TFG_Noriega_La_Torre

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TRABAJO DE FIN DE GRADO 
Grado en Ingeniería Eléctrica 
ANÁLISIS MODAL RÁPIDO DE RESONANCIAS EN REDES 
ELÉCTRICAS 
 
 
 
Memoria y Anexo 
 
 
Autor: Kevin Noriega La Torre 
Director: Juan José Mesas García 
Codirector: Luis Sainz Sapera 
Convocatoria: Mayo 2021 
 
 
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 i 
Resumen 
El objetivo del presente TFG es proponer un método numérico para reducir el tiempo invertido por el 
ordenador en la aplicación del análisis modal de resonancias a redes eléctricas. Para ello se va a 
seguir el procedimiento descrito a continuación: 
- Caracterización frecuencial de redes a través de la matriz de admitancias de bus. 
- Estudio de resonancias en redes eléctricas mediante la técnica del barrido frecuencial. 
- Estudio de resonancias en redes eléctricas mediante la técnica del análisis modal. Relación entre el 
barrido frecuencial y el análisis modal. 
- Propuesta de un método numérico para incrementar la velocidad del análisis modal. 
- Aplicación a redes concretas. 
Haciendo uso de MATLAB se analizarán diversas redes eléctricas y mediante la técnica del análisis 
modal se encontrarán cuántos modos resonantes presenta cada red, es decir, cuántos modos de 
cada red presentan picos de impedancia, que es donde se hallan las frecuencias de resonancia. 
A partir de la técnica mencionada anteriormente, se implementará un método numérico con el que 
se pretende reducir el tiempo que se invierte por parte del ordenador en la aplicación del análisis 
modal a las redes eléctricas, resultando el denominado análisis modal rápido. 
Al final de este proyecto, se podrá ver el tiempo que se logra reducir gracias al método numérico que 
da lugar al análisis modal rápido en comparación al método convencional del análisis modal. 
 
 Memoria 
ii 
Resum 
L'objectiu d'aquest TFG és proposar un mètode numèric per reduir el temps invertit per l'ordinador 
en l'aplicació de l'anàlisi modal de ressonàncies a xarxes elèctriques. Per a això se seguirà el 
procediment descrit a continuació: 
- Caracterització freqüencial de xarxes a través de la matriu d'admitàncies de bus. 
- Estudi de ressonàncies en xarxes elèctriques mitjançant la tècnica de l'escombrat freqüencial. 
- Estudi de ressonàncies en xarxes elèctriques mitjançant la tècnica de l'anàlisi modal. Relació entre 
l'escombrat freqüencial i l'anàlisi modal. 
- Proposta d'un mètode numèric per incrementar la velocitat de l'anàlisi modal. 
- Aplicació a xarxes concretes. 
Fent servir MATLAB s'analitzaran diverses xarxes elèctriques i mitjançant la tècnica de l'anàlisi modal 
es trobaran quants modes ressonants presenta cada xarxa, és a dir, quants modes de cada xarxa 
presenten pics d’impedància, que és on es troben les freqüències de ressonància. 
A partir de la tècnica esmentada anteriorment, s'implementarà un mètode numèric amb el qual es 
pretén reduir el temps que s'inverteix per part de l'ordinador en l'aplicació de l'anàlisi modal a les 
xarxes elèctriques, resultant l’anomenada anàlisi modal ràpida. 
A la fi d'aquest projecte, es podrà veure el temps que s'aconsegueix reduir gràcies al mètode numèric 
que dóna lloc a l’anàlisi modal ràpida en comparació al mètode convencional de l’anàlisi modal. 
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 iii 
Abstract 
The objective of this TFG is to propose a numerical method to reduce the time invested by the 
computer in the application of modal analysis of resonances to electrical networks. To do this, the 
procedure described below will be followed: 
- Frequency characterization of networks through the bus admittance matrix. 
- Study of resonances in electrical networks by means of the frequency sweep technique. 
- Study of resonances in electrical networks using the modal analysis technique. Relationship 
between frequency sweep and modal analysis. 
- Proposal of a numerical method to increase the speed of modal analysis. 
- Application to specific networks. 
By using MATLAB, various electrical networks will be analyzed and through the modal analysis 
technique it will be found how many resonant modes each network presents, that is, how many 
modes of each network present impedance peaks, which is where the resonance frequencies are 
found. 
From the above-mentioned technique, a numerical method will be implemented with which it is 
intended to reduce the time that is invested by the computer in the application of modal analysis to 
the electrical networks, resulting the so-called rapid modal analysis. 
At the end of this project, it will be possible to see the time that can be reduced thanks to the 
numerical method which gives rise to the rapid modal analysis in comparison to the conventional 
method of modal analysis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Memoria 
iv 
 
 
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 v 
Agradecimientos 
En primer lugar, me gustaría dar las gracias a mi familia, por el constante apoyo durante estos meses 
de dedicación y trabajo, y también por el apoyo a lo largo de toda mi carrera universitaria. Sin ellos 
no hubiera sido posible llegar al final de este camino, muchas gracias. 
En segundo lugar, me gustaría dar gracias a mi tutor Juan José Mesas García, quien me ha guiado 
durante todo este proyecto, gracias por la implicación y la constante ayuda en el desarrollo de este 
trabajo final de grado, sin sus conocimientos esto no hubiera sido posible. Muchas gracias, de 
corazón. 
Finalmente, me gustaría dar las gracias a mis amigos, ya sean los que he conseguido en la universidad 
o los amigos de toda la vida, ellos siempre han estado allí apoyándome en todo incondicionalmente, 
gracias, de verdad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Memoria 
vi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 vii 
Glosario 
[𝐴] Matriz de incidencia 
[𝐴𝑅𝑚] Vector (columna) de incidencia asociado a la rama Rm 
f Frecuencia expresada en Hz 
k / h Frecuencia expresada en p.u. / Orden de armónico 
f
I   , 
k
I   Vector columna de corrientes de bus a frecuencia f / k 
k
L   Matriz de vectores propios por la derecha (colocados en columnas) de la 
matriz de impedancias / admitancias de bus a frecuencia k 
k
T   Matriz de vectores propios por la izquierda (colocados en filas) de la matriz 
de impedancias / admitancias de bus a frecuencia k 
f
V   , 
k
V   Vector columna de tensiones de bus a frecuencia f / k 
[𝑌𝐵𝑈𝑆] Matriz de admitancias de bus 
[𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓
], [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑘 ] Matriz de admitancias de bus en función de la frecuencia o a frecuencia f / k 
k
mY   Matriz diagonal de admitancias modales a frecuencia k 
[𝑍𝐵𝑈𝑆] Matriz de impedancias de bus 
[𝑍𝐵𝑈𝑆
𝑓
], [𝑍𝐵𝑈𝑆
𝑘 ] Matriz de impedancias de bus en función de la frecuencia o a frecuencia f / k 
k
mZ   Matriz diagonal de impedancias modales a frecuencia k 
 
 
 
 
 Memoria 
viii 
 
 
 
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 ix 
Índice 
RESUMEN _____________________________________________________________ I 
RESUM ______________________________________________________________ II 
ABSTRACT ___________________________________________________________ III 
AGRADECIMIENTOS ___________________________________________________ V 
GLOSARIO __________________________________________________________ VII 
1. INTRODUCCIÓN ___________________________________________________1 
1.1 Objetivos del proyecto ............................................................................................... 1 
1.2 Alcance del proyecto .................................................................................................. 1 
2 CARACTERIZACIÓN FRECUENCIAL DE REDES A TRAVÉS DE LA MATRIZ DE 
ADMITANCIAS DE BUS ______________________________________________32.1 Determinación de las relaciones entre corrientes y tensiones nodales en un 
sistema de potencia ................................................................................................... 3 
2.2 Ejemplo de aplicación............................................................................................... 10 
3 ESTUDIO DE RESONANCIAS EN REDES ELÉCTRICAS MEDIANTE LA TÉCNICA DEL 
BARRIDO FRECUENCIAL ___________________________________________ 15 
3.1 Concepto de resonancia........................................................................................... 15 
3.1.1 Resonancia paralelo ............................................................................................... 15 
3.1.2 Resonancia serie .................................................................................................... 16 
3.2 Barrido frecuencial ................................................................................................... 17 
3.3 Ejemplo de aplicación............................................................................................... 19 
4 ESTUDIO DE RESONANCIAS EN REDES ELÉCTRICAS MEDIANTE LA TÉCNICA DEL 
ANÁLISIS MODAL. RELACIÓN ENTRE EL BARRIDO FRECUENCIAL Y EL ANÁLISIS 
MODAL ________________________________________________________ 23 
4.1 Formulación del análisis modal ............................................................................... 24 
4.2 Nexo entre barrido frecuencial y análisis modal .................................................... 27 
4.3 Análisis modal a partir de la matriz de admitancias de bus................................... 34 
4.4 Ejemplo de aplicación............................................................................................... 35 
 Memoria 
x 
5 ANÁLISIS MODAL RÁPIDO DE RESONANCIAS Y APLICACIÓN A REDES 
CONCRETAS _____________________________________________________ 41 
5.1 Incremento en la velocidad del análisis modal ....................................................... 42 
5.2 Ejemplo de aplicación ............................................................................................... 44 
5.3 Aplicación a la red IEEE 3 buses ............................................................................... 49 
5.3.1 Análisis modal convencional ................................................................................. 51 
5.3.2 Análisis modal rápido ............................................................................................ 56 
5.4 Aplicación a la red IEEE 5 buses ............................................................................... 61 
5.4.1 Análisis modal convencional ................................................................................. 63 
5.4.2 Análisis modal rápido ............................................................................................ 69 
6 ANÁLISIS DEL IMPACTO AMBIENTAL ________________________________ 75 
PRESUPUESTO _______________________________________________________ 77 
CONCLUSIONES ______________________________________________________ 79 
BIBLIOGRAFÍA _______________________________________________________ 81 
ANEXO A. CÓDIGOS DE LOS DIFERENTES PROGRAMAS IMPLEMENTADOS EN 
MATLAB ________________________________________________________ 83 
A1. barridofrecuencialtotal.m ........................................................................................ 83 
A2. HRMA_conPFyWPF.m .............................................................................................. 87 
A3. invshift.m ................................................................................................................... 91 
A4. invshiftm.m ............................................................................................................... 93 
A5. Ejemplo1.txt .............................................................................................................. 95 
A6. r1HRMA_conPFyWPF_Ejemplo1.m ......................................................................... 97 
A7. r2HRMA_conPFyWPF_Ejemplo1.m ....................................................................... 101 
A8. r3HRMA_conPFyWPF_Ejemplo1.m ....................................................................... 105 
A9. IEEE3.txt ................................................................................................................... 109 
A10. HRMA_conPFyWPF_IEEE3.m ................................................................................. 111 
A11. r1HRMA_conPFyWPF_IEEE3.m ............................................................................. 117 
A12. r2HRMA_conPFyWPF_IEEE3.m ............................................................................. 123 
A13. r3HRMA_conPFyWPF_IEEE3.m ............................................................................. 129 
A14. IEEE5_red.txt ........................................................................................................... 135 
A15. HRMA_conPFyWPF_IEEE5.m ................................................................................. 137 
A16. r1HRMA_conPFyWPF_IEEE5.m ............................................................................. 145 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 xi 
A17. r2HRMA_conPFyWPF_IEEE5.m ............................................................................. 151 
A18. r3HRMA_conPFyWPF_IEEE5.m ............................................................................. 157 
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 1 
1. Introducción 
1.1 Objetivos del proyecto 
El trabajo final de grado que se describe en este documento tiene como objetivo el de estudiar y 
analizar, mediante diferentes técnicas computacionales, el fenómeno de las resonancias armónicas 
en redes eléctricas, proponiendo una metodología ligada a una de esas técnicas que permite reducir 
el tiempo necesario para la detección de las frecuencias asociadas a dichas resonancias. 
Primero se pretenden exponer los aspectos teóricos asociados a los diferentes métodos que se 
abordarán en este trabajo final de grado, ya sea el método del barrido frecuencial, el método del 
análisis modal y por último el método del análisis modal rápido, método con el cual se busca reducir 
el tiempo que se invierte en la detección de las frecuencias de resonancia asociadas a las redes 
eléctricas objeto de estudio. 
Una vez expuestos estos aspectos teóricos correspondientes a cada técnica computacional de análisis 
de resonancias armónicas, se procederá a implementar varios programas mediante MATLAB los 
cuales constituirán la parte práctica de este trabajo final de grado. Así se pretenden obtener los 
resultados que permitan apreciar la aparición de resonancias armónicas en las redes. 
Por último, se compararán el método convencional del análisis modal con el método del análisis 
modal rápido para comprobar que, efectivamente, se produce una reducción en el tiempo necesario 
para la detección de las resonancias armónicas. 
1.2 Alcance del proyecto 
El alcance del trabajo final de grado que se expone en este documento es entender el fenómeno de 
las resonancias armónicas y analizar diferentes técnicas computaciones las cuales serán de ayuda 
para la detección de las frecuencias a las que se produce de dicho fenómeno. 
Primero se expondrán los conceptos básicos para poder entender en qué consiste el fenómeno de las 
resonancias armónicas y así adquirir conocimientos que permitan, haciendo uso de diferentes 
programas implementados en MATLAB, detectar este fenómeno en redes eléctricas. 
El ingrediente principal de este proyecto es el de implementar programas basados en el método de 
análisis modal rápido con los que se pueda reducir el tiempo que se emplea en la detección de las 
frecuencias de resonancia en redes eléctricas. 
Pág. 2 Memoria 
2 
Finalmente, se procederá a comparar los resultados obtenidos medianteel método del análisis 
modal y el método del análisis modal rápido a través de gráficos obtenidos a partir de los programas 
implementados en MATLAB con el fin de certificar que ha sido posible reducir el tiempo empleado en 
la detección de las frecuencias de resonancia en redes, consiguiéndose igualmente determinar el 
grado de responsabilidad de cada uno de sus buses en la aparición de dichas frecuencias. Además, se 
podrá cuantificar el tiempo que se logra reducir gracias al método del análisis modal rápido en 
comparación con el método convencional del análisis modal. 
Entender los fundamentos matemáticos en los que se basan las funciones de MATLAB eig y svd, así 
como el método de la potencia inversa con desplazamiento presente en los archivos invshift.m e 
invshiftm.m, queda fuera del alcance de este proyecto. Únicamente interesará aprender la correcta 
utilización de dichas funciones y archivos para poder hacer frente a los análisis que precisen de ellos. 
 
