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Publicaciones Electrónicas 
Sociedad Matemática Mexicana 
 
 
 
Álgebra Moderna 
 
 
 
 
 
Emilio Lluis-Puebla 
 
www.smm.org.mx
Serie: Textos. Vol. 22 (2021) 
 
 
 
 
Álgebra Moderna 
 
 
 
 
Emilio Lluis-Puebla 
 
Universidad Nacional Autónoma de México 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Publicaciones Electrónicas 
Sociedad Matemática Mexicana 
Índice General
Prefacio 5
Introducción 7
I Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales 15
I.1 Operaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.2 Estructuras Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.3 Propiedades Elementales de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . 28
I.4 Grupos Cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II Grupos Cociente, Teoremas de Isomorfismo y Productos 43
II.1 Sucesiones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II.2 Grupos Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
II.3 Teoremas de Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
II.4 Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
IIIGrupos Libres, Producto Tensorial y Teoremas de Sylow 71
III.1 Grupos Abelianos
Finitamente Generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
III.2 Permutaciones y Órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
III.3 Grupos Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
III.4 Producto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
III.5 Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
IVTeoría de Anillos 111
IV.1 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
IV.2 Propiedades Elementales y
Teoremas de Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3
4 Índice General.
IV.3 Polinomios y Campo de Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . 127
V Teoría de Campos y
Teoría de Galois 139
V.1 Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
V.2 Automorfismos y más sobre extensiones . . . . . . . . . . . . . 151
V.3 Teoría de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Bibliografía y Referencias 169
Lista de Símbolos 171
Índice Analítico 175
Prefacio
El éxito de la Teoría de Grupos es impresionante y extraordinario. Es la
rama más poderosa e influyente de toda la Matemática. Influye en casi todas
las disciplinas científicas, artísticas y en la propia Matemática de una manera
fundamental. Lo que realmente se ha hecho en la Teoría de Grupos, es extraer
lo esencial de diversas situaciones donde ocurre. Dado un conjunto no vacío,
definimos una operación binaria en él, tal que cumpla ciertos axiomas, es
decir, que posea una estructura, (la estructura de grupo). El concepto de
estructura y los relacionados con éste, como el de isomorfismo, juegan un
papel decisivo en la Matemática actual.
La teoría general de las estructuras es una herramienta muy poderosa.
Siempre que alguien pruebe que sus objetos de estudio satisfacen los axio-
mas de cierta estructura, obtiene, de inmediato para sus objetos, todos los
resultados válidos para esa teoría. Ya no tiene que comprobar cada uno
de ellos particularmente. Actualmente, podría decirse que las estructuras
permiten clasificar las diversas ramas de la Matemática.
Con respecto a la Teoría de Galois, ha sido mi intención la de llegar al
Teorema Principal de la manera más corta y elegante posible. He visto que
el exponer demasiado material hace muy tedioso el curso a los alumnos y al
profesor, además de que algunos alumnos pierden de vista el objetivo dentro
de un mar de definiciones y proposiciones. Creo haber logrado este objetivo
mediante un material equilibrado.
Este texto está diseñado para un curso de un semestre sobre Álgebra Mo-
derna en el posgrado de matemática o bien para un curso de dos semestres
en la licenciatura de matemática. Consta de cinco capítulos con diversas sec-
ciones cada uno. Contienen una serie de problemas que se resuelven con crea-
tividad utilizando el material expuesto, mismos que constituyen una parte
5
6 Prefacio
fundamental del mismo. Tienen también como finalidad, la de permitirle al
estudiante crear y redactar matemática. En III.5 se incluye la demostración
de los Teoremas de Sylow basados en las notas de Guerino Mazzola [M] desa-
rrolladas por Marco Larrea-Schiavon [L] . En la licenciatura de matemática se
puede repartir el contenido en dos cursos semestrales, viendo los tres primeros
capítulos hasta III.4 en el primero y la sección III.5 junto con los dos últimos
capítulos en el segundo semestre.
Este libro es producto del trabajo escrito y revisado a lo largo de varios
años del material correspondiente a mi curso sobre la materia que he im-
partido en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de
México. Después de haber ofrecido por muchos años el curso con excelentes
textos, algunos citados en la Bibliografía, y de los cuales he sido inspirado,
decidí escribir uno que siga el enfoque de mis libros [Ll1] y [Ll2]. Es decir,
escogí una presentación moderna donde introduzco el lenguaje de diagramas
conmutativos y propiedades universales, tan requerido en la Matemática ac-
tual, así como en la Física y en la Ciencia de la Computación, entre otras
disciplinas.
Ciudad Universitaria.
Septiembre de 2021.
Introducción
La Matemática existe desde que existe el ser humano. Prácticamente todo
ser humano es un matemático en algún sentido. Desde los que utilizan la
Matemática hasta los que la crean. También todos son hasta cierto punto
filósofos de la Matemática. Efectivamente, todos los que miden, reconocen
personas o cosas, cuentan o dicen que “tan claro como que dos y dos son
cuatro” son matemáticos o filósofos de la Matemática. Sin embargo, hay un
número muy reducido de personas que se dedican a crear, enseñar, cultivar
o divulgar la Matemática.
La Matemática es pilar y cimiento de nuestra civilización. Desde la
primera mitad del siglo XIX, debido al progreso en diversas ramas se le dio
unidad a la Ciencia Matemática y justificaron el nombre en singular. Según
me comentó mi querido amigo, Arrigo Coen, Mathema significa erudición,
manthánein el infinitivo de aprender, el radical mendh significa en pasivo,
ciencia, saber. Luego, es lo relativo al aprendizaje. Así que en sentido im-
plícito, Matemática significa: “lo digno de ser aprendido”. También se dice
que Matemática significa “ciencia por excelencia”.
Sin embargo, de muy pocas personas podría decirse que poseen informa-
ción correcta y actualizada sobre alguna de sus ramas o subramas. Los niños
y jóvenes de nuestros días pueden poseer una imagen bastante aproximada
de electrones, galaxias, agujeros negros, código genético, etc. Sin embargo,
difícilmente encontrarán durante sus estudios, conceptos matemáticos crea-
dos más allá de la primera mitad del siglo XIX. Esto es debido a la naturaleza
de los conceptos de la Matemática.
Es muy común la creencia de que un matemático es una persona que
se dedica a realizar enormes sumas de números naturales durante todos los
7
8 Introducción
días de su vida. También, la gente supone que un matemático sabe sumar
y multiplicar los números naturales muy rápidamente. Si pensamos un poco
acerca de este concepto que la mayoría tiene acerca de los matemáticos,
podríamos concluir que no se requieren matemáticos ya que una calculadora
de bolsillo realiza este trabajo.
También, cuando uno pregunta ¿cuál es la diferencia entre un matemático
y un contador? la consideran una pregunta equivalente a ¿cuál es la diferencia
entre x y x? Es decir, suponen que hacen lo mismo. Si uno dice que un
matemático rara vez tiene que realizar sumas o multiplicaciones, les resulta
increíble. También les resulta increíble el que los libros de Matemática rara
vez utilizan números mayores que 10, exceptuando quizás los números de las
páginas.
Durante muchos años, a los niños se les ha hecho énfasis en el aprendizajede las tablas de multiplicar, en el cálculo de enormes sumas, restas, multipli-
caciones, divisiones y raíces cuadradas a lápiz pero de números muy pequeños
(para los números grandes, la mayoría de las personas tiene poca idea de su
magnitud). Después, cuando jóvenes, aquellos que sumaban y multiplicaban
polinomios eran considerados por sus compañeros como genios poseedores de
un gran talento matemático y posteriormente a éstos, si tenían suerte, se les
enseñaba a sumar y multiplicar números complejos.
Pareciera ser, entonces, que el matemático es aquel ser que se pasa la vida
haciendo sumas y multiplicaciones (de números pequeños), algo así como un
encargado de la caja de un negocio. Esta impresión subsiste en una gran
mayoría de las personas. Nada más lejos de esto. Los matemáticos no son
los que calculan o hacen cuentas sino los que inventan cómo calcular o hacer
cuentas. Hacer Matemática es imaginar, crear, razonar.
Para contar fue necesario representar los números de alguna forma, por
ejemplo, los dedos de la mano. Después, el ábaco constituyó un paso todavía
ligado a contar con los dedos, el cual todavía se utiliza en algunas partes
del planeta. Posteriormente la máquina aritmética de Pascal inventada en
1642 permitía efectuar sumas y restas mediante un sistema muy ingenioso de
engranes. En la actualidad, las calculadoras de bolsillo o teléfonos móviles
permiten realizar, en segundos, cálculos que antes podrían haber llevado años
enteros y también le permitieron a uno deshacerse de las famosas tablas de
logaritmos y de la regla de cálculo.
Introducción 9
Sin embargo, en general, los alumnos de cualquier carrera y los egresados
de ellas a los cuales se les pregunta, -¿qué es la suma? o mejor dicho, ¿qué
es la adición?- simplemente encogen los hombros, a pesar de que han pasado
más de doce años sumando y de que la suma es un concepto muy primitivo.
