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Asimetría materia-antimateria y masa de
los neutrinos a partir del modelo de
Leptogénesis
Alejandro Ferrero Botero
Presentado al departamento de Física de la Universidad de
los Andes
Bogotá, julio de 2004
1
Tabla de Contenido
1. Introducción ................................................................................................4
2. Conocimientos preliminares .....................................................................6
2.1 Modelo Standard de partículas ........................................................6
2.2 Modelos simétrico y supersimétrico ................................................7
2.3 Modelo cosmológico del universo .....................................................8
3. El Big Bang caliente .................................................................................11
3.1 Cálculo de las variables termodinámicas .....................................11
3.2 Obtención de la constante de Hubble ...........................................16
3.3 Entropía en el universo temprano ..................................................17
4. Asimetría CP generada por neutrinos pesados .................................19
4.1 El mecanismo "see saw" ..................................................................19
4.2 Límites para la asimetría CP ..........................................................20
5. El modelo de Leptogénesis .....................................................................27
5.1 Surgimiento, explicación y condiciones ......................................27
5.2 Procesos de "Esfalerones" ...............................................................27
6. Obtención, desarrollo y análisis de resultados a partir
de las Ecuaciones de Boltzmann ..........................................................32
6.1 La Ecuación de Boltzmann .............................................................32
6.2 Aplicaciones de la Ecuación de Boltzmann
en Leptogénesis .................................................................................36
6.3 Planteamiento de las ecuaciones ....................................................36
6.4 Resultados numéricos .......................................................................42
6.4.1 Término de decaimiento ........................................................49
6.4.2 Término de dispersión ...........................................................54
2
6.5 Valores permitidos y más probables para los
parámetros libres ...............................................................................58
6.6 Comparación de resultados obtenidos con
resultados previos ..............................................................................62
6.7 Análisis de resultados y conclusiones ............................................64
7. Sumario ........................................................................................................67
Apéndices
A El experimento Superkamiokande .................................................68
B Oscilaciones de neutrinos solares y atmosféricos ........................68
C Funciones modificadas de Bessel ....................................................70
D Cálculos para nEQN1 y ΓD.......................................................................71
E Secciones transversales en los procesos de dispersión ................74
F Constantes Físicas y unidades ........................................................77
F.1 Constantes universales ..............................................................77
F.2 Unidades de Planck ....................................................................78
F.3 Conversiones ................................................................................79
3
1 Introducción
Muchas veces nos preguntamos por qué existe materia más no antimateria en el
universo, esto es y ha sido un gran reto para la física de partículas y para la cosmología.
Ultimamente estas dos ramas que parecían tan separadas; gracias a los últimos
descubrimientos están hoy en día tan íntimamente relacionadas y no puede descono-
cerse su conexión.
Leptogénesis provee una simple y elegante explicación de esta cuestión. Es un bello
mecanismo y conexión entre la asimetría bariónica y las propiedades de los neutrinos.
Veremos que la leptogénesis requiere la existencia de violación CP, producida en
interacciones de los neutrinos pesados de Majorana, los compañeros de los neutrinos
izquierdos en el modelo seesaw. Una leptogénesis exitosa, exige restricciones para
las masas de los neutrinos livianos y pesados, se verán aquellas restricciones y como
están relacionadas con lo que se conoce.
De acuerdo con los resultados del WAMP, se acepta una asimetría bariónica [5]
ηb ≡
nb − nb
nγ
= (6.3± 0.3)× 10−10. (1.1)
Los experimentos en el laboratorio Superkamiokande en el Japón, sugieren unos
valores para neutrinos solares y atmosféricos de [3]
∆m2sol = (7.1
+1.2
−0.6)× 10−5eV 2, (1.2)
∆m2atm = (2.6± 0.4)× 10−3eV 2. (1.3)
Soluciones a las ecuaciones de Botzmann mostrarán la evolución del universo en
función de la temperatura y por lo tanto, veremos como estas implicarán restricciones
para las masas de los neutrinos y los parámetros libres del modelo en cuestión. De
acuerdo con el modelo, habrá una dependencia en cuatro parámetros libres; la masa
del neutrino pesado más liviano M1, la masa liviana efectiva em1, la asimetría CP
generada por los neutrinos pesados ε1, y la suma de los cuadrados de los neutrinos
livianos m2.
Como veremos, leptogénesis está cercamente relacionada a la clásica GUT
bariogénesis, donde desviaciónes de la función de distribución para ciertas partículas;
proporcionarán la necesaria salida del equilibrio térmico.
Se trabajará en un escenario mínimo donde sólo el neutrino pesado más liviano
N1 proporciona grados de libertad extra al modelo Standard, además sólo se tendrán
en cuenta las principales interacciones entre las partículas, debido a la dificultad que
presenta la inclusión de todos los términos. Se aclara que en los cálculos se trabaja
en unidades naturales, con ~ = c = k = G = 1, sólo aparecerán dichas constantes
cuando se presenten cálculos numéricos.
4
El modelo deberá cumplir además, todas las reglas de Shakarov provistas para la
existencia de un universo sin la existencia de antimateria.
Futuros experimentos más precisos sobre mediciones de asimetría bariónica y
masas de los neutrinos podrán mostrar la validéz o no de esta teoría y que tan cerca
está la teoría existente sobre la correcta naturaleza del universo.
5
2 Conocimientos preliminares
Resulta conveniente, recordar algunos conceptos importantes de la física, con el fin
de lograr en el lector, una mayor claridad en los cálculos posteriores.
2.1 Modelo Standard de partículas
Es el modelo existente en la física de partículas compuesto por tres clases de partículas
elementales: leptones, quarks y mediadores; la visión actual es que los leptones y los
quarks responden a determinada interacción mediante el intercambio de una partícula
portadora de fuerza conocida como unmediador. Cabe recordar que hasta el momento
se conocen 4 clases de interacciones que son de la más fuerte a la más débil; La fuerza
nuclear fuerte, la fuerza electromagnética, la nuclear débil y la gravitacional. Hasta
el momento no se tiene una explicación cuántica de la fuerza gravitacional, es por eso
que dicha interacción no está incluida hasta ahora en el modelo Standard.
En el momento se conocen seis clases de leptones clasificados en tres familias, cada
uno con una carga determinada y una propiedad asignada llamada número leptónico,
subdividida en tres clases (electrónico, muónico y tauónico).
Propiedad l Q Le Lµ Lτ
e −1 1 0 0
Primera generación νe 0 1 0 0
µ −1 0 1 0
Segunda generación νµ 0 0 1 0
τ −1 0 0 1
Tercera generación ντ 0 0 0 1
Tabla 1: Clasificación leptónica.
También se conocen seis clases de quarks clasificados en la misma cantidad de
familias, a los quarks se les asigna otra propiedad como el número de extrañeza, de
encanto, debelleza y de verdad.
Propiedad q Q D U S C B T
Primera generación d −1/3 −1 0 0 0 0 0
u +2/3 0 1 0 0 0 0
Segunda generación s −1/3 0 0 −1 0 0 0
c +2/3 0 0 0 1 0 0
Tercera generación b −1/3 0 0 0 0 −1 0
t +2/3 0 0 0 0 0 1
Tabla 2: Clasificación de los quarks.
6
Cada quark además, puede poseer uno de tres tipos de colores posibles.
Existen además antileptones y antiquarks, con signos contrarios en la carga y en
otras propiedades asignadas como el número leptónico y bariónico respectivamente.
Las partículas mediadoras correspondientes a cada interacción son:
• Fuerte: 8 gluones.
• Electromagnética: 1 fotón.
• Débil: W+, W−, Z0.
• Gravitacional: 1 gravitón.
Aunque se menciona el gravitón, no se tiene la certeza de su existencia.
Existen modelos como los supersimétricos que no están incluidos en el modelo
Standard
2.2 Modelos simétrico y supersimétrico
Ultimamente en la física, se han encontrado algunas cuestiones que el modelo Stan-
dard no puede explicar, una de esas cosas es la asimetría entre materia y antimateria,
también se puede considerar el problema de la gravedad como una interacción funda-
mental, entre otros.
Debido a este inconveniente, se han venido creando modelos más allá del mod-
elo Standard como los modelos supersimétricos, estos modelos incluyen otro tipo de
partículas llamadas supersimétricas, al igual que los llamados neutrinos superpesados
de Majorana; los cuales no están incluidos en el modelo.
Por simetría se podría entender como una operación que conserva una ley funda-
mental.; por ejemplo, la traslación en el tiempo conserva la energía, la traslación en
el espacio conserva el momento, la rotación conserva el momento angular, así como
una transformación de Gauge conserva la carga.
El conjunto de las operaciones simétricas debe cumplir las siguientes propiedades
[11]:
1. La Clausura, si dos elementos, pertenecen al grupo, también lo hace el producto.
2. La identidad, existe un elemento neutro en el conjunto tal que I(Ri) = Ri (I) =
Ri.
3. Inversión, para cada Ri, existe un R−1i tal que RiR
−1
i = I.
4. Asociatividad, Ri(RjRk) = (RiRj)Rk.
7
El estudio de simetrías está contenido en la teoría de grupos, si un grupo es
conmutativo se llama abeliano.
La mayoría de los grupos de interés para la física, son grupos de matrices, por
ejemplo: el grupo de Loretz es el grupo de las matrices 4× 4 usadas en relatividad.
Las principales clases de grupos de estudio en física serán mostradas a contin-
uación:
• U(n) Grupo de matrices n× n unitarias
• SU(n) Grupo de matrices n× n unitarias con determinante 1.
• O(n) Grupo de matrices n× n ortogonales
• SO(n) Grupo de matrices n× n ortogonales con determinante 1.
Además de los modelos simétricos, en la física de partículas se han propuesto dis-
tintos modelos supersimétricos, los cuales incluyen nuevas partículas supersimétricas,
pero son mucho más complicados y las dimensiones del espacio son mayores. En cada
modelo se introducen varias constantes que cambian de un modelo a otro y varían los
valores calculados.
2.3 Modelo cosmológico del universo
Es el modelo que describe como evoluciona el universo a través del tiempo.
El modelo actual del universo, debe explicar la expansión del universo, la existen-
cia de la radiación de fondo de microondas, la homogeneidad e isotropía del universo
y otros hechos que se han podido observar y medir en los últimos años como la edad
de meteoritos y de algunos elementos.
Uno de los modelos más antiguos y a la vez más consistentes del universo; trabaja
con la famosa métrica conocida como la métrica Robertson Walker definida como
dτ2 = dt2 −R2(t)
µ
dr2
1− kr2 + r
2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2
¶
, (2.1)
donde R(t) es conocido como el factor de escala, k toma valores −1, 0, 1 y se refiere
a la curvatura del universo.
Un valor negativo de k implica un universo abierto donde el universo se expande
indefinidamente, un valor nulo produce un universo plano que nunca colapsa pero
la velocidad de expansión frena con el tiempo, mientras que un valor positivo de k
implicaría un universo cerrado que se expande y luego colapsa.
La obtención del modelo se obtiene a partir de la ecuación de campo de Einstein
definida como
Rµν −
1
2
Rgµν = Gµν = 8πGTµν + Λgµν, (2.2)
8
donde R se conoce como el tensor de Ricci, g es el tensor métrico, Λ es la constante
cosmológica, de gran importancia para modelos inflacionarios, y T es el llamado
Tensor de “stress”.
Luego del cálculo de los coeficientes de conexión, el tensor de Ricci y el tensor de
“stress” [1] la ecuación de campo para esta métrica se reduce a⎛⎝ ·R
R
⎞⎠2 + k
R2
=
8π
3
ρ+
Λ
3
. (2.3)
Definimos H(t) a la constante de Hubble como
H (t) =
•
R(t)
R(t)
. (2.4)
La ecuación de Friedmann puede ser integrada puede para dar la edad del uni-
verso en términos conocidos. Se sabe que la densidad de energía, ρ
ρ0
=
³
R
R0
´−3
para
un universo dominado por materia y ρ
ρ0
=
³
R
R0
´−4
para un universo dominado por
radiación. Con estas relaciones la ecuación de Friedmann en términos actuales se
reduce a
⎛⎝ ·R
R0
⎞⎠2 + k
R20
=
8π
3
ρ0
R0
R
+
Λ
3
(MD), (2.5)
⎛⎝ ·R
R0
⎞⎠2 + k
R20
=
8π
3
ρ0
µ
R0
R
¶2
+
Λ
3
(RD). (2.6)
Distintos modelos cosmológicos pueden ser obtenidos para distintos valores de
los parámetros ya mencionados, por ejemplo, el universo se considera dominado por
radiación hasta unos 300.000 años después de su creación, luego se considera dominado
por materia.