 
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 3 
2 Caracterización frecuencial de redes a través de la matriz 
de admitancias de bus 
Los componentes de un sistema de potencia se encuentran interconectados eléctricamente, lo que 
hace que un cambio de un parámetro de un elemento o de la potencia generada o demandada en un 
nodo, produzca una variación de las corrientes, potencias o tensiones existentes en otras partes del 
sistema. Un efecto que inicialmente es localizado puede generar efectos globales, y su intensidad 
depende, entre otras cosas, de la distancia eléctrica existente entre los elementos. La relación de 
interdependencia entre los diferentes elementos del sistema de potencia puede ser adecuadamente 
caracterizada por la matriz admitancias de bus [𝑌𝐵𝑈𝑆] o la matriz impedancias de bus [𝑍𝐵𝑈𝑆]. A 
continuación, se presenta la forma de obtener la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆] a partir de las relaciones circuitales 
que se pueden plantear en un sistema de potencia [1]. 
2.1 Determinación de las relaciones entre corrientes y tensiones 
nodales en un sistema de potencia 
Todas las tensiones nodales del sistema pueden ser agrupadas en un vector siguiendo la 
enumeración arbitraria que el analista haya hecho de los nodos. Las corrientes se dividen en dos 
grandes grupos. El primer grupo lo conforman las corrientes asociadas a los generadores y a las 
cargas del sistema. Estas corrientes se denominan corrientes inyectadas y, por convención, siempre 
se toman entrando al nodo donde se encuentra conectado el generador o la carga. Estas corrientes 
presentan una particularidad: provienen de la parte externa del sistema que representa la parte no 
estática o variable. El segundo grupo de corrientes lo conforman las corrientes que fluyen por el 
interior del sistema de potencia, es decir, a través de las líneas, de los transformadores, y de los 
elementos pasivos. Estas corrientes fluyen por la denominada parte interna del sistema o 
simplemente por el sistema interno. La figura 1 muestra un sistema de potencia con 4 nodos, 3 
cargas y dos generadores, en donde el sistema se ha separado en la parte interna y la parte externa. 
En resumen, el sistema de potencia se divide en dos sistemas: el sistema externo y el sistema interno. 
Al primer grupo pertenecen los generadores y las cargas del sistema. El sistema interno lo conforman 
las líneas, transformadores y demás elementos pasivos que permanecen inalterados durante la 
operación del sistema. Los nodos permiten la interconexión entre el sistema interno y el sistema 
externo. 
 
 Memoria 
4 
 
Figura 1.- Representación de un sistema de potencia a través del sistema interno y externo [1]. 
Cuando se formula matemáticamente el sistema solo se escriben las ecuaciones que relacionan las 
corrientes inyectadas del sistema, las tensiones nodales y los parámetros de los elementos del 
sistema interno escritos en forma de admitancias. Las corrientes que fluyen por el interior del sistema 
no se plantean explícitamente. Las relaciones existentes entre las tensiones nodales, las corrientes 
netas inyectadas en cada nodo y las admitancias de los elementos del sistema se determinan 
aplicando a la red la primera y la segunda ley de Kirchhoff. 
La figura 2 muestra el sistema de potencia de 4 nodos de la figura 1 modificado. En la nueva 
representación, los generadores y las cargas, que conforman el sistema externo, se han reemplazado 
por las corrientes inyectadas 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3 𝑒 𝐼4. Como se puede observar, la corriente 𝐼1 representa el 
efecto neto del generador conectado al nodo 1 y la carga conectada al mismo nodo. En el nodo 2, 𝐼2 
es la corriente inyectada por el generador conectado al nodo 2. En los nodos 3 y 4, las corrientes 
inyectadas 𝐼3 e 𝐼4 representan corrientes de las cargas conectadas a dichos nodos. 
La figura 2 también presenta la estructura que asumirá el sistema de potencia cuando se represente 
matemáticamente. Las corrientes inyectadas representan el sistema externo, la matriz 
[𝑌𝐵𝑈𝑆] representa al sistema interno y las tensiones nodales 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3 𝑦 𝑉4, asociadas a los nodos, 
permiten unir estos dos sistemas. 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 5 
 
Figura 2.- Representación de un sistema de potencia por corrientes inyectadas, tensiones nodales y 
[𝒀𝑩𝑼𝑺] [1]. 
Para un elemento con impedancia 𝑧𝑖𝑗 conectado entre los nodos i y j, la admitancia se calcula 
como 𝑦𝑖𝑗 = 1/𝑧𝑖𝑗 . La figura 3 muestra las líneas de transmisión del sistema de la figura 1 
representadas a través de sus admitancias. 
 
Figura 3.- Representación de parámetros de las líneas usando admitancias [1]. 
En general, para un sistema de n nodos se obtiene lo siguiente: 
 
 Memoria 
6 
 
 (1) 
Figura 4.- Ecuaciones de admitancia con matriz [𝒀𝑩𝑼𝑺] para un sistema de n nodos. [1]. 
A partir de lo que se observa en la figura 4, se puede concluir lo siguiente: 
• Los coeficientes de la diagonal principal de la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆] se obtienen sumando las 
admitancias de los elementos que llegan a cada nodo 
• Los coeficientes de fuera de la diagonal principal de la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆] corresponden a las 
admitancias equivalentes (suma de admitancias) de los elementos que unen dos nodos 
cambiadas de signo. Si no existe un elemento uniendo dos nodos entonces allí se podría 
decir que existe una impedancia infinita (circuito abierto) o una admitancia cero. 
Escrito de forma matemática queda de la siguiente manera: 
• 𝒀𝒊𝒊 = ∑ 𝒚𝒊𝒋
𝒏
𝒋=𝟏 (2) 
• 𝒀𝒊𝒋 = −𝒚𝒊𝒋 (3) 
Una forma alternativa de calcular la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆] para redes de cualquier tamaño, es mediante los 
vectores de incidencia que dan lugar a una matriz de incidencia. Para comprender este método de 
cálculo, se parte de la representación gráfica de un circuito eléctrico, donde los valores de las 
impedancias de los elementos y los valores de las fuentes de tensión/corriente se muestran de una 
forma genérica. Se explicará el procedimiento a partir de un circuito sencillo donde este 
procedimiento nos será útil para cualquier circuito que se nos presente. 
El circuito que se examinará mediante este método será el siguiente: 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 7 
 
Figura 5.- Circuito de ejemplo mediante el cual se explicará el método que se propone. 
El circuito de la figura 5, se representará nuevamente, donde se nombrarán los nudos del circuito 
como 𝑁𝑖, donde uno de los nudos que pertenecen al circuito será asignado como nudo de referencia 
(tierra) con 𝑖 = 0, mientras que el resto de los nudos llevarán una numeración desde 𝑖 = 1 hasta 𝑛, 
donde 𝑛 es el número total de nudos que contiene el circuito menos 1. Cada una de las ramas del 
circuito deberá tener asignada una orientación, definiendo un sentido de recorrido dependiendo de 
cuál será el nudo de origen y cuál será el nudo de destino.Por último, se nombrará cada rama como 𝑅𝑚(𝑚 = 1,2,3… , 𝑏) donde 𝑏 es el número total de ramas 
que contiene el circuito. Cabe mencionar que, ya que nuestro objetivo es obtener la matriz de 
admitancias de bus, solamente a las ramas que contengan impedancias se les asignará una 
orientación y una identificación. Así pues, el circuito de la figura 5 queda ahora de la siguiente 
manera: 
 
Figura 6.- Circuito de ejemplo con sus nudos y ramas orientadas nombrados. 
Para seguir con este método, es importante tener en cuenta un concepto, el concepto de la 
incidencia. 
 Memoria 
8 
El concepto de la incidencia se entiende de tal manera de que se tenga como 𝑅𝑚 una rama genérica 
del circuito y sus dos nudos extremos, 𝑁𝑝 (nudo de origen) y 𝑁𝑞 (nudo de destino). En la rama 𝑅𝑚, 
hay un recorrido que empieza del nudo 𝑁𝑝, por lo tanto, se va alejando de este nudo y se va 
acercando al nudo 𝑁𝑞. Así pues, se llama vector de incidencia asociado a la rama 𝑅𝑚 a un vector 
columna [𝐴𝑅𝑚] que tiene 𝑛 componentes y que los únicos valores que no serán nulos serán los que 
ocupen el sitio de los nudos 𝑁𝑝 y 𝑁𝑞, de acuerdo con lo siguiente: 
𝐴𝑅𝑚(𝑁𝑝) = +1 ; 𝐴𝑅𝑚(𝑁𝑞) = −1 
Si el nudo de referencia fuera alguno de los nudos 𝑁𝑝 o 𝑁𝑞, el valor de este sería 0, por lo tanto, solo 
tendría un coeficiente no nulo. 
 
