Libro Completo Calculo

Vista previa del material en texto


Cálculo Integral
J.C. Ponte / J.C. Peralta
U
PRIVADA DEL NORTE
NIVERSIDAD
J.L. Ponte / J.M. Rojas / H.Rojales
1era. edición
 
 
 
Cálculo Integral 
1era. edición 
 
 
 
 
 
 
Juan Carlos Ponte BejaranoJuan Carlos Ponte BejaranoJuan Carlos Ponte BejaranoJuan Carlos Ponte Bejarano 
Universidad Privada del Norte – Trujillo 
Julio César Peralta CastañedaJulio César Peralta CastañedaJulio César Peralta CastañedaJulio César Peralta Castañeda 
Universidad Nacional de Trujillo 
José LuisJosé LuisJosé LuisJosé Luis Ponte BejaranoPonte BejaranoPonte BejaranoPonte Bejarano 
Universidad Privada del Norte – Trujillo 
Jenny MargaritaJenny MargaritaJenny MargaritaJenny Margarita Rojas JerónimoRojas JerónimoRojas JerónimoRojas Jerónimo 
Universidad Nacional Trujillo 
Henry Rojales AlfaroHenry Rojales AlfaroHenry Rojales AlfaroHenry Rojales Alfaro 
Universidad Privada del Norte - Trujillo 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© 2014 Universidad Privada del Norte. 
Laureate International Universities 
Av. Del Ejército 920 – Urb. El Molino 
(+51)44-220062 
www.upnorte.edu.pe 
 
© 2014 Juan Carlos Ponte Bejarano /Julio César Peral ta Castañeda/ José Luis Ponte Bejarano/ Jenny Margar ita 
Rojas Jerónimo/ Henry Martin Rojales Alfaro 
 
 
ISBN: 
Depósito Legal: 
 
Impreso en: 
 
Trujillo, Febrero del 2014 
 
iii 
 
 
 
DEDICATORIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
A nuestros seres queridos 
 
 
iv 
 
CONTENIDO 
 
 
Capítulo 1 Antiderivada e Integral indefinida 
 
1.1. Antiderivada e Integral Indefinida 2 
1.2. Integración Directa 6 
Ejercicios resueltos 11 
Ejercicios propuestos 13 
 
Capítulo 2 Técnicas de integración 
2.1. Integración por sustitución o cambio de variable 16 
Ejercicios resueltos 16 
Ejercicios propuestos 25 
 
2.2. Integración por partes 27 
Ejercicios resueltos 28 
- Método Tabular 36 
Ejercicios propuestos 40 
 
2.3. Integración de funciones racionales 41 
Ejercicios resueltos 55 
Ejercicios propuestos 57 
 
2.4. Integración por sustitución trigonométrica 60 
Ejercicios resueltos 61 
Ejercicios propuestos 69 
 
Capítulo 3 Integral definida 
3.1. Introducción 71 
3.2. Integral definida 74 
Ejercicios resueltos 76 
Ejercicios propuestos 84 
 
Capítulo 4 Aplicaciones de la Integral definida 
4.1. Área entre curvas 86 
- Área comprendida entre una curva 86 
Ejercicios resueltos 87 
- Área comprendida entre dos curvas 92 
Ejercicios resueltos 93 
Ejercicios propuestos 95 
 
4.2. Aplicación de la integral definida a los negocios y la economía 96 
- Vida útil de una máquina 96 
- Valor futuro y valor presente de un flujo de ingresos. 98 
- Curva de demanda de los consumidores y disposición a gastar 
 99 
- Excedente de consumidores y de productores 102 
v 
 
Ejercicios propuestos 104 
 
4.3. Volúmenes de revolución 107 
Método del disco y del anillo 107 
- Método del disco circular 107 
Ejercicios resueltos 109 
- Método del anillo circular 114 
Ejercicios resueltos 115 
Ejercicios propuestos 121 
Método de las capas 123 
Ejercicios resueltos 127 
Ejercicios propuestos 136 
 
4.4. Longitud de arco 137 
Ejercicios resueltos 139 
Ejercicios resueltos 140 
 
4.5. Centro de masa 142 
Ejercicios resueltos 143 
Ejercicios resueltos 147 
 
4.6. Vaciado de líquidos 148 
Ejercicios resueltos 149 
Ejercicios resueltos 152 
 
 
Capítulo 5 Introducción a las Ecuaciones diferenciales ordinarias 
de primer 
 
5.1. Introducción 154 
5.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 162 
Ejercicios resueltos 163 
Ejercicios propuestos 168 
5.3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 162 
Ejercicios resueltos 171 
Ejercicios propuestos 174 
 
 
 
vi 
 
 
 
 
 
Prefacio 
 
El presente libro de Cálculo II es el resultado de las experiencias de cátedra de los autores, 
realizadas en aulas de la Universidad Privada del Norte-Trujillo y de la Universidad Nacional de 
Trujillo. En este sentido, es un valioso recurso que ponemos a disposición de los estudiantes, con el 
objetivo de ayudarlos en su autoaprendizaje y así contribuir con su formación profesional. 
Esta obra es un texto guía compatible con los sílabos del curso de Cálculo II que se dicta en 
la Facultad de Ingeniería de la Universidad Privada del Norte, teniendo en cuenta el desarrollo de 
las sesiones de clase y las correspondientes hojas de trabajo. Por ello, se han considerado, además 
de la teoría específica, ejercicios y problemas resueltos y propuestos. El libro, como es evidente, 
servirá de ayuda a los estudiantes que luego cursarán las asignaturas de Cálculo III, Cálculo IV, 
Física II, Física III, Mecánica, Dinámica, termodinámica entre otras. 
Para un mayor aprovechamiento didáctico, su contenido está organizado en tres capítulos. 
En el primero se presenta la antiderivada e integral indefinida y se ven cuatro técnicas de 
integración: cambio de variable, integración por partes, fracciones parciales y sustitución 
trigonométrica. En el segundo capítulo se presenta la integral definida y algunas de sus 
aplicaciones: cálculo de áreas y volúmenes, longitud de arco, centro de masa y vaciado de líquidos. 
En el tercer capítulo se presenta una introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de 
primer y segundo orden. 
Esperamos que este esfuerzo académico sirva de gran ayuda a nuestros estudiantes y se 
constituya en un referente importante en su proceso de aprendizaje. Al mismo tiempo, somos 
conscientes de sus posibilidades de mejora; y por ello, asumimos el compromiso de enriquecerlo 
con las observaciones o sugerencias de quienes lo usen. Agradecemos de antemano a quienes 
tengan esta disposición. 
 
Los autores 
 
 
1 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
ANTIDERIVADA E 
INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 
1. ANTIDERIVADA E INTEGRAL DEFINIDA 
2. INTEGRACIÓN DIRECTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
SECCIÓN 1.1 ANTIDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA 
ANTIDERIVADA 
¿Cómo se puede emplear una tasa de inflación conocida para determinar precios 
futuros? ¿Cuál es la velocidad de un objeto en movimiento rectilíneo con aceleración 
conocida? ¿Cómo se puede usar la tasa a la cual cambia la población para predecir 
niveles futuros de población? En todas estas situaciones se conoce la derivada (tasa de 
cambio) de una magnitud, y se quiere conocer esa magnitud. A continuación se 
presenta la terminología que se usará en el proceso de obtención de una función a 
partir de su derivada. 
Supongamos que se nos pide encontrar una función F cuya derivada sea: 
3( ) 4f x x= 
Por lo que sabemos de derivación, probablemente diríamos que: 
4( )F x x= ya que 4 34
d
x x
dx
  =  
Esto permite definir lo siguiente. 
 
Definición: 
Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I, si: 
)()(' xfxF = 
Para cada Ix∈ . 
 
Observación: 
Decimos que F es una antiderivada de f y no que es la antiderivada de f . La 
razón es que, por ejemplo, 
4 4 4
1 2 1( ) , ( ) 3 y ( ) 54F x x F x x F x x= = − = + 
son, todas ellas, antiderivadas de 3( ) 4f x x= . De hecho, para cualquier valor de 
la constante C , 4( )F x x C= + es antiderivada de f . 
 
Definición: Antiderivada general 
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada general, G
, de f en I es de la forma: 
( ) ( )G x F x C= + , para todo x en I 
donde C denota una constante.Observación: 
Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una 
única función, sino una familia dé funciones, que difieren entre sí en una 
constante. 
3 
 
El proceso de hallar todas las antiderivadas de ( )f x se denomina integración 
indefinida o antiderivación y se denota por el símbolo ∫ , llamado signo de 
integración, la expresión ( )f x dx∫ se lee la integral indefinida de ( )f x con respecto a 
x . 
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
 
Definición: 
Si ( )F x es una antiderivada de ( )f x en un intervalo I , entonces a su antiderivada 
general ( ) ( )G x F x C= + se le denota por: 
( ) ( )f x dx F x C x I= + ∀ ∈∫ 
Llamada la INTEGRAL INDEFINIDA de ( )f x con respecto a x . 
 
Nota: 
De la definición de Integral Indefinida se tiene )()(' xfxF = , es decir: 
)()( xfdxxf
dx
d =∫ 
Ejemplos: 
1) Determine
 
( )33 2 5x x dx+ +∫ 
Solución: 
( )3 3 33 2 5 3 2 5 3 2 5x x dx x dx xdx dx x dx xdx dx+ + = + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
 
4 2
4 233 2 5 5
4 2 4
x x
x C x x x C
   
= + + + = + + +      
   
 
2) Determine
 
( )2 4 2y y dy+ +∫ 
Solución: 
( )
3 4
2 4 2 42 2 2
3 4
y y
y y dy y dy y dx dx x C+ + = + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫
 
3) Determine
 
3
2
dy
y∫
 
Solución: 
2
3 2
3 2
2 1
2 2
2
y
dy y dy C y C C
yy
−
− −= = + = − + = − +
−∫ ∫
 
 
4) Determine
 
(2sin 3cos )x x dx+∫ 
Solución: 
(2sin 3cos ) 2sin 3cos 2cos 3sinx x dx xdx xdx x x C+ = + = − + +∫ ∫ ∫ 
 
4 
 
 
FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN 
 
Sea ( )u u x= una función diferenciable en x , entonces: 
1. 
1
1
n
n uu du C
n
+
= +
+∫
 
2. ln
du
u C
u
= +∫ 
3. u ue du e C= +∫ 
4. , 0 1
ln
u
u aa du C a a
a
= + > ∧ ≠∫ 
5. 2 2
1
arctan , 0
du u
C a
a au a
 = + ≠ +  ∫
 
6. 2 2
1
ln 0
2
du u a
C a
a u au a
−= + ≠
+−∫
 
7. 2 2
1
ln 0
2
du u a
C a
a u aa u
+= + ≠
−−∫
 
 
Integrandos que contienen raíces cuadradas 
 
8. 2 2
2 2
ln 0
du
u u a C a
u a
= + + + ≠
+
∫ 
9. 2 2
2 2
ln 0
du
u u a C a
u a
= + − + ≠
−
∫ 
10. 
2 2
arcsin 0
du u
C a
aa u
 = + > 
 −
∫ 
11. 
2 2
1
arcsec 0
udu
C a
a au u a
 
= + > 
 −
∫ 
12. 
2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
u a
u a du u a u u a C+ = + + + + +∫ 
13. 
2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
u a
u a du u a u u a C− = − − + − +∫ 
14. 
2
2 2 2 2 arcsin
2 2
u a u
a u du u a C
a
 − = − + + 
 
∫ 
Integrandos que contienen funciones trigonométricas 
 
15. sin cosudu u C= − +∫ 
16. cos sinudu u C= +∫ 
17. tan ln cosudu u C= − +∫ 
5 
 
18. cot ln sinudu u C= +∫ 
19. sec ln sec tanudu u u C= + +∫ 
20. csc ln csc cotudu u u C= − +∫ 
21. csc ln csc cotudu u u C= − +∫ 
22. 2sec tanudu u C= +∫ 
23. 2csc cotudu u C= − +∫ 
24. sec tan secu udu u C= +∫ 
25. csc cot cscu udu u C= − +∫ 
 
Integrandos que contienen funciones hiperbólicas 
 
26. sinh coshudu u C= +∫ 
27. cosh sinhudu u C= +∫ 
28. tanh ln coshudu u C= +∫ 
29. coth ln sinhudu u C= +∫ 
30. 2sech tanhudu u C= +∫ 
31. 2csch cothudu u C= − +∫ 
32. sech tanh sechu udu u C= − +∫ 
33. cosh coth cschu udu u C= − +∫ 
 
Integrandos que contienen funciones trigonométricas inversas 
 
34. 2arcsin arcsin 1udu u u u C= + − +∫ 
35. 2arccos arccos 1udu u u u C= − − +∫ 
36. 2
1
arctan arctan ln(1 )
2
udu u u u C= − + +∫ 
37. 2
1
arccot arccot ln(1 )
2
udu u u u C= + + +∫ 
38. 2arcsec arcsec ln 1udu u u u u C= − + − +∫ 
39. 2arccsc arccsc ln 1udu u u u u C= + + − +∫ 
 
Formulas útiles de integración 
6 
 
 
40. 
11 ( )
( )
1
n
n ax bax b dx C
a n
+++ = +
+∫
 
41. 
1ax b ax be dx e C
a
+ += +∫ 
42. 
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+∫ 
 
43. 
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
+ = − + +∫ 
44. 
1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
+ = + +∫ 
 
 
SECCIÓN 1.2 INTEGRACIÓN DIRECTA 
Se trata aquí de lograr las primitivas en forma inmediata con el conocimiento de 
derivadas y la aplicación de la tabla básica considerando algunos recursos algebraicos y 
las propiedades señaladas. Algunas veces, antes de realizar la integral 
correspondiente, se procede a simplificar la expresión por si de esa forma se puede 
integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se 
descomponen en otras más sencillas, transformándose en una simple suma de 
integrales más elementales. 
 
