Clase-101

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
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DOCUMENTO DE CLASE 
Clase N ° 10 
1. Objetivos de la clase: 
 
• Estudio de la antiderivada. 
• Interpretación del concepto de Función Primitiva y de Integral indefinida. 
• Análisis y aplicación de las propiedades de la integral indefinida 
• Reconocimiento y aplicación de los distintos métodos de integración. 
• Aplicación de la integral indefinida a problemas económicos. 
 
 
2. Mapa conceptual de la clase: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antiderivada 
Función Primitiva 
 
Integral Indefinida Propiedades 
Métodos de Integración 
Sustitución Fracciones Simples Por Partes 
 
Aplicaciones Económicas 
 
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3. Desarrollo: 
 
INTEGRALES INDEFINIDAS 
Antes de definir Integral Indefinida vamos a ver dos conceptos que se relacionan con el 
tema: Diferencial de una Función y Función Primitiva. 
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN: 
Dada una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) (Derivable en x) y un incremento de la variable independiente 
Δ𝑥, el diferencial de la función al que llamaremos 𝑑𝑦 es el producto de la derivada de la 
función 𝑦´ por el incremento Δ𝑥. 
𝑑𝑦 = 𝑦´ . Δ𝑥 (*) 
Por ejemplo para 𝑦 = 𝑥3 el diferencial de la función es: 𝑑𝑦 = 𝑑(𝑥3) = 3𝑥2. Δ𝑥 
Veamos este caso: 
Si 𝑦 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝒅(𝒙) = 1. Δ𝑥 = 𝚫𝒙 
Podemos ver entonces que: 𝑑𝑥 = Δ𝑥 
Por tal motivo reemplazando en (*): 𝑑𝑦 = 𝑦´. 𝑑𝑥 
Otra expresión para la derivada: 
Dada una función 𝑦 = 𝑓(𝑥): 
𝑑𝑦 = 𝑦´. 𝑑𝑥 ⇒ 𝒚´ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 (A esta forma de expresar a la derivada se la llama notación 
de Leibniz) 
FUNCIÓN PRIMITIVA: 
Integrar una función implica el proceso inverso al de derivarla, es decir, dada una función 
𝑓(𝑥), se buscan a aquellas funciones 𝐹(𝑥) que al ser derivadas conducen a 𝑓(𝑥). 
Se dice entonces que Ϝ(𝒙) es una función primitiva de 𝒇(𝒙); o dicho de otro modo: Las 
primitivas de 𝑓(𝑥) son aquellas funciones derivables 𝐹(𝑥) tales que: 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
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Por ejemplo: Si la derivada de 𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 5 es 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5, entonces la función 
𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 es una función primitiva de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 
¿ 𝐹 𝑜 𝑓? 
Cuando nombramos a 𝐹(𝑥) nos referimos a la función primitiva, es decir a aquella 
función cuya derivada es la función 𝑓(𝑥). Por lo tanto debemos ser cuidadosos al nombrar 
a una u otra función. 
Pero veamos además otra cuestión: 
 𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 8 es una primitiva de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5, 
pues: 𝐹´(𝑥) = (𝑥2 − 5𝑥 + 8)´ = 2𝑥 − 5. 
Pero también lo es: 𝐹1(𝑥) = 𝑥
2 − 5𝑥 + 25 pues: 𝐹´1(𝑥) = (𝑥
2 − 5𝑥 + 25)´ = 2𝑥 − 5. 
Es decir, no hay una sola primitiva, todas las funciones de la forma : 
𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 𝐶 , donde 𝐶 es una constante, son primitivas de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 
Luego, si una función 𝑓(𝑥) tiene primitiva, entonces tiene infinitas primitivas, 
diferenciándose todas ellas en una constante "𝐶 ∈ ℝ". 
[𝐹(𝑥) + 𝐶]´ = 𝐹´(𝑥) + 0 = 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
TEOREMA: Si dos funciones 𝐹(𝑥) y 𝐺(𝑥) son primitivas de una función 𝑓(𝑥), entonces 
difieren en una constante. 
Hipótesis: 𝐹(𝑥) y 𝐺(𝑥) son funciones primitivas de 𝑓(𝑥). 
Tesis: 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = 𝐶 (con 𝐶 ∈ ℝ) (Significa que 𝐹(𝑥) y 𝐺(𝑥) difieren en una 
constante). 
Demostración: 
Si 𝐹(𝑥) es primitiva de 𝑓(𝑥) ⇒ 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) (Por definición de función primitiva). 
Si 𝐺(𝑥) es primitiva de 𝑓(𝑥) ⇒ 𝐺´(𝑥) = 𝑓(𝑥) (Por definición de función primitiva). 
Si restamos miembro a miembro las dos últimas igualdades: 
 𝐹´(𝑥) − 𝐺´(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) 
 
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 𝐹´(𝑥) − 𝐺´(𝑥) = 0 
Ahora bien: Si 𝐹´(𝑥) − 𝐺´(𝑥) = 0 ⇒ [𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥)]´ = 0 (La resta de las derivadas 
de dos funciones es igual a la derivada de la resta de estas funciones). 
Por lo tanto: Si [𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥)]´ = 0 ⇒ 𝑭(𝒙) − 𝑮(𝒙) = 𝑪 (La derivada de una constante 
es igual a 0) o bien 𝑭(𝒙) = 𝑮(𝒙) + 𝑪 
Hemos llegado a la tesis, por lo tanto hemos demostrado el teorema. 
 
INTEGRAL INDEFINIDA: 
La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una 
función. Se representa como: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 y se lee “Integral de 𝑓(𝑥) diferencial de 𝑥”. 
 
✓ ∫ 𝑡 es el signo de integración. 
✓ 𝑓(𝑥) es el integrando o función a integrar. 
✓ 𝑑𝑥 es el diferencial de 𝒙, e indica cuál es la variable de la función que se integra. 
Luego si Ϝ(𝑥)es una primitiva de 𝑓(𝑥) se tiene que: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
Donde 𝐶 es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. 
 
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 
Las siguientes propiedades son llamadas “propiedades de linealidad”: 
1) La integral de un número(𝑘 ∈ ℝ) por una función es igual al número por la integral 
de la función, es decir: 
∫ 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, donde 𝑘 ∈ ℝ 
 
Esto significa que los números que multiplican a una función pueden “entrar” y “salir” 
del integrando, según convenga. 
 
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2) La integral de una suma (o diferencia) de funciones es igual a la suma (o diferencia) 
de las integrales de esas funciones, es decir: 
 
 ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
 
3) Combinando ambas propiedades: 
∫[𝑘1𝑓(𝑥) ± 𝑘2𝑔(𝑥) ] 𝑑𝑥 = 𝑘1 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± 𝑘2 ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
En este caso tratamos la propiedad con dos funciones, 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) y dos constantes,𝑘1 
y 𝑘2, pero la misma se puede generalizar para n funciones y n constantes. 
 
Ejemplo: 
∫(cos 𝑥 + 10𝑥4 − 4𝑒𝑥)𝑑𝑥 = 
Aplicamos las propiedades de linealidad: 
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 + 10 ∫ 𝑥4𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 
Luego cada integral es inmediata ( pensar en la tabla de derivadas…), las resolvemos y 
agregamos la constante al final: 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 10
𝑥5
5
− 4𝑒𝑥 + 𝐶 si simplificamos: 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝑥5 − 4𝑒𝑥 + 𝐶 
 
 
 
TABLA DE INTEGRALES 
 
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En la siguiente tabla se resumen las reglas de integración de las funciones más conocidas 
o usadas. En general, a este tipo de integrales se las llama integrales inmediatas. Se 
deducen solo de conocer las reglas de derivación. 
Si 𝑘, 𝑎 y 𝐶 son constantes: 
 
• ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 
• ∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 
• ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 (𝑛 ≠ −1) 
• ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln(|𝑥|) + 𝐶 
• ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 
• ∫ 𝑎𝑥𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
ln 𝑎
+ 𝐶 
• ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
• ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 
• ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 
• ∫
1
1+𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 
• ∫
1
√1−𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
• ∫
−1
√1−𝑥2
𝑑𝑥 = arccos 𝑥 + 𝐶 
• ∫ √𝑥𝑑𝑥 =
2
3
𝑥√𝑥 + 𝐶 
 
