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3. Ecuaciones, parte I Matemáticas I, 2012-I
3. Ecuaciones, parte I
La ecuación es como una balanza
Una ecuación es como una balanza en equilibrio: en la balanza se exhiben
dos objetos del mismo peso en ambos lados mientras que en la ecuación se
exhiben dos números o expresiones del mismo valor en ambos lados.
Por ejemplo: la siguiente balanza expresa que es tres veces más pesado que
:
Como fórmula, este hecho se escribe aśı:
1 = 3 .
En matemáticas es más común (pero no necesario) usar letras en lugar de
śımbolos. Algunas balanzas se verán entonces aśı:
A BB
Balanza 1
AAB ABB
Balanza 2
AA BB
Balanza 3
BAC BBBCA
Balanza 4
La primera balanza se escribe en lenguaje matemático como A = 2B ya que
hay dos B’s del lado derecho. El objeto A pesa lo doble del objeto B.
La ecuación de la segunda balanza es 2A + B = A + 2B ya que del lado
izquierdo hay dos A’s y además un B. Sabemos que una balanza se mantiene
en equilibrio si le quitamos en ambos lados lo mismo. Si quitamos un A y un
B en ambios lados, nos queda del lado izquierdo un A y del lado derecho un
B. Eso lo escribimos como A = B. Los dos objetos pesan entonces lo mismo.
La ecuación de la tercera balanza se escribe como 2A = 2B. Sabemos que
si dividimos el peso en ambos lados a la mitad, entonces la balanza sigue
en equilibrio si aśı lo estaba desde antes. Por ello A pesa lo mismo que B.
Nuevamente tenemos A = B.
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Matemáticas I, 2012-I 3. Ecuaciones, parte I
La ecuación de la cuarta balanza es B+A+C = 3B+C+A. Si quitamos uno
de cada uno de los śımbolos en ambos lados obtenemos que del lado derecho
quedan dos B y del lado izquierdo nada. El “nada” se expresa como cero en
las matemáticas. Obtenemos entonces la ecuación 0 = 2B. Podemos dividir
ambos lados en dos partes iguales ya que 0 + 0 = 0. Concluimos que 0 = B
o como es más usual escribir B = 0. Es decir, B es cero, lo que equivale en
nuestra situación a que B es un objeto sin peso alguno. Del peso de A y C
no sabemos nada en esta situación.
Las operaciones con ecuaciones que son permitidas
Hemos usado las siguientes operaciones:
Quitar (restar) en ambos lados lo mismo, o añadir (sumar) en ambos
lados lo mismo.
Dividir ambos lados entre dos. Pero también podŕıamos dividirlo en
tres, cuatro o más partes si en ambos lados hacemos lo mismo. También
podriamos multiplcar ambos lados por un número, siempre que este no
sea cero.
Intercambiar el contenido de los dos lados.
Estas operaciones pueden emplearse siembre en cualquier ecuación.
Trabajar con las expresiones
En lo que sigue veremos cómo se puede obtener la solución de una ecuación
dada en varios ejemplos.
Ejemplo 1. Se quiere resolver la ecuación
x + 5 = 20.
Si se resta en ambos lados 5 se obtiene
x + 5 = 20 | −5
x + 5 − 5 = 20 − 5 | simplificar
x = 15
Usualmente no se escribe el paso intermedio antes de simplificar, sino esto se
hace en la mente.
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3. Ecuaciones, parte I Matemáticas I, 2012-I
Ejemplo 2. Resuelve la siguiente ecuación en la incógnita z:
3z + 7 = 22.
La incógnita se encuentra del lado izquierdo. El lado izquierdo es una suma
de un término que contiene la incógnita (3z) y el número 7. Si restamos 7 en
ambos lados la situación se simplifica:
3z + 7 = 22 | −7
3z = 15
Ahora, el lado izquierdo es un producto del número 3 y la incógnita. Por ello
dividimos ambos lados entre 3 para obtener el resultado:
3z = 15 | ÷3
z = 5
Ejemplo 3. Se quiere resolver la siguiente ecuación en la incógnita t:
3t + 6 = 5t − 14.