Figura 7.- Esquema de rama genérica de un circuito. 
Una vez se ha introducido el concepto de la incidencia, se podrá determinar la matriz de incidencia 
[𝐴] asociada al circuito que se plantee. Para determinar la matriz de incidencia, el proceso que se 
seguirá es el siguiente: 
Sea 𝑅𝑚 una rama cualquiera del circuito, comprendida entre un nudo 𝑁𝑝 y otro nudo 𝑁𝑞, donde el 
recorrido es desde 𝑁𝑝 a 𝑁𝑞, se colocará un 1 en la fila 𝑁𝑝 correspondiente a la columna de la rama 
𝑅𝑚, se colocará un -1 en la fila 𝑁𝑞 correspondiente a la columna de la rama 𝑅𝑚 y se colocará un 0 en 
los espacios vacíos. Las filas de la matriz representan los nudos del circuito exceptuando el nudo de 
referencia y las columnas las distintas ramas del circuito que se plantee. 
A partir del ejemplo del circuito anterior y para acabar de entender el método explicado 
anteriormente, se procederá a realizar el cálculo para dos de las ramas que componen el circuito 
expuesto. Se escogerá primero la rama 𝑅2 y se puede observar que la orientación asignada es la del 
nudo 2 al nudo 0 (nudo de referencia), por lo que se pondrá en la columna 𝑅2 de la matriz de 
incidencia [𝐴] un 1 en la fila 2 que corresponde al nudo 2, y un 0 en las otras filas que corresponden 
al nudo 1 y al nudo 3 por no tener relación con la rama escogida. Escogiendo ahora la rama 𝑅3 con 
orientación asignada del nudo 2 al nudo 3, en este caso, se coloca un 1 en la fila 2 que corresponde al 
nudo 2, un -1 en la fila 3 correspondiente al nudo 3, y un 0 en la fila 1 que corresponde al nudo 1 por 
no tener relación con la rama escogida. Así pues, una vez se ha realizado el proceso para dos de las 
ramas, se hará lo mismo con las otras ramas existentes que contienen impedancias del circuito 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 9 
expuesto, obteniéndose así una matriz que relaciona todos los nudos y ramas del circuito, con lo que 
se llega al resultado que se verá a continuación. Obsérvese que la matriz obtenida no tiene en cuenta 
el nudo 0 porque se ha tomado como nudo de referencia. 
Tabla 1.- Matriz de incidencia [A] cuyas columnas son los vectores de incidencia [ARm]. 
Nudo 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟑 𝑹𝟒 𝑹𝟓 
𝑵𝟏 1 0 0 0 0 
𝑵𝟐 -1 1 1 0 0 
𝑵𝟑 0 0 -1 1 1 
La tabla 1 muestra en columnas los vectores de incidencia de las ramas del circuito de ejemplo: 
[𝐴𝑅1] = [
1
−1
0
] , [𝐴𝑅2] = [
0
1
0
] , [𝐴𝑅3] = [
0
1
−1
] , [𝐴𝑅4] = [
0
0
1
] , [𝐴𝑅5] = [
0
0
1
] 
Por último, se aplicará la siguiente ecuación para obtener como resultado final la matriz [𝒀𝑩𝑼𝑺]: 
[𝒀𝑩𝑼𝑺] = ∑ 𝒚𝑹𝒎 ∙ [𝑨𝑹𝒎] ∙ [𝑨𝑹𝒎]
𝑻𝟓
𝒎=𝟏 (4) 
[𝒀𝑩𝑼𝑺] = 𝑦𝑅1 ∙ [
1
−1
0
] ∙ [1 − 1 0] + 𝑦𝑅2 ∙ [
0
1
0
] ∙ [0 1 0] + 𝑦𝑅3 ∙ [
0
1
−1
] ∙ [0 1 − 1] + 𝑦𝑅4 ∙ [
0
0
1
] ∙ [0 0 1] 
+𝑦𝑅5 ∙ [
0
0
1
] ∙ [0 0 1] 
= 𝑦𝑅1 ∙ [
1 −1 0
−1 1 0
0 0 0
] + 𝑦𝑅2 ∙ [
0 0 0
0 1 0
0 0 0
] + 𝑦𝑅3 ∙ [
0 0 0
0 1 −1
0 −1 1
] + 𝑦𝑅4 ∙ [
0 0 0
0 0 0
0 0 1
] 
+𝑦𝑅5 ∙ [
0 0 0
0 0 0
0 0 1
] 
= [
𝑦𝑅1 −𝑦𝑅1 0
−𝑦𝑅1 𝑦𝑅1 + 𝑦𝑅2 + 𝑦𝑅3 −𝑦𝑅3
0 −𝑦𝑅3 𝑦𝑅3 + 𝑦𝑅4 + 𝑦𝑅5
] 
 Memoria 
10 
2.2 Ejemplo de aplicación 
Para poder observar de mejor manera el procedimiento que se seguirá en este trabajo de fin de 
grado al resolver cualquier tipo de red para obtener un estudio de resonancias, se muestra un 
ejemplo para su aplicación de lo mencionado anteriormente. El ejemplo en cuestión es el siguiente: 
 
 
Figura 8.- Ejemplo de aplicación [4]. 
Los datos que corresponden al circuito de la figura 8 son los siguientes: 
Tabla 2.- Datos correspondientes al circuito del ejemplo de aplicación. 
𝑹𝒔𝒚𝒔(𝒑𝒖) 𝑹𝟏(𝒑𝒖) 𝑹𝟐(𝒑𝒖) 𝑩𝟏
𝟏(𝒑𝒖) 𝑿𝒔𝒚𝒔
𝟏 (𝒑𝒖) 𝑿𝟏
𝟏(𝒑𝒖) 𝑿𝟐
𝟏(𝒑𝒖) 𝑩𝟐
𝟏(𝒑𝒖) 𝒇𝟏(𝑯𝒛) 
0,04 0,835 0,835 0,0013 0,3 4 4 0,0013 50 
A partir de los datos de la tabla anterior y mediante las siguientes expresiones que se nombrarán a 
continuación, se procederá a obtener la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑘 ]: 
𝑿𝒑
𝒌 = 𝒌 ∙ 𝑿𝒑
𝟏; 𝑩𝒒
𝒌 = 𝒌 ∙ 𝑩𝒒
𝟏 (5) 
𝒌 =
𝝎
𝝎𝟏
=
𝝎
𝟐𝝅∙𝒇𝟏
 (6) 
Donde dichas expresiones se utilizarán para obtener las reactancias p= sys, 1 y 2 y las susceptancias q 
= 1, 2 a la frecuencia fundamental (k=1) y a frecuencias diferentes a la fundamental (k≠ 1), siendo 𝑓1 
la frecuencia fundamental (50 Hz habitualmente) y 𝜔 la pulsación a una frecuencia 𝑓 dada. 
Dependiendo del valor que tome la frecuencia f se obtendrán distintos valores de k: 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 11 
{
𝒌 = 𝟏; 𝒇 = 𝒇
𝟏
 
𝒌 > 𝟏; 𝒇 > 𝒇
𝟏
 
𝒌 < 𝟏; 𝒇 < 𝒇
𝟏
 
(7) 
Una vez se tiene toda la información necesaria, se procede a construir la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑘 ] del ejemplo 
de aplicación de la figura 8 aplicando las expresiones (2) y (3). En este caso al tener un circuito con 3 
buses se tendrá una matriz 3 x 3. 
 
[𝒀
𝑩𝑼𝑺
𝒌 ] =
[
 
 
 
𝒀
𝟏,𝟏
𝒌 𝒀
𝟏,𝟐
𝒌 𝒀
𝟏,𝟑
𝒌
𝒀
𝟐,𝟏
𝒌 𝒀
𝟐,𝟐
𝒌 𝒀
𝟐,𝟑
𝒌
𝒀
𝟑,𝟏
𝒌 𝒀
𝟑,𝟐
𝒌 𝒀
𝟑,𝟑
𝒌
]
 
 
 
= (∗) (8) 
𝒀𝟏,𝟏
𝒌 =
𝟏
𝑹𝒔𝒚𝒔+𝒋𝒌𝑿𝒔𝒚𝒔
𝟏 + 𝒋𝒌𝑩𝟏
𝟏 +
𝟏
𝑹𝟏+𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏 (9) 
𝒀𝟐,𝟐
𝒌 =
𝟏
𝑹𝟏+𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏 +
𝟏
𝑹𝟐+𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏 (10) 
𝒀𝟑,𝟑
𝒌 =
𝟏
𝑹𝟐+𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏 + 𝒋𝒌𝑩𝟐
𝟏 (11) 
𝒀𝟏,𝟐
𝒌 = −
𝟏
𝑹𝟏+𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏 = 𝒀𝟐,𝟏
𝒌 (12) 
𝒀𝟏,𝟑
𝒌 = 𝟎 = 𝒀𝟑,𝟏
𝒌 (13) 
𝒀𝟐,𝟑
𝒌 = −
𝟏
𝑹𝟐+𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏 = 𝒀𝟑,𝟐
𝒌 (14) 
Con lo que al final, la matriz resultante es la siguiente: 
(∗) =
[
 
 
 
 
𝟏
𝑹𝒔𝒚𝒔+𝒋𝒌𝑿𝒔𝒚𝒔
𝟏 + 𝒋𝒌𝑩𝟏
𝟏 +
𝟏
𝑹𝟏+𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏 −
𝟏
𝑹𝟏+𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏 𝟎
−
𝟏
𝑹𝟏+𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏
𝟏
𝑹𝟏+𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏 +
𝟏
𝑹𝟐+𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏 −
𝟏
𝑹𝟐+𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏
𝟎 −
𝟏
𝑹𝟐+𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏
𝟏
𝑹𝟐+𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏 + 𝒋𝒌𝑩𝟐
𝟏
]
 
 
 
 
 (15) 
 
Para el ejemplo de la figura 8, se aplicará también el método alternativo explicado en el apartado 2.1. 
Así pues, el primer paso para este es identificar el número de nudos y ramas del circuito. Observando 
 Memoria 
12 
la figura 8 se puede ver que se tienen 3 nudos (𝑁1, 𝑁2 y 𝑁3) junto con un cuarto nudo que es el de 
referencia (𝑁0), y además se tienen 5 ramas orientadas (𝑅1, 𝑅2, 𝑅3, 𝑅4 y 𝑅5), es decir, una rama 
orientada por cada elemento del circuito. 
 