 
Observación: ¿Por qué ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 se cumple para todo 𝑛 ≠ −1? 
En primer lugar, porque si seguimos esta regla de integración para 𝑛 = −1 llegamos a 
una expresión que no tiene sentido matemático (llegamos a una división por 0). 
Y además: ∫ 𝑥−1𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶 
 
 
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• Integrales Algebraicas: En este tipo de integrales se pueden realizar operaciones 
algebraicas para transformarlas en integrales inmediatas, es decir que se pueden 
resolver a partir de las propiedades de linealidad y la “tabla” de integrales. 
Ejercicios resueltos: 
1) ∫(3𝑥2 − √𝑥)
2
𝑑𝑥 = 
Desarrollamos el cuadrado del binomio: 
∫ [(3𝑥2)2 + 2 ∙3𝑥2 ∙ (−√𝑥) + (−√𝑥)
2
] 𝑑𝑥 = ∫ (9𝑥4 − 6𝑥2 ∙ 𝑥
1
2 + 𝑥) 𝑑𝑥 = 
∫ (9𝑥4 − 6𝑥
5
2 + 𝑥) 𝑑𝑥 = 
Aplicamos propiedades de linealidad: 
9 ∫ 𝑥4𝑑𝑥 − 6 ∫ 𝑥
5
2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 
Cada integral es inmediata, resolvemos cada una de ellas, y agregamos la constante: 
9
𝑥5
5
− 6
𝑥
7
2
7
2
+
𝑥2
2
+ 𝐶 
El cálculo de la integral indefinida ya se logró, pero sobre la solución también podemos 
operar algebraicamente: 
Operamos con los coeficientes, y utilizamos la propiedad de exponente racional 
(𝑥
𝑚
𝑛 = √𝑥𝑚
𝑛
) y nos queda: 
∫(3𝑥2 − √𝑥)
2
𝑑𝑥 =
9
5
𝑥5 −
12
7
√𝑥7 +
𝑥2
2
+ 𝐶 
2) ∫
4𝑥+ √𝑥
3
−1
𝑥3
𝑑𝑥 = 
Aplicamos propiedad distributiva de la división respecto de la suma algebraica: 
 
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∫ (
4𝑥
𝑥3
+
𝑥
1
3
𝑥3
−
1
𝑥3
) 𝑑𝑥 = 
 
 Aplicamos propiedad de potencia en cada término, restando exponentes: 
∫ (4𝑥−2 + 𝑥−
8
3 − 𝑥−3) 𝑑𝑥 = 
 Luego aplicamos las propiedades de linealidad: 
4 ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 + ∫ 𝑥−
8
3𝑑𝑥 − ∫ 𝑥−3 𝑑𝑥 = 
 Cada integral es inmediata, las resolvemos y agregamos la constante de integración: 
4
𝑥−1
−1
+
𝑥−
5
3
−
5
3
−
𝑥−2
−2
+ 𝐶 
Operamos con los coeficientes: 
 −4𝑥−1 −
3
5
𝑥−
5
3 +
1
2
𝑥−2 + 𝐶 
 Aplicamos propiedades de potencia queda finalmente : 
 ∫ (4𝑥−2 + 𝑥
−
8
3 − 𝑥−3) 𝑑𝑥 = −
4
𝑥
−
3
5 √𝑥5
3 +
1
2𝑥2
+ 𝐶 
 
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
El proceso de integrar es un poco mas complejo que el de derivar, esto. Si bien es cierto 
que toda función continua tiene una primitiva, no siempre es posible encontrar una. 
Muchas veces una primitiva de una función es una nueva función que solo puede 
definirse diciendo quien es su derivada. No todas las integrales son inmediatas. Para 
resolver integrales no inmediatas hay que recurrir a los llamados “Métodos de 
integración” que son procedimientos que tienen por objetivo transformar integrales no 
inmediatas en integrales inmediatas. Existen distintos métodos: 
 
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• Método de Integración por Sustitución: 
El método de integración por sustitución nos sirve para integrar funciones que se 
obtuvieron derivando de una composición de funciones, es decir, aplicando la regla de 
la cadena. Recordemos como se derivan las funciones compuestas. 
 
Si f y g son dos funciones derivables en un punto x, la derivada de la función compuesta 
es: 
[(𝑓 ∘ 𝑔)(𝐱)]´ = (𝒇[𝒈(𝒙)])´ = 𝒇´(𝒈(𝒙)). 𝒈´(𝒙) 
 
Si ahoraintegramos a ambos lados de la igualdad: 
 
∫ 𝑓´(𝑔(𝑥)). 𝑔´(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(𝑓[𝑔(𝑥)])´ 𝑑𝑥 = 𝑓[𝑔(𝑥)] + 𝐂 
 
Si llamamos 𝑔(𝑥) = 𝑧 → 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 tendremos: 
∫ 𝑓´(𝑔(𝑥)). 𝑔´(𝑥). 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓´(𝑧). 𝑑𝑧 = 𝐹(𝑧) + 𝐶donde 𝐹(𝑧) es una primitiva de 𝑓´(𝑧) 
Si retornamos a la variable original: 
Obtenemos: ∫ 𝒇´(𝒈(𝒙)). 𝒈´(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭[𝒈(𝒙)] + 𝑪 
Veamos cómo aplicarlo: 
Consideremos una función compuesta: 𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) donde 𝑓 es la función seno 
y 𝑔(𝑥) es 4𝑥 . Su derivada es: 𝑓´[𝑔(𝑥)] . 𝑔´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(4𝑥). 4 (Por regla de derivación 
de función compuesta) 
De acuerdo con lo anterior podemos decir que si llamamos: 
𝒛 = 𝟒𝒙 → 𝒅𝒛 = 𝟒𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
𝒅𝒛 
∫ 𝑐𝑜𝑠(4𝑥). 4 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑧)
1
4
𝑑𝑧 =
1
4
∫ cos(𝑧) 𝑑𝑧 =
1
4
 𝑠𝑒𝑛 (𝑧) + 𝐶 
Es decir: ∫ 𝑐𝑜𝑠(4𝑥). 4 𝑑𝑥 = 
1
4
𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + 𝐶 
 
Luego:∫ 𝒇´[𝒈(𝒙)] . 𝒈´(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭[𝒈(𝒙)] + 𝑪 donde 𝑭 es una primitiva de 𝒇´[𝒈(𝒙)] 
 
 
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Observación: para resolver este tipo de integrales podemos hacer un cambio de 
variables, de forma que: 𝒈(𝒙) = 𝒛 y 𝒈´(𝒙). 𝒅𝒙 = 𝒅𝒛 → 𝒅𝒙 =
𝒅𝒛
𝒈´(𝒙)
 , para definir 
quien es “g(x)” debemos buscar su derivada o una expresión que este “relacionada” 
con ella en la integral….. 
 
Ejemplo: 
1) ∫
𝑥−4
𝑥2−8𝑥+16
𝑑𝑥 = 
observamos que la función del numerador esta “relacionada “ con la derivada del 
denominador pues: (𝑥2 − 8𝑥 + 16)´ = 2𝑥 − 8 = 2(𝑥 − 4) 
Entonces llamamos : 
𝑧 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16 
⇒ (𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠) 𝑑𝑧 = (2𝑥 − 8)𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑧 = 2(𝑥 − 4)𝑑𝑥 
⇒ (𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
2(𝑥−4)
 
Reemplazamos en la integral: 
∫
𝑥 − 4
𝑥2 − 8𝑥 + 16
𝑑𝑥 = ∫
𝑥 − 41
𝑧
∙
𝑑𝑧
2 . (𝑥 − 4)
= 
Cuando simplificamos (𝑥 − 4): 
= ∫
1
2
∙
1
𝑧
𝑑𝑧 = 
“Sacando” el escalar 
1
2
 (propiedad de linealidad) obtenemos una integral inmediata, en la 
cual la variable de integración es "𝑧 ": 
=
1
2
∫
1
𝑧
𝑑𝑧 = 
Integramos por tabla: 
 
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=
1
2
ln|𝑧| + 𝐶 
Como la variable original de integración es 𝑥 y 𝑧 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16, sustituimos y queda: 
 ∫
𝑥−4
𝑥2−8𝑥+16
𝑑𝑥 = 
1
2
ln|𝑥2 − 8𝑥 + 16| + 𝐶 
 