También suele suceder que cuando un niño o un joven o un adulto profesion-
ista se enfrenta a un problema, no sabe si debe sumar, restar, multiplicar o
llorar.
El concepto de operación binaria o ley de composición es uno de los más
antiguos de la Matemática y se remonta a los antiguos egipcios y babilo-
nios quienes ya poseían métodos para calcular sumas y multiplicaciones de
números naturales positivos y de números racionales positivos (téngase en
cuenta que no poseían el sistema de numeración que nosotros usamos). Sin
embargo, al paso del tiempo, los matemáticos se dieron cuenta que lo im-
portante no eran las tablas de sumar o multiplicar de ciertos “números” sino
el conjunto y su operación binaria definida en él. Esto, junto con ciertas
propiedades que satisfacían dieron lugar al concepto fundamental llamado
grupo.
Históricamente, el concepto de operación binaria o ley de composición
fue extendido de dos maneras donde solamente se tiene una rememblanza
con los casos numéricos de los babilonios y los egipcios. La primera fue
por Gauss, al estudiar formas cuadráticas con coeficientes enteros, donde vio
que la ley de composición era compatible con ciertas clases de equivalencia.
La segunda culminó con el concepto de grupo en la Teoría de Sustituciones,
(mediante el desarrollo de las ideas de Lagrange, Vandermonde y Gauss en la
solución de ecuaciones algebraicas). Sin embargo, estas ideas permanecieron
superficiales, siendo Galois el verdadero iniciador de la Teoría de Grupos al
reducir el estudio de las ecuaciones algebraicas al de grupos de permutaciones
asociados a ellas.
Fueron los matemáticos ingleses de la primera mitad del siglo XIX los que
aislaron el concepto de ley de composición y ampliaron el campo del Álgebra
aplicándola a la Lógica (Boole), a vectores y cuaternios (Hamilton), y a
matrices (Cayley). Para finales del siglo XIX, el Álgebra se orientó al estudio
de las estructuras algebraicas dejando atrás el interés por las aplicaciones de
las soluciones de ecuaciones numéricas. Esta orientación dio lugar a tres
principales corrientes:
10 Introducción
(i) la Teoría de Números que surgió de los matemáticos alemanes Dirich-
let, Kummer, Kronecker, Dedekind y Hilbert, basados en los estudios de
Gauss. El concepto de campo fue fundamental.
(ii) la creación del Álgebra Lineal en Inglaterra por Sylvester, Clifford; en
Estados Unidos por Pierce, Dickson, Wedderburn; y en Alemania y Francia
por Weirstrass, Dedekind, Frobenius, Molien, Laguerre, Cartan.
(iii) la Teoría de Grupos que al principio se concentró en el estudio de gru-
pos de permutaciones. Fue Jordan quien desarrolló en gran forma el trabajo
de Galois, Serret y otros de sus predecesores. Él introdujo el concepto de
homomorfismo y fue el primero en estudiar grupos infinitos. Más tarde, Lie,
Klein y Poincaré desarrollaron este estudio considerablemente. Finalmente
se hizo patente que la idea fundamental y esencial de grupo era su ley de
composición u operación binaria y no la naturaleza de sus objetos.
El éxito de la Teoría de Grupos es impresionante y extraordinario. Basta
nombrar su influencia en casi toda la Matemática y otras disciplinas del
conocimiento. Los ejemplos escritos en 1.1 podrían dejar perplejo al no
ilustrado en matemática con un pensamiento acerca de los pasatiempos que
los matemáticos inventan combinando “números” de una manera perversa.
Sin embargo, ahí hemos considerado ejemplos vitales para la Teoría de los
Números (se podría reemplazar el número 3 por cualquier número natural
 (si  = 12 obtenemos los números de los relojes o las clases de tonos en
la Música) o por un número primo  obteniendo conceptos y resultados im-
portantes) y para la propia Teoría de Grupos (grupo diédrico y simétrico).
Al observar esto, lo que realmente se ha hecho en la Teoría de Grupos, es
extraer lo esencial de ellos, a saber, dado un conjunto no vacío, definimos
una operación binaria en él, tal que cumpla ciertas axiomas, postulados o
propiedades, es decir, que posea una estructura, (la estructura de grupo).
Existen varios conceptos ligados al de estructura, uno de los más importantes
es el de isomorfismo.
El concepto de estructura y de los relacionados con éste, como el de
isomorfismo, juegan un papel decisivo en la Matemática actual. Las teorías
generales de las estructuras importantes son herramientas muy poderosas.
Siempre que alguien pruebe que sus objetos de estudio satisfacen los axiomas
de cierta estructura, obtiene, de inmediato, todos los resultados válidos para
esa teoría en sus objetos. Ya no tiene que comprobar cada uno de ellos
Introducción 11
particularmente. Un uso actual en la Matemática, de las estructuras y los
isomorfismos, es el de clasificar las diversas ramas de ella (no es importante
la naturaleza de los objetos, pero sí lo es el de sus relaciones).
En la Edad Media la clasificación en ramas de la Matemática estaba
dada por la de Aritmética, Música, Geometría y Astronomía las que consti-
tuyeron el Cuadrivium. Después y hasta la mitad del siglo XIX, las ramas
de la Matemática se distinguían por los objetos que estudiaban, por ejem-
plo, Aritmética, Álgebra, Geometría Analítica, Análisis, todas con algunas
subdivisiones. Algo así como si dijéramos que puesto que los murciélagos y
las águilas vuelan entonces pertenecen a las aves. Lo que se nos presenta
ahora es el ver más allá y extraer de las apariencias las estructuras subya-
centes. Actualmente existen 63 ramas de la Matemática con más de 5000
subclasificaciones. Entre ellas se encuentran la Topología Algebraica (estruc-
turas mixtas), el Álgebra Homológica (la purificación de la interacción entre
el Álgebra y la Topología, creada en los años cincuenta del siglo pasado), y
la K-Teoría Algebraica (una de las más recientes ramas, creada en los años
setenta del siglo pasado).
Como es frecuente en la Matemática, los intentos por resolver un problema
específico dan lugar a una Teoría Matemática. En este caso, los intentos
por encontrar soluciones por radicales de ecuaciones algebraicas dan comoresultado varias de las ramas de la Matemática: la Teoría de Grupos, la
Teoría de Anillos y la Teoría de Galois entre otras. En [A-Ll1] y [A-Ll2] el
lector puede encontrar otros ejemplos de esta situación. La Teoría de Galois
es una interacción entre grupos, campos y polinomios, entre el Álgebra Lineal
y la Teoría de Grupos.
Se sabe de la escuela secundaria cómo encontrar por el método de radi-
cales las soluciones de un polinomio cuadrático, con coeficientes en R, de la
forma () = 2 +  +  con  6= 0 Esto lo sabían los antiguos babilo-
nios alrededor del año 1600 A.C. Las raíces están dadas mediante la fórmula
(− ± 2√2 − 4)2 Esta solución está en una tableta de barro que so-
brevive hasta la fecha. Este método es válido para cualquier polinomio con
coeficientes en un campo de característica diferente de 2 cuyas raíces están
en la cerradura algebraica de ese campo. Lo mismo sucede para polinomios
de grado 3 y 4 (del Ferro, Tartaglia, Ferrari y Cardano en 1545) sobre los
números racionales. Los matemáticos trataron por cientos de años de encon-
trar una fórmula por radicales para polinomios de grado 5 (Lagrange en 1770
12 Introducción
y Ruffini en 1799 probaron que los métodos para grados 3 y 4 fallan para
grado 5). Fue Abel en 1824 y 1826 quien probó que esto no puede necesaria-
mente resolverse por radicales. En fin, la solución de ecuaciones polinomiales
ha sido un problema matemático por más de 3500 años.
Galois asoció a cada ecuación, un grupo, llamado ahora, de Galois en
honor a él. Este grupo consiste de un subconjunto de permutaciones de las
soluciones. A partir de las propiedades del grupo de Galois se pueden deducir
propiedades de una ecuación, sin hacer mención de ella. Vagamente, la idea
principal de la Teoría de Galois es la de considerar las permutaciones de las
raíces de un polinomio que tienen la característica de que permutadas siguen
satisfaciendo cualquier ecuación algebraica que satisfagan originalmente. Es-
tas permutaciones de las raíces forman un grupo, el grupo de Galois.
El concepto que abarca a los polinomios y a los campos es el de anillo
conmutativo. Comenzamos el Capítulo IV estudiando el sistema algebraico
de los anillos. La palabra anillo fue introducida por David Hilbert. Alrededor
del año 1921, Emmy Noether fundamenta la Teoría de Anillos Conmutativos.
También estudiamos dos tipos de anillos importantes, los dominios enteros y
los campos. El concepto de campo (o cuerpo) fue considerado por Dedekind
en 1871, por Kronecker en 1881, y por ambos alrededor de 1850 en sus
clases. Pero fue Weber en 1893 quien proveyó de una definición como la
que actualmente usamos. El concepto de ideal fue introducido por Kummer
alrededor de 1850 y utilizado como ahora lo conocemos por Dedekind.
En 1881 Leopold Kronecker proveyó una extensión de un campo adjun-
tado una raíz de un polinomio irreducible. En 1894 Dedekind fue el primer
matemático en desarrollar el concepto de automorfismo de campos, lo llamó
permutaciones del campo. Fue Emil Artin en 1926 quien desarrolló la relación
entre campos y grupos con mucho detalle y enfatizó que la Teoría de Galois
no debería tener como meta la de determinar las condiciones de solubilidad
de ecuaciones algebraicas sino la de explorar las relaciones entre las exten-
siones de campos y los grupos de automorfismos y es esta última intención
la que se sigue en el presente texto.
Con respecto a la notación para una extensión de campos he preferido
denotar con  0 ½  una extensión imitando una torre rotada 90 grados a la
derecha, es decir, una torre acostada de campos ya que esto facilita visualizar
específicamente los campos y su respectiva inclusión en otros.
