Museum_of_Art.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:VaticanVergilFol040rDeathOfDido.jpg
la perspectiva invertida para destacar las figuras principales.24 Hasta llegar al final de la Baja Edad Media, los intentos de conseguir una cierta idea de perspectiva se encuentran en la perspectiva
caballera,25 donde los objetos más alejados se sitúan en la parte superior de la composición y los más cercanos, en la inferior.
El artista que se considera el antecesor del renacimiento italiano, el pintor gótico Giotto (1267-1336), fue uno de
los primeros pintores que comenzó a dotar de tridimensionalidad de forma coherente aunque todavía intuitiva a
sus composiciones.26 Los artistas empiezan a buscar la sensación espacial a través de la observación de la
naturaleza. Con las obras de Fra Angelico (1390-1455) —como en La Anunciación— y sobre todo con las de
Masaccio27 —en su Trinidad (h. 1420-1425)—, se logra la sensación de espacio mediante el uso metódico de la
perspectiva cónica, donde las líneas paralelas de un objeto convergen hacia un determinado punto de fuga. El
tamaño de las figuras se va reduciendo en función de la distancia, lo que provoca la ilusión óptica de
profundidad.
Entre los años 1416 y 1420, Filippo Brunelleschi (1377-1476), artista y arquitecto florentino del renacimiento
italiano, para poder representar los edificios en perspectiva, realizó una serie de estudios con la ayuda de
instrumentos ópticos. Con ellos, descubrió los principios geométricos que rigen la perspectiva cónica, una forma
de perspectiva lineal basada en la intersección de un plano con un imaginario cono visual cuyo vértice sería el
ojo del observador. Los objetos parecen más pequeños cuanto más lejos están. Además, pictóricamente, tienen colores más tenues, poseen contornos
más difusos y menos contraste cuanto más alejados están.28 
En 1434, Brunelleschi demostró el método geométrico de la perspectiva utilizado hoy por los artistas. Al pintar los contornos de varios edificios de
Florencia sobre un espejo,cuando prolongó sus líneas maestras, se dio cuenta de que convergían en la recta del horizonte. Según Giorgio Vasari,
introdujo una demostración de su técnica en la puerta incompleta de la catedral de Santa María del Fiore. Hizo que el espectador mirara a través de un
pequeño agujero en la parte posterior de una pintura del Baptisterio, frente al propio edificio. Luego, disponía un espejo, de cara al espectador, que
reflejaba su pintura. Para el espectador, la pintura del Baptisterio y el edificio en sí eran casi indistinguibles.29 
En el campo de la escultura, los bronces concebidos por Lorenzo Ghiberti (1378-1455) para la puerta norte del baptisterio de la catedral de Florencia
también muestran un completo dominio de la técnica de la perspectiva.30 
Poco después, casi todos los artistas de Florencia e Italia utilizaron la perspectiva geométrica en sus pinturas,31 notablemente Paolo Uccello, Masolino
da Panicale y Donatello. El propio Donatello comenzó a representar suelos enlosados con aspecto de tablero de ajedrez en un grabado sobre el
nacimiento de Cristo. Aunque históricamente improbables, estos enlosados obedecían las leyes primarias de la perspectiva geométrica: las líneas
convergían aproximadamente a un punto de fuga, y la velocidad a la que las líneas horizontales retrocedían en función de la distancia se determinaba
gráficamente. Este aspecto se convirtió en una parte integral del arte del Quattrocento.32 
Melozzo da Forlì utilizó por primera vez la técnica del escorzo hacia arriba (en Roma, Loreto, Forlì y otros lugares), haciéndose célebre por ello.33 La perspectiva no solo era una forma de mostrar
la profundidad, también era un nuevo método de composición pictórico. Las pinturas comenzaron a mostrar una escena única y unificada, en lugar de una combinación de varios encuadres
distintos.
 
1)
 
2)
 
3)
1) Disputa con los doctores, uno de los bronces que decora la puerta norte del baptisterio de la catedral de Florencia, obra de Lorenzo Ghiberti 
2) Uso del escorzo hacia arriba en los frescos de Loreto, obra de Melozzo da Forlì 
3) Uso de la perspectiva en los frescos de la Capilla Sixtina (1481–82) obra de Pietro Perugino, preludio del Renacimiento en Roma
Como demuestra la rápida proliferación de pinturas con perspectivas rigurosas en Florencia, Brunelleschi probablemente entendió (con la ayuda de su amigo el matemático Toscanelli),34 pero no
publicó, las matemáticas subyacentes detrás de la perspectiva.
Décadas más tarde, su amigo Leon Battista Alberti (1404-1472) escribió De pictura (1435/1436), un tratado sobre los métodos adecuados para mostrar la distancia en la pintura. El principal avance
de Alberti no fue mostrar las matemáticas en términos de proyecciones cónicas, ya que en realidad le parecían implícitas a la vista. En cambio, formuló una teoría basada en proyecciones planas, o
sobre cómo los rayos de luz, pasando del ojo del espectador desde el paisaje, incidirían en el plano de la imagen (la pintura). Luego pudo calcular la altura aparente de un objeto distante utilizando
dos triángulos semejantes. Las matemáticas asociadas a los triángulos semejantes son relativamente simples, y ya habían sido formuladas por Euclides hacía mucho tiempo.35 Al mirar una pared,
por ejemplo, el primer triángulo tiene un vértice en el ojo del observador y los otros dos vértices en la parte superior e inferior de la pared. La parte inferior de este triángulo es la distancia desde el
observador a la pared. El segundo triángulo semejante tiene un punto en el ojo del observador, y cuenta con una longitud igual a la existente entre el ojo del espectador y la pintura. La altura del
segundo triángulo se puede determinar a través de una relación simple, como demuestra Euclides.