Ahora la incógnita se encuentre en ambos lados. Ambos lados son una suma
de un término que contiene la incógnita y un número. Si restamos 5t en
ambos lados, del lado derecho queda solamente un número y obtenemos
3t + 6 = 5t − 14 | −5t
3t + 6 − 5t = −14 | simplificar
(3 − 5)t + 6 = −14 | simplificar
−2t + 6 = −14
Ahora restamos 6 en ambos lados para que se simplifique el lado izquierdo:
−2t + 6 = −14 | −6
−2t = −20
Ambos lados aparecen con un signo negativo. Por ello obtenemos signos po-
sitivos si multiplicamos ambos lados por −1:
−2t = −20 | ·(−1)
2t = 20 | ÷2
t = 10
Más adelante veremos ejemplos más complicadas de ecuaciones.
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Matemáticas I, 2012-I 3. Ecuaciones, parte I
La comprobación
Que algún número sea o no solución de una ecuación se puede comprobar
fácilmente al sustituir la incógnita por el número dado:
Ejemplo 4. El número 3 es solución de la ecuación
3x + 1 = 10
porque al sustituir la incógnita x por el valor 3 se obtiene del lado izquierdo
3 · 3 + 1 = 9 + 1 = 10 que es el mismo número que el lado derecho. Por
otro lado, 2 no es una solución ya que al sustituir x por 2 se obtiene del lado
izquierdo 3 · 2 + 1 = 6 + 1 = 7 que no es igual a 10.
Ejemplo 5. El número 1 es solución de la ecuación
3x3 + x + 1 = 5x2,
porque al sustituir la incógnita x por el valor 1 se obtiene del lado izquierdo
3 · 13 + 1 + 1 = 3 · 1 + 1 + 1 = 3 + 1 + 1 = 5 mientras del lado derecho se
obtiene 5 · 15 = 5 · 1 = 5.
Por otro lado 0 no es una solución: al sustituir x por 0 el lado izquierdo da
3·03+0+1 = 3·0+1 = 0+1 = 1 mientras el lado derecho da 5·05 = 5·0 = 0.
La comprobación es útil sobre todo después de largas cadenas de transforma-
ciones de las ecuaciones. La comprobación puede detectar errores cometido
en estas transformaciones.
En el Ejemplo 3 la comprobación resulta aśı: Si susituimos t por 10 en la
ecuación 3t+6 = 5t−14 obtenemos del lado izquierdo 3 ·10+6 = 30+6 = 36
y del lado derecho 5t − 14 = 5 · 10 − 14 = 50 − 14 = 36. Esto muestra que
t = 10 es en efecto una solución de la ecuación dada.
Sobre la notación
La notación en matemáticas es producto de una larga historia. En cualquier
momento es una convención, pero desde hace como 200 años, esta convención
ya no ha cambiado sustancialmente.
Por ejemplo, se anota 3 para expresar que se tienen tres . El número 3
sirve entonces como un “contador”. Por otro lado 3 · es el producto del
número 3 con el objeto . Pero resulta, que por definición, multiplicar algo
por tres es como tomar la suma de algo+algo+algo. Aśı que se tiene
3 · = + + = 3 .
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3. Ecuaciones, parte I Matemáticas I, 2012-I
Aunque el lado izquierdo expresa formalmente algo diferente del lado dere-
cho, ambos lados siempre tendrán el mismo valor. Por ello se suele omitir
el śımbolo de producto si esto no puede causar confusión. Por ejemplo: 3x
es tres veces x. Pero si sustituimos x por 4 entonces no podemos escribir 34
ya que esto se confundiŕıa con el número “treinta y cuatro”. Hay que hacer
expĺıcito que se trata de un producto en este caso: 3 · 4.
Hemos visto que de vez en cuando hay que escribir paréntesis para aclarar
cuál operación debe ejecutarse primero:
(2 + 1) · 3 = 3 · 3 = 9 pero 2 + (1 · 3) = 2 + 3 = 5.
En la expresión de la izquierda hay que sumar primero, en la expresión a la
derecha hay que multiplicar primero. Si simplemente escribieramos 2 + 1 · 3
no seŕıa claro cuál de las dos opciones es la correcta.
Para no siempre tener que escribir paréntesis, se estableció una regla general
en qué orden deben ejecutarse las operaciones. Por ello es importante hablar
primero de la jerarqúıa de las operaciones:
La multiplicación es una itearción de la suma: 6x es simplemente una abre-
viación para x+x+x+x+x+x. Viéndolo de esta manera, la multiplicación
es de un nivel de complejidad mayor que la suma. Similarmente la potencia-
ción es una iteración del producto: por ejemplo, x6 es una abreviación para
x ·x ·x ·x ·x ·x. Por ello, la potenciación es más complejo que la multiplicación
(y la suma).