Introducción 13
Algunos piensan que la Matemática es un juego simple que sola y fría-
mente interesa al intelecto. Esto sería el olvidar, asienta Poincaré, la sen-
sación de la belleza matemática, de la armonía de los números y las formas,
así como de la elegancia geométrica. Esta es ciertamente una sensación de
placer estético que todo verdadero matemático ha sentido y por supuesto
que pertenece al campo de la emoción sensible. La belleza y la elegancia
matemática consisten en todos los elementos dispuestos armónicamente tales
que nuestra mente pueda abarcarlos totalmente sin esfuerzo y a la vez man-
tener sus detalles.
Esta armonía, continúa Poincaré, es, de inmediato, una satisfacción de
nuestras necesidades estéticas y una ayuda para la mente que sostiene y guía.
Y al mismo tiempo, al poner bajo nuestra visión un todo bien ordenado, nos
hace entrever una ley o verdad matemática. Esta es la sensibilidad estética
que juega un papel de filtro delicado, la cual explica suficientemente el por
qué el que carece de ella nunca será un verdadero creador, concluye Poincaré.
Para el autor de este texto, la Matemática es una de las Bellas Artes, la
más pura de ellas, que tiene el don de ser la más precisa y la precisión de las
Ciencias.
14 Introducción
Capítulo I
Estructuras Algebraicas y
Propiedades Elementales
I.1 Operaciones Binarias
En esta sección presentaremos uno de los conceptos más antiguos de la
Matemática, la operación binaria o ley de composición. También veremos
qué tan ciertos son unos "dichos populares" como son los de "tan claro como
que dos y dos son cuatro" y "el orden de los factores no altera el producto".
Recordemos algunos conceptos elementales.
Primero, recuerde el conjunto de los números enteros
Z = {− 5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 }
Segundo, pregúntese: -¿cómo se relacionan dos conjuntos “adecuada-
mente”? Sean  y  dos conjuntos cualesquiera. Diremos que  : →  es
una función de  en  si a cada elemento de  le asociamos un elemento
único de .
Por ejemplo, si  = {  } y  = {   } entonces  :  →  dada
por la siguiente asociación
 7−→ 
 7−→ 
 7−→ 
15
16 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
es una función, mientras que la asociación
 7−→ 
 7−→ 
 7−→ 
 7−→ 
no es una función, puesto que a un objeto de  no se le asocia un único
elemento de , (a  se le asocian  y ). Los conjuntos  y  se llaman
dominio y codominio, respectivamente, de la función  .
El subconjunto del codominio que consiste de los elementos que son asoci-
ados a los del dominio se llama imagen de  . Así, en la función anterior, la
imagen de  es el conjunto {  }; el elemento  de  no está en la imagen
de  es decir, no es imagen de ningún elemento de  bajo  .
Utilizamos la siguiente notación para denotar las imágenes de los elemen-
tos de  bajo  :
 :  −→ 
 7−→ () = 
 7−→ () = 
 7−→ () = 
Tercero: considere el producto cartesiano de un conjunto  que se denota
 ×  y que consiste de todas las parejas ordenadas de elementos de , es
decir
× = {( )|  ∈ }
Ahora ya podemos definir el importantísimo concepto de operación bi-
naria o ley de composición. Sea  un conjunto no vacío. Una operación
binaria o ley de composición en G es una función  : ×→  donde
( ) 7−→ ( ).
Como es obvio, podemos denotar una función con cualquier símbolo, por
ejemplo   ¨N♣♥×⊗ ∗, etc. Así, en Z podemos tener una op-
eración binaria
 : Z× Z → Z
( ) 7−→ ( )
y por abuso o conveniencia de notación denotamos ( ) como . Por
ejemplo, (3 2) 7−→ (3 2) = 32.
Si la operación binaria  la denotamos simplemente como + (la suma
usual en Z) entonces (3 2) 7−→ +(3 2) = 3 + 2 que es igual a 5. Si la
I.1 Operaciones Binarias 17
operación binaria  la denotamos como · (la multiplicación usual en Z),
entonces (3 2) 7−→ ·(3 2) = 3 ·2 que es igual a 6. Observe que una operación
binaria se define en un conjunto no vacío .
1.1 Ejemplo. Definamos un conjunto de la siguiente manera: considere
tres cajas y reparta los números enteros en cada una de ellas de una manera
ordenada como sigue:
...
...
...
−6 −5 −4
−3 −2 −1
0 1 2
3 4 5
6 7 8
9 10 11
...
...
...
[0] [1] [2]
Las cajaslas denotaremos así: [0] por contener al cero, (o bien 0+ 3Z, es
decir, los múltiplos de 3), [1] por contener al uno (o bien 1+3Z, es decir, los
múltiplos de 3 mas 1), y caja [2] por contener al dos (o bien 2+3Z, es decir,
los múltiplos de 3 mas 2). Asignémosle a la caja [0] el número 0, porque
sus elementos dan residuo 0 al dividirlos entre 3; análogamente asignémosle
a la caja [1] el número 1 y a la caja [2] el número 2, pues sus elementos
dan residuo 1 y 2 respectivamente, al dividirlos entre 3. Consideremos el
conjunto Z3= {0 1 2} llamado juego completo de residuos módulo 3,
pues al dividir cualquier entero entre 3 da residuos 0 1 ó 2. Definamos en él
una operación binaria que podríamos denotar con   ¨N♣♥×⊗ ∗,
etc; escojamos +. Así
+ : Z3 × Z3 → Z3
con
(1 1) 7−→ +(1 1) = 1 + 1 = 2
(0 1) 7−→ +(0 1) = 0 + 1 = 1
(1 0) 7−→ +(1 0) = 1 + 0 = 1
(2 1) 7−→ +(2 1) = 2 + 1 = 0
18 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
(2 2) 7−→ +(2 2) = 2 + 2 = 1
Escribamos su tabla de sumar:
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
Veamos otro
1.2 Ejemplo. Consideremos el juego completo de residuos módulo 5, es
decir, los posibles residuos que se obtienen al dividir cualquier número entero
entre 5, el cual denotaremos con Z5 = {0 1 2 3 4}. Dibuje usted las cajas.
Definamos una operación binaria en Z5
· : Z5 × Z5 → Z5
de la siguiente manera:
(2 2)→ ·(2 2) = 2·2 = 4
(2 1)→ ·(2 1) = 2·1 = 2
(2 3)→ ·(2 3) = 2·3 = 1
(3 4)→ ·(3 4) = 3·4 = 2
Es común oír el dicho “tan cierto como que dos y dos son cuatro”. Sin
embargo, como hemos visto en los ejemplos anteriores 2 + 2 = 1, 2 + 1 = 0,
2·3 = 1, 3·4 = 2, etc. y claramente 2 + 2 6= 4. En los ejemplos anteriores
hemos considerado los conjuntos Z3 y Z5 a los cuales le hemos definido una
"suma" u operación binaria. La suma usual en los números naturales y en-
teros es una operación binaria, lo mismo que la multiplicación definida en
ellos. Estas son las operaciones binarias consideradas en el dicho. En los
primeros años de escuela se pone un énfasis especial en uno de los muchos
algoritmos para sumar y multiplicar números naturales (i.e. en el proced-
imiento o manera de sumarlos y multiplicarlos). Después de varios años se
pone un especial énfasis en sumar y multiplicar números enteros y en multi-
plicar y dividir polinomios. En general, cuando se "suma" hay que especificar
siempre el conjunto en el cual se define la operación binaria.
I.1 Operaciones Binarias 19
También es común oír el dicho "el orden de los factores no altera el pro-
ducto". ¿Será esto siempre cierto?
1.3 Ejemplo. Consideremos el conjunto ∆3 de los movimientos rígidos
de un triángulo equilátero con vértices es decir, las rotaciones sobre el
baricentro de 0◦, 120◦ y 240◦ y las reflexiones sobre las medianas. Denotemos
éstos movimientos rígidos de la siguiente manera:
0 = [] 1 = [] 2 = []
3 = [] 4 = [] 5 = []
Los elementos 0 1 y 2 corresponden a las rotaciones. Los elementos 3 4 y 5
corresponden a las reflexiones. Definamos una operación binaria ◦ en ∆3:
◦ : ∆3 ×∆3→∆3
( )→◦ ( ) =  ◦ 
Calculemos:
[] ◦ [] = []
esto es
(1 1)→◦(1 1) = 1◦1 = 2
[] ◦ [] = []
esto es
(2 3)→◦ (2 3) = 2 ◦ 3 = 5
[] ◦ [] = []
esto es
(3 2)→◦ (3 2) = 3 ◦ 2 = 4
Observe que
2 ◦ 3 6= 3 ◦ 2
Ahora sí, ¿2 + 2 = 4 y 2 ◦ 3 = 3 ◦ 2?
El concepto de operación binaria o ley de composición es uno de los más
antiguos de la Matemática y se remonta a los antiguos egipcios y babilo-
nios quienes ya poseían métodos para calcular sumas y multiplicaciones de
20 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
números naturales positivos y de números racionales positivos (téngase en
cuenta que no poseían el sistema de numeración que nosotros usamos). Sin
embargo, al paso del tiempo, los matemáticos se dieron cuenta que lo im-
portante no eran las tablas de sumar o multiplicar de ciertos "números" sino
el conjunto y su operación binaria definida en él. Esto, junto con ciertas
propiedades que satisfacían dieron lugar al concepto fundamental llamado
grupo.
Es así que, de manera informal que posteriormente precisaremos, diremos
que un grupo es un conjunto no vacío  junto con una operación binaria
 :  × →, denotado ( ) la cual cumple con ser asociativa, poseer
elemento de identidad e inversos. La imagen de ( ) en  la denotamos
( ) 7−→ ( ). Por abuso o conveniencia de notación denotamos ( )
como  y se llama composición de  y .
Es fácil comprobar (ver los Problemas abajo) que los conjuntos Z3, Z5 y
∆3 con su operacion binaria respectiva, poseen la estructura de grupo. Como
se puede ver en el caso de (∆3 ◦), el concepto de grupo está estrechamente
ligado con el concepto de simetría. Los ejemplos anteriores muestran algunos
conjuntos que poseen una estructura de grupo y lo variantes estos pueden
ser.
Podemos definir funciones  :  → ,  : 2 =  ×  → ,  :
 ×  ×  →  o bien  :  =  ×  ×  →  dando así lugar a
operaciones unarias, binarias, ternarias o n arias. La operación nula
es una función  : {}→ .
Una estructura algebraica o sistema algebraico es un conjunto 
junto con una o más operaciones n arias definidas en  las cuales podrían
satisfacer ciertas axiomas o propiedades. En la siguiente sección definiremos
algunas.
1.4 Definición. Considere  un subconjunto de un grupo ( ◦). Di-
remos que  es estable o cerrado con respecto a la operación binaria ◦ si
◦ ∈  para cualesquiera elementos   ∈ . Obsérvese que la restricción
de ◦ a un subconjunto estable o cerrado proporciona una operación binaria
para  llamada operación binaria inducida.
I.1 Operaciones Binarias 21
Problemas
1.1 Haga una tabla que represente la multiplicación de todos los elementos