Reflexionó sobre las imágenes que se inscriben en el interior de la "ventana" formada por un cubo abierto por un lado e hizo alabanzas sobre "las caras que en las pinturas dan la impresión de salir
del cuadro, como si estuviesen esculpidas". Para ello, "a un pintor se le debe instruir, en la medida de lo posible, en todas las artes liberales, pero (...) sobre todo, en la geometría", definiendo así las
premisas de una teoría de la perspectiva. Alberti también se formó en la ciencia de la óptica a través de la escuela de Padua y bajo la influencia de Biagio Pelacani da Parma que estudió el Libro de
Óptica de Alhacén36 (véase lo que se señaló anteriormente en este sentido con respecto a Ghiberti). El "Libro de Óptica" de Alhacén, traducido alrededor de 1200 al latín, sentó las bases
matemáticas para la perspectiva en Europa.37 
Renacimiento: base matemática
Perspectiva lineal renacentista en
La Trinidad de Masaccio (1425?
-1428?) de Santa María Novella
(Florencia). Se cree que es la
tercera pintura realizada con
perspectiva cónica, y es la
primera conservada.
"Adoración de los Reyes
Magos", obra de Giotto
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_invertida
https://es.wikipedia.org/wiki/Baja_Edad_Media
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_caballera
https://es.wikipedia.org/wiki/Renacimiento_italiano
https://es.wikipedia.org/wiki/Pintor_g%C3%B3tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Giotto
https://es.wikipedia.org/wiki/Fra_Angelico
https://es.wikipedia.org/wiki/La_Anunciaci%C3%B3n_(Fra_Ang%C3%A9lico,_Florencia)
https://es.wikipedia.org/wiki/Masaccio
https://es.wikipedia.org/wiki/Trinidad_(Masaccio)
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_c%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fuga
https://es.wikipedia.org/wiki/Filippo_Brunelleschi
https://es.wikipedia.org/wiki/Renacimiento
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_c%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Florencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Giorgio_Vasari
https://es.wikipedia.org/wiki/Catedral_de_Santa_Mar%C3%ADa_del_Fiore
https://es.wikipedia.org/wiki/Baptisterio_de_San_Juan_(Florencia)
https://es.wikipedia.org/wiki/Lorenzo_Ghiberti
https://es.wikipedia.org/wiki/Baptisterio_de_San_Juan_(Florencia)
https://es.wikipedia.org/wiki/Paolo_Uccello
https://es.wikipedia.org/wiki/Masolino_da_Panicale
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https://es.wikipedia.org/wiki/Quattrocento
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La codificación de la perspectiva humanista europea se desarrolló en la Umbría italiana, a mediados del siglo XV, bajo la influencia de la obra de Piero della
Francesca (1415-1492): a partir de la mera intuición y de los medios técnicos, la perspectiva se hace teoríamatemática. También fue el primer pintor en
llevar a cabo un estudio científico de la luz en la pintura.
La ciudad ideal (1475), atribuido a Piero della Francesca.
Elaboró su teoría sobre Della Pittura en De Prospectiva Pingendi en la década de 1470.38 Alberti se había limitado a figuras sobre el plano del suelo y daba
una base general para la perspectiva. Della Francesca desarrolló esta teoría, cubriendo de forma explícita los sólidos en cualquier área del plano pictórico.
También comenzó la práctica común de usar figuras ilustradas para explicar los conceptos matemáticos, haciendo que su tratado fuese más fácil de entender
que el de Alberti. Della Francesca también fue el primero en dibujar con precisión los sólidos platónicos, que aparecían en perspectiva.39 
En 1509 apareció el De divina proportione (Sobre la proporción divina) de Luca Pacioli, ilustrado por Leonardo da Vinci, donde se resume el uso de la perspectiva en la pintura.40 
A caballo entre los siglo XV y XVI, se perfecciona la perspectiva bajo la aportación del propio Leonardo da Vinci (1452-1519) en su Tratado de la pintura (publicado en 1680) con la perspectiva
del color, donde los colores se difuminan según va aumentando la distancia; y la perspectiva menguante, donde los objetos o figuras van perdiendo nitidez con la distancia.41 
Retrato del matrimonio
Arnolfini, obra de Van Eyck
Luca Pacioli demostrando uno de los teoremas de
Euclides (Jacopo de'Barbari, 1495)
La virgen y el niño con
santa Ana (Leonardo)
Grabado de Durero mostrando un sistema de visuales
de referencia para realizar dibujos en perspectiva.
La perspectiva se mantuvo, durante un tiempo, en el dominio de Florencia. Jan van Eyck (1390-1441), entre otros, no pudo crear una estructura consistente para las líneas convergentes en las
pinturas, como en el Retrato de Giovanni Arnolfini y su esposa42 de Londres, porque no estaba al tanto del avance teórico que estaba ocurriendo en ese momento en Italia. Sin embargo, logró
efectos muy sutiles mediante manipulaciones de escala en sus interiores.
Alberto Durero (1471-1528), figura clave del Renacimiento en Alemania tanto por su obra pictórica como por sus estudios sobre el arte del dibujo, continuó con el desarrollo de las técnicas de la
perspectiva.43 Entre sus grabados figuran detalladas imágenes de la práctica de los métodos teóricos utilizados para volcar modelos reales al plano del dibujo.
Poco a poco, y en parte a través del movimiento de las academias de las artes, las técnicas italianas se convirtieron en parte de la formación de artistas en toda Europa, y más tarde en otras partes
del mundo.