Hoy en día se considera que la curvatura del universo es plana y que existe una
constante cosmológica diferente de cero repulsiva, muy importante en el universo ac-
tual y en los primeros instantes de inflación antes de unos 10−33seg cuando todavía
no dominaba la radiación. Como consecuencia de este término se considera la expan-
sión acelerada exponencialmente muy al comienzo (conocida como inflación) desde el
tiempo de Planck hasta el tiempo ya mencionado.
Como es de esperarse; hoy en día el universo es dominado por materia, aunque
realmente el término más importante es el de la energía del vacío, que alcanza un 72%
9
de la densidad observada mientras que la primera alcanza tan sólo un poco menos
del 28% de esta [7].
Este hecho es respaldado por las últimas observaciones de supernovas que mues-
tran una aceleración en el cosmos que no se esperaba anteriormente.
10
3 El Bing Bang caliente
En la siguiente sección, nos dedicaremos a ver como fue la evolución termodinámica
del universo en sus primeros instantes del tiempo, además se encontrarán relaciones
para algunas magnitudes físicas de interés tales como la constante de Hubble, la
densidad de entropía, y otras cantidades que serán de gran importancia en los cálculos
posteriores.
Es bueno también, tener una idea acerca de la forma como se expandió el uni-
verso y ver que consecuencias puede traer esto sobre el universo actual. Se podrá
apreciar, como es de esperarse, que el universo en sus primeros instantes fue ex-
tremadamente caliente y gracias a esto, se generaron las condiciones apropiadas para
lograr la situación actual de este.
3.1 Cálculo de las variables termodinámicas
La evolución del universo en función del tiempo puede ser calculada, sin embargo
para los cálculos utilizados es más conveniente obtener relaciones para la constante
de Hubble en función de la temperatura; para esto usamos las relaciones conocidas
para el número de densidad n, densidad de energía ρ, y presión p para el universo
que se considera como un gas débilmente interactuante con un número de grados de
libertad g para cada especie en términos del espacio de fase y la función de distribución
f(p), así [2]
n =
g
(2π)3
Z
f(−→p )d3p, (3.1)
ρ =
g
(2π)3
Z
E(−→p )f(−→p )d3p, (3.2)
p =
g
(2π)3
Z |−→p |2
3E
f(−→p )d3p. (3.3)
donde la energía total relativista E viene dada por E2 = |−→p |2 +m2. La función f
conocida como la función de ocupación viene dada para especies en equilibrio térmico
como:
f(−→p ) = (e(E−µ)/T ± 1)−1 (3.4)
Donde µ representa el potencial químico de cada especie definido como µj =³∂E
∂Nj
´
E,V,N
, su significado físico es la energía libre de Gibbs por partícula. Otra posi-
ble interpretación es la energía necesitada para poner la partícula en dicha configu-
ración. En equilibrio químico el potencial químico de la especie, se puede relacionar
a los de las otras especies con las que esta interactua. Por ejemplo, para relaciones
del tipo i + j ↔ k + l los potenciales químicos de las especies se relacionan como:
11
µi + µj = µk + µl. [2]. Esto es debido a que se puede asumir que en total el número
de partículas no cambia por la existencia del equilibrio. El signo en (3.4) proviene
de la diferencia de estadísticas, siendo (−1) para fermiones y (+1) para bosones. El
espacio de fase d3p en coordenadas esféricas es d3p = p2dp sin θdθdϕ.
A partir del equilibrio térmico y las relaciones anteriores, se concluye que la den-
sidad de partículas n, la densidad de energía ρ, y la presión p, para una especie con
masa m, potencial químico µ, y a una temperatura T viene dada por
n =
g
2π2
∞Z
m
(E2 −m2)1/2
e(E−µ)/T ± 1 EdE, (3.5)
ρ =
g
2π2
∞Z
m
(E2 −m2)1/2
e(E−µ)/T ± 1 E
2dE, (3.6)
p =
g
6π2
∞Z
m
(E2 −m2)3/2
e(E−µ)/T ± 1 dĖ. (3.7)
Las ecuaciones anteriores no pueden ser resueltas analíticamente, sin embargo
existen aproximaciones para límites relativistas y no relativistas, de esta manera se
obtiene:
En el caso relativista (T >> m) y (T >> µ),
n =
(
ζ(3)
π2
gT 3 (BOSE)
3
4
ζ(3)
π2
gT 3 (FERMI)
)
, (3.8)
ρ =
½ π2
30
gT 4 (BOSE)
7
8
π2
30
gT 4 (FERMI)
¾
, (3.9)
p =
ρ
3
, (3.10)
donde ζ(3) ' 1.20206... es la función de Riemann en 3.
Para fermiones degenerados (µ >> T )
n =
1
6π2
gµ3, (3.11)
ρ =
1
8π
gµ4, (3.12)
p =
ρ
3
. (3.13)
Para bosones o fermiones relativísticos con µ < 0 y |µ| < T [2]
12
n =
eµ/T
π2
gT 3, (3.14)
ρ =
eµ/T
π2
3gT 4, (3.15)
p =
ρ
3
. (3.16)
Y en el límite no relativista (m >> T ) [2]
n = g
µ
mT
2π
¶3/2
e−(m−µ)/T , (3.17)
ρ = mn, (3.18)
p = nT << ρ. (3.19)
La energía promedio por partícula se calcula como:
Para especies relativistas
hEi ≡ ρ
n
=
π4
30ζ(3)
T ' 2.701T (BOSE), (3.20)
hEi ≡ ρ
n
=
7π4
180ζ(3)
T ' 3.151T (FERMI). (3.21)
Para fermiones degenerados
hEi ≡ ρ
n
=
3
4
µ. (3.22)
Para especies no relativistas
hEi = m+ 3
2
T , (3.23)
usando un límite pseudo-relativista donde la energía en reposo es m y el término
3
2
T viene del teorema de equipartición, donde asumimos al universo como un gas
monoatómico (debido a que todas las partículas están totalmente separadas, esto de-
bido a la alta temperatura que no permite la formación de compuestos más complejos)
con tres grados de libertad (traslacionales).
Se puede calcular una diferencia entre las especies fermiónicas y antifermiónicas;
asumiendo la relación entre los potenciales químicos µ + µ = 0 (Lo cual ocurre en
las reacciones i + i ↔ γ + γ que ocurren rápidamente). De esta forma, podríamos
calcular una densidad neta de fermiones como
13
n+ − n− =
g
2π2
Z ∞
m
E(E2 −m2)1/2dE ×
µ
1
1 + e(E−µ)/T
− 1
1 + e(E+µ)/T
¶
=
gT 3
6π2
∙
π2
³µ
T
´
+
³µ
T
´3¸
(T >> m), [2] (3.24)
= 2g
µ
mT
2π
¶3/2
sinh
³µ
T
´
e−m/T (T << m). [2] (3.25)
El factor ηB =
nB−nB
nγ
(asimetría bariónica) donde nγ es la densidad de fotones
(ver más adelante) podría ser calculado, sin embargo no obtendríamos un buen valor
debido a la poca presición de (3.24) al no incluir las reacciones adecuadas y suficientes
para las especies en cuestión, el cálculo más preciso para ηB se obtiene resolviendo
las ecuaciónes de Boltzmann (ver capítulo 6).
La densidad de energía y presión de todas las especies en equilibrio puede ser
expresada en función de la temperatura del fotón o de fondo T como [2]
ρR = T
4
X
i
µ
Ti
T
¶4
g
2π2
Z ∞
m
(u2 − z2i )1/2u2
e(u−yi) ± 1 du, (3.26)
pR = T
4
X
i
µ
Ti
T
¶4
g
6π2
Z ∞
m
(u2 − z2i )3/2
e(u−yi) ± 1 du, (3.27)
donde i cuenta para todas las especies, zi ≡ miT , yi ≡
µi
T
, se ha asumido que todas las
especies están en equilibrio térmico, pero no necesariamente a la misma temperatura
de los fotones.
Debido al decaimiento exponencial de las especies no relativísticas (3.17) - (3.19),
una buena aproximación puede darse si solamente tenemos en cuenta las especies
relativistas, para ello tenemos
ρR =
π2
30
g∗T
4, (3.28)
pR =
ρR
3
, (3.29)
donde g∗ se refiere al número efectivo de grados de libertad para especies conm << T
, la forma de calcular g∗ es
g∗ =
X
i
gi
µ
Ti
T
¶4
+
7
8
X
j
gj
µ
Ti
T
¶4
, (3.30)
donde i cuenta bosones, y j cuenta fermiones, el factor 7
8
proviene de la diferencia de
estadísticas (3.9). Es importante resaltar que g∗ es una función de la temperatura, y
14
no permanece constante a lo largo de la historia del universo, esto debido a que este
se enfría con el tiempo, reduciendo el número de partículas en equilibrio térmico, a
continuación se mostrara g∗ para las distintas partículas del modelo Standard:
• g = 6 para cada quark y antiquark (2 polarizaciones y 3 colores).
• g = 3 para W+,W− y Z0 (2 por ser mediadores vectoriales y masivos).
• g = 2 para los gluones, γ, e−, e+, µ−, µ+, τ−, τ+ (2 polarizaciones).
• g = 1 para νe, νe, νµ, νµ, ντ , ντ (sólo tienen una polarización). Esto si los neutri-
nos se consideran de Dirac, si se consideran de Majorana, osea que el neutrino
es su mismo antineutrino g = 2 y sólo existirían 3 neutrinos. De todas maneras
las dos concepciones producen un total de g = 6 para todos ellos.
• g = 1 para el Higgs por ser el campo de Higgs escalar.
De esta forma se puede calcular g∗ para distintos valores de temperatura:
Para T > 300 GeV, todas las partículas del modelo Standard están en equilibrio
térmico, asi
g∗ = ((2× 8) + 2 + 3 + 3 + 3 + 1) +
7
8
((6× 12) + (2× 6) + (1× 6)) = 106.75.
(3.31)
Para 100 MeV > T > 1 MeV solamente están en equilibrio térmico; γ, e−, e+, 3
neutrinos y 3 antineutrinos, así
g∗ = 2 +
7
8
((2× 2) + (1× 6)) = 10.75. (3.32)
Para T < 1 MeV, las únicas partículas en equilibrio térmico son el γ, los 3
neutrinos y los 3 antineutrinos.
En este caso sin embargo; la temperatura de equilibrio para los neutrinos no es la
misma que la de los fotones; esto es debido a que cuando lo neutrinos se desacoplan
del plasma a temperaturas por debajo de 1 MeV [2](la temperatura necesaria para
decaimientos del tipo e−+ e+ ↔ v+ ν) la entropía de los electrones y positrones que
también se desacoplan del plasma se transmite a los fotones, mas no a los neutrinos,
(esto es debido a que los electrones y positrones están en equilibrio con los fotones
más no con los neutrinos). Los fotones aportan g∗ = 2 mientras que los fotones mas
e− + e+ aportan g∗ = 112 , como T ∝ R−1g−1/3 (ver más adelante) podemos ver que
Tν
(g∗(γ))−1/3
=
Tγ
(g∗ (γ + e− + e+))
−1/3 =⇒
Tν
2−1/3
=
Tγ¡
11
2
¢−1/3
15
por lo que
Tγ
Tν
=
µ
4
11
¶1/3
' 1.40. (3.33)
De esta forma la temperatura de equilibrio actual para los neutrinos sería de 1.95
◦K, teniendo en cuenta que la temperatura de los fotones es la de la radiación de fondo
de microondas (2.73 ◦K), esto quiere decir que si se encontrara una radiación de fondo
de neutrinos (que de hecho no se ha encontrado) esta tendría una temperatura de
1.95 ◦K. Los neutrinos serían parte de las llamadas reliquias calientes, se entiende
por reliquias calientes aquellas que se desacoplan cuando todavía son relativísticas.