Figura 9.- Circuito del ejemplo de aplicación con sus nudos y ramas orientadas nombrados. 
En la siguiente tabla se muestra la matriz que relaciona todos los nudos y ramas del circuito: 
Tabla 3.- Matriz de incidencia [A] cuyas columnas son los vectores de incidencia [ARm]. 
Nudo 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟑 𝑹𝟒 𝑹𝟓 
𝑵𝟏 -1 1 1 0 0 
𝑵𝟐 0 0 -1 1 0𝑵𝟑 0 0 0 -1 1 
La tabla 3 muestra en columnas los vectores de incidencia de las ramas del circuito de ejemplo de 
aplicación: 
[𝐴𝑅1] = [
−1
0
0
] , [𝐴𝑅2] = [
1
0
0
] , [𝐴𝑅3] = [
1
−1
0
] , [𝐴𝑅4] = [
0
1
−1
] , [𝐴𝑅5] = [
0
0
1
] 
 
Haciendo uso de la ecuación (4), se obtiene como resultado final la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑘 ] del ejemplo de 
aplicación de la figura 8: 
[𝒀𝑩𝑼𝑺
𝒌 ] = ∑ 𝑦𝑅𝑚
𝑘 ∙ [𝐴𝑅𝑚] ∙ [𝐴𝑅𝑚]
𝑇
5
𝑚=1
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 13 
= 
𝟏
𝑹𝒔𝒚𝒔 + 𝒋𝒌𝑿𝒔𝒚𝒔
𝟏
∙ [
−1
0
0
] ∙ [−1 0 0] + 𝒋𝒌𝑩𝟏
𝟏 ∙ [
1
0
0
] ∙ [1 0 0] +
𝟏
𝑹𝟏 + 𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏 ∙ [
1
−1
0
] ∙ [1 − 1 0]
+
𝟏
𝑹𝟐 + 𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏 ∙ [
0
1
−1
] ∙ [0 1 − 1] + 𝒋𝒌𝑩𝟐
𝟏 ∙ [
0
0
1
] ∙ [0 0 1] 
=
𝟏
𝑹𝒔𝒚𝒔 + 𝒋𝒌𝑿𝒔𝒚𝒔
𝟏
∙ [
1 0 0
0 0 0
0 0 0
] + 𝒋𝒌𝑩𝟏
𝟏 ∙ [
1 0 0
0 0 0
0 0 0
] +
𝟏
𝑹𝟏 + 𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏 ∙ [
1 −1 0
−1 1 0
0 0 0
] 
+
𝟏
𝑹𝟐 + 𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏 ∙ [
0 0 0
0 1 −1
0 −1 1
] + 𝒋𝒌𝑩𝟐
𝟏 ∙ [
0 0 0
0 0 0
0 0 1
] 
=
[
 
 
 
 
𝟏
𝑹𝒔𝒚𝒔+𝒋𝒌𝑿𝒔𝒚𝒔
𝟏 + 𝒋𝒌𝑩𝟏
𝟏 +
𝟏
𝑹𝟏+𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏 −
𝟏
𝑹𝟏+𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏 𝟎
−
𝟏
𝑹𝟏+𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏
𝟏
𝑹𝟏+𝒋𝒌𝑿𝟏
𝟏 +
𝟏
𝑹𝟐+𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏 −
𝟏
𝑹𝟐+𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏
𝟎 −
𝟏
𝑹𝟐+𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏
𝟏
𝑹𝟐+𝒋𝒌𝑿𝟐
𝟏 + 𝒋𝒌𝑩𝟐
𝟏
]
 
 
 
 
 (16) 
Una vez calculada la matriz de admitancias de bus (en función de k) por ambos métodos, se 
procederá a implementar en MATLAB un código donde empleando dicha matriz se realizará un 
estudio de resonancias mediante la técnica del barrido frecuencial, la técnica del análisis modal y la 
técnica del análisis modal rápido, las cuales se explicarán más adelante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Memoria 
14 
 
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 15 
3 Estudio de resonancias en redes eléctricas mediante la 
técnica del barrido frecuencial 
3.1 Concepto de resonancia 
La resonancia armónica ocurre en un sistema de potencia cuando la frecuencia natural del sistema de 
potencia corresponde a la frecuencia de una fuente de corriente armónica [2]. 
Las resonancias armónicas influyen en la propagación armónica y los niveles de distorsión en los 
sistemas de potencia. Las resonancias se caracterizan por el intercambio de energía entre elementos 
capacitivos e inductivos en un circuito, por lo tanto, al menos un elemento capacitivo y un elemento 
inductivo deben estar presente en un circuito para que se produzca la resonancia. Las reactancias de 
los condensadores y los inductores se pueden expresar respectivamente como: 
𝑿𝑪 =
−𝟏
𝝎𝑪
 (17) 
𝑿𝑳 = 𝝎𝑳 (18) 
Donde 𝜔 tiene una unidad de rad/s y es igual a 2𝜋𝑓 donde 𝑓 es la frecuencia en Hz. Por lo tanto, es 
inmediatamente claro que las reactancias varían con la frecuencia. 
En los circuitos eléctricos pueden producirse dos tipos de resonancia armónica: resonancia paralelo y 
resonancia serie [3]. 
3.1.1 Resonancia paralelo 
Un ejemplo de resonancia paralelo se ejemplifica en la siguiente figura: 
 
Figura 10.- Circuito de resonancia paralelo [3] 
 Memoria 
16 
La reactancia equivalente del condensador y el inductor conectados en paralelo está dada por: 
𝑿𝒆𝒒,𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 =
𝑿𝑪∙𝑿𝑳
𝑿𝑪+𝑿𝑳
=
−
𝟏
𝝎𝑪
∙𝝎𝑳
−
𝟏
𝝎𝑪
+𝝎𝑳
=
𝝎𝑳
𝟏−𝝎𝟐𝑳𝑪
 (19) 
En la frecuencia de resonancia, el denominador de (19) se aproxima a cero. Por lo tanto, la reactancia 
equivalente se vuelve infinitamente alta, lo que obliga a cualquier corriente armónica a fluir a través 
del resistor. Por tanto, una resonancia paralelo presenta una alta impedancia al cierre de la corriente 
armónica a la frecuencia de resonancia. La presencia de corriente armónica cercana a la frecuencia 
de resonancia paralelo puede excitar la resonancia y causar una distorsión sustancial del voltaje, tal 
como se desprende de: 
𝑽𝒉 = 𝒁𝒉 ∙ 𝑰𝒉 (20) 
En la figura 10, la corriente (𝐼𝐶 + 𝐼𝐿) se fuerza a cero cerca de la frecuencia de resonancia, por lo que 
cualquier corriente armónica 𝐼ℎ debe fluir a través de la resistencia R, lo que causa distorsión de 
voltaje. 
3.1.2 Resonancia serie 
Un ejemplo de resonancia serie se ejemplifica en la siguiente figura: 
 
Figura 11.- Circuito de resonancia serie [3]. 
La reactancia equivalente viene dada por: 
𝑿𝒆𝒒,𝒔𝒆𝒓𝒊𝒆 = 𝑿𝑳 + 𝑿𝑪 = 𝝎𝑳 −
𝟏
𝝎𝑪
=
𝝎𝟐𝑳𝑪−𝟏
𝝎𝑪
 (21) 
En la frecuencia de resonancia, el numerador de (21) se aproxima a cero. De ahí la reactancia 
equivalente va a cero, y al flujo de corriente armónica solo se le opone la resistencia. Por lo tanto, 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 17 
una resonancia serie presenta una ruta de baja impedancia para corrientes armónicas, y puede ser 
excitado por una pequeña tensión armónica de frecuencia cercana a la resonancia, tal como se 
desprende de: 
𝑰𝒉 =
𝑽𝒉
𝒁𝒉
 (22) 
En la figura 11, a la frecuencia de resonancia, la reactancia equivalente es cero y al flujo de corriente 
solo se le opone la resistencia. De ahí un pequeño voltaje armónico puede causar una gran distorsión 
de la corriente. 
Comparando (19) y (21), está claro que la expresión para calcular la frecuencia de resonancia es la 
misma independientemente del tipo de resonancia, 
𝒇
𝒓𝒆𝒔
=
𝟏
𝟐𝝅√𝑳𝑪
 [𝑯𝒛] (23) 
En el sistema por unidad, la reactancia inductiva se puede expresar como 𝑋𝐿 = ℎ𝑋1 donde 𝑋1 es la 
reactancia inductiva por unidad a frecuencia fundamental y ℎ es el orden de armónico. 
Análogamente, la reactancia capacitiva se puede expresar como 1/(ℎ𝐵1), donde 𝐵1 es la 
susceptancia capacitiva por unidad a frecuencia fundamental. La frecuencia de resonancia por 
unidad, es decir, el orden de armónico de la resonancia se puede expresar como, 
𝒇
𝒓𝒆𝒔,𝒑𝒖
= √
𝟏
𝑿𝟏𝑩𝟏
[𝒑𝒖] (24) 
Una frecuencia de resonancia es también la frecuencia donde la reactancia inductiva y la reactancia 
capacitiva son iguales en magnitud y de signo opuesto. 
3.2 Barrido frecuencial 
La metodología del barrido frecuencial es el primer paso para realizar un estudio de armónicos a un 
sistema eléctrico. El desarrollo de un barrido en frecuencia es básicamente un diagrama en Bode de 
la impedancia del sistema en el punto de inyección de armónicos, el cual es equivalente al desarrollo 
gráfico de la impedancia a analizar versus la frecuencia [5]. 
El análisis del barrido frecuencial se puede desarrollar de las siguientes formas: 
• Con las impedancias de cada uno de los elementos [5] 
 Memoria 
18 
• Con cada uno de los valores de admitancias, encontrados en la [𝒀𝑩𝑼𝑺] del sistema eléctrico 
[5, 6]. 
• Con las impedancias de los elementos con el valor en magnitud [5]. 
El barrido frecuencial proporciona una idea gráfica del nivel de comportamiento de la impedancia y el 
grado de distorsión de la tensión y de la corriente. 
El análisis de barrido de frecuencia es probablemente el único método viable en el presente para 
identificar la existencia de resonancia y para determinar la frecuencia de resonancia. 
Desafortunadamente, la herramienta no puede ofrecer información adicional necesaria para resolver 
el problema de forma eficaz [4]. 
Al inyectar una corriente por unidad, la magnitud del voltaje medido y el ángulo de fase en el bus 𝑖 
corresponde a la impedancia del punto de conducción a la frecuencia 𝑓, 
𝒁𝒊𝒊
𝒇
=
𝑽𝒊
𝒇
𝑰𝒊
𝒇 (25) 
Este proceso puede repetirse a frecuencias discretas en todo el rango de interés para obtener la 
respuesta de frecuencia de impedancia. Matemáticamente, esta responde al cálculo de los 
coeficientes de la diagonal principal de la matriz de impedancias de bus, es decir, coeficientes de la 
diagonal principal de la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓
]
−1
. 
Por ejemplo, la impedancia del punto de conducción en el bus 𝑖 corresponde al coeficiente de la 
diagonal principal en la posición 𝑖𝑖 de la matriz de impedancias de bus. La respuesta de frecuencia de 
admitancia se puede obtener barriendo la frecuenciade una tensión por unidad y midiendo la 
corriente, es decir, 
𝒀𝒊𝒊
𝒇
=
𝑰𝒊
𝒇
𝑽𝒊
𝒇 (26) 
Las respuestas de frecuencia de impedancia y admitancia se presentan como gráficos que muestran 
la magnitud y el ángulo de fase como funciones de la frecuencia. Picos agudos en la magnitud de la 
impedancia (o valles en la admitancia) son indicativos de resonancia paralelo, mientras que los valles 
agudos en la impedancia (o picos de admitancia) son indicativos de resonancia serie [3]. 
Aunque la técnica del barrido frecuencial permite detectar resonancias series y resonancias paralelo, 
existe siempre un mayor interés en la detección de las resonancias paralelo, pues son la forma más 
crítica de resonancia. Es por ello por lo que este TFG se va a centrar en la detección de resonancias 
paralelo. 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 19 
Los barridos de frecuencia se pueden realizar con componentes de fase o secuencia. Si las tres fases 
están representadas, se puede inyectar un conjunto de corrientes de secuencia positiva o cero en 
tres fases de un bus para obtener la impedancia del punto de conducción de secuencia cero o 
positiva respectivamente [7]. 
3.3 Ejemplo de aplicación 
De nuevo se presenta el circuito de la figura 8, pero de una forma más esquemática y con los valores 
de sus parámetros a frecuencia fundamental. Se implementa en MATLAB un programa (ver anexo 
A1) mediante el que, empleando la matriz de admitancias de bus, desde cada bus del esquema 
eléctrico presentado se hará un barrido frecuencial (un barrido de k) para determinar en qué 
frecuencias se presentan resonancias. Los gráficos obtenidos se muestran en las figuras 13, 14 y 15. 
 