Durante los tres siglos que siguieron al Renacimiento, hasta finales del siglo XIX aproximadamente,
la perspectiva continuó siendo una herramienta fundamental a disposición de los pintores, aunque en
distintas épocas surgieron voces que criticaron el rigor matemático de las composiciones como una
cortapisa a la libertad expresiva de los artistas. El pintor italiano de finales del siglo XVI Federico
Zuccaro acusaba a esta técnica de quitar al arte toda su gracia y su espíritu.13 
Así, tras el Renacimiento, durante la época manierista, ya no se intenta representar la realidad de
manera naturalista, se hace más complicada, se crean perspectivas ilusorias con puntos de fuga
múltiples o sacando el punto de fuga fuera de la pintura y se distorsionan deliberadamente las
proporciones en un espacio desarticulado e irracional para lograr un efecto emocional y artístico.13 
Poco después, el astrónomo y matemático italiano Guidobaldo Del Monte (1545-1607), en su obra
Perspectivas Libri Sex (1600), idea una formulación matemática de la proyección cónica más acorde
con sus propiedades geométricas.6 
A finales del siglo XVI la técnica de la perspectiva cónica llegó a China y Japón a través de las primeras misiones jesuitas en Asia, produciendo un choque con las
tradiciones pictóricas locales, acostumbradas a respetar el paralelismo de las líneas en sus composiciones.44 
Ya en plena etapa barroca, la forma es definida sobre todo por el color, la luz y el movimiento, con lo que las composiciones se complican, se adoptan perspectivas
insólitas y los volúmenes se distribuyen de manera asimétrica. Pintores como el holandés Johannes Vermeer (1632-1675) o el español Diego Velázquez (1599-1660)
incorporaron contrastes de luminosidad a sus pinturas para dotarlas de una atmósfera propia (efecto conocido como perspectiva aérea,45 con el que se intenta
representar la atmósfera, el aire que envuelve a los objetos, degradando su color a medida que se van alejando del espectador, aportando así no solo una sensación de
profundidad).
Sacra Conversación, obra
de Piero della Francesca
Manifestaciones posteriores
Dos pintores
aprendices
estudiando la
técnica de la
perspectiva. Dibujo
de Federico
Zuccaro, 1609
Piazza San Marco con la Basílica, (1730), obra de
Canaletto.
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https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Formerly_Piero_della_Francesca_-_Ideal_City_-_WGA17633_-_Galleria_Nazionale_delle_Marche_Urbino.jpg
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https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_a%C3%A9rea
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https://es.wikipedia.org/wiki/Barroco
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https://es.wikipedia.org/wiki/Canaletto
Desde el punto de vista teórico, la culminación de estas tradiciones del Renacimiento encuentra su última síntesis en la investigación sobre la perspectiva, la óptica y la geometría proyectiva del
arquitecto, geómetra y óptico francés del siglo XVII Girard Desargues (1591-1661).46 Más adelante, el pintor español Antonio Palomino (1655-1726) publicó un tratado en el que dio a conocer el
método del triángulo áureo para dibujar perspectivas, que hasta entonces permanecía restringido al círculo de dibujantes y pintores.6 En 1715, la publicación del tratado de perspectiva lineal del
matemático británico Brook Taylor (1685-1731),47 permitió que la enseñanza de la perspectiva a los artistas se basase en el estudio de las matemáticas subyacentes a esta técnica.
Otro destacado pintor que hizo un uso habitual de la perspectiva en sus minuciosas vistas urbanas de Venecia, fue el italiano Canaletto (1697-1768),48 extendiendo a laépoca de la Ilustración la
tradición geométrica del período anterior.
La segunda mitad del siglo XVIII asistió al auge del estilo neoclásico, con pintores de corte academicista como el francés Jacques-Louis David (1748-1825), en cuyas obras la perspectiva servía de
telón de fondo a temas de carácter historicista o alegórico,49 pero sin el protagonismo de la etapa anterior.
En el plano teórico, figuras como los franceses Gaspard Monge (1746-1818), creador de la geometría descriptiva, y Jean-Victor Poncelet (1788-1867), recuperador de la geometría proyectiva,
sentaron las bases que ligaron la geometría de la perspectiva a la técnica y a otras ramas de la matemática como el álgebra. Finalmente, Otto Wilhelm Fiedler (1832-1912) definió rigurosamente en
su tesis doctoral de 1859 el sistema de proyección central, fijando los fundamentos matemáticos de la perspectiva cónica tal como se conocen en la actualidad.6 
Tras la revolución francesa, surgió el movimiento romántico, preludio de las corrientes artísticas de vanguardia de la primera parte del siglo XX. Durante este período se impuso un concepto más
naturalista del arte, menos ligado al rigor geométrico de las escenas imperante hasta entonces. Además, el perfeccionamiento de la fotografía en las últimas décadas del siglo XIX, contribuyó a
facilitar la creación de vistas en perspectiva, trivializando de alguna manera la laboriosa tarea que suponía la creación manual de imágenes pictóricas en perspectiva.50 
La aparición del cubismo de la mano de Pablo Picasso (1881-1873) supuso una ruptura absoluta con el concepto académico de perspectiva, con su propósito de reflejar simultáneamente las
distintas facetas de un objeto tridimensional desarrolladas sobre el plano del cuadro.51 
Militar y muchacha riendo (1658). La
composición del cuadro de Johannes
Vermeer utiliza la convergencia de las
líneas de la ventana
Las meninas, obra en la que
Velázquez se sirve de la luz para
dotar de profundidad al cuadro
estructurado en sucesivos planos
Retrato de Pablo Picasso, por
Juan Gris, muestra de la ruptura
del cubismo con el concepto
clásico de perspectiva.
Juego visual, en el que la
perspectiva de un conjunto de
objetos forma un retrato de
Mae West, obra de Salvador
Dalí
Sin embargo, movimientos posteriores a lo largo del siglo XX, como el surrealismo representado por Salvador Dalí (1904-1989),52 o el hiperrealismo practicado por Antonio López (1936),53 se
han servido de la perspectiva como recurso expresivo de primer orden. En este sentido, se pueden citar los trabajos del grabador holandés M. C. Escher (1898-1972), que exploró los límites teóricos
de la perspectiva produciendo paradójicos efectos con objetos geométricamente imposibles.54 
El avance en la geometría proyectiva durante los siglos XIX y XX, condujo al desarrollo de la geometría analítica y de la geometría algebraica, que un tiempo después formarían parte del soporte
matemático ligado a la relatividad55 y a la mecánica cuántica.56 
Las proyecciones ortogonales (sin puntos de fuga) tienen una larga historia, especialmente si se incluyen en esta categoría los planos en planta, de los que se
conoce un ejemplo procedente de Caldea de hace más de 4000 años, en el que se representa un templo correspondiente a la época del rey Gudea.6 
Posteriormente, el desarrollo de la geometría en el antiguo Egipto quedó ligado a la realización de dibujos esquemáticos sobre papiros, tradición que a través
de la Grecia clásica (donde no son infrecuentes las cerámicas con reproducciones axonométricas de elementos arquitectónicos) pasó hasta Roma. En este
sentido, en los diez libros del arquitecto romano Vitrubio57 ya se escribe acerca de la necesidad de realizar planos antes de construir cualquier obra.