Ejemplos: 
1. Determine 5
1
dx
x∫ . 
Solución: 
5 1
5
5 4
1 1
5 1 4
x
dx x dx C C
x x
− +
−= = + = − +
− +∫ ∫ 
 
2. Determine ( )∫ − dxx 23
 
 
Solución: 
( ) ( )
Cxx
x
xdxdxxxdx
dxxxdxx
++−=
+−=
+−=−
∫∫∫
∫∫
3
3
34
2
332
3323
2
32
2
 
 
3. Determine ( )( )∫ ++− dxxxx 11
 
 
Solución: 
7 
 
( )( )
Cx
x
dxxdxxxx
++=




 +=++− ∫∫
5
2
111
2
5
2
3
 
4. Determine
 
3 2
2
2 7 4x x
dx
x
 − −
 
 
∫ 
Solución: 
Descomponiendo la fracción en suma de fracciones: 
3 2 3 2
2
2 2 2 2
2 7 4 2 7 4
2 7 4
x x x x
x x
x x x x
−− − = − − = − − 
Por tanto: 
( )
3 2
2
2
2 1
2
2 7 4
2 7 4
2 7 4
2 1
4
7
x x
dx x x dx
x
x x
x C
x x C
x
−
−
 − − = − − 
 
= − − +
−
= − + +
∫ ∫
 
5. Determine 
33 5
5 2
2 7 4
3
x x x
dx
x
 − −
 
 
 
∫ . 
Solución: 
Transformando las raíces en potencia, descomponiendo en suma de fracciones 
y simplificando, tenemos: 
5 53 333 5 3 32 2
2 2 2 25 2 5 5 5 5
19 311
10 15 5
2 7 4 2 7 4 2 7 4
3 3 3 3 3
2 7 4
3 3 3
x x x x x x x x x
x x x x x
x x x
− − − −= = − −
= − −
 
Por lo que la integral nos queda: 
19 31133 5 10 15 5
5 2
19 311
10 15 5
34 821
10 15 5
2 7 4 2 7 4
3 3 33
2 7 4
3 3 3
20 105 5
63 102 6
x x x x x x
dx dx
x
x x x
dx dx dx
x x x C
  − −
 = − − 
   
   
= − −
= − − +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ 
6. Determine 
5 2 6
3 2
3 2x x x
dx
x
 + −
 
 
∫ . 
Solución: 
8 
 
5 2 6 5 2 6
2 2 23 2 3 3 3
13 164
3 3 3
16 7 19
3 3 3
3 2
3 2
3 2
9 6 3
16 7 19
x x x x x x
dx dx dx dx
x x x x
x dx x dx x dx
x x x C
 + − = + − 
 
= + −
= + − +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
 
7. Determine
 
2 5
2
x
dx
x
+
+∫ 
Solución: 
 
2 5 2 4 1 2 4 1 2( 2) 1
2 2 2 2 2 2
x x x x
dx dx dx dx
x x x x x x
+ + + + +   = = + = +   + + + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
1 1
2 2 2 ln 2
2 2
dx dx dx x x C
x x
 = + = + = + + + + + ∫ ∫ ∫
 
8. Determine 
2
2
25
16
x
dx
x
+
+∫
. 
Solución: 
Cxxxxxx
x
dx
dxx
dx
x
dx
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
++++


 ++++=
+
++=
+
+
+
+=
+
++=
+
+
∫∫
∫∫∫∫
16ln916ln166
2
1
16
916
16
9
16
16
16
916
16
25
222
2
2
22
2
2
2
2
2
 
9. Determine
 1
x
dx
x+∫ 
Solución: 
1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
x x x
dx dx dx dx
x x x x x
+ − +   = = − = −   + + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( )1 ln 1
1
dx dx x x C
x
= − = − + +
+∫ ∫
 
10. Determine ( )∫ − dxbxax 2 
Solución: 
 
( ) ( )
C
bxax
dxbxaxdxbxax
+−=
−=− ∫∫
42
42
32
 
11. Determine 
( )m nx x
dx
x
−
∫ 
Solución: 
A la función, se expresa en la forma: 
9 
 
( )2 1 1 1 4 1 2 2 1 4 12 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2
m n m m n nm m n n
m m n nx x x x x
x x x x x x
x x
− + − −+ − + − −− − += = − + = − +
Entonces: 
 
( )2 4 1 2 2 1 2 1
2 2 22
m n m m n nx x
dx x x x dx
x
− + − −−  
= − + 
 
∫ ∫ 
 
2 1 2 2 1 4 1
2 2 22
4 1 2 2 1 4 1
2 2 2
m m n n
x x x
c
m m n n
+ + + +
= − + ++ + + + 
 
4 1 2 2 1 4 12 4 2
4 1 2 2 1 4 1
m m n nx x x
c
m m n n
+ + + +
= − + +
+ + + +
 
12. Determine ( )( )1 1x x x dx− + +∫ 
Solución: 
Efectuando la multiplicación de ( )( )11 ++− xxx , tenemos: 
( )( ) 111 23 +=++− xxxx 
Luego: 
( )( )
Cxx
dxxdxxxx
++=




 +=++− ∫∫
2
5
2
3
5
2
111
 
13. Determine 
2 4 13
dx
x x− +∫
 
Solución: 
Usando el procedimiento de completamiento de cuadrados: 
( ) ( ) 9294413 224 +−=++−=+− xxxxx
 
Entonces: 
( )22
1 2
4 13 3 32 9
dx dx x
arctg c
x x x
− = = + − +  − +∫ ∫
 
14. Determine 
25 2
dx
x x− +∫
 
Solución: 
Usandoel procedimiento de completamiento de cuadrados: 
( ) 4141225 22 +−=++−=+− xxxxx 
Entonces: 
2
2 2
ln 1 5 2
5 2 ( 1) 4
dx dx
x x x c
x x x
= = − + − + +
− + − +∫ ∫
 
 
10 
 
15. Determine
 
2(2 tan )θ dθ+∫ 
Solución: 
 
( )
c
dd
d
ddd
+−+=
−+=
−+=
+=+
∫ ∫
∫
∫∫∫
θθθ
θθθθ
θθθ
θθθθθ
tan2
1sec2
)1(sec2
tan2tan2
2
2
22
 
 
16. Determine
 
( )2sinh 5cosh )x x dx+∫ 
Solución: 
 
( )2sinh 5cosh ) 2 sinh 5 cosh 2cosh 5sinhx x dx xdx xdx x x C+ = + = + +∫ ∫ ∫ 
 
17. Determine
 
tan cot
sin
x x
dx
x
−
∫ 
Solución: 
 
tan cot tan cot
sec cot csc
sin sin sin
x x x x
dx dx dx xdx x xdx
x x x
− = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
ln sec tan cscx x x C= + + + 
 
18. Determine
 
2
1 sin
cos
x
dx
x
+
∫ 
Solución: 
 
2
2 2 2
1 sin 1 sin sin 1
sec
cos coscos cos cos
x x x
dx dx x dx
x xx x x
+    = + = +   
   
∫ ∫ ∫ 
 ( )2 2sec tan sec sec tan secx x x dx xdx x xdx= + = +∫ ∫ ∫ 
 tan secx x C= + + 
 
19. Determine
 
2
2
(1 )
(1 )
x
dx
x x
+
+∫
 
Solución: 
 
2 2 2
2 2 2 2 2
(1 ) 2 1 1 2 1 2
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
x x x x x
dx dx dx dx
xx x x x x x x x x
 + + + +  = = + = +    + + + + +  
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
2
1
2 ln 2arctan
1
dx
dx x x C
x x
= + = + +
+∫ ∫
 
 
APLICACIONES DE LOS PROBLEMAS CON VALOR INICIAL 
 
1. Un fabricante determina que el costo marginal 400603 2 +− qq
 
dólares por 
unidad cuando se producen q unidades. El costo total de producción de las 
primera dos unidades es $ 900. ¿Cuál es el costo total? 
Solución: 
11 
 
Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total )(qC . 
Entonces, 
400603 2 +−= qq
dq
dC
 
Y por lo tanto, )(qC
 
debe ser la antiderivada 
( )
Kqqq
dqqqdq
dq
dC
qC
++−=
+−== ∫∫
40030
400603)(
3
2
 
Para alguna constante K. (la letra K se empleó a fin de evitar la confusión con la 
función de costo C). 
El valor de K se determina por el hecho de que 900)2( =C . En particular, 
212)2(400)2(30)2(900 23 =++−= KK o 
De aquí, 
21240030)( 23 ++−= qqqqC 
Y el costo de producción de las primeras 5 unidades es: 
1587$
212)5(400)5(30)5()5( 3
=
++−=C
 
 
2. Un automóvil viaja en línea recta a 45 millas por hora (66 pies por segundo) en el 
instante en el que el conductor se ve forzado a aplicar los frenos para evitar un 
accidente. Si los frenos proporcionan una desaceleración constante de 22 pies/s2, 
¿Qué distancia recorre el automóvil antes de detenerse por completo? 
Solución: 
Sea )(ts
 
la distancia recorrida por el automóvil en t segundos después de aplicar 
los frenos. Como el automóvil desacelera a 22 pies/s2, se tiene que 22)( −=ta ; es 
decir, 
22)( −== ta
dt
dv
 
Integrando, se encuentra que la velocidad en el momento t está dado por: 
12222)( Ctdttv +−=−= ∫ 
Para calcular 1C , observe que 66=v cuando 0=t , de modo que: 
1)0(22)0(66 Cv +−== 
Y 661 =C . Por lo que la velocidad en el momento t es 6622)( +−= ttv . 
A continuación, para encontrar la distancia )(ts , se inicia con el hecho de que: 
6622)( +−== ttv
dt
ds
 
e integrando se tiene que: 
( ) 22 66116622)( Cttdttts ++−=+−= ∫ 
12 
 
Como 0)0( =s , se deduce que 02 =C y ttts 6611)(
2 +−= 
Finalmente, para encontrar la distancia a la que se detiene el automóvil, este se 
detiene cuando 0)( =tv , lo cual sucede cuando: 
06622)( =+−= ttv 
Resolviendo esta ecuación, se obtiene que el automóvil se detiene después de 3 
segundos de desaceleración, y en ese tiempo a recorrido 
pies 99)3(66)3(11)3( 2 =+−=s 
3. CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha estimado que dentro de t meses la 
población ( )P t de una cierta ciudad cambiará a razón de 2/3'( ) 4 5P t t= + personas 
por mes. Si la población actual es de 10000, ¿cuál será la población dentro de 8 
meses? 
Solución: 
La población ( )P t se encuentra antiderivando 
dP
dt
 como se muestra a 
continuación: 
5/3
2/3 5/3( ) (4 5 ) 4 5 4 3
5 / 3
dP t
P t dt t dt t C t t C
dt
 
= = + = + + = + +  
 
∫ ∫ 
Como la población es de 10000 cuando 0t = , se tiene que: 
 ( ) ( )
5/3
(0) 10000 4 0 3 0P C= = + + 
 10000C⇒ = 
Así, 
 
5/3( ) 4 3 10000P t t t= + + 
Entonces, después de 8 meses, la población es 
( ) ( )5/3(8) 4 8 3 8 10000 10128P = + + = 
 