Figura 12.- Circuito esquematizado del ejemplo de aplicación [4]. 
 
Figura 13.- Resultados del barrido frecuencial en los tres buses visto desde el bus 1. 
 Memoria 
20 
 
Figura 14.- Resultados del barrido frecuencial en los tres buses visto desde el bus 2. 
 
Figura 15.- Resultados del barrido frecuencial en los tres buses visto desde el bus 3. 
Analizando las figuras 13, 14 y 15 se puede ver que se presenta resonancia en dos frecuencias 
diferentes, una en los 9,625 pu y otra en los 51,6125 pu exactamente (comprobado en la Command 
Window de MATLAB). Lo que provoca la aparición de resonancias es que, cuando se inyecte corriente 
a estas frecuencias, aparecerán tensiones elevadas en los diferentes buses. 
La técnica del barrido frecuencial presenta como principal ventaja su simplicidad de aplicación una 
vez se dispone de la matriz de admitancias de bus de la red en función de la frecuencia, [𝒀𝑩𝑼𝑺
𝒌 ], 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 21 
aunque tiene como inconvenientes la necesidad de ser aplicada en todos los buses de la red para 
poder asegurar que se han detectado todas las frecuencias de resonancia, así como el hecho de no 
proporcionar información acerca del grado de responsabilidad de cada bus de la red en la existencia 
de esas frecuencias de resonancia detectadas. 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 23 
4 Estudio de resonancias en redes eléctricas mediante la 
técnica del análisis modal. Relación entre el barrido 
frecuencial y el análisis modal 
Hay muchas aplicaciones de la descomposición modal y el análisis de valores propios en el campo de 
análisis de sistemas de potencia. El análisis de valores propios se puede aplicar cuando la descripción 
del sistema se basa en ecuaciones diferenciales lineales, así como cuando la descripción del sistema 
se basa en ecuaciones algebraicas. Otra aplicación conocida de la descomposición modal es en la 
representación de sistemas trifásicos usando componentes simétricas (ecuaciones algebraicas). La 
aplicación también se encuentra en el análisis de estabilidad de voltaje, donde los valores propios de 
la matriz jacobiana (ecuaciones algebraicas) se pueden utilizar para cuantificar el margen de 
estabilidad de voltaje. HRMA (harmonic resonance mode analysis) es una forma de análisis de valores 
propios aplicada a una descripción del sistema basada en ecuaciones algebraicas. 
Se ha encontrado que los fenómenos de resonancia paralelo están asociados a frecuencias en las que 
la matriz de admitancias de bus se aproxima a la singularidad, que es equivalente a un valor propio 
de la matriz acercándose a cero. Por lo tanto, se ha sugerido que los valores y vectores propios 
asociados a tales frecuencias críticas contienen información sobre resonancias paralelo que pueden 
mejorar la comprensión de los fenómenos de resonancia y ayudar a la mitigación de sus efectos [3]. 
Imagínese un sistema que experimenta una resonancia paralelo que es aguda a la frecuencia 𝑓 de 
acuerdo con el análisis de barrido de frecuencia. Esto significa que algunos coeficientes del vector de 
voltaje calculados a partir de la siguiente ecuación tienen valores grandes en 𝑓. 
[𝑽𝒇] = [𝒀
𝑩𝑼𝑺
𝒇 ]
−𝟏
[𝑰𝒇] (27) 
Donde [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓 ] es la matriz de admitancias de bus a la frecuencia 𝑓, [𝑉𝑓] es el vector de tensiones de 
bus a la frecuencia 𝑓 e [𝐼𝑓] es el vector de corrientes inyectadas de bus a la frecuencia 𝑓. [𝐼𝑓] tiene 
solo una entrada con valor de 1 pu, mientras que el resto de los coeficientes son 0. Una resonancia 
armónica aguda significa que algunos voltajes de bus son muy altos. Esto ocurrirá cuando la matriz 
[𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓 ] se acerque a la singularidad. 
Para investigar cómo la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓 ] se aproxima a la singularidad, existe una forma atractiva de 
analizar el problema. La teoría bien establecida del análisis modal se puede aplicar para este 
propósito [4]. 
 Memoria 
24 
4.1 Formulación del análisis modal 
* Se parte de las ecuaciones de impedancia de una red en notación matricial a frecuencia k: 
kk k
BUSZV I =        (28) 
Donde: 
k
V   es el vector columna de tensiones de bus a frecuencia k 
k
BUSZ   es la matriz de impedancias de bus a frecuencia k 
k
I   es el vector columna de corrientes de bus a frecuencia k 
 
* Diagonalizar la matriz de impedancias de bus a frecuencia k consiste en lo siguiente: 
( )1
k kk k
BUS m k kk k k k
BUS mk kk k
BUS m
Z ZT T
Z ZT L T L
Z ZL L
−
   =          
   → =    =              
   =          
 (29) 
Donde: 
k
T   es la matriz de vectores propios por la izquierda (colocados en filas) de la matriz de 
impedancias de bus a frecuencia k 
k
L   es la matriz de vectores propios por la derecha (colocados en columnas) de la matriz de 
impedancias de bus a frecuencia k 
k
mZ   es la matriz diagonal de impedancias modales a frecuencia k 
 
* Despejando la matriz de impedancias de bus a frecuencia k en la expresión (29), resulta: 
1 1k k kk k k k
BUS m mZ Z ZT L L T
− −
     = =                    (30) 
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 25 
* En una red de n buses, la diagonalización de la matriz de impedancias de bus a frecuencia k que se 
ha presentado anteriormente en (29) queda expresada como sigue: 
11 12 1 11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2 21 22 2
1 2 1 2 1 2
1
2
0 0
0 0
0 0
k k k k k k k k k
n n n
k k k k k k k k k
n n n
k k k k k k k k k
n n nn n n nn n n nn
k
m
k
m
k
mn
T T T Z Z Z L L L
T T T Z Z Z L L L
T T T Z Z Z L L L
Z
Z
Z
     
     
     
     
     
     
     


=



 
 
 
 

 (31) 
 
* Además, en esa misma red de n buses, el resultado del despeje de la matriz de impedancias de bus 
a frecuencia k en la expresión (31), el cual también se ha presentado anteriormente en (30), se 
muestra a continuación: 
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1 1 11 12 1
21 22 2 2 21 22 2
1 2 1 2
0 0
0 0
0 0
k k k
n
k k k
n
k k k
n n nn
k k k k k k k
nm n
k k k k k k k
n m n
k k k k k k k
n n nn mn n n nn
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
L L L Z T T T
L L L Z T T T
L L L Z T T T
 
 
 
 
 
 
 
    
    
   
=    
   
   
    


 
 
 
 

 (32) 
 
* Efectuando el producto de matrices del miembro derecho de la anterior igualdad, resulta lo 
siguiente: 
 Memoria 
26 
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1 11 1 12 1 1 1
21 22 2 21 2 22 2 2 2
1 2 1 2
k k k
n
k k k
n
k k k
n n nn
k k k k k k k k k
n m m n m
k k k k k k k k k
n m m n m
k k k k k k k k k
n n nn n mn n mn nn mn
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
L L L T Z T Z T Z
L L L T Z T Z T Z
L L L T Z T Z T Z
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
=   
  
 
  
11 11 1
11 1
11
12 21 2
12 2
1
11
12 11 12 1 12 22 2 1 2
1 11 1 1
2
12 2
1 1
1
2 1
1
k k k
m
k
k k k
n
k
k k k k k k k k k k
m m n n mn
k k k k k k k k k k
n mn
k k
n m
n n m n m n n
k
m
k
n
k k k
m
k k
m
k k
n
n
mn
L T Z
PF Z
WPF
L T Z
P
Z
Z
L T
L T Z L T Z L T Z
Z L T Z L T
Z
PF Z
WP
F Z
WP
Z L
F
T Z
F





 