La Edad Media en Europa supuso un periodo de estancamiento respecto a los conocimientos técnicos adquiridos por los constructores y artistas romanos. Sin
embargo, una excepción notable fue el maestro de obra francés de comienzos del siglo XIII Villard de Honnecourt, que en su Libro del Cantero incluye
esquemas geométricos en perspectiva para el encaje de los sillares.44 
El vertiginoso desarrollo de la perspectiva cónica en la Italia del Renacimiento supuso un cierto arrinconamiento del sistema axonométrico en el arte, que sin
embargo conservó un papel importante en la ingeniería militar y en los dibujos técnicos, como acreditan los numerosos planos de máquinas contenidos en los
códices de Leonardo da Vinci.44 Los tratadistas del renacimiento, deslumbrados por los logros pictóricos de la perspectiva cónica, apenas se ocuparon de la
axonométrica. Tan solo Luca Pacioli hizo alguna referencia a su utilidad para representar los sólidos platónicos en su obra Divina Proportio de 1509.
Durante el siglo XVI aparecen las primeras obras sobre estereotomía de la piedra y la madera, pero sobre todo cobra auge la arquitectura militar, con
numerosos tratados sobre fortificaciones como el de italiano Francesco di Giorgio (1439-1502), que compartió el espíritu geométrico de la obra de
Leonardo.44 Junto con Jacopo Castriotto, Girolamo Maggi (c. 1523-1572) instauró la tradición del dibujo axonométrico en los tratados militares,
contraponiéndolo explícitamente a las perspectivas cónicas.
La codificación científica de la axonometría puede atribuirse al francés Desargues y a su discípulo Abraham Bosse (c. 1602–1676). Como en el caso de perspectiva cónica, Gaspard Monge y Jean-
Victor Poncelet sentaron las bases rigurosas de las proyecciones ortogonales, relacionando ambas.
En 1820, el químico británico William Farish (1759-1837) inventó la perspectiva isométrica. La referencia en la Enciclopedia Británica de 1835 a esta técnica hizo que adquiriera gran popularidad.
Julius Ludwig Weisbach (1806-1871), Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876) y Oskar Schlömilch (1823-1901) completaron la formulación axiomática de la axonometría en el periodo de transición
entre los siglos XIX y XX. En España, el ingeniero Eduardo Torroja (1899-1961)58 sistematizó en un manual los distintos tipos de perspectiva axonométrica.6 
Evolución de la perspectiva axonométrica
Axonométrica realizada por
Villard de Honnecourt (hacia
1230)
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https://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Vermeer
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Las_Meninas_01.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Las_meninas
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https://es.wikipedia.org/wiki/Pablo_Picasso
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https://es.wikipedia.org/wiki/Salvador_Dal%C3%AD
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https://es.wikipedia.org/wiki/Eduardo_Torroja_Miret
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Villard_de_Honnecourt_-_Sketchbook_-_61.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Villard_de_Honnecourt
En el campo académico, fue el científico italiano Quintino Sella (1827-1884) uno de los primeros en aplicar sistemáticamente la perspectiva
axonométrica a sus estudios de cristalografía, y la enseñanza de esta disciplina llegó a los Estados Unidos de la mano del ingeniero de origen
francés Claudius Crozet (1789-1864).
La generalización de las máquinas herramienta a partir del siglo XIX permitió industrializar la fabricación de componentes mecánicos de precisión,
generando nuevas necesidades para las que los planos técnicos en perspectiva axonométrica se ajustan a la perfección. Así, ingenieros como Joseph
Whitworth (1803–1887) o Charles Renard (1847-1905) normalizaron respectivamente los pasos de rosca y el grosor de los cables, y tanto la
documentación de sus patentes como la descripción gráfica de sus productos se sirvieron frecuentemente de este tipo de dibujos.6 
El primer tercio del siglo XX vio el nacimiento de las organizaciones nacionales de normalización, culminada con la creación de la ISO en 1947,
estableciéndose estándares técnicos que han servido para unificar internacionalmente los criterios con los que se realizan las perspectivas
axonométricas de carácter técnico.