Las reliquias tibias son aquellas que se desacoplan cuando el número de grados de
libertad es grande y tienen una abundancia mucho menor a la de los fotones como
los fotinos y gravitinos (si existen) [2]. Las frías son las que se desacoplan cuando no
son relativísticas como los nucleones.
Finalmente, teniendo en cuenta (3.30) y (3.33) se halla g∗ para T < 1 MeV (que
de hecho es el de la actualidad)
g∗ = 2 +
7
8
Ã
(1× 6)
µ
4
11
¶4/3!
' 3.36. (3.34)
La densidad de partículas, de energia y presión, pueden ser calculadas entonces
para cualquier temperatura T .
3.2 Obtención de la constante de Hubble
Finalmente, podemos escribir la constante de Hubble en función de la temperatura;
recordando las expresiones (2.3), (3.28)y (3.29), que el universo era dominado por
radiación, que el universo se considera plano (k = 0) y que la constante cosmológica
Λ es muy pequeña y no tiene mayor importancia en un universo dominado por ra-
diación, podemos hallar una relación para H(T ); en este caso tomaremos 1016 GeV
< T < 300 GeV, por lo tanto
H2 =
8π
90
ρR =
8π
90
g∗T
4 =⇒ H(T ) =
r
8π3g∗
90
T 2
Mp
' 1.66√g∗
T 2
Mp
, (3.35)
t ' 0.301√
g∗
Mp
T 2
, (3.36)
donde Mp =
q
~G
c
' 1.22 × 1019 GeV es la masa de Planck. La ecuación (3.36) se
deriva por el hecho que H(t) ' (1/2t) para un universo dominado por radiación [1].
El valor de H(T ) para distintas temperaturas se calcula a partir de los diferentes
valores de g∗ encontrados previamente, cabe recordar que el universo se considera
dominado por radiación hasta unos 300.000 años, cuando la temperatura ha bajado
hasta unos 2× 103 ◦K y la materia se vuelve "transparente" a la radiación.
16
3.3 Entropía en el universo temprano
Es natural que el universo por lo tanto, tenga una entropía asociada por el hecho de
tener las partículas un baño térmico y estar expandiéndose. Se verá que la rápida
expansión producirá una expansión adiabática y por ende, la entropia por volumen
se conservará.
Recordando que la segunda ley de la termodinámica se puede escribir como [2]
TdS = dE + pdV = d(ρV ) + pdV = d [(ρ+ p)V ]− V dp, (3.37)
donde ρ y p son la densidad de energía y la presión calculadas anteriormente. La
ecuación (3.37) junto con la condición de integrabilidad ∂
2S
∂T∂V
= ∂
2S
∂V ∂T
relacionan la
densidad de energía y presión como
T
dp
dT
= ρ+ p, (3.38)
dp =
ρ+ p
T
dT . (3.39)
Reemplazando (3.39) en (3.37) obtenemos
dS =
1
T
d [(ρ+ p)V ]− (ρ+ p)V dT
T 2
= d
∙
(ρ+ p)V
T
+ const
¸
(3.40)
Lo que implica que
S =
(ρ+ p)
T
R3, (3.41)
donde V = R3 es el volumen comoviente. Recordando que la primera ley de la
termodinámica (conservación de la energía) puede ser escrita como
d
∙
(ρ+ p)V
T
¸
= V dp, (3.42)
y sustituyendo (3.39) en (3.42) se sigue que
d
∙
(ρ+ p)V
T
¸
= 0. (3.43)
Este resultado implica que en equilibrio térmico, la entropía por volumen co-
moviente se conserva, esto es de esperarse debido a la expansión adiabática del uni-
verso.
Es más útil definir la densidad de entropía s como
s ≡ S
V
=
ρ+ p
T
(3.44)
17
Al igual que para n, ρ y p; la densidad de entropía está dominada principalmente
por las especies relativista, de esta forma es una buena aproximación usar las rela-
ciones (34) y (35) para ρ y p, así
s =
2π2
45
g∗sT
3. (3.45)
Donde, análogamente a (3.30), g∗s viene dada por [2]
g∗s =
X
i
gi
µ
Ti
T
¶3
+
7
8
X
j
gj
µ
Tj
T
¶3
, (3.46)
contando nuevamente i para bosones y j para fermiones.
A partir de las relaciones (3.8) y (3.45) se puede hallar una relación entre la
densidad de fotones y la densidad de entropía, así llegamos a que
s ' 1.80g∗snγ. (3.47)
El valor de g∗s para la actualidad a partir de la relación (3.46) es
g∗s = 2 +
7
8
µ
(6× 1)
µ
4
11
¶¶
' 3.91. (3.48)
Quedando completamente determinada la relación, los valores actuales para s y
nγ conociendo la temperatura actual de 2.73 ◦K son aproximadamente 2970 cm−3 y
422 cm−3.
18
4 Asimetría CP generada por neutrinos pesados
4.1 El mecanismo "see saw"
Ultimamente se conoce al mecanismo see saw como el mecanismo mediante el cual
se produjeron la masa de los neutrinos livianos a partir de los neutrinos pesados.
Hoy en día se sabe que los neutrinos livianos m1, m2 y m3 solamente poseen
una helicidad, la izquierda; hasta el momento no se ha encontrado ningún neutrino
con helicidad derecha lo cual llama mucho la atención teniendo en cuenta que sus
compañeros electrón, muón y tauón tienen dos helicidades (g = 2), mientras que
como ya habíamos dicho (g = 1) para los neutrinos. Esta concepción como ya vimos,
puede ser cambiada si se asume la notación de Majorana para estos.
De acuerdo con las ideas de este mecanismo, al comienzo del tiempo, para tem-
peraturas mayores a unos 108 GeV existieron los llamados neutrinos pesados de Ma-
jorana, al igual que los neutrinos que se conocen, estos también son tres, y poseen
una diferencia de masas entre las tres generaciones, denotaremos a estos neutrinos
como N1, N2 y N3 con respectivas masas M1,M2 y M3.
Las propiedades de estos además de su gran masa (M1 ≥ 108 GeV) es que son dere-
chos y no poseen polarización izquierda, esto equilibraría el hecho que los primeros sólo
tuvieran polarización izquierda. Otras propiedades es que al igual que los primeros, es
que la segunda clase de neutrinos también satisface la relación de masasM1 < M2 <
M3. Por ser partículas de Majorana, ellos mismos son su propia antipartícula.
Es importante recordar el concepto de jerarquía ; como jerarquía se puede entender
como se relacionan los espectros de masa de los respectivos neutrinos, o de que forma
goviernan las masas de ellos. Se conocen varios tipos de jerarquía.
Una jerarquía normal implica que m2 − m1 << m3 − m2 o en otros términos,
que la diferencia de masa entre los neutrinos sería muy grande (de varios órdenes de
magnitud) o que m3 sería muy grande que m2 y m1.
Una jerarquía invertida implica que m3 −m2 << m2 −m1 o que la diferencia de
masa entre los neutrinos m3 y m2 es muy pequeña. Mientras que m1 es muy pequeña
comparada con las otras dos.
Otros tipos de modelos no consideran jerarquías sino que contemplan la existencia
de neutrinos quasi-degenerados (con espectros de masa casi iguales), pero estan no
son muy probables.
Parece ser que la naturaleza se inclina más por la primera opción, el hecho es
porque se puede ver que en los leptones cargados (e, µ, τ) la diferencia de masas es
muy grande, lo mismo entre las distintas generaciones de quarks, el quark top tiene
una masa muchísimo mayor que la del quark charm y up. Es de esperarse que lo
mismo suceda para los neutrinos. De ahora en adelante se asumirá una jerarquía
normal, en secciones posteriores se corroborará y argumentará el escogimiento de
esta.
Para mirar como el mecanismo seesaw puede incidir sobre la masa de los neutrinos
19
livianos, recordemos que lagrangiano del modelo Standard con neutrinos derechos
puede ser escrito como [3]
Lm = hijlLi νRjφ+
1
2
Mijν
c
Ri νRj + h.c, (4.1)
donde M es la matriz de Majorana para neutrinos derechos, li = (νi, ei) (el doblete
leptónico para las tres generaciones), φ es el doblete de Higgs, los acoples de Yukawa
h producen una matriz de masa de Dirac [3]
mD = hv, (4.2)
luego de un quiebre espontáneo de simetría a v = hφi ' 174 GeV (la escala electrobé-
bil). Se trabajará en la base donde M es diagonal con valores reales y positivos para
los valores propios M1 ≤ M2 ≤ M3. De esta manera el mecanismo seesaw implica
que [3]
mν = −mD
1
M
mTD, (4.3)
donde mD es la matriz de Dirac definida anteriormente y M viene dada por
M =
⎡⎣M1 0 00 M2 0
0 0 M3
⎤⎦ , (4.4)
debido a que es diagonal.
4.2 Límites para la asimetría CP
La matriz para los neutrinos livianos definida en (4.3) puede ser diagonalizada medi-
ante la matriz unitaria U (ν),
U (ν)†mνU
(ν)∗ = −
⎡⎣m1 0 00 m2 0
0 0 m3
⎤⎦ = −Dm, (4.5)
con valores reales y positivos para los valores propios m1 ≤ m2 ≤ m3. En esta base
con matriz diagonal, los acoples de Yukawa h serían [3]
eh = U (ν)h. (4.6)
Consideraremos la matriz Ω definida como
20
Ωij ≡
vp
miMj
ehij
= v
⎡⎢⎢⎣
eh11√
m1M1
eh12√
m1M2
eh13√
m1M3eh21√
m2M1
eh21√
m2M2
eh23√
m2M3eh31√
m3M1
eh11√
m31M21
eh33√
m3M3
⎤⎥⎥⎦ (4.7)
la cual es ortogonal (ΩTΩ = ΩΩT = I) [3]. Mirando (4.6) y (4.7) y con esta condición
de ortogonalidad obtnemos la restricción
1
m1
Im
¡
U (ν)†h
¢2
11
= −
X
i6=1
1
mi
Im
¡
U (ν)†h
¢2
i1
, (4.8)
esto con el fin que los términos imaginarios sean nulos en el producto matricial.
Para calcular la asimetría CP tomemos la definición [3]
ε1 ≡
Γ(N1 → l + φ)− Γ(N1 → l + φ)
Γ(N1 → l + φ) + Γ(N1 → l + φ)
,
Γ(N1 → l + φ) =
1
2
(1 + ε1)Γ,
Γ(N1 → l + φ) =
1
2
(1− ε1)Γ,
Γ = Γ(N1 → l + φ) + Γ(N1 → l + φ). (4.9)
donde el término ε1 mide la cantidad de asimetríaCP generada en los decaimientosde N1, l y l representan cualquier leptón y anti-leptón respectivamente, mientras
que φ y φ representan el doblete de Higgs y anti-Higgs. Existen otros decaimientos
posibles, pero solamente estos canales contribuyen significantemente en los cálculos
de la asimetría generada.
De esta forma, la relación (4.1) genera los siguientes procesos de decaimiento,
sólo se tiene en cuenta el neutrino más liviano de los pesados N1, de tal forma que
νRj = N1. Los neutrinos N2 y N3 podrían generar también alguna asimetría, pero
esta información sería borrada en los decaimientos de N1 por lo cual sólo tenemos en
cuenta estos.
N1 → l1 + φ,
N1 → l1 + φ,
N1 → l2 + φ,
N1 → l2 + φ,
N1 → l3 + φ,
N1 → l3 + φ. (4.10)
21
Las reacciones anteriores a primer nivel se representan mediante diagramas de
Feynmann como
Figura 1.1: Diagrama de Feynmann para los decaimientos de N1 a primer orden.