= + + +
= + + +
= + + +
= + + +
= + + +

22 22 2
22 2
22
21 21 11 1 22 21 2 2 1
22
2 21 1 1 22 2 2
21 12 1
21 1
2 2
2
2
1
21
2
1
k k k k k k k k k k
m m n n mn
k
k k k k k k k k k k
n n m n m n
k k k
m
k k
m
nn mn
k
k k k
n n mn
k k
n mn
k
n
n n
k k k
m
k k
m
kk
L T Z
PF Z
WPF
Z L T Z L T Z L T Z
Z
Z L T
L T Z
PF Z
W
L T Z
P
Z L T Z L T Z
Z L
P
F Z
WPF F
= + + +
= + + +
= + + +
= + + +
= + + +
= 11 1 2 2
1 1 2 2 2
2
1 2 1
2 1 12 1 2 22 2
1 1
2
1
2
2
1
k k k k
n n
k k k k k k k k k
m n m nn n mn
k k k k k k k k k k
n n m n m nn n
k k k
nn nn mn
k k
nn
k k
mn
k
mn
k
n n m
k k
n m
k
n
m
k k
n m
k
n
n
nn
n L T Z
PF
L
T Z L T Z L T Z
Z L T Z L T Z L T
Z
WP
T Z
PF
L T Z
PF Z
WP
Z
Z
PFF
Z
W F

















+ + +
= + + +
= + + +
= + + +
= + + +


















 (33) 
Donde en las igualdades con miembro derecho coloreado: 
k
iiZ es la impedancia resultado del barrido de frecuencias en el bus i vista desde el bus i a frecuencia 
k 
k
mjZ es la impedancia modal j resultado del análisis modal a frecuencia k 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 27 
k
ijPF es el factor de participación de la impedancia modal j en la impedancia vista desde el bus i a 
frecuencia k, o, dicho de otra forma, es la cuantificación del nivel de participación de la impedancia 
modal j en la impedancia vista desde el bus i a frecuencia k 
k
ijWPF es el factor de participación ponderado de la impedancia modal j en la impedancia vista 
desde el bus i a frecuencia k, o dicho de otra forma, es la fracción de la impedancia modal j presente 
en la impedancia vista desde el bus i a frecuencia k 
 
* En definitiva, el análisis modal consiste en representar gráficamente la evolución de los módulos de 
las impedancias modales en función de la frecuencia k. Habrá tantas impedancias modales, también 
denominadas modos, como buses tenga la red. Todos o una parte de esos modos serán resonantes, 
es decir, presentarán picos de impedancia, que es donde se hallan las frecuencias de resonancia. La 
expresión (33) pone de relieve la existencia de un vínculo entre las técnicas del barrido frecuencial y 
del análisis modal, el cual va a ser analizado en el apartado que viene a continuación con el objetivo 
de entender qué provecho puede sacarse del mismo. 
4.2 Nexo entre barrido frecuencial y análisis modal 
* Las igualdades con miembro derecho coloreado en (33) configuran la siguiente expresión matricial: 
12 21
22 22 2
2
11 11 1
21
2
12
12
1
2
1 1
2 2
1
1
2
1
1
22
1
1
1
22
1 2
k k
n n
k k
n n
k k k
nn
k
k
k
n
k k
k k k
m
k k
n n
k
k
k
n
k k k
m
k k
k k
n nn nn mn
k
n
k
n
nn
k
k
k
n
L T
L T
L T Z
PF
PF
P
Z L T
L T Z
L T
PF
PF
L T Z
L T
L T
P
P
Z
Z
F
P
F
F
F
PF
     
     
     
=     
     
     
     
=
1
1
11
21 22 2
12
1
2
2
k k
k
m
k
k
k
k
mn
k
n
k
n
k
nn
k
n
m
k
k
n
Z
WPF
WPF
Z
WPF
WPF
WP
Z
WPF
WPF
WPF FWPF
   
   
   
   
   
   
   
 + + +
 
+ + + 
=  
 
 + + + 
 (34) 
 
 Memoria 
28 
* En aquella frecuencia k tal que 
1
k k
m miZ Z , i ≠ 1, es decir, en aquella frecuencia k tal que el primer 
modo resonante presente pico de impedancia frente a las impedancias del resto de modos, se 
cumple lo que sigue en (33): 
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1 11 1 12 1 1 1
21 22 2 21 2 22 2 2 2
1 2 1 2
k k k
n
k k k
n
k k k
n n nn
k k k k k k k k k
n m m n m
k k k k k k k k k
n m m n m
k k k k k k k k k
n n nn n mn n mn nn mn
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
L L L T Z T Z T Z
L L L T Z T Z T Z
L L L T Z T Z T Z
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
=   
  
 
  
11 12 1 11 1 12 1 1 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
11 12 11 1
21
11 11
21 1211 21 1
1
0 0 0
0 0 0
k k k k k k k k k
n m m n m
k k k k k k
n n
k k k k k k
n n nn n n nn
k k k k
n
k k k
k k
k
n
k
n
k k
L L L T Z T Z T Z
L L L T T T
L L L T T
L T
L T
T
L T L T
L T L T
L





 

   
   
   
    
   
   
   
= 1
11 1 12
11 12 11 1
21 11 21 1
1
1 11 1 12
11 12 1 11 1 1
21 11
1 1
11
21
1
11
211 21 1 1
1
k
m
k k k
n
k k k k
n
k k k k
kn
m
k k k k
n n
k k k k k k
m n m
k
k k
n n
k
k
k
k k k k k
m
n
k
k
n m
k
n
Z
T L T
L T L T
L T L T
Z
L T L T
L T Z L T Z
L T Z
L T
PF
PF
PF
WPF
W TPF L Z
L T
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
=
11 1 1 12 1 1
k
n
k k k k k
m n m WZ L PFT Z
 
 
 
 
 
 
 
 (35) 
 
* Así pues, en tal frecuencia k, (34) queda así: 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 29 
11 12 21
22 22 2
2 2
12 21
2
11
2
11 1
21 12
1
1 1
2 2
1
11 11
2 2 22
1
2
21
1
2 21
k k
n n
k k
n n
k k k
nn nn m
k k
k k k
m
k k
n
k k
n
k k
k k
k
n
k k
n n
k
k
k
m
k k
k k
n n
k k
k
n
k k
k
n
n n
L T Z
L T
L T
L T
L T
L T
L
L T
L T Z
L T T
L T
L
Z
L T
L TT
Z
L
Z
T
Z     
     
     
=     
     
     
     

1
1 1
11 11
21 12
1
1 1
11
21
1
1
11
2
1
1
2
2
0
0
k
m
k k
n n
k k
k k
k
m
k k
k k
n n
k
k
k
m
k
n
k
k
k
n
n
k
n
k
nn nn
Z
L T
L T
L T
Z
L T
PF
PF
Z
PF
WPF
WPF
L T
WPF
L T
   
   
   
   
   
     
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 (36) 
 
* En aquella frecuencia k tal que 
2
k k
m miZ Z , i ≠ 2, es decir, en aquella frecuencia k tal que el 
segundo modo resonante presente pico de impedancia frente a las impedancias del resto de modos, 
se cumple lo que sigue en (33): 
 Memoria 
30 
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1 11 1 12 1 1 1
21 22 2 21 2 22 2 2 2
1 2 1 2
k k k
n
k k k
n
k k k
n n nn
k k k k k k k k k
n m m n m
k k k k k k k k k
n m m n m
k k k k k k k k k
n n nn n mn n mn nn mn
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
L L L T Z T Z T Z
L L L T Z T Z T Z
L L L T Z T Z T Z
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
=   
  
 
  
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 2 22 2 2 2
1 2 1 2
12 22 121 2
2
2 21
22 222 21 22 2
2
0 0 0
0 0 0
k k k k k k
n n
k k k k k k k k k
n m m n m
k k k k k k
n n nn n n nn
k k k k
n
k k k k
n
k
n
k k
k k
L L L T T T
L L L T Z T Z T Z
L L L T T T
L T L TL T
LT T
L
TL L





 

   
   
   
    
   
   
   
= 2
21 2 22
12 22 12 2
22 21 22 2
2
2 21 2 22
12 22 2 12 2 2
22 21
2 2
12
22
2
12
222 22 2 2
2
k
m
k k k
n
k k k k
n
k k k k
kn
m
k k k kn n
k k k k k k
m n m
k
k k
n n
k
k
k
k k k k k
m
n
k
k
n m
k
n
Z
T L T
L T L T
L T L T
Z
L T L T
L T Z L T Z
L T Z
L T
PF
PF
PF
WPF
W TPF L Z
L T
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
=
21 2 2 22 2 2
k
n
k k k k k
m n m WZ L PFT Z
 
 
 
 
 
 
 
 (37) 
 
* Así pues, en tal frecuencia k, (34) queda así: 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 31 
11 12 21
22 22 2
2 2
12 21
2
11
2
11 1
21 12
1
1 1
2 2
1
11 11
2 2 22
1
2
21
1
2 21
k k
n n
k k
n n
k k k
nn nn m
k k
k k k
m
k k
n
k k
n
k k
k k
k
n
k k
n n
k
k
k
m
k k
k k
n n
k k
k
n
k k
k
n
n n
L T Z
L T
L T
L T
L T
L T
L
L T
L T Z
L T T
L T
L
Z
L T
L TT
Z
L
Z
T
Z     
     
     
=     
     
     
     
 2
2 2
12 21
22 22
2
2 2
12
22
2
2
12
2
1
2
2
1
0
0
k
m
k k
n n
k k
k k
k
m
k k
n n
k
k
k k
k
m
k
n
k
k k
n n
k
n
k
nn n
n
Z
L T
L T
L T
Z
L T
PF
L L
PF
Z
PF
WP
T
F
W F
T
WPF
P
   
   
   
   
   
     
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 (38) 
 
* Por último, en aquella frecuencia k tal que k k
mn miZ Z , i ≠ n, es decir, en aquella frecuencia k tal 
que el n-ésimo modo resonante presente pico de impedancia frente a las impedancias del resto de 
modos, se cumple lo que sigue en (33): 
 Memoria 
32 
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1 11 1 12 1 1 1
21 22 2 21 2 22 2 2 2
1 2 1 2
k k k
n
k k k
n
k k k
n n nn
k k k k k k k k k
n m m n m
k k k k k k k k k
n m m n m
k k k k k k k k k
n n nn n mn n mn nn mn
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
L L L T Z T Z T Z
L L L T Z T Z T Z
L L L T Z T Z T Z
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
=   
  
 
  
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
1 1
2
1 2 1
2 1 22
0 0 0
0 0 0
k k k k k k
n n
k k k k k k
n n
k k k k k k k k k
n n nn n mn n mn nn mn
k k k k
n n
k k
n n
k
n nn
k k k k
n n n nn
k
nn
k
n n
L L L T T T
L L L T T T
L L L T Z T Z T Z
L T L T
L T L T
L
L T
L T





 

   
   
   
    
   
   
   
=
1 2
1 2 1
2 1 2
1 2
1 2 1
2 1
1
1
2
2
2
k
mn
k k k
n nn n
k k k k
n n n nn
k k k k
kn n n nn
mn
k k k k
nn n nn n
k k k k k k
n n mn n nn mn
k k k k
k k
nn nn
k
n
k
n
k
nn
k
k k
n n mn n n
n
k
n n mn
k
nn
Z
T L T
L T L T
L T L T
Z
L T L T
L T Z L T Z
L T Z
L T
PF
PF
PF
WPF
W TPF L Z
L T
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
=
1 2
k k k k k
n mn nn n
k
nnmn WZ L PFT Z
 