4. Un minorista recibe un cargamento de 10000 kilogramos de arroz que se 
consumirán e un periodo de 5 meses a una tasa constante de 2000 kilogramos por 
mes. Si los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, 
¿cuánto pagará el minorista en costos de almacenamiento durante los próximos 5 
meses? 
Solución: 
Sea ( )S t el costo total de almacenamiento (en dólares) durante t meses. Como el 
arroz se consume a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes, el número de 
kilogramos de arroz almacenado después de t meses es de 10000 2000t− . Por 
tanto, como los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, la 
tasa de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo es 
costo mensual número de
0.01(10000 2000 )
por kilogramo kilogramos
dS
t
dt
  = = −  
  
 
13 
 
Se deduce que ( )S t es una antiderivada de 0.01(10000 2000 ) 100 20t t− = − . 
Es decir, 
2( ) (100 20 ) 100 10
dS
S t dt t dt t t c
dt
= = − = − +∫ ∫ 
Para alguna constante c . Para determinar c , se usa el hecho de que cuando llega 
el cargamento (cuando 0t = ) no hay costo, por lo que: 
20 100(0) 10(0) 0c c= − + ⇒ = 
De aquí, 
 
2( ) 100 10S t t t= − 
Y el costo total de almacenamiento durante los próximos 5 meses será 
2(5) 100(5) 10(5) $250S = − = 
PR0BLEMAS 1.1 
1. En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas: 
a) 
5
3
x
dx∫ 
b) ( )33 2 5x x dx+ +∫ 
c) ( )2 4 2y y dy+ +∫ 
d) 
3
1
dy
y∫
 
e) 
2 3 2
2
x x
dx
x
 + +
  + 
∫ 
f) ( )23 5 2x x dx+ +∫ 
g) 
4
5 te dt
t
 + 
 
∫ 
h) /2
1 5
3
xe dx
x x
− − + 
 
∫ 
i) ( )21ye dy+∫ 
j) 
3
2sin
3
xe
x dx
 
+  
 
∫ 
k) ( )0.02 0.13 4t te e dt− − +∫ 
l) ( )2tan 3cosx x dx−∫ 
m) ( )2 2sin 2x dx
x
 + 
 
∫ 
n) ( )1/2 2 2t t t dt− − +∫ 
o) ( )3 2 12 5x x dx
x
 − − 
 
∫ 
p) 
23 2 3z z
dz
z
 + +
  
 
∫ 
q) 3
1
2
2
x
x
 − + 
 
∫ 
2. Resuelve los siguientes problemas 
a) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q 
unidades de cierto artículo es 2' ( ) 4 1.2R q q q= − dólares por unidad. Si el 
ingreso derivado de la producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el 
ingreso esperado por la producción de 40 unidades? 
b) COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q 
unidades de cierto bien es 2' ( ) 3 24 48C q q q= − + dólares por unidad. Si el 
14 
 
costo de producción de 10 unidades es de $5000, ¿cuál es el costo de 
producción de 30 unidades? 
c) UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal será 
1/2' ( ) 200R q q−= dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q
unidades. Se ha determinado que el costo marginal correspondiente es de 
0.4q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $2000 
cuando en nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del 
fabricante cuando el nivel de producción sea de 36 unidades? 
d) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol 
crece de tal forma que su altura ( )h t después de t años cambia a una razón de 
2/3' ( ) 0.2 pies/añoh t t t= + 
Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura 
dentro de 27 años? 
e) CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha determinado que la población ( )P t de 
una cierta colonia de bacterias, t horas después de iniciar la observación, tiene 
un razón de cambio 
0.10.03200 150t t
dP
e e
dt
−= + 
Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación, ¿cuál será 
la población 12 horas después? 
f) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el 
tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea ( )M t el número 
de aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se 
determina como 
2'( ) 0.4 0.005M t t t= − 
a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10 
minutos? 
b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10 
minutos (del tiempo 10t = al 20t = )? 
g) DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en 
el mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la 
temperatura de la carne era de -4°C, y t horas más tarde se incrementaba a 
una tasa de 
0.35 o' ( ) 7 C/htT t e−= 
a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de t 
horas. 
b) ¿Cuál es la temperatura después 2 horas? 
c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperatura llega a 
10°C. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne? 
 
15 
 
CAPÍTULO 2 
 
TÉCNICAS DE 
INTEGRACIÓN 
 
 
1. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE 
2. INTEGRACION POR PARTES 
2.1 MÉTODO TABULAR 
3. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES 
PARCIALES 
4. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
SECCIÓN 2.1: INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE 
VARIABLE 
El método de integración por sustitución o cambio de variable consiste en transformar 
la integral dada, mediante un cambio de variable en otra inmediata o más sencilla de 
integrar. 
TEOREMA: 
Sea g una función compuesta cuyo recorrido es un intervalo I , y sea f una función 
continua en I . Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I , 
entonces: 
( ) ( )( ) '( ) ( )f g x g x dx F g x C= +∫ 
Si ( )u g x= , entonces '( )du g x dx= y 
( ) ( )( ) '( ) ( )f g x g x dx f u du F u C= = +∫ ∫ 
Estrategia para el cambio de variable 
1. Elegir una sustitución ( )u g x= . En general, conviene elegir la parte interna de 
alguna función compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia. 
2. Hallar '( )du g x dx= . 
3. Reescribir la integral dada en términos de u . 
4. Hallar la resultante en u . 
5. Sustituir u por ( )g x para obtener la primitiva en términos de x . 
6. Verificar la respuesta por derivación (opcional). 
Ejemplos: 
1. Determinar ( )( )1221 2 5x x x dx+ + +∫ 
Solución: 
 Hacemos el cambio de variable 2 2 5u x x= + + , de donde
( ) ( )2 2 2 1du x dx x dx= + = + . Luego: ( )1
2
du
x dx+ = . 
Finalmente sustituyendo u y 
2
du
 en la integral, tenemos: 
( )( ) ( ) ( )12 122 2 12 1211 2 5 2 5 1
2 2
du
x x x dx x x x dx u u du
 + + + = + + + = = 
 
∫ ∫ ∫ ∫
 
( )
13 1313 21 1 1 2 5
2 13 26 26
u
C u C x x C
 
= + = + = + + +  
 
 
2. Determinar 
3
4 2
10 5
6
x x
dx
x x
−
− +
∫ 
Solución: 
17 
 
Hacemos el cambio de variable 4 2 6u x x= − + , de donde
( ) ( )3 34 2 2 2du x x dx x x dx= − = − . Luego: ( )32 2
du
dx
x x
=
−
.
 
Finalmente, sustituyendo u y ( )32 2
du
x x−
 en la integral dada, tenemos: 
 
( ) ( )
( )
3 33
34 2 4 2
5 2 210 5 5
5
22 26 6
x x x xx x du du
dx dx
u ux xx x x x
− −− = = =
−− + − +
∫ ∫ ∫ ∫
 
( )
1/2 1/21/2 1/2 4 25 5 5 5 6
2 2 1/ 2
u
u du C u C x x C−
 
= = + = + = − + +  
 
∫ 
3. Determinar 
2
6 3
4 4 1
x
dx
x x
−
− +∫
 
Solución: 
Hacemos el cambio de variable 24 4 1u x x= − + , de donde 
( ) ( )8 4 4 2 1du x dx x dx= − = − . Luego: ( )4 2 1
du
dx
x
=
−
.
 
Reemplazando u y ( )4 2 1
du
x −
 en la integral dada, tenemos: 
 
( ) ( )
( )2 2
3 2 1 2 16 3
3
4 2 14 4 1 4 4 1
x xx du
dx dx
u xx x x x
− −− = =
−− + − +∫ ∫ ∫
 
( ) ( )23 3 3ln ln 4 4 1
4 4 4
du
u C x x C
u
= = + = − + +∫
 
4. Determinar
3 4 3
x
dx
x−∫
 
Solución: 
Hacemos el cambio de variable 4 3u x= − , de donde 3du dx= − ; y de aquí 
3
du
dx = − . Además: 3
4 u
x
−= 
Reemplazando en la integral dada, tenemos: 
 
3 3 3 3
4
4 1 43
3 3 94 3 3
u
x du u du u
dx du
x u u u
−
− −   = − = − = −   −    ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) ( )
2/3 5/3
1/3 1/3 2/31 1 14 4 4
9 9 9 2 / 3 5 / 3
u u
u u du u u du C− −
 
= − − = − − = − − +  
 
∫ ∫
 
( ) ( ) ( )
5/3
2/3 5/32/31 1 3 2 16 4 3 4 3
9 9 5 3 15
u
u C x x C
 
= − + + = − − + − +  
  
5. Determinar ( )3/21/3 2/3 1x x dx+∫ 
Solución: 
18 
 
Hacemos el cambio de variable 2/3 1u x= + , de donde 1/3
2
3
du x dx−= ; y de aquí 
1/33
2
dx x du= . 
Reemplazando en la integral, se obtiene: 
( ) ( )3/2 3/21/3 2/3 1/3 1/3 1/3 3/2 1/3 2/3 3/23 3 31
2 2 2
x x dx x u x du x u x du x u du
 + = = = 
 
∫ ∫ ∫ ∫
 
Además: 13
2
−= ux 
Finalmente, reemplazando 2/3x en la última integral, tenemos: 
 
( ) ( ) ( )3/21/3 2/3 2/3 3/2 3/2 5/2 3/23 3 31 1
2 2 2
x x dx x u du u u du u u du+ = = − = −∫ ∫ ∫ ∫
 
 
7/2 5/2
7/2 5/23 3 2 2
2 7 / 2 5 / 2 2 7 5
u u
C u u C
   = − + = − +     
 
 
( ) ( )7/2 5/27/2 5/2 2/3 2/33 3 3 31 1
7 5 7 5
u u C x x C= − + = + − + + 
6. Determinar 21 2y ydy+∫ . 
Solución: 
Hacemos el cambio 21u y= + , entonces 2du ydy= . Sustituyendo en la integral, 
tenemos: 
312 2 2
2
1 2
3
y ydy udu u du u C+ = = = +∫ ∫ ∫ 
Reemplazando u
 
por 21 y+ , tenemos: 
( )32 2 221 2 1
3
y ydy y C+ = + +∫
 
7. Determinar 5 25x x dx−∫ . 
Solución: 
Hacemos 25 xu −= , entonces xdxdu 2−= ; y de aquí 
x
du
dx
2
−= .
 
 
Luego, reemplazando en la integral: 
( )
615 2 5 5 5
6
2 5
1 5
5
2 2 12
5
5
12
du
x x dx u u du u C
x C
− = = − = − +
−
= − − +
∫ ∫ ∫
 
8. Determinar ( )43 21 3x x dx+∫ . 
Solución: 
19 
 
Hacemos 13 += xu , entonces dxxdu 23= ; y de aquí 
23x
du
dx = .
 