Con respectivas ratas de decaimiento (ver sección 6 y apéndice 8.4)
Γ (N1 → l + φ) = Γ
¡
N1 → l + φ
¢
=
1
16π
¡
h†h
¢
11
M1. (4.11)
Lo que implica que a primer nivel no se genera asimetría alguna, diagramas de
orden superior con correciones de vértice y de burbuja (ver figura 1.2) muestran que
[3]
Figura 1.2: Correcciones de vértice (diagrama izquierdo) y de burbuja (derecho), en
la figura se usa la convención H = φ, el resto de convenciones permanece igual
ε1 =
3
16π
M1
(h†h)11
Im
µ
h†h
1
M
hTh∗
¶
11
. (4.12)
Las relaciones (4.2) - (4.8) pueden ser insertadas en la ecuación (4.12) llegando a
partir de unos cálculos simples a la relación
ε1 =
3
16π
M1
v2
X
i6=1
∆m2i1
mi
Im
³eh2i1´³eh†eh´
11
, (4.13)
donde ∆m2i1 viene dada por ∆m
2
i1 = m
2
i −m21.
La relación anterior puede ser determinada mediante las conocidas oscilaciones de
neutrinos solares y atmosférico, como se sabe
22
∆m2atm = m
2
3 −m22 = (2.6± 0.4)× 10−3eV 2,
∆m2sol = m
2
2 −m21 = (7.1+1.2−0.6)× 10−5eV 2. (4.14)
Se define uno de los parámetros libres m como
m2 ≡ m21 +m22 +m23. (4.15)
Las relaciones (4.14) - (4.16) generan las siguientes relaciones para m21 , m
2
2 y m
2
3
m23 =
1
3
¡
m2 + 2∆m2atm +∆m
2
sol
¢
, (4.16)
m22 =
1
3
¡
m2 −∆m2atm +∆m2sol
¢
, (4.17)
m21 =
1
3
¡
m2 −∆m2atm − 2∆m2sol
¢
. (4.18)
Nótese que el mínimo valor para m2 = ∆m2atm + 2∆m
2
sol + 3m
2
1 se da cuando
m1 → 0, así
mmin =
q
∆m2atm + 2∆m
2
sol ' 0.0524eV . (4.19)
Como es de esperarse, no se conoce un valor param, tampoco para ε1 y muchísimo
menos para hij, el primero es debido a que no se han realizado experimentos hasta
ahora que muestren este valor, los dos últimos es debido a que son prácticamente
imposibles de medir por las condiciones que se necesitan para generar un experimento
como tal. Sin embargo, se puede hallar un límite máximo para ε1 en función de las
masas correspondientes.
Recordando la expresión (4.13), definamos en función de los acoples de Yukawa
normalizados
zi =
eh2i1³eh†eh´
11
= xi + iyi,
³eh†eh´
11
≡
X
i
eh2i1, (4.20)
con la condición de normalización X
i
|zi| = 1 (4.21)
que implica 0 ≤ |zi| ≤ 1.
La condición de normalización para Ω implica además queX
i
em1
mi
zi = 1, (4.22)
23
con
em1 ≡ v2
M1
X
i
¯̄̄eh2i1 ¯̄̄ =X
i
mi
¯̄
Ω2i1
¯̄
=
³
m†DmD
´
11
M1
, (4.23)
conocida como la masa liviana efectiva. Este parámetro no tiene ningún significado
físico sino tan solo matemático, de tal manera que no tiene como ser medido en la
actualidad.
En las nuevas variables, la asimetría CP se reduce a
ε1 =
3
16π
M1
v2
µ
∆m221
m2
y2 +
∆m231
m3
y3
¶
. (4.24)
Dado que m3 > m2,
∆m231
m3
>
∆m221
m2
y de esta forma la asimetría CP será máxima
para un valor máximo de y3.
Supongamos que 1− y3 = O (ε), osea que es muy pequeño debido a que y3 es del
orden de la unidad. Las relaciónes (4.20) y (4.21) nos dicen que y1, y2, x1, x2, x3 → 0
cuando ε → 0 (esto es debido a que |zi| → 1), la ortogonalidad de Ω (4.7) también
nos exige que:
y1
m1
+
y2
m2
+
y3
m3
= 0, (4.25)
em1
m1
x1 +
em1
m2
x2 +
em1
m3
x3 = 1. (4.26)
Dado que m2 > m1 > 0,
y1
m1
> y2
m2
sin necesidad de tomar valores muy grandes
para y1, el hecho que y3 sea máximo exige que x3 = y2 = 0, así x1 tendría un valor
grande por lo que asumimos también que x2 = 0. Dado que y1 es pequeño, asumimos
y1 ∝ ε, lo mismo que m1 que de hecho es pequeño. Así em1 ∝ εa, x1 ∝ ε1−a con
0 ≤ a ≤ 1. Las siguientes afirmaciones pueden ser resumidas como
x2 = x3 = y2 = 0, (4.27)
m1, y1 ∝ ε, em1 ∝ εa, x1 ∝ ε1−a, 0 ≤ a ≤ 1. (4.28)
Ilustremos las siguientes ideas con un ejemplo.
El ejemplo se extrajo de [3], para esto supongamos que
"Ω =
⎡⎣A 0 −B0 1 0
B 0 A
⎤⎦ , ΩT
⎡⎣ A 0 B0 1 0
−B 0 A
⎤⎦ (4.29)
De la relación (4.7) encontramos
Ω31 = B =
v√
m3M1
eh31, (4.30)
24
así
B2 =
v2
m3M1
eh231 = i v2m3M1 bεa, b > 0 (4.31)
debido a las relaciónes (4.27) y (4.28) y debido a que los acoples de Yukawa son
pequeños comparados con la unidad. La parte imaginaria proviene debido a que y3
es imaginario (4.20) y está íntimamente relacionado con B2.
La condición de ortogonalidad exige además
A2 = 1−B2. (4.32)
La relación (4.7) nos proporciona la forma de encontrar la matriz h, la cual es
para este caso
eh =
⎡⎣
√
m1M1
v
A 0 −
√
m1M3
v
B
0 1 0√
m3M1
v
B 0
√
m3M3
v
A
⎤⎦ . (4.33)
Usando las relaciones (4.31) - (4.33) encontramos los correspondientes cuadrados
de los acoples de Yukawa
eh2i1 = µm1M1v2 − im1m3 bεa, 0, ibεa
¶
, (4.34)
y la matriz
eh =
⎡⎢⎢⎣
q
m1M1
v2
− im1
m3
bεa 0
q
im1
m3
M3
M1
bεa
0
√
m2M2
v2
0
−
√
ibεa 0
q
m3M3
v2
− iM3
M1
b a
⎤⎥⎥⎦ , (4.35)
que vemos sería diagonal en el caso ε = 0.
Este ejemplo ilustra que em1 puede ser arbitraria cuandom1 → 0. Esta se aproxima
además a bv
2
M1
cuando a = 0,mientras que tiende a cero para a > 0. De aquí se concluye
entonces, que la máxima asimetría CP podría ser independiente de em1 y m2".
Finalmente de las expresiones (4.25) y (4.26), mas las condiciones (4.27) con-
cluimos que
y1 = −
m1
m3
y3, x1 =
m1em1 . (4.36)
Las relaciones (4.36) junto a la condición (4.21) que puede ser reescrita comoq
x21 + y
2
1 + |y3| = 1 (4.37)
nos proporcionan una solución para y3 ,encontrando que
25
y3 =
em21m23 −pm21 em21m23 (m23 + em21 −m21)em21 (m23 −m21) ,
de tal forma que
∆m231
m3
y3 = m3 −
p
m21 em21 (m23 + em21 −m21)em21
= m3
Ã
1− m1
m3
s
1 +
µ
m23 −m21em21
¶!
. (4.38)
Insertando (4.38) en (4.24) hallamos finalmente la expresión deseada
εmax1 =
3
16π
M1m3
v2
"
1− m1
m3
s
1 +
µ
m23 −m21em21
¶#
. (4.39)
A partir de las relaciones (4.17) - (4.19) encontramos m23−m21 = ∆m2atm+∆m2sol.
En el límite m1 → 0 m23 ' m23 −m21 = ∆m2atm +∆m2sol, así la relación (4.39) se
reduce a
εmax1 =
3
16π
M1m
2
3
v2m3
= εmax1 '
3
16π
M1
v2
(∆m2atm +∆m
2
sol)
m3
, (4.40)
que es la relación que se usa convencionalmente.
Dado que m3 no es un parámetro libre, conviene más expresar m3 en términos de
m, así m3 =
q
1
3
(m2 + 2∆m2atm +∆m
2
sol), por lo que (4.40) se convierte en
εmax1 =
3
16π
M1
v2
(∆m2atm +∆m
2
sol)q
1
3
(m2 + 2∆m2atm +∆m
2
sol)
, (4.41)
siendo entonces εmax1 = ε
max
1 (M1,m).
Los valores posibles para εmax1 (M1,m) pueden ser visualizados en la siguiente
gráfica:
26
Figura 2: Máxima asimetría CP en función de m2 y M1.
La figura 2 muestra claramente lo esperado, εmax1 aumenta linealmente con M1,
mientras que decrece cuando m2 crece, los rangos mostrados son 107 GeV≤ 1012 GeV
y 1 eV2 ≤ m2 ≤ 10−6 eV2, que como se verá más adelante, cubre los rangos requeridos.
27
5 El Modelo de Leptogénesis
5.1 Surgimiento, explicación y condiciones
Este modelo surgió debido a que el modelo Standard no puede explicar la asimetría
existente entre materia y antimateria en el universo y la respectiva bariogénesis.
Se entiende como bariogénesis al mecanismo por el cual se generan los bariones y
una densidad neta de estos.
Comencemos con mencionar que el modelo de Leptogénesis como veremos, es el
proceso mediante el cual se genera una asimetría bariónica. Para esto recordemos
que todo modelo de bariogénesis debe cumplir las reglas de Shakarov:
1. Debe existir una violación de número bariónico y númeroleptónico en las reac-
ciones (∆B 6= 0, ∆L 6= 0).
2. Debe existir violación C y violación CP.
3. Deben existir condiciones de equilibrio térmico, las cuales sufren desviaciones
de este debido a una rata de decaimiento de las partículas menor a la expansión
del universo.
Las tres condiciones se presentan en el modelo tratado a continuación y como
se verá, son necesarias para la generación de una asimetría. Se sabe que a altas
temperaturas, las reacciones que producen una violación neta en B y L están en
equilibrio térmico [2], mientras que son improbables a bajas temperaturas (es por ello
que no se ha detectado esta en los experimentos actuales). La violación CP ya se ha
detectado en los kaones neutros, así que no es erróneo pensar que en las condiciones
del universo primitivo esta se presente, como vimos en la sección anterior, esta se
podría presentar en los decaimientos de N1. La tercera condición se presenta en la
expansión del universo, el factor de dilución hará que las ratas de decaimiento sean
menores a la rata en la cual el universo se expande.
El mecanismo de leptogénesis es el mecanismo mediante el cual, los decaimientos
de neutrinos pesados que violan la simetría CP producen una asimetría leptónica, la
cual mediante procesos de esfalerones en los que ∆B = 3 y ∆L = 3, convierten esta
asimetría leptónica en la asimetría bariónica requerida y observada en la actualidad
[5].
5.2 Procesos de esfalerones
Los procesos de esfalerones están asociados con la estrucura del vacío, como se ha visto
en los últimos años, el vacío juega un papel importante en la física, la sola constante
cosmológica implica que el vacío ejerce un efecto repulsivo sobre el universo. Por
28
encima de la escala electrodébil, la estructura del vacío puede generar una violación
de B y L, debido a la trancisión de los diferenetes estados. Este proceso es de carácter
no perturbativo, por lo que no puede utilizarce la teoría de perturbaciones en dichos
procesos. Estos procesos afectan B y L a nivel microscópico. La rata de violación de
B, Γ ∼ αWT 4 a temperaturas altas (T > Tew), mientras que a bajas temperaturas
(T < Tew), Γ ∼ T 4e−4π/αW , lo que explica porque el efecto es imperceptible hoy, pero
tuvo efectos en el universo temprano. Esto es aquivalente a decir que el proceso se
encontraba en equilibrio térmico a altas temperaturas.
