Clase-121

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
1 
 
DOCUMENTO DE CLASE 
Clase N ° 12 
1. Objetivos de la clase: 
 
• Identificar y resolver integrales impropias. 
 
 
2. Mapa conceptual de la clase: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRALES IMPROPIAS 
Definición -Justificación 
Propiedades 
Clasificación 
 Optimización de 
funciones económicas 
 
Superávit de Productores 
y consumidores Aplicaciones de la 
Integral indefinida 
APLICACIONES 
ECONÓMICAS 
 
 
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3. Desarrollo 
En la definición de integral definida ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 hemos supuesto que los limites a y 
b eran finitos y que la función 𝒇(𝒙) era continua. 
Este concepto de puede generalizar, para el caso de un intervalo infinito y de una 
función no continua. Trabajaremos ahora con las llamadas “Integrales Impropias”. 
 
Integrales Impropias de 1° especie: 
El intervalo de integración no está acotado, es decir al menos uno de los límites de 
integración es infinito 
a) La función f(x) es continua en el intervalo [𝑎; +∞) entonces la integral será: 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
+∞
𝒂
 
En este caso definiremos esta integral mediante un límite: 
 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
+∞
𝒂
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒕
𝒂
 
Es decir, se toma la integral entre a y t, valores finitos, y luego se hace tender t a más 
infinito 
Cuando este límite existe y es finito se dice que la integral es Convergente. 
Si el límite es infinito se dice que la integral es Divergente. 
 
Ejemplo: Hallar ∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥
+∞
0
 
Entonces ∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
∫ 𝑒−2𝑥𝒅𝒙
𝒕
𝟎
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
[−
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐𝒙]
𝟎
𝒕+∞
0
 
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
(−
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐.𝟎) = 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
(−
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐𝒕 +
𝟏
𝟐
) =
𝟏
𝟐
 
 
 
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Luego: ∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥
+∞
0
=
𝟏
𝟐
 
En este caso la integral es Convergente (converge al valor 
1
2
 ). 
 
b) La función f(x) es continua en el intervalo (−∞; 𝑏] entonces la integral será: 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
−∞
 
En este caso definiremos esta integral mediante un límite: 
 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
−∞
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
−𝒕
 
Es decir, se toma la integral entre −𝑡 y 𝑏 valores finitos, y luego se hace tender 
 𝑡 a más infinito 
Cuando este límite existe y es finito se dice que la integral es Convergente. 
Si el límite es infinito se dice que la integral es Divergente. 
 
Ejemplo: Hallar ∫ 𝑒5𝑥𝑑𝑥
𝑜
−∞
 
 
Entonces ∫ 𝑒5𝑥𝒅𝒙
𝟎
−∞
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
∫ 𝑒5𝑥𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
[
𝟏
𝟓
𝒆𝟓𝒙]
−𝒕
𝟎𝟎
−𝒕
 
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
(
𝟏
𝟓
𝒆𝟓.𝟎 −
𝟏
𝟓
𝒆𝟓(−𝒕)) = 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
(
𝟏
𝟓
−
𝟏
𝟓
𝒆𝟓(−𝒕)) =
𝟏
𝟓
 
 
Luego: ∫ 𝑒5𝑥𝑑𝑥
𝑜
−∞
=
𝟏
𝟓
 
En este caso la integral es Convergente (converge al valor 
1
5
 ). 
 
 
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c) La función f(x) es continua en el intervalo (−∞;+∞) , para todos los reales, entonces 
la integral será: 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
+∞
−∞
 
En este caso tomamos un punto cualquiera “ 𝒄 ∈ 𝑹 " y dividimos en dos integrales 
una del tipo a) y otra del tipo b): 
 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
+∞
−∞
= ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + 
𝒄
−∞
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
+∞
𝒄
 
 
Y resolvemos: 
 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
+∞
−∞
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒄
−𝒕
+ 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒕
𝒄
 
 
Ejemplo: Hallar ∫
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
𝒅𝒙
+∞
−∞
 
Elegimos 𝑐 = 0 
 
∫
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
𝒅𝒙
+∞
−∞
=∫
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
𝒅𝒙 + 
𝟎
−∞
∫
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
𝒅𝒙
+∞
𝟎
 
 
∫ 
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
 𝒅𝒙
+∞
−∞
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
∫
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
 𝒅𝒙
𝟎
−𝒕
+ 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
∫
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝒕
𝟎
 
 
∫ 
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
 𝒅𝒙
+∞
−∞
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
[𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 (𝒙)]−𝒕
𝟎 + 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
[𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈(𝒙)]𝟎
𝒕 
 
 ∫ 
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
 𝒅𝒙
+∞
−∞
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
[𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 (𝟎) − 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 (−𝒕)]+ 𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
[𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 (𝒕) − 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 (𝟎)] 
 