El origen de los gráficos interactivos por ordenador se sitúa en 1963, cuando Ivan Sutherland presentó en el MIT su tesis doctoral59 sobre un sistema
informático que permitía manejar gráficamente elementos geométricos. Esta aplicación pionera daría lugar a la aparición del CAD, sentando las bases
teoricoprácticas de los primeros programas de diseño asistido.6 
Numerosos videojuegos y películas de animación con escenarios tridimensionales, así como la inmensa mayoría de aplicaciones de diseño gráfico por
ordenador, se valen de versiones numéricas más o menos simplificadas para generar imágenes en perspectiva.60 
Los programas de ordenador generalmente utilizan modelos numéricos en coordenadas tridimensionales de los motivos a representar, formados por
superficies compuestas de numerosas escamas triangulares o poligonales,61 normalmente dotadas de color y de textura. Una vez situados el punto de vista y
el plano del dibujo en el mismo sistema de coordenadas tridimensionales del modelo observado (como si fueran el ojo del observador y una ventana por la
que estuviese mirando), el programa de ordenador calcula las intersecciones con el plano del dibujo de las ternas de rayos que conectan cada triángulo del
modelo con el punto de vista de la escena. Cada terna de puntos de corte con el plano de dibujo, genera un triángulo proyectado en el citado plano, que
hereda el color y la textura del triángulo original del modelo. De acuerdo con las coordenadas de los triángulos proyectados sobre el plano de dibujo, el
código del programa se encarga de dar a la tarjeta gráfica62 del ordenador las instrucciones necesarias para controlar el encendido de los píxeles del monitor
que finalmente componen la imagen generada.63 
El constante incremento de la potencia de cálculo de los equipos informáticos y las sucesivas mejoras en los algoritmos que calculan la geometría y la modelización de los objetos visualizados (con
comportamientos tan complejos como los de las sombras propias y arrojadas; los brillos y reflejos; los líquidos; el fuego; los objetos transparentes; los movimientos de los seres vivos y las texturas
del pelo y de la piel...) han permitido la creación de aplicaciones (especialmente videojuegos) capaces de generar en tiempo real escenas en perspectiva cada vez de mayor realismo. Dado que se
dispone de las herramientas matemáticas necesarias para la generación de estas imágenes, parece que es cuestión de tiempo que se disponga de la potencia de cálculo requerida para que las
imágenes generadas por ordenador lleguen a ser prácticamente indistinguibles a simple vista de las imágenes reales captadas por los equipos de vídeo o las cámaras de cine.64 
Imagen generada con Google Sketchup y
texturizada con IRender nXt
Vista de una ciudad imaginaria creada con
el programa gratuito CityGen
Ejemplo de perspectiva generada con
ordenador utilizando la aplicación Mental Ray
El diseño asistido por computadora y la mayoría de los videojuegos (especialmente las aplicaciones que usan polígonos en 3-D) utilizan álgebra lineal, y en particular la multiplicación de matrices
para realizar los cálculos necesarios para la generación de imágenes en perspectiva. Los cálculos básicos necesarios son muy simples: para conocer las coordenadas de una visual sobre el plano del
dibujo, basta determinar el punto de intersección entre ambos, lo que equivale a la resolución trivial de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. En realidad, las matemáticas65 
subyacentes a la geometría de la perspectiva son muy sencillas, y la complejidad de la generación de imágenes realistas radica tanto en el gran número de objetos elementales que deben manejarse
secuencialmente, como en los elevados requerimientos de cálculo de los sofisticados algoritmos que modelizan el comportamiento de la luz incidiendo sobre la modelización de los objetos que
componen una escena.
Además de conocidos programas de CAD como Autocad, Microstation, SolidEdge, CATIA, SolidWorks, Pro/Engineer o Euclid,66 existen programas ya clásicos como Autodesk 3ds Max, Mental
Ray o Google Sketchup67 especializados en la generación de imágenes tridimensionales. Numerosas de estas aplicaciones se sirven de paquetes de rutinas gráficas como OpenGL o Direct3D, que
optimizan el rendimiento de las tarjetas gráficas de los ordenadores.68 
De los muchos tipos de dibujos en perspectiva cónica, los más habituales son con un punto de fuga, con dos o con tres; característica que sirve para denominarlos, aunque conceptualmente son el
mismo tipo de sistema de representación. Por su parte, las perspectivas axonométricas presentan una mayor variedad de tipologías:
Perspectiva Cónica
 
Axonométrica
Ortogonal
 Isométrica
 
 Dimétrica
 
 Trimétrica
 
 
Oblicua 
 
 
Diseño axonométrico de un
mecanismo obra de Leonardo da
Vinci
Ejemplo de perspectiva
isométrica, obra de William
Farish (1822)
Presente: gráficos por computadora
Tipos de perspectiva
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https://es.wikipedia.org/wiki/Mental_Rayhttps://es.wikipedia.org/wiki/Dise%C3%B1o_asistido_por_computadora
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales
https://es.wikipedia.org/wiki/CAD
https://es.wikipedia.org/wiki/Autocad
https://es.wikipedia.org/wiki/Microstation
https://es.wikipedia.org/wiki/SolidEdge
https://es.wikipedia.org/wiki/CATIA
https://es.wikipedia.org/wiki/SolidWorks
https://es.wikipedia.org/wiki/Autodesk_3ds_Max
https://es.wikipedia.org/wiki/Mental_Ray
https://es.wikipedia.org/wiki/Google_Sketchup
https://es.wikipedia.org/wiki/OpenGL
https://es.wikipedia.org/wiki/Direct3D
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fuga
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_c%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_axonom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_ortogonal
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_isom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_dim%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_trim%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_oblicua
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:%D0%9C%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B8%D0%B7%D0%B3%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%B8%D0%BD.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Transactions01camb_0061.jpg
Caballera 
 Militar
 
 
Los sistemas de perspectiva curvilíneos forman parte de las cónicas, dado que todas las visuales que sirven para definir el dibujo pasan por un único vértice común (el punto de vista), con la
salvedad de que se utilizan superficies de proyección distintas del plano (como cilindros o esferas).
Un dibujo en perspectiva de este tipo contiene solo un
punto de fuga en la línea del horizonte. Se usa
generalmente para representar imágenes de motivos
lineales, como carreteras, vías férreas, pasillos o edificios
vistos de manera que el frente esté directamente delante
del observador. Cualquier objeto que se compone de
líneas, ya sea directamente paralelas a la línea de visión
del espectador o directamente perpendiculares (como las
traviesas del ferrocarril) se puede representar
adecuadamente con una perspectiva de un punto de fuga,
en el que convergen las líneas que se alejan del
espectador.69 
La perspectiva de un punto se da cuando el plano del dibujo es paralelo a dos ejes de una escena con motivos rectilíneos, compuesta enteramente de elementos lineales que se cortan solo en ángulos
rectos. Si un eje es paralelo al plano de la imagen, entonces todos los elementos son paralelos al plano de la imagen (ya sea horizontal o verticalmente) o perpendiculares a él. Todos los elementos
que son paralelos al plano de la imagen se dibujan como líneas paralelas. Todos los elementos que son perpendiculares al plano de la imagen convergen en un único punto (un punto de fuga) en el
horizonte.2 
Ejemplos de perspectiva con un punto de fuga
 
 
La perspectiva con dos puntos de fuga, que pueden colocarse
arbitrariamente en el horizonte, se suele usar para dibujar los mismos
objetos que una perspectiva de un punto, pero cuando están rotados: por
ejemplo, cuando se mira hacia la esquina de una casa, o en la vista de dos
caminos bifurcados cuya anchura aparente se reduce con la distancia. Uno
de los puntos de fuga representa un conjunto de líneas rectas paralelas, y el
segundo representa otro. Vistas desde una esquina, las aristas horizontales de
una de las paredes de una casa convergerían hacia un punto de fuga,
mientras que las de la otra pared se dirigirían hacia el punto de fuga
opuesto.69 
La perspectiva de dos puntos de fuga se produce cuando el plano del dibujo es paralelo a un eje coordenado (generalmente el eje vertical) pero no a los otros dos ejes. Si la escena que se visualiza
consiste únicamente en un cilindro con su base sobre un plano horizontal, no existe diferencia en la imagen del cilindro entre una perspectiva de un punto y de dos puntos de fuga.