De acuerdo con la teoría, en las transiciones debido a efectos de esfalerones existe
una violación del número leptónico y bariónico en 3 unidades, es decir ∆B = ∆L =
3 [4]. De aquí se puede deducir que en los procesos de transición cualquier asimetría
B + L inicial será borrada (esto es debido a que B + L es violada en 6 unidades),
por el contrario (B − L) es conservada debido a que la diferencia neta es cero. En la
figura 3 se puede apreciar uno de los 12 procesos posibles [4]
Figura 3: Uno de los doce procesos posibles en equilibrio térmico via esfalerones, se
puede apreciar que ∆B = ∆L = 3, dado que el número bariónico de cada quark es
B = 1/3.
Como se puede ver en la figura 3, los esfalerones solamente se acoplan a los campos
izquierdos [4].
El problema puede ser entendido mediante un análisis de los potenciales químicos
relacionados en las reacciones. Esto es debido al equilibrio químico existente en los
procesos. Los potenciales químicos de los bosones de Higgs en simetrías no rotas
y en rápidas reacciones tienden a ser cero (esto debido a que en equilibrio térmico,
29
el flujo neto de partículas tiende a ser cero, por lo que los potenciales químicos se
anulan). En el "modelo simétrico" con un número total de familias fermiónicas NF y
un número total de dobletes de Higgs igual a uno se tiene un total de 2NF dobletes
izquierdos de quark y leptón qiL = (uiL , diL) y liL = (νiL , eiL), 3NF singletes derechos
de quark y leptón uiR , diR , eiR y 2 campos neutros y cargados de Higgs φ
0
i y φ
−
i [4].
Sin embargo, no todos los potenciales son independientes. En equilibrio térmico, las
interacciones perturbativas en el cambio de fase electrodébil generan las reacciones
[4]
W− ↔ φ− + φ0 =⇒ µ0 = −µ−,
W− ↔ uL + dL =⇒ µdL = µuL,
W− ↔ νiL + eiL =⇒ µeiL = µνi,
φ0 ↔ uL + uR =⇒ µuR = µuL + µ0,
φ0 ↔ dR + dL =⇒ µdR = µuL − µ0,
φ0 ↔ eiR + eiL =⇒ µeiR = µνL − µ0, (5.1)
sabiendo en este caso que µn = −µn debido a lo mencionado en el párrafo anterior.
El proceso de la figura 3 exige además la condición
NF
¡
µuL + 2µdL
¢
+
NFX
i=1
µνi = 0, (5.2)
esto con el fin que se anulen los potenciales químicos.
En equilibrio térmico todos los potenciales químicos son pequeños comparados
con la temperatura, lo que implica que [4]
hBiT =
nB − nB
nγ
∝ NF
¡
µuL + µuR + µdL + µdR
¢
, (5.3)
hLiT =
nL − nL
nγ
∝
NFX
i=1
¡
µeiL + µeiR + µνi
¢
. (5.4)
Dado que el proceso de esfalerones conserva hB − LiT podemos hallar una relación
para hBiT y hLiT en función de hB − LiT = hB − Li
inicial
T . Las relaciones (5.1) - (5.4)
nos llevan a que [4]
hBiT = C hB − LiT , (5.5)
hBiT =
C
C − 1 hLiT , (5.6)
C =
8NF + 4
22NF + 13
. (5.7)
30
En el modelo simétrico NF = 3 lo que nos lleva a que C = 2879 . Otros valores para
C pueden ser encontrados en diferentes modelos debido a que se toman más familias
para los dobletes de Higgs.
Las asimetrías bariónicas y leptónicas entonces, quedan determinadas en función
de la asimetría B − L. En las siguientes secciones llamaremos YB, YL y YB−L, a
las respectivas asimetrías por unidadad de entropía. Se trabajará con esta en vez
de la asimetría por volumen comoviente o por número de fotones NB−L =
hB−LiT
R3
=
hB−LiT
nγ
y así, que es tomada en otras bibliografías.
Para obtener ηb debemos primero calcular o bien YB−L o bien NB−L. El factor C
nos da una relación de la cantidad de asimetría B−L convertida en asimetría B por
medio de procesos de esfalerones, sin embargo hay que tener en cuenta que antes del
quiebre GUT y mucho después del rompimiento electrodébil el número de grados de
libertad disminuye, lo que implica que parte de la entropía se transmite a los fotones
que no se desacoplan del plasma, haciendo que la asimetría observada actualmente
se vea disminuída en un factor
a =
g∗s (T >> 300 GeV)
g∗s (Thoy)
=
106.75
3.91
' 27.3. (5.8)
Lo que implica que
ηB =
C
a
NB−L ' 0.013NB−L. (5.9)
Que es exactamente igual a la calculada en [5].
Podemos a partir de la relación (5.9) y la relación (3.47) encontrar una relación
entre ηb y YB−L la cual es luego de un simple cálculo
ηB =
1.8nγg∗ (Thoy)
nγ
CYB−L ' 7.038. (5.10)
De tal forma, las relaciónes (5.5)-(5.7) exigen que
ηB = 2.494YB−L, (5.11)
ηL = −4.544YB−L. (5.12)
que son las relaciones que finalmente se tomarán más adelante.
La naturaleza del signo negativo en ηL es debido a que en YB−L la asimetría
leptónica tiene un signo negativo, de tal forma que el signo real sea positivo. Si se
resta (5.10) de (5.9) se obtiene
ηB − ηL = 7.038YB−L,
que es lo que se espera.
Se puede ver que la diferencia entre materia y antimateria radica en el signo de
YB−L. Si se obtiene un signo positivo en esta se obtendrá materia y uno negativo
31
antimateria. De todas maneras esto no es muy relevante debido a que todo es una
cuestión de convenciones; nosotros llamamos materia a lo que conocemos y antima-
teria a lo opuesto a esta. Si en realidad existiese antimateria y no materia a esta
la llamaríamos como la segunda y por lo tanto esto no cambiaría para nada nuestra
concepción.
Figura 4: Estructura periódica de vacío en la teoría electrodébil [6]. La gráfica
muestra la energía para una configuración estándard de campos de Gauge y de
Higgs W aµ y φ.
32
6 Obtención, desarrollo y análisis de resultados a
partir de las Ecuaciones de Boltzmann
A continuación, se mostrará como el desarrollo de las ecuaciones de Boltzmann nos
pueden indicar como las interacciones de cierta partícula, pueden generar la asimetría
bariónica observada y además, son capaces de generar las masas para los neutrinos
livianos, de acuerdo con los datos encontrados para oscilaciones de neutrinos solares
y atmosféricos.
Podrá verse, comoel modelo mínimo en que están basados mis cálculos, no está
muy alejado de modelos más complejos en que se toman más partículas y se miran
todas las posibles interacciones de dicha partícula con el resto de componentes del
universo temprano.
En esta sección por lo tanto, sugeriré de acuerdo a mis resultados, qué valores
apropiados podrían tomar los parámetros libres ya mencionados y los neutrinos li-
vianos conocidos en la actualidad.
6.1 La Ecuación de Boltzmann
En los comienzos del universo, la mayoría de sus constituyentes estuvieron en equi-
librio térmico, por lo tanto, haciendo del equilibrio una buena aproximación. Sin
embargo, han ocurrido un número notable de rupturas del equilibrio térmico; de-
sacople de neutrinos, desacople de la radiación de fondo, nucleosíntesis, entre otros.
De no haber sido por estas rupturas, el estado presente del universo podría ser to-
talmente determinado por la temperatura actual. Ellas han generado precisamente
reliquias importantes; elementos livianos, un número bariónico neto, etc.
Una vez una especie se desacople del plasma, su evolución es simple, n ∝ R−3,
p ∝ R−1. Recordemos que el criterio para saber si una partícula esta o no acoplada
al plasma, requiere la comparación de la rata de interacción Γ con la constante de
Hubble H.
Γ ≥ H (acoplada)
Γ ≤ H (desacoplada). (6.1)
Es de esperar entonces que Γ = Γ(T ) y H = H (T ).
Debido a la complejidad de los cálculos, se asumirán las siguientes hipótesis:
1. Se usará una función de distribución tipo Boltzmann
f = e−(E−µ)/T , (6.2)
en vez de una distribución tipo Fermi-Dirac (3.4).
33
2. En algunos casos se asumirá T o CP invarianza, o que la asimetría CP es
muy pequeña. Cuando se asume esta hipótesis las ratas de trancisión en ambas
direcciones temporales seran totalmente iguales, es decir Γ(N1 → lφ) = Γ(N1 →
lφ), esto implica que
|M|2i+j+...→a+b+... = |M|
2
a+b+...→i+j+... ≡ |M|
2 . (6.3)
3. En ausencia de condensación de Boltzmann o degenerancia Fermiónica los tér-
minos de bloqueo y de emisión estimulada pueden ser omitidos (ver a contin-
uación), es decir
(1± f) ' 1. (6.4)
4. La partícula de interés, en este caso (N1), se tomará no relativista debido a
se gran masa (M1 ∼ 1010 GeV), mientras que las partículas en que decae son
altamente relativistas.
Para obtener una descripción de la evolución de la partícula, debemos seguir
una descripción microscópica de la función de distribución f . Esta está porsupuesto
governada por la Ecuación de Boltzmann que puede ser escrita como
bL [f ] = C [f ] , (6.5)
donde C es el operador de colisión y bL es el operador de Liouville, el operador de
Liouville no-relativístico se define como
bLNR = d
dt
+
d−→x
dt
·−→∇x +
d−→v
dt
·−→∇v, (6.6)
cuya generalización relativística viene dada por
bL = pα ∂
∂xα
− Γαβγpβpγ
∂
∂pα
. (6.7)
Nótese que los efectos gravitacionales intervienen en la ecuación sólo a través de
los coeficientes de conexión. Para el modelo FRW (2.1) la función de distribución es
homogénea e isotrópica f = f (|−→p | , t), equivalente a f (E, t). Dado que pα = p0 =
E, pαpβ = |−→p |2 y los coeficientes de conexión requeridos son
·
R
R
[1], (6.5) se reduce a
bL [f (E, t)] = E∂f
∂t
−
•
R
R
|−→p |2 ∂f
∂E
. (6.8)
Recordando la definición para el número de densidad n
n =
g
(2π)3
Z
f(E, t)d3p, (6.9)
34
por lo que
dn
dt
=
g
(2π)3
Z
d
dt
¡
f(E, t)d3p
¢
=
g
(2π)3
Z
∂f
∂t
d3p. (6.10)
De (6.8) encontramos que
∂f
∂t
=
1
E
⎛⎝C [f ] + •R
R
|p|2 ∂f
∂E
⎞⎠ . (6.11)
donde
∂f
∂E
= − 1
T
f , (6.12)
lo cual se deduce a partir de (6.2).
Reemplazando (6.11) en (6.10) y mas la condición (6.12) llegamos a que
dn
dt
=
g
(2π)3
Z
C [f ]
E
d3p−
•
R
R
g
(2π)3
1
T
Z |p|2
E
f (−→p , t) d3p. (6.13)
De la definición (3.3) para p nos damos cuenta que
dn
dt
=
g
(2π)3
Z
C [f ]
E
d3p−
•
R
R
1
T
(3p) , (6.14)
=⇒ dn
dt
+ 3
•
R
R
n =
g
(2π)3
Z
C [f ]
E
d3p, (6.15)
debido a que la equación (3.19) nos dice que 1
T
p = n, lo que se puede asumir debido
a la condición 4.
El operador de colisión muestra como interactuan las diferentes partículas en el
plasma, en este intervienen entonces decaimientos y dispersiones elásticas e inelásti-
cas. El operador de colisión cumple entonces la relación [2]
g
(2π)3
Z
C [f ]
d3pψ
Eψ
= −
Z
dΠψdΠadΠb...dΠidΠj...
× (2π)4 δ4 (pψ + pa + pb...− pi − pj − ...)
×[|M|2ψ+a+b+...→i+j+... fafb...fψ (1± fi) (1± fj) ...
− |M|2i+j+...→ψ+a+b... fifj...