 
 
 
 
 
 
 (39) 
 
* Así pues, en tal frecuencia k, (34) queda así: 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 33 
11 12 21
22 22 2
2 2
12 21
2
11
2
11 1
21 12
1
1 1
2 2
1
11 11
2 2 22
1
2
21
1
2 21
k k
n n
k k
n n
k k k
nn nn m
k k
k k k
m
k k
n
k k
n
k k
k k
k
n
k k
n n
k
k
k
m
k k
k k
n n
k k
k
n
k k
k
n
n n
L T Z
L T
L T
L T
L T
L T
L
L T
L T Z
L T T
L T
L
Z
L T
L TT
Z
L
Z
T
Z     
     
     
=     
     
     
     

2
1 1
2 2
1
2
1
2
1 1 2
0
0
kk k
mnnn nn
k k
n n
k k
kn n
mn
k k
k
nn nn
k
n
k
kn
mn
k
nn
k
k
n
n
k
n
k
n
n
k
n n
n
k
L ZL T
L T
L T
Z
L T
PF
PF
Z
PF
WPF
WP
L
W
T
F
PF
T
   
   
   
   
   
     
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 (40) 
 
* En consecuencia, se deduce de las expresiones (36), (38) y (40) que, una vez detectadas las 
frecuencias de resonancia a partir de los modos resonantes, es posible proporcionar información 
acerca del grado de responsabilidad de cada bus de la red en la existencia de dichas frecuencias de 
resonancia (grado de responsabilidad que en realidad es aproximado debido a la presencia del 
símbolo ≈ en tales expresiones, pero suficientemente preciso en las frecuencias de resonancia). Para 
ello se recurre a los módulos de los siguientes factores ya presentados en el apartado 4.1, cuyo 
significado conviene ahora recordar y reinterpretar adecuadamente para sacarle provecho: 
k
ijPF es el factor de participación de la impedancia modal j en la impedancia vista desde el bus i a 
frecuencia k, o dicho de otra forma, es la cuantificación del nivel de participación de la impedancia 
modal j en la impedancia vista desde el bus i a frecuencia k. Si para una impedancia modal j y a la 
frecuencia k en la que presenta su pico de impedancia se conocen los factores de participación de 
 Memoria 
34 
dicha impedancia modal en las impedancias vistas desde todos los buses de la red, los módulos de 
estos factores se reinterpretan como el grado de responsabilidad de cada bus de la red en la 
existencia del pico de impedancia asociado a esa frecuencia k de resonancia, o dicho de otra forma, 
es la cuantificación del nivel de responsabilidad del bus i en la existencia del pico de la impedancia 
modal j asociado a la frecuencia k de resonancia. 
k
ijWPF es el factor de participación ponderado de la impedancia modal j en la impedancia vista 
desde el bus i a frecuencia k, o dicho de otra forma, es la fracción de la impedancia modal j presente 
en la impedancia vista desde el bus i a frecuencia k. Si para una impedancia modal j y a la frecuencia k 
en la que presenta su pico de impedancia se conocen los factores de participación ponderados de 
dicha impedancia modal en las impedancias vistas desde todos los buses de la red, los módulos de 
estos factores se reinterpretan como el grado de responsabilidad ponderado de cada bus de la red en 
la existencia del pico de impedancia asociado a esa frecuencia k de resonancia, o dicho de otra forma, 
es la fracción de la impedancia vista desde el bus i presente en el pico de la impedancia modal j 
asociado a la frecuencia k de resonancia [8]. 
 
* En la práctica, de cara a la caracterización frecuencial de una red eléctrica (ya sea empleando la 
técnica del barrido frecuencial o bien la del análisis modal), el proceso de obtención de la matriz de 
admitancias de bus de dicha red suele ser mucho menos engorroso que el de obtención de la matriz 
de impedancias de bus de la misma red. Así pues, en el siguiente apartado se va a describir cómo 
plantear la técnica del análisis modal para la caracterización frecuencial de una red si, como es más 
habitual y sencillo, se dispone de la matriz de admitancias de bus asociada a dicha red. 
4.3 Análisis modal a partir de la matriz de admitancias de bus 
* Se ha visto antes en (29) que diagonalizar la matriz de impedancias de bus a frecuencia k consiste 
en lo siguiente: 
( )1
k kk k
BUS m k kk k k k
BUS mk kk k
BUS m
Z ZT T
Z ZT L T L
Z ZL L
−
   =          
   → =    =              
   =          
 (41) 
 
* Si se aplica inversión a los dos miembros de cada una de las tres igualdades, se halla en qué consiste 
diagonalizar la matriz de admitancias de bus a frecuencia k: 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 35 
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 1
1 11 1
1
1 11 1
k kk k
BUS m k kk k
BUS m
k kk k
BUS m
k kk k
BUS m kk
BUS
k kk k
BUS m
Z ZT T
Z ZT L
Z ZL L
Z ZT T
ZL
Z ZL L
− −
− −
− −
− −− −
−
− −− −
   =          
   → =          
   =          

   =          
→    
    =          
( )
1 11
1
kk
m
k kk k
BUS m k kk k k k
BUS mk kk k
BUS m
ZT
Y YL L
Y YT L T L
Y YT T
− −−
−
  =     

   =         
   → =    =              
   =          (42) 
Donde: 
k
T   es la matriz de vectores propios por la izquierda (colocados en filas) de la matriz de 
admitancias de bus a frecuencia k (la misma que la de la matriz de impedancias de bus a frecuencia k) 
k
L   es la matriz de vectores propios por la derecha (colocados en columnas) de la matriz de 
admitancias de bus a frecuencia k (la misma que la de la matriz de impedancias de bus a frecuencia k) 
k
mY   es la matriz diagonal de admitancias modales a frecuencia k (admitancias modales cuya 
inversión da lugar a las impedancias modales de la matriz diagonal de impedancias modales a 
frecuencia k) 
 
* Así pues, el análisis modal a partir de la matriz de admitancias de bus consiste en representar 
gráficamente la evolución de los módulos de los inversos de las admitancias modales en función de la 
frecuencia k. Habrá tantos inversos de admitancias modales, también denominados modos, como 
buses tenga la red. Todos o una parte de esos modos serán resonantes, es decir, presentarán picos 
de impedancia, que es donde se hallan las frecuencias de resonancia. 
4.4 Ejemplo de aplicación 
Una vez se ha explicado la técnica del análisis modal, se vuelve de nuevo al circuito de la figura 8, el 
cual fue esquematizado en la figura 12. Se implementa en MATLAB un programa (ver anexo A2) 
mediante el que, empleando la matriz de admitancias de bus, se aplicará la técnica del análisis modal 
a dicho circuito para determinar en qué frecuencias se presentan resonancias, así como el grado de 
 Memoria 
36 
responsabilidad de cada bus del circuito en la existencia de dichas frecuencias de resonancia. El 
gráfico principal obtenido se muestra en la figura 16. 
 
Figura 16.- Resultados del análisis modal. 
Se puede observar como el circuito estudiado presenta 3 modos 𝑍𝑚1, 𝑍𝑚2, 𝑍𝑚3, de los cuales dos 
son resonantes (presentan picos de impedancia), en este caso 𝑍𝑚1 y 𝑍𝑚2. El modo 1 tiene asociada 
una frecuencia de resonancia de 9,625 pu y el modo 2 de 51,6125 pu. En la figura que viene a 
continuación, se representan el modo resonante 𝑍𝑚1 (en línea discontinua) y las impedancias del 
circuito vistas desde sus tres buses (las tres en línea continua). 
 
Figura 17.- Modo resonante 𝒁𝒎𝟏 e impedancias del circuito vistas desde sus tres buses. 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 37 
Ampliando la zona de la figura 17 en la que el modo resonante 𝑍𝑚1 presenta su pico de impedancia, 
se obtiene la siguiente figura: 
 
Figura 18.- Detalle de la Figura 17. 
En la figura que viene a continuación, se representan el modo resonante 𝑍𝑚2 (en línea discontinua) y 
las impedancias del circuito vistas desde sus tres buses (las tres en línea continua). 
 
Figura 19.- Modo resonante 𝒁𝒎𝟐 e impedancias del circuito vistas desde sus tres buses. 
 Memoria 
38 
Ampliando la zona de la figura 19 en la que el modo resonante 𝑍𝑚2 presenta su pico de impedancia, 
se obtiene la siguiente figura: 
 
Figura 20.- Detalle de la Figura 19. 
Además, el programa desarrollado proporciona la información que se recoge en la siguiente tabla: 
Tabla 4.- Información (en módulo) acerca de los modos resonantes obtenida mediante MATLAB. 
Modo resonante 𝒁𝒎𝟏 𝒁𝒎𝟐 
Frecuencia de resonancia (pu) 9,625 51,6125 
 𝒀𝒎 reson. (pu) / 𝒁𝒎 reson. (pu) 0,00021107 / 4737,8 0,00014386 / 6951,0 
Factores de 
participación 
(pu) 
Bus 1 𝑃𝐹11 = 0,0011 𝑷𝑭𝟏𝟐 = 0,8111 
Bus 2 𝑃𝐹21 = 0,2117 𝑃𝐹22 = 0,1879 
Bus 3 𝑷𝑭𝟑𝟏 = 0,7872 𝑃𝐹32 = 0,0011 
Factores de 
participación 
ponderados (pu) 
Bus 1 𝑊𝑃𝐹11 = 5,20 𝑾𝑷𝑭𝟏𝟐 = 5637,80 
Bus 2 𝑊𝑃𝐹21 = 1003,10 𝑊𝑃𝐹22 = 1305,80 
Bus 3 𝑾𝑷𝑭𝟑𝟏 = 3729,50 𝑊𝑃𝐹32 = 7,90 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 39 
De la información plasmada en la anterior tabla, se deduce que el bus 3 es el que mayor grado de 
responsabilidad tiene en la existencia de la frecuencia de resonancia asociada al modo 1, mientras 
que el bus 1 es el que mayor grado de responsabilidad tiene en la existencia de la frecuencia de 
resonancia asociada al modo 2. Esto significa que la resonancia asociada al modo 1 es más fácil de 
observar o excitar desde el bus 3, así como la resonancia asociada al modo 2 es más fácil de observar 
o excitar desde el bus 1. Además, puede comprobarse que en las frecuencias de resonancia 
detectadas se cumple lo siguiente: 
1
𝑌𝑚1 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛.
= 𝑍𝑚1 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛. = ∑ 𝑃𝐹𝑖1 · 𝑍𝑚1 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛.
3
𝑖=1 = ∑ 𝑊𝑃𝐹𝑖1
3
𝑖=1 (43) 
1
𝑌𝑚2 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛.
= 𝑍𝑚2 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛. = ∑ 𝑃𝐹𝑖2 · 𝑍𝑚2 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛.
3
𝑖=1 = ∑ 𝑊𝑃𝐹𝑖2
3
𝑖=1 (44) 
Las figuras 18 y 20 corroboran de forma gráfica (43) y (44) respectivamente. 
La técnica del análisis modal presenta como principal inconveniente la complejidad en el tratamiento 
de la matriz de admitancias de bus de la red en función de la frecuencia, [𝒀𝑩𝑼𝑺
𝒌 ], la cual frecuencia a 
frecuencia debe ser diagonalizada numéricamente (para ello se ha empleado una función disponible 
en las librerías de MATLAB denominada eig) y así poder hallar las evoluciones de los módulos de los 
inversos de las admitancias modales en función de la frecuencia k. No obstante, tiene como ventajas 
que permite detectar la totalidad de frecuencias de resonancia observando los picos de impedancia 
que presentan las evoluciones antes mencionadas, así como el hecho de proporcionar información 
acerca del grado de responsabilidad de cada bus de la red en la existencia de esas frecuencias de 
resonancia detectadas. 
 