de Z3.
1.2 Construya una tabla que represente la suma de todos los elementos
de Z5.
1.3 Construya una tabla que represente la multiplicación de todos los
elementos de Z5.
1.4 Compruebe que ∆3 con la operación binaria definida en el Ejemplo
1.3 es un grupo.
1.5 Sea 3 el conjunto de las permutaciones de 1 2 3. Calcule el número
de elementos de 3. Defina una operación binaria en 3 y construya su tabla.
1.6 Sea  el conjunto de las permutaciones de un conjunto con  ele-
mentos. Calcule el número de elementos de .
1.7 Construya una tabla que represente la suma de todos los elementos de
Z6 y compárela con las tablas de 3 y ∆3. Observe que las tablas de 3 y ∆3
son la misma salvo por el orden y el nombre de los elementos. Compruebe
que éstos dos últimos son grupos y establezca una función biyectiva entre
sus elementos. Observe que la tabla de Z6 le permite comprobar que es un
grupo, pero que su tabla es totalmente diferente a las otras dos.
22 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
I.2 Estructuras Algebraicas
En esta sección definiremos varias estructuras algebraicas algunas de las
cuales ya han sido implícitamente estudiadas. Tiene como finalidad la de
presentar un breve panorama de algunas de las estructuras algebraicas
(no el del estudio propio de la categoría de grupos) y así situar al lector en
una mejor posición para comprender los objetos de estudio de la Teoría de
Grupos. Supondremos que el lector ya conoce los fundamentos del Álgebra
Lineal como en (Ll2) y utilizaremos la notación que ahí se expone.
Sea (+ ) un espacio vectorial sobre un campo  tal como se definió
en Álgebra Lineal. Si quitamos la multiplicación escalar  nos quedaremos
con un conjunto con una operación binaria + que cumple las cuatro axiomas
usuales. Entonces diremos que (+) es un grupo conmutativo bajo +.
Formalmente, con esta notación y en este contexto (en la próxima sec-
ción daremos otra versión de la definición de grupo más general) repetimos,
para ligarla con el estudio de espacios vectoriales, la definición de grupo in-
troducida en la secciónanterior:
2.1 Definición. Un grupo es una pareja (+) donde  es un conjunto
no vacío y
+: ×→ 
es una operación binaria
( ) 7−→ +( )
donde, por conveniencia o abuso de notación se escribe
+( ) = + 
tal que
(i) +(+( ) ) = +(+( )), es decir, (+ ) +  = + ( + )
(ii) existe un elemento  ∈ , llamado elemento de identidad, tal que
+() =  + = 
I.2 Estructuras Algebraicas 23
(iii) para cada  ∈  existe un elemento, llamado inverso, denotado con
−, tal que +(−) =  + (−) = .
Diremos que el grupo es conmutativo si además satisface
(iv) +( ) = +( ) es decir, +  =  + .
Si en la definición anterior consideramos un conjunto  con una operación
binaria+ sin que cumpla alguna condición, decimos que (+) es unmagma
(o grupoide).
Si en la definición anterior consideramos un conjunto  con una operación
binaria + que cumpla (i) diremos que (+) es un semigrupo.
También, si en la definición 2.1 consideramos un conjunto  con una
operación binaria+ que cumpla (i) y (ii) diremos que (+) es unmonoide.
2.2 Ejemplo. El conjunto N de los números naturales con la suma usual
es un semigrupo pero no un monoide pues no tiene elemento de identidad.
(Z+) y (Z+) (con  ∈ N) son monoides conmutativos bajo la “suma” y
(N ·) (Z ·)y (Z ·) son monoides “multiplicativos”.
2.3 Ejemplo. El lector podrá comprobar que (Z+), (Z+),  ∈ Z,
(Q+), (Q∗ = Q−{0} ·), (R+), (R∗ = R−{0} ·), (C+), (C∗ = C−{0} ·),
(Z+), (∆3 ◦), (3 ◦), ( ◦), (+), donde  denota las matrices
cuadradas de × con coeficientes en un campo , (+) y ( ·),
donde  denota las matrices cuadradas invertibles de × ( ∈ N) con
coeficientes en un campo , son grupos (con las operaciones binarias usuales
en cada uno de ellos).
Recordemos que podemos denotar la operación binaria en un conjunto
con cualquier símbolo, por ejemplo, + ∗ ◦ ¦   •4 etc.lo cual haremos en
adelante. Diremos que el orden de un grupo ( ·) es el número de elementos
del conjunto  y lo denotaremos con () o bien con |  | indistintamente.
Así, varias formas de escribir esto son: (Z+) tiene orden , (∆3 ◦) = 6,
| 3 |= 6, () = !. Si |  | es infinito (finito) diremos que  es infinito
(finito). Así, Z es (constituye un grupo) infinito (bajo la suma usual).
Para relacionar dos grupos es necesario definir una función que preserve
la estructura de grupo.
24 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
2.4 Definición. Sean ( ¦) y (0 ) dos grupos. Un homomorfismo
de grupos es una función  : → 0 tal que ( ¦ ) = ()  ().
Ahora, recordemos la definición de acción y definamos el concepto de
grupo con operadores:
2.5 Definición. Sean Ω y  dos conjuntos. Una acción de Ω en  es
una función de Ω× en el conjunto .
2.6 Definición. Sea Ω un conjunto. Un grupo ( ·) junto con una
acción de Ω en ( ·)
◦ : Ω× −→ 
( ) 7→ ◦( ) =  ◦  = 
que sea distributiva con respecto a la ley de composición de ( ·) se llama
grupo con operadores en Ω.
La ley distributiva puede expresarse como
() = 
i.e.,
( ) 7−→ ◦( ) =  ◦ () = ( ◦ )( ◦ )
2.7 Observación. En un grupo  con operadores en Ω, cada elemento
de Ω (llamado operador) define un endomorfismo (i.e.un homomorfismo de
 −→ ) del grupo . Consideremos Ω = Z y para  ∈ ,  ∈ Z definamos
◦ : Z× −→ 
( ) 7→  ◦  = 
Si  es abeliano, tenemos que
() = () =  = ()()
Luego, todo grupo abeliano  puede verse como un grupo con operadores en
Z.
2.8 Definición. Un anillo es una terna (Λ+ ·) donde Λ es un conjunto,
+ y · son operaciones binarias tales que
I.2 Estructuras Algebraicas 25
(i) (Λ+) es un grupo conmutativo
(ii) (Λ ·) es un semigrupo
(iii) ( + ) =  +  y (+ ) =  + 
El lector podrá comprobar que (Z+ ·), (Z+ ·),(Q+ ·), (R+ ·),
(+ ·), (+ ·),([]+ ·), (C+ ·) son anillos.
Si un anillo (Λ+ ·) satisface
(iv) (Λ ·) es un semigrupo conmutativo, entonces (Λ+ ·) se llamará
anillo conmutativo.
Si (Λ ·) es un monoide, diremos que (Λ+ ·) es un anillo con identidad
o con uno.
Recuerde que si el producto de dos elementos distintos de cero de un
anillo Λ es el elemento cero del anillo, entonces esos dos elementos se dice
que son divisores de cero. Si el anillo (∆+ ·) con 1 6= 0 no posee divisores
de cero, se llamará dominio entero. Si un dominio entero posee un inverso
multiplicativo para cada elemento no nulo, se dice que es un anillo con
división.
Finalmente, un campo es un anillo conmutativo con división.
¿Cómo se relacionan dos anillos? Mediante funciones que preserven la
estructura de anillos. Si (Λ ¦ ) y (Λ́+ ·) son anillos, un homomorfismo
de anillos es una función que es un homomorfismo del grupo conmutativo
de Λ en el grupo conmutativo de Λ́ y que también es un homomorfismo del
semigrupo de Λ en el semigrupo de Λ́, es decir,
( ¦ ) = () + () y (  ) = () · ()
Si en la definición de espacio vectorial consideramos un anillo (Λ+ ·)
conmutativo con 1 en lugar de un campo , obtendremos una estructura
algebraica llamada Λ-módulo (izquierdo). Entonces, como caso particular
de los Λ-módulos están los -módulos, i.e. los espacios vectoriales sobre un
campo .
Muchos de los resultados para los espacios vectoriales son válidos para los
Λ-módulos, basta tomar  = Λ un anillo conmutativo con 1. En particular,
relacionamos dos Λ-módulos mediante un homomorfismo de Λ-módulos.
26 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
Los Λ-módulos son generalizaciones de los conceptos de grupo conmutativo
y de espacio vectorial, y son los objetos de estudio del Álgebra Homológica
(véase Ll1). Imitando a los espacios vectoriales, si un Λ-módulo posee una
base, lo llamaremos Λ-módulo libre. No todo Λ-módulo posee base, es
decir, no todo Λ-módulo es libre, pero todo espacio vectorial o -módulo es
libre, es decir, sí posee una base. Diremos que un Λ-módulo es proyectivo
si es sumando directo de un libre y que es finitamente generado si posee
un conjunto finito de generadores.
Un álgebra sobre Λ (Λ un anillo conmutativo con uno) es un conjunto
 que simultáneamente es un anillo y un Λ-módulo. Es decir, un álgebra
(+  ·) es un Λ-módulo con otra operación binaria, llamada multipli-
cación con una condición extra que hace compatibles las operaciones binarias
y multiplicación escalar, la cual es la siguiente:
(+ 0) = () + 0()
(+ 0) = () + 0() para  0 ∈ Λ;   ∈ 
En particular se tiene que () = () = () y por lo tanto  es un
elemento bien definido de . Dejamos al lector proporcionar la definición de
homomorfismo de álgebras así como percatarse de varios ejemplos de álgebras
ya conocidos introducidos implícitamente.
Si se imponen condiciones en la multiplicación de un álgebra se obtienen
álgebras conmutativas, álgebras asociativas, álgebras con uno.
Un álgebra asociativa con uno tal que todo elemento diferente de cero sea
invertible se llama álgebra con división.
2.9 Ejemplo. (+ · ) donde denota las matrices cuadradas
de × con coeficientes en un campo  ( denota la multiplicación escalar)
es un álgebra al igual que (+ · ) y ([]+ · ).
Definimos un álgebra graduada como una sucesión  = (0 1 2 )
de álgebras , una para cada índice  ∈  .
Para quienes han estudiado, dentro de un curso elemental de Álgebra Lin-
eal, el Álgebra Multilineal (como en Ll2), recordarán los siguientes conceptos
que no son requisitos para este texto.
2.10 Ejemplo. Sea  ( ) = ⊗ =  ⊗ · · ·⊗ el producto tensorial
de un espacio vectorial  sobre un campo ,  veces. Llamaremos a  ( )
I.2 Estructuras Algebraicas 27
espacio tensorial de grado  de  . Si definimos una multiplicación
· :   ×   →  + mediante
(1 ⊗ ⊗ ) · (1 ⊗ ⊗ ) = 1 ⊗ ⊗  ⊗ 1 ⊗ ⊗ 
tenemos un álgebra graduada (donde definimos  0 =  y  1 =  )
 = (  2  3 4   ) llamada álgebra tensorial de  .
2.11 Ejemplo. Sea
V
 =  ∧ ∧ el producto exterior de un espacio
vectorial  sobre un campo ,  veces. Consideremos la multiplicación
exterior definida por
∧ :
̂
 ×
̂
 →
+̂