(1± fa) (1± fb) ... (1± fψ)], (6.16)
donde fi, fj, , fa, fb... son las funciones de distribución de las especies i, j...; fψ es
la distribución de la partícula en la cual estamos interesados, (+) aplica a bosones y
(−) aplica a fermiones, y
dΠ =
g
(2π)3
d3p
2E
, (6.17)
35
donde g son los ya mencionados grados internos de libertad para cada especie. La
función delta asegura la conservación del momento lineal y |M|2 ...son los elementos
matriciales promediados sobre los espines iniciales y finales que indican los elementos
de trancisión en las reacciones.
A simple vista, el problema parece demasiado largo y complicado, sin embargo
en la mayoría de los casos, una o dos partículas se encuentran fuera del equilib-
rio térmico, por lo que el problema se reduce al estudio de las reacciones de estas
partículas.
Usando las condiciones 1, 2, 3 y 4 mecionadas en esta sección, la ecuación (6.15)
se simplifica a
•
nψ + 3Hnψ = −
Z
dΠψdΠadΠb...dΠidΠj... |M|2
× (2π)4 δ4 (pψ + pa + pb...− pi − pj − ...)
× (fψfafb...− fifj...) . (6.18)
El significado físico del término 3Hnψ es el efecto de dilusión debido a la expansión
del universo.
Resulta conveniente escalar el número de partículas por unidad de entropía, aunque
también se puede escalar el número de partículas por fotones. De tal manera que
definimos
Yψ ≡
nψ
s
. (6.19)
Usando a condición (3.43) (sR3 = cte), se sigue que
dY
dt
=
1
sR3
d
dt
¡
nψR
3
¢
=
1
sR3
µ
R3
dnψ
dt
+ 3nψR
2
•
R
¶
=
nψ
s
+ 3
nψ
s
•
R
R
=
nψ
s
+ 3H
nψ
s
. (6.20)
Es más indicado además expresar la ecuación (6.18) en términos de la temperatura,
para ello definimos el parámetro adimensional
z ≡ m
T
, (6.21)
donde m es la masa de la partícula de interés.
En las nuevas variables el lado izquierdo de (6.18) se reduce a
dY
dt
=
dY
dz
dz
dt
=
dY
dz
H (z) z =⇒
dY
dz
= − 1
s×H (z)× z
Z
dΠψdΠadΠb...dΠidΠj... |M|2
× (2π)4 δ4 (pψ + pa + ...− pi − ...)× (fψfafb...− fifj...) . (6.22)
36
Debido a las relaciones (3.35) y (3.36).
Con las simplificaciones dadas, esta es la forma más general que podemos obtener
de la ecuación de Boltzmann.
6.2 Aplicaciones de la Ecuación de Boltzmann en Leptogé-
nesis
En esta sección nos dedicaremos a ver como las ecuaciones de Boltzmann nos pueden
mostrar la evolución en función de la temperatura de los neutrinos pesadosN1, se verá
a más adelante como el decaimiento e interacciones de esta partícula con el plasma
generarán una asímetría B − L y por lo tanto una asimetría bariónica.
Consideremos ahora las interacciones mas relevantes para N1, osea los decaimien-
tos y dispersiones que contribuyen significamente a los cálculos, el resto de reacciones
tienen una rata muy pequeña y pueden ser ignoradas obteniendo una muy buena
aproximación. Se entenderán como decaimientos directos a aquellos que ocurren en
la dirección en la que la flecha apunta hacia la derecha, y como decaimientos inversos
a aquellos que ocurren en la dirección izquierda de esta, la misma terminología se
aplicará a las dispersiones. Las posibles reacciones las clasificaremos en:
1. Decaimientos directos e inversos de N1 en leptones y bosones de Higgs,
a) N1 ↔ l + φ,
b) N1 ↔ l + φ.
2. Dispersiones de N1 mediadas por un φ en las que ∆L = 1,
c) N1 + l↔ t+ q,
d) N1 + l↔ t+ q,
e) N1 + l↔ t+ q,
f) N1 + l↔ t+ q,
g) N1 + t↔ l + q,
h) N1 + t↔ l + q.
3. Dispersiones mediadas por N1 en las que ∆L = 2,
i) l + φ↔ l + φ,
j) l + l↔ φ+ φ,
k) l + l↔ φ+ φ.
37
Figura 5: Algunos diagramas de Feynmann para algunos procesos. El primero
representa el decaimiento a), el segundo el proceso c) y el último eli).
Consideremos ahora como varía la abundancia de N1, como se verá más ade-
lante las reacciones más importantes en esta son los decaimientos y decaimientos
inversos, asumamos entonces por simplicidad que estas son las únicas reacciones que
contribuyen significantemente en la abundancia de N1, para esto definamos las rela-
ciones
|M|2 (N1 → l + φ) = |M|2
¡
l + φ→ N1
¢
=
1
2
(1 + ε1) |M|2 , (6.23)
|M|2
¡
N1 → l + φ
¢
= |M|2 (l + φ→ N1) =
1
2
(1− ε1) |M|2 , (6.24)
fl (E) = e
−(E−µl)/T ,
fl (E) = e
−(E+µl)/T ,
fφ (E) = e
−(E−µφ)/T ,
fφ (E) = e
−(E+µφ)/T ,
fN1 (E) =
nN1
nEQN1
e−(E−µN1 )/T , (6.25)
38
con la condición que en procesos en los que las ratas de interacciones son rápidas
(como es el caso) µN1 → 0. La distribución fN1 no es simplemente e−E/T debido
a que N1 no siempre está en equilibrio, por lo que no se puede usar la función de
distribución de equilibrio usada para leptones y bosones de Higgs.
Con las relaciones (6.23) - (6.25) esto sugiere que nuestra ecuación de Boltmann
sea deacuerdo con (6.22) de la forma
dYN1
dz
= − 1
sH (z) z
Z
dΠN1dΠ1dΠ2 (2π)
4 δ (pN1 − p1 − p1) |M|
2
ב[fN1 |M|
2 − 1
2
(1 + ε1) |M|2 flfφ
−1
2
(1− ε1) |M|2 fl (p1) fφ (p2)]. (6.26)
La función delta asegura la conservación de de momento, por lo que se tiene que
EN1 = E1 +E2 =⇒ (6.27)
flfφ = e
−(E1+E2) = e−EN1 = fEQN1 +O (µ/T ) (6.28)
donde fEQN1 es la distribución de equilibrio para N1, el término O (µ/T ) es suma-
mente pequeño debido a que T ' M1 >> µ. De hecho los potenciales químicos no
juegan mayor importancia en estos cálculos y una buena aproximación es obtenida
sin tomarlos en cuenta, así se ignorará su valor en las expresiones a continuación.
Reemplazando la relación (6.28) en (6.26) la ecuación de Boltzmann se reduce a
dYN1
dz
= − 1
sH (z) z
Z
dΠN1dΠ1dΠ2 (2π)
4 δ (pN1 − p1 − p2) |M|
2
×
Ã
e−EN1/T
nEQN1
³
nN1 − nEQN1
´!
+O (ε1, µ/T )
' −
³
nN1 − nEQN1
´
s H (z) z
1
nEQN1
Z
dΠN1dΠ1dΠ2 (2π)
4 δ (pN1 − p1 − p2) e−EN1/T |M|
2
= − ΓD
H (z) z
³
YN1 − Y EQN1
´
, (6.29)
donde
ΓD = ΓD (z) = ΓN1→l+φ + ΓN1→l+φ
≡ 1
nEQN1
Z
dΠN1dΠ1dΠ2 (2π)
4 δ (pN1 − p1 − p2) e−EN1/T |M|
2 , (6.30)
es la rata total para el decaimiento de N1 térmicamente promediada. Otras bib-
liografías toman γi = Γin
EQ
N1
como la rata de decaimiento por unidad de tiempo y
39
por unidad de volumen, siendo este factor todo el término dentro de la integral de la
ecuación (6.30).
A pesar que los decaimientos y decaimientos inversos son las principales inter-
acciones de N1, existen también las dispersiones. Igualmente que en el resultado
anterior sólo tendré en cuenta estas por simplicidad en la obtención de la ecuación de
Boltzmann para estas reacciones. Es de esperarse que la suma de el término de de-
caimiento y de dispersión darán la relación total para la abundancia de N1. Tomemos
entonces sólo las interacciones tipo 2, ya que las tipo 3 no modifican la abundacia de
N1, de esta forma tenemos entonces
−1
sH (z) z
Z
dΠN1dΠ1dΠ3dΠ4 (2π)
4 δ (pN1 + p1 − p3 − p4)
×
∙
1
2
(1 + ε1) fN1 (pN1) fl (p1)−
1
2
(1− ε1) ft (p3) fq (p4)
¸
|M|2N1+l→t+q
×
∙
1
2
(1 + ε1) fN1 (pN1) fl (p1)−
1
2
(1− ε1) ft (p3) fq (p4)
¸
|M|2N1+l→t+q
×
∙
1
2
(1 + ε1) fN1 (pN1) fl (p1)−
1
2
(1− ε1) ft (p3) fq (p4)
¸
|M|2N1+l→t+q
×
∙
1
2
(1 + ε1) fN1 (pN1) fl (p1)−
1
2
(1− ε1) ft (p3) fq (p4)
¸
|M|2N1+l→t+q
−1
sH (z) z
Z
dΠN1dΠ1dΠ3dΠ4 (2π)
4 δ (pN1 + p1 − p3 − p4)
×
∙
1
2
(1 + ε1) fN1 (pN1) ft (p1)−
1
2
(1− ε1) fl (p3) fq (p4)
¸
|M|2N1+t→l+q
×
∙
1
2
(1 + ε1) fN1 (pN1) ft (p1)−
1
2
(1− ε1) fl (p3) fq (p4)
¸
|M|2N1+t→l+q
=
dYN1
dz
. (6.31)
Tomando de nuevo los términos ε1 y µ como despreciables, y usando la conser-
vación de energía que nos asegura la función delta llegamos a que
ft (pi) = ft (pi) , fl (pi) = fl (pi) y fq (pi) = fq (pi) ,
|M|2N1+l→t+q = |M|
2
N1+l→t+q , |M|
2
N1+t→l+q = |M|
2
N1+t→l+q ,
EN1 +E1 = E3 +E4. (6.32)
La ecuación (6.32) implica entonces
ftfq = e
−(E3+E4)/T = e−(EN1+E1)/T = fEQN1 fl,
flfq = e
−(E3+E4)/T = e−(EN1+E1)/T = fEQN1 ft. (6.33)
40
Así que
fN1fl − ftfq =
nN1
nEQN1
e−(EN1+E1) − e−(EN1+E1) = e
−(EN1+E1)
nEQN1
³
nN1 − nEQN1
´
,(6.34)
fN1ft − flfq =
nN1
nEQN1
e−(EN1+E1) − e−(EN1+E1) = e
−(EN1+E1)
nEQN1
³
nN1 − nEQN1
´
.(6.35)
Usando la condiciones (6.32) - (6.35) en (6.31) obtenemos que
dYN1
dz
=
−1
sH (z) z
Z
dΠN1dΠ1dΠ3dΠ4 (2π)
4 δ4 (pN1 + p1 − p3 − p4)
×4
"
e−(EN1+E1)
nEQN1
³
nN1 − nEQN1
´
|M|2N1+l→t+q
#
×2
"
e−(EN1+E1)
nEQN1
³
nN1 − nEQN1
´
|M|2N1+t→l+q
#
= − 1
sH (z) z
³
nN1 − nEQN1
´ 1
nEQN1
Z
dΠN1dΠ1dΠ3dΠ4 × δ (pN1 + p1 − p3 − p4)
×e−EN1e−E1
h
4 |M|2N1+l→t+q + 2 |M|
2
N1+t→l+q
i
. (6.36)
Simplificando finalmente obtenemos
dYN1
dz
= − ΓS
H (z) z
³
YN1 − Y EQN1
´
(6.37)
donde
ΓS = 4
¡
ΓN1+l→t+q
¢
+ 2
¡
ΓN1+t→l+q
¢
≡ 4ΓN1φ,l + 2ΓN1φ,t. (6.38)
y
ΓN1φ,l ≡
1
nEQN1
Z
dΠN1dΠ1dΠ3dΠ4 (2π)
4 δ4 (pN1 + p1 − p3 − p4)
×e−EN1e−E1 |M|2N1+l→t+q
= nEQN1
D
σ
l+N1→t+q
|v|
E
≡ nEQN1
­
σN1φ,l |v|
®
(6.39)
ΓN1φ,t =
1
nEQN1
Z
dΠN1dΠ1dΠ3dΠ4 (2π)
4 δ4 (pN1 + p1 − p3 − p4)
×e−EN1e−E1 |M|2N1+t→l+q
= nEQN1
D
σ
t+N1→l+q
|v|
E
≡ nEQN1
­
σN1φ,t |v|
®
(6.40)
41
son las ratas a las cuales ocurren las dispersiones o el número de estas por unidad
de tiempo. Análogamente al el resultado anterior, γi y σi se relacionan mediante
γi = hσi |v|i
³
nEQN1
´2
.