2) ∫
𝑥3
√𝑥4+5
𝑑𝑥 = 
Veamos que la función del numerador esta “relacionada” con la derivada de la función 
que esta “dentro” de la raíz……(𝑥4 + 5 )´ = 4𝑥3 
Si 𝑧 = 𝑥4 + 5 ⇒ 𝑑𝑧 = (4𝑥3)𝑑𝑥 ⇒ 
𝑑𝑧
4𝑥3
= 𝑑𝑥 
Reemplazamos en la integral: 
∫
𝑥3
√𝑥4 + 5
𝑑𝑥 = ∫
𝑥3 
1
√𝑧
.
𝑑𝑧
4 𝑥3
= 
Al simplificar 𝑥3: 
= ∫
1
4
∙
1
√𝑧
𝑑𝑧 = 
Sacando el escalar 
1
4
 , y expresando 
1
√𝑧
como 𝑡−
1
2 y obtenemos una integral inmediata, en 
la cual la variable de integración es "𝑧 ": 
1
4
∫ 𝑧−
1
2𝑑𝑧 = 
Integramos: 
1
4
𝑧
1
2
1
2
+ 𝐶 =
1
2
√𝑧 + 𝐶 
Como la variable original de integración es 𝑥 y 𝑧 = 𝑥4 + 5, sustituimos y queda: 
 ∫
𝑥3
√𝑥4+5
𝑑𝑥 = 
1
2
√𝑥4 + 5 + 𝐶 
 
 
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3) ∫ 𝑆𝑒𝑛(4𝑥) 𝑑𝑥 = 
 
Si: 𝑧 = 4𝑥 ⇒ 𝑑𝑧 = 4 𝑑𝑥 ⇒ 
1
4
 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 
Reemplazamos en la integral : 
∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑧) 
1
4
 𝑑𝑧 =
1
4
∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑧)𝑑𝑡 = 
 Luego, resolvemos la integral inmediata, y nos queda: 
 −
1
4
𝐶𝑜𝑠(𝑧) + 𝐶 
 Como la variable original de integración es 𝑥 y 𝑧 = 4𝑥 sustituimos y queda: 
∫ 𝑆𝑒𝑛(4𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
4
𝐶𝑜𝑠(4𝑥) + 𝐶 
 
• Método de Integración “por partes”. 
Este método fue desarrollado por Johann Bernoulli. Consiste en transformar una integral 
no inmediata ,en la resta de un producto de funciones y una integral que debe ser 
inmediata o por lo menos de dificultad menor a la original. 
 
Deducción de la Fórmula del Método de Integración por Partes 
Consideremos dos funciones de variable 𝑢 = 𝑢(𝑥) y 𝑣 = 𝑣(𝑥) 
La derivada del producto de estas funciones es: 
[𝑢(𝑥) . 𝑣(𝑥)]´ = 𝑢´(𝑥). 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥) 
Integramos a ambos miembros respecto de 𝑥: 
∫[𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥)] ´ 𝑑𝑥 = ∫[𝑢´(𝑥). 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥)] 𝑑𝑥 
En el primer miembro: ∫[𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥)] ´ 𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥) . 𝑣(𝑥) (Recordemos que la 
integración y la derivación son acciones inversas). 
En el segundo miembro aplicamos la propiedad de linealidad de la integral indefinida. 
Entonces: 
 
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 𝑢(𝑥) . 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑢´(𝑥). 𝑣(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥) 𝑑𝑥 
 
Restando a ambos miembros ∫ 𝑢´(𝑥). 𝑣(𝑥) 𝑑𝑥: 
 𝑢(𝑥) . 𝑣(𝑥) − ∫ 𝑢´(𝑥). 𝑣(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢´(𝑥). 𝑣(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥) 𝑑𝑥 −
∫ 𝑢´(𝑥) . 𝑣(𝑥) 𝑑𝑥 
 
Cancelamos en el segundo miembro: 
𝑢(𝑥) . 𝑣(𝑥) − ∫ 𝑢´(𝑥). 𝑣(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢´(𝑥) . 𝑣(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑢(𝑥) . 𝑣´(𝑥) 𝑑𝑥 −
∫ 𝑢´(𝑥) . 𝑣(𝑥) 𝑑𝑥 
 
Entonces: 
 
 
 
Que es la fórmula de integración por partes que vamos a utilizar. 
Observaciones: 
• Este método nos reduce el cálculo de una integral al de otra más sencilla 
• La constante de integración C la sumamos una vez que no tenemos que calcular 
más integrales 
• La función 𝑣 puede ser cualquier primitiva de la función que llamamos 𝑣´. En 
general, conviene elegir la más sencilla. 
• No hay una forma teóricade elegir que función jugara el papel de 𝑢 y cual el 
de 𝑣 
• Como el producto de la derivada de una función de variable 𝑥 por 𝑑𝑥 es igual 
al diferencial de la función, la fórmula también se puede expresar como: 
 
 
 
 
 
 
∫ 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥) . 𝑢´(𝑥)𝑑𝑥 
∫ 𝑢(𝑥). 𝑑𝑣 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥). 𝑑𝑢 
 
 
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Ejercicios resueltos: 
1) ∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 
Recordemos la fórmula de integración por partes: 
∫ 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥) . 𝑢´(𝑥) 𝑑𝑥 
∫ 𝑢(𝑥) . 𝑣´(𝑥) 𝑑𝑥 es ∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥. 
Nuestro problema es ahora determinar entre : 𝑥 𝑦 𝑒𝑥 qué función será 𝑢(𝑥) y cuál 
𝑣´(𝑥). 
La idea es que ∫ 𝑣(𝑥) . 𝑢´(𝑥) 𝑑𝑥 que se encuentra en el segundo miembro de la fórmula 
sea una integral inmediata o se pueda resolver por algún método. 
En este caso nuestra elección será: 
𝒖(𝒙) = 𝑥 
 𝑣´(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 
Luego, reemplazando en la fórmula: 
∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 
Si factorizamos la solución nos queda: 
∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥(𝑥 − 1) + 𝐶 
 
Aclaración: 
A la función que llamamos 𝑢(𝑥) hay que derivarla para obtener 𝑢´(𝑥), y a la que 
llamamos 𝑣´(𝑥) la integramos para obtener 𝑣(𝑥), al integrar 𝑣´(𝑥) no le colocamos la 
constante al final, ya que ésta la pondremos cuando resolvamos completamente la integral 
original 
 
 
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Una ayuda: 
En los casos en que las funciones del integrando son las que figuran a continuación, nos 
puede servir de ayuda una regla que vamos a llamar “ILPET”:. 
 𝑰: 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑠 (funciones trigonométricas inversas: arcsen, arccos, arctg) 
 𝑳: 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟í𝑡𝑚𝑖𝑐𝑎𝑠 
 𝑷: 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑜 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 
 𝑬: 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 
 𝑻: 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 (𝑠𝑒𝑛 , 𝑐𝑜𝑠, 𝑡𝑔) 
Leyendo en orden descendente podemos elegir primero a la función que será 𝑢(𝑥) y 
luego a la que será 𝑣´(𝑥) 
 
 
2) ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 
Llamamos: 
𝑢(𝑥) = 𝑥2 ⇒ 𝑢´(𝑥) = 2𝑥 
𝑣´(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 
Luego, reemplazando en ∫ 𝑢(𝑥)𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥)𝑢´(𝑥)𝑑𝑥 : 
∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2(−𝑐𝑜𝑠𝑥) − ∫ −𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 2𝑥 𝑑𝑥 = 
 ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2(−𝑐𝑜𝑠𝑥) + 2 ∫ 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = (∗) 
 
Tenemos que la integral ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 también es una integral que se resuelve aplicando 
“partes”, entonces: 
Llamamos: 
𝑢(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑢´(𝑥) = 1 y 𝑣´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − (−𝑐𝑜𝑠𝑥) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
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2400 - Matemática I 
 
16 
 
Volvemos a (∗): 
∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2(−𝑐𝑜𝑠𝑥) + 2 ∫ 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2(−𝑐𝑜𝑠𝑥) + 2[𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥] 
 ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2(−𝑐𝑜𝑠𝑥) + 2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 
 
3) ∫
ln 𝑥
𝑥3
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−3 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 
Llamamos: 
𝑢(𝑥) = ln 𝑥 ⇒ 𝑢´(𝑥) =
1
𝑥
 
𝑣´(𝑥) = 𝑥−3 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑥−3 𝑑𝑥 =
𝑥−2
−2
 