 
Reemplazando en la integral, tenemos: 
( ) Cuduudxxx +==+ ∫∫ 531
5
4243
 
 
( )
C
x ++=
5
1
53
 
9. Determinar sin( )cos( )x x dx∫ . 
Solución: 
Hacemos )sin(xu = , entonces dxxdu )cos(= ; y de aquí 
)sin(x
du
dx = .
 
 
Reemplazando en la integral, tenemos: 
( )
2
2
sin( )cos( )
2
sin( )
2
u
x x dx udu C
x
C
= = +
= +
∫ ∫
 
10. Determinar ( )∫ 22cos x
xdx
. 
Solución: 
Hacemos 2xu = , entonces xdxdu 2= ; y de aquí 
x
du
dx
2
= .
 
 
Reemplazando en la integral, tenemos: 
( ) ( ) ( )∫∫∫ == duudxxxx
xdx 222
22
sec
2
1
sec
cos 
 
( ) Cx
Cu
+=
+=
2tan
2
1
)tan(
2
1
 
11. Determinar 
( )21 1
dx
dx
x + +
∫ . 
Solución: 
Hacemos 1+= xu , entonces dxdu = . Entonces: 
( )
( )
2
2 2
2
ln 1
11 1
ln 1 1 1
dx du
dx u u C
ux
x x C
= = + + +
++ +
= + + + + +
∫ ∫
 
20 
 
12. Determinar 
21 ln ( )
dx
x x−∫
. 
Solución: 
Hacemos )ln(xu = , entonces 
x
dx
du = ; y de aquí xdudx = . 
Entonces, tenemos: 
( )
2 2
arcsin( )
1 ln ( ) 1
arcsin ln( )
dx du
u C
x x u
x C
= = +
− −
= +
∫ ∫
 
13. Determinar 
3
21
x dx
x−∫
 
Solución: 
Hacemos 21 xu −= , entonces xdxdu 2−= ; y de aquí 
x
du
dx
2
−= . Entonces: 
( ) ( ) Cxx
Cuu
duuduudu
u
u
x
dxx
+−+−−=
++−=
+−=−−=
−
∫∫∫∫
−
2
3
22
1
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
3
1
3
1
1
3
1
2
1
2
11
2
1
1
 
14. Determinar ∫ dxxx )3cos()3(sin
2 
Solución: 
Hacemos ( )xu 3sin= , entonces dxxdu )3cos(3= . Reemplazando en la integral, 
tenemos: 
( ) Cx
C
u
duudxxx
+=
+





=
= ∫∫
3sin
9
1
33
1
3
1
)3cos()3(sin
3
3
22
 
15. Determinar ∫
− dxe x1 . 
Solución: 
Hacemos xu −=1 , entonces dxdu −= . Reemplazando en la integral, tenemos: 
Ce
Ceduedxe
x
uux
+−=
+−=−=
−
−
∫∫
1
1
 
16. Determinar 5 21x x dx−∫ 
Solución: 
Hacemos 21 xu −= , entonces xdxdu 2−= y ux −= 12 . Reemplazando en la 
integral, tenemos: 
21 
 
( )∫ ∫∫∫ −−=−=




−=− duuuduux
x
du
uxdxxx 24525 1
2
1
2
1
2
1 
 ( ) ∫∫ 


 +−−=+−−= duuuuduuuu 2
5
2
3
2
1
2
12 2
2
1
21
2
1
 
 Cuuu +




 +−−= 2
7
2
5
2
3
7
2
5
4
3
2
2
1
 
 ( ) ( ) ( ) Cxxx +−+−−−−= 2
7
22
5
22
3
2 1
7
1
1
5
2
1
3
1
 
 
17. Determinar ∫ −
dx
x
x
13
2
 
Solución: 
Hacemos 13 −= xu , entonces dxxdu 23= . Reemplazando en la integral, 
tenemos: 
Cx
Cu
duu
x
du
u
x
dx
x
x
+−=
+



=
=




=
− ∫ ∫∫
−
1
3
2
2
3
1
3
1
31
3
2
1
2
1
2
2
3
2
 
18. Determinar 
4
57 1
x dx
x +∫
 
Solución: 
Hacemos 15 += xu , entonces dxxdu 45= . Reemplazando en la integral, 
tenemos: 
( ) Cx
Cu
duudu
u
dx
x
x
++=
+




=
==
+
∫∫∫
−
7
6
5
7
6
7
1
77 5
4
1
30
7
6
7
5
1
5
11
5
1
1
 
 
APLICACIONES DE LOS PROBLEMAS CON VALOR INICIAL 
 
1. Se estima que el precio p (dólares) de cada unidad de un cierto artículo cambia a 
una tasa de 
2
135
9
dp x
dx x
−=
+
 
Donde x (cientos) de unidades es la demanda del consumidor (el número de 
unidades compradas a ese precio). Suponga que se demandan 400 unidades (
4x = ) cuando el precio es de $30 por unidad. 
22 
 
a) Determine la función de la demanda 
b) ¿A qué precio se demandaran 300 unidades? ¿A qué precio no se demandara 
ninguna unidad? 
c) ¿cuántas unidades se demandaran a un precio $20 por unidad? 
Solución: 
a) El precio por unidad demandada ( )p x se determina integrando ' ( )p x con 
respecto a x . Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución 
29 xu += , de donde xdxdu 2= ; y de aquí duxdx
2
1= . 
Luego: 
 
1/2
1/2
1/22
135 135 1 135 135
( )
2 2 2 1/ 29
x u
p x dx du u du C
ux
−  − − − − = = = = +     +  
∫ ∫ ∫
 
 
2135 9 x C= − + + 
Como 30p = cuando 4x = , se tiene que: 
 (4) 30p = 
 
2135 9 4 30C− + + = 
 30 135 25 705C = + = 
Por lo tanto: 
 
2( ) 135 9 705p x x= − + + 
 
b) Cuando se demandan 300 unidades, 3x = y el precio correspondiente es: 
 
2(3) 135 9 3 705 $132.24p = − + + = por unidad 
No se demanda ninguna unidad cuando 0x = y el precio correspondiente es: 
 
2(0) 135 9 0 705 $300p = − + + = por unidad 
 
c) Para determinar el número de unidades demandadas a un precio unitario de 
$20, se necesita resolver la siguiente ecuación: 
 
2135 9 705 20x− + + = 
 
2135 9 685x⇒ + = 
 
2 6859
135
x⇒ + = 
 
29 25.75x⇒ + ≈ 
 
2 16.75x⇒ ≈ 
 4.09x⇒ ≈ 
Es decir, se demandarán aproximadamente 409 unidades cuando el precio sea 
de $20 por unidad. 
 
23 
 
2. VENTAS AL MENUDEO. En cierta sección del país, se estima que dentro de t 
semanas, el precio del pollo crecerá a una tasa de '( ) 3 1p t t= + centavos por 
kilogramo por semana. Si actualmente el pollo cuesta $3 por kilogramo, ¿cuánto 
costará dentro de 8 semanas? 
Solución: 
El precio del pollo ( )p x se determina integrando '( ) 3 1p t t= + con respecto a t . 
Así: 
 
( ) '( ) 3 1p t p t dt t dt= = +∫ ∫ 
Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución 1+= tu , de donde 
dtdu = . Luego: 
 
3/2
1/2( ) 3 1 3 3 3
3 / 2
u
p t t dt u dt u du C
 
= + = = = +  
 
∫ ∫ ∫
 
 ( )
3/23/22 2 1u C t C= + = + + 
Por dato del problema, 300p = (pues el precio está dado en centavos) cuando 
0t = , así se tiene: 
 300 (0)p= 
 ( )
3/2
300 2 0 1 C⇒ = + + 
 300 2 C⇒ = + 
 298C⇒ = 
De aquí, 
 ( )
3/2
( ) 2 1 298p t t= + + 
Por lo tanto, el precio del pollo después de 8 semanas es 
( ) ( )3/2 3/2(8) 2 8 1 298 2 9 298 2 27 298
352centavos $3.52
p = + + = + = × +
= =
 
 
3. CONTAMINACION DEL AIRE. En cierto suburbio de Lima, el nivel de ozono ( )L t a 
las 7:00 a.m. es de 0.25 partes por millón (ppm). Una predicción del clima anticipa 
que el nivel de ozono t horas más tarde cambiará a una tasa de: 
2
0.24 0.03
'( )
36 16
t
L t
t t
−=
+ −
 
partes por millón por hora (ppm/h). 
a) Exprese el nivel de ozono ( )L t como una función de t . 
b) ¿Cuándo ocurre el nivel máximo de ozono? ¿Cuál es el nivel máximo? 
Solución: 
a) El nivel de ozono ( )L t se determina integrando '( )L t con respecto a t . Así 
2
0.24 0.03
( ) '( )
36 16
t
L t L t dt dt
t t
−= =
+ −
∫ ∫ 
24 
 
Para realizar a integración, se emplea la sustitución 21636 ttu −+= , de 
donde ( ) ( )dttdttdu −=−= 82216 ; y de aquí ( )dttdu −= 8
2
. Luego: 
 
( )
2 2 2
0.24 0.03 0.03(8 ) 1
( ) 0.03 8
36 16 36 16 36 16
t t
L t dt dt t dt
t t t t t t
− −= = = −
+ − + − + −
∫ ∫ ∫
 
 
1/2
1/2 1/21 0.03 0.030.03 0.03
2 2 2 1/ 2
du u
u du C u C
u
−  = = = + = +  
 
∫ ∫ 
 20.03 36 16t t C= + − + 
Por dato del problema, 0.25L = cuando 0t = (pues las 7:00 a.m. es la hora de 
inicio), así se tiene: 
 0.25 (0)L= 
 ( ) ( )
2
0.25 0.03 36 16 0 0 C⇒ = + − + 
 0.25 0.03 36 C⇒ = + 
 0.07C⇒ = 
Por lo tanto: 
2( ) 0.03 36 16 0.07L t t t= + − + 
 
b) Para determinar cuando ocurre el nivel máximo de ozono, se debe de igualar 
la tasa de variación de ozono a cero, es decir: 
2
0.24 0.03 0.24
'( ) 0 0 0.24 0.03 0 8
0.0336 16
t
L t t t
t t
−= ⇒ = = ⇒ − = ⇒ = =
+ −
 
Para verificar si justamente el valor hallado proporciona el nivel máximo de 
ozono, se hace uso del criterio de la segunda derivada, así necesitamos 
calcular la segunda derivada de ( )L t y reemplazar 8t = en ella, si el valor de la 
segunda derivada es negativa entonces en 8t = se alcanza el nivel máximo de 
ozono y este nivel máximo se determina reemplazando 8t = en ( )L t . En 
efecto: 
 
3
2
3
''( )
16 36
L t
t t
= −
− + +
 
Reemplazando 8t = en ''( )L t , se tiene 
( ) ( )
3
2
3
''(8) 0.003
8 16 8 36
L = − = −
− + +
 
25 
 
Por lo tanto el nivel máximo de ozono ocurre cuando 8t = , es decir a las 3 
p.m. Así el nivel máximo de ozono es: 
( ) ( )2(8) 0.06 36 16 8 8 0.11 0.49 ppmL = + − − = 
PR0BLEMAS 2.1 
1. Usando el método de cambio de variable halle las siguientes integrales: 
a) a bx dx+∫ 
b) 22x x dx+∫ 
c) 2 1x x dx−∫ 
d) 
2( 1)
x
dx
x +∫
 
e) ( ) 323 1 −−∫ x xx e dx 
f) 
(2 ln )x dx
x
+
∫ 
g) 
2
3
( 1)
3
x dx
x x
+
+
∫ 
h) 
2( )a x dx
x
+
∫ 
i) 
2/3
2
1 1
1 − 
 
∫ dxxx
 
j) 
3 1 ln x
x
+
∫ 
k) 
3
4 2
10 5
6
−
− +
∫
x x
dx
x x
 
l) 
2
1
( cos )
sen x
dx
x x
+
−∫
2. VALOR DE LA TIERRA. Se estima que dentro de t años, el valor ( )V t de una 
hectárea de tierra cultivable crecerá a una tasa de 
3
4
0.4
'( )
0.2 8000
t
V t
t
=
+
 
dólares por año. Actualmente la tierra vale $500 por hectárea. 
a) Determine ( )V t 
b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años? 
3. INGRESO. El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artículo se 
estima que será 
20.01'( ) 50 3.5 xR x xe−= + dólares por unidad, donde ( )R x es el 
ingreso en dólares. 
a) Determine ( )R x , suponiendo que (0) 0R = . 
b) ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades? 
26 
 
4. CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Se trasplantó un árbol y después de x años este 
crecía a una tasa de 
( )2
1
1
1x
+
+
 metros por año. Después de 2 años el árbol alcanzó 
una altura de 5 metros. ¿Quéaltura tenía cuando se trasplantó? 
5. INGRESO. El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artículo se 
estima que será 
20.01'( ) 50 3.5 xR x xe−= + dólares por unidad, donde ( )R x es el 
ingreso e dólares. 
c) Determine ( )R x , suponiendo que (0) 0R = . 
d) ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades? 
6. CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO. La concentración ( )C t en miligramos por 
centímetro cúbico (mg/cm3) de un medicamento en el torrente sanguíneo de un 
paciente es de 0.5mg/cm3 inmediatamente después de una inyección y t minutos 
más tarde disminuye a la tasa de 
( )
0.01
20.01
0.01
'( )
1
t
t
e
C t
e
−=
+
 mg/cm3 por minuto. 
Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es menor que 0.05 
mg/cm3. 
a) Determine una expresión para ( )C t . 
b) ¿Cuál es la concentración después de 1 hora? 
7. CONTAMINACION DEL AGUA. Un derrame de petróleo en el océano tiene una 
forma aproximadamente circular, con radio ( )R t pies, t minutos después del inicio 
del derrame. E radio crece a una tasa de 
21
'( ) pies/min
0.07 5
R t
t
=
+
 
a) Determine una expresión para el radio ( )R t , suponiendo que 0R = cuando 
0t = . 
b) ¿Cuál es el área 2A R= π del derrame después de 1 hora? 
8. BENEFICIO DE UNA COMPAÑÍA. El beneficio marginal de una cierta compañía es de: 
3R'(x) x x 2= − dólares por unidad cuando el nivel de producción es de “x” 
27 
 
unidades. Si el beneficio de la compañía es de $12 000 cuando se produce 150 
unidades. Hallar la función de beneficio total 
 
 
 
SECCIÓN 2.2: INTEGRACIÓN POR PARTES 
En esta sección estudiaremos una técnica de integración muy importante, llamada 
integración por partes. Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de 
integrales y es particularmente eficaz para integrandos donde aparecen productos de 
funciones algébricas y trascendentes. Por ejemplo, funciona muy bien para resolver 
integrales como: 
2ln , , sinx xx xdx x e dx e xdx∫ ∫ ∫ 
La integración por partes se basa en la fórmula de la derivada de un producto: 
( ) ' 'd dv duuv u v uv vu
dx dx dx
= + = +
 
Donde u y v son funciones derivables de x . Si 'u y 'v son continuas, podemos 
integrar ambos lados para llegar al resultado 
' 'uv uv dx vu dx
udv vdu
= +
= +
∫ ∫
∫ ∫ 
Reescribiendo esta ecuación se obtiene el siguiente teorema. 
 