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 ∫ 
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
 𝒅𝒙
+∞
−∞
 = −(−
𝝅
𝟐
) +
𝝅
𝟐
− 𝟎 = 𝝅 
 
Luego: ∫
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
𝒅𝒙
+∞
−∞
= 𝝅 
En este caso la integral es Convergente (converge a 𝜋) 
 
Observación: Puesto que 
2
1
0
1 x

+
, la integral impropia se puede interpretar como el área de 
la región infinita que está debajo de la curva ( )
2
1
1
f x
x
=
+
 y arriba del eje x 
 
 
 
Integrales Impropias de 2° especie: 
La función no está acotada en el intervalo [𝒂; 𝒃], presenta una discontinuidad 
esencial. 
 
a) Sea ( )f x una función continua en un intervalo ( ,a b y discontinua en a , se 
define la integral como un límite: 
 
( ) ( )lim
b b
t a
a t
f x dx f x dx
+→
=  
 
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Si este límite existe y es finito, se dice que la integral impropia del primer miembro existe, 
o converge o que es convergente. En caso contrario se dice que no existe, o que no 
converge, o que es divergente. 
 
Ejemplo: Hallar ∫
1
√𝑥
𝑑𝑥
1
0
 , en este caso la función es discontinua en 𝑥 = 0 y continua en 
(0; 1] entonces: 
∫
1
√𝑥
𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥
1
𝑡
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
(2√𝑥)|
𝑡
1
 
 = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
(2√1 − 2√𝑡) = 2 − 0 = 2 
 
Luego: ∫
𝟏
√𝒙
𝒅𝒙
𝟏
𝟎
= 𝟐 
En este caso la integral es Convergente (converge a 2) 
 
Observación: En este caso, hemos usado el límite por derecha para 0t → por la 
definición y además es el único límite lateral que existe para 𝑓(𝑥). 
 
b) Sea ( )f x una función continua en el intervalo  ),a b y discontinua en b , se define la 
integral como un límite: 
( ) ( )lim
b t
t b
a b
f x dx f x dx
−→
=  
 
Si este límite existe y es finito, se dice que la integral impropia del primer miembro existe, 
o converge o que es convergente. En caso contrario se dice que no existe, o que no 
converge, o que es divergente. 
 
 
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Ejemplo: Hallar ∫
1
√1−𝑥
𝑑𝑥
1
0
 en este caso la función es discontinua en 𝑥 = 1 y continua 
en [0; 1) entonces: 
∫
1
√1 − 𝑥
𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→1−
∫ (1 − 𝑥)−
1
2𝑑𝑥
𝑡
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→1−
[−2(1 − 𝑥)
1
2]|
0
𝑡
 
∫
1
√1 − 𝑥
𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→1−
{[−2(1 − 𝑡)
1
2] − [−2(1 − 0)
1
2]} 
 
∫
1
√1 − 𝑥
𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→1−
[−2(1 − 𝑡)
1
2 + 2] = 0 + 2 = 2 
 
Luego: ∫
1
√1−𝑥
𝑑𝑥
1
0
= 2 
En este caso la integral es Convergente (converge a 2) 
 
Observación: empleamos el límite por izquierda de acuerdo a la definición, pero además 
la función integrando no está definida a la derecha de 1. 
 
c) Sea 𝑓(𝑥) una función continua en el intervalo [𝑎; 𝑏] excepto en 𝑐 punto interior al 
intervalo, donde es discontinua, se define la integral : 
( ) ( ) ( )
b c a
a a c
f x dx f x dx f x dx= +   
Donde el valor c, es donde la función presenta la discontinuidad. Si las integrales del 
segundo miembro convergen, se dice que la integral impropia del primer miembro existe, 
o que converge o que es convergente. 
 
Ejemplo: Hallar ∫ 𝑥
−
2
3𝑑𝑥
1
−1
 en este caso la función es discontinua en 𝑥 = 0 
 
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∫ 𝑥
−
2
3𝑑𝑥
0
−1
+ ∫ 𝑥
−
2
3𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0−
∫ 𝑥
−
2
3𝑑𝑥
𝑡
−1
+ 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
∫ 𝑥
−
2
3𝑑𝑥
1
𝑡
 entonces: 
 
∫
1
𝑥
2
3
𝑑𝑥
0
−1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0−
[
𝑥
−
2
3
+1
−
2
3
+1
|
−1
𝑡
]= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0−
[
𝑥
1
3
1
3
|
−1
𝑡
] = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0−
[3√𝑥3
|
−1
𝑡
] = 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0−
 [3√𝑡
3
− 3√−1
3
] = (0 + 3) = 3 
∫ 𝑥
−
2
3𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
∫ 𝑥
−
2
3𝑑𝑥 =
1
𝑡
𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
[
𝑥
−
2
3
+1
−
2
3
+1
|
𝑡
1
]= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
[
𝑥
1
3
1
3
|
𝑡
1
] = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
[3√𝑥
3
|
𝑡
1
] = 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
 [3√1
3
− 3√𝑡
3
] = (3 − 0) = 3 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡→0−
∫ 𝑥
−
2
3𝑑𝑥
𝑡
−1
+ 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
∫ 𝑥
−
2
3𝑑𝑥
1
𝑡
= 3 + 3 = 6 
Luego: ∫ 𝒙
−
𝟐
𝟑𝒅𝒙
𝟏
−𝟏
= 𝟔 
La integral impropia es convergente (converge a 6) 
 
 
APLICACIONES ECONOMICAS 
 
A) OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES ECONÓMICAS: 
Sabemos que las empresas desean maximizar sus beneficios y minimizar sus costos, es 
decir, obtener las mayores ganancias y gastar lo menos posible. 
El beneficio de la empresa ( 𝐵 ) es igual a a la diferencia entre el 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
(𝐼𝑡) 𝑦 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝐶𝑡): 
 𝐵 = 𝐼𝑡 − 𝐶𝑡 
 
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Vamos a considerar el caso en que el objetivo de la empresa es maximizar beneficios. 
Para ello es imprescindible definir “cuanto se va a producir” para que su beneficio sea 
máximo. 
Observación: Hay distintas formas de escribir la derivada de la función Beneficio 
𝐵´(𝑥) = 𝐵𝑚𝑔(𝑥) =
𝑑𝐵
𝑑𝑥
 
Buscamos los puntos críticos de la función beneficio, para ello igualamos a cero la 
primera derivada y obtenemos la: “Condición de primer orden”: 
 
𝑑𝐵
𝑑𝑥
= 0 o bien: 𝐵𝑚𝑔(𝑥) = 𝑜 
Observación: si 𝐵𝑡(𝑥) = 𝐼𝑡(𝑥) − 𝐶𝑡(𝑥) → 𝐵𝑚𝑔(𝑥) = 𝐼𝑚𝑔(𝑥) − 𝐶𝑚𝑔 (𝑥) resulta 
entonces que si: 𝐵𝑚𝑔(𝑥) = 𝑜 
Podremos escribir: 𝐼𝑚𝑔(𝑥) − 𝐶𝑚𝑔 (𝑥) = 0 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 
𝑰𝒎𝒈(𝒙) = 𝑪𝒎𝒈 (𝒙) como otra versión de la condición de primer orden. 
Además, el 𝑰𝒎𝒈(𝒙) = 𝒑 y este no es otro que el precio de equilibrio: 𝒑𝒆 , donde la 
oferta iguala a la demanda. 
 
Esta condición es necesaria pero no suficiente. Para que exista máximo, se debe cumplir 
la: “Condición de segundo orden”: 
 
𝑑2𝐵
𝑑𝑥2
= < 0 o bien 𝐵´´(𝑥) < 0 
Los beneficios pueden ser positivos, nulos o negativos. 
 
Resumiendo, para maximizar beneficios en una cierta cantidad, se deben cumplir las dos 
condiciones: 
 
 
Condición de primer orden: 
𝒅𝑩
𝒅𝒙
= 𝟎 
Condición de segundo orden: 
𝒅𝟐𝑩
𝒅𝒙𝟐
< 𝟎 
 
 
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Análogamente, si pensamos en Minimizar Costos en una cierta cantidad, se deben cumplir 
estas dos condiciones respecto de la función: Costos “ 𝐶(𝑥)” 
 
 
 
 
 
 EJEMPLO: 
La función costo total de una empresa está dada por 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑥
2 − 70𝑥 + 6y el precio 
unitario es 𝑥 = −5𝑝 + 250 
a) Hallar la demanda que maximiza el beneficio. 
b) Calcular el beneficio máximo. 
Hallemos la función Beneficio. Para esto necesitamos encontrar la función Ingreso 
 𝐼(𝑥) = 𝑝. 𝑥 , como el costo esta en función de la catidad de artículos “x” , debemos 
expresar el Ingreso ,también en función de “x”, para ello es conveniente en vez de 
reemplazar 𝑥 reemplazar 𝑝 , o sea que deberemos despejar 𝑝 de: 𝑥 = −5𝑝 + 250. 
Despejando obtenemos 𝑝 = −
1
5
𝑥 + 50. Ahora sí, podemos hallar 𝐼(𝑥) 
𝐼(𝑥) = 𝑝. 𝑥 = (−
1
5
𝑥 + 50) ∙ 𝑥 = −
1
5
𝑥2 + 50𝑥 
Hallamos 𝐵𝑇(𝑥) 
𝐵𝑇(𝑥) = 𝐼𝑇(𝑥) − 𝐶𝑇(𝑥) = −
1
5
𝑥2 + 50𝑥 − (𝑥2 − 70𝑥 + 6) = −
6
5
𝑥2 + 120𝑥 − 6 
Hallamos el beneficio marginal 𝐵′(𝑥) = −
12
5
𝑥 + 120 
 
Utilizamos ahora la Condición de primer orden: 𝐵′(𝑥) = 𝟎 
 Entonces −
12
5
𝑥 + 120 = 0 
Del despeje obtenemos 𝑥 = 50. 
Condición de primer orden: 
𝒅𝑪
𝒅𝒙
= 𝟎 
Condición de segundo orden: 
𝒅𝟐𝑪
𝒅𝒙𝟐
> 𝟎 
 
 
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Debemos ahora determinar si este punto crítico es máximo, mínimo o nada. 
 
Aplicamos la Condición de segundo orden: 𝑩´´ < 𝟎 
 
Como 𝐵′′(𝑥) = −
12
5
 y para 𝑥 = 50 sigue dando lo mismo ya que es una constante. 
Es decir 𝐵′′(50) = −
12
5
< 0 entonces 𝑥 = 50 es el valor que maximiza. 
 
Respuesta a) La demanda que maximiza el beneficio es 50. 
 
Para responder el punto b hay que hallar el beneficio máximo, es decir reemplazar el valor 
de la demanda 𝑥 = 50 en la función beneficio: 
𝐵𝑇(𝑥) = −
6
5
𝑥2 + 120𝑥 − 6 
𝐵𝑀𝐴𝑋(50) = −
6
5
. 502 + 120.50 − 6 = 2994 
Respuesta b) El máximo beneficio alcanzado por la venta es de 2994 u.m. 
 
B) APLICACIONES ECONÓMICAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 
Recordemos que dada una función económica total 𝐹(𝑥) (Oferta, Demanda, Costo, 
Ingreso, Beneficio, etc.) para obtener la función marginal debemos derivarla, es decir: 
debemos hallar 𝐹´(𝑥). 
Entonces: Dada una función económica marginal 𝑓(𝑥) para obtener la función total 
debemos integrarla. Es decir: 𝐹(𝑥)⏟ =
𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛
𝑒𝑐𝑜𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 ∫ 𝑓(𝑥)⏟
𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛
𝑒𝑐𝑜𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎 
𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑑𝑥 
Ejemplo 1: 
Dada la función de costo marginal: 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = 0,15 𝑥2 (Donde x es la cantidad 
de unidades producidas) Hallar la función de costo total. 
 
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𝐶(𝑥) = ∫𝐶𝑚𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ⇒ 𝐶(𝑥) = ∫0,15 𝑥2 𝑑𝑥 ⇒ 𝐶(𝑥) = 0,15 
𝑥3
3
+ 𝐂 ⇒ 
⇒ 𝐶(𝑥) = 0,05 𝑥3 + 𝐂 (C en negrita – es la constante de integración). 
Como ya se había señalado hay infinitas funciones de costo total 
 𝐶(𝑥) = 0,05 𝑥3 + 𝐂 cuya función marginal es 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = 0,15 𝑥2 . 
Todas estas funciones difieren entre sí en una constante. 
En estos casos diremos que hemos obtenido una Solución General. 
Solución Particular 
Cuando además de la función marginal tenemos como dato una condición que nos permite 
conocer el valor de la constante de integración, la función económica total es una solución 
particular. 
 
Ejemplo 2: 
Dada la función de beneficio marginal: 𝐵𝑚𝑔(𝑥) = −2𝑥 + 200 (Donde x es la cantidad 
de unidades vendidas), hallar la función de beneficio total sabiendo que la venta de 10 
unidades genera un beneficio de $ 1.600. 
𝐵(𝑥) = ∫𝐵𝑚𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ⇒ 𝐵(𝑥) = ∫(−2𝑥 + 200) 𝑑𝑥 ⇒ 𝐵(𝑥) = −𝑥2 + 200𝑥 + 𝐂 ⏟ 
𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
 
Para determinar el valor de C utilizamos la condición planteada: 
𝑺𝒊 𝒙 = 𝟏𝟎 ⇒ 𝑩 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 reemplazando estos valores en la solución general: 
 
1600 = −102 + 200.10 + 𝐂 
Despejando: 𝐂 = −300 
Reemplazando C en la solución general: 
 
𝐵(𝑥) = −𝑥2 + 200𝑥 − 300 ⏟ 
𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
 
 
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C) SUPERÁVIT DEL CONSUMIDOR: 
Recordemos que una función de Demanda normal es decreciente. Si en el mercado se 
acuerda un precio 𝑝0 de equilibrio, para la cantidad 𝑄0 , aquellos consumidores que para 
la misma cantidad estuviese dispuestos a pagar un precio 𝑝𝑓 mayor que 𝑝0, se verán 
beneficiados porque el precio real es menor. 
Esta ganancia o beneficio total para los consumidores se llama “superávit o excedente del 
consumidor”. 
Gráficamente se representa mediante la región sombreada encerrada entre la recta 
horizontal 0p p= y la función demanda ( )p D q= , entre valores 00q q q=  = 
 
El área de esa región sombreada nos dará el valor de este superávit: 
 
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( )
0
0
0
q
Sc D q p dq= −   
Por linealidad de la integral 
( )
0 0
0
0 0
q q
Sc D q dq p dq=  −   
Considerando que 
0 0
0
0 0 0 0 0 0 00
0 0
0
q q
q
op dq p dq p q p q p p q      −  =   
 Se concluye 
( )
0
0 0
0
q
Sc D q dq p q=  −  
 
 
SUPERÁVIT DEL PRODUCTOR 
 
Recordemos que una curva típica de oferta es creciente. Si en el mercado se acuerda un 
precio 𝑝0 de equilibrio, para la cantidad 𝑄0 , aquellos productoresque para la misma 
cantidad estuviese dispuestos a ofertar un precio 𝑝𝑖 menor que 𝑝0, se verán beneficiados 
porque el precio real es mayor. 
Esta ganancia o beneficio total para los productores se llama “superávit o excedente del 
productor”. 
Gráficamente se representa mediante la región sombreada encerrada entre la recta 
horizontal 0p p= y la función oferta 𝑝 = 𝑆(𝑞), entre valores 00q q q=  = 
 
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El área de esa región sombreada nos dará el valor de este superávit: 
( )
0
0
0
q
Sp p S q dq= −   
Por linealidad de la integral 
𝑆𝑝 = ∫ 𝑝0 ⋅ 𝑑𝑞
𝑞0
0
− ∫ 𝑆(𝑞) ⋅ 𝑑𝑞
𝑞0
0
 
Se concluye 
𝑆𝑝 = 𝑝0 ⋅ 𝑞0 − ∫ 𝑆(𝑞) ⋅ 𝑑𝑞
𝑞0
0
 
 
 
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Ejemplo: 
Supongamos que el precio (en pesos por tonelada) de las hojuelas de avena es 
( ) 2900 20D q q q= − − cuando la demanda del producto de q toneladas, además 
suponga que la función ( ) 2 10S q q q= + da el precio (en pesos por toneladas) cuando la 
oferta es de q toneladas. Encuentre el superávit de los consumidores y el superávit de los 
productores 
SOLUCIÓN 
 Comenzamos con encontrar la cantidad de equilibrio al igualar las dos ecuaciones 
2 2
2
2
900 20 10
0 2 30 900
0 15 450
q q q q
q q
q q
− − = +
= + −
= + −
 
 Usando la formula resolvente de la ecuación cuadrática o factorizando podemos 
ver que la única solución cierta de esta ecuación es 15q = 
 En el punto de equilibrio, donde la oferta como la demanda son de 15 toneladas, 
el precio es 
( ) ( )215 15 10 15 15 375S S= +   = 
 Es decir $375 . Verifique que la misma respuesta se obtiene al calcular ( )15D . 
 
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2400 - Matemática I 
 
17 
 
 
 
El superávit de los consumidores, representado por el área de la region que se muestra en 
la figura es 
( )
15
2
0
900 20 375 15Sc q q= − − −  
 Al evaluar esta integral se obtiene 
15
3
2
0
3
2
900 10 5625
3
15
900 15 10 15 0 5625
3
4500
q
Sc q q
Sc
Sc
 
= − − − 
 
  
=  −  − − −  
  
=
 
 El superávit de los consumidores es aquí de $4500 
 El superávit de los productores, que también se muestra en la figura está dado por 
 
 
 
 
 
Sc 
( ) 2900 20D q q q= − − 
( ) 2 10S q q q= + 
 
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2400 - Matemática I 
 
18 
 
( )
( )
15
2
0
15
3
2
0
3
2
375 15 10
5625 5
3
15
5625 5 15 0
3
3375
Sp q q dq
q
Sp q
Sp
Sc
=  − +
 
= − + 
 
  
= − + −  
  
=

 
 El superávit de los productores es $3375 
 
4. Bibliografía: 
• LEITHOLD, LOUIS (1998). EC7 - El Cálculo. México. Oxford University 
Press; 7ª ed. Cap. 4. 
• PURCELL, E; VARBERG, D (1993). Cálculo con Geometría Analítica. 
México. Prentice-Hall; 6ª ed. Cap. 5. 
• RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de 
Cálculo, Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed. Cap. 13. 
• AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 
y 2, Buenos Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición. Cap. 13. 
 
 
 
5. Actividad Pedagógica: 
 
TRABAJO PRÁCTICO: INTEGRALES IMPROPIAS 
A continuación, se detallan los ejercicios que son de carácter obligatorios: 
 a, c, g, k, l, m 
 
a) 
0
xx e dx
−
 R: 1− 
 
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2400 - Matemática I 
 
19 
 
b) 
3
1
xx e dx
+
−
 R: 6 
c) 
( )
2
2
1
2
1
x
dx
x
+
−
 R:  
d) 
2xx e dx

−
−
 R: 0 
e) 
1
2
2
0
ln
dx
x x
 R: 
1
ln 2
 
f) 
1
2
0 1
dx
x−
 R: 2

 
g) 
( )
4
3
0 24
dx
x−
 R: Diverge 
h) 
6
5
5
dx
x −
 R: Diverge 
i) 
1
2 x dx
+
−
 R: 0,72 
j) 
( )
3
2
0 1
dx
x −
 R: Diverge 
k) 
8
1
1 3
dx
x−
 R: 
9
2
 
l) 
1
dx
x x
+
 R: 2 
m) 
( )
2
lne
dx
x x
+
 R: 1 
 
TRABAJO PRACTICO: APLICACIONES ECONOMICAS 
 
 
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2400 - Matemática I 
 
20 
 
A continuación, se detallan los ejercicios que son de carácter obligatorios: 
1 , 3 ,6 ,7, 9ª , 9c, 11,12 Y 13 
 
 
1) Una empresa vende un producto a $100.- la unidad. Si el costo total es 
500202 ++= xxCT x)( , obtener cuántas unidades debe vender por día para obtener 
el máximo beneficio diario y calcularlo. 
 
 2) Al comercializar su producto, una empresa determinó que la demanda p viene dada 
por ( ) =
50
p x
x
. El costo de producir x unidades es = +C(x) 0,05x 500 . Calcula el 
precio unitario que proporciona el máximo beneficio. 
 
3) Dada la función costo total 𝐶𝑇(𝑥) = 4𝑥
2 − 14𝑥 + 10 y la función demanda 𝑥 =
√120 − 4𝑝 . Hallar la cantidad para la cual el beneficio es máximo y calcularlo. 
4) Dada la función de costo total 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑥
3 − 59𝑥2 + 1315𝑥 + 2000 y la 
función demanda 𝑥 =
1
2
(1000 − 𝑝) . Hallar la cantidad para la cual el beneficio es 
máximo. 
 
5) Si el Costo marginal de un cierto producto está dado por: 
2
35
x
2x x3 x5
Cmg(x)
+++
= Hallar el Costo total y el Costo medio si, cuando se 
produce 1 unidad, el costo es de $ 15. 
 
6)Si se conoce el Ingreso marginal de un artículo dado por: 
3x)(5
2
Img(x)
−
= hallar la 
expresión general del Ingreso total si cuando se venden 2 unidades el Ingreso total es de 
$ 20. 
 
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2400 - Matemática I 
 
21 
 
 
7) Dado el Ingreso marginal 
1-x
1 x4 x4
Img(x)
2 +−
= y el Costo marginal 
2-x
2x
Cmg(x)
+
= de un producto calcular la función Beneficio total si, cuando se 
producen 5 unidades, el mismo asciende a 300. 
 
8)Si la función que describe el Costo marginal de la producción de un cierto tipo de 
chocolate es 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = 3 + 45 𝑥 − 10𝑥2 
Y el costo de producir 10 unidades es de $ 100, se pide obtener: 
a) La función Costo total 
b) La función Costo medio 
 
9)Dadas las siguientes funciones Costo marginal, hallar las funciones Costo total y Costo 
medio: 
a) 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = x
x
e
e
+1
 si el costo fijo es de ln 2 
b) 𝐶𝑚𝑔(𝑥) =
32
52
2 −+
+
xx
x
 si el costo fijo es de 100 
c) 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = ( ) xex 12 − si el costo fijo es de 30. 
 d) 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = (4𝑥 + 2)(𝑥2 + 1) si el costo de producir 2 unidades es de 15 
 e) 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = 10 + 24𝑥 − 3𝑥2 si 𝐶(1) = 25 
 
10)La función Oferta de un cierto artículo está dada por S (q) =
 𝟕
 𝟓
 qy la función 
Demanda está dada por D(q) = −
𝟑
𝟓
 q +10 
a) Graficar las curvas de oferta y demanda 
b) Encontrar el punto de equilibrio 
c) Calcular el superávit de los consumidores cuando el mercado está en equilibrio. 
d) Calcular el superávit de los productores cuando el mercado está en equilibrio. 
 
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22 
 
 
11)La función de Oferta para cierto objeto está dada por S(q) = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟑𝒒𝟑/𝟐 + 𝒒𝟓/𝟐 
, la demanda y la oferta están en equilibrio en 𝑞 = 9. Encontrar el superávit de los 
productores cuando el mercado está en equilibrio. 
 
12) Encontrar el superávit de los consumidores, cuando el mercado está en 
equilibrio si la función de Demanda para el aceite de oliva está dada por 
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎
(𝟐𝒒+𝟖)𝟑
 
y si la oferta y la demanda están en equilibrio en 𝑞 = 6 
 
13)Dadas las funciones de Oferta y Demanda de un cierto producto se pide: a) el punto 
de equilibrio, b) el superávit de los consumidores y los productores c) graficar las 
funciones. 
 Demanda 
2
)( 24 qD q −= 
 Oferta  qS q 2=)( 
14)Dada la función de Demanda 2370 qqp −−= , hallar el superávit del 
consumidor para: a) una cantidad de equilibrio 5=q , y b) un precio de equilibrio de 
$ 52.- 
 
15)Si la función de Demanda es 𝐷(𝑞) = √9 − 𝑞 y 𝑞0 = 5, evaluar el superavit del 
consumidor cuando el mercado está en equilibrio. 
 
Respuestas: 
1) 40 unidades, 𝐵 = $1.1002)$0,1 
 
 3) 𝑥 = 4 Y 𝐵𝑚𝑎𝑥 = 86 4) 𝑥 = 35 
 
 
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23 
 
5) ( )
4
57
x
2
xlnx
2
3
x
4
5
xC 24 +−++= ( )
x
4
57
x
2
x
xln
x
2
3
x
4
5
xCme
2
3 +−++=
 
6) ( )
( ) 9
179
x5
1
xI
2
+
−
= 7) 
( )
258
2x
1x
lnx2xB(x) 2 +
−
−
+−=
4
 
 
8) ( ) 1153,333xx
2
45
x
3
10
xC
23
+++−= ( )
x
1153,33
3x
2
45
x
3
10
xCme
2
+++−= 
9) a) ( ) xe1lnxC +=
x
e1ln
Cme(x)
x+
= 
9) b) 99,7253xln
4
1
1xln
4
7
C(x) +++−=
x
99,725
x
3xln
4
1
x
1xln
4
7
Cme(x) +
+
+
−
= 
9) c) ( ) ( ) 3332xexC x +−=
x
33
x
3)(2xe
Cme(x)
x
+
−
= 
9) d) 
3
55
 x2 x2x
3
2
xC(x) 234 −+++=
x
3
55
 2 x2x
3
2
xCme(x) 23 −+++= 
9) e) ( ) 410x12xxxC 23 +++−= ( )
x
4
10 x12xxCme 2 +++−= 
 
10) (b) (5;7) ; (c) $7.50 ; (d) $17,50 11) $1999,54 12) $40,50 
 
13) a) P (4; 8), b) $ 42,67, c) $ 16.- 14) a) $ 120,83; b) $ 31,50 
 
 16) 
8
3
 
 
 
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24 
 
 
 
6. Material complementario 
En este ítem encontraran ejercicios resueltos y links para profundizar sobre el tema 
 
1) Por ejemplo, queremos calcular el área de 1x = a 4x = debajo de la función 
( )
1
1
f x
x
=
−
 y planteamos 
4
1
1
1
dx
x −
 . 
 
 Pero la función es discontinua en 1x = , por lo tanto, no podemos integrar 
directamente ( 1x = corresponde a una asíntota vertical). 
 Procedemos como en el caso anterior, nos acercaremos a 1x = tomando un valor 
genérico x t= 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
44 4 1 1
2 2
1
11 1 1
22 2 2
1
2
1
1 2 1
1
2 4 1 2 1 2 3 2 1
2 3 2 1
tt
dx x dx x
x
t t A t
A t t
−
= − = −
−
− − − =  − − =
 = − −
 
 
 Esto representa el área en función de t , que va desde t hasta 4 . 
 Si queremos calcularla en 1, hay que considerar que la función en dicho punto es 
discontinua, entonces aplicaremos límite haciendo tender t a 1 ( 1t
+→ ) 
 
 
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25 
 
( )
1
2
1
lim 2 3 2 1 2 3
t
t
+→
 
− − = 
 
 
 Se podría pensar que este resultado lo podríamos haber obtenido simplemente 
reemplazando 1 en ( )A t ; sin aplicar límite. 
 En este caso particular sí, pero en otros casos del mismo tipo no. Por lo tanto, para 
calcular la integral en cualquier situación utilizaremos el límite. Integrar directamente es 
un error. 
 Nos quedará: 
4 4
1
1
1 1
lim
1 1t t
dx dx
x x
+→
=
− −
  
 
2) Resolver: 
3) Resolver: ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥
1
0
 
 
 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
∫ 𝑥−1𝑑𝑥
1
𝑡
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
𝑙𝑛(𝑥)|𝑡
1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
(𝑙𝑛 1 − 𝑙𝑛 𝑡) = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
(0 − 𝑙𝑛 𝑡)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0+
(− 𝑙𝑛 𝑡) = −∞ 
La integral impropia es divergente. 
Tomamos el límite por derecha, porque nos interesa solamente acercarnos a 0 de el 
interior del intervalo de integración. 
 
4) Resolver: ∫
1
1−𝑥
𝑑𝑥
1
0
 
∫
1
1 − 𝑥
𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→1−
∫ (1 − 𝑥)−1𝑑𝑥
𝑡
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→1−
[− 𝑙𝑛(1 − 𝑥)]|𝑡
1 
∫
1
1 − 𝑥
𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→1−
{[− 𝑙𝑛(1 − 𝑡)] − [− 𝑙𝑛(1 − 0)]} 
 
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26 
 
∫
1
1 − 𝑥
𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→1−
[− 𝑙𝑛(1 − 𝑡) − (− 𝑙𝑛 1)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→1−
[− 𝑙𝑛(1 − 𝑡) + 0] = ∞ 
La integral impropia es divergente. 
 
5) Resolver: 
1 0 1
1 1
1 1 0
1
dx x dx x dx
x
− −
− −
= +   
La segunda integral del segundo miembro ya la calculamos y nos dio − . Por lo tanto, la 
integral impropia del primer miembro es divergente. 
 
6) Resolver: ∫ 𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
1
0
 
( ) ( )
1 1
0
ln lim ln
t o
t
x dx x dx
+→
=  
Integramos por partes con ( )
1
lnu x dv dx v dx x
x
=  =  = = 
∫ 𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
1
𝑡
= 𝑥 ⋅ 𝑙𝑛(𝑥)|𝑡
1 −∫ 𝑥 ⋅
1
𝑥
⋅ 𝑑𝑥
1
𝑡
= 𝑥 ⋅ 𝑙𝑛(𝑥)|𝑡
1 − 𝑥|𝑡
1 = (1 ⋅ 𝑙𝑛 1 − 𝑡 ⋅ 𝑙𝑛 𝑡) − (1 − 𝑡) 
∫ 𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
1
𝑡
= (0 − 𝑡 ⋅ 𝑙𝑛 𝑡 − 1 + 𝑡) = −𝑡 ⋅ 𝑙𝑛 𝑡 − 1 + 𝑡 
Luego 
∫ 𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑜+
(−𝑡 ⋅ 𝑙𝑛 𝑡 − 1 + 𝑡) = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑜+
(−𝑡 ⋅ 𝑙𝑛 𝑡) − 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑜+
1 + 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑜+
𝑡 
El primer límite lo resolvemos por la regla de L’Hopital 
𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑜+
(−𝑡 ⋅ 𝑙𝑛 𝑡) = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑜+
𝑙𝑛 𝑡
−
1
𝑡
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑜+
1
𝑡
1
𝑡2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑜+
𝑡 = 0 
Por lo tanto 
∫ 𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑜+
(−𝑡 ⋅ 𝑙𝑛 𝑡 − 1 + 𝑡) = 0 − 1 + 0 = −1 
 
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27 
 
 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 
El área de la región sombreada arriba de lny x= y debajo del eje x es 1 
 
 
 
➢ Integral impropias 
− https://www.youtube.com/watch?v=1Jv77h8PGYc 
− https://www.youtube.com/watch?v=fgOK4WpQFj0 
− https://www.youtube.com/watch?v=fgOK4WpQFj0 
− https://www.youtube.com/watch?v=nh0AKkJqv4c 
− https://www.youtube.com/watch?v=V5_g9ysKNzM 
− https://www.youtube.com/watch?v=5VcHZxch6H8 
− https://www.youtube.com/watch?v=PXYZnF2KOh0 
− https://www.youtube.com/watch?v=X3XG4A9iYxI 
https://www.youtube.com/watch?v=1Jv77h8PGYc
https://www.youtube.com/watch?v=fgOK4WpQFj0
https://www.youtube.com/watch?v=fgOK4WpQFj0
https://www.youtube.com/watch?v=nh0AKkJqv4c
https://www.youtube.com/watch?v=V5_g9ysKNzM
https://www.youtube.com/watch?v=5VcHZxch6H8
https://www.youtube.com/watch?v=PXYZnF2KOh0
https://www.youtube.com/watch?v=X3XG4A9iYxI