∫ 𝑥−3 ln 𝑥 𝑑𝑥 = (ln 𝑥) ∙
𝑥−2
−2
− ∫
𝑥−2
−2
∙
1
𝑥
 𝑑𝑥 = −
1
2
∙
1
𝑥2
∙ ln 𝑥 +
1
2
∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 = 
 
= −
ln 𝑥
2𝑥2
+
1
2
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 
 
Finalmente queda: ∫
ln 𝑥
𝑥3
𝑑𝑥 = −
ln 𝑥
2𝑥2
+
1
2
ln(|𝑥|) + 𝐶 
 
• Método de integración por “ fracciones simples. 
Se utiliza para resolver integrales de la forma: ∫
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥, donde 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son 
polinomios. Nosotros desarrollaremos el caso en que las raíces del denominador son 
raíces reales y simples. 
Tenemos que considerar dos casos: 
➢ Caso 1: Si 𝑔𝑟[𝑃(𝑥)] < 𝑔𝑟[𝑄(𝑥)] , siendo 𝑔𝑟[𝑄(𝑥)] = 𝑛 y 𝑄(𝑥) tiene "𝑛" raíces 
reales simples, entonces podemos expresar a 𝑄(𝑥) : 
 𝑄(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) … … … (𝑥 − 𝑥𝑛) , donde 𝑎 es el coeficiente 
principal de 𝑄(𝑥) y 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; … … … ; 𝑥𝑛 son sus raíces reales. 
 
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2400 - Matemática I 
 
17 
 
En este caso 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
1
𝑎
(
𝐴
𝑥−𝑥1
+
𝐵
𝑥−𝑥2
+
𝐶
𝑥−𝑥3
+ ⋯ +
𝑁
𝑥−𝑥𝑛
) donde 𝐴, 𝐵, 𝐶, … , 𝑁 son 
números reales que habrá que determinar. 
 
➢ Caso 2: Si 𝑔𝑟[𝑃(𝑥)] > 𝑔𝑟[𝑄(𝑥)] se realiza primero la división entre los 
polinomios 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥). 
 
 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) 
 𝑅(𝑥) 𝐶(𝑥) 
 
Donde 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥) , entonces: 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝑄(𝑥)∙𝐶(𝑥)+𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 𝐶(𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
 como 𝑔𝑟[𝑅(𝑥)] < 𝑔𝑟[𝑄(𝑥)] se tiene que: 
∫
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥 = ∫ [𝐶(𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
] 𝑑𝑥 = ∫ 𝐶(𝑥)𝑑𝑥 + ∫
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥 , donde la primera integral es 
inmediata y la segunda es como el Caso 1. 
 
Observación: El método consiste en descomponer una expresión racional del tipo 
𝐏(𝐱)
𝐐(𝐱)
 en la suma de fracciones simples, ya que la fracción simple es fácilmente 
integrable. 
Las integrales ∫
1
𝑥−2
𝑑𝑥 y ∫
1
𝑥−3
𝑑𝑥 son integrales de la forma ∫
1
𝑥−𝑎
𝑑𝑥 donde 𝑎 ∈ ℝ, 
éstas se resuelven mediante la sustitución 𝑧 = 𝑥 − 𝑎 ⇒ 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 
Entonces: ∫
1
𝑥−𝑎
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑧
𝑑𝑧 = ln|𝑥| = ln|𝑥 − 𝑎|. 
 
Por lo tanto: ∫
𝑨
𝒙±𝒂
 𝒅𝒙 = 𝑨 𝒍𝒏 (|𝒙 ± 𝒂|) + 𝑪 
 
 
 
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18 
 
Ejercicios resueltos 
1) ∫
2𝑥−3
𝑥3−5𝑥2+6𝑥
𝑑𝑥 = (*) 
 
Como 𝑔𝑟[2𝑥 − 3] < 𝑔𝑟[𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥], estamos en un ejercicio del Caso 1: 
 
Buscamos las raices del denominador: 
𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 = 0 Las raíces del denominador son 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 2 y 𝑥3 = 3 
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 
Como el denominador tiene 3 raices reales y simples, expresamos la fracción 
2𝑥−3
𝑥3−5𝑥2+6𝑥
 como suma de 3 fracciones simples: 
2𝑥 − 3
𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 − 2
+
𝐶
𝑥 − 3
 
Donde debemos hallar los valores de los coeficientes. 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 
Si operamos obtenemos: 
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 − 2
+
𝐶
𝑥 − 3
=
𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) + 𝐵𝑥(𝑥 − 3) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2)
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
⇒ 
2𝑥 − 3
𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥
=
𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) + 𝐵𝑥(𝑥 − 3) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2)
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
⇒ 
⇒ 2𝑥 − 3 = 𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) + 𝐵𝑥(𝑥 − 3) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2) (∗∗) 
Para calcular los valores de 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶, reemplazamos en la igualdad (**) los valores de 
las raíces: 
Si 𝑥 = 0 ⇒ 2 ∙ 0 − 3 = 𝐴(0 − 2)(0 − 3) + 𝐵 ∙ 0 ∙ (0 − 3) + 𝐶 ∙ 0 ∙ (0 − 2) ⇒ 
⇒ −3 = 𝐴 ∙ 6 ⇒ 𝐴 = −
3
6
 ⇒ 𝑨 = −
𝟏
𝟐
 
 
Si 𝑥 = 2 ⇒ 2 ∙ 2 − 3 = 𝐴(2 − 2)(2 − 3) + 𝐵 ∙ 2 ∙ (2 − 3) + 𝐶 ∙ 2 ∙ (2 − 2) ⇒
 ⇒ 1 = 𝐴 ∙ 0 ∙ (−1) + 𝐵 ∙ 2 ∙ (−1) + 𝐶 ∙ 2 ∙ 0 ⇒ −1 = 𝐵 ∙ (−2) ⇒ 𝑩 =
𝟏
𝟐
 
 
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19 
 
 
Si 𝑥 = 3 ⇒ 2 ∙ 3 − 3 = 𝐴(3 − 2)(3 − 3) + 𝐵 ∙ 3 ∙ (3 − 3) + 𝐶 ∙ 3 ∙ (3 − 2) ⇒ 
⇒ 3 = 𝐴 ∙ 1 ∙ 0 + 𝐵 ∙ 3 ∙ 0 + 𝐶 ∙ 3 ∙ 1 ⇒ 3 = 𝐶 ∙ 3 ⇒ 𝑪 = 𝟏 
 
Luego:
2𝑥−3 
𝑥3−5𝑥2+6𝑥
=
−
1
2
𝑥
+
1
2
𝑥−2
+
1
𝑥−3
⇒ Si retomamos la integral (*) 
 
∫
2𝑥 − 3 
𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥
𝑑𝑥 = ∫ (
−
1
2
𝑥
+
1
2
𝑥 − 2
+
1
𝑥 − 3
) 𝑑𝑥 = 
= −
1
2
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 +
1
2
∫
1
𝑥 − 2
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥 − 3
 
Nos queda finalmente: 
∫
2𝑥−3 
𝑥3−5𝑥2+6𝑥
𝑑𝑥 = −
1
2
ln|𝑥| +
1
2
ln(|𝑥 − 2| + ln|𝑥 − 3| + 𝐶 
 
2) ∫
𝑥3−4𝑥2−1
𝑥2−5𝑥+4
𝑑𝑥 = 
 
Como 𝑔𝑟[𝑥3 − 4𝑥2 − 1] > 𝑔𝑟[𝑥2 − 5𝑥 + 4], estamos en un ejercicio del Caso 2: 
Realizamos la división, ya que el grado del numerador es mayor al grado del 
denominador. 
 