La ecuación de Bolzmann para la abundancia de N1 es por supuesto la suma de
(6.29) y (6.37).
dYN1
dz
= −
µ
Γd
H (z) z
+
ΓS
H (z) z
¶³
YN1 − Y EQN1
´
. (6.41)
Conociendo como varía N1 en función de la temperatura, podríamos calcular la
asimetría B − L que esta genera. La idea es obtener las ecuaciones para l, l, q y q y
restarlas, con el fin de tener una relación para YB−L. La obtención de esta relación
es realmente larga y tediosa, por lo que simplemente daré el resultado [3],
dYB−L
dz
= −ε1
Γd
H (z) z
³
YN1 − Y EQN1
´
− ΓW
H (z) z
YB−L. (6.42)
Donde ΓW es el término de washout o término de "eliminación", cuyo fin es
eliminar la asimetría que N1 intenta producir. Este término recibe contribuciones de
decaimientos inversos, y dispersiones con ∆L = 1 y ∆L = 2 y viene dado por
ΓW =
1
2
ΓID + 2Γ
l
φ,t +
nN1
nEQN1
Γlφ,l + 2Γ
l
N + 2Γ
l
N,t, (6.43)
donde ΓN es la rata para el proceso i) y ΓN,t es la rata para los procesos j) y k).
A grandes rasgos el par de ecuaciones obtenidas (6.41) y (6.42) es un par de
ecuaciones acopladas en las que las interacciones del neutrino pesado de Majorana
N1 generan una asimetría B − L , esta por supuesto varía con la temperatura a
medida que la abundancia de esta partícula cambia. La asimetría final generada, es el
resultado de una competencia entre procesos de decaimiento que tratan de producirla
y procesos de eliminación que tratan de eliminarla.
6.3 Planteamiento de las ecuaciones.
El par de ecuaciones obtenidas anteriormente es un par de ecuaciones lineales de
primer orden acopladas para la abundancia de N1 y la cantidad de asimetría B − L
por unidad de entropía. Por simplicidad en el manejo de ellas definamos
D ≡ ΓD (z)
H (z) z
, S ≡ ΓS
H (z) z
, W ≡ ΓW
H (z) z
. (6.44)
Recordando la relación (3.35) para H (T ) obtenemos
H (z) =
r
8π3g∗
90
M21
Mp
1
z2
. (6.45)
42
La rata de decaimiento para N1 (6.30) viene dada por (ver apéndice 8.4)
ΓD (z) = eΓDK1 (z)
K2 (z)
, (6.46)
donde eΓD = ¡h†h¢11
8π
M1. (6.47)
y K1 (z) y K2 (z) son las funciones modificadas de Bessel. La razón de este término
es el de un factor de dilución debido a la temperatura decreciente del universo.
Las relaciones (4.20) y (4.23) nos relacionan los acoples de Yukawa con la masa
efectiva de neutrino em1 de tal forma que (6.47) se transforma en
ΓD (z) =
em1M21
8πv2
K1 (z)
K2 (z)
. (6.48)
Figura 6: Factor de dilución en función de z, se puede ver que el factor de dilución
es pequeño a altas temperaturas y tiende a uno a bajas temperaturas.
En la figura 6 se puede apreciar la evolución del factor de dilución K1(z)
k2(z)
, se puede
ver que para altas temperaturas (z << 1) el factor de dilución tiende a cero, mientras
que parabajas temperaturas (T >> 1) este tiende a la unidad.
El factor D definido en (6.44) puede ser calculado mediante las relaciones (6.48)
y (6.45) obteniendo
D =
em1M21
8πv2
K1(z)
K2(z)
z
q
8π3g∗
90
M21
Mp
1
z2
≡ K zK1 (z)
K2 (z)
, (6.49)
43
donde
K ≡ em1
m∗
, (6.50)
y
m∗ =
16π5/2
3
√
5
√
g∗
v2
Mp
' 1.08 × 10−3eV, (6.51)
es la masa de equilibrio para el neutrino.
Los decaimientos inversos para el neutrino N1 vienen dados por
ΓID (z) = ΓD (z)
Y EQN1
Y EQl
. (6.52)
El número de especies por unidad de entropía para N1 y para los dobletes de
leptón l vienen dados por la relación (6.19). A partir de las relaciones de la sección
(3.1) podemos hallar el número de densidad nEQN1 y n
EQ
l , para esto se asume que los
leptones son altamente relativista debido a que T ∼ M1 ∼ 1010 GeV >> ml. Sin
embargo estas relaciones sólo se aplican con precisión para N1 debido a la misma
condición. A pesar de esto existe una relacion analítica para esta
nEQN1 =
Z
f (p, t) d3p ' gN1
2π2
∞Z
m
e−E/T (E2 −m2)1/2EdE
=
gN1TM
2
1
2π2
K2
µ
M1
T
¶
=
1
z
M31
π2
K2 (z) , (6.53)
con gN1 = 2 debido a que los neutrinos N1 son sus mismos antineutrinos.
La relación (6.21) implica que s (3.45) viene dada por
s (z) =
2π2
45
g∗
M31
z3
, (6.54)
de tal manera que
Y EQN1 =
45
2π4g∗
z2K2 (z) ' 2.164× 10−3 z2K2 (z) (6.55)
Y EQl =
135ζ (3)
4π4g∗
' 3.9× 10−3 (6.56)
lo que implica que
ΓID (z) =
2ΓD (z)
3ζ (3)
z2K2 (z) ' 0.555
em1M21
8πv2
z2K1 (z) (6.57)
y que
WID ≡
1
2
ΓID
H (z) z
' 0.278K z3K1 (z) . (6.58)
44
Figura 7: Rata de decaimiento directo (línea roja) y rata de decaimiento inverso
(línea azul), se puede ver que para z<<1 domina levemente los decaimientos
inversos pero baja tendiendo a cero cuando la temperatura baja. Los decaimientos
directos por el contrario, son absolutamente dominantes para temperaturas bajas.
Se puede deducir que a altas temperaturas hay producción de partículas N1, pero a
bajas, la producción de estas es improbable y por el contrario decaen en leptones y
bosones de Higgs. Se toma eΓD = 1.
Para calcular S recordemos que este término es la suma de dos contribuciones
debido a dos clases principales de de interacciones, así
S =
4ΓN1φ,l + 2Γ
N1
φ,t
H (z) z
. (6.59)
El término anterior se calcula de acuerdo con las relaciones
Sφ,l ≡
ΓN1φ,l
H (z) z
=
1
12
9αu
4π2gN1
K fφ,l (z) , (6.60)
Sφ,t ≡
ΓN1φ,t
H (z) z
=
1
12
9αu
4π2gN1
K fφ,t (z) , (6.61)
donde las funciones fφ,s y fφ,t van asociadas con el término integral de las relaciones
(6.39) y (6.40) (ver apéndice 8.5). El término αu =
m2t
v2
, donde mt es la masa del
quark top se ve que es directamente proporcional al número de interacciones por
segundo, esto nos hace suponer que interacciones con otra partícula vayan asociadas
con un factor αi =
m2i
v2
, donde mi sea la masa de otra partícula. Dado que la masa
45
del quark top es del orden de la escala electrodébil v, αu ' 1. Sin embargo para otra
partícula que necesariamente tiene una masa mucho menor que la del top, por ejemplo
el quark b que a pesar de ser el segundo fermión más masivo solamente tiene una masa
aproximadamente 34 veces menor que el top tendría un factor α de apenas 10−3αu,
algo muy pequeño comparado con αu, esto nos hace pensar que su contribución sea
mínima al término S y por lo tanto pueda ser ignorada su contribución, lo mismo
para el resto de fermiones.
Como es imposible encontrar funciones analíticas exactas para (6.60) y (6.61),
existe la aproximación (ver apéndice E)
S (z) ' 9αuK
4π2gN1
∙
1− zK1 (z)
K2 (z)
4π2gN1
9αu
+ ln
µ
M1
Mh
¶
z2 ln
³
1 +
a
z
´¸
, (6.62)
con Mh la masa del Higgs y a = 8π
2
9 ln(M1Mh)
.
A continuación usaremos gN1 = 2 y mt = 174 GeV, lo que implica que αu = 1, la
masa del Higgs cuyo rango está entre 45 GeV< Mh < 191 GeV [7] se dejará indicada,
pero por simplicidad se asumirá el promedio de este valor, afortunadamente este valor
no afecta en mucho los resultados.
Figura 8: La gráfica muestra las distintas contribuciones de factor D, S, y D + S.
Las líneas verdes representan para K = 10; la más clara representa D, la otra S y la
más oscura D + S. Las línes azules lo mismo para K = 10−1.
El término de eliminación que como ya vimos, trata de borrar la asimetría gen-
erada previamente es aun mas complicado de sacar, sin embargo, algunos términos
están asociados con los de S, y los otros con los procesos de ∆L = 2. Hagamos una
distinción entonces entre los distintos procesos.
W =WID +W∆L=1 +W∆L=2. (6.63)
46
El término WID recordemos, está definido como
WID ≡
1
2
ΓID
H (z) z
' 0.278K z3K1 (z) . (6.64)
El término W∆L=1 es [5]
W∆L=1 ≡ 2Wφ,t +Wφ,l, (6.65)
Wφ,t ≡
Γlφ,t
H (z) z
≡
nEQN1
nEQl
ΓN1φ,t
H (z) z
=
nEQN1
nEQl
Sφ,t ' 0.555z2K2 (z)Sφ,t, (6.66)
Wφ,l ≡
nN1
nEQN1
Γlφ,t
H (z) z
=
nN1
nEQl
Sφ,l =
sYN1
nEQl
Sφ,t ' 256.32YN1Sφ,l. (6.67)
Y por último, el término W∆L=2 es [3]
W∆L=2 ≡ 2WN + 2WN,t =
2
H (z) z
£
ΓlN + Γ
l
N,t
¤
. (6.68)
Las funciones ΓN + ΓN,t viene dadas por [3]
ΓlN + Γ
l
N,t =
1
2π3ζ (3)
M31m
2
v4
1
z3
.
Por lo que
W∆L=2 =
8M1m
2
π2ζ (3) v2 em1z2K ' 0.674M1m2v2 em1 1z2K. (6.69)
47
Figura 9: Factor de Eliminamiento en función de z, la línea roja representa la
contribución debido a decaimientos inversos (WID), la verde la contribución
(W∆L=1), la azul (W∆L=2), mientras que la negra es la suma de las tres
contribuciones. Se ha usado un valor para K = 10, los otros valores se toman dentro
del rango más probable (ver más adelante). Dado que W depende linealmente de
K, los eliminamientos para otros valores de este simplemente aumentan o
disminuyen proporcionalmente a el.
Con todas las relaciones para cada interacción, estamos entonces en capacidad de
resolver las ecuaciones de Boltzmann.
6.4 Resultados numéricos
Debido a la complejidad de los resultados, no existe solución analítica para las ecua-
ciones de Boltzmann, sin embargo se pueden obtener resultados numéricos, digamos
que nuestras ecuaciónes de Boltzman se puede escribir como [3]
dYN1
dz
= − (D + S)
³
YN1 − Y EQN1
´
, (6.70)
dYB−L
dz
= −ε1D
³
YN1 − Y EQN1
´
−WYB−L. (6.71)
El par de ecuaciones diferenciales acopladas pueden ser resueltas mediante el em-
pleo de paquetes de métodos numéricos, todos los cálculos hechos a continuación
fueron resueltos por medio de "Mathematica 5.0".
A continuación se mostrarán las gráficas obtenidas para las dos ecuaciones con
distintos valores de K y ε1, M1 y m2 están íntimamente ligadas a ε1 (4.41) por lo que
la asimetría absorbe la depèndencia que puedan tener estos parámetros. Siempre se
asume abundancia inicial cero (YN1 (z = 0) = 0), (lo cual es de esperarse) y asimetría
48
inicial cero (YB−L (z = 0) = 0). Se pueden obtener otros modelos con asimetría inicial
distinta de cero, en este caso esta puede ser generada quizás por el decaimiento de
N2 o N3 pero acá no se tiene en cuenta dicha asimetría inicial.
Para dar una mejor claridad acerca de la forma en que cada término contribuye,
resulta más conveniente mirar cada término por separado y analizar lo que ocurre
con la inclusión de más términos, como se podrá ver, la mayor contribución proviene
de los términos de decaimiento y decaimientos inversos, así que analicemos el aporte
de estos por aparte.
6.4.1 Término de decaimiento
Tomando sólo decaimientos y decaimientos inversos se obtiene para YN1
Figura 10: YN1 en función de z. El factor ε1, como es de esperarse, no afecta la
abundancia, se toma K = 10−2 para la línea roja, K = 10−1 para la línea café,
K = 1 para la verde claro, K = 10 para la verde oscura y K = 100 para la azul. La
gráfica en amarillo representa la abundancia de equilibrio que sólo depende z.
Para la gráfica anterior se pueden encontrar la siguiente tabla, cabe recordar que
el valor obtenido de las gráficas es el logaritmo en base 10, el valor real es obviamente
10x.
49
K zEQ Y maxN1 Y
Final
N1
10−2 6.761 8.511× 10−5 → 0
10−1 4.365 5.248× 10−4 → 0
1 2.455 1.778× 10−3 → 0
101 1.352 3.162× 10−3 → 0
102 6.918× 10−1 4.027× 10−3 → 0
Tabla 3: Valores obtenidospara YN1 .
De la tabla 3 se puede deducir que
1.1 Cuando los neutrinos pesados decaen a mayores temperaturas generan una
mayor masa efectiva (em1), lo contrario pasa si decaen a una temperatura menor.
1.2 La abundancia de N1 es independiente de los de la asimetría CP que estos
generan. De hecho esto se puede ver en la ecuación (6.70).
1.3 La producción de N1 se da debido a una leve dominancia de decaimientos in-
versos sobre directos a altas temperaturas (Figura 7).
1.4 La máxima abundancia de N1 se alcanza cuando estos llegan a la temperatura
de equilibrio.
1.5 Luego del desacople, la abundancia de N1 decae rápidamente siendo esta to-
talmente imperceptible en la actualidad. Esto explicaría el porque no se han
detectado estas partículas.
Análogamente se obtiene para YB−L
50
Figura 11: Asimetría B − L en función de z. Se toma un valor de ε1 = 10−5 para
todas las gráficas y K = 10−2 para la línea roja, K = 10−1 para la línea café, K = 1
para la verde claro, K = 10 para la verde oscura y K = 100 para la azul.
Figura 12: Asimetría B − L en función de z. Se toma un valor de ε1 = 10−6 para
todas las gráficas y K = 10−2 para la línea roja, K = 10−1 para la línea café, K = 1
para la verde claro, K = 10 para la verde oscura y K = 100 para la azul.
51
Figura 13: Asimetría B − L en función de z. Se toma un valor de ε1 = 10−7 para
todas las gráficas y K = 10−2 para la línea roja, K = 10−1 para la línea café, K = 1
para la verde claro, K = 10 para la verde oscura y K = 100 para la azul.
Figura 14 :Asimetría B − L en función de z. Se toma un valor de ε1 = 10−8 para
todas las gráficas y K = 10−2 para la línea roja, K = 10−1 para la línea café, K = 1
para la verde claro, K = 10 para la verde oscura y K = 100 para la azul.
Los picos vistos en las gráficas anteriores son debido a un cambio de signo para
YB−L dado que se esta tomando el logaritmo decimal su valor absoluto, el pico puede
ser evitado en gráficas lineales pero estas no muestran claramente lo que pasa a
altas temperaturas. De igual forma esta transición no es de mayor importancia. El
52
motivo por el cual esta se presenta es por el amortiguamiento de los procesos de
eliminamiento. En este punto entonces marca un cambio en el dominio de materia o
antimateria.
Los datos obtenidos para sólo decaimientos generan
ε1 K M
GeV
1 z
EQ Y FinalB−L η
Final
B η
Final
L
10−5 10−2 1011 6.761 6.166× 10−12 1.538× 10−11 −2.801× 10−11
10−5 10−1 1011 4.467 4.169× 10−10 1.040× 10−10 −1.894× 10−10
10−5 1 1011 2.239 6.457× 10−9 1.610× 10−10 −2.932× 10−10
10−5 101 1011 1.000 1.259× 10−9 3.140× 10−9 −5.718× 10−9
10−5 102 1011 0.4467 8.128× 10−11 2.027× 10−10 −3.691× 10−10
10−6 10−2 1010 6.761 6.166× 10−13 1.538× 10−12 −2.801× 10−12
10−6 10−1 1010 4.467 4.074× 10−11 1.016× 10−10 −1.850× 10−10
10−6 1 1010 2.239 6.310× 10−10 1.574× 10−9 −2.867× 10−9
10−6 101 1010 1 1.288× 10−10 3.212× 10−10 −5.850× 10−10
10−6 102 1010 0.4467 8.128× 10−12 2.027× 10−11 −3.691× 10−11
10−7 10−2 109 6.761 6.166× 10−14 1.538× 10−13 −2.801× 10−13
10−7 10−1 109 4.467 4.074× 10−12 1.016× 10−11 −1.850× 10−11
10−7 1 109 2.239 6.310× 10−11 1.574× 10−10 −2.867× 10−10
10−7 101 109 1 1.259× 10−11 3.140× 10−11 −5.718× 10−11
10−7 102 109 0.4467 7.493× 10−13 1.981× 10−12 −3.607× 10−12
10−8 10−2 108 6.761 6.165× 10−15 1.538× 10−14 −2.801× 10−14
10−8 10−1 108 4.467 4.169× 10−13 1.040× 10−12 −1.894× 10−12
10−8 1 108 2.239 6.457× 10−12 2.494× 10−11 −2.867× 10−11
10−8 101 108 1 1.259× 10−12 3.140× 10−12 −5.718× 10−12
10−8 102 108 0.4467 7.493× 10−14 1.981× 10−12 −3.607× 10−12
Tabla 4
De la tabla 4 se puede concluir:
2.1 Cuando la masa efectiva aumenta (em1), la temperatura de equilibrio disminuye,
esto es debido a que esta sobrepasa la masa de equilibrio (m∗) haciendo que los
procesos de eliminamiento se presenten a mayores temperaturas, una temper-
atura de equilibrio menor generaría menor masa en los neutrinos livianos (ver
sección 6.5).
2.2 La temperatura de equilibrio no depende de ε1.
2.3 Cuande ε1 disminuye M1 también y la asimetría B − L generada es menor, lo
contrario pasa cuando estos aumentan.
53
2.4 Cuando em1 aumenta, la asimetría aumenta llegando a un máximo valor, luego
disminuye de nuevo a medida que em1 sigue aumentando, esto nos dice que no
todos los valores de em1 son permitidos para una leptogénesis exitosa. Además
que la asimetría B − L es máxima para cierto valor de K.
2.5 La asimetría permanece constante a partir de cierta temperatura, es de esperarse
y de hecho a si lo es, que esta sea la medida en la actualidad.
Unos valores mayores para N1 y YB−L se obtienen con la inclusión del término de
dispersión, esto se puede ver a continuación.
2.6 La temperatura de equilibrio es la misma que la encontrada para YB−L.
6.4.2 Término de dispersión
Se toman ahora todas las contribuciones relevantes en el término de colisión, de esta
forma se introduce el término de dispersión en las ecuaciones de Boltzmann y se
tienen en cuenta también los decaimientos.
Para YN1 se obtienen las siguientes gráficas
Figura 15: YN1 en función de z teniendo en cuenta todas las interacciones
relevantes. El factor ε1, como es de esperarse, no afecta la abundancia, se toma
K = 10−2 para la línea roja, K = 10−1 para la línea café, K = 1 para la verde claro,
K = 10 para la verde oscura y K = 100 para la azul. La gráfica en amarillo
representa la abundancia de equilibrio que sólo depende z.
Igualmente que en los resultados anteriores, se pueden sintetizar los valores en la
siguinente tabla, se puede apreciar que los valores de la tabla 3 van a ver modificados,
54
aunque no de una forma muy severa.
K zEQ Y maxN1 Y
Final
N1
10−2 6.166 1.259× 10−4 → 0
10−1 3.715 7.763× 10−4 → 0
1 1.950 2.399× 10−3 → 0
10 9.016× 10−1 3.802× 10−3 → 0
102 3.802× 10−1 4.266× 10−3 → 0
Tabla 5: Abundancia de N1.
Comparando la tabla 3 con la tabla 5 concluimos que
3.1 El término de dispersión aumenta la producción de N1, esto es debido a que
la violación CP exige que haya violación T, lo que implica que las ratas de
dispersión sean diferentes en cada dirección. A bajas temperaturas la rata de
dispersiones inversas es mayor que la de las directas, por lo que se producen más
neutrinos N1 que los que mueren via dispersión. Lo contrario sucede a bajas
temperaturas.
3.2 La temperatura de equilibrio disminuye debido a la mayor producción de N1.
3.3 Se puede concluir lo mismo expuesto en los puntos 1.1 - 1.5 de la sección 6.4.1.
Para YB−L
Figura 16: Asimetría generada teniendo en cuenta todas las interacciones relevantes,
se toma ε1 = 10−5, para la línea roja K = 10−2, para la café K = 10−1, para la
verde clara K = 1, para la verde oscura K = 10 y K = 10−2 para la azul.
55
Figura 17: Asimetría generada teniendo en cuenta todas las interacciones relevantes,
se toma ε1 = 10−6, para la línea roja K = 10−2, para la café K = 10−1, para la
verde clara K = 1, para la verde oscura K = 10 y K = 10−2 para la azul.
Figura 18: Asimetría generada teniendo en cuenta todas las interacciones relevantes,
se toma ε1 = 10−7, para la línea roja K = 10−2, para la café K = 10−1, para la
verde clara K = 1, para la verde oscura K = 10 y K = 10−2 para la azul.
56
Figura 19: Asimetría generada teniendo en cuenta todas las interacciones relevantes,
se toma ε1 = 10−8, para la línea roja K = 10−2, para la café K = 10−1, para la
verde clara K = 1, para la verde oscura K = 10 y K = 10−2 para la azul.
Para las últimas gráficas encontramos los valores
ε1 K M
GeV
1 z
EQ Y FinalB−L η
Final
B η
Final
L
10−5 10−2 1011 6.124 5.248× 10−10 1.538× 10−11 −2.801× 10−11
10−5 10−1 1011 3.697 3.069× 10−9 1.040× 10−10 −1.894× 10−10
10−5 1 1011 1.799 1.122× 10−8 1.610× 10−10 −2.932× 10−10
10−5 101 1011 0.6776 3.981× 10−9 3.140× 10−9 −5.718× 10−9
10−5 102 1011 0.2042 4.365× 10−10 2.027× 10−10 −3.691× 10−10
10−6 10−2 1010 6.124 5.012× 10−11 1.538× 10−12 −2.801× 10−12
10−6 10−1 1010 3.697 2.985× 10−10 1.016× 10−10 −1.850× 10−10
10−6 1 1010 1.799 1.096× 10−9 1.574× 10−9 −2.867× 10−9
10−6 101 1010 0.6776 4.074× 10−10 3.212× 10−10 −5.850× 10−10