La primera regla es que las operaciones se ejecutan en la jerarqúıa de mayor a
menor complejidad : primero la potenciación, luego los productos y divisiones
y al final las sumas y restas.
Ejemplo 6. En la expresión
2 + 3 ∧ 2 · 4
hay que evaluar primero la potenciación: 2 + (3 ∧ 2) · 4 = 2 + 9 · 4. Luego la
multiplicación 2 + 9 · 4 = 2 + 36 y finalmente la suma 2 + 36 = 38.
La segunda regla a seguires: si no se quiere evaluar en este orden, entonces
hay que colocar paréntesis adecuados:
Ejemplo 7. Si se quere primero efectuar la suma en la expresión 2+3∧2 · 4
entonces hay que anotarlo aśı:
(2 + 3) ∧ 2 · 4.
Ejemplo 8. Se debe multiplicar x − 5 por 3.
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Matemáticas I, 2012-I 3. Ecuaciones, parte I
Hay que multiplicar x − 5 de un lado por 3 del otro lado. Es decir, se debe
calcular (x − 5) · (3). Pero los paréntesis alrededor del 3 no agrupan nada y
por lo tanto no se requiere.
Sin paréntesis seŕıa x−5 ·3. Como el producto se evalua primero se obtendŕıa
x− 5 · 3 = x− 15, que no es lo mismo que (x− 5) · 3 = x · 3− 5 · 3 = 3x− 15.
Por ello hay que poner los parentesis aśı:
(x − 5) · 3.
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3. Ecuaciones, parte I Matemáticas I, 2012-I
1jDetermina cómo se comparan el peso de A con los pesos de B y C en los
siguientes ejemplos (a), (b), (c) y (d).
AAAABB AABBB
Balanza (a)
ABCC CBC
Balanza (b)
AA BBCC
Balanza (c)
AAAB BBBBCCC
Balanza (d)
2jLas siguientes dos balanzas están en equilibrio. Expresa el peso de y
de por el peso de .
3j¿Cuántas hay que poner del lado derecho en la balanza a la derecha
para equilibrarla?
4jResuleve las siguientes ecuaciones:
(a) 5x − 12 = 3 en la incógnita x.
(b) 2a = 3a − 1 en la incógnita a.
(c) 1000t + 1 = t + 1000 en la incógnita t.
(d) 3 · (y + 2) = 12 en la incógnita y.
5jResuleve las siguientes ecuaciones:
(a) x+3
2
= 4 en la incógnita x.
(b) 2(z + 1) = 3(z + 2) en la incógnita z.
(c) α
3
+ 2 = α
2
+ 3 en la incógnita α (α es la primera letra del alfabeto
griego y se lee como “alfa”).
(d) 3 · b−1
2
= 12 en la incógnita b.
6jEn cada caso determina si el número dado es solución o no de la ecuación
dada:
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Matemáticas I, 2012-I 3. Ecuaciones, parte I
(a) x = 0 de la ecuación x4 − x2 = x5.
(b) z = 1 de la ecuación 1−z
1+z
= 0
(c) t = 2 de la ecuación t3 − 2t2 + t = 1
(d) α = −1 de la ecuación 1−α
α2
= α3 + 3
7j¿Hay que poner paréntesis o no? Argumenta tu respuesta.
(a) Al sumar a y c · d.
(b) Cuando se resta 3 de x − 2.
(c) Cuando se eleva al cuadrado 2 + x.
(d) Cuando se eleva al cuadrado 2 · x.
(e) Cuando se divide 1 ÷ 2 entre x.
8jEn las siguientes expresiones, determina si los paréntesis están necesarios
(y por lo tanto apropiados), superfluos (correctas pero innecesarias) o
erróneos (que no tiene sentido la expresión).
(a) (3 ÷ 4) ∧ 2 (b) 9(−)t
(c) 5 + (2 · a) (d) (a2)3
(e) a(2
3) (f) [a − (b − 2] − 1)
(g) 3 ∧ (x − 1) (h) a + (b∧)2
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