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SolitonesSolitones en Condensados de en Condensados de 
BoseBose--EinsteinEinstein
El Condensado de Bose-Einstein
• Estado de la matería en el que todos los
átomos están en el estado fundamental
• El CBE está descrito por una única función
de onda
• Predicho en 1924, realizado en 1995
• Enfriamiento de átomos alcalinos (85Rb, 87Rb,
23Rb, 7Li) a temperaturas muy bajas
• Primera fase: Trampa láser
• Segunda fase: Evaporación en trampa
magnética
Solitones en Condensados de Bose-Einstein – p.1/7
Bosones sin interacción
• Trampa magnética armónica:
Vext(~r) =
1
2
m(ω2xx
2 + ω2yy
2 + ω2zz
2)
• Estados monoparticulares
ǫnx ny nz = (nx + 1/2)~ωx + (ny + 1/2)~ωy + (nz + 1/2)~ωz
• Estado fundamental: φ(~r1, . . . , ~rn) = ΠNi=1ϕ0(~ri)
ϕ0(~r) =
(mωh0
π~
)3/4
exp
[
−
m
2~
(ω2xx
2 + ω2yy
2 + ω2zz
2)
]
ωh0 = (ωxωyωz)
1/3, ah0 =
√
~
mωh0
∼ 1µm
. Solitones en Condensados de Bose-Einstein – p.2/7
Bosones sin interacción
• Distribución de densidades: n(~r) = N |ϕ0(~r)|2
• Función Gaussiana en el espacio de coordenadas y el de
momentos → Localización en ambos espacios. Propio de BECs
• Existen también trampas con simetría axial → Geometria
quasi-1D (disco, cigarro)
• A temperatura finita, existen dos escalas de energía:
• Temperatura de transición kBT0
• Espaciado promedio de niveles ~ωh0
• Relacionados (aprox. semiclásica): kBT0 = (N/ζ(3))1/3~ωh0
• Aprox. semiclásica válida si kBT0 ≫ ~ωh0. Se cumple en CBEs
experimentales.
• En Rubidio, ~ωh0 = 9 nK, T0 = 300 nK y N = 40000.
Solitones en Condensados de Bose-Einstein – p.3/7
Efecto de la interacción
• Hamiltoniano de N partículas confinadas en un potencial Vext:
Ĥ =
∫
d~rΨ̂†(~r)
[
−
~
2
2m
∇2 + Vext(~r)
]
Ψ̂(~r)
+
1
2
∫
d~r d~r′Ψ̂†(~r)Ψ̂†(~r′)V (~r − ~r′)Ψ̂(~r)Ψ̂(~r′),
• Aproximación de campo medio: separar la contribución del
condensado de Ψ̂ y Ψ̂†:
Ψ̂(~r, t) = Φ(~r, t) + Ψ̂′(~r, t)
• Φ(~r, t) =< Ψ̂(~r, t) >: Función de onda del condensado
• Densidad del condensado: n0(~r, t) = |Φ(~r, t)|2.
Solitones en Condensados de Bose-Einstein – p.4/7
Efecto de la interacción
•• Aproximación de gas diluido: V (~r − ~r′) = gδ(~r − ~r′)
g =
4π~2a
m
• a: Longitud de dispersión de ondas s (mucho mayor que la
distancia entre átomos).
• Ecuación Gross-Pitaevskii:
i~
∂
∂t
Φ(~r, t) =
(
−
~
2∇2
2m
+ Vext(~r) + g|Φ(~r, t)|
2
)
Φ(~r, t)
• Válido sólo para T ≈ 0 (Ψ̂′ = 0)
• a > 0 (repulsivo) en Rb y Na. a < 0 (atractivo) en Li → Colapso
para N > Ncr.
Solitones en Condensados de Bose-Einstein – p.5/7
Arrays de CBEs
• Trampa óptica: dos haces láser que se propagan en dirección contraria crean una
onda estacionaria → potencial periódico
• Átomos se situan en los vientres de la onda → array de BECs acoplados
• La función de onda del condensado puede desarrollarse en funciones de Bloch o
de Wannier:
Φ(~r, t) =
∑
n
ψ(t)φ(~r − ~rn)
• Usando la aproximación tight-binding, la ecuación GP se transforma en una DNLS:
iψ̇n + σγ|ψn|
2ψn + (ψn+1 + ψn−1 − 2ψn) = 0
• σ = −sgn(a), γ ∝ a.
• a < 0, bright breathers estables; a > 0, dark breathers estables.
Solitones en Condensados de Bose-Einstein – p.6/7
Resonancia Feshbach
• La energía total de dos átomos en colisión es igual a la de la
molécula ligada. Son posibles transiciones átomo-molécula
durante la colisión
• Se induce por un campo magnético externo (efecto Zeeman)
• La longitud de dispersión puede variar fácilmente.
• Efectos:
• Condensado fermiónico (40K2, 6Li2)
• Bosenovas: colapso y explosión variando a
(Ncr = kah0/|a| → acr = −kah0/N0)
• Arrays de BECs
iψ̇n + 2g(t)|ψn|
2ψn + (ψn+1 + ψn−1 − 2ψn) = 0
Solitones en Condensados de Bose-Einstein – p.7/7
	Título
	El Condensado de Bose-Einstein
	Bosones sin interacción
	Bosones sin interacción
	Gráfico
	Efecto de la interacción
	Efecto de la interacción
	Arrays de CBEs
	Resonancia Feshbach