Posee un conjunto de líneas paralelas al plano de la imagen y dos conjuntos oblicuos al mismo. Cada familia de líneas paralelas oblicuas al plano de la imagen converge en su propio punto de fuga,
lo que significa que esta configuración requerirá dos puntos de fuga.2 
La perspectiva con tres puntos de fuga se usa a menudo para representar
edificios vistos desde arriba o desde abajo. Además de los dos puntos de
fuga ya descritos, uno para cada familia de paredes, en este caso se
localiza un tercer punto de fuga sobre el que convergen las líneas
verticales de las paredes. Para un objeto visto desde arriba, este tercer
Perspectiva con un punto de fuga
Perspectiva con un
punto de fuga
Modelo representado en perspectiva con un punto
de fuga
Perspectiva con un punto de fuga:
línea de ferrocarril en España
Perspectiva con dos puntos de fuga
Perspectiva con dos
puntos de fuga
Un cubo dibujado usando una
perspectiva con dos puntos de fuga
Perspectiva de un edificio con dos
puntos de fuga
Perspectiva con tres puntos de fuga
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_caballera
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_militar
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Inside_Greenwich_Foot_Tunnel.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Railroad-Tracks-Perspective.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:One_point_perspective.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Finnish_national_road_4_Vierum%C3%A4ki.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:HK_Hung_Hum_Station_Corridor.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tuileries_Rivoli_Perspective.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspectivephoto.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fuga
https://es.wikipedia.org/wiki/Paralelismo_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspective-1point.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:1-Fluchtpunktperspektive.png
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Estaci%C3%B3_d%27Almenara,_andanes_i_vies.JPG
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspective-2point.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspective1.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:APAP_Diurna.jpg
punto de fuga está debajo del suelo. Para un objeto visto desde abajo,
como cuando el espectador mira hacia arriba a un edificio alto, el tercer
punto de fuga se sitúa en el zenith.69 
La perspectiva de tres puntos de fuga se produce al dibujar un motivo con
caras ortogonales, cuando el plano de la imagen no es paralelo a ninguno
de los tres ejes de la escena, correspondiendo cada uno con uno de los tres
puntos de fuga de la imagen.
Las perspectivas con uno, dos y tres puntos de fuga parecen incorporar
diferentes formas de cálculo del dibujo, y se podría pensar que se generan
mediante diferentes métodos. Matemáticamente, sin embargo, las tres son
idénticas; la diferencia radica meramente en la orientación relativa de las caras ortogonales de la escena rectilínea respecto al espectador y al plano del dibujo.2 
El escorzo es el efecto visual o ilusión óptica que hace que un objeto o una distancia parezcan más
cortos de lo que realmente son porque están girados hacia el espectador. Además, en las imágenes los
objetos generalmente no se escalan de manera uniforme: un círculo a menudo aparece como una
elipse70 y un cuadrado puede aparecer como un trapezoide.
Aunque el escorzo es un elemento importante en el arte donde se representa la perspectiva visual,
también se produce en otros tipos de representaciones bidimensionales de escenas tridimensionales.
Algunos otros tipos en los que puede producirse escorzo incluyen dibujos en proyección paralela
oblicua.71 
En pintura, el escorzo en la representación de la figura humana se perfeccionó en el Renacimiento
italiano, y la famosa pintura de la "Lamentación sobre Cristo muerto" de Andrea Mantegna (1480) es
una de las realizaciones más conocidas de una serie de obras que muestran la nueva técnica, que
posteriormente se convirtió en una parte estándar de la formación de los artistas.72 
Las perspectivas de un punto, de dos puntos y de tres puntos dependen de la estructura de la escenaque se está observando. Solo existen para
escenarios estrictamente cartesianos (con tres ejes rectilíneos generalmente ortogonales). Al insertar en una escena cartesiana un conjunto de líneas
paralelas entre sí que no son paralelas a ninguno de los tres ejes principales, se crea un nuevo punto de fuga distinto. Por lo tanto, es posible tener
una perspectiva con infinitos puntos de fuga si la escena que se está viendo no se ajusta a un sistema de ejes cartesianos, sino que consiste en
infinitas parejas de líneas paralelas, donde cada par de rectas no es paralelo a ningún otro par.2 
La perspectiva curvilínea,73 también llamada perspectiva de punto infinito o perspectiva de cuatro puntos, es la variante curvilínea de la
perspectiva de dos puntos. Una imagen en perspectiva curvilínea puede representar una panorámica74 de 360 ° e incluso más allá de 360 ° para
diseñar escenas imposibles. Se puede utilizar con una línea del horizonte tanto horizontal como vertical. En esta última configuración puede
representar tanto una vista de gusano como una vista aérea de una escena al mismo tiempo.