 
 
 Memoria 
40 
 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 41 
5 Análisis modal rápido de resonancias y aplicación a redes 
concretas 
El análisis modal de resonancias basado en la descomposición de valores propios es un trabajo muy 
intensivo desde el punto de vista informático en el proceso de escaneo de frecuencia. Así pues, con el 
método de análisis modal rápido de resonancias se pretende determinar todas las frecuencias de 
resonancia en el menor tiempo posible. 
La técnica del análisis modal de resonancias es una herramienta eficaz para la evaluación de las 
resonancias armónicas. De todos modos, eso requiere el cálculo de descomposición de valores 
propios de la matriz [𝑍𝐵𝑈𝑆
𝑓 ] de la red en cada una de las frecuencias consideradas a lo largo del 
proceso de escaneo de frecuencia. 
El método iterativo de la potencia es una herramienta eficiente para encontrar numéricamente el 
valor propio de módulo más grande de [𝑍𝐵𝑈𝑆
𝑓
] (justamente el que interesa en el análisis modal) y su 
correspondiente vector propio, por lo que dicho método es aplicable para calcular el modo crítico (el 
valor propio de módulo más grande) asociado a dicha matriz frecuencia a frecuencia. Dicho modo 
crítico también se puede calcular aplicando el método iterativo de la potencia inversa a la matriz 
[𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓 ] frecuencia a frecuencia, método que permite encontrar numéricamente su valor propio de 
módulo más pequeño (justamente el que interesa en el análisis modal para, calculando su inverso, 
obtener el de módulo más grande de [𝑍𝐵𝑈𝑆
𝑓 ]) y su correspondiente vector propio (idéntico al que se 
obtiene para el valor propio de módulo más grande de [𝑍𝐵𝑈𝑆
𝑓 ]). 
Sin embargo, a pesar de que los métodos iterativos de la potencia y de la potencia inversa pueden 
reducir la complejidad y el tiempo de computación hasta cierto grado (ya que, frecuencia a 
frecuencia, buscan únicamente el valor propio que interesa y su vector propio asociado en lugar de 
buscar todos los valores propios y sus vectores propios asociados), todavía se invierte un tiempo 
excesivo. 
Si como es más habitual y sencillo se dispone de la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓
], para reducir en mayor medida el 
tiempo invertido en el análisis modal, se propondrá un método iterativo de la potencia inversa 
modificado, el cual frecuencia a frecuencia estará basado en la elección inteligentede una estimación 
inicial del vector propio combinada con la introducción de un criterio de parada adicional. El método 
propuesto permitirá lograr un notable descenso en el número de iteraciones necesarias para llevar a 
cabo dicho análisis, con la consiguiente disminución de tiempo. Se hará uso sintético tanto de las 
características del propio análisis modal como de la convergencia del método iterativo de la potencia 
inversa. 
 Memoria 
42 
5.1 Incremento en la velocidad del análisis modal 
Frecuencia a frecuencia, se puede emplear una función disponible en las librerías de MATLAB 
denominada eig para realizar el análisis modal, lo que equivale a efectuar una llamada en cada 
frecuencia a dicha función para calcular numéricamente todos los valores propios de la matriz [𝑍𝐵𝑈𝑆
𝑓 ], 
o de la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓 ] procediendo después a la inversión de los mismos, y sus respectivos vectores 
propios asociados. Esto es lo que se ha hecho en el apartado 4.4 trabajando con la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓 ]. 
No obstante, el análisis modal únicamente requiere la determinación del modo crítico (es decir, del 
valor propio de módulo más grande) asociado a la matriz [𝑍𝐵𝑈𝑆
𝑓 ] frecuencia a frecuencia. Así pues, 
dicho análisis puede llevarse a cabo efectuando una llamada en cada frecuencia a una función 
también disponible en las librerías de MATLAB denominada eigs, la cual permite indicar como 
parámetro de entrada si se desea que proporcione como salida el valor propio de módulo más 
grande de la matriz y su vector propio asociado, que es lo adecuado si se está trabajando con la 
matriz [𝑍𝐵𝑈𝑆
𝑓
], o bien que proporcione como salida el valor propio de módulo más pequeño de la 
matriz y su vector propio asociado, que es lo adecuado si se está trabajando con la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓 ]. 
Frecuencia a frecuencia, buscar únicamente el valor propio que interesa y su vector propio asociado 
en lugar de buscar todos los valores propios y sus vectores propios asociados es una acción (Acción 1) 
que principalmente permite reducir el esfuerzo computacional requerido para la realización del 
análisis modal. 
Por otro lado, en la referencia [9] se reportan dos acciones adicionales a la anterior, las cuales, de 
aplicarse, suponen un incremento en la velocidad del análisis modal debido a que producen sendos 
descensos en el número de iteraciones necesarias para realizar dicho análisis, con las consiguientes 
disminuciones de tiempo invertido: 
Acción 2: Consistente en inicializar en cada frecuencia la función eigs, el método de la potencia o el 
método de la potencia inversa no eligiendo como estimación inicial del vector propio un mismo 
vector concreto, por ejemplo uno de componentes (1,1,…,1), sino el vector propio hallado en la 
frecuencia anterior, el cual lógicamente será una mejor aproximación al vector propio asociado a la 
frecuencia en la que se está trabajando. Esto supone una mejora de la convergencia del método 
iterativo. El descenso en el número de iteraciones necesarias, es decir, la disminución de tiempo 
invertido para realizar el análisis modal que se logra a partir de esta acción suele ser de carácter 
moderado. 
Acción 3: Consistente en complementar la Acción 2 con la introducción de un criterio de parada 
adicional al criterio de parada propio de la función eigs, del método de la potencia o del método de la 
potencia inversa. Este criterio de parada adicional supone una aceleración de la convergencia, pues 
Análisis modal rápido de resonancias en redes eléctricas 
 43 
provoca paradas anticipadas del método iterativo cuando se detecta una cierta estabilidad en los 
valores de los que depende el criterio de parada principal. Esto es especialmente interesante en 
frecuencias que no son de resonancia, entre las cuales están aquellas en las que dos o más valores 
propios de la matriz presentan módulos parecidos y se produce un mayor número de iteraciones. El 
descenso en el número de iteraciones necesarias, es decir, la disminución de tiempo invertido para 
realizar el análisis modal que se logra a partir de esta acción suele ser de carácter pronunciado. 
Teniendo en cuenta todo lo comentado hasta ahora en este apartado, la situación en la que se está 
es la siguiente: 
* En este TFG la caracterización frecuencial de redes se realiza a través de la matriz de admitancias de 
bus, por lo que el análisis modal se lleva a cabo a partir de la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓
]. 
* La función disponible en las librerías de MATLAB denominada eigs, a la cual si se está trabajando 
con la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓 ] se le puede hacer que proporcione como salida el valor propio de módulo más 
pequeño de dicha matriz y su vector propio asociado, es una función interna de MATLAB que no 
puede ser modificada por el usuario para introducir el criterio de parada adicional asociado a la 
Acción 3. 
El análisis modal rápido consiste en, una vez llevada a cabo la Acción 1, aplicar la Acción 2 o la Acción 
3 para determinar todas las frecuencias de resonancia en un tiempo reducido. Dado que en este TFG 
se pretenden evaluar los efectos de la Acción 2 y de la Acción 3 con respecto a la Acción 1 en la 
realización del análisis modal rápido, en lugar de la función eigs, la cual tan solo sería utilizable en la 
Acción 1 y en la Acción 2, se va a usar una función de MATLAB que corresponde al método de la 
potencia inversa con desplazamiento (esta última palabra traducida al inglés es shift), cuyo código 
implementado en un archivo de nombre invshift.m (ver anexo A3), así como ciertas indicaciones 
acerca de su manejo, se proporcionan en la referencia [10]. Este archivo puede modificarse a gusto 
del usuario, siendo posible introducir el criterio de parada adicional asociado a la Acción 3. El archivo 
modificado resultante con el criterio de parada adicional ya introducido ha sido nombrado 
invshiftm.m (ver anexo A4). Por lo tanto: 
* La Acción 1 hará uso del archivo invshift.m 
* La Acción 2 hará uso del archivo invshift.m 
* La Acción 3 hará uso del archivo invshiftm.m 
Debe tenerse presente que en los archivos invshift.m e invshiftm.m el parámetro desplazamiento 
(denominado “mu”) debe tener valor nulo para que el método de la potencia inversa busque 
converger al valor propio de módulo más pequeño de la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑓
]. 
 Memoria 
44 
5.2 Ejemplo de aplicación 
Una vez se ha explicado la técnica del análisis modal rápido, se vuelve de nuevo al circuito de la figura 
8, el cual fue esquematizado en la figura 12. 
Para poner en práctica el método alternativo de cálculo de la matriz [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑘 ] mediante los vectores de 
incidencia, se procederá a crear un archivo .txt de con los datos de cada elemento del circuito, 
archivo que estará formado por cinco columnas (ver anexo A5): nudos i y j entre los que se halla 
conectado el elemento, resistencia del elemento, reactancia inductiva del elemento y reactancia 
capacitiva del elemento. El archivo .txt de datos de elementos del circuito que se pretende crear 
admitirá datos de reactancias, pero no de susceptancias. Así pues, será necesario transformar las 
susceptancias del circuito en reactancias capacitivas calculando el inverso de sus respectivos valores. 
Dicho archivo será llamado por los programas de análisis modal rápido cuando dichos programas se 
ejecuten. 
Se implementan en MATLAB tres programas mediante los que, empleando la matriz de admitancias 
de bus, se aplicará la técnica del análisis modal rápido a dicho circuito para llegar a los mismos 
resultados que se obtuvieron mediante el análisis modal convencional, pero en el menor tiempo 
posible. Las tres acciones que se van a llevar a cabo para ello (una acción por programa) son las 
siguientes: 
 
* Acción 1 (ver programa en anexo A6): En cada iteración del análisis modal, sólo se va a calcular un 
único valor propio de [𝑌𝐵𝑈𝑆
𝑘 ] , concretamente el más pequeño, así como el correspondiente vector 
propio