TEOREMA: 
Si u y v son funciones de x con derivadas continuas, entonces: 
udv uv vdu= −∫ ∫ 
 
Esta fórmula expresa la integral original en términos de otra integral. Dependiendo de 
la elección de u y de dv , puede ocurrir que la segunda integral sea más fácil que la 
original. Como las elecciones de u y de dv son críticas para la buena marcha del 
método, damos unas indicaciones sobre cómo proceder 
ESTRATEGIA PARA INTEGRAR POR PARTES 
1. Para el cálculo de la integral ( )f x dx∫ , donde el integrando, ( )f x , es de la forma 
mostrada abajo, se escoge u y dv como sigue: 
a) Si ( ) ( ) ( );x xf x p x e u p x dv e dx= ⇒ = = 
b) Si ( ) ( ) ln( ) ln( ); ( )f x p x x u x dv p x dx= ⇒ = = 
c) Si ( ) ( )( ) ( ) sin ,cos ( ); sin ,cosf x p x x x u p x dv x x dx= ⇒ = = 
d) Si ( ) ( )( ) sin ,cos sin ,cos ;x xf x e x x u x x dv e dx= ⇒ = = 
28 
 
2. Intente tomar como dv la porción más complicada del integrando que se ajuste a 
una regla básica de integración y como u el factor restante del integrando 
3. Intente tomar como u la porción del integrando cuya derivada es una función 
más simple que u y como dv el factor restante del integrando. 
 
 
 
Ejemplos: 
1. Determine sin( )x x dx∫ 
Solución: 
Según la estrategia 1. c), se elige u y dv como sigue 
sin cossin
du dxu x
v xdx xdv x dx
== 
⇒  = = −=  ∫ 
Se sabe que 
 
udv uv vdu= −∫ ∫ 
 Así: 
sin cos cos cos cos cos sinx xdx x x xdx x x xdx x x x C= − − − = − + = − + +∫ ∫ ∫ 
 
2. Determine
 
2 ln( )x x dx∫ 
Solución: 
Según la estrategia 1. b), se elige u y dv como sigue: 
2 3
2
ln( )
3
dx
du
u x x
dv x dx x
v x dx
 == 
⇒ 
=  = =
 ∫ 
Se sabe que: 
 
udv uv vdu= −∫ ∫ 
 Así: 
 
3 3 3 3 3
2 21ln ln( ) ln( ) ln( )
3 3 3 3 3 9
x x dx x x x
x xdx x x x dx x C
x
= − = − = − +∫ ∫ ∫
 
 
3. Determine
 
cosxe xdx∫ 
Solución: 
Según la estrategia 1. d), se elige u y dv como sigue: 
sincos
x xx
du x dxu x
v e dx edv e dx
= −= 
⇒  = ==   ∫ 
Se sabe que 
29 
 
udv uv vdu= −∫ ∫ 
 Así: 
cos cos( ) ( sin ) cos( ) sinx x x x xe xdx x e e xdx x e e xdx= − − = +∫ ∫ ∫ 
 Para la segunda integral del lado derecho, apliquemos nuevamente integración 
 por partes, así haciendo: 
cossin
x xx
du xdxu x
v e dx edv e dx
== 
⇒  = ==   ∫
 
 Se tiene: 
( )cos cos( ) sin cos( ) sin( ) cosx x x x x xe x dx x e e x dx x e x e e x dx= + = + −∫ ∫ ∫ 
 por lo tanto: 
 
cos cos cos( ) sin( )x x x xe xdx e xdx x e x e+ = +∫ ∫
 
 
2 cos cos( ) sin( )x x xe xdx x e x e⇒ = +∫
 
cos( ) sin( )
cos
2
x x
x x e x ee x dx C
+
⇒ = +∫ 
 
4. Determine (1 ln )
xe x x
dx
x
+
∫ 
Solución: 
En primer lugar separemos las integrales, es decir: 
(1 ln )
ln
x x
xe x x edx dx e xdx
x x
+ = +∫ ∫ ∫
 
Para la segunda integral del lado derecho apliquemos la técnica de integración 
por partes. Elijamos u y dv como sigue: 
1
ln
x
x x
du dxu x
x
dv e dx v e dx e
 == 
⇒ 
=  = = ∫
 
 Así, 
 
(1 ln ) 1
ln ln( )
x x x
x x xe x x e edx dx e xdx dx x e e dx
x x x x
+  = + = + − 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 ln( )xe x C= + 
 
5. Determine
 
ln(sin )cosx xdx∫ 
Solución: 
Se elige u y dv como sigue: 
cos
ln(sin )
sin
cos
cos sin
x
du dxu x
x
dv x dx
v xdx x
 == 
⇒ =  = = ∫ 
Se sabe que: 
30 
 
udv uv vdu= −∫ ∫ 
 Así: 
 
cos
ln(sin )cos ln(sin )sin sin ln(sin )sin cos
sin
x
x xdx x x x dx x x xdx
x
= − = −∫ ∫ ∫
 sin ln(sin ) sinx x x C= − + 
6. Determine
 
2 3(2 1) xx e dx++∫ 
Solución: 
Se elige u y dv como sigue: 
2 3
2 3 2 3
2
2 1
2
x
x x
du dx
u x
e
dv e dx v e dx
+
+ +
== + 
⇒ 
= = = 
 ∫ 
Se sabe que: 
 
udv uv vdu= −∫ ∫ 
 Así: 
 
2 3 2 3 2 3
2 3 2 3(2 1) (2 1) 2 (2 1)
2 2 2
x x x
x xe e ex e dx x dx x e dx
+ + +
+ ++ = + − = + −∫ ∫ ∫
 
 
2 3 2 3
(2 1)
2 2
x xe e
x C
+ +
= + − +
 
7. Determine
 
(3 2)ln(5 )x x dx+∫ 
Solución: 
Se elige u y dv como sigue: 
2
ln(5 )
(3 2)
(3 2) 3 2
2
dx
du
u x x
dv x dx x
v x dx x
 == 
⇒ = +  = + = +
 ∫ 
Se sabe que: 
 
udv uv vdu= −∫ ∫ 
 Así: 
 
2 2
(3 2) ln(5 ) ln(5 ) 3 2 3 2
2 2
x x dx
x x dx x x x
x
   
+ = + − +      
   
∫ ∫
 
2
ln(5 ) 3 2 3 2
2 2
x x
x x dx
   = + − +       
∫
 
2 23 3
ln(5 ) 2 2
2 4
x x
x x x C
 
= + − − +  
 
 
8. Determine
 
ln(5 )x dx∫ 
Solución: 
Se elige u y dv como sigue: 
31 
 
ln(5 )
dx
duu x
x
dv dx
v dx x
 == 
⇒ =  = = ∫ 
Se sabe que: 
 
udv uv vdu= −∫ ∫ 
 Así: 
ln(5 ) ln(5 ) ln(5 ) ln(5 )
dx
x dx x x x x x dx x x x C
x
= − = − = − +∫ ∫ ∫ 
 
9. Determine
 
2ln (5 )x dx∫ 
Solución: 
Se elige u y dv como sigue: 
2 2ln(5 )ln (5 )
dx
du xu x x
dv dx v dx x
 = = 
⇒ 
=  = = ∫ 
Se sabe que: 
 
udv uv vdu= −∫ ∫ 
 Así: 
 
2 2 2ln (5 ) ln (5 ) 2ln(5) ln (5 ) 2 ln(5 )
dx
x dx x x x x x x dx
x
= − = −∫ ∫ ∫
 
 ( )
2ln (5 ) 2 ln(5 )x x x x x C= − − + 
 
2ln (5 ) 2 ln(5 ) 2x x x x x C= − + + 
 
10. Determine
 
3(2 2 )ln( )x x x dx+∫ 
Solución: 
Se elige u y dv como sigue: 
3 4 2 4
3 2
ln
(2 2 )
(2 2 ) 2 2
4 2 2
dx
du
u x x
dv x x dx x x x
v x x dx x
 == 
⇒ 
= +  = + = + = +
 ∫ 
Así, aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene:4 4
3 2 2(2 2 )ln( ) ln
2 2
x x dx
x x x dx x x x
x
   
+ = + − +      
   
∫ ∫
 
4 3
2 ln
2 2
x x
x x x dx
   
= + − +      
   
∫ 
 
4 4 2
2 ln
2 8 2
x x x
x x C
 
= + − − +  
 
 
11. Determine
 
xe dx∫ 
32 
 
Solución: 
Aplique primero un cambio de variable, así haciendo: 
2
2mdm dx
m x
m x
== ⇒ 
= 
Se tiene: 
 
2 2x m me dx e m dm me dm= =∫ ∫ ∫ 
Aplique ahora integración por partes, tomando u y dv como sigue: 
m mm
du dmu m
v e dx edv e dx
== 
⇒  = ==   ∫ 
y usando la fórmula de integración por partes, se tiene: 
( )2 2 2 2 2 2x m m m m m x xe dx me dm me e dm me e C xe e C= = − = − + = − +∫ ∫ ∫ 
 
12. Determine
 
2ln( 1 )x x dx+ +∫ 
Solución: 
Se elige u y dv como sigue: 
2
2ln( 1 ) 1
dx
du
u x x x
dv dx
v dx x
 =  = + + +⇒ 
=  = = ∫ 
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene: 
( )2 2 2ln( 1 ) ln 1 (1)1
dx
x x dx x x x x
x
+ + = + + −
+
∫ ∫
 
Para la segunda integral del lado derecho, 
21
xdx
x+
∫ , apliquemos la técnica del 
cambio de variable, así haciendo: 
2 2
2
2 2
1
1
udu xdx xdx udu
u x
u x
= ⇒ == + ⇒ 
= + 
se tiene: 
2
2
1 (2)
1
xdx udu
du u C x C
ux
= = = + = + +
+
∫ ∫ ∫
 
Reemplazando (2) en (1), resulta: 
 
( )2 2 2ln( 1 ) ln 1 1
dx
x x dx x x x x
x
+ + = + + −
+
∫ ∫
 
 ( ) ( )2 2ln 1 1x x x x C= + + − + + 
 ( )2 2ln 1 1x x x x C= + + − + − 
13. Determine
 
arcsinxdx∫ 
Solución: 
Se elige u y dv como sigue: 
33 
 
2arcsin 1
dx
duu x
x
dv dx
v dx x
 == −⇒ =  = = ∫ 
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene: 
2
arcsin (arcsin ) (1)
1
dx
xdx x x x
x
= −
−
∫ ∫
 
Para la segunda integral del lado derecho, 
21
xdx
x−
∫ , apliquemos la técnica del 
cambio de variable, así haciendo: 
2 2
2
2 2
1
1
udu xdx xdx udu
u x
u x
= − ⇒ = −= − ⇒ 
= − 
se tiene: 
2
2
1 (2)
1
xdx udu
du u C x C
ux
−= = − = − + = − − +
−
∫ ∫ ∫
 
Reemplazando (2) en (1), resulta: 
 
( )22arcsin (arcsin ) (arcsin ) 11
dx
xdx x x x x x x C
x
= − = − − − +
−
∫ ∫
 
 2(arcsin ) 1x x x C= + − − 
 
14. Determine
 
arctanx xdx∫ 
Solución: 
Se elige u y dv como sigue: 
2
2
arctan 1
2
dx
du
u x x
dv xdx x
v xdx
 ==  +
⇒ =  = =
 ∫ 
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene: 
 