 
𝑥3 − 4𝑥2 + 0𝑥 − 1 𝑥2 − 5𝑥 + 4 
 −𝑥3 + 5𝑥2 − 4𝑥 𝑥 + 1 
 𝑥2 − 4𝑥 − 1−𝑥2 + 5𝑥 − 4 
+ 
+ 
 
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20 
 
 𝑥 − 5 
 
𝑥3−4𝑥2−1
𝑥2−5𝑥+4
= 𝑥 + 1 +
𝑥−5
𝑥2−5𝑥+4
 entonces: ∫
𝑥3−4𝑥2−1
𝑥2−5𝑥+4
𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + 1 +
𝑥−5
𝑥2−5𝑥+4
) 𝑑𝑥 = 
= ∫(𝑥 + 1)𝑑𝑥 + ∫
𝑥−5
𝑥2−5𝑥+4
𝑑𝑥 (*) 
Nos quedan dos integrales ,la primera es la integral de un polinomio, es inmediata y la 
segunda es del tipo ∫
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥 que se resuelve por fracciones simples: 
Buscamos las raides del denominador y lo factorizamos: 
Las raíces del denominador son 𝑥1 = 1 y 𝑥2 = 4 
𝑥2 − 5𝑥 + 4 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 4) 
𝑥 − 5
𝑥2 − 5𝑥 + 4
=
𝐴
𝑥 − 1
+
𝐵
𝑥 − 4
=
𝐴(𝑥 − 4) + 𝐵(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
 
⇒ 𝑥 − 5 = 𝐴(𝑥 − 4) + 𝐵(𝑥 − 1) (∗∗) 
Para calcular los valores de 𝐴 𝑦 𝐵, reemplazamos en la igualdad (**) los valores 
de las raíces: 
Si 𝑥 = 1 ⇒ 1 − 5 = 𝐴(1 − 4) + 𝐵(1 − 1) ⇒ −4 = 𝐴(−3) ⇒ 𝐴 =
4
3
 
Si 𝑥 = 4 ⇒ 4 − 5 = 𝐴(4 − 4) + 𝐵(4 − 1) ⇒ −1 = 𝐴 ∙ 3 ⇒ 𝐵 = −
1
3
 
Luego: 
𝑥−5
𝑥2−5𝑥+4
=
4
3
𝑥−1
+
−
1
3
𝑥−4
⇒ Si retomamos la integral (*) 
∫
𝑥3 − 4𝑥2 − 1
𝑥2 − 5𝑥 + 4
𝑑𝑥 = ∫(𝑥 + 1)𝑑𝑥 + ∫
𝑥 − 5
𝑥2 − 5𝑥 + 4
𝑑𝑥 
 =
𝑥2
2
+ 𝑥 +
4
3
∫
1
𝑥−1
𝑑𝑥 −
1
3
∫
1
𝑥−4
𝑑𝑥 
Finalmente: 
∫
𝑥3 − 4𝑥2 − 1
𝑥2 − 5𝑥 + 4
𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+ 𝑥 +
4
3
ln|𝑥 − 1| −
1
3
ln|𝑥 − 4| + 𝐶 
 
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21 
 
 
 
 
4. Bibliografía: 
• LEITHOLD, LOUIS (1998). EC7 - El Cálculo. México. Oxford University 
Press; 7ª ed. Cap. 4. 
 
• PURCELL, E; VARBERG, D (1993). Cálculo con Geometría Analítica. 
México. Prentice-Hall; 6ª ed. Cap. 5. 
 
 
 
• RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de 
Cálculo, Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed. Cap. 13. 
 
• AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 
y 2, Buenos Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición. Cap. 13. 
 
 
5. Actividad Pedagógica: 
Los siguientes ejercicios de la Guía de Trabajos prácticos de Matemática I 
corresponden a Integral Indefinida. 
 A continuación se detallan los ejercicios que son de carácter obligatorio. 
 
Ejercicios: a) 1, 2, 5,7, 8. 
 b) 1, 2, 3, 8, 9, 12, 14. 
 c) 1, 2, 3, 6, 12. 
 d) 1, 2, 7. 
 e) 1. 
 f) 6, 7, 23. 
 
 
 
 
 
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22 
 
TRABAJO PRÁCTICO : INTEGRALES INDEFINIDAS 
 
Resolver las siguientes integrales indefinidas: 
a) Integrales “algebraicas”: 
 
1)  





−− dx
x
8
 xcos
2
1
e 5
3
x
 2)  





+ dx3
5
2
xsin x 3) ( ) ( )dx1x 2 x4 −+ 
 
4) 
+−+−
dx
x
7 x3 x5 x8 x6
4
234
 5) dx.xxx 5
65 3
 




+− 
 
6)  dx
x
e
3 2
 7) dx
x
xx
7
53

+
 8) ( ) dx52x
2
 − 
9) ( ) − dxx3
3
 10) dx
xsec
 xtan
 11) dx
k
x
x
k 3
3 





+ 
 
b) Integrales“por sustitución”: 
 
1) dxx3x 32 − 2) 
+
dx
5x
x
4
3
 3) ( )dx12xx x3 2 ++ 
 
4) 
( )
dx
xxx
3
1
1x
3
4
23
2







++
+
 5) ( ) ( )dx 3 x25 x3x 32 +−+ 6) dx
3x
 x2
5
4

+
 
 
7) dx5
78x

+−
 8) ( ) dx11 x8
10
 − 
9) dxe x
4x3
 
 
 
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23 
 
10) dx
e1
e
x
x
 +
 11) dx
x
xsen
 12) dx
x
e x
 
 
13) 
( )
dx
x
 xln2
3

+
 14)  dxx
1
 )xln 3( 15) dx
e1
)(e
2x
2x
 −
 
 
c) Integrales “ por partes”: 
 
1) dxxsenx 2) dx x ln x
2
 3)  dxx sen x
2 
 
4)  dxxln 5)  dxxxln 6) ( ) dxe 13x
4x−
 − 
 
7) dx
e
x
x 8) dxx
 xln
3
 
9)  dxxsene
x 10)  dxax
x 
 
11)  + dx1)(xln
2
 
12) ( ) ( )dx32xcos 5x8x2 −+ 13) ( ) dxe 2 x6x
x2
 +− 
 
d) Integrales “por descomposición en fracciones simples”: 
 
1) dx
6 x5x
9 x5x
2
2

+−
++
 2) dx
 x4 x5x
2 x5
23
3

+−
+
 3) dx
8 x12 x6x
6 x12 x6x
23
234

−+−
++−
 
 
4) dx
4x
1xxx
2
23
 −
−++
 5) dx
3 x2x
5 x2
2 −+
+
 
6) dx
1x
1x
2
2
 −
+
 
 
7) dx
 x6xx
1x
23 −+
+
 8)  − 22 2)(xx
dx
 9) 
+−
−
dx
3)(x1)(x
1 x2
2
 
 
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24 
 
 
10) 
++
dx
x x2x
3
234
 11) 
+− 6 x3 x9
dx
2 
 
 e) Integrales trigonométricas: 
 
1)  dxxsen
2 2) dxx cos
2
 3)  dxxsen
3
 
 
4)  dxxcos
5
 5)  dxx cosx sen
32 
 6) dxx cosx sen 22 
 
f) Integrales diversas: 
 
1) 
( )
dx
e
e 5e
2x
2x3x

−
 
 2)  dxxtan
2
 
3) dx
1 x6x x4 x2
3x x6 x4
234
23

−−+−
−+−
 
 
4) 
( )
dx
x
 xlncos 2
 5) ( ) dx x cos xsin3
2
 − 
 
6) ( ) dx xxcos 45 7) ( )dx 4 x3senx 2 + 8)  dxxcos
 xtan
2
 
 
9)  −− dx2)(3xtan2)sec(3x 10) dxx3
2x1
 +
−
 11)  + 44x1
dxx
 
 
12) 
− 2x4
dx
 13)  dx2x)(sen(2x)cos
3 14)  dxx cosx sen 
 
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25 
 
 
15) ( ) dx 5xsen x
2 16) ( ) dx x cos 43x + 17) ( ) dxe 35x
35x−
 − 
 
18) dx
x
1
ln 





 19) dx
x
lnx
 20) ( ) dxe 12x
x
 − 
 
21) ( )dx x coslnx sen 
22) dxx sen2 
 23)  dxx)(lnsen 
 
24) ( ) dx xln
2
 25) 
( )
dx
x
xlnln
 
26) dx xcos1 + 27) dxxsecx tan
33
 28) 
dx 
xcos
xsen
6
2
 
 
29)  dxx cosx
2
 30) dxx senxcos3 31) dx 
21x
51x

++
−+
 
 
32) 
++
dx
1x2
x
 33) dx1xx + 34) 
− xx
dx
 
 
35) 
+− 10 x12 x4
dx
2
 
36) 
+− 2 x3x
dx
2
 
37) dx
1x x2
1x

+−
−
 38)  dxxsenarc 39)  dxxcosarc 
 
40) dxxtanarc 41) ( )dxx3xln 2 ++ 42) dx3sen3 x2x 
 
RESPUESTAS 
 
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26 
 
 
a) Integrales Algebraicas: 
1) c
x
4
x sen
2
1
e 5
2
x ++− 2) c
3 ln
3
5
2
 xcos
x
++− 3) c x2xx
3
4 23 +−− 
4) cx
3
7
x
2
3
x
5
x ln 8 x6 32 +−+−− −− 5) cx
7
1
x
8
5
x
3
10 75
8
2
3
++− 
6) cxe 3 3 + 7) cx
37
35
x
25
21
35
37
21
25
++ 8) 
c x25 x10x
3
4 23 ++− 
9) cxx
5
2
x
2
9
x x18 x27 22 +−+− 10) c xcos +− 11) c
k 4
x
2x
k 4
2
++− 
 
b) Integrales por sustitución: 
 