El método habitual de generar perspectivas curvilíneas es proyectar el modelo sobre una superficie teórica curvada, en vez de hacerlo sobre un
plano (aunque finalmente, el resultado se dibuje sobre un plano). Así, se habla de una perspectiva de cuatro puntos de fuga cuando se utiliza un
cilindro que rodea al observador (los cuatro puntos se sitúan delante, detrás y a ambos lados, cubriendo 360°); cuando se utiliza media esfera se
habla de cinco puntos (arriba, abajo, izquierda, derecha y al frente); y con una esfera completa, se habla de seis puntos (se añade un punto de fuga
situado detrás).69 
Al igual que todas las demás variantes escorzadas de perspectiva (perspectivas de un punto a seis puntos),69 comienza con una línea del horizonte,
seguida de cuatro puntos de fuga igualmente espaciados para delinear cuatro líneas verticales. Los puntos de fuga creados para generar las
ortogonales curvilíneas se localizan libremente en las cuatro líneas verticales colocadas en el lado opuesto de la línea del horizonte. La única
dimensión no escorzada en este tipo de perspectiva es la de las líneas rectas paralelas entre sí, perpendiculares a la línea del horizonte, similares a
las líneas verticales utilizadas en la perspectiva con dos puntos.69 
Una perspectiva sin puntos de fuga (perspectiva con "cero puntos de fuga") se produce cuando el
espectador está observando una escena no lineal, y que por lo tanto no contiene rectas paralelas.75 
El ejemplo más común de una vista no lineal de este tipo es una escena natural (por ejemplo, una
cadena montañosa) que a menudo no contiene ninguna línea paralela. Esto no debe confundirse
con las vistas de un sistema diédrico, ya que una vista sin puntos de fuga explícitos puede haberse
dibujado de tal manera que hubiera habido puntos de fuga si hubiera habido rectas paralelas, y así
disfrutar de la sensación de profundidad como en una proyección en perspectiva cualquiera.11 
Por otro lado, una proyección paralela, como la diédrica, se puede aproximar a una perspectiva
cuando el objeto en cuestión se observa desde muy lejos, porque las líneas de proyección tienden a hacerse paralelas cuando el punto de vista se
aproxima al infinito. Esto puede explicar la confusión de las perspectivas sin puntos de fuga con las proyecciones ortogonales, ya que las escenas
naturales a menudo se ven desde muy lejos, y el tamaño de los objetos dentro de la escena suele ser insignificante en comparación con su distancia
al punto de vista. La apariencia de cualquier pequeño objeto en dicha escena se asemejaría así a su aspecto en una proyección paralela.76 
Perspectiva con tres
puntos de fuga
Modelo dibujado según una
perspectiva con tres puntos de
fuga
Fotografía formando una perspectiva
con tres puntos de fuga.
Escorzo
Dos proyecciones diferentes de una
pila de dos cubos, que ilustran el
escorzo en una proyección paralela
oblicua ("A") y el escorzo en
perspectiva ("B")
Andrea Mantegna, Lamentación
sobre Cristo muerto
Perspectiva con numerosos puntos de fuga
Dibujo en perspectiva de una
escalera con diversos puntos de
fuga, aunque no todos quedan
situados en el interior del dibujo
Perspectiva curvilínea
Ejemplo de perspectiva curvilínea
Perspectivas cónica, cilíndrica y
esférica
Perspectiva sin puntos de fuga
Panorámica del Monte Everest. A
pesar de ser una perspectiva, la
ausencia de líneas paralelas en la
escena impide visualizar ningún
punto de fuga preferente
https://es.wikipedia.org/wiki/Efectos_visuales
https://es.wikipedia.org/wiki/Ilusi%C3%B3n_%C3%B3ptica
https://es.wikipedia.org/wiki/Distancia
https://es.wikipedia.org/wiki/Visual
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_oblicua
https://es.wikipedia.org/wiki/Renacimiento_italiano
https://es.wikipedia.org/wiki/Lamentaci%C3%B3n_sobre_Cristo_muerto_(Mantegna)
https://es.wikipedia.org/wiki/Andrea_Mantegna
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_curvil%C3%ADnea
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_contrapicado
https://es.wikipedia.org/wiki/Vista_a%C3%A9rea
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_di%C3%A9drico
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspective-3point.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:3-punktperspektive_1.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Rome_Palace_of_Labor.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspective-foreshortening.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Andrea_Mantegna_-_The_Lamentation_over_the_Dead_Christ_-_WGA13981.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Andrea_Mantegna
https://es.wikipedia.org/wiki/Lamentaci%C3%B3n_sobre_Cristo_muerto_(Mantegna)
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Staircase_perspective.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Curviligne.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Three_perspectives.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Mount-Everest.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Monte_Everest
Este tipo de proyecciones se caracterizan porque las visuales
son paralelas entre sí, lo que en teoría equivale a que el
punto de vista de la proyección se sitúe en el infinito. En la
práctica, presentan la ventaja de que permiten medir
directamente sobre los tres ejes coordenados las dimensiones
del modelo representado.
Se clasifican en dos tipos principales:77 
Ortogonales: en estos sistemas, la posición de
los ejes coordenados del dibujo, se corresponde
con la proyección real de los ejes del sistema de
coordenadas del modelo sobre el plano del dibujo,
cuando son cortadas por este. En el caso de la
perspectiva isométrica, los tres ángulos que
forman los ejes coordenados del dibujo son
iguales (120° cada uno), lo que hace posible que
se puedan obtener las medidas del modelo sobre
los ejes sin necesidad de escalarlas entre sí.
Cuando dos de los puntos de corte del plano del dibujo con el sistema de coordenadas del modelo equidistan del origen, se obtiene una perspectiva dimétrica (dos ejes
comparten escala, distinta de la del tercer eje); y cuando las tres distancias son distintas, se obtiene una trimétrica (es decir, en cada eje se mide con una escala distinta). El
escalado de los ejes es el resultado de los posibles distintos valores de las distancias entre el origen de coordenadas del modelo y los puntos de corte con el plano del
dibujo.
Oblicuas: en este caso, uno de los ángulos de las coordenadas del dibujo mide 90°, por lo que sus dos ejes conservan la misma escala, debiéndose adoptar una escala
distinta para el tercer eje. A este tipo corresponden la perspectiva caballera y la perspectiva militar. Desde el punto de vista de la geometría euclídea, son vistas imposibles,
puesto que si la proyección ortogonal sobre el plano del dibujo de la cara de un cubo es un cuadrado, en la práctica no sería posible ver ninguna otra de sus caras.
Existen varios métodos para generar perspectivas, que incluyen:
Dibujo a mano alzada (común en el arte)
Estimar las dimensiones de una vista utilizando herramientas como un compás de proporción
Utilizar una retícula en perspectiva,lo que permite situar las coordenadas tridimensionales de un modelo cuyas
dimensiones se conocen
Construcción gráfica (método común en arquitectura, hasta que se generalizó el uso de programas de dibujo por
ordenador)
Copiar una fotografía
Deformar una fotografía mediante un programa de ordenador, haciendo converger sus líneas paralelas hacia un lado
determinado de la imagen
Computar la posición de los puntos de la imagen mediante una proyección tridimensional (común en las aplicaciones 3D
para ordenador)
Las imágenes de perspectiva se calculan suponiendo una relación determinada entre el punto de
vista y el plano donde se proyecta la imagen, que a su vez poseen una determinada posición
respecto al modelo que se quiere dibujar. Para que la imagen resultante aparezca idéntica a la
escena original, un espectador de la perspectiva debe ver la imagen desde el punto de vista exacto
utilizado en los cálculos relativos a la imagen. Esto provoca lo que aparecerían como distorsiones
en la imagen cuando se mira desde un punto diferente. En la práctica, a menos que el usuario elija
un ángulo extremo, como mirar la imagen desde la esquina inferior de la ventana, la perspectiva
normalmente se ve más o menos correcta. Este efecto se conoce como la paradoja de Zeeman.78 
Se ha sugerido que un dibujo en perspectiva todavía parece estar en perspectiva cuando se
contempla descentradamente porque todavía se percibe como un dibujo, al carecer de la
profundidad de campo que sí posee el modelo original.79 
Sin embargo, para una perspectiva típica, el campo de visión es lo suficientemente estrecho (a
menudo solo 60 grados) como para que las distorsiones sean lo suficientemente pequeñas, de
forma que la imagen se pueda ver desde un punto diferente al punto de vista calculado real sin
aparecer significativamente distorsionada. Cuando se requiere un ángulo de visión mayor, el método estándar de proyectar rayos sobre una
superficie plana no es práctico. Como máximo teórico, el campo de visión de una imagen plana debe ser inferior a 180 grados, porque a medida que
el campo de visión aumenta hacia 180 grados, la anchura requerida del plano de imagen se aproxima al infinito.
Para crear una imagen de rayos proyectados con un gran campo de visión, se puede proyectar la imagen sobre una superficie curva. Para tener un gran campo de visión horizontal en la imagen, una
superficie que es un cilindro vertical (es decir, el eje del cilindro es paralelo al eje z) será suficiente (de manera similar, si el campo de visión amplio que se desea está solo en la dirección vertical
de la imagen, un cilindro horizontal será suficiente). Una superficie de imagen cilíndrica permitirá una imagen proyectada de rayos de hasta 360 grados completos en la dimensión horizontal o
vertical de la imagen en perspectiva (dependiendo de la orientación del cilindro). Del mismo modo, al usar una superficie de imagen esférica, el campo de visión puede ser de 360 grados completos
en cualquier dirección (téngase en cuenta que para una superficie esférica, todos los rayos proyectados desde la escena hasta el ojo se cruzan con la superficie en ángulo recto).69 
Del mismo modo que una imagen de perspectiva estándar debe verse desde el punto de vista calculado para que la imagen parezca idéntica a la escena real, una imagen proyectada en un cilindro o
esfera debe ser vista desde el punto de vista calculado para que sea exactamente idéntica a la escena original. Si una imagen proyectada sobre una superficie cilíndrica se "desenrolla" en una imagen
plana, se producen diferentes tipos de distorsiones. Por ejemplo, muchas de las líneas rectas de la escena se dibujarán como curvas. Una imagen proyectada en una superficie esférica puede
aplanarse de varias maneras:69 
Perspectivas axonométricas
Perspectiva caballera de los jardines de las Tullerías (Jacques Ier Androuet
du Cerceau)
Perspectiva isométrica de una pieza
mecánica, con sus vistas en planta y
alzado
Métodos de construcción
Perspectiva del Campidoglio, en Roma.
Miguel Ángel diseñó la composición de
esta pequeña plaza; dispuso los edificios
laterales confluyendo hacia el fondo para
reforzar la sensación de profundidad.
Limitaciones
Sátira sobre la Perspectiva Falsa por
William Hogarth, 1753
Epimeteo (abajo izquierda) y Jano
(derecha). Las dos lunas de Saturno
aparecen cercanas debido al
escorzo; en realidad, Jano está unos
40.000 km más cerca de la nave
Cassini que Epimeteo.
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_isom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_caballera
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_militar
https://es.wikipedia.org/wiki/Comp%C3%A1s_de_proporci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_tridimensional
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Drawing_of_an_enlarged_project_of_1578_to_1579_for_the_Tuileries,_by_Jacques_Androuet_du_Cerceau.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspective_isometrique_exemple_piece_revolution.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:CampidoglioEng.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Colina_Capitolina
https://es.wikipedia.org/wiki/Miguel_%C3%81ngel
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:William_Hogarth_-_Absurd_perspectives.png
https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%A1tira_sobre_la_Perspectiva_Falsa
https://es.wikipedia.org/wiki/William_Hogarth
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:PIA08170_Epimetheus_and_Janus.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Epimeteo_(sat%C3%A9lite)
https://es.wikipedia.org/wiki/Jano_(sat%C3%A9lite)
Una imagen equivalente a un cilindro desenrollado
Una parte de la esfera se puede aplanar en una imagen equivalente a una perspectiva estándar
Una imagen similar a una fotografía de ojo de pez
 
Perspectiva
Perspectiva cónica
Perspectiva axonométrica
Perspectiva ortogonal
Perspectiva isométrica
Perspectiva dimétrica
Perspectiva trimétrica
Perspectiva oblicua
Perspectiva caballera
Perspectiva militar
Anamorfosis
Perspectiva aérea
Ángulo de cámara
Perspectiva curvilínea
Dibujo de corte
Teorema de Desargues
Control de la perspectiva
Distorsión de la proyección
perspectiva
Proyección tridimensional
Geometría proyectiva
Perspectiva invertida
Zograscopio
1. Lajo Pérez, Rosina (1990). Léxico de arte. Madrid - España: Akal. p. 162. ISBN 978-
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