2 2 2 2
2 2
1
arctan (arctan ) (arctan )
2 2 2 21 1
x x dx x x dx
x xdx x x
x x
= − = −
+ +∫ ∫ ∫ 
 
2 2
2
1 1 1
(arctan )
2 2 1
x x
x dx
x
 + −= −   + 
∫ 
 
2 2
2 2
1 1 1
(arctan )
2 2 1 1
x x
x dx
x x
 += − −  + + 
∫ 
 
2
2
1 1
(arctan ) 1
2 2 1
x
x dx
x
 = − − + ∫ 
 
2
2
1 1
(arctan )
2 2 1
x
x dx dx
x
 = − − + ∫ ∫ 
 [ ]
2 1
(arctan ) arctan
2 2
x
x x x C= − − + 
 
2 arctan
(arctan )
2 2 2
x x x
x C= − + + 
34 
 
 
15. Determine
 
arctan
2 3 2(1 )
xxe
dx
x+∫
 
Solución: 
Se elige u y dv como sigue: 
2 3 22
arctanarctan
arctan
22
(1 )1
11
xx
x
x dx
u du
xx
ee
v dx edv dx
xx
 = =  + +
⇒ 
  = ==  ++ ∫ 
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene: 
arctan
arctan arctan
2 3 2 2 3 22
(1)
(1 ) (1 )1
x
x xxe x dxdx e e
x xx
= −
+ ++
∫ ∫
 
Para la segunda integral del lado derecho, 
arctan
2 3 2(1 )
xe
dx
x+∫
, aplique nuevamente la 
técnica de integración por partes, así haciendo: 
2 3 22
arctanarctan
arctan
22
1
(1 )1
11
xx
x
xdx
u du
xx
ee
v dx edv dx
xx
 = = −  + +
⇒ 
  = ==  ++ ∫ 
se tiene: 
 
arctan
arctan arctan
2 3 2 2 3 22
1
(1 ) (1 )1
x
x xe xdxdx e e
x xx
−= −
+ ++
∫ ∫
 arctan arctan 2 3 22
1
(2)
(1 )1
x x xdxe e
xx
= +
++
∫ 
 Reemplazando (2) en (1), resulta: 
 
arctan
arctan arctan
2 3 2 2 3 22(1 ) (1 )1
x
x xxe x dxdx e e
x xx
= −
+ ++
∫ ∫ 
 arctan arctan arctan
2 3 22 2
1
(1 )1 1
x x xx xdxe e e
xx x
 
= − +  ++ + 
∫ 
 arctan arctan arctan
2 3 22 2
1
(1 )1 1
x x xx xdxe e e
xx x
= − −
++ +
∫ 
 por lo tanto: 
 
arctan
arctan arctan
2 3 2 2 2
1
2
(1 ) 1 1
x
x xxe xdx e e
x x x
= −
+ + +
∫ 
 
arctan
arctan arctan
2 3 2 2 2
1 1
2(1 ) 1 1
x
x xxe xdx e e C
x x x
 
⇒ = − +  + + + 
∫ 
 
16. Determine
 
2
arctan
1
x x
dx
x+
∫ 
Solución: 
35 
 
Se elige u y dv como sigue: 
2
2
2
2
arctan
1
11
1
dx
duu x
x
x
dv dx x
v dx xx
x
 ==  + 
⇒ =  = = ++  +
∫
 
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene: 
 
2 2 2
22 2
arctan
(arctan ) 1 1 (arctan ) 1
11 1
x x dx dx
dx x x x x x
xx x
= + − + = + −
++ +
∫ ∫ ∫
 
 
2 2(arctan ) 1 ln 1x x x x C= + − + + +
 
17. Determine
 
2
2
arctan
1
x x
dx
x+∫
 
Solución: 
Aplique primero un cambio de variable, así haciendo: 
2arctan 1
tan
dx
dt
t x x
x t
 == ⇒ +
 = 
Y reemplazando en la integral dada, se tiene: 
( )
2
2 2
2
arctan
tan tan
1
x x
dx t tdt t t dt
x
= =
+∫ ∫ ∫ 
Ahora intégrese por partes 2tant t dt∫ , para ello elija u y dv como sigue: 
22 tan tantan
du dtu t
v t dt t tdv tdt
== 
⇒  = = −=   ∫ 
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene: 
 
2
2
2
arctan
tan (tan ) (tan )
1
x x
dx t tdt t t t t t dt
x
= = − − −
+∫ ∫ ∫
 
 
2
2(tan ) tan tan ln sec
2
t
t t t tdt tdt t t t t C= − − + = − − + +∫ ∫ 
 ( ) 22 2 arctan(arctan ) arctan ln 1 2 xx x x x C= − − + + + 
 ( )2 2arctanarctan ln 12 xx x x C= − − + + 
18. Determine
 
3sec xdx∫ 
Solución: 
Primero escriba la integral dada de la siguiente manera: 
3 2 2 2
2
sec sec sec (1 tan )sec sec tan sec
ln sec tan tan sec (1)
xdx x xdx x xdx xdx x xdx
x x x xdx
= = + = +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ 
Ahora, intégrese por partes, 2tan secx xdx∫ , para ello elija u y dv como sigue: 
36 
 
2sectan
tan sec tan sec sec
du xdxu x
dv x xdx v x xdx x
 == 
⇒ = = =  ∫
 Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene: 
2 2 3tan sec tan sec sec sec tan sec sec (2)x xdx x x x xdx x x xdx= − = −∫ ∫ ∫ 
Reemplazando (2) en (1), se tiene: 
 
3 2sec ln sec tan tan secxdx x x x xdx= + +∫ ∫ 
 
3ln sec tan tan sec secx x x x xdx= + + − ∫ 
por lo tanto: 
 
32 sec ln sec tan tan secxdx x x x x= + +∫ 
 
( )3 1sec ln sec tan tan sec
2
xdx x x x x C⇒ = + + +∫ 
 
MÉTODO TABULAR 
En problemas que exigen sucesivas integraciones por partes, conviene organizar el 
trabajo, como indica el siguiente ejemplo. Este método funciona bien en integrales 
de los tipos ( ) ax bp x e dx+∫ , ( )sin( )p x ax b dx+∫ y ( )cos( )p x ax b dx+∫ 
Ejemplos: 
Calcular las siguientes integrales: 
1. 2(2 3 2) xx x e dx+ +∫ 
Solución: 
Como de costumbre empiece haciendo 22 3 2u x x= + + y xdv e dx= . A 
continuación elabore una tabla de tres columnas como sigue. 
 
Signos 
alternados 
u 
y sus derivadas 
dv y sus 
antiderivadas 
+ 22 3 2x x+ + xe 
− 4 3x + xe 
+ 4 xe 
− 0 xe 
 
 
 Derivar hasta 
obtener una 
derivada nula 
 
 
La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y 
sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así: 
37 
 
 
2 2(2 3 2) (2 3 2) (4 3) 4x x x xx x e dx x x e x e e C+ + = + + − + + +∫ 
 
2(2 1) xx x e C= − − + 
 
2. 2( 3 1)sin( )x x x dx+ +∫ 
Solución: 
Como de costumbre empiece haciendo 2 3 1u x x= + + y sindv xdx= . A 
continuaciónelabore una tabla de tres columnas como sigue. 
 
Signos 
alternados 
u 
y sus derivadas 
dv y sus 
antiderivadas 
+ 2 3 1x x+ + sinx 
− 2 3x + cosx− 
+ 2 sin x− 
− 0 cosx 
 
 
 Derivar hasta 
obtener una 
derivada nula 
 
 
La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y 
sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así 
2 2( 3 1)sin( ) ( 3 1)( cos ) (2 3)( sin ) 2cosx x x dx x x x x x x C+ + = + + − − + − + +∫ 
 
2( 3 1)cos (2 3)sin 2cosx x x x x x C= − + + + + + + 
 
3. 4 3 2(2 2 ) xx x e dx++∫ 
Solución: 
Como de costumbre empiece haciendo 42 2u x x= + y 3 2xdv e dx+= . A continuación 
elabore una tabla de tres columnas como sigue. 
 
Signos 
alternados 
u 
y sus derivadas 
dv y sus 
antiderivadas 
+ 
42 2x x+ 3 2xe + 
− 
38 2x + 3 2
3
xe +
 
+ 
224x 3 2
9
xe +
 
38 
 
− 
48x 3 2
27
xe +
 
+ 
48 3 2
81
xe +
 
 0 
3 2
243
xe +
 
 
La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y 
sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así: 
 
3 2 3 2 3 2
4 3 2 4 3 2(2 2 ) (2 2 ) (8 2) 24
3 9 27
x x x
x e e ex x e dx x x x x
+ + +
++ = + − + +∫ 
 
3 2 3 2
48 48
81 243
x xe e
x C
+ +
− + +
 
 
APLICACIONES DE LOS PROBLEMAS CON VALOR INICIAL 
 
1. DISTANCIA. Después de t segundos, un cuerpo se mueve con velocidad 2
t
te
−
metros por segundo. Exprese la posición del cuerpo como función del tiempo. 
Solución: 
Del enunciado del problema tenemos: 
2)(
t
tetv
−
= 
[Recuerde que )(')( txtv = , donde )(tx representa la posición del cuerpo en el 
momento t] 
Entonces: 
 ,)('
2
t
tetx
−
= 
De donde: 
 ∫
−
= dttetx
t
2)( 
Para hallar )(tx usemos el método Tabular: Hagamos tu = y 2
t
edv
−
= . A 
continuación elaboremos una tabla de tres columnas como sigue: 
 
Signos 
alternados 
u 
y sus derivadas 
dv y sus 
antiderivadas 
+ t 2te
−
 
− 1 22
t
e
−
− 
+ 0 24
t
e
−
 
 
Luego: 
39 
 
Cetetx
Cetedttetx
tt
ttt
+−−=
+−−==
−−
−−−
∫
22
222
42)(
42)(
 
Usando 0)0( =x [pues la distancia es cero cuando no transcurre el tiempo], 
tenemos: 
 
Ceex +−−= 00 4)0(2)0(
 
 
4=⇒ C 
Por lo tanto, la función que brinda la posición del cuerpo en el momento t es: 
 
22 42)(
tt
etetx
−−
−−= 
 
2. EFICIENCIA. Luego de t horas en el trabajo, un trabajador de una fábrica puede 
producir tte 5.0100 − unidades por hora. ¿Cuántas unidades produce el trabajador 
durante las tres primeras horas? 
Solución: 
Del enunciado del problema tenemos: 
ttetN 5.0100)(' −= 
[Estamos asumiendo que )(tN
 
represéntelas unidades que produce en trabajador 
en t horas] 
Luego: 
 ∫
−= dttetN t5.0100)( 
Para hallar )(tN
 
usemos el método tabular: consideremos tu 100=
 
y tedv 5.0−= . 
A continuación elaboremos una tabla de tres columnas como sigue: 
 
Signos 
alternados 
u 
y sus derivadas 
dv y sus 
antiderivadas 
+ 100 t te 5.0− 
− 100 te 5.02 −− 
+ 0 te 5.04 − 
 
Entonces: 
CetetN
dttetN
tt
t
+−−=
=
−−
−
∫
5.05.0
5.0
400200)(
100)(
 
Usando [pues cuando no transcurre el tiempo el trabajador no produce ninguna 
unidad], tenemos: 
 0400)0(200
00 =+−− Cee 
 400=⇒ C 
Por lo tanto: la función que describe el número de unidades que produce un 
trabajador en t horas será: 
40 
 
400400200)( 5.05.0 +−−= −− tt etetN 
Del enunciado del problema podemos determinar el número de unidades que 
produce el trabajador en 3 horas, lo cual se determina evaluando la última función 
en 3=t : 
400400)3(200)3( )3(5.0)3(5.0 +−−= −− eeN 
 
PR0BLEMAS 2.2 
1. Usando el método de integración por partes calcule las siguientes integrales: 
a) xxe dx∫ 
b) ln( )x x dt∫ 
c) 2 sin( )x x dx∫ 
d) ln( )x dx∫ 
e) 2ln ( )x dx∫ 
f) 2( 1) xx e dx++∫ 
g) sin( )xe x dx∫ 
h) (3 1)cos( )x x dx−∫ 
i) 2( 3 1)sin( )x x x dx+ −∫ 
j) 2(2 5 2) xx x e dx+ +∫ 
k) 2(2 1) ln( )x x dx+∫ 
2. VENTAS DE UN JUEGO. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo 
juego se vende en el mercado a una tasa de −= 0,2xS '(x) 4000xe juegos por semana, 
en donde x es el número por semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las 
ventas totales, S , como una función de x. ¿Cuántos juegos se venderán durante las 
primeras cuatro semanas? 
3. COSTOS. Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por 
2
5000ln(x 20)
C'(x)
(x 20)
+=
+
, en donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos 
ascienden a $ 2000, determine la función de costo. 
4. CASOS EN UN HOSPITAL. Durante el desarrollo de una epidemia a la razón de 
llegada de casos nuevos a cierto hospital es igual a −0,1t5te , donde t está medido en 
días, =t 0 es el inicio de la epidemia. ¿Cuántos casos ha tratado en total el hospital 
cuando =t 5 y cuando =t 10 ? 
5. INGRESO. El ingreso marginal de una empresa por su producto es 
x /20I '(x) 10(20 x)e−= − : determine la función de ingreso. 
41 
 
6. POBLACIÓN. Se proyecta que dentro de t años la población de cierta ciudad 
cambiará a razón de: 
( )'( ) ln 1P t t t= +
 
miles de personas al año. 
Si la población actual es de 2 millones de personas, ¿cuál será la población dentro 
de 5 años? 
 