1) ( ) cx3
9
2 33 +−− 2) c5x
2
1 4 ++ 3) cxx x)(x
4
3 3 22 +++ 
4) cxxx
3
1
 4 4 23 +++ 5) ( ) c5 x3x
4
1 42 +−+ 6) c3xln
5
2 5 ++ 
7) c
5 ln
5
8
1 78x
+−
+−
 8) ( ) c118x
88
1 11
+− 9) ce
4
1 4x + 10) ce1 ln x ++ 
11) cxcos 2 +− 12) ce 2 x + 13) ( ) c xln2
4
1 4
++ 14) ( ) c xln 
4
1 4
+ 
15) ce1 ln
2
1 2x +−−
 
 
c) Integrales por partes: 
1) cx senx cosx ++− 2) c
3
1
 xln
3
x3
+





− 3) cx cos 2x senx 2x cos x2 +++− 
4) cx xlnx +− 5) c
3
2
 xlnx
3
2 3 +





− 6) c
4
1
 x3e
4
1 4x +





−− − 
 
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2400 - Matemática I 
 
27 
 
7) ( ) c1xe x +−−− 8) c
2
3
 xlnx
2
3
3
2
+





− 9) 
( )
c
2
x senx cosex
+
+−
 
 
10) c
a ln
1
x
a ln
ax
+





− 11) c xtanarc 2 x21)(x lnx 2 ++−+ 
 
12) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c3x 2 sen 23x 2 cos 5x 16
4
1
3x 2 sen x 5x 8
2
1 2 +−−−++−+ 
 
13) ( ) c.e108xx x2 ++− 
 
d) Integrales por descomposición en fracciones simples: 
 
1) c2xln 233xln 33x +−−−+ 2) c1xln
3
7
4xln
6
161
xln 
2
1
 x5 +−−−++
 
 
3) 
( )
c
2x
8
2x
11
2
x
2
2
+
−
−
−
−4) c2xln
4
13
2xln
4
7
x
2
x2
+−++++
 
 
5) c1xln
4
7
3xln
4
1
+−++ 6) c1xln1xlnx +−++− 
 
7) c2xln 
10
3
3xln 
15
2
xln 
6
1
+−++−− 8) c
2)4(x
1
2xln 
4
1
 x4
1
xln 
4
1
+
−
−−−−
 
 
9) c3xln 
16
7
1)4(x
1
1xln 
16
7
++−
−
−− 10) c
1x
3
1xln 6
x
3
xln 6 +
+
−++−−
 
 
 
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2400 - Matemática I 
 
28 
 
11) c
207
318x
arctan
207
2
+




 −
 
 
e) Integrales trigonométricas: 
 
1) c
4
sen(2x)
x
2
1
+− 2) c
4
sen(2x)
x
2
1
++ 3) c
3
xcos
 xcos
3
++− 
 
4) c
5
xsen
3
xsen 2
x sen
53
++− 5) c
5
xsen
3
xsen 53
+− 6) c
32
sen(4x)
x
8
1
+− 
 
f) Integrales diversas: 
 
7) c x5ex +− 8) cx xtan +− 9) c16xx4x2x ln
2
1 234 +−−+− 
10) ( ) cx ln sen 
2
1 2 +
 
11) ( ) c xsin3
3
1 3
+−− 
12) ( ) cx sen
5
1 5 +
 
13) ( ) c43x cos
6
1 2 ++−
 
14) cxtan
2
1 2 + 
15) c2)sec(3x
3
1
+− 16) cx3 ln 7 x2 +++− 17) c) x(2tanarc
4
1 2 +
 
18) c)
2
x
sen(arc + 19) c x)(2cos
8
1 4 +− 20) ( ) cx sen
2
1 2
+
 
21) ( ) ( ) ( ) c5x cos
125
2
5x senx 
25
2
x 5 cosx
5
1 2 +++− 
22) ( ) cx cos 3x sen 43x +++ 
23) ( ) c45xe
5
1 35x +−− 24) c1
x
1
 lnx +





+





 25) 
( )
c
2
 xln
2
+ 
26) ( ) c32xex +− 27) ( )  c xcos ln1 x cos +− 28) c2
xx cosx sen
+
+−
 
 
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2400 - Matemática I 
 
29 
 
29) c
2
x) (ln cosx x) (ln senx 
+
−
 
30) ( ) c x2 xln x 2 xlnx 2 ++− 
31) ( )  c1xlnln.xln +− 32) c
2
x
 sin 2 2 +





 ó c xcos12 +− 
 33) c
3
xsec
5
xsec 35
+− 34) c
3
xtan
5
xtan 35
++ Escriba aquí la ecuación. 
35) cx) (2 cos
8
1
x) (2 senx
4
1
x
4
1 2 +++ 
36) 
( ) ( )
c
7
x sen 2
3
x sen 2
73
+− 37) c21xln 281x141x +++++−+ 
38) ( ) c21xln 121x 61)(x 21x
3
2 3
+++−+++−+ 
39) ( ) ( ) c1x
3
2
1x
5
2 35
++−+ 40) ( ) cx1ln 2 +− − 
41) ( ) c32xtanarc
2
1
+− 42) c
1x
2x
ln +
−
−
 
1) ( ) c1x
3
2
x
3
22
2
3
2
3
+++ 2) cx1x senarcx 
2 +−+ 
3) cx1 xcosarcx 2 +−− 4) cx arctanxx tanarcx ++− 
5) ( ) cxx3xlnx 22 ++−++ 3 6) ( ) c3 sin3 cos33 ln
1 xxx ++−
 
 
6. Material complementario 
 
En este ítem encontraran ejercicios resueltos y links para profundizar sobre el 
tema. 
 
1)∫
(4+3 ln 𝑥)2
𝑥
𝑑𝑥 = 
Si: 𝑡 = 4 + 3 ln 𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 =
3
𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 
1
3
𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 
 
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2400 - Matemática I 
 
30 
 
Reemplazamos en la integral y simplificamos 𝑥: 
∫
(𝑡)2
𝑥
 .
1
3
𝑥 𝑑𝑡 =
1
3
∫ 𝑡2𝑑𝑡 = 
 Luego, resolvemos la integral inmediata, y nos queda: 
1
3
𝑡3
3
+ 𝐶 =
1
9
𝑡3 + 𝐶 
 Como la variable original de integración es 𝑥 y 𝑡 = 4 + 3 ln 𝑥 , sustituimos: 
1
9
∙
 (4 + 3 ln 𝑥)3 + 𝐶 
 
2) ∫
𝑒4𝑥+3
𝑒3𝑥
𝑑𝑥 = 
La función a integrar se puede expresar de la siguiente manera: 
𝑒4𝑥+3
𝑒3𝑥
=
(𝑒𝑥)4+3
(𝑒𝑥)3
 , por propiedades de potencia. 
Si llamamos 𝑡 = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 ⇒ 
𝑑𝑡
𝑒𝑥
= 𝑑𝑥 
Reemplazamos en la integral: 
∫
𝑒4𝑥+3
𝑒3𝑥
𝑑𝑥 = ∫
(𝑒𝑥)4+3
(𝑒𝑥)3
𝑑𝑥 = ∫
𝑡4+3
𝑡3
𝑑𝑡
𝑒𝑥
 como 𝑡 = 𝑒𝑥 ⇒ ∫
𝑡4+3
𝑡3
𝑑𝑡
𝑒𝑥
= ∫
𝑡4+3
𝑡3
𝑑𝑡
𝑡
= =
∫
𝑡4+3
𝑡4
 𝑑𝑡 , esta última integral es inmediata ⇒ ∫
𝑡4+3
𝑡4
 𝑑𝑡 = ∫ (
𝑡4
𝑡4
+
3
𝑡4
) 𝑑𝑡 ==
∫(1 + 3𝑡−4)𝑑𝑡 = 𝑡 + 3 ∙
𝑡−3
−3
+ 𝐶 
 Reemplazando 𝑡 por 𝑒𝑥 y simplificando: 𝑒𝑥 − (𝑒𝑥)−3 + 𝐶 = 𝑒𝑥 − 𝑒−3𝑥 + 𝐶 
 
3) ∫ √𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 
Recordemos la fórmula de integración por partes: 
∫ 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥) . 𝑢´(𝑥) 𝑑𝑥 
∫ 𝑢(𝑥) . 𝑣´(𝑥) 𝑑𝑥 es ∫ √𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥. 
 
