Ecuacion_de_Bernoulli_y_aplicaciones

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Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis
ECUACIÓN DE BERNOULLI
y
APLICACIONES
γ
++=
p
g2
v
hB
2
Daniel Bernoulli (1700 – 1782)
SUMA DE BERNOULLI
2
h
p
g2
v
B
2
+
γ
+=
ALTURA DE 
VELOCIDAD
ALTURA DE 
PRESIÓN
COTA
COTA PIEZOMÉTRICA
h
pp̂
+
γ
=
γ
COTA PIEZOMÉTRICA:
EL BERNOULLI Y LA COTA PIEZOMÉTRICA TIENEN 
DIMENSIONES DE LONGITUD 
SUMA DE BERNOULLI
γ
++=
p
g2
v
hB
2
γ
p
h
g2
v22
D1 
D2 
v1
v2
γ
p
h
g2
v21
γ
p
h
g2
v21
NIVEL DE REFERENCIA
B
3
ECUACIÓN (o PRINCIPIO) DE BERNOULLI
h1
h2
NIVEL DE REFERENCIA
v2
v1
(1) (2)
p1
p2
La ecuación de Bernoulli
junto a la ecuación de 
continuidad 
son fundamentales para la 
resolución de los problemas de 
la Dinámica de los Fluidos
γ
++=
γ
++ 2
2
2
2
1
2
1
1
p
g2
v
h
p
g2
v
h
2211 AvAv =
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
Principio de Torricelli:
“La velocidad con la que sale un 
líquido por el orificio de un recipiente 
es igual a la que adquiriría un cuerpo 
que se dejara caer libremente desde 
la superficie libre del líquido hasta el 
nivel del orificio”.
4
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
Apliquemos la ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2) 
considerando que el nivel del líquido (H) permanece constante. 
B1 = B2
En el punto (1): h1 = H, p1 = patm (o p1 = 0 si trabajamos con 
presiones relativas). Como el nivel se mantiene constante: v1 = 0.
En el punto (2): h2 = h, p2 = patm (o p2 = 0 si trabajamos con con
presiones relativas). 
De donde despejamos la velocidad de salida:
(1) •
•
(2)
H
h
NIVEL DE REFERENCIA
γ
++=
γ
++ 2
2
2
2
1
2
1
1
p
g2
v
h
p
g2
v
h
γ
++=
γ
++ atm
2
2atm p
g2
v
h
p
0H
( )hHg2v2 −=
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
Continuidad: El caudal es el mismo en las secciones (1), (2) y (3)
Conservación de la energía: El Bernoulli es el mismo en las secciones (1), (2) y (3)
V1
V2
V3
D1 D2 D3
p1 p2
p3
(1) (2) (3)
5
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
Continuidad: 
Q1 = Q2 = Q3 = Q
V1
V2
V3
D1 D2 D3
p1 p2
p3
(1) (2) (3)
3
3
2
2
1
1
A
Q
v
A
Q
v,
A
Q
v
=
==
Como D2 < D1 < D3 , se tiene que A2 < A1 < A3 , resultando que V2 > V1 > V3
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
Conservación de la energía: 
B1 = B2 = B3 = B
V1
V2
V3
D1 D2 D3
p1 p2
p3
(1) (2) (3)
γ
++=
γ
++=
γ
++=
3
2
3
33
2
2
2
22
1
2
1
11
p
g2
v
hB
p
g2
v
hB
p
g2
v
hB
Consideremos que la tubería es horizontal y que el nivel de referencia está
en el eje de la tubería. Esto significa que h1 = h2 = h3 = 0 y las ecuaciones 
de Bernoulli se reducen a:
6
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
V1
V2
V3
D1 D2 D3
p1 p2
p3
(1) (2) (3)
γ
+=
γ
+=
γ
+=
3
2
3
3
2
2
2
2
1
2
1
1
p
g2
v
B
p
g2
v
B
p
g2
v
B
Como B1 = B2 = B3 = B , tenemos que la presión en cada sección es igual a:






−γ=





−γ=





−γ=
g2
v
Bp,
g2
v
Bp,
g2
v
Bp
2
3
3
2
2
2
2
1
1
O sea, en las secciones de menor diámetro, el área es menor, la velocidad 
es mayor y la presión es menor.
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
La presión es menor en 
las secciones de mayor 
velocidad
7
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
TUBO DE VENTURI
o VENTURÍMETRO:
Venturi tuvo la idea de medir las presiones en la 
sección de mayor área y en la de menor área para 
determinar el caudal que escurre por la tubería.
GIOVANNI BATISTA VENTURI 
(1746 – 1822)
γ
−
γ
=−
γ
+=
γ
+
=
21
2
1
2
2
2
2
21
2
1
21
pp
g2
v
g2
v
p
g2
vp
g2
v
BB
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
VENTURÍMETRO:
Además
Reemplazando en la 
ecuación anterior:
2
2
1
1 A
Q
v,
A
Q
v ==
γ
−
−
=






γ
−
γ
=




 −






γ
−
γ
=−
21
2
2
2
1
21
21
2
2
2
1
2
2
2
12
21
2
1
2
2
2
2
pp
g2
AA
AA
Q
pp
g2
AA
AA
Q
pp
g2
A
Q
A
Q
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
VENTURÍMETRO:
En las aplicaciones prácticas se usa:
Donde C es una constante empírica que se calibra para cada venturímetro
γ
−
= 21
pp
CQ
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
DIAFRAGMA o PLACA ORIFICIO:
El mismo principio que el usado en el venturímetro se utiliza en la placa 
orificio o diafragma.
(1) (2)
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
DIAFRAGMA o PLACA ORIFICIO:
Sea A el área de la tubería y A0 el 
de la placa orificio. 
En la sección (2) el área del chorro 
es ccA0.
El problema es esencialmente el 
mismo que el del venturímetro, 
resultando, reemplazando A1 por A y 
A2 por ccA0 en la expresión final: (1) (2)
p1 p2
( ) γ
−
−
= 21
2
0c
2
0c ppg2
AcA
AAc
Q
En aplicaciones prácticas se utiliza
Donde C’ se calibra experimentalmente.
γ
−
= 21
pp
´CQ
PUNTOS DE 
ESTANCAMIENTO
Los puntos de estancamiento 
son puntos del flujo en los que 
la velocidad es nula.
Ellos surgen para compatibilizar 
físicamente puntos en los que 
las líneas de corriente tienen 
radio de curvatura tendiendo a 
cero.
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PUNTOS DE ESTANCAMIENTO
LÍNEAS DE CORRIENTE
PUNTO DE ESTANCAMIENTO (PE)
(0) (PE)
Se cumple: B0 = BPE
PUNTOS DE ESTANCAMIENTO
(0) (PE)B0 = BPE
γ
=
γ
+ PE0
2
0 pp
g2
v
PRESIÓN ESTÁTICA
PRESIÓN DINÁMICA






γ
−
= 0PE0
pp
g2v
Podemos conocer la velocidad:
11
PUNTOS DE ESTANCAMIENTO
(0) (PE)
Podemos conocer la velocidad:
⇓






γ
−
= 0PE0
pp
g2v
Instrumento para medir la velocidad 
de los fluidos: TUBO DE PITOT
TUBO DE PITOT
Inventado en 1732 por Henri de Pitot
(1695 – 1771) para determinar el 
caudal del río Sena (Francia)
12
TUBO DE PITOT
El punto (2) es un punto de estancamiento
TUBO DE PITOT
B1 = B2
Como el punto (2) es un punto de estancamiento
p1 y p2 las ligamos con las presión que hay dentro 
del tubo. En el tubo la situación es hidrostática:
Pero pA = pB = patm , de donde resulta que 
v1
γ
=
γ
+ 21
2
1 pp
g2
v






γ
−
= 121
pp
g2v
( )LHpp,Lpp B2A1 +γ+=γ+=
gH2vHpp 112 =⇒γ=−