 
SECCIÓN 2.2: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR 
FRACCIONES PARCIALES 
 
Consideremos dos funciones polinómicas: 
 11 1 0( ) ...
m m
m mP x b x b x b x b
−
−= + + + + y 
1
1 1 0( ) ...
n n
n nQ x a x a x a x a
−
−= + + + + 
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es decir: 
 
( )
( )
( )
P x
R x
Q x
= 
Ejemplos: 
1. 3
2
( )
( 1)
f x
x
=
+
 
2. 
2
2 2
( )
4 8
x
g x
x x
+=
− +
 
3. 
5 3
3
2 1
( )
5
x x x
h x
x x
+ − +=
+
Esta técnica de integración se aplica en el cálculo de integrales de funciones racionales, 
es decir, se aplica para el cálculo de integrales de la forma, 
 
( )
( )
P x
dx
Q x∫ 
Observación: 
1. Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), a la función racional se le 
denomina función racional propia, en caso contrario se le llama impropia. 
El método de integración de funciones racionales se trata de reducir la función 
racional a una suma de fracciones simples (fracciones parciales), como: 
2
5 3 2 3
2 3 1 3
x
x x x x
− = +
− − + −
 
Obteniéndose integrales inmediatas de la forma: 
2
5 3 2 3
2 3 1 3
x
dx dx dx
x x x x
− = +
− − + −∫ ∫ ∫
 
2. Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el denominador se 
puede representar como una función dada como la suma de un polinomio y de 
una función racional. Es decir: 
42 
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
P x R x
C x
Q x Q x
= + 
Donde )(xC y R(x) es el cociente y el residuo respectivamente que resulta de 
dividir P(x) entre Q(x). 
El método de integración de funciones racionales se trata de reducir la función 
racional a una suma de fracciones simples, obteniéndose integrales inmediatas 
de la forma: 
0)( ;
)(
)(
)(
)(
)( ≠+= ∫∫∫ xQdxxQ
xR
dxxCdx
xQ
xP
 
Como se indicó en la observación anterior, para el cálculo de estos tipos de integrales 
existen dos casos y estos dependen de los grados de los polinomios ( )P x y ( )Q x . 
 
CASO I: FUNCIÓN RACIONAL PROPIA (Grado [P(x)]<Grado [Q(x)]) 
a) Cuando en la integral 
( )
( )
P x
dx
Q x∫ , la función polinómica ( )Q x se descompone en 
factores todas lineales y distintas, es decir: 
1 2( ) ( )( ) ( )nQ x x b x b x b= ± ± ±… 
A la función racional 
( )
( )
P x
Q x
se expresa como una suma de fracciones simples: 
1 2
1 2 1 2
( ) ( )
. . . .
( ) ( )( ). . .( )
n
n n
AA AP x P x
Q x x b x b x b x b x b x b
= = + + +
± ± ± ±± ±
 
Integrando en ambos lados se tiene: 
1 2
1 2
( )
. . . .
( )
n
n
AA AP x
dx dx
Q x x b x b x b
 
= + + + ± ± ± ∫ ∫
 
1 2
1 2
( )
( )
n
n
AA AP x
dx dx dx dx
Q x x b x b x b
= + + +
± ± ±∫ ∫ ∫ ∫⋯ 
 
Donde: 1 2, ,..., nA A A son constantes que se van a determinar. 
Ejemplos: 
1. Determine 
2 1
( 2)( 3)
x
x x x
−
− +∫ 
Solución: 
El número de factores que existan en el denominador indicará el número de 
fracciones que deberá separarse. En este ejemplo hay 3 factores en el 
denominador, lo cual indica que habrán 3 fracciones. En consecuencia: 
2 1
( 2)( 3) 2 3
x A B C
x x x x x x
− = + +
− + − +
 
Al desarrollar se tiene: 
43 
 
2 1
( 2)( 3) 2 3
( 2)( 3) ( 3) ( 2)
 
( 2)( 3)
x A B C
x x x x x x
A x x Bx x Cx x
x x x
− = + +
− + − +
− + + + + −=
− +
 
 
Entonces: 
2 1 ( 2)( 3) ( 3) ( 2)
( 2)( 3) ( 2)( 3)
x A x x Bx x Cx x
x x x x x x
− − + + + + −=
− + − +
 
 
Quitando los denominadores se tiene: 
)2()3()3)(2(12 −++++−=− xCxxBxxxAx 
Luego tenemos: 
2 2
2
2 1 ( 2)( 3) ( 3) ( 2) 
 6 3 2
 ( ) ( 3 2 ) 6
x A x x Bx x Cx x
Ax Ax A Bx Bx Cx Cx
A B C x A B C x A
− = − + + + + −
= + − + + + −
= + + + + − −
 
Esta ecuación es una identidad, para todo x R∈ . En consecuencia habrá que 
igualar los coeficientes de las variables de igual potencia, así: 
 
0
3 2 2
6 1
A B C
A B C
A
+ + =
 + − =
− = −
 
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos: 
1 3 7
, , 
6 10 15
A B C= = = − 
 
Al sustituir los valores en 
2 1
( 2)( 3) 2 3
x A B C
x x x x x x
− = + +
− + − +
 se tiene: 
 
 
2 1 1/ 6 3 /10 7 /15
( 2)( 3) 2 3
x
x x x x x x
− −= + +
− − − −
 
 
Finalmente en la integral se tiene: 
 
2 1 3 7
( 2)( 3) 6 10( 2) 15( 3)
1 3 7
 
6 10 2 15 3
1 3 7
 ln ln 2 ln 3
6 10 15
x dx dx dx
dx
x x x x x x
dx dx dx
x x x
x x x C
− = + −
− + − +
= + −
− +
= + − − + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ 
 
Método práctico para hallar A, B y C: 
44 
 
Hay 2 formas para calcular las constantes de la descomposición de la función 
racional, , , ,A B C … . Una es la que ya se ha visto en el ejercicio anterior, 
llamada método de los coeficientes, la cual consiste en agrupar los términos 
que tengan el mismo grado, comparar con la expresión del lado izquierdo y 
establecer un sistema de ecuaciones, dando como solución de este sistema los 
valores de , yA B C . 
La otra forma es más práctica y consiste en dar valores a la variable x ( estos 
valores reciben el nombre de puntos críticos) tal que anule a cada factor que se 
obtuvo después del proceso de factorización (es decir es conveniente tomar 
1x b= ± , donde 1b± son raíces de ( )Q x ), este valor, se remplaza en la 
expresión que se tenga, tanto en la parte izquierda como derecha, y esto dará 
de forma directa los valores de , , ,A B C … , o también asignar valores 
pequeños como 0, 1, 2,..., etc± ± . 
Teniendo en cuenta el ejemplo anterior tenemos: 
En la ecuación )1()2()3()3)(2(12 −++++−=− xCxxBxxxAx 
Se hallan los puntos críticos, igualando a cero cada factor del denominador. 
Es decir, ( 2)( 3) 0x x x− + = . Entonces: 
Se tiene 0, 2, 3x x x= = = − estos valores se sustituyen en (1) 
Así tendremos: 
Cuando 0x = , se tiene: 2(0) 1 (0 2)(0 3) (0)(0 3) (0)(0 2) A B C− = − + + + + − 
 
6
1
61
=⇒
−=−⇒
A
A
 
 
 
Cuando 2x = se tiene: 2(2) 1 (2 2)(2 3) (2)(2 3) (2)(2 2) A B C− = − + + + + − 
 
10
3
103
=⇒
=⇒
B
B
 
 
 
Cuando 3x = − se tiene: 
 2( 3) 1 ( 3 2)( 3 3) ( 3)( 3 3) ( 3)( 3 2) A B C− − = − − − + + − − + + − − − 
 
15
7
157
−=⇒
=−⇒
C
C
 
 
 
 
2. Determine 
2
3 2
4 9 1
2 2
x x
dx
x x x
+ −
+ − −∫
 
 Solución: 
Factoricemos la función polinómica del denominador: 
3 2( ) 2 2 ( 1)( 1)( 2)Q x x x x x x x= + − − = + − + 
Así, separando en fracciones parciales, se tiene que 
45 
 
2 2
3 2
4 9 1 4 9 1
(1)
( 1)( 1)( 2) 1 1 22 2
x x x x A B C
x x x x x xx x x
+ − + −= = + +
+ − + + − ++ − − 
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)
( 1)( 1)( 2)
A x x B x x C x x
x x x
− + + + + + + −=
+ − +
 
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así: 
24 9 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x x A x x B x x C x x+ − = − + + + + + + − 
Ordenando y agrupando: 
2 24 9 1 ( ) ( 3 ) 2 2x x A B C x A B x A B C+ − = + + + + − + − 
De aquí, se tiene: 
 
4
3 9
2 2 1
A B C
A B
A B C
+ + =
 + =
− + − = −
 
Resolviendo, se tiene: 
 3A = , 2B = y 1C = − 
Reemplazando en (1), se tiene: 
 
2
3 2
4 9 1 3 2 1
1 1 22 2
x x
x x xx x x
+ − = + +
+ − ++ − −
 
Integrando en ambos lados, tenemos: 
2
3 2
4 9 1 3 2 1 3 2 1
1 1 2 1 1 212 2
x x
dx dx dx dx dx
x x x x x xx x x
+ −  = + + = + + + − + + − ++ − −  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
 ( ) ( )
C
x
xx
Cxxx
+
+
−+=
++−−++=
2
11
ln
2ln1ln21ln3
23
 
 
b) Cuando en la integral 
( )
( )
P x
dx
Q x∫ , la función polinómica ( )Q x se descompone en 
factores lineales algunas repetidas, suponiendo que x b± es el factor lineal que se 
repite p veces, es decir: 
 
1 1
veces
( ) ( )( )...( )( )...( ) ( ) ( )...( )pp n p n
p
Q x x b x b x b x b x b x b x b x b+ += ± ± ± ± ± = ± ± ±���������
 
A la función racional 
( )
( )
P x
Q x
se expresa como una suma de funciones simples. 
 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ). . . ( )p p n
P x P x
Q x x b x b x b+
=
± ± ±
 
46 
 
11 2
1 2
1
. . . .
( ) ( ) ( )
p p n
p
p n
A A AA A
x b x bx b x b x b
+
+
= + + + + + +
± ±± ± ±
… 
Integrando en ambos lados se tiene 
11 2
1 2
1
( )
. . . .
( ) ( ) ( ) ( )
p p n
p
p n
A A AA AP x
dx dx
Q x x b x bx b x b x b
+
+
 
= + + + + + +  ± ±± ± ± ∫ ∫
… 
11 2
1 2
1
( )
( ) ( ) ( ) ( )
p p n
p
p n
A A AA AP x
dx dx dx dx dx dx
Q x x b x bx b x b x b
+
+
= + + + + + +
± ±± ± ±∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫⋯ ⋯
 
 
Donde: 1 2, ,..., nA A A son constantes que se van a determinar. 
Ejemplos: 
1. Determine 2( 3)
x
dx
x −∫ 
Solución: 
Ahora la descomposición toma la forma: 
( )22( 3) 3 3
x A B
x x x
= +
− − −
 