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2400 - Matemática I 
 
31 
 
Nuestro problema es ahora determinar entre : √𝑥 y ln 𝑥 qué función será 𝑢(𝑥) y cuál 
𝑣´(𝑥). 
La idea es que ∫ 𝑣(𝑥) . 𝑢´(𝑥) 𝑑𝑥 que se encuentra en el segundo miembro de la fórmula 
sea una integral inmediata o se pueda resolver por algún método. 
En este caso nuestra elección será: 
𝒖(𝒙) = ln 𝑥 ⇒ 𝑢´(𝑥) =
1
𝑥
 
 𝑣´(𝑥) = √𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ √𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥 =
𝑥
3
2
3
2
=
2
3
𝑥
3
2 
Luego, reemplazando en la fórmula: 
 
∫ √𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 ∙
2
3
𝑥
3
2 − ∫
2
3
𝑥
3
2 ∙
1
𝑥
𝑑𝑥 =
2
3
𝑥
3
2 ∙ ln 𝑥 −
2
3
∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥 = 
=
2
3
𝑥
3
2 ∙ ln 𝑥 −
2
3
∙
𝑥
3
2
3
2
+ 𝐶 =
2
3
𝑥
3
2 ∙ ln 𝑥 −
2
3
∙
2
3
𝑥
3
2 + 𝐶 =
2
3
√𝑥3 ln 𝑥 −
4
9
√𝑥3 + 𝐶 = 
=
2
3
√𝑥3 (ln 𝑥 −
2
3
) + 𝐶 
4) ∫(3𝑥2 − 4𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 = 
De acuerdo a nuestra nueva ayuda, vamos a llamar 𝑢(𝑥) a la función polinómica 3𝑥2 −
4𝑥 y 𝑣´(𝑥) a la función exponencial 𝑒𝑥 (ya que en orden descendente las funciones 
polinómicas anteceden a las exponenciales) 
Entonces tenemos que: 
𝑢(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 ⇒ 𝑢´(𝑥) = (6𝑥 − 4) 
𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 
Luego, reemplazando en ∫ 𝑢(𝑥)𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥)𝑢´(𝑥)𝑑𝑥 : 
∫(3𝑥2 − 4𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 = (3𝑥2 − 4𝑥)𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥(6𝑥 − 4)𝑑𝑥 = (∗) 
 
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2400 - Matemática I 
 
32 
 
Tenemos que la integral ∫ 𝑒𝑥(6𝑥 − 4)𝑑𝑥 también es una integral que se resuelve 
aplicando “partes”, entonces: 
Llamamos: 
𝑢(𝑥) = 6𝑥 − 4 ⇒ 𝑢´(𝑥) = 6 y 𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 
Luego: ∫ 𝑒𝑥(6𝑥 − 4)𝑑𝑥 = (6𝑥 − 4)𝑒𝑥 − ∫ 6𝑒𝑥𝑑𝑥 = (6𝑥 − 4)𝑒𝑥 − 6 ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 
= (6𝑥 − 4)𝑒𝑥 − 6𝑒𝑥 = 𝑒𝑥(6𝑥 − 4 − 6) = 𝑒𝑥(6𝑥 − 10) 
Volvemos a (∗): 
(3𝑥2 − 4𝑥)𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥(6𝑥 − 4)𝑑𝑥 = (3𝑥2 − 4𝑥)𝑒𝑥 − 𝑒𝑥(6𝑥 − 10) + 𝐶 = 
= 𝑒𝑥(3𝑥2 − 4𝑥 − 6𝑥 + 10) + 𝐶 = 𝑒𝑥(3𝑥2 − 10𝑥 + 10) + 𝐶 
5) ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 
En este ejemplo no importa cuáles son los factores 𝑢(𝑥) y 𝑣´(𝑥), ya que al integrar y 
al derivar 𝑒𝑥 obtenemos 𝑒𝑥y al integrar y al derivar ±𝑐𝑜𝑠𝑥 obtenemos ±𝑠𝑒𝑛𝑥 . 
Se trata de una integral cíclica en la que tendremos que aplicar dos veces integración 
por partes (con la misma elección para no volver al paso anterior) y tendremos que 
despejar la integral de la expresión obtenida. 
Llamamos: 
𝑢(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑢´(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑣´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Luego, si reemplazamos en la fórmula de partes: 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 (∗) 
Aplicamos nuevamente partes en ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 : 
Llamamos: 
𝑢(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑢´(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
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2400 - Matemática I 
 
33 
 
∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥(−𝑐𝑜𝑠𝑥) − ∫(−𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑒𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
El segundo término es la integral original, por lo tanto, si reemplazamos en (∗) : 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − (−𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥) 
= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
Entonces, nos quedaría que: 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
Si despejamos ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥: 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
2 ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
2
 
Agregamos la constante y sacamos factor común 𝑒𝑥en el numerador: 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
2
+ 𝐶 
 
Ejercicios resueltos combinando métodos: 
1) ∫ 52𝑥𝑐𝑜𝑠(5𝑥)𝑑𝑥 = 
Usamos sustitución: 
Llamamos 𝑡 = 5𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 = 5𝑥 ln 5 𝑑𝑥 ⇒ 
𝑑𝑡
5𝑥 ln 5
= 𝑑𝑥 
∫ 52𝑥𝑐𝑜𝑠(5𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 52𝑥 cos 𝑡 
𝑑𝑡
5𝑥 ln 5
(∗) 
Tenemos que 52𝑥 = (5𝑥)2 = 𝑡2 
Reemplazamos en (∗): 
∫ 52𝑥 cos 𝑡 
𝑑𝑡
5𝑥 ln 5
= ∫ 𝑡2 cos 𝑡
𝑑𝑡
𝑡 ln 5
=1
ln 5
∫ 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 = (∗∗) 
La integral ∫ 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 la resolvemos mediante integración por partes: 
 
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34 
 
Llamamos: 
𝑢(𝑡) = t ⇒ 𝑢´(𝑡) = 1 
𝑣´(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑣(𝑡) = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 
Luego: 
∫ 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − (− cos 𝑡) = 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + cos 𝑡 
Si volvemos a (∗∗) 
∫ 𝑡2 cos 𝑡
𝑑𝑡
𝑡 ln 5
=
1
ln 5
(𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + cos 𝑡) + 𝐶 
=
1
ln 5
[5𝑥 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) + cos(5𝑥)] + 𝐶 
 
2) ∫ 4𝑥2𝑒2𝑥−1 𝑑𝑥 = 
Si usamos partes, llamamos: 
𝑢(𝑥) = 4𝑥2 ⇒ 𝑢´(𝑥) = 8𝑥 
𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒2𝑥−1 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑒2𝑥−1 𝑑𝑥 
Para resolver la integral ∫ 𝑒2𝑥−1 𝑑𝑥, y calcular 𝑣(𝑥), utilizamos sustitución: 
Llamamos 𝑡 = 2𝑥 − 1 ⇒ 𝑑𝑡 = 2𝑑𝑥 ⇒ 
𝑑𝑡
2
= 𝑑𝑥 
∫ 𝑒2𝑥−1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑡
𝑑𝑡
2
=
1
2
∫ 𝑒𝑡𝑑𝑡 =
1
2
𝑒2𝑥−1 ⇒ 𝑣(𝑥) =
1
2
𝑒2𝑥−1 
Volviendo a la integral original y aplicando la fórmula de partes, tenemos que: 
∫ 4𝑥2𝑒2𝑥−1 𝑑𝑥 = 4𝑥2
1
2
𝑒2𝑥−1 − ∫
1
2
𝑒2𝑥−1 8𝑥 𝑑𝑥 
= 2𝑥2𝑒2𝑥−1 − 4 ∫ 𝑥𝑒2𝑥−1𝑑𝑥 = (∗) 
 
Aplicamos nuevamente partes en la integral ∫ 𝑥𝑒2𝑥−1𝑑𝑥, llamamos: 
𝑢(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑢´(𝑥) = 1 
 
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2400 - Matemática I 
 
35 
 
𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒2𝑥−1 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑒2𝑥−1 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) =
1
2
𝑒2𝑥−1 
∫ 𝑥𝑒2𝑥−1𝑑𝑥 = 𝑥
1
2
𝑒2𝑥−1 − ∫
1
2
𝑒2𝑥−1𝑑𝑥 =
1
2
𝑥𝑒2𝑥−1 −
1
2
∙
1
2
𝑒2𝑥−1 = 
=
1
2
𝑥𝑒2𝑥−1 −
1
4
𝑒2𝑥−1 
Retomamos y reemplazamos en (∗): 
2𝑥2𝑒2𝑥−1 − 4 ∫ 𝑥𝑒2𝑥−1𝑑𝑥 = 2𝑥2𝑒2𝑥−1 − 4 (
1
2
𝑥𝑒2𝑥−1 −
1
4
𝑒2𝑥−1) + 𝐶 = 
= 2𝑥2𝑒2𝑥−1 − 2𝑥𝑒2𝑥−1 + 𝑒2𝑥−1 + 𝐶 = 𝑒2𝑥−1(2𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 𝐶 
 
3) ∫
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑥 = 
Usamos sustitución: 
Llamamos 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 = cos 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 
𝑑𝑡
cos 𝑥
= 𝑑𝑥 
∫
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑥 = ∫
cos 𝑥
𝑡2 + 𝑡
𝑑𝑡
cos 𝑥
= ∫
1
𝑡2 + 𝑡
 𝑑𝑡 (∗) 
Luego, la integral ∫
1
𝑡2+𝑡
 𝑑𝑡 la resolvemos por fracciones simples: 
1
𝑡2 + 𝑡
=
1
𝑡(𝑡 + 1)
=
𝐴
𝑡
+
𝐵
𝑡 + 1
=
𝐴(𝑡 + 1) + 𝐵𝑡
𝑡(𝑡 + 1)
 ⇒ 1 = 𝐴(𝑡 + 1) + 𝐵𝑡(∗∗) 
Las raíces del denominador son 𝑡1 = 0 y 𝑡2 = −1 
Reemplazamos las raíces en (∗∗) para obtener 𝐴 y 𝐵: 
Si 𝑡 = 0 ⇒ 1 = 𝐴(0 + 1) + 𝐵 ∙ 0 ⇒ 1 = 𝐴 ∙ 1 ⇒ 𝐴 = 1 
Si 𝑡 = −1 ⇒ 1 = 𝐴(−1 + 1) + 𝐵 ∙ (−1) ⇒ 1 = 𝐵 ∙ (−1) ⇒ 𝐵 = −1 
Con estos valores, tenemos que: 
1
𝑡2+𝑡
=
1
𝑡(𝑡+1)
=
1
𝑡
+
−1
𝑡+1
 
Luego, siguiendo en (∗): 
∫
1
𝑡2 + 𝑡
 𝑑𝑡 = ∫ (
1
𝑡
+
−1
𝑡 + 1
) 𝑑𝑡 = ∫
1
𝑡
𝑑𝑡 − ∫
1
𝑡 + 1
𝑑𝑡 = ln 𝑡 − ln(𝑡 + 1) + 𝐶 = 
Si usamos propiedad de logarítmo, y además teníamos que 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∶ 
= ln 𝑡 − ln(𝑡 + 1) + 𝐶 = ln (
𝑡
𝑡 + 1
) + 𝐶 = ln (
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1
) + 𝐶 
 
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2400 - Matemática I 
 
36 
 
 
 
➢ Integral indefinida: introducción 
− https://www.youtube.com/watch?v=d7Y9Om4KCUM 
 
➢ Integral indefinida: Inmediatas 
− https://www.youtube.com/watch?v=7GdWq6sra7k&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkA
Ad3XKgw4RO&index=9 
− https://www.youtube.com/watch?v=oXTm4mDWL7Q&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4Lk
AAd3XKgw4RO&index=1 
 
➢ Integral indefinida: Método de sustitución 
− https://www.youtube.com/watch?v=UZyG4jCBMgU 
− https://www.youtube.com/watch?v=5dREssqdlBM 
− https://www.youtube.com/watch?v=xBRZnhCFcgM 
− https://www.youtube.com/watch?v=AV1fDsPg9OU 
− https://www.youtube.com/watch?v=Yw7mBvNrCF8 
− https://www.youtube.com/watch?v=zx-x-Aj4ILE 
− https://www.youtube.com/watch?v=6d4gJZf5NSQ 
 
➢ Integral indefinida: Método de integración por partes 
− https://www.youtube.com/watch?v=Hepy9DpsoUM&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldI
MzOEi3ws&index=91 
− https://www.youtube.com/watch?v=93kW5colCAU 
− https://www.youtube.com/watch?v=HHsiy2hyWbI 
− https://www.youtube.com/watch?v=Cj-
YgEr68mQ&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=14 
− https://www.youtube.com/watch?v=NaR27MC4fH8&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkA
Ad3XKgw4RO&index=16 
− https://www.youtube.com/watch?v=78nfHR2v1NI&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAA
d3XKgw4RO&index=15 
https://www.youtube.com/watch?v=d7Y9Om4KCUM
https://www.youtube.com/watch?v=7GdWq6sra7k&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=9
https://www.youtube.com/watch?v=7GdWq6sra7k&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=9
https://www.youtube.com/watch?v=oXTm4mDWL7Q&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=1
https://www.youtube.com/watch?v=oXTm4mDWL7Q&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=1
https://www.youtube.com/watch?v=UZyG4jCBMgU
https://www.youtube.com/watch?v=5dREssqdlBM
https://www.youtube.com/watch?v=xBRZnhCFcgM
https://www.youtube.com/watch?v=AV1fDsPg9OU
https://www.youtube.com/watch?v=Yw7mBvNrCF8
https://www.youtube.com/watch?v=zx-x-Aj4ILE
https://www.youtube.com/watch?v=6d4gJZf5NSQ
https://www.youtube.com/watch?v=Hepy9DpsoUM&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=91
https://www.youtube.com/watch?v=Hepy9DpsoUM&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=91
https://www.youtube.com/watch?v=93kW5colCAU
https://www.youtube.com/watch?v=HHsiy2hyWbI
https://www.youtube.com/watch?v=Cj-YgEr68mQ&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=14
https://www.youtube.com/watch?v=Cj-YgEr68mQ&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=14
https://www.youtube.com/watch?v=NaR27MC4fH8&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=16
https://www.youtube.com/watch?v=NaR27MC4fH8&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=16
https://www.youtube.com/watch?v=78nfHR2v1NI&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=15
https://www.youtube.com/watch?v=78nfHR2v1NI&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=15
 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
37 
 
− https://www.youtube.com/watch?v=SUB6oIrN6TM&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkA
Ad3XKgw4RO&index=20 
 
➢ Integral indefinida: Método de integración por fracciones simples (raíces reales 
simples) 
− https://www.youtube.com/watch?v=r64v9tvFTsg 
− https://www.youtube.com/watch?v=TvZuD7-cEjU 
− https://www.youtube.com/watch?v=zTT-tZvYeOE 
− https://www.youtube.com/watch?v=7uhHbtgcZoY&list=TLPQMjcwNDIwMjC6BoymPkx
cwg&index=2 
− https://www.youtube.com/watch?v=bYk6JI09MXY 
https://www.youtube.com/watch?v=SUB6oIrN6TM&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=20
https://www.youtube.com/watch?v=SUB6oIrN6TM&list=PLnrKbp5zH3V4PbovOjx4LkAAd3XKgw4RO&index=20
https://www.youtube.com/watch?v=r64v9tvFTsg
https://www.youtube.com/watch?v=TvZuD7-cEjU
https://www.youtube.com/watch?v=zTT-tZvYeOE
https://www.youtube.com/watch?v=7uhHbtgcZoY&list=TLPQMjcwNDIwMjC6BoymPkxcwg&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=7uhHbtgcZoY&list=TLPQMjcwNDIwMjC6BoymPkxcwg&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=bYk6JI09MXY