Entonces tenemos un álgebra graduada
^
 = (
2̂

3̂
   )
llamada álgebra exterior o álgebra de Grassmann de  .
Problemas
2.1 Compruebe que los conjuntos con sus operaciones binarias respectivas
en el Ejemplo 2.2 son efectivamente monoides.
2.2 Compruebe que los conjuntos con sus operaciones binarias respectivas
en el Ejemplo 2.3 son efectivamente grupos.
2.3 Compruebe que los conjuntos con sus operaciones binarias respectivas
en el Ejemplo 2.9 son efectivamente álgebras.
2.4 Compruebe que los números complejos bajo la multiplicación forman
un monoide.
28 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
I.3 Propiedades Elementales de Grupos
En esta sección presentaremos algunas propiedades elementales de los grupos.
Como se ha explicado anteriormente en general, ahora en particular aplicado
a la Teoría de Grupos, siempre que se pruebe alguna propiedad para un
conjunto con una operación binaria que satisfaga los axiomas de grupo, de
inmediato, esa propiedad es válida para todos esos conjuntos que satisfagan
las axiomas de grupo.
Consideremos un grupo ( ·). Si  y  son elementos de , denotaremos
 ·  simplemente como  para simplificar la notación. Sea  el elemento de
identidad de . Con esta notación, la definición generalizada de grupo que
prometimos en la sección anterior es:
Un grupo es una pareja ( ·) donde  es un conjunto no vacío y
· : ×→ 
es una operación binaria
( ) 7−→ ·( )
donde, por abuso o conveniencia de notación se escribe
·( ) =  ·  = 
tal que
(i) () = ();    ∈ .
(ii) existe un elemento  ∈  tal que  = , para toda  ∈ .
(iii) para cada  ∈  existe un elemento, denotado −1, tal que (−1) = .
Diremos que el grupo es conmutativo o abeliano si además satisface
(iv)  = , para toda   ∈ , es decir, si su operación binaria es
conmutativa.
I.3 Propiedades Elementales de Grupos 29
Si el grupo es abeliano, se acostumbra denotar su operación binaria con
el signo +.
Podemos ver el concepto de grupo como un caso especial del de grupos
con operadores en ∅ (con acción, la única posible de ∅ en ).
El elemento  lo llamaremos elemento de identidad izquierdo o sim-
plemente identidad izquierda de  y −1lo llamaremos inverso izquierdo
de . De manera análoga se tiene el elemento de identidad derecho y el
inverso derecho. Cuando es clara la notación de la operación binaria, con
frecuencia se omite y simplemente se designa un grupo ( ·) con .
Veamos a continuación que en nuestra definición de grupo, el pedir que
se tenga elemento de identidad por la izquierda e inverso izquierdo implica
que se tiene también identidad e inverso derechos.
3.1 Proposición. En un grupo ( ·), si un elemento es inverso izquierdo
entonces es inverso derecho. Si  es identidad izquierda, entonces es identidad
derecha.
Demostración. Considere −1 =  para cualquier elemento  ∈ .
Considere el elemento inverso izquierdo del elemento −1, es decir (−1)−1−1 =
. Luego
−1 = (−1) = ((−1)−1−1)(−1) = (−1)−1−1 = (−1)−1−1 = 
Así que −1 es inverso derecho de . Ahora, para cualquier elemento ,
considere las igualdades
 = (−1) = (−1) =  = 
Luego  es identidad derecha.¨
Diremos que  es el elemento de identidad de un grupo  si  es
elemento de identidad izquierdo o derecho y hablaremos del inverso de un
elemento si existe su inverso izquierdo o derecho.
A continuación veamos algunas propiedades elementales:
3.2 Proposición. El elemento de identidad  de un grupo  es único.
Demostración. Sea 0 otro elemento de identidad tal que 0 = . Como
 es también identidad, entonces 0 = 0. Luego  = 0¨
30 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
3.3 Proposición. Si en un grupo  se tiene que  = , entonces
 = . También, si  = , entonces  = .
Demostración. Si  = , entonces −1() = −1(). Por la asocia-
tividad, (−1) = (−1). Luego,  =  y finalmente  = . De manera
semejante se prueba que si  = , entonces  = .¨
3.4 Proposición. En un grupo cualquiera, el inverso de cualquier ele-
mento de un grupo es único.
Demostración. Sea 0 otro inverso del elemento . Luego, 0 = .
También −1 = . Luego, 0 = −1 = . Por la proposición anterior,
0 = −1.¨
3.5 Proposición. En un grupo cualquiera , si   ∈  las ecuaciones
 =  y  =  tienen solución única en .
Demostración. Puesto que (−1) = (−1) =  = . Luego,
 = −1 es una solución de  = . Supongamos que hay dos soluciones,
 =  y ́ = . Entonces  = ́, luego  = ́. Análogamente para el
otro caso.¨
3.6 Proposición. En un grupo , se tiene, para cualesquiera elementos
  de 
()−1 = −1−1
Demostración. Como
()(−1−1) = (−1)−1 = −1 = 
(−1−1)() = −1(−1) = −1 = 
luego, ()−1 = −1−1.¨
Recordemos la definición de homomorfismo de grupos de la sección an-
terior con la notación siguiente:. Sean (+) y (0 ·) dos grupos. Un ho-
momorfismo de grupos es una función  :  → 0 tal que ( + ) =
() · ().
Veamos algunos ejemplos.
3.7 Ejemplo. Sea  = R3 y 0 = R con la suma usual. Definamos
 : → 0 mediante la regla (  ) = 8− 4 + 4. Veamos que  es un
I.3 Propiedades Elementales de Grupos 31
homomorfismo. Como
((1 1 1) + (2 2 2)) = (1 + 2 1 + 2 1 + 2)
= 8(1 + 2)− 4(1 + 2) + 4(1 + 2) y
(1 1 1) + (2 2 2) = (81−41 + 41) + (82 − 42 + 42)
 es un homomorfismo.
3.8 Proposición. Sea  : → 0 un homomorfismo de grupos. Si  es
el elemento de identidad de  entonces () = 0 es el elemento de identidad
de 0.
Demostración. Considere 0() = () = () = ()(). Mul-
tiplicando ambos lados por el inverso de () obtenemos 0()()−1 =
()()()−1. Luego 0 = 00 = ()0 = (). Así que 0 = ().¨
3.9 Ejemplo. Sea = 0 = R2. Definamos  : → 0 mediante ( )
= (+ 8  + 2). Como (0 0) = (8 2) 6= (0 0),  no es homomorfismo pues
todo homomorfismo de grupos envía el elemento de identidad del dominio en
el elemento de identidad del codominio.
3.10 Proposición. La composición de dos homomorfismos de grupos es
un homomorfismo de grupos.
Demostración. Sean  : 0 →  y  :  → 00 homomorfismos de
grupos. Luego ( ◦ )( + ) = (( + )) = (() + ()) = (()) +
(()) = ( ◦ )() + ( ◦ )(). Por lo tanto ( ◦ ) es un homomorfismo.¨
3.11 Definición. Sea  :  → 0 un homomorfismo de grupos. Di-
remos que  es un isomorfismo, y escribiremos  : 
∼=→ 0 si existe un
homomorfismo  : 0 →  tal que  ◦  = 1 y  ◦  = 10.
Es fácil comprobar (Problema 3.13) que, si  existe, está determinada
en forma única; la denotaremos con −1 y se llama inverso de  . Así,
 : → 0 es isomorfismo si, y sólo si, es biyectiva. Diremos que dos grupos
 y 0 son isomorfos si existe un isomorfismo  : 
∼=→ 0 y escribiremos
 ∼= 0.
3.12 Definición. Sea  :  → 0 un homomorfismo de grupos. El
núcleo de  , denotado ker  , es el conjunto de todos los elementos  ∈ 
32 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
tales que () = 0 donde 0 denota la identidad de 0. La imagen de  ,
denotada   , es el conjunto de () con  ∈ .
Si en la definición de homomorfismo se tiene que ker  = {} diremos
que  es un monomorfismo y lo denotamos  :  ½ 0; si   = 0
diremos que  es un epimorfismo y lo denotamos  : ³ 0 y si  es tal
que ker  = {} e   = 0 entonces diremos que  es un isomorfismo.
Dicho de otra manera,  es un monomorfismo cuando es inyectiva; es un
epimorfismo cuando es suprayectiva y es un isomorfismo cuando es biyectiva
(Problema 3.13). Llamaremos endomorfismo a un homomorfismo  : →
 y diremos que es automorfismo si dicha es biyectiva.
3.13 Proposición. Sean  : 0 → ,  : → 00 dos homomorfismos de
grupos y  =  ◦  la composición. Entonces, (i) si  es monomorfismo,  es
monomorfismo, y (ii) si  es epimorfismo,  es epimorfismo.
Demostración. (i) Supongamos que  es monomorfismo. Si () = ()
luego () = (()) = (()) = (). Como  es monomorfismo,  = .
Por lo tanto,  es monomorfismo. (ii) Supongamos que  es epimorfismo.
Entonces (0) = 00. Luego, 00 = (0) = ((0)) ⊂ () ⊂ 00. Por lo
tanto, () = 00.¨
Diremos que un homomorfismo  :  → 0 es trivial si () = 0 para
todo  ∈ . Es decir,   = {0}. Si  es trivial, lo denotaremos con 
(véase el Problema 3.9). Así que,  =  si, y sólo si, ker  = .
A continuación nos preguntamos acerca de los subconjuntos de un grupo
que son, a la vez, grupos.
3.14 Definición. Diremos que un subconjunto  de ( ·) es un sub-
grupo de  si  es un grupo estable o cerrado bajo la operación binaria
inducida. Lo denotaremos   .
Veamos un resultado que proporciona una manera de comprobar si un
subconjunto de un grupo es un subgrupo de él.
3.15 Proposición. Un subconjunto  de ( ·) es un subrupo de  si,
y sólo si, se satisfacen las siguientes tres condiciones:
(i)  es estable o cerrado bajo ·.
(ii) el elemento de identidad  de  está en .
I.3 Propiedades Elementales de Grupos 33
(iii) si  ∈ , entonces −1 ∈ .
Demostración. Véase el Problema 3.4.¨
3.16 Ejemplo. (Z+) es subgrupo de (R+). (Q+ ·) es un subgrupo de
(R+ ·). También, (Q+) es un subgrupo de (R+), (R+) es un subgrupo
de (C+) y (2Z+) es un subgrupo de (Z+).
3.17 Ejemplo. Sea ( ·) un grupo. Tanto  como {} son subgrupos
de ( ·), llamados subgrupos impropios. Los demás subgrupos se llaman
propios. El subgrupo {} se llama subgrupo trivial y se acostumbra
denotar, por abuso, simplemente como  donde  puede denotarse como 0 o
1 o cualquier otra notación que denota el elemento de identidad del grupo
que se está considerando.
3.18 Proposición. La intersección de subgrupos de  es un subgrupo
de .
Demostración. Sea {}∈ una colección de subgrupos de  indizada
por un conjunto de índices . Tomemos   ∈ ∩. Como ∩ ⊂  para
cualquier , tenemos que   ∈ . Como  es subgrupo de , +  ∈ ,
 ∈ , −1 ∈  para toda  ∈ . Por lo tanto, +  ∈ ∩  ∈ ∩ −1 ∈
∩.¨
3.19 Proposición. Sea  :  → 0 un homomorfismo de grupos. En-
tonces, si  es un subgrupo de , () es un subgrupo de 0 y si  0es un
subgrupo de 0, −1( 0) es un subgrupo de .
Demostración. Veamos que () = {() |  ∈ } es un subgrupo
de 0. Sean   ∈ (), luego, existen   ∈  tales que () = ,
() = . Como  es subgrupo de , + ∈ . Como  es homomorfismo,
() = 0 ∈ (), + = ()+() = (+) ∈ (). Si  ∈  entonces
() ∈ (). Por ser  subgrupo de , −1 ∈ . Luego (Problema 3.18)
(−1) = ()−1 ∈ (). Por lo tanto, () es un subgrupo de 0.
Ahora, veamos que −1( 0) = { ∈ |() ∈  0} es un subgrupo de
. Sean   ∈ −1( 0), entonces () y () están en  0. Como  0 es
un subgrupo de 0 y  es homomorfismo, ( + ) = () + () ∈  0
y () = 0 ∈  0. También, dado () ∈  0, como ()−1 = (−1) ,
()−1 ∈  0. Así −1( 0) es un subgrupo de .¨
Observe que en la Proposición anterior, la imagen inversa es un subgrupo
del dominio aunque no exista una función inversa −1 para  . La imagen
34 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
inversa de {0} es el núcleo de  y la imagen inversa de cualquier subgrupo
contiene al núcleo de  .
3.20 Corolario. Sea  : → 0 un homomorfismo de grupos. Entonces
  es un subgrupo de 0 y   es un subgrupo de .
Demostración. Inmediata de la proposición anterior tomando  = 
y  0 = 0.¨
Denotemos con ( ) el conjunto de homomorfismos del grupo
abeliano  en el grupo abeliano  . Sean   :  −→  homomorfismos
de grupos abelianos y definamos  +  :  −→  mediante ( + )() =
() + (). Es fácil comprobar que esta definición hace de ( ) un
grupo abeliano, (Problema 3.21).
Sea  :  0 −→  un homomorfismo de grupos abelianos y ( −→  0) un
elemento de ( 0). Asociemos a  un homomorfismo (
−→  ) ∈
( ) mediante una función
∗ = () : (
0) −→ ( )
dada por ∗() =  ◦  . Entonces ∗ es un homomorfismo de grupos
abelianos (Problema 3.22), llamado homomorfismo inducido por .
Sea  :  0 −→  un homomorfismo de grupos abelianos y ( −→  ) ∈
( ). Asociemos a  un homomorfismo ( 0
−→  ) ∈ ( 0  )
mediante una función
∗ = (  ) : ( ) −→ ( 0  )
dada por ∗() = ◦. Entonces ∗ es un homomorfismo de grupos abelianos
(Problema 3.23), llamado homomorfismo inducido por .
Sean  :  0 −→  y 0 :  −→  00 homomorfismos de grupos abelianos
y  un grupo abeliano. Si 1 :  −→  es la identidad, entonces 1∗ :
( ) −→ ( ) es la identidad de ( ), y (0 ◦ )∗ =
0∗◦∗. (Problema 3.24). Esto lo podemos visualizar en el siguiente diagrama:
(
−→  0) ∈ ( 0)
k ↓  1 ↓ ∗ 1∗
(
−→  ) ∈ ( ) 0∗ ◦ ∗
k ↓ 0 ↓ 0∗
(
−→  00) ∈ ( 00)
I.3 Propiedades Elementales de Grupos 35
Sean  :  0 −→  y 0 :  −→  00 homomorfismos de grupos abelianos y
 un grupo abeliano. Si 1 :  −→  es la identidad, entonces 1∗ : ( )→
( ) es la identidad de ( ), y (0 ◦)∗ = ∗ ◦0∗. (Problema
3.25). Esto lo podemos visualizar en el siguiente diagrama:
( 0
−→  ) ∈ ( 0  )
1
↓  k ↑ ∗
1∗

(
−→  ) ∈ ( ) (0 ◦ )∗
↓ 0 k ↑ 0∗
( 00
−→  ) ∈ ( 00  )
Problemas
3.1 Establezca la definición de grupo conmutativo escrito “aditivamente”,
así como las propiedades elementales arriba expuestas.
3.2 Pruebe que (−1)−1 =  y que −1 = .
3.3 Pruebe que si  =  en un grupo  entonces () = .
3.4 Pruebe la Proposición 3.15.
3.5Muestre que hay dos grupos que tienen 4 elementos, escriba sus tablas,
encuentre sus subgrupos y su red de subgrupos. Uno es Z4 y el otro se conoce
como el grupo 4 de Klein denotado con la letra  .
3.6 Compruebe las afirmaciones del Ejemplo 3.16.
3.7 El grupo de simetrías de un polígono regular de  lados se llama
grupo diedro de grado , denotado . Escriba las tablas de multiplicar de
3 y 4. Determine el orden de .
3.8 Sea  = 0 =  donde  es denota un campo. Pruebe que  : →
0 dado por (1     ) = (1 2     −1 0) es un homomorfismo.
3.9 Sea  un grupo. Pruebe que la función 1 :  →  y la función
 :  →  dadas por 1() =  y () =  para toda  ∈ , son
homomorfismos. 1 se llama homomorfismo identidad de  y  se
llama homomorfismo trivial.
36 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
3.10 Compruebe cuales funciones son homomorfismos y cuales no lo son:
(i)  :  → , () =  donde  es una matriz de  ×  con
elementos en el campo .
(ii)  : 2 → 2, ( ) = (4 0)
(iii)  : 3 → 3, (  ) = (−  )
(iv)  : 2 → 2, ( ) = (2 2)
(v)  : 5 → 4, (    ) = (2 3 0 4)
(vi)  : 3 → 3, (  ) = (+ 2  + 2  + 2)
3.11 Establezca, si es posible, homomorfismos no triviales en los siguien-
tes casos:
(i) 1 −→ 2
(ii) 2
×2−→ 4
(iii) 4 −→ 2
(iv) 2 −→ 1
(v) 2 −→ 2 × 2
(vi) 2 × 2 −→ 2
(vii) 4 −→ 2 × 2
3.12 Denotemos con(0) el conjunto de homomorfismos del grupo
 en el grupo abeliano 0. Defina  +  :  → 0 mediante ( + )() =
() + (),  ∈ . Pruebe que ((0)+) es un grupo.
3.13 Pruebe que si  :  → 0 es un isomorfismo de grupos como en la
Definición 3.11,  está determinada en forma única y que  es isomorfismo
si, y sólo si es biyectiva.
3.14 Sea  : → 0 un homomorfismo de grupos biyectivo. Pruebe que
la función inversa −1 : 0 →  es también un homomorfismo.
3.15 Pruebe, sin utilizar la Proposición 3.19, la afirmación del Corolario
3.20.
3.16 Demuestre que un homomorfismo de grupos  : → 0 es inyectivo
si, y sólosi, ker  = {}.
3.17 En un grupo pruebe que si un elemento  es idempotente (· = )
entonces  = , donde  es el elemento de identidad de . Utilice esto
para probar que bajo un homomorfismo de grupos, el elemento de identidad
I.3 Propiedades Elementales de Grupos 37
del dominio es enviado bajo el homomorfismo al elemento de identidad del
codominio.
3.18 Sea  : → 0 un homomorfismo de grupos. Pruebe que si  ∈ 
entonces (−1) = ()−1.
3.19 Sean  y  grupos abelianos. Diremos que  :  ×  →  es
una función biaditiva, si (1 + 2 ) = (1 ) + (2 ) y ( 1 + 2) =
( 1) + ( 2) para  1 2 ∈   1 2 ∈  Pruebe que
(i) ( ) = ( ) = ( ) para toda  ∈   ∈  ) y  ∈ Z
(ii) nunca es inyectiva a menos que  =  = 0
3.20 Pruebe que el grupo (Z[]+) es isomorfo al grupo (Q+ ·).
3.21 Considere ( ) el conjunto de homomorfismos del grupo
abeliano  en el grupo abeliano  . Sean   :  −→  homomorfismos
de grupos abelianos y definamos  +  :  −→  mediante ( + )() =
() + (). Pruebe que esta definición hace de ( ) un grupo
abeliano.
3.22 Sea  :  0 −→  un homomorfismo de grupos abelianos y ( −→
 0) un elemento de ( 0). Asociemos a  un homomorfismo (
−→
 ) ∈ ( ) mediante una función
∗ = () : (
0) −→ ( )
dada por ∗() =  ◦  . Pruebe que ∗ es un homomorfismo de grupos
abelianos.
3.23 Sea  :  0 −→  un homomorfismo de grupos abelianos y ( −→
 ) ∈ ( ). Asociemos a  un homomorfismo ( 0 −→  ) ∈ ( 0  )
mediante una función
∗ = (  ) : ( ) −→ ( 0  )
dada por ∗() =  ◦ . Pruebe que ∗ es un homomorfismo de grupos
abelianos.
3.24 Sean  :  0 −→  y 0 :  −→  00 homomorfismos de grupos
abelianos y un grupo abeliano. Pruebe que si 1 :  −→  es la identidad,
38 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
entonces 1∗ : ( ) −→ ( ) es la identidad de ( ), y
(0 ◦ )∗ = 0∗ ◦ ∗.
3.25 Sean  :  0 −→  y 0 :  −→  00 homomorfismos de grupos
abelianos y  un grupo abeliano. Pruebe que si 1 :  −→  es la identidad,
entonces 1∗ : ( ) −→ ( ) es la identidad de ( ), y
(0 ◦ )∗ = ∗ ◦ 0∗.
I.4 Grupos Cíclicos 39
I.4 Grupos Cíclicos
Consideremos un grupo multiplicativo ( ·) y las potencias de un elemento
fijo  ∈ , es decir, { |  ∈ Z} donde definimos 0 = .
4.1 Proposición. El conjunto { |  ∈ Z} denotado () es un subgrupo
de .
Demostración. Como  = +, el producto de dos elementos del
conjunto está en el conjunto y por lo tanto () es cerrado. Como 0 = ,
 ∈ (). Finalmente, para , consideremos −. Luego, − = .¨
4.2 Definición. El subgrupo () lo llamaremos subgrupo cíclico de 
generado por uno de sus elementos  y diremos que  es un generador de
(). Si () =  diremos que  es un grupo cíclico generado por .
Si para el subgrupo () no existe un número natural  tal que  = 
decimos que () es cíclico infinito. Si  es el natural más pequeño tal que
 = , entonces () consiste de los elementos −1 1  =  y en este
caso decimos que () es un grupo cíclico de orden .
4.3 Ejemplo. Z y Z son grupos cíclicos, el primero infinito, y el segundo
finito. También, 3Z = (3) y en general, Z = () son grupos cíclicos infinitos
 ∈ N. Observe que (8) = 8Z (4) = 4Z (2) = 2Z.
4.4 Ejemplo. (1) = (3) = Z4, (1) = (−1) = Z.
4.5 Proposición. Si  es un grupo cíclico, entonces es conmutativo o
abeliano.
Demostración. Sea () =  Entonces  = + = + = .
Luego,  es conmutativo o abeliano.¨
4.6 Definición. Sea  cualquier grupo y  un elemento de  Sea  el
número natural más pequeño tal que  = , entonces decimos que  es de
orden . Si no existe un número natural  tal que  = , decimos que  es
de orden infinito.
40 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
Cuando consideremos grupos no abelianos utilizaremos la notación multi-
plicativa y cuando los grupos sean abelianos utilizaremos la notación aditiva,
aunque por costumbre se usará la notación multiplicativa para los grupos
cíclicos (los cuales son abelianos).
Tenemos las siguientes propiedades (conocidas como las leyes de los ex-
ponentes) en notación multiplicativa
 = + () =  − = ()−1
y, en notación aditiva
+ = (+)() = () (−) = −()
Si además, el grupo  es abeliano, se tiene
(+ ) = + 
Observe que (una vez resueltos los Problemas 4.2 y 4.3) para cada  ∈ N
hay un grupo cíclico de orden , () = Z. Observe también que si tenemos
dos grupos cíclicos de orden , al tomar sus generadores, podemos hacer
una correspondencia biunívoca con cada potencia del generador de manera
que tendríamos esencialmente un solo grupo cíclico de orden . En otras
palabras, dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos, como veremos
abajo.
4.7 Teorema. Sea ( ·) un grupo cíclico infinito. Entonces la función
 : Z −→ 
dada por
 7−→ 
para un elemento fijo  de  es un isomorfismo de grupos.
Demostración. ( +) = + =  = ()(), luego  es un
homomorfismo. Si () =  =  = (), entonces  = . Luego  es
inyectiva. Para cada  ∈ , el entero  va a dar a  bajo . Luego  es
suprayectiva.¨
I.4 Grupos Cíclicos 41
4.8 Teorema. Todo grupo cíclico finito de orden  con generador de
orden  es isomorfo a Z.
Demostración. Sea  un grupo cíclico de orden . Sea  un generador
de  tal que  = . Definamos
 : Z −→ 
dada por
[] 7−→ ([]) = 
Supongamos que ([]) = ([]), entonces  =  Luego, − =  Así,
 −  =  y  |  −  Por lo tanto, [] = [] en ZO bien, supongamos
que ker  = {[]} Entonces ([]) =  Luego  =  = 0 Así, [] = [0]
en Z Por lo tanto  es inyectiva. Es fácil ver que  está bien definida, es
homomorfismo y es suprayectiva, (Problema 4.5).¨
4.9 Observación. Considere un grupo cíclico generado por un elemento
 de orden  y  un entero tal que  =  Las distintas potencias de ,
digamos
 2 3   =  = 
forman un subgrupo cíclico de () de orden 
También, si  es un subgrupo no trivial de () podemos tomar el menor
entero positivo tal que  ∈  Como  =  = ,  |  y () consta de
 =  elementos. Finalmente, si () = , entonces  es un generador
de  si, y sólo si ( ) = 1, (Problema 4.7).
4.10 Ejemplo. Considere (Z12+). Los generadores de Z12 son los
elementos  tales que (12 ) = 1, esto es  = 1 5 7 y 11. Así, Z12 = (1) =
(5) = (7) = (11). Las posibilidades para  y  en 12 =  son 1 y 12, 2 y
6, 3 y 4, 4 y 3, 6 y 2, 12 y 1 respectivamente. Así, las distintas potencias de
un generador ,
1 2 3   = 12 = 0
forman un subgrupo cíclico de () de orden  Si tomamos  = 1 por fa-
cilidad de cálculo, obtendremos las potencias de 1: Para  = 1,  = 12,
{11·1 12·1 13·1  112·1 = 112 = 0} las cuales se convierten, en notación adi-
tiva en {1 · 1 2 · 1 3 · 1  12 · 1 = 0} que es precisamente (1) = Z12. De
manera semejante, para  = 2,  = 6, obtenemos {11·2 12·2 13·2  16·2 =
112 = 0} las cuales se convierten, en notación aditiva en {2 · 1 4 · 1 6 ·
42 Capítulo I. Estructuras Algebraicas y Propiedades Elementales
1  12 · 1 = 0} = {2 4 6 8 10 0} = (2). Para  = 3,  = 4, obten-
emos {11·3 12·3 13·3 14·3 = 112 = 0} las cuales se convierten, en notación
aditiva en {3 · 1 6 · 1 9 · 1 12 · 1 = 0} = {3 6 9 0} = (3). Para  = 4,
 = 3, obtenemos {11·4 12·4 13·4 = 112 = 0} las cuales se convierten, en
notación aditiva en {4 · 1 8 · 1 12 · 1 = 0} = {4 8 0} = (4). Para  = 6,
 = 2, obtenemos {11·6 12·6 = 112 = 0} las cuales se convierten, en notación
aditiva en {6 · 1 12 · 1 = 0} = {6 0} = (6). Finalmente, para  = 12,
 = 1, obtenemos {11·12 = 0} la cual se convierte, en notación aditiva en
{12 · 1 = 0} = {0} = (0) = . Así, tenemos un diagrama de contención o
red de subgrupos de Z12:
Z12 = (1)
Á | Â
(2) | (3)| Â | Á |
(4) | (6)
 Á

Problemas
4.1 Sea  :  −→ 0 un homomorfismo de grupos multiplicativos. Pruebe
que () = (()),  ∈ Z.
4.2 Pruebe que los múltiplos de Z, Z con  ∈ Z, son subgrupos de Z.
4.3 Pruebe que todo subgrupo de Z es cíclico.
4.4 Pruebe que cualquier subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Sug-
erencia: utilice el Problema 4.2 para el caso infinito y la observación 4.9 para
el caso finito.
4.5 Complete la demostración del Teorema 4.8.
4.6 Pruebe que solamente existen (salvo isomorfismo) un solo grupo de
orden 1, 2 y 3; 2 grupos de orden 4 y 2 grupos de orden 6.
4.7 Sea  un grupo cíclico de orden  generado por  Pruebe que  es
un generador de  si, y sólo si ( ) = 1.
4.8 Encuentre los subgrupos y la red de subgrupos para (Z18+), (Z24+)
y (Z31+). ¿Qué puede intuir para (Z+) con  primo?
Capítulo II
Grupos Cociente, Teoremas de
Isomorfismo y Productos
II.1 Sucesiones Exactas
En esta sección estudiaremos sucesiones finitas e infinitas de homomorfismos
· · · −→ 0 −→  −→ 00 −→ · · ·
de grupos. Comenzaremos por estudiar sucesiones en las cuales el núcleo del
homomorfismo “saliente” contiene a la imagen del homomorfismo “entrante”.
1.1 Definición. Diremos que una sucesión de grupos
· · · −→ −1 −1−→  −→ +1 ́+1−→ · · ·
es semiexacta en  si  −1 ⊂ ker . Si es semiexacta en cada grupo, la
llamaremos sucesión semiexacta.
Esta definición equivale, como a continuación veremos, a que la composi-
ción de los dos homomorfismos, el “entrante” y el “saliente”, es el homo-
morfismo trivial. Denotaremos por abuso con  el elemento de identidad de
cualquier grupo o bien con  para especificar la identidad del grupo  y
con  el morfismo trivial ó "cero".
1.2 Proposición. Una sucesión de grupos
· · · −→ −1 −1−→  −→ +1 +1−→ · · ·
43
44 Capítulo II. Grupos Cociente, Teoremas de Isomorfismo y Productos
es semiexacta en  si, y sólo si, la composición  ◦ −1 = 
Demostración. Supongamos que la sucesión es semiexacta en . En-
tonces  −1 ⊂ ker . Veamos que la composición [ ◦ −1]() = () =
+1 para toda  ∈ −1. Como −1() ∈  −1 ⊂ ker , tenemos
que(−1()) = +1 = (). Luego, como  es arbitraria,  ◦ −1 = 
Ahora, supongamos que  ◦ −1 = . Sea  ∈  −1 arbitraria. Entonces
existe  ∈ −1 tal que −1() = . Entonces () = (−1()) = () =
+1 , por lo que  ∈ −1 () = ker . Hemos visto que, si  ∈  −1,
entonces  ∈ ker  para cualquier . Luego,  −1 ⊂ ker .¨
1.3 Definición. Diremos que una sucesión de grupos
· · · −→ −1 −1−→  −→ +1 +1−→ · · ·
es exacta en  si es semiexacta e  −1 ⊃ ker . Si es exacta en cada
grupo, la llamaremos sucesión exacta.
Equivalentemente, dicha sucesión es exacta en  si, y sólo si,  −1 =
ker . Toda sucesión exacta es semiexacta, pero no toda sucesión semiexacta
es exacta. A una sucesión exacta de la forma
 −→ 0 −→  −→ 00 −→ 
la llamaremos sucesión exacta corta.
1.4 Ejemplo. Considere la sucesión

−→ Z2 =×2−→ Z4 −→ Z2 −→ 
Aquí,  está dada por (0) = 0 y (1) = 2; (0) = (2) = 0 y (1) =
(3) = 1. Es fácil comprobar que  y  así definidos son homomorfismos de
grupos. Es claro que   = {0} = ker  ,   = {0 2} = ker , e 
 = {0 1} = ker . Luego, es una sucesión exacta corta.
1.5 Ejemplo. Considere la sucesión

−→ Z2 −→ Z2 × Z2 −→ Z2 −→ 
Aquí,  está dada por (0) = (0 0) y (1) = (1 0); (0 0) = (1 0) = 0
y (0 1) = (1 1) = 1. Es fácil comprobar que  y  así definidos son
II.1 Sucesiones Exactas 45
homomorfismos de grupos. Es claro que   = {0} = ker  ,   =
{(0 0) (1 0)} = ker , e   = {0 1} = ker . Luego, es una sucesión
exacta corta.
A menudo suprimiremos ◦ de la notación  ◦ y simplemente escibiremos
 . Consideremos una sucesión exacta de grupos
 0
−→  −→  −→ 00
con  epimorfismo y  monomorfismo. Entonces   =  y ker = .
Como la sucesión es exacta,  =   = ker  e   = ker = ; luego,
 es el homomorfismo trivial. Inversamente, si  es el homomorfismo trivial,
entonces  es epimorfismo y  es monomorfismo. Por lo tanto, tenemos la
siguiente
1.6 Proposición. Si
 0
−→  −→  −→ 00
es una sucesión exacta de grupos,  es un monomorfismo si, y sólo si,  es
trivial;  es trivial si, y sólo si,  es epimorfismo.
Así, cuando tenemos una sucesión exacta corta de la forma
 −→ 0 −→  −→ 00 −→ 
la escribiremos indistintamente como
0

½ 

³ 00
donde½ denota inyectividad y ³ suprayectividad.
1.7 Definición. Sean , 0, ,  0 grupos, con  ,  0, , 0 homomorfis-
mos de grupos. Decimos que el diagrama

 0−→ 
0 ↓ ↓ 
0
−→  0
conmuta si  ◦  0 =  ◦ 0 :  −→  0.
46 Capítulo II. Grupos Cociente, Teoremas de Isomorfismo y Productos
1.8 Proposición. Sean 0
 0
½ 

³ 00 y  0
0
½ 

³  00 dos sucesiones
exactas cortas, y supongamos que, en el siguiente diagrama conmutativo
0
 0
½ 

³ 00
↓ 0 ↓  ↓ 00
 0
0
½ 

³  00
dos de los tres homomorfismos 0, , 00 son isomorfismos. Entonces el tercero
es también isomorfismo.
Demostración. Supongamos que 0 y 00 son isomorfismos. Veamos que
 es monomorfismo: sea  ∈ ker; entonces () = () = 00() = 00 .
Como 00 es isomorfismo, entonces () = 00. Por lo tanto, existe 0 ∈ 0
tal que  0(0) = , por ser exacta la sucesión superior. Entonces  0(0) =
() =  = 
00(0). Como 00 es inyectiva, entonces 0 = 0. Luego,
 0(0) =  = .
Ahora veamos que  es epimorfismo: Sea  ∈ . Como 00es un isomor-
fismo, existe 00 ∈ 00 tal que () = 00(00). Como  es suprayectiva, existe
 ∈  tal que () = 00. Luego,
(−()) = ()−() = ()−00() = ()−00(00) = ()−() = 00 
Por lo tanto,  − () ∈ ker . Como la sucesión inferior es exacta, existe
0 ∈  0 con 0(0) = −(). Como 0 es isomorfismo, existe 0 ∈ 0 tal que
0(0) = 0. Luego
( 0(0) + ) =  0(0) + () = 00(0) + () = 0(0) +  − 0(0) = 
Si definimos  =  0(0) + , tendremos que () = . Los otros dos casos
posibles los dejamos como ejercicio, véase el Problema 1.6.¨
Observemos que la proposición anterior establece los isomorfismos sólo
cuando existe la función  :  −→  compatible con los isomorfismos dados
y el diagrama conmuta. Por ejemplo, si consideramos el siguiente diagrama
 −→ 2 ×2−→ 4 −→ 2 −→ 
q q q q
 −→ 2 −→ 2 × 2 −→ 2 −→ 
hemos visto que 2 × 2 no es isomorfo a 4.
II.1 Sucesiones Exactas 47
Sea {}∈ una familia de grupos abelianos y { :  −→ −1}∈Z
una familia de homomorfismos de grupos abelianos tales que  ◦ +1 = 0.
Llamaremos complejo de cadenas (o cadena) a la pareja  = { }, y
lo escribimos
 : · · · −→ +1 +1−→  −→ −1 −→ · · ·
Dicho de otra manera, un complejo de cadenas (o cadena), es una sucesión
semiexacta descendente de grupos abelianos con índices en Z.
Sean  = { } y  = { 0} dos complejos de cadenas de grupos
abelianos. Un morfismo de cadenas  :  −→  es una familia de
homomorfismos de grupos abelianos { :  −→ } tal que los cuadrados,
en el siguiente diagrama conmutan:
 : · · · +2−→ +1 +1−→  −→ −1 −1−→ · · ·
↓  ↓ +1 ↓  ↓ −1
 : · · · 
0
+2−→ +1
0+1−→  
0
−→ −1
0−1−→ · · ·
Problemas
1.1 Defina homomorfismos adecuados para que, para un número primo
, las sucesiones
 −→ Z −→ Z2 −→ Z −→ 
 −→ Z −→ Z −→ Z −→ 
sean exactas cortas.
1.2 Pruebe que, en una sucesión exacta de grupos
0
−→  −→ 00 −→  −→  0
 es un epimorfismo y  un monomorfismo si, y sólo si, 00 = .
1.3 Pruebe que, si  −→  −→  es una sucesión exacta de grupos,
entonces  = .
1.4 Sea
0
−→  −→ 00 −→  0 −→  −→  00
48 Capítulo II. Grupos Cociente, Teoremas de Isomorfismo y Productos
una sucesión exacta de grupos. Pruebe que   son homomorfismos triviales
si, y sólo si,  es isomorfismo, y que  es isomorfismo si, y sólo si,  es
epimorfismoy  monomorfismo.
1.5 Pruebe que, si
 −→  0 −→  −→ 
es una sucesión exacta de grupos entonces  es un isomorfismo.
1.6 Pruebe los dos casos restantes de la Proposición 1.8.
1.7 Sea {}∈ una familia de grupos abelianos y { :  −→ +1}∈Z
una familia de homomorfismos de grupos abelianos tales que +1 ◦  =
0. Llamaremos complejo de cocadenas (o cocadena) a la pareja  =
{ }, y lo escribimos
 : · · · −→ −1 −1−→  −→ +1 +1−→ · · ·
Dicho de otra manera, un complejo de cocadenas (o cocadena), es una suce-
sión semiexacta ascendente de grupos abelianos con índices en Z. Defina el
concepto de morfismo de cocadenas Ψ :  −→ .
II.2 Grupos Cociente 49
II.2 Grupos Cociente
Consideremos el primer ejemplo de la sección 1. Ahí repartimos los números
enteros en tres cajas donde ningún entero está en dos o más cajas, solamente
está en una sola caja. Etiquetamos las cajas con tres etiquetas. Al conjunto
de cajas le dimos una estructura de grupo definiéndole una operación binaria.
El lector comprobó que efectivamente es un grupo conmutativo. A las cajas
las llamaremos clases laterales y al grupo lo llamaremos grupo cociente.
En este caso es el cociente de Z "módulo" 3Z, el cual denotamos Z3.
Recordando el concepto de espacio vectorial cociente estudiado en el curso
de Álgebra Lineal (ver Ll2) y considerando la parte aditiva se tenía que para
el caso en que  es un grupo conmutativo y  un subgrupo de  con  ∈ ,
denotábamos con + el conjunto {+ | ∈ }. Dichos elementos +
los llamamos clases laterales de  en . Como 0 ∈  y  = +0 ∈ +,
cada  ∈  pertenece a una clase lateral. Se comprobó que cualesquiera dos
clases laterales son ajenas o son iguales. Se denotó con  el conjunto de
todas las clases laterales de  en  y se le dio a  una estructura de
grupo mediante
+:  × → 
dada por
((+) ( +)) 7−→ ((+ ) +)
También se comprobó que la operación binaria anterior está bien definida
y que define una estructura de grupo abeliano (la parte aditiva de espacio
vectorial) en . Llamamos a , grupo cociente de  módulo .
También, se vio que si  es un subgrupo del grupo  y si  ∈  + ,
entonces existe  ∈  tal que  =  + . Así  −  =  ∈ . Luego, si
 −  ∈  entonces  −  =  ∈ . Entonces  = + ∈ +. También
 −  ∈  ⇐⇒ −( − ) = −  ∈  ⇐⇒  ∈  +. En resumen,
 ∈ + ⇐⇒  −  ∈  ⇐⇒  ∈  +
50 Capítulo II. Grupos Cociente, Teoremas de Isomorfismo y Productos
Finalmente, se consideró  : →  dada por  7−→ +. Si  ∈ ,
entonces
(+ ) = (+ ) + = (+) + ( +) = () + ()
Por lo tanto,  es un homomorfismo llamado proyección canónica.
Todo esto se realizó para espacios vectoriales sobre un campo . Re-
cuérdese de nuevo que la parte aditiva es un grupo conmutativo.
Pero para el caso no conmutativo ¿qué sucede? Imitaremos todo lo an-
terior y lo adecuaremos a la situación no conmutativa. Para comenzar, con-
sidere de nuevo el primer ejemplo de la sección 1. Ahí se tomó una relación
de equivalencia llamada congruencia módulo 3, donde  ≡  ( 3) sí, y
sólo si 3 | − + , o bien, dicho de otra manera, que − +  ∈ 3Z. Lo que
haremos es generalizar esta relación de equivalencia al caso en que tengamos
un grupo no abeliano utilizando notación multiplicativa como sigue:
2.1 Definición. Consideremos un subgrupo  de un grupo ( ·) y
elementos   ∈  Diremos que  es congruente por la izquierda con
 si −1 ∈  (es decir, si  =  para alguna  ∈ ) y la denotamos
con  ≡  ( ). Análogamente, diremos que  es congruente por la
derecha con  si −1 ∈  y la denotamos con  ≡  ( ).
Observe que para el caso abeliano, los conceptos de congruencia izquierda
y derecha coinciden pues −1 ∈  sí, y sólo si, (−1)−1 = −1 = −1 ∈
.
2.2 Proposición. Las relaciones de congruencia izquierda y derecha son
relaciones de equivalencia.
Demostración. Como  ≡  (mod ) ⇐⇒ −1 =  ∈ , se tiene
la reflexibilidad. Como  ≡  ( ) ⇐⇒ −1 ∈  ⇐⇒ (−1)−1 ∈
 ⇐⇒ −1 ∈  ⇐⇒  ≡  ( ) se tiene la simetría. Finalmente,
si  ≡  ( ) y  ≡  ( ) entonces −1 ∈  y −1 ∈ . Luego
(−1)(−1) ∈  ⇐⇒ −1 = −1 ∈  Así  ≡  ( ) y se tiene
la transitividad. Análogamente para la congruencia derecha.¨
2.3 Proposición. Las clases de equivalencia izquierdas y derechas []
de la relación definida arriba son de la forma
 = { |  ∈ }
II.2 Grupos Cociente 51
y
 = { |  ∈ }
respectivamente.
Demostración. Las clases de equivalencia de cualquier elemento  de
 son de la forma (utilizando la simetría):
[] = { ∈  |  ≡  ( )}
= { ∈  |  ≡  ( )}
= { ∈  | −1 =  ∈ }
= { ∈  |  = ; ∈ }
= { |  ∈ } = 
Análogamente para las clases de equivalencia bajo la relación de congruencia
módulo  derechas.¨
Observe que un grupo  es unión de sus clases laterales izquierdas o
derechas de  en . También, observe que dos clases laterales o son ajenas
o son iguales. Las clases de equivalencia  y  las llamaremos clases
laterales izquierdas y derechas respectivamente.
Consideremos el conjunto de todas las clases laterales izquierdas y denoté-
moslo con . Deseamos darle a este conjunto una estructura de grupo y
hacer de la proyección natural o canónica  :  −→  un homomor-
fismo. Esto no siempre es posible pero veamos a continuación cuando sí lo
es.
2.4 Definición. Diremos que el subgrupo  de  es normal en 
(denotado C) si para toda  ∈ , −1 ⊂  donde −1 = {−1 |
 ∈ }.
En esta definición, puesto que −1 ⊂  vale para todo elemento  ∈ ,
en particular vale para −1 ∈ . Luego, −1 ⊂ . Así, para toda  ∈ ,
 = (−1)−1 ∈ −1. Luego  ⊂ −1 y −1 = . De aquí
es fácil ver que toda clase lateral izquierda es derecha y que  =  para
toda  ∈  (Problema 2.4). También observe que todo subgrupo de un
grupo abeliano es normal y que los subgrupos triviales son normales en 
(Problema 2.5).
52 Capítulo II. Grupos Cociente, Teoremas de Isomorfismo y Productos
2.5 Proposición. Un subgrupo de es normal si, y sólo si, ()() =
() para todo   ∈ .
Demostración. Supongamos que es normal y tomemos dos elementos
cualesquiera   ∈ . Es fácil ver que ()() = () Problema 2.9.
Ahora, supongamos que ()() = () para todo   ∈ . Sean  ∈ 
y  ∈  arbitrarios. Entonces
−1 = ()(−1) ∈ ()(−1) =  = 
por lo tanto,  es normal.¨
2.6 Teorema. Sea  un subgrupo normal de . Entonces  es un
grupo con operación binaria
· :  × −→ 
dada por
(() ()) 7→ ·(() ()) = () · () = ()() = ()
Además, la proyección canónica  :  −→  es un epimorfismo cuyo
núcleo es , i.e. ker  = .
Demostración. Es inmediato comprobar que  cumple las axiomas
de grupo con  =  como elemento de identidad y −1 como inverso
de . Como () = () = ()() = ()() y  es suprayectiva,
entonces es un epimorfismo. Finalmente,
ker() = { ∈  | () =  = } =
= { ∈  |  = } = { ∈  |  ∈ }
= ¨
2.7 Corolario. Si  C entonces  es el núcleo de un homomorfismo
 de  en 0 para un grupo 0 i.e.  = ker( :  −→ 0) para un grupo
0.
Demostración. Como  es normal, entonces es el núcleo de un epimor-
fismo como en el teorema anterior.¨
2.8 Proposición. Si  = ker( :  −→ 0) para un grupo 0 entonces
 C.
II.2 Grupos Cociente 53
Demostración. Sean  ∈  y  ∈  arbitrarios. Entonces
(−1) = ()()(−1) = ()(−1) = ()(())−1 = 
Luego, −1 ∈ ker( :  −→ 0) = .¨
Por el corolario y proposición anteriores, la condición de normalidad es
necesaria y suficiente para tener el concepto de grupo cociente.
2.9 Teorema. (Lagrange) Si  es un grupo de orden  y   ,
entonces () | ().
Demostración. Como  es unión de sus clases laterales izquierdas,
el número de elementos  de , es igual al producto del número de clases
laterales izquierdas  por el número de elementos de cada clase  = ()
ya