Con A y B por determinar. Después de quitar fracciones, obtenemos: 
( 3)x A x B= − + 
Si ahora sustituimos el valor 3x = , se obtiene 3B = . 
y para cualquier otro valor, tal como 0x = , y conociendo el valor 3B = : 
0 (0 3) 3A= − + , se tiene 1A = . Así: 
 2 2
1 1
3
( 3) 3 ( 3)
x
dx dx dx
x x x
= +
− − −∫ ∫ ∫ 
 
3
ln 3
3
x C
x
= − − +
−
 
2. Determine ( )( )∫ −+
+−
dx
xx
xx
2
2
13
1383
 
Solución: 
Descomponemos el integrando de la manera siguiente: 
2
2 2
3 8 13
( 3)( 1) 3 1 ( 1)
x x A B C
x x x x x
− + = + +
+ − + − −
 
Quitando las fracciones esto cambia a: 
)3()1)(3()1(1383 22 ++−++−=+− xCxxBxAxx 
Los puntos críticos son: 1x = , 3x = − 
Al reemplazar estos valores se obtiene: 
Cuando 1x = , entonces 2C = 
Cuando 3x = − , entonces 4A = 
47 
 
Luego reemplazando los valores de 4A = , 2C = y 0x = en la última igualdad 
se obtiene 1B = − . Entonces: 
 
2
2 2
3 8 13
4 2
( 3)( 1) 3 1 ( 1)
x x dx dx dx
dx
x x x x x
− + = − +
+ − + − −∫ ∫ ∫ ∫ 
 
2
4 ln 3 ln 1
1
x x C
x
= + − − − +
−
 
3. Determine ( )( )∫ +−
−
dx
xx
x
211
3
 
Solución: 
 
2
A B C
I dx dx dx
(x 1) (x 1) (x 1)
= + +
− + +∫ ∫ ∫ (1) 
Calculo de A, B y C: 
 
2 2
x 3 A B C
(x 1) (x 1)(x 1)(x 1) (x 1)
− = + +
− +− + +
 
 
 )1()1)(1(2)1(3 −++−++=− xCxxBxAx (2)Como esta igualdad se cumple para cualquier x, entonces en particular se 
cumplirá para 1x = y 1−=x . Es decir. 
Para 1=x implica 
2
1−=A 
Para 1−=x implica 2=C . 
Remplazando los valores de 
2
1−=A y 2=C y 0=x en (2) se tiene: 
 )1(2)1(
2
1
3 −+−+−=− B 
 
2
1=⇒ B 
Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1) tenemos: 
( )
C
x
xx
dx
x
dx
x
dx
x
I
+
+
−++−−=
+
+
+
+
−
−= ∫∫∫
1
2
1ln
2
1
1ln
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
 
c) Cuando en la integral 
( )
( )
P x
dx
Q x∫ , la función polinómica ( )Q x se descompone en 
factores lineales y cuadráticos irreducibles y ninguno se repite, es decir: 
 
( )( ) ( )2 2 21 1 1 2 2 2 1( ) ( )...( )p p p p nQ x a x b x c a x b x c a x b x c x b x b+= + + + + + + ± ±… 
48 
 
A la función racional 
( )
( )
P x
Q x
se expresa como una suma de funciones simples: 
 
( )( ) ( )2 2 21 1 1 2 2 2 1
( ) ( )
( ) ( ) . . . ( )p p p p n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c x b x b+
=
+ + + + + + ± ±…
 
11 1 2 2
2 2 2
11 1 1 2 2 2
. . . .p p p n
p np p p
A x B A AA x B A x B
x b x ba x b x c a x b x c a x b x c
+
+
++ += + + + + + +
± ±+ + + + + +
… 
Integrando en ambos lados se tiene: 
11 1 2 2
2 2 2
11 1 1 2 2 2
( )
. . . .
( )
p p p n
p np p p
A x B A AA x B A x BP x
dx dx
Q x x b x ba x b x c a x b x c a x b x c
+
+
 ++ +
 = + + + + + +
 ± ±+ + + + + + 
∫ ∫ …
 
1 1 2 2
2 2 2
1 1 1 2 2 2
( )
( )
p p
p p p
A x BA x B A x BP x
dx dx dx dx
Q x a x b x c a x b x c a x b x c
++ += + + +
+ + + + + +∫ ∫ ∫ ∫⋯ 
1
1
p n
p n
A A
dx dx
x b x b
+
+
+ + +
± ±∫ ∫⋯ 
 
Donde: 1 2 1 2, ,..., , , , ,n pA A A B B B… son constantes que se van a determinar. 
Ejemplos: 
1. Determine 
( )( )2
5
1 1
x
dx
x x x
+
− + +∫
 
Solución: 
Trabajando con el integrando: 
 
( )( ) 22
5
1 11 1
x A Bx C
x x xx x x
+ += +
− + +− + +
 
 
( ) ( ) ( )
( )( )
2
2
1 1
1 1
A x x Bx C x
x x x
+ + + + −
=
− + +
 
Quitando el denominador: 
 ( ) ( ) ( )25 1 1x A x x Bx C x+ = + + + + − 
 ( ) ( )25x A B x A B C x A C+ = + + − + + − 
Por identidad de polinomios, obtenemos el siguiente sistema: 
0
1
5
A B
A B C
A C
+ =
 − + =
 − =
 
Resolviendo se obtiene : 2A = , 2B = − , C=-3 
Sustituyendo los valores de A, B y C, se obtiene: 
49 
 
( )( ) 22
5 2 2 3
1 11 1
x x
x x xx x x
+ − −= +
− + +− + +
 
Luego, en la integral: 
 
( )( ) ∫∫∫ ++
−−+
−
=
++−
+
dx
xx
x
dx
x
dx
xxx
x
1
32
1
2
11
5
222 
 ∫ ++
+−−= dx
xx
x
x
1
32
1ln2
2
 
 



++
+
++
+−−= ∫∫ dxxx
dx
xx
x
x
1
1
2
1
12
1ln2
22
 
 






















+




 +
+++−−= ∫ dx
x
xxx
22
2
4
3
2
1
1
21ln1ln2 
( )( ) C
x
xxxdx
xxx
x
C
x
xxx
+




 +−++−−=
++−
+
+












+
−++−−=
∫ 3
12
arctan
3
4
1ln1ln2
11
5
4
3
2
1
arctan
3
4
1ln1ln2
2
22
2
 
 
2. Determine ∫ +
dx
x
x
13
 
Solución: 
 
3 2
x A Bx C
I dx dx dx
x 1x 1 x x 1
+= = +
++ − +∫ ∫ ∫ (1) 
Calculo de A, B y C: 
 
3 2
x A Bx C
(x 1)x 1 x x 1
+= +
++ − +
 
 
 ( ) ( )( )112 ++++−= xCBxxxAx (2) 
 
Como esta igualdad se cumple para cualquier x, entonces en particular: 
Para 1−=x implica 
3
1−=A 
Para 0=x , 
3
1−=A implica 
3
1=C 
50 
 
Para 1=x , 
3
1−=A y 
3
1−=C implica 
3
1=B : 
Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1) se tiene: 
∫∫
∫∫∫
+−
+
+−
−++−=
+−
++
+
−=
+
dx
xx
dx
xx
x
x
dx
xx
x
dx
x
dx
x
x
1
1
2
1
1
12
6
1
1ln
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
22
23
 
 2
2
1 1 1 1
ln x 1 ln x x 1 dx
1 33 6 2 (x )
2 4
= − + + − + +
− +
∫ 
 C
x
xxx +




 −++−++−=
3
12
arctan
3
1
1ln
6
1
1ln
3
1 2
 
d) Cuando en la integral 
( )
( )
P x
dx
Q x∫ , la función polinómica ( )Q x se descompone en 
factores lineales y cuadráticos irreducibles repetidos, es decir: 
 
 ( )( ) ( )2 2 2 1
veces
( ) ( )...( )p n
p
Q x ax bx c ax bx c ax bx c x b x b+= + + + + + + ± ±…
������������������� 
 
( )2 1( )...( )p p nax bx c x b x b+= + + − − 
A la función racional 
( )
( )
P x
Q x
se expresa como una suma de funciones simples 
( )2 1
( ) ( )
( ) ( ) . . . ( )
p
p n
P x P x
Q x ax bx c x b x b+
=
+ + ± ±
 
11 1 2 2
2 1 2 2 2
1
. . . .
( ) ( ) ( )
p p p n
p
p n
A x B A AA x B A x B
x b x bax bx c ax bx c ax bx c
+
+
++ += + + + + + +
± ±+ + + + + +
…
 
Integrando en ambos lados se tiene 
11 1 2 2
2 2 2 2
1
( )
. . . .
( ) ( ) ( ) ( )
p p p n
p
p n
A x B A AA x B A x BP x
dx dx
Q x x b x bax bx c ax bx c ax bx c
+
+
 ++ += + + + + + +  ± ±+ + + + + + ∫ ∫
…
1 1 2 2
2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( )
p p
p
A x BA x B A x BP x
dx dx dx dx
Q x ax bx c ax bx c ax bx c
++ += + + +
+ + + + + +∫ ∫ ∫ ∫⋯ 
1
1
p n
p n
A A
dx dx
x b x b
+
+
+ + +
± ±∫ ∫⋯ 
 
Donde: 1 2 1 2, ,..., , , , ,n pA A A B B B… son constantes que se van a determinar. 
Ejemplos: 
51 
 
1. Determine 
( )( )∫ +−
+−+
dx
xx
xxx
22
24
21
144134
 
Solución: 
Trabajando con el integrando: 
4 2
2 2 2 2 2
4x 13x 4x 14 A Bx C Dx E
x 1(x 1)(x 2) x 2 (x 2)
+ − + + += + +
−− + + +
 
Luego, en la integral se tendría: 
4 2
2 2 2 2 2
4x 13x 4x 14 A Bx C Dx E
dx dx dx dx
x 1(x 1)(x 2) x 2 (x 2)
+ − + + += + +
−− + + +∫ ∫ ∫ ∫ (1) 
Determinemos los valores de A, B, C y D: 
4 2
2 2 2 2 2
4x 13x 4x 14 A Bx C Dx E
x 1(x 1)(x 2) x 2 (x 2)
+ − + + += + +
−− + + +
 
)24()22(
)24()()(144134 23424
ECAxEDBC
xDCBAxBCxBAxxx
−−++−−+
++−++−++=+−+
 
Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de x, tenemos el 
siguiente sistema: 








=−−
−=+−−
=+−+
=−
=+
1424
422
1324
0
4
ECA
EDBC
DCBA
BC
BA
 
La solución del sistema anterior es A = 3, B = 1, C = 1, D = 0, E = –4. 
 
Entonces reemplazando estos valores en (1) se tiene: 
( )( ) ( )
( )
( ) Cx
xx
xx
dx
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xxx
+





+
+




−++−=
+
−
+
++
−
=
+
−+
+
++
−
=
+−
+−+
∫∫∫
∫ ∫∫∫
242
arctan
8
2
42ln
2
1
1ln3
2
1
4
2
1
1
1
3
2
4
2
1
1
3
21
144134
2
2
222
22222
24
 
2. Determine ( )∫ + dxxx 22 1
1
 
Solución: 
Trabajando con el integrando: 
 
( ) ( )2 222 2
1
11 1
A Bx C Dx E
x xx x x
+ += + +
++ +
 
52 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )22 21 1 1A x Bx C x x Dx E x= + + + + + + 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) AxECxDBACxxBA
ExDxxxCxxBxxA
++++++++=
++++++++=
234
232424
21
121
 
Si igualamos los coeficientes, obtenemos el siguiente sistema: 








=
=+
=++
=
=+
1
0
02
0
0
A
EC
DBA
C
BA
 
Resolviendo este sistema se obtiene: 01,0,1,1 =−==−== EDCBA y , 
luego en la integral se tiene: 
( ) ( )
( )
( ) Cxxx
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
EDx
dx
x
CBx
dx
x
A
dx
xx
+
+
++−=
+
−
+
−=
+
++
+
++=
+
∫∫∫
∫∫∫∫
12
1
1ln
2
1
ln
11
1
111
1
2
2
222
22222
 
 
CASO II: FUNCIÓN RACIONAL IMPROPIA (Grado [P(x)]>Grado [Q(x)]) 
En este caso lo primero que se debe de hacer es realizar la división ( ) ( )P x Q x÷ y esta 
división transformará la expresión dada en otra equivalente en donde será posible 
aplicar el caso 1. 
Es decir, 
 
( ) ( )
( ) ( )
P x Q x
R x C x
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
P x R x
C x
Q x Q x
⇒ = + 
( ) ( )
( )
( ) ( )
P x R x
dx C x dx
Q x Q x
 